2019版高考数学(文)高分计划一轮高分讲义：第2章函数、导数及其应用 2.11导数在研究函数中的应用(二)

2．10导数的概念及运算［知识梳理]1．变化率与导数（1）平均变化率(2）导数2．导数的运算[诊断自测] 1．概念思辨(1)f ′(x 0）与（f （x 0））′表示的意义相同．( )（2)f ′(x 0)是函数y ＝f （x ）在x ＝x 0附近的平均变化率．（ ) （3)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．（ ) （4）曲线y ＝f （x )在点P (x 0，y 0)处的切线与过点P （x 0,y 0)的切线相同．（ ）答案 （1）× （2)× (3）× （4）×2．教材衍化(1）（选修A2－2P 6例1)若函数f (x ）＝2x 2－1的图象上一点（1，1)及邻近一点（1＋Δx,1＋Δy ），则Δy Δx 等于（ ）A ．4B ．4xC ．4＋2ΔxD ．4＋2（Δx ）2答案 C解析 Δy ＝(1＋Δy )－1＝f (1＋Δx ）－f (1）＝2(1＋Δx )2－1－1＝2（Δx )2＋4Δx ，∴错误!＝2Δx ＋4，故选C.（2）（选修A2－2P 18T 7）f （x ）＝cos x 在错误!处的切线的倾斜角为________． 答案错误!解析 f ′（x )＝（cos x )′＝－sin x ，f ′错误!＝－1， tan α＝－1，所以α＝3π4. 3．小题热身（1)（2014·全国卷Ⅱ)设曲线y＝ax－ln (x＋1）在点（0,0）处的切线方程为y＝2x,则a＝（）A．0 B．1 C．2 D．3答案D解析y′＝a－错误!,当x＝0时，y′＝a－1＝2，∴a＝3，故选D.(2）（2017·太原模拟）函数f(x）＝x e x的图象在点(1，f（1))处的切线方程是________．答案y＝2e x－e解析∵f(x)＝x e x,∴f(1)＝e,f′（x)＝e x＋x e x，∴f′（1)＝2e，∴f(x）的图象在点(1，f（1))处的切线方程为y －e＝2e(x－1),即y＝2e x－e.题型1导数的定义及应用错误!已知函数f(x)＝错误!＋1，则错误!错误!的值为（）A．－错误! B.错误! C.错误!D．0用定义法．答案A解析由导数定义，错误!错误!＝－错误!错误!＝－f′(1),而f′（1)＝错误!，故选A。

[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．已知A ＝{x |x ＝n 2，n ∈N }，给出下列关系式：①f (x )＝x ；②f (x )＝x 2；③f (x )＝x 3；④f (x )＝x 4；⑤f (x )＝x 2＋1，其中能够表示函数f ：A →A 的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5答案　C解析　对⑤，当x ＝1时，x 2＋1∉A ，故⑤错误，由函数定义可知①②③④均正确．故选C.2．(2018·吉安四校联考)已知函数f (x )＝Error!则f 的值为( )[1f (2)]A.B ．151689C ．－D ．182716答案　A解析　f (2)＝4，f ＝f ＝1－2＝.故选A.[1f (2)](14)(14)15163．已知f (x 5)＝lg x ，则f (2)等于( )A ．lg 2B ．lg 32C ．lgD.lg 213215答案　D解析　令x 5＝t ，则x ＝t (t >0)，∴f (t )＝lg t ＝lg t ．∴f (2)＝lg 2.故选D.15154．(2017·山西名校联考)设函数f (x )＝lg (1－x )，则函数f [f (x )]的定义域为( )A ．(－9，＋∞)B ．(－9,1)C ．[－9，＋∞)D ．[－9,1)答案　B解析　f [f (x )]＝f [lg(1－x )]＝lg [1－lg (1－x )]，则Error!⇒－9<x <1.故选B.5．若函数y ＝f (x )的定义域是[0,1]，则函数F (x )＝f (x ＋a )＋f (2x ＋a )(0<a <1)的定义域是( )A.B ．[－a 2，1－a 2][－a 2，1－a ]C ．[－a,1－a ] D.[－a ，1－a 2]答案　A 解析　Error!⇒－≤x ≤.故选A.a 21－a 26．函数y ＝的值域为( )(12) A.B ．(－∞，12][12，1]C.D ．[12，1)[12，＋∞)答案　C解析　由于x 2≥0，所以x 2＋1≥1，所以0<≤1，结合函1x 2＋1数y ＝x 在(0,1]上的图象可知函数y ＝的值域为.故选C.(12)(12) [12，1)7．(2018·黄冈联考)已知f (x )＝Error!且f (0)＝2，f (－1)＝3，则f [f (－3)]＝( )A ．－2B ．2C ．3D ．－3答案　B解析　由题意得f (0)＝a 0＋b ＝1＋b ＝2，解得b ＝1；f (－1)＝a －1＋b ＝a －1＋1＝3，解得a ＝.12故f (－3)＝－3＋1＝9，(12)从而f [f (－3)]＝f (9)＝log 39＝2.故选B.8．(2018·银川模拟)已知具有性质：f ＝－f (x )的函数，我们称(1x )为满足“倒负”变换的函数，下列函数：①y ＝x －；②y ＝x ＋；③y ＝Error!1x 1x 其中满足“倒负”变换的函数是( )A ．①②B ．①③C ．②③D ．①答案　B解析　对于①，f (x )＝x －，f ＝－x ＝－f (x )满足；对于②，f 1x (1x )1x ＝＋x ＝f (x )，不满足；对于③，(1x )1x f ＝Error!即f ＝Error!(1x )(1x )故f ＝－f (x )，满足．(1x )综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.故选B.9．(2018·铜陵一模)若函数f (x )图象上任意一点P (x ，y )皆满足y 2≥x 2，则f (x )的解析式可以是( )A ．f (x )＝x －B ．f (x )＝e x －11xC ．f (x )＝x ＋D ．f (x )＝tan x 4x答案　C解析　A 项，当x ＝1时，f (x )＝1－1＝0,02≥12不成立；B 项，当x ＝－1时，f (x )＝－1∈(－1,0)，2≥(－1)2不成立；D 项，1e (1e －1)当x ＝时，f (x )＝1，12≥2不成立；对于C ，f 2(x )5π4(5π4)＝x 2＋＋8>x 2，符合题意．故选C.16x 210．(2017·山东模拟)设函数f (x )＝Error!则满足f [f (a )]＝2f (a )的a 的取值范围是( )A.B ．[0,1][23，1]C.D ．[1，＋∞)[23，＋∞)答案　C解析　①当a <时，f (a )＝3a －1<1，f [f (a )]＝3(3a －1)23－1＝9a －4,2f (a )＝23a －1，显然f [f (a )]≠2f (a )．②当≤a <1时，f (a )＝3a －1≥1，f [f (a )]＝23a －1,2f (a )＝23a －1，23故f [f (a )]＝2f (a )．③当a ≥1时，f (a )＝2a >1，f [f (a )]＝22a ，2f (a )＝22a ，故f [f (a )]＝2f (a )．综合①②③知a ≥.故选C.23二、填空题11．已知x ∈N *，f (x )＝Error!其值域设为D .给出下列数值：－26，－1,9,14,27,65，则其中属于集合D 的元素是________．(写出所有可能的数值)答案　－26,14,65解析　注意函数的定义域是N *，由分段函数解析式可知，所有自变量的函数值最终都是转化为大于等于3的对应自变量函数值计算的f (3)＝9－35＝－26，f (4)＝16－35＝－19，f (5)＝25－35＝－10，f (6)＝36－35＝1，f (7)＝49－35＝14，f (8)＝64－35＝29，f (9)＝81－35＝46，f (10)＝100－35＝65.故正确答案应填－26,14,65.12．(2018·厦门一模)已知函数f (x )＝Error!的值域为R ，则实数a 的取值范围是________．答案　[0，12)解析　当x ≥1时，f (x )＝2x －1≥1，∵函数f (x )＝Error!的值域为R ，∴当x <1时，(1－2a )x ＋3a 必须取遍(－∞，1)内的所有实数，则Error!解得0≤a ＜.1213．定义：区间[x 1，x 2](x 1<x 2)的长度为x 2－x 1.已知函数y ＝2|x |的定义域为[a ，b ]，值域为[1,2]，则区间[a ，b ]的长度的最大值与最小值的差为________．答案　1解析　[a ，b ]的长度取得最大值时[a ，b ]＝[－1,1]，区间[a ，b ]的长度取得最小值时[a，b]可取[0,1]或[－1,0]，因此区间[a，b]的长度的最大值与最小值的差为1.14．(2018·绵阳二诊)现定义一种运算“⊕”：对任意实数a，b，a⊕b＝Error!设f(x)＝(x2－2x)⊕(x＋3)，若函数g(x)＝f(x)＋k 的图象与x轴恰有两个公共点，则实数k的取值范围是________．答案　(－8，－7]∪(－3，－2)∪{1}解析　因为(x2－2x)－(x＋3)－1＝(x－4)(x＋1)，所以f(x)＝(x2－2x)⊕(x＋3)＝Error!作出函数y＝f(x)的图象如图所示．函数g(x)＝f(x)＋k的图象与x轴恰有两个公共点，即函数y＝f(x)的图象与直线y＝－k有两个公共点，结合图象可得－k＝－1 或2<－k<3或7≤－k<8，所以实数k的取值范围是k∈(－8，－7]∪(－3，－2)∪{1}．三、解答题15．(2018·福建六校联考)已知函数f(x)＝log a(x＋2)＋log a(4－x)(a>0且a≠1)．(1)求函数f(x)的定义域；(2)若函数f(x)在区间[0,3]上的最小值为－2，求实数a的值．解　(1)依题意得Error!解得－2<x<4，∴f(x)的定义域为(－2,4)．(2)f(x)＝log a(x＋2)＋log a(4－x)＝log a [(x ＋2)(4－x )]，令t ＝(x ＋2)(4－x )，则可变形得t ＝－(x －1)2＋9，∵0≤x ≤3，∴5≤t ≤9，若a >1，则log a 5≤log a t ≤log a 9，∴f (x )min ＝log a 5＝－2，则a 2＝<1(舍去)，15若0<a <1，则log a 9≤log a t ≤log a 5，∴f (x )min ＝log a 9＝－2，则a 2＝，又0<a <1，∴a ＝.1913综上，得a ＝.1316．如果对∀x ，y ∈R 都有f (x ＋y )＝f (x )·f (y )，且f (1)＝2.(1)求f (2)，f (3)，f (4)的值；(2)求＋＋＋…＋＋＋的值．f (2)f (1)f (4)f (3)f (6)f (5)f (2014)f (2013)f (2016)f (2015)f (2018)f (2017)解　(1)∵∀x ，y ∈R ，f (x ＋y )＝f (x )·f (y )，且f (1)＝2，∴f (2)＝f (1＋1)＝f (1)·f (1)＝22＝4，f (3)＝f (1＋2)＝f (1)·f (2)＝23＝8，f (4)＝f (1＋3)＝f (1)·f (3)＝24＝16.(2)解法一：由(1)知＝2，＝2，＝2，…，＝2，f (2)f (1)f (4)f (3)f (6)f (5)f (2018)f (2017)故原式＝2×1009＝2018.解法二：对∀x ，y ∈R 都有f (x ＋y )＝f (x )·f (y )且f (1)＝2，令x ＝n ，y ＝1，则f (n ＋1)＝f (n )·f (1)，即＝f (1)＝2，故f (n ＋1)f (n )＝＝…＝＝2，故原式＝2×1009＝2018.f (2)f (1)f (4)f (3)f (2018)f (2017)。

2．4　二次函数与幂函数[知识梳理]1．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．③两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．(2)二次函数的图象和性质2．幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数．(2)常见的5种幂函数的图象(3)常见的5种幂函数的性质[诊断自测]1．概念思辨(1)当α<0时，幂函数y ＝x α是定义域上的减函数．( )(2)关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c >0恒成立的充要条件是Error!( )(3)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈[a ，b ]的最值一定是.( )4ac －b 24a (4)在y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)中，a 决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小．( )答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√2．教材衍化(1)(必修A1P 44T 9)函数y ＝(x 2－3x ＋10)－1的递增区间是( )A ．(－∞，－2)B ．(5，＋∞)C. D.(－∞，32)(32，＋∞)答案　C解析　由于x 2－3x ＋10>0恒成立，即函数的定义域为(－∞，＋∞)．设t ＝x 2－3x －10，则y ＝t －1是(0，＋∞)上的减函数，根据复合函数单调性的性质，要求函数y ＝(x 2－3x ＋10)－1的递增区间，即求t ＝x 2－3x ＋10的单调递减区间，∵t ＝x 2－3x ＋10的单调递减区间是，(－∞，32)∴所求函数的递增区间为.故选C.(－∞，32)(2)(必修A1P 78探究)若四个幂函数y ＝x a ，y ＝x b ，y ＝x c ，y ＝x d 在同一坐标系中的图象如图，则a ，b ，c ，d 的大小关系是( )A ．d >c >b >aB ．a >b >c >dC ．d >c >a >bD ．a >b >d >c答案　B解析　幂函数a ＝2，b ＝，c ＝－，d ＝－1的图象，正好和题1213目所给的形式相符合，在第一象限内，x ＝1的右侧部分的图象，图象由下至上，幂指数增大，所以a >b >c >d .故选B.3．小题热身(1)(2017·济南诊断)已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点，则(12，22)k ＋α＝( )A. B ．1 C. D ．21232答案　C解析　由幂函数的定义知k ＝1.又f ＝，所以α＝，解(12)22(12)22得α＝，从而k ＋α＝.故选C.1232(2)函数f (x )＝x 2－ax －a 在[0,2]上的最大值为1，则实数a 等于( )A ．－1B ．1C ．－2D ．2答案　B解析　解法一：(分类讨论)当对称轴x ＝≤1，即a ≤2时，f (x )a 2max ＝f (2)＝4－3a ＝1，解得a ＝1符合题意；当a >2时，f (x )max ＝f (0)＝－a ＝1，解得a ＝－1(舍去)．综上所述，实数a ＝1，故选B.解法二：(代入法)当a ＝－1时，f (x )＝x 2＋x ＋1在[0,2]上的最大值为f (2)＝7≠1，排除A ；当a ＝1时，f (x )＝x 2－x －1在[0,2]上的最大值为f (2)＝1，B 正确；当a ＝－2时，f (x )＝x 2＋2x ＋2在[0,2]上的最大值为f (2)＝10≠1，排除C ；当a ＝2时，f (x )＝x 2－2x －2在[0,2]上的最大值为f (0)＝f (2)＝－2≠1，排除D ，故选B.题型1　幂函数的图象与性质 (2017·长沙模拟)已知函数f (x )＝x ，则( )典例1 A ．∃x 0∈R ，使得f (x )<0B ．∀x ∈[0，＋∞)，f (x )≥0C ．∃x 1，x 2∈[0，＋∞)，使得<0f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2D ．∀x 1∈[0，＋∞)，∃x 2∈[0，＋∞)使得f (x 1)>f (x 2)根据幂函数性质逐项验证．答案　B解析　由函数f (x )＝x ，知：在A 中，f (x )≥0恒成立，故A 错误；在B 中，∀x ∈[0，＋∞)，f (x )≥0，故B 正确；在C 中，∀x 1，x 2∈[0，＋∞)，x 1≠x 2，都有>0，故C 错误；f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2在D 中，当x 1＝0时，不存在x 2∈[0，＋∞)使得f (x 1)>f (x 2)，故D 不成立．故选B.典例2 (2018·荣城检测)已知函数f(x)＝Error!若关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是________．用数形结合法．答案　(0,1)解析　作出函数y＝f(x)的图象如图．则当0<k<1时，关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实根．方法技巧在解决幂函数与其他函数的图象的交点个数，对应方程根的个数及近似解等问题时，常用数形结合的思想方法，即在同一坐标系下画出两函数的图象，数形结合求解．见典例2.冲关针对训练1．在同一直角坐标系中，函数f(x)＝x a(x>0)，g(x)＝log a x的图象可能是( )答案　D解析　因为a>0，所以f(x)＝x a在(0，＋∞)上为增函数，故A错误；在B中，由f(x)的图象知a>1，由g(x)的图象知0<a<1，矛盾，故B错误；在C中，由f(x)的图象知0<a<1，由g(x)的图象知a>1，矛盾，故C错误；在D中，由f(x)的图象知0<a<1，由g(x)的图象知0<a<1，相符，故选D.m2－2m－32．幂函数y＝x(m∈Z)的图象如图所示，则实数m 的值为( )A．－1<m<3 B．0C．1 D．2答案　C解析　∵函数在(0，＋∞)上单调递减，∴m2－2m－3<0，解得－1<m<3.∵m∈Z，∴m＝0,1,2.而当m＝0或2时，f(x)＝x－3为奇函数，当m＝1时，f(x)＝x－4为偶函数，∴m＝1.故选C.题型2　求二次函数的解析式典例 已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．用待定系数法求解．解　设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由题意得Error!解得Error!∴所求二次函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.[条件探究]　若本例条件变为：已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，求f(x)的解析式．解　∵f(2－x)＝f(2＋x)对x∈R恒成立，∴f(x)的对称轴为x＝2.又∵f(x)图象被x轴截得的线段长为2，∴f(x)＝0的两根为1和3.设f(x)的解析式为f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)．又∵f(x)的图象过点(4,3)，∴3a＝3，a＝1.∴所求f(x)的解析式为f(x)＝(x－1)(x－3)，即f(x)＝x2－4x＋3.方法技巧求二次函数解析式的方法求二次函数的解析式，一般用待定系数法，关键是根据已知条件恰当选择二次函数解析式的形式．一般选择规律如下：冲关针对训练　1．(2018·辽宁期末)已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在区间[0,1]上的最大值为2，则a 的值为( )A ．2B ．－1或－3C ．2或－3D ．－1或2答案　D解析　函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 的对称轴为x ＝a ，图象开口向下，①当a ≤0时，函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在区间[0,1]上是减函数，∴f (x )max ＝f (0)＝1－a ，由1－a ＝2，得a ＝－1；②当0<a ≤1时，函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在区间[0，a ]上是增函数，在[a,1]上是减函数，∴f (x )max ＝f (a )＝－a 2＋2a 2＋1－a ＝a 2－a ＋1，由a 2－a ＋1＝2，解得a ＝或a ＝，1＋521－52∵0<a ≤1，∴两个值都不满足；③当a >1时，函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在区间[0,1]上是增函数，∴f (x )max ＝f (1)＝－1＋2a ＋1－a ＝a ，∴a ＝2.综上可知，a ＝－1或a ＝2.故选D.2．若二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，满足①不等式f (x )＋2x >0的解集为{x |1<x <3}，②方程f (x )＋6a ＝0有两个相等的实数根，试确定f (x )的解析式．解　因为f (x )＋2x >0的解集为(1,3)，设f (x )＋2x ＝a (x －1)(x －3)，且a <0，所以f (x )＝a (x －1)(x －3)－2x ＝ax 2－(2＋4a )x ＋3a .由方程f (x )＋6a ＝0得ax 2－(2＋4a )x ＋9a ＝0.因为方程有两个相等的实数根，所以Δ＝[－(2＋4a )]2－4a ·9a ＝0，解得a ＝1或a ＝－.由于a <0，舍去a ＝1.15所以f (x )＝－x 2－x －.156535 题型3　二次函数的图象与性质角度1　二次函数图象的识别 不等式ax 2－x ＋c >0的解集为{x |－2<x <1}，则函数 典例y ＝ax 2＋x ＋c 的图象大致为( )根据二次函数图形及根与系数的关系逐项排除．答案　C解析　由不等式ax 2－x ＋c >0的解集为{x |－2<x <1}可得a <0，且方程ax 2－x ＋c ＝0的两个实数根分别为－2,1，故－2＋1＝，－2×1＝，解得a ＝－1，c ＝2，故函数1a c a y ＝ax 2＋x ＋c ＝－x 2＋x ＋2＝－(x ＋1)(x －2)，其图象大致为C.故选C.角度2　二次函数的最值问题 已知函数f (x )＝x 2－2(a ＋2)x ＋a 2，g (x )＝－x 2＋2(a －2) 典例x －a 2＋8.设H 1(x )＝max{f (x )，g (x )}，H 2(x )＝min{f (x )，g (x )}(max{p ，q }表示p ，q 中的较大值，min{p ，q }表示p ，q 中的较小值)．记H 1(x )的最小值为A ，H 2(x )的最大值为B ，则A －B ＝( )A ．a 2－2a －16B ．a 2＋2a －16C ．－16D ．16用数形结合法．答案　C解析　令f (x )＝g (x )，即x 2－2(a ＋2)x ＋a 2＝－x 2＋2(a －2)x －a 2＋8，即x 2－2ax ＋a 2－4＝0，解得x ＝a ＋2或x ＝a －2.f (x )与g (x )的图象如图．由图象及H 1(x )的定义知H 1(x )的最小值是f (a ＋2)，H 2(x )的最大值为g (a －2)，∴A －B ＝f (a ＋2)－g (a －2)＝(a ＋2)2－2(a ＋2)2＋a 2＋(a －2)2－2(a －2)2＋a 2－8＝－16.故选C.角度3　二次函数中的恒成立问题 已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R )，x ∈R .典例(1)若函数f (x )的最小值为f (－1)＝0，求f (x )的解析式，并写出单调区间；(2)在(1)的条件下，f (x )>x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，试求k的范围．用转化法．解　(1)由题意得f (－1)＝a －b ＋1＝0，a ≠0，且－＝－1，∴a ＝1，b ＝2.∴f (x )＝x 2＋2x ＋1，b2a 单调减区间为(－∞，－1]，单调增区间为[－1，＋∞)．(2)解法一：f (x )>x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，转化为x 2＋x ＋1>k 在区间[－3，－1]上恒成立．设g (x )＝x 2＋x ＋1，x ∈[－3，－1]，则g (x )在[－3，－1]上递减．∴g (x )min ＝g (－1)＝1.∴k <1，即k 的取值范围为(－∞，1)．解法二：f (x )>x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，转化为x 2＋x ＋1－k >0在区间[－3，－1]上恒成立，设g (x )＝x 2＋x ＋1－k ，则g (x )在[－3，－1]上单调递减，∴g (－1)>0，得k <1.角度4　二次函数的零点问题 已知二次函数f (x )＝x 2＋2bx ＋c (b ，c ∈R )．典例(1)若f (x )≤0的解集为{x |－1≤x ≤1}，求实数b ，c 的值；(2)若f (x )满足f (1)＝0，且关于x 的方程f (x )＋x ＋b ＝0的两个实数根分别在区间(－3，－2)，(0,1)内，求实数b的取值范围．用数形结合法．解　(1)设x 1，x 2是方程f (x )＝0的两个根．由根与系数的关系得Error!即Error!所以b ＝0，c ＝－1.(2)由题，知f (1)＝1＋2b ＋c ＝0，所以c ＝－1－2b .记g (x )＝f (x )＋x ＋b ＝x 2＋(2b ＋1)x ＋b ＋c ＝x 2＋(2b ＋1)x －b －1，则Error!⇒<b <，1557即实数b 的取值范围为.(15，57)方法技巧1．识别二次函数图象的策略解答二次函数的图象问题应从开口方向、对称轴、顶点坐标及图象与坐标轴的交点在坐标系上的位置等方面着手讨论或逐项排除．见角度1典例．2．二次函数在闭区间上的最值问题的类型及求解策略(1)类型：①对称轴、区间都是给定的；②对称轴动、区间固定；③对称轴定、区间变动．(2)求解策略：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成．3．二次不等式恒成立问题的求解思路(1)一般有两个解题思路；一是分离参数；二是不分离参数．(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离．这两个思路的依据是：a ≥f (x )⇔a ≥f (x )max ，a ≤f (x )⇔a ≤f (x )min .见角度3典例．4．解决一元二次方程根的分布问题的方法常借助于二次函数的图象数形结合来解，一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．冲关针对训练1．(2018·陕西模拟)已知函数f (x )＝e x －1，g (x )＝－x 2＋4x －3，若存在f (a )＝g (b )，则实数b 的取值范围为( )A ．[1,3]B ．(1,3)C ．[2－，2＋]D ．(2－，2＋)2222答案　D解析　函数f (x )＝e x －1的值域为(－1，＋∞)，g (x )＝－x 2＋4x －3的值域为(－∞，1]，若存在f (a )＝g (b )，则需g (b )>－1，－b 2＋4b －3>－1，所以b 2－4b ＋2<0，所以2－<b <2＋.22故选D.2．(2017·南京模拟)已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为(－∞，0]，若关于x 的不等式f (x )>c －1的解集为(m －4，m ＋1)，则实数c 的值为________．答案　－214解析　∵函数f (x )＝－x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为(－∞，0]，∴Δ＝0，即a 2＋4b ＝0，∴b ＝－.a 24∵关于x 的不等式f (x )>c －1的解集为(m －4，m ＋1)，∴方程f (x )＝c －1的两根分别为m －4，m ＋1，即方程－x 2＋ax －＝c －1两根分别为m －4，m ＋1，a 24∵方程－x 2＋ax －＝c －1根为x ＝±，a 24a21－c ∴两根之差为2＝(m ＋1)－(m －4)＝5，1－c c ＝－.2141.(2017·昆明质检)若函数y ＝x 2－3x －4的定义域为[0，m ]，值域为，则m 的取值范围是( )[－254，－4]A ．[0,4] B.[32，4]C. D.[32，＋∞)[32，3]答案　D 解析　二次函数图象的对称轴为x ＝，且f ＝－，f (3)＝f (0)32(32)254＝－4，由图得m ∈.故选D.[32，3]2．(2017·浙江高考)若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 在区间[0,1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M －m ( )A．与a有关，且与b有关B．与a有关，但与b无关C．与a无关，且与b无关D．与a无关，但与b有关答案　B解法一：解析　设x1，x2分别是函数f(x)在[0,1]上的最小值点与212最大值点，则m＝x＋ax1＋b，M＝x＋ax2＋b.221∴M－m＝x－x＋a(x2－x1)，显然此值与a有关，与b无关．故选B.解法二：由题意可知，函数f(x)的二次项系数为固定值，则二次函数图象的形状一定．随着b的变动，相当于图象上下移动，若b增大k个单位，则最大值与最小值分别变为M＋k，m＋k，而(M＋k)－(m＋k)＝M－m，故与b无关．随着a的变动，相当于图象左右移动，则M－m的值在变化，故与a有关．故选B.3．(2018·枣庄模拟)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－2x，如果函数g(x)＝f(x)－m(m∈R)恰有4个零点，则m的取值范围是________．答案　(－1,0)解析　函数g(x)＝f(x)－m(m∈R)恰有4个零点可化为函数y＝f(x)的图象与直线y＝m恰有4个交点，作函数y＝f(x)与y＝m的图象如图所示，故m的取值范围是(－1,0)．4．(2018·皖南模拟)已知函数f(x)＝x2＋2x＋1，如果使f(x)≤kx对任意实数x∈(1，m]都成立的m的最大值是5，则实数k＝________.答案　365解析　设g (x )＝f (x )－kx ＝x 2＋(2－k )x ＋1，由题意知g (x )≤0对任意实数x ∈(1，m ]都成立的m 的最大值是5，所以x ＝5是方程g (x )＝0的一个根，即g (5)＝0，可以解得k ＝(经检验满足题意)．365 [基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．(2017·江西九江七校联考)幂函数f (x )＝(m 2－4m ＋4)x 在(0，＋∞)上为增函数，则m 的m2－6m ＋8值为( )A ．1或3B ．1C ．3D ．2答案　B解析　由题意知m 2－4m ＋4＝1且m 2－6m ＋8>0⇒m ＝1，故选B.2．(2018·吉林期末)如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a 的取值范围是( )A ．a >－B ．a ≥－1414C ．－≤a <0D ．－≤a ≤01414答案　D解析　①当a ＝0时，函数f (x )＝2x －3为一次函数，是递增函数；②当a >0时，二次函数开口向上，先减后增，在区间(－∞，4)上不可能是单调递增的，故不符合；③当a <0时，函数开口向下，先增后减，函数对称轴－≥4，1a 解得a ≥－，又a <0，故－≤a <0.1414综合得－≤a ≤0.故选D.143．如果函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 对任意的实数x ，都有f (1＋x )＝f (－x )，那么( )A ．f (－2)<f (0)<f (2)B ．f (0)<f (－2)<f (2)C ．f (2)<f (0)<f (－2)D ．f (0)<f (2)<f (－2)答案　D解析　由f (1＋x )＝f (－x )知f (x )图象关于x ＝对称，又抛物线开12口向上，结合图象可知f (0)<f (2)<f (－2)．故选D.4．(2018·聊城检测)若二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1，则f (x )的表达式为( )A ．f (x )＝－x 2－x －1B ．f (x )＝－x 2＋x －1C ．f (x )＝x 2－x －1D ．f (x )＝x 2－x ＋1答案　D解析　设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由题意得Error!故Error!解得Error!则f (x )＝x 2－x ＋1.故选D.5．(2018·雅安诊断)如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分，图象过点A (－3,0)，对称轴为x ＝－1.给出下面四个结论：①b 2>4ac ；②2a －b ＝1；③a －b ＋c ＝0；④5a <b .其中正确的是( )A ．②④B ．①④C ．②③D ．①③答案　B解析　因为图象与x 轴交于两点，所以b 2－4ac >0，即b 2>4ac ，①正确；对称轴为x ＝－1，即－＝－1,2a －b ＝0，②错b2a 误；结合图象，当x ＝－1时，y >0，即a －b ＋c >0，③错误；由对称轴为x ＝－1，知b ＝2a .又函数图象开口向下，所以a <0，所以5a <2a ，即5a <b ，④正确．故选B.6．(2018·济宁模拟)设函数f (x )＝Error!若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则关于x 的方程f (x )＝x 的解的个数为( )A ．4B ．2C ．1D ．3答案　D解析　由解析式可得f (－4)＝16－4b ＋c ＝f (0)＝c ，解得b ＝4.f (－2)＝4－8＋c ＝－2，可求得c ＝2.∴f (x )＝Error!又f (x )＝x ，则当x ≤0时，x 2＋4x ＋2＝x ，解得x 1＝－1，x 2＝－2.当x >0时，x ＝2，综上可知有三解．故选D.7．二次函数f (x )的二次项系数为正数，且对任意的x ∈R 都有f (x )＝f (4－x )成立，若f (1－2x 2)<f (1＋2x －x 2)，则实数x 的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(0,2)C ．(－2,0)D ．(－∞，－2)∪(0，＋∞)答案　C解析　由题意知，二次函数的开口向上，对称轴为直线x ＝2，图象在对称轴左侧为减函数．而1－2x 2<2,1＋2x －x 2＝2－(x －1)2≤2，所以由f (1－2x 2)<f (1＋2x －x 2)，得1－2x 2>1＋2x －x 2，解得－2<x <0.故选C.8．已知对任意的a ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值总大于0，则x 的取值范围是( )A ．1<x <3B ．x <1或x >3C ．1<x <2D ．x <2或x >3答案　B解析　f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a ＝(x －2)a ＋(x 2－4x ＋4)．记g (a )＝(x －2)a ＋(x 2－4x ＋4)，由题意可得Error!即Error!解得x <1或x >3.故选B.9．(2018·吉林松原月考)设函数f (x )＝x 2＋x ＋a (a ＞0)，已知f (m )＜0，则( )A ．f (m ＋1)≥0B ．f (m ＋1)≤0C ．f (m ＋1)＞0D ．f (m ＋1)＜0答案　C解析　∵f (x )的对称轴为x ＝－，f (0)＝a ＞0，∴f (x )的大致图象12如图所示．由f (m )＜0，f (－1)＝f (0)＝a >0，得－1＜m ＜0，∴m ＋1＞0，又∵x >－时f (x )单调递增，∴f (m ＋1)＞f (0)＞0.1210．(2016·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )(x ∈R )满足f (x )＝f (2－x )，若函数y ＝|x 2－2x －3|与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则x i ＝( )∑m i ＝1A ．0 B ．m C ．2m D ．4m答案　B解析　由f (x )＝f (2－x )知函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称．又y ＝|x 2－2x －3|＝|(x －1)2－4|的图象也关于直线x ＝1对称，所以这两函数的交点也关于直线x ＝1对称．不妨设x 1<x 2<…<x m ，则＝1，即x 1＋x m ＝2，同理有x 1＋xm 2x 2＋x m －1＝2，x 3＋x m －2＝2，…，又x i ＝x m ＋x m －1＋…＋x 1，所以∑m i ＝12x i ＝(x 1＋x m )＋(x 2＋x m －1)＋…＋(x m ＋x 1)＝2m ，所以x i ＝m .∑m i ＝1∑m i ＝1故选B.二、填空题11．(2017·湖北孝感模拟)函数f (x )＝ax 2－2x ＋1，若y ＝f (x )在区间内有零点，则实数a 的取值范围为________．[－12，12]答案　(－∞，0]解析　由f (x )＝ax 2－2x ＋1＝0，可得a ＝－＋＝－2＋1.1x 22x (1x －1)若f (x )在内有零点，则f (x )＝0在区间内有解，[－12，12][－12，12]当－≤x <0或0<x ≤时，可得a ＝－＋≤0.所以实数a 的取值范12121x 22x 围为(－∞，0]．12．(2018·九江模拟)已知f (x )＝x 2＋2(a －2)x ＋4，如果对x ∈[－3,1]，f (x )>0恒成立，则实数a 的取值范围为________．答案　(－12，4)解析　因为f (x )＝x 2＋2(a －2)x ＋4，对称轴x ＝－(a －2)，对x ∈[－3,1]，f (x )>0恒成立，所以讨论对称轴与区间[－3,1]的位置关系得：Error!或Error!或Error!解得a ∈∅或1≤a ＜4或－<a <1，所以a 的取值范围为12.(－12，4)13．(2017·北京丰台期末)若f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )，其中a ≤b ≤c ，对于下列结论：①f (b )≤0；②若b ＝，则∀x ∈R ，f (x )≥f (b )；③若b ≤，则f (a )≤f (c )；④f (a )a ＋c 2a ＋c 2＝f (c )成立的充要条件为b ＝0.其中正确的是________．(请填写序号)答案　①②③解析　f (b )＝(b －a )(b －b )＋(b －b )(b －c )＋(b －c )·(b －a )＝(b －c )(b －a )，因为a ≤b ≤c ，所以f (b )≤0，①正确；将f (x )展开可得f (x )＝3x 2－2(a ＋b ＋c )x ＋ab ＋bc ＋ac ，又抛物线开口向上，故f (x )min ＝f .当b ＝时，＝b ，所以f (x )min ＝f (b )，②正确；(a ＋b ＋c 3)a ＋c 2a ＋b ＋c 3f (a )－f (c )＝(a －b )(a －c )－(c －a )·(c －b )＝(a －c )(a ＋c －2b )，因为a ≤b ≤c ，且2b ≤a ＋c ，所以f (a )≤f (c )，③正确；因为a ≤b ≤c ，所以当f (a )＝f (c )时，即(a －c )(a ＋c －2b )＝0，所以a ＝b ＝c 或a ＋c ＝2b ，故④不正确．14．对于实数a 和b ，定义运算“*”：a *b ＝Error!设f (x )＝(2x －1)*(x －1)，且关于x 的方程f (x )＝m (m ∈R )恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1x 2x 3的取值范围是________．答案　(1－316，0)解析　函数f (x )＝Error!的图象如图所示．设y ＝m 与y ＝f (x )图象交点的横坐标从小到大分别为x 1，x 2，x 3.由y ＝－x 2＋x ＝－2＋，得顶点坐标为.当y ＝时，(x －12)14(12，14)14代入y ＝2x 2－x ，得＝2x 2－x ，解得x ＝(舍去正值)，∴x 1∈141－34.(1－34，0)又∵y ＝－x 2＋x 图象的对称轴为x ＝，12∴x 2＋x 3＝1，又x 2，x 3>0，∴0<x 2x 3<2＝.(x 2＋x 32)14又∵0<－x 1<，∴0<－x 1x 2x 3<，3－143－116∴<x 1x 2x 3<0.1－316三、解答题15．(2018·中山月考)设二次函数f (x )＝ax 2＋bx (a ≠0)满足条件：①f (x )＝f (－2－x )；②函数f (x )的图象与直线y ＝x 相切．(1)求f (x )的解析式；(2)若不等式πf (x )>2－tx 在|t |≤2时恒成立，求实数x 的取值范(1π)围．解　(1)∵由①知f (x )＝ax 2＋bx (a ≠0)的对称轴方程是x ＝－1，∴b ＝2a .∵函数f (x )的图象与直线y ＝x 相切，∴方程组Error!有且只有一解，即ax 2＋(b －1)x ＝0有两个相等的实根．∴Δ＝(b －1)2＝0，∴b ＝1，∴2a ＝1，∴a ＝.12∴函数f (x )的解析式为f (x )＝x 2＋x .12(2)∵π>1，∴πf (x )>2－tx 等价于f (x )>tx －2.(1π)∵x 2＋x >tx －2在|t |≤2时恒成立等价于一次函数g (t )＝xt －12<0在|t |≤2时恒成立，(12x 2＋x ＋2)∴Error!即Error!解得x <－3－或x >－3＋.55∴实数x 的取值范围是(－∞，－3－)∪(－3＋，＋∞)．5516．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0，b ∈R ，c ∈R )．(1)若函数f (x )的最小值是f (－1)＝0，且c ＝1，F (x )＝Error!求F (2)＋F (－2)的值；(2)若a ＝1，c ＝0，且|f (x )|≤1在区间(0,1]上恒成立，试求b 的取值范围．解　(1)由已知c ＝1，a －b ＋c ＝0，且－＝－1，b2a 解得a ＝1，b ＝2，∴f (x )＝(x ＋1)2.∴F (x )＝Error!∴F (2)＋F (－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.(2)由a ＝1，c ＝0，得f (x )＝x 2＋bx ，从而|f (x )|≤1在区间(0,1]上恒成立等价于－1≤x 2＋bx ≤1在区间(0,1]上恒成立，即b ≤－x 且b ≥－－x 在(0,1]上恒成立．1x 1x 又－x 的最小值为0，－－x 的最大值为－2.1x 1x ∴－2≤b ≤0.故b 的取值范围是[－2,0]．。