2014春季高一 第6讲 常见不等式通用解法 教师版 尖子班

第 6 讲常有不等式通用解法满分晋级不等式 3级均值不等式三大难点打破不等式 2级常有不等式通用解法不等式 1级不等式初步新课标分析目前局势解不等式在近五年北京卷（理）考察要求层次5～10 分内容详细要求AB C高考含参不等式解法运用不等式的性质娴熟解决含参不等式以及恒建立√要求问题理解二次函数、二次方程与二次函数图象之间的关解不等式的其余方法√ 系，并会从函数的角度解决不等式问题，考虑单一性和图象法．北京2009 年2010 年（新课标）2012 年（新课标）2013 年（新课标）高考第1题5分解读第 13题 5分第 14题5分第8题5分第7题5分<教师存案> 不等式的解法是高考取的必考内容，因为教课要求的变化，考察要求有所降低，直接考察主要以选择题，填空题为主，题目小巧灵巧新奇；主要以导数解答题的形式出现，考察含参数不等式的解法．间接解法考察更多，常常与函数，导数，数列等内容联合，以求取值范围的设问方式体现，有必定的难度和综合性．知识切片寒假知识回首<教师存案 > 在寒假班的时候解不等式部分我们要点讲了变形后转变为一元二次不等式，已知解的结构从而办理系数问题．我们在这里简单回首一下．1、解不等式：① 2x2x60 ；22x10 ；② x③ 3 x 19 x 2 ；④ log243x x2log22x 1 1 ．【分析】① 不等式的解集为 3 ，．2② 不等式的解集为，1212 ，③x 0, log3 2 ．④ 不等式解集为1, 2．22、2ax b 0 的解集为 (1，4)，求 2a b 的值．已知对于 x 的不等式 x【分析】2a b14 ．3、当不等式2px3 ≤ 0恰巧只有一实数解时，实数p 的值为________．2 x【分析】 2 64、对于 x 的不等式 x2ax43的解集是非空会合m , 22, m ，则 am 的值等于 _____．23【分析】6.1 含参一元二次不等式考点 1：解含参不等式知识点睛对于含有参数的一元二次不等式，解法步骤总结以下：①第一应判断二次项系数能否为零，分别加以议论；②在二次项系数不为零的条件下，将二次项系数化为正的，议论对应的二次方程能否有根，即议论判别式的正负；③在有根的状况下进行因式分解或利用求根公式求出二次方程对应的根； ④比较两根的大小，分别获得参数的范围，写出解集．⑤最后将能够归并的归并，并按参数的范围分别写出解集．<教师存案 >含参数的一元二次不等式的解答是此后要学习的求导数的单一性的基础，在高考取是必考的，需要对参数进行各样分类议论，不重不漏，按照必定的原则，养成优秀的分类习惯．经典精讲【例1】 ⑴求对于 x 的不等式 x 2 ax 1 0 的解集． ⑵ 求对于 x 的不等式 x 2 ( a 2) x 2a 0 的解集．⑶求对于 x 的不等式 ax 22(a 1)x4 0 的解集．【分析】 ⑴ 不等式的解集为，aa 2 4 aa 2 4 ，．22 ⑵ 当 a2 时，不等式的解集为：，2 a ， ； 当 a 2 时，不等式的解集为： (，2) (2 ， ) ；当 a2 时，不等式的解集为：，a2 ，．⑶ 综上知：当 a0 时，不等式的解集为 ( ，2) ；当 a 0 时，不等式的解集为2，2 ；a当 0 a1 时，不等式的解集为 ( ，2)2 ， ；a当 a 1 时，不等式的解集为 ( ，2)(2 ， ) ；当 a 1 时，不等式的解集为，2(2 ， ) ．a考点 2：已知一元二次不等式解集求参数范围此类题型一般有两种办理方法：⑴ 由一元二次不等式的解集的形式考虑对应的二次函数的图象，把解集变换为二次函数的图象与 x 轴的交点问题，从而转变为对应的对于参数的不等式，从而解出参数的范围．⑵ 我们把含参数的不等式当作一个含有两个变量的不等式．若经过整理，能够将这个不等式中的两个变量分别调整到不等的两头，使之每一边仅含有一个变量，这个方法往常叫做分别参数．对于一个含参不等式，假如我们能够对它分别参数，那么我们无论知道哪一个变量的取值范围，去求另一个的范围都很简单了，因为我们要研究的都不过一个含有一个自变量的函数的值域问题．此类问题的一部分详细办理方式我们在本讲第三板块解说，全面的种类在高二导数部分和高三复习的时候会要点解说．经典精讲【例2】 ⑴已知 a 1 a 2a 3 0 ，则使得 (1 a i x)2 1 (i 1，2 ，3) 都建立的 x 取值范围是（ ）A ． 0，1B ． 0，2C ． 0，1D ． 0，2a 1a 1a 3a 322 0⑵x x的解集中的整数恰巧只有一个， 对于 x 的不等式组22k 5 x 5k2x则实数 k 的取值范围为 ________．【分析】 ⑴ B⑵3, 2 3, 4【铺垫】要使知足对于 x 的不等式2（解集非空） 的每一个 x 起码知足不等式22 x 9 xx 4x 3 0a 0和 x 26x 8 0 中的一个，则实数 a 的取值范围是．【分析】7，81；8【例 3】设不等式 x 22axa 2≤0 的解集为 M ，假如 M [1，4] ，务实数 a 的取值范围．【追问】若将此题改为：若[1，4]M ，求 a 的取值范围，【分析】 a 的取值范围是1，18．7【追问】 a 的取值范围为 [3, ) ．6.2 分式不等式、绝对值不等式与无理不等式考点 3：解分式不等式知识点睛1．对于含有分式的不等式解法思路：先将不等式整理为f x 0 或f x≥ 0 ，再化为整式不等式求解．g xg xf xf xg x0 ；g xf x≥ 0f xg x ≥ 0g xg x2．数轴标根法使用范围：对于能分解成一些一次因式的乘积或一次因式的商的不等式． 注意事项：每个一次因式中x 的系数都为正；对于高次因式先约去其次数．<教师存案 >分式不等式以及好多特别规不等式，主要思路一般都是将不等式转变为整式不等式，而后进行因式分解或由求根公式，利用标根法得出解集．需要注意的是，转变时要等价，比方分母不可以为 0，根下的式子要非负等等．标根法能够简单的举几个例子，比方求x 1 x 2 x 3 x 4 0 的解集．经典精讲【例4】 ⑴ 对于 x 的不等式 7 x 2≥ x 的解集为 ___________．x 4 2，则不等式 x ≥x2 x a的解集为 ________．⑵若 a1 0 x1⑶已知不等式 ax 2 bx c 0 的解集是 x |x ，此中 1 ，则不等式a ax 2 bx c 0 的解集是．cx2bx a【分析】 ⑴ 不等式的解集为, 4 1, 2 ．⑵， a (1， )⑶ 不等式的解集为x | x或1x 或 x 1 ．【备选】求对于 x 的不等式a(x1) 1(a 1) 的解集．x2【分析】 综上所述可知：当 a0 时，原不等式的解集为a2，2 ；a 1 当 a 0 时，原不等式的解集为 ；当 0 a 1 时，原不等式的解集为2 ，a2 ；a 1当 a 1 时，原不等式的解集为，a2 (2， )．a1考点 4：解绝对值不等式对于含有绝对值的不等式，解题的思想以下：1．化去绝对值符，转变为不含绝对值的不等式：① f x a a 0 a f x a ；② f x a a 0 f x a 或 f x a ；③ f x g x g x f x g x ；④ f x g x f x g x 或 f x g x ．2．结构绝对值函数，经过函数图象的地点关系转变，利用数形联合找到解集的形式，从而转变为方程去解出解集区间的端点．3．用零点分段去绝对值符来求解．此时需要注意：①区间端点处的值不可以遗漏；②在各个区间上解出的结果应与本区间求交集；③各区间上的解集并起来，才得原不等式的解集．<教师存案 >解含绝对值符的不等式，要点是去绝对值，能够分段议论，能够平方，也能够用图象来办理，或许用绝对值的几何意义，总之就是将含绝对值不等式等价转变，但尽量不要让问题复杂化．经典精讲【例5】⑴解以下不等式：① 1 x 1 x0 ；②x23x 4 x1；⑵若不等式 3x b 4 的解集中的整数有且仅有1，2，3 ，则b的取值范围为．⑶解对于 x 的不等式：x21ax ．【分析】⑴① 不等式的解集为x x1且 x1．②原不等式解集为3, 5．⑵(5 ，7)⑶综上所述：当 a0 时，原不等式解集为a a 2 4 ， a a 2 4 ；22当 a0 时，原不等式解集为；当 a0 时，原不等式解集为a a2 4 a a242,2．【备选】若不等式 x43x a 的解集是空集，务实数 a 的取值范围．【分析】 a ≤ 1．<教师存案 >对于形如x a x b m 或 x a x b m （m0 为常数）的不等式，利用实数绝对值的几何意义，数形联合求解较简易．考点 5：解无理不等式无理不等式常常需要转变为有理不等式组进行求解．常有种类及解法以下：f xg g x0g x≥ 0⑴xx 或f x2；f≥ 0g xf x≥ 0⑵f x g xg x0．f xg x2<教师存案 >要点是将无理不等式等价转变，需要注意的是根下的式子要非负．经典精讲【例6】⑴解不等式x2 2 x3x 2；⑵解不等式2x1x 2 ；⑶解不等式a2x2x a a R ．【分析】⑴ 不等式的解集为1,．⑵不等式解集为1．, 52⑶综上所述，当 a0 时，原不等式解集为 a , 0 ；当 a0时，原不等式解集为；当 a0时，原不等式解集为 a , a ．6.3 恒建立问题<教师存案 >解决含有参数的不等式恒建立问题，一般都能够转变为一元二次不等式有关的问题，其处理方法大概有两种：①整体分析法：将不等式问题转变为含参的一元二次函数的零点散布问题，再利用根的鉴别式或数形结合的思想，获得有关不等式，使问题获得解决；②参数分别法：将参数分别出来，将恒建立问题转变为求函数最大值或最小值的问题．一般参数简单分别时，第②个方法比较简单；当参数不简单分别或分别后获得的函数太复杂时，再考虑用整体分析法，经过数形联合与分类议论获得结果．还有一种不是很常用的方法，不等式含有两个变量时，能够灵巧的将代数式当作此中任一个变量的函数，复杂程度常常有很大的差别．经典精讲【例7】 ⑴ 已知 ax 2ax 1≥ 0 在 R 上恒建立，则实数 a 的取值范围是． ⑵ 若不等式 2ax 1≥ 0 对于全部 x0， 1 恒建立，则 a 的最小值是（ ）x 2A ． 0B ． 2C ． 5 3D ．2【追问】若当 x 3, 2 时恒建立，则 a 的取值范围为 ___________． ⑶若 a 1，3 ，使得不等式 ax 2(a2)x 2 0 恒建立，则实数 x 的取值范围是 _________．【分析】 ⑴ 0 ≤ a ≤ 4⑵ C【追问】 a ≤ 5．2 ⑶ x 2 或 x 1【挑战 8 分钟】① 已知 x 22ax a 0 在 2 ， 1 上恒建立，务实数 a 的取值范围． ② 若 x， 1 ， 1 3x a a 2 9 x 0 恒建立，务实数 a 的取值范围．【分析】 ① 解得 a ≤4 ．3②3 a4 ．【备选】 已知二次函数 f ( x) ax 2x ，假如 x [0, 1] 时 | f ( x) |≤ 1 ，务实数 a 的取值范围．【分析】 2≤ a 0 ．【评论】 x [0, 1] 时， f ( x) ≤ 1f ( x)max ≤ 1 且 f ( x) min ≤ 1 ．f ( x) maxmax f (0) ， f (1) ，于是有 f (0) ≤ 1 且 f (1) ≤ 1 ，解得 2 ≤ a ≤ 0 ；f ( x) min 需要议论对称轴 x1能否在区间 [0 ，1] 上，获得一些不等式，解得结果．2a这是一种整体考虑的思想，分析中是参数分别的思想．设函数 f ( x)x 21 ，对随意 x3 ， ， fx 4m 2 f (x) ≤ f ( x 1) 4 f (m) 恒建立，则2m实数 m 的取值范围是．【分析】，3 3 ， ．22实战操练【操练 1】已知会合 Mx x1 ≤2 ，x R， Px 5 ≥ 1，x Z ，则 M ∩P 等于（）x 1A ． x 0 x ≤ 3 ，x ZB ． x 0 ≤ x ≤ 3，x ZC ． x 1≤ x ≤ 0，x ZD ． x 1 ≤ x 0 ，x Z【分析】 B【操练 2】在 R 上定义运算：x y x(1 y) ．若不等式 (xa ) ( x a ) 1 对随意实数 x 建立，则（ ） A ． 1 a 1B ． 0 a 2C ．1 3 D ． 3 a 12a2 22【分析】 C【操练 3】当 x1，2 时，不等式 x 2mx4 0 恒建立，则 m 的取值范围是．【分析】 m ≤ 5【操练 4】设 m222mx3 0 的解集．R ，求对于 x 的不等式 m x【分析】 ∴ 当 m0 时，原不等式的解集为R ；当 m 0 时，原不等式的解集为3 ， 1 ；m m当 m 0 时，原不等式的解集为1 ， 3 ．m m2【操练 5】（ 2010 山东省聊城一中高三模拟）已知对于x 的不等式 2 x2kx k 1的解集为 R ，4x 26 x 3而对于 x 的不等式 kx 2(k2) x k ≤ 0 的解集为，务实数 k 的取值范围．【分析】 k 的取值范围为 1k 3．大千世界（全国高中数学联赛江苏赛区初赛 13）若不等式xy ≤ k 2xy 对于随意正实数 x ， y 建立，求 k 的取值范围．【分析】 明显 k0 ．2(2 k 2( k 2∴ x y≤ k 2(2 x y)1)x 2 xy 1) y ≥ 0 对于 x ， y 0恒建立．令 tx 0 ，则得 f ( t) (2 k 2 1)t 2 2t (k 2 1) ≥ 0 对全部 t0 恒建立．y当 2k 21≤ 0 时，不等式不行能恒建立，故2 k 20 ．1此时当t1 时， f (t ) 获得最小值 1 2k 2 1 2k 4 3k 2 k 2 (2k 2 3) ．2k 2 12k 2 1 2k 2 1 2k 2 1 2k 2 1当 2k 2 1 0 且 2k 2 3≥ 0 ，即 k ≥6时，最小值大于等于零，不等式恒建立，2且当 k23时，即 t1， 4 x y 0 时，等建立．22∴ k 6 ，．2。

【创优导学案】2014届高考数学总复习 第六章 不等式 6-1课后巩固提升（含解析）新人教A 版(对应学生用书P 309 解析为教师用书独有)(时间：45分钟 满分：100分)一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分)1．(2013·太原质检)若1a <1b <0，则下列不等式①a ＋b <ab ，②|a |>|b |，③a <b ，④b a ＋ab>2中，正确的不等式有( )A ．①② B.②③ C ．①④D.③④解析 C 用特值法，令a ＝－2，b ＝－3，可知①④正确．2．已知a ，b ，c ，d 均为实数，且c >d ，则“a >b ”是“a －c >b －d ”的 ( ) A ．充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C ．充要条件D.既不充分也不必要条件解析 B 显然，充分性不成立．若a －c >b －d 和c >d 都成立，则同向不等式相加得a >b ，即由“a －c >b －d ”⇒“a >b ”．故选B.3．已知a <0，－1<b <0，那么下列不等式成立的是 ( )A ．a >ab >ab 2B.ab 2>ab >a C ．ab >a >ab 2D.ab >ab 2>a解析 D 由－1<b <0，可得b <b 2<1.又a <0，∴ab >ab 2>a . 4．若x ＋y >0，a <0，ay >0，则x －y 的值为( )A ．大于0 B.等于0 C ．小于0D.符号不能确定解析 A 方法一：因为a <0，ay >0，所以y <0， 又x ＋y >0，所以x >0，所以x －y >0.方法二：a <0，ay >0，取a ＝－2，得－2y >0，又x ＋y >0，两式相加得x －y >0. 5．下列命题中，真命题有( )①若a >b >0，则1a 2<1b2；②若a >b ，则c －2a <c －2b ； ③若a >b ，e >f ，则f －ac <e －bc ； ④若a >b ，则1a <1b.A ．1个 B.2个C ．3个 D.4个解析 B ①a >b >0⇒0<1a <1b ⇒1a 2<1b2，正确；②a >b ⇒－2a <－2b ⇒c －2a <c －2b ，正确；③当c <0时，不正确；④当b ＝0时，不正确．故选B.6．已知三个不等式：①ab >0，②bc >ad ；③c a >d b.以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可以组成正确命题的个数是( )A ．0 B.1 C ．2D.3解析 D 命题1：若ab >0，c a >d b，则bc >ad ，正确； 命题2：若ab >0，bc >ad ，则c a >d b，正确； 命题3：若c a >d b，bc >ad ，则ab >0，正确．二、填空题(本大题共3小题，每小题8分，共24分)7．已知M ＝2(a 2＋b 2)，N ＝2a －4b ＋2ab －7且a ，b ∈R ，则M ，N 的大小关系为________． 解析 ∵M －N ＝2(a 2＋b 2)－(2a －4b ＋2ab －7) ＝(a －1)2＋(b ＋2)2＋(a －b )2＋2>0， ∴M >N . 【答案】 M >N8．若角α、β满足－π2<α<β<π，则α－β的取值范围是________．解析 由－π2<α<β<π，得－π<－β<－α<π2，∴－3π2<α－β<0.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，0 9．下列四个不等式：①a <0<b ；②b <a <0；③b <0<a ；④0<b <a ，其中能使1a <1b成立的充分条件有________(填序号)．解析 1a <1b ⇔b －a ab<0⇔b －a 与ab 异号，因此①②④能使b －a 与ab 异号．【答案】 ①②④三、解答题(本大题共3小题，共40分)10．(12分)(2013·西安模拟)设实数a ，b ，c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，判断a ，b ，c 的大小关系．解析 由⎩⎪⎨⎪⎧b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝a 2＋1，c ＝2a 2－4a ＋5.∵b －a ＝a 2＋1－a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋34>0，∴b >a .又∵c －b ＝(a －2)2≥0，∴c ≥b ，∴a <b ≤c . 11．(12分)若a >b >0，c <d <0，e <0，求证：e a －c2>e b －d2.解析 ∵c <d <0，∴－c >－d >0. 又∵a >b >0，∴a －c >b －d >0. ∴(a －c )2>(b －d )2>0. ∴0<1a －c2<1b －d2.又∵e <0，∴e a －c2>e b －d2.12．(16分)已知f (x )＝ax 2－c 且－4≤f (1)≤－1，－1≤f (2)≤5，求f (3)的取值范围．解析 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a －c ＝f 1，4a －c ＝f 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13[f 2－f 1]，c ＝－43f1＋13f2.所以f (3)＝9a －c ＝－53f (1)＋83f (2)．因为－4≤f (1)≤－1， 所以53≤－53f (1)≤203，①因为－1≤f (2)≤5， 所以－83≤83f (2)≤403.②①②两式相加，得－1≤f (3)≤20， 故f (3)的取值范围是[－1,20]．。

第六章不等式第1课时一元二次不等式及其解法(对应学生用书(文)、(理)84～86页)考情分析考点新知掌握一元二次不等式解法，理解一元二次不等式、一元二次方程、二次函数之间关系并能灵活运用．①会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；②通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系；③会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解程序框图.1. (必修5P69习题2(2)改编)不等式3x2－x－4≤0的解集是__________.答案：⎣⎡⎦⎤－1，43解析：由3x2－x－4≤0，得(3x－4)(x＋1)≤0，解得－1≤x≤43.2. (必修5P71习题1(3)改编)不等式x2＋x－6≤0的解集为________．答案：[－3，2]解析：由x2＋x－6≤0，得－3≤x≤2.3. (必修5P71习题7(4)改编)不等式1－2xx＋1>0的解集是________．答案：⎝⎛⎭⎫－1，12解析：不等式1－2xx＋1>0等价于(1－2x)(x＋1)>0，也就是⎝⎛⎭⎫x－12(x＋1)<0，所以－1<x<12.4. (必修5P 71习题5(2)改编)已知不等式x 2－2x ＋k 2－3>0对一切实数x 恒成立，则实数k 的取值范围是________．答案：k>2或k<－2解析：由Δ＝4－4(k 2－3)<0，知k>2或k<－2.5. (必修5P 71习题6改编)不等式ax 2＋bx ＋2＞0的解集是⎝⎛⎭⎫－12，13，则a －b ＝________． 答案：－10解析：由题意可知，－12和13是方程ax 2＋bx ＋2＝0的两个实根，则⎩⎨⎧－12＋13＝－b a，⎝⎛⎭⎫－12·13＝2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12b ＝－2，所以a －b ＝－10.1. 一元二次不等式的解法在二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)中，令y ＝0，得到一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)．若将等号“＝”改为不等号“＞”或“＜”，便得到一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(或＜0)．因此，可以通过y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)图象与x 轴的交点求得一元二次不等式的解，具体如下表：二次函数一元二次方程 一元二次不等式 一 般 式y ＝ax 2＋bx ＋c(a>0)Δ＝b 2－4acax 2＋bx ＋c ＝0(a ＞0)ax 2＋bx ＋c ＞0(a ＞0)ax 2＋bx ＋c ＜0(a ＞0)图 象 与 解Δ>0x ＝x 1，x ＝x 2x<x 1或x>x 2 x 1< x<x 2Δ＝0 x ＝x 0＝－b2ax ≠－b 2aÆΔ<0 无解RÆ2. 用一个流程图来描述一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的求解的算法过程：[备课札记]题型1 一元二次不等式的解法例1 已知a ＞0，解关于x 的不等式x 2－⎝⎛⎭⎫a ＋1a x ＋1＜0. 解：原不等式可化为(x －a)⎝⎛⎭⎫x －1a ＜0.由a －1a ＝（a ＋1）（a －1）a ，得①当0＜a ＜1时，a ＜1a ，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪a<x<1a ；②当a ＞1时，a ＞1a ，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1a <x<a ；③当a ＝1时，a ＝1a ，(x －1)2＜0的解集为．变式训练已知关于x 的不等式：（a ＋1）x －3x －1<1.(1) 当a ＝1时，解该不等式； (2) 当a>0时，解该不等式．解：(1) 当a ＝1时，不等式化为2x －3x －1<1，化为x －2x －1<0，∴ 1<x<2，解集为{x|1<x<2}．(2) a>0时，由（a ＋1）x －3x －1 <1得ax －2x －1<0，(ax －2)(x －1)<0，方程(ax －2)(x －1)＝0的两根x 1＝2a ，x 2＝1.①当2a ＝1即a ＝2时，解集为；②当2a >1即0<a<2时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|1<x<2a ；③当2a <1即a>2时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|2a <x<1.题型2 由二次不等式的解求参数的值或范围例2 已知不等式(2＋x)(3－x)≥0的解集为A ，函数f(x)＝kx 2＋4x ＋k ＋3(k<0)的定义域为B.(1) 求集合A ；(2) 若集合B 中仅有一个元素，试求实数k 的值； (3) 若B A ，试求实数k 的取值范围．解：(1) 由(2＋x)(3－x)≥0，得(2＋x)(x －3)≤0， 解得－2≤x ≤3，故A ＝[－2，3]．(2) 记g(x)＝kx 2＋4x ＋k ＋3，则g(x)≥0在R 上有且仅有一解，而k<0，所以Δ＝0. 由k<0与16－4k(k ＋3)＝0，解得k ＝－4.(3) 记g(x)＝kx 2＋4x ＋k ＋3，首先g(x)≥0在R 上有解，而k<0，所以Δ＝16－4k(k ＋3)≥0, 解之得－4≤k<0.①设g(x)＝0的两个根为x 1，x 2(x 1<x 2)，则B ＝[x 1，x 2]．由B A ，得⎩⎪⎨⎪⎧g （－2）≤0，g （3）≤0，－2<－2k <3，即⎩⎪⎨⎪⎧5k －5≤0，10k ＋15≤0，－2<－2k<3，②由①与②，解得－4≤k ≤－32.备选变式（教师专享）已知f(x)＝－3x 2＋a(6－a)x ＋b. (1) 解关于a 的不等式f(1)>0；(2) 当不等式f(x)>0的解集为(－1，3)时，求实数a 、b 的值． 解：(1) f(1)＝ －3＋a(6－a)＋b ＝ －a 2＋6a ＋b －3， ∵ f(1)>0，∴ a 2－6a ＋3－b<0. ∵Δ＝24＋4b ， 当b ≤－6时，Δ≤0， ∴此时f(1)>0的解集为； 当b>－6时，3－b ＋6<a<3＋b ＋6.∴ f(1)>0的解集为{a|3－b －6<a<3＋b ＋6.(2) ∵不等式－3x 2＋a(6－a)x ＋b>0的解集为(－1，3)， ∴f(x)>0与不等式(x ＋1)(x －3)<0同解． ∵3x 2－a(6－a)x －b<0解集为(－1，3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧2＝a （6－a ）3，3＝b 3， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3±3，b ＝9.题型3 三个二次之间的关系例3 已知不等式x 2－2x －3<0的解集为A ，不等式x 2＋x －6<0的解集是B ，不等式x 2＋ax ＋b<0的解集是A ∩B ，那么a ＋b ＝________．答案：－3解析：由题意：A ＝{x|－1<x<3}，B ＝{x|－3<x<2}，A ∩B ＝{x|－1<x<2}，由根与系数的关系可知：a ＝－1，b ＝－2，∴ a ＋b ＝－3.备选变式（教师专享）关于x 的不等式x 2－ax －20a 2<0任意两个解的差不超过9，则a 的最大值与最小值的和是________．答案：0解析：方程x 2－ax －20a 2＝0的两根是x 1＝－4a ，x 2＝5a ，则由关于x 的不等式x 2－ax －20a 2<0任意两个解的差不超过9，得|x 1－x 2|＝|9a|≤9，即－1≤a ≤1，且a ≠0，故填0.题型4 一元二次不等式的应用例4 要在墙上开一个上半部为半圆形、下部为矩形的窗户(如图所示)，在窗框为定长的条件下，要使窗户能够透过最多的光线，窗户应设计成怎样的尺寸？解： 设半圆直径为2R, 矩形的高为a ， 则2a ＋2R ＋πR ＝L(定值)，S ＝2Ra ＋12πR 2＝－⎝⎛⎭⎫12π＋2R 2＋LR ， 当R ＝L π＋4时S 最大，此时Ra ＝1，即半圆直径与矩形的高的比为2∶1时，窗户能够透过最多的光线．备选变式（教师专享）某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x(百台)，总成本为G(x)(万元)，其中固定成本为2万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元(总成本＝固定成本＋生产成本)；销售收入R(x)(万元)满足：R(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.4x 2＋4.2x －0.8，0≤x ≤5，10.2，x>5，假定该产品产销平衡，那么根据上述统计规律求下列问题． (1) 要使工厂有赢利，产量x 应控制在什么范围内？(2) 工厂生产多少台产品时，可使赢利最多？ 解：依题意，G(x)＝x ＋2，设利润函数为f(x)，则f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.4x 2＋3.2x －2.8，0≤x ≤5，8.2－x ，x>5.(1) 要使工厂有赢利，即解不等式f(x)>0， 当0≤x ≤5时，解不等式－0.4x 2＋3.2x －2.8>0， 即x 2－8x ＋7<0，得1<x<7， ∴1<x ≤5.当x>5时，解不等式8.2－x>0，得 x<8.2， ∴5<x<8.2.综上所述，要使工厂赢利，x 应满足1<x<8.2，即产品产量应控制在大于100台，小于820台的范围内．(2)0≤x ≤5时，f(x)＝－0.4(x －4)2＋3.6， 故当x ＝4时，f(x)有最大值3.6； 而当x>5时，f(x)<8.2－5＝3.2.所以，当工厂生产400台产品时，赢利最多．1. (2013·安徽)已知一元二次不等式f(x)<0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x<－1或x>12，则f(10x )>0的解集为______．答案：{x|x<－lg2}解析：由条件得－1<10x <12，即x<－lg2.2. (2013·四川)已知f(x)是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，f(x)＝x 2－4x ，那么不等式f(x ＋2)<5的解集是________．答案：(－7，3)解析：解f(x)＝x 2－4x<5(x ≥0)，得0≤x<5.由f(x)是定义域为R 的偶函数得不等式f(x)<5的解集是(－5，5)，所以不等式f(x ＋2)<5转化为－5<x ＋2<5，故所求的解集是(－7，3)．3. (2013·重庆)关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a>0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a ＝________．答案：52解析：x 2－x 1＝4a －(－2a)＝6a ＝15.4. (2013·上海)甲厂以x 千克/小时的速度运输生产某种产品(生产条件要求1≤x ≤10)，每小时可获得利润是100(5x ＋1－3x)元．(1) 要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，求x 的取值范围；(2) 要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润．解：(1) 根据题意，200⎝⎛⎭⎫5x ＋1－3x ≥3 0005x －14－3x≥0.又1≤x ≤10，可解得3≤x ≤10.(2) 设利润为y 元，则y ＝900x ·100⎝⎛⎭⎫5x ＋1－3x ＝9×104⎣⎡⎦⎤－3⎝⎛1x －162＋6112，故x ＝6时，y max ＝457 500元．1. 解关于x 的不等式(1－ax)2<1.解：由(1－ax)2<1得a 2x 2－2ax ＋1<1，即ax(ax －2)<0. ① 当a ＝0时，不等式转化为0<0，故x 无解．② 当a<0时，不等式转化为x(ax －2)>0，即x ⎝⎛⎭⎫x －2a <0.∵ 2a<0，∴ 不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2a <x<0. ③ 当a>0时，原不等式转化为x(ax －2)<0，又2a >0，即原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪0<x<2a .综上所述，当a ＝0时，原不等式解集为；当a<0时，原不等式解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2a<x<0； 当a>0时，原不等式解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪0<x<2a . 2. 函数f(x)＝x 2＋ax ＋3.(1) 当x ∈R 时，f(x)≥a 恒成立，求a 的取值范围；(2) 当x ∈[－2，2]时，f(x)≥a 恒成立，求a 的取值范围． 解：(1) ∵ x ∈R ，f(x)≥a 恒成立， ∴ x 2＋ax ＋3－a ≥0恒成立， 则Δ＝a 2－4(3－a)≤0，得－6≤a ≤2.∴ 当x ∈R 时，f(x)≥a 恒成立，则a 的取值范围为[－6，2]． (2) f(x)＝⎝⎛⎭⎫x ＋a 22＋3－a 24. 讨论对称轴与[－2，2]的位置关系，得到a 的取值满足下列条件： ⎩⎪⎨⎪⎧－a 2≤－2，f （－2）≥a 或⎩⎨⎧－2＜－a2＜2，3－a 24≥a 或⎩⎪⎨⎪⎧－a 2≥2，f （2）≥a ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≥4，7－2a ≥a 或⎩⎪⎨⎪⎧－4＜a ＜4，a 2＋4a －12≤0或⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－4，7＋2a ≥a.解得－7≤a ≤2.∴ 当x ∈[－2，2]时，f(x)≥a 恒成立，则a 的取值范围为[－7，2]． 3. 某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备采用提高售价，减少进货量的办法来增加利润，已知这种商品每件销售价提高1元，销售量就要减少10件，问该商场将销售价每件定为多少元时，才能使得每天所赚的利润最多？销售价每件定为多少元时，才能保证每天所赚的利润在300元以上？解：设每件提高x 元(0≤x ≤10)，即每件获利润(2＋x)元，每天可销售(100－10x)件，设每天获得总利润为y 元，由题意有y ＝(2＋x)(100－10x)＝－10x 2＋80x ＋200＝－10(x －4)2＋360.所以当x ＝4时，y max ＝360元，即当定价为每件14元时，每天所赚利润最多．要使每天利润在300元以上，则有－10x 2＋80x ＋200＞300，即x 2－8x ＋10＜0，解得4－6＜x ＜4＋ 6.故每件定价在(14－6)元到(14＋6)元之间时，能确保每天赚300元以上．4. 设关于x 的不等式mx 2－2x －m ＋1＜0对于满足|m|≤2的一切m 都成立，则x 的取值范围是________．答案：7－12<x<3＋12解析：以m 为主体变元构造函数f(m)＝(x 2－1)m －(2x －1)，问题转化为求x 的范围，使f(x)在[－2，2]上恒为负值．故有⎩⎪⎨⎪⎧f （－2）＜0，f （2）＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧－2x 2－2x ＋3＜0，2x 2－2x －1＜0， 解得7－12＜x ＜3＋12. 1. 一元二次不等式ax 2＋bx ＋c>0，ax 2＋bx ＋c<0的解就是使二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c的函数值大于0或小于0时x 的范围，应充分和二次函数图象结合去理解一元二次不等式的解集表．2. 解带参数的不等式(x －a)(x －b)>0，应讨论a 与b 的大小再确定不等式的解，解一元二次不等式的一般过程是：一看(看二次项系数的符号)，二算(计算判别式，判断方程的根的情况)，三写(写出不等式的解集)3. 应注意讨论ax 2＋bx ＋c>0的二次项系数a 是否为0.4. 要注意体会数形结合与分类讨论的数学思想．分类讨论要做到“不重”、“不漏”、“最简”的三原则．请使用课时训练（A ）第1课时（见活页）.。

几种常见解不等式的解法 重难点归纳解不等式对学生的运算化简等价转化能力有较高的要求，随着高考命题原则向能力立意的进一步转化，对解不等式的考查将会更是热点，解不等式需要注意下面几个问题(1)熟练掌握一元一次不等式(组)、一元二次不等式(组)的解法(2)掌握用零点分段法解高次不等式和分式不等式，特别要注意因式的处理方法(3)掌握无理不等式的三种类型的等价形式，指数和对数不等式的几种基本类型的解法(4)掌握含绝对值不等式的几种基本类型的解法(5)在解不等式的过程中，要充分运用自己的分析能力，把原不等式等价地转化为易解的不等式(6)对于含字母的不等式，要能按照正确的分类标准，进行分类讨论 典型题例示范讲解例1已知f (x )是定义在［－1，1］上的奇函数，且f (1)=1，若m 、n ∈［－1，1］，m +n ≠0时nm n f m f ++)()(＞0(1)用定义证明f (x )在［－1，1］上是增函数； (2)解不等式 f (x +21)＜f (11-x )；(3)若f (x )≤t 2－2at +1对所有x ∈［－1，1］，a ∈［－1，1］恒成立，求实数t 的取值范围命题意图 本题是一道函数与不等式相结合的题目，考查学生的分析能力与化归能力知识依托 本题主要涉及函数的单调性与奇偶性，而单调性贯穿始终，把所求问题分解转化，是函数中的热点问题；问题的要求的都是变量的取值范围，不等式的思想起到了关键作用错解分析 (2)问中利用单调性转化为不等式时，x +21∈［－1，1］，11-x ∈［－1，1］必不可少，这恰好是容易忽略的地方技巧与方法 (1)问单调性的证明，利用奇偶性灵活变通使用已知条件不等式是关键，(3)问利用单调性把f (x )转化成“1”是点睛之笔(1)证明 任取x 1＜x 2，且x 1，x 2∈［－1，1］，则f (x 1)－f (x 2)=f (x 1)+f (－x 2)=2121)()(x x x f x f --+·(x 1－x 2)∵－1≤x 1＜x 2≤1， ∴x 1+(－x 2)≠0，由已知2121)()(x x x f x f --+＞0，又 x 1－x 2＜0，∴f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x )在［－1，1］上为增函数(2)解 ∵f (x )在［－1，1］上为增函数，∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-<+≤-≤-≤+≤-112111111211x x x x 解得 {x |－23≤x ＜－1，x ∈R }(3)解 由(1)可知f (x )在［－1，1］上为增函数，且f (1)=1，故对x ∈［－1，1］，恒有f (x )≤1，所以要f (x )≤t 2－2at +1对所有x ∈［－1，1］，a ∈［－1，1］恒成立，即要t 2－2at +1≥1成立，故t 2－2at ≥0，记g (a )=t 2－2at ，对a ∈［－1，1］，g (a )≥0，只需g (a )在［－1，1］上的最小值大于等于0，g (－1)≥0，g (1)≥0，解得，t ≤－2或t =0或t ≥2∴t 的取值范围是 {t |t ≤－2或t =0或t ≥2}例2设不等式x 2－2ax +a +2≤0的解集为M ，如果M ⊆［1，4］，求实数a 的取值范围命题意图 考查二次不等式的解与系数的关系及集合与集合之间的关系知识依托 本题主要涉及一元二次不等式根与系数的关系及集合与集合之间的关系，以及分类讨论的数学思想错解分析 M =∅是符合题设条件的情况之一，出发点是集合之间的关系考虑是否全面，易遗漏；构造关于a 的不等式要全面、合理，易出错技巧与方法 该题实质上是二次函数的区间根问题，充分考虑二次方程、二次不等式、二次函数之间的内在联系是关键所在；数形结合的思想使题目更加明朗解 M ⊆［1，4］有两种情况 其一是M =∅，此时Δ＜0；其二是M ≠∅，此时Δ=0或Δ＞0，分三种情况计算a 的取值范围设f (x )=x 2 －2ax +a +2，有Δ=(－2a )2－(4a +2)=4(a 2－a －2) (1)当Δ＜0时，－1＜a ＜2，M =∅Ø［1，4］(2)当Δ=0时，a =－1或2当a =－1时M ={－1}⊄［1，4］；当a =2时，m ={2}Ø［1，4］(3)当Δ＞0时，a ＜－1或a ＞2设方程f (x )=0的两根x 1，x 2，且x 1＜x 2，那么M =［x 1，x 2］，M ⊆［1，4］⇔1≤x 1＜x 2≤4⎩⎨⎧>∆≤≤>>⇔0,410)4(,0)1(且且a f f即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-<>>->+-210071803a a a a a 或，解得 2＜a ＜718，∴M ⊆［1，4］时，a 的取值范围是(－1，718)例3解关于x 的不等式2)1(--x x a ＞1(a ≠1)解 原不等式可化为2)2()1(--+-x a x a ＞0，①当a ＞1时，原不等式与(x －12--a a )(x －2)＞0同解由于2111211a a a -=-<<--∴原不等式的解为(－∞，12--a a )∪(2，+∞)②当a ＜1时，原不等式与(x －12--a a )(x －2) ＜0同解由于21111a a a -=---,若a ＜0，211211a a a -=-<--,解集为(12--a a ，2)；若a =0时，211211a a a -=-=--，解集为∅； 若0＜a ＜1，211211a a a -=->--,解集为(2，12--a a )综上所述 当a ＞1时解集为(－∞，12--a a )∪(2，+∞)；当0＜a ＜1时，解集为(2，12--a a )；当a =0时，解集为∅；当a ＜0时，解集为(12--a a ，2）学生巩固练习1 设函数f (x )=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-<<-+-≤+)1(11)11(22)1()1(2x xx x x x ，已知f (a )＞1，则a 的取值范围是( )A (－∞，－2)∪(－21，+∞) B (－21，21)C (－∞，－2)∪(－21，1)D (－2，－21)∪(1，+∞)2 已知f (x )、g (x )都是奇函数，f (x )＞0的解集是(a 2，b )，g (x )＞0的解集是(22a，2b )，则f (x )·g (x )＞0的解集是__________3 已知关于x 的方程sin 2x +2cos x +a =0有解，则a 的取值范围是_______4 已知适合不等式|x 2－4x +p |+|x －3|≤5的x 的最大值为3(1)求p 的值； (2)若f (x )=11+-xx pp ，解关于x 的不等式f-－1(x )＞kxp+1log(k ∈R +)5 设f (x )=ax 2+bx +c ，若f (1)=27，问是否存在a 、b 、c ∈R ，使得不等式 x 2+21≤f (x )≤2x 2+2x +23对一切实数x 都成立，证明你的结论6 已知函数f (x )=x 2+px +q ，对于任意θ∈R ，有f (sin θ)≤0，且f (sin θ+2)≥2 (1)求p 、q 之间的关系式； (2)求p 的取值范围；(3)如果f (sin θ+2)的最大值是14，求p 的值 并求此时f (sin θ)的最小值7 解不等式log a (x －x1)＞18 设函数f (x )=a x满足条件 当x ∈(－∞，0)时，f (x )＞1；当x ∈(0，1]时，不等式f (3mx－1)＞f (1+mx －x 2)＞f (m +2)恒成立，求实数m 的取值范围参考答案1 解析 由f (x )及f (a )＞1可得⎩⎨⎧>+-≤1)1(12a a ① 或⎩⎨⎧>+<<-12211a a ② 或⎪⎩⎪⎨⎧>-≥1111aa ③ 解①得a ＜－2，解②得－21＜a ＜1，解③得x ∈∅∴a 的取值范围是(－∞，－2)∪(－21，1）答案 C2 解析 由已知b ＞a 2∵f (x )，g (x )均为奇函数，∴f (x )＜0的解集是(－b ，－a 2)，g (x )＜0的解集是(－2,22ab -)由f (x )·g (x )＞0可得⎪⎩⎪⎨⎧-<<--<<-⎪⎩⎪⎨⎧<<<<⎩⎨⎧<<⎩⎨⎧>>2222,0)(0)(0)(0)(2222ax b a x b b x a b x a x g x f x g x f 或即或 ∴x ∈(a 2，2b )∪(－2b ，－a 2)答案 (a 2，2b )∪(－2b ，－a 2)3 解析 原方程可化为cos 2x －2cos x －a －1=0，令t =cos x ，得t 2－2t －a －1=0，原问题转化为方程t 2－2t －a －1=0在［－1，1］上至少有一个实根令f (t )=t 2－2t －a －1，对称轴t =1， 画图象分析可得⎩⎨⎧≤≥-0)1(0)1(f f 解得a ∈［－2，2］答案 ［－2，2］4 解 (1)∵适合不等式|x 2－4x +p |+|x －3|≤5的x 的最大值为3， ∴x －3≤0，∴|x －3|=3－x若|x 2－4x +p |=－x 2+4x －p ，则原不等式为x 2－3x +p +2≥0，其解集不可能为{x |x ≤3}的子集，∴|x 2－4x +p |=x 2－4x +p∴原不等式为x 2－4x +p +3－x ≤0，即x 2－5x +p －2≤0， 令x 2－5x +p －2=(x －3)(x －m )，可得m =2，p =8(2)f (x )=1818+-xx，∴f -－1(x )=log 8xx -+11 (－1＜x ＜1)，∴有log 8xx -+11＞log 8kx +1，∴log 8(1－x )＜log 8k ，∴1－x ＜k ，∴x ＞1－k∵－1＜x ＜1，k ∈R +，∴当0＜k ＜2时，原不等式解集为{x |1－k ＜x ＜1}；当k ≥2时，原不等式的解集为{x |－1＜x ＜1}5 解 由f (1)=27得a +b +c =27，令x 2+21=2x 2+2x +23x ⇒=－1，由f (x )≤2x 2+2x +23推得f (－1)由f (x )≥x 2+21推得f (－1)≥23，∴f (－1)=23，∴a －b +c =23，故2(a +c )=5，a +c =25且b =1，∴f (x )=ax 2+x +(25－a )依题意 ax 2+x +(25－a )≥x 2+21对一切x ∈R 成立，∴a ≠1且Δ=1－4(a －1)(2－a )≤0，得(2a －3)2≤0， ∴f (x )=23x 2+x +1易验证23x 2+x +1≤2x 2+2x +23对x ∈R 都成立∴存在实数a =23，b =1，c =1，使得不等式 x 2+21≤f (x )≤2x 2+2x +23对一切x ∈R 都成立6 解 (1)∵－1≤sin θ≤1，1≤sin θ+2≤3，即当x ∈［－1，1］时，f (x )≤0，当x ∈［1，3］时，f (x )≥0，∴当x =1时f (x )=0 ∴1+p +q =0，∴q =－(1+p ) (2)f (x )=x 2+px －(1+p )，当sin θ=－1时f (－1)≤0，∴1－p －1－p ≤0，∴p ≥0 (3)注意到f (x )在［1，3］上递增，∴x =3时f (x )有最大值即9+3p +q =14，9+3p －1－p =14，∴p =3此时，f (x )=x 2+3x －4，即求x ∈［－1，1］时f (x )的最小值又f (x )=(x +23)2－425，显然此函数在［－1，1］上递增∴当x =－1时f (x )有最小值f (－1)=1－3－4=－67 解 (1)当a ＞1时，原不等式等价于不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>->-axx 11011由此得1－a 因为1－a ＜0，所以x ＜0，∴a-11＜x ＜0(2)当0＜a ＜1时，原不等式等价于不等式组 110 11 x a x⎧-> ⎪⎪⎨⎪-<⎪⎩①②由 ①得x ＞1或x ＜0，由②得0 ＜x ＜a -11，∴1＜x综上，当a ＞1时，不等式的解集是{x |a-11＜x ＜0}，当0＜a ＜1时，不等式的解集为{x |1＜x ＜a-11}8 解 由已知得0＜a ＜1，由f (3mx －1)＞f (1+mx －x 2)＞f (m +2)，x ∈(0，1]恒成立⎪⎩⎪⎨⎧+<-+-+<-⇔2111322m x mx x mx mx 在x ∈(0，1]恒成立整理，当x ∈(0，1)时，⎪⎩⎪⎨⎧+<--<1)1(1222x x m xx 恒成立，即当x ∈(0，1]时，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+>-<112122x x m xx m 恒成立，且x =1时，⎪⎩⎪⎨⎧+<--<1)1(1222x x m xmx 恒成立， ∵2121212-=-xxx 在x ∈(0，1]上为减函数，∴xx 212-＜－1，∴m ＜xx 212-恒成立⇔m ＜0又∵2112)1(112+-+-=-+x x x x ，在x ∈(0，1]上是减函数，∴112-+x x ＜－1∴m ＞112-+x x 恒成立⇔m ＞－1当x ∈(0，1)时，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+>-<112122x x m xx m 恒成立⇔m ∈(－1，0) ①当x =1时，⎪⎩⎪⎨⎧+<--<1)1(1222x x m xmx ，即是⎩⎨⎧<<100m ∴m ＜0 ②∴①、②两式求交集m∈(－1，0）,使x∈(0，1]时，f(3mx－1)＞f(1+mx－x2)＞f(m+2)恒成立，m的取值范围是(－1，0) 课前后备注。

高中数学 6.4不等式的解法举例（第二课时） 大纲人教版必修●教学目标（一）教学知识点 1.分式不等式的解法. 2.简单的高次不等式解法. (二)能力训练要求1.能熟练地将分式不等式转化为整式不等式(组).正确地求出分式不等式的解集.2.会用列表法,进一步用数轴标根法求解分式及高次不等式. (三)德育渗透目标1.进一步提高学生的运算能力和思维能力.2.培养学生分析问题和解决问题的能力.3.强化学生应用转化的数学思想和分类讨论的数学思想. ●教学重点分式不等式与简单的高次不等式如何根据实数运算的符号法则,把它们转化为与其等价的两个或更多个不等式(组)(由表示成的各因式的符号所有可能的组合决定),于是原不等式的解集就是各个不等式组的解集的并集.同时注意分式不等式的同解变形有如下几种:(1))()(x g x f >0⇔f (x )·g(x )>0 (2))()(x g x f <0⇔f (x )·g(x )<0 (3))()(x g x f ≥0⇔f (x )·g(x )≥0且g(x )≠0 (4))()(x g x f ≤0⇔f (x )·g(x )≤0且g(x )≠0 解简单的高次不等式一般有两种思路,即转化法和数轴标根法.其中转化法就是运用实数乘法的运算性质,把高次不等式转化为低次的不等式组.数轴标根法的基本思路是:整理(分解)——标根——画线——选解.●教学难点分式不等式与简单的高次不等式在转化为一次或二次不等式组时,每一步变形,都应是不等式的等价变形.在等价变形时,要注意什么时候取交集,什么时候取并集.带等号的分式不等式,要注意分母不能为零.由于各个不等式组的解集是本组各不等式解集的交集,计算较繁,且容易出错,一定要使同学们细心.另外,在取交集、并集时,可以借助数轴的直观效果,这样可避免出错.●教学方法 讲练结合法通过讲解强化训练题目,加深对分式不等式及简单高次不等式解法的理解,提高分析问题和解决问题的能力.针对不同类型的不等式,使学生能灵活有效地进行等价变形.●教具准备 幻灯片一张 简单的高次不等式的解法——数轴标根法若对于不等式f (x )>0,其中f (x )为x 的高次多项式,用数轴标根法解不等式f (x )>0的步骤如下:1°整理 把f (x )进行因式分解,并化简成下面的形式:(x -a 1)(x -a 2)·…·(x -a n )>0(或<0). 这里每一个因式中x 的系数为1,彼此不等.2°标根 将f (x )=0的n 个不同的根a 1、a 2、…a n 标在数轴上,把数轴分成n +1个区间. 3°画线 从右到左,从上而下依次经过n 个根对应的点画一条连续曲线.4°选解 下图中,在x 轴上方的曲线对应的区间为(x -a 1)(x -a 2)·…·(x -a n )>0的解集,在x 轴下方的曲线对应的区间为(x -a 1)(x -a 2)·…·(x -a n )<0的解集.●教学过程 Ⅰ.课题导入上节课,我们巩固学习了一元二次不等式的解法,知道了一元二次不等式的解集与相对应的一元二次方程的解和二次函数的图象有着密切的关系.如果一个二次方程ax 2+bx +c =0有两个根x 1<x 2,则x 1、x 2就把实数(x 轴)分成了三部分.要解ax 2+bx +c >0,就要找这三部分中的x 所对应的y 值大于0的部分(注:其中y =ax 2+bx +c );同样,解ax 2+bx +c <0,就是要求这三部分中的x 所对应的y 值小于0的部分,利用这种思想(实质上就是数轴标根法),我们在学习转化法解高次不等式和分式不等式的基础上来继续研究简单的高次不等式和分式不等式的解法.Ⅱ.讲授新课(一)简单的高次不等式［例1］解不等式(x -1)(x +2)(x -3)>0.分析:根据实数运算的符号法则,结合不等式的结构特点,若原不等式成立,则左边三个因式或全正,或二负一正.解法一:转化法.据题知,原不等式的解集等价于下面四个不等式组的解集的并集,即(Ⅰ)⎪⎩⎪⎨⎧>->⇒>+>-0330201x x x x(Ⅱ)⎪⎩⎪⎨⎧<-∅∈⇒<+>-030201x x x x(Ⅲ)⎪⎩⎪⎨⎧<-<<-⇒>+<-03120201x x x x(Ⅳ)⎪⎩⎪⎨⎧>-∅∈⇒<+<-030201x x x x故原不等式的解集是{x |-2<x <1或x >3}.［师生共析］显然,此方法太麻烦了,由于不等式的解集与相应的方程的根有关系,因此可求其根并由相应的函数值的符号表示出来即可求出不等式的解集.看下面的解法.解法二：列表法令（x -1)(x +2)(x -3)=0，解得x 分别为-2，1，3则x 轴被分为（-∞,-2)、(-2,1)、(1,3)、(3,+∞)四部分. 分析这四部分中原式左边各因式的符号,列出下表:［师生共析］列表法解不等式需分情况进行讨论,然后得出结果.请同学们用列表法解不等式:x (x -3)(2-x )(x +1)>0［生］解：原不等式可化为: x (x -3)(x -2)(x +1)<0 ①∴对应方程x (x -3)(x -2)(x +1)=0的根分别为-1,0,2,3,它们把实数(x 轴)分为(-∞,-1)、(-1,0)、(0,2)、(2,3)、(3,+∞)五部分.分析这五部分中不等式①左边各因式的符号,列表如下: 原不等式的解集为{x |-1<x <0,或2<x <3}.(师生共同归纳列表法解不等式的步骤,仅供学有余力的同学参考) 列表法解不等式的步骤是:1.整理 把不等式化为f (x )>0(或<0)的形式.为便于计算,看出规律,解不等式之前把各因式中x 的符号化“+”.2.求根 令f (x )=0,求出各根,不妨称之为分界点,一个分界点,把实数(数轴)分成两部分,两个分界点把实数分成三部分,……,几个分界点,把实数分成(n +1)部分.3.列表 按各根把实数分成的几部分,由小到大横向排列,相应各因式纵向排列(由对应较小根的因式开始依次自上而下排列).讨论各区间内各因式符号,最下面是乘积符号.4.写出解集 根据所列表格,写出满足题目要求的不等式的解集(你会发现符号的规律吗?)(打出幻灯片§6.4.2 A,阅读内容,在教师指导下让学生知道“数轴标根法”解高次不等式的理由来自一元二次不等式的解集与相应的一元二次方程的解和二次函数图象的密切关系.并通过具体训练使同学们掌握其具体解法.)解法三:数轴标根法根据目标不等式可知:方程(x -1)(x +2)(x -3)=0的根为-2,1,3,这些根把数轴分为4个区间,如图所示:故原不等式的解集为{x |-2<x <1或x >3}.［师生共析］熟练掌握“数轴标根法”解不等式,对于提高运算能力,提高解题效率大有帮助,应予以重视.(二)分式不等式1.由分式方程的定义不难联想到:分母中含有未知数的不等式称为分式不等式.2.分式不等式解法由不等式性质容易看出:不等式左右两边同乘以正数,不等号方向不变,不等式两边同乘以负数,不等号方向要改变,分母中有x ,两边同乘以一个含x 的式子,它的正负不知,无从解起,若讨论分母的正负,再解也可以但复杂多了.因此,解分式不等式,切忌去分母.分式不等式解法:移项,通分,右边化为0,左边化为)()(x g x f 的形式. 下面,我们就来具体研究分式不等式的解法.［例2］解不等式322322--+-x x x x <0.分析:这是一个分式不等式,其左边是两个关于x 的二次三项式的商,根据商的符号法则,它可以化成两个不等式组:⎩⎨⎧<-->+-03202322x x x x 或⎩⎨⎧>--<+-03202322x x x x因此,原不等式的解集就是上面两个不等式组的解集的并集.此分式不等式还可根据实数运算的符号法则将其等价转化为简单的高次不等式(或整式不等式)然后用“数轴标根法”求解.解法一:这个不等式的解集是下面的不等式组(Ⅰ)、(Ⅱ)的解集的并集:(Ⅰ) ⎩⎨⎧<-->+-03202322x x x x (Ⅱ) ⎪⎩⎪⎨⎧>--<+-03302322x x x x 先解不等式组(Ⅰ).解不等式①,得解集{x |x <1或x >2};① ② ③④解不等式②,得解集{x |-1<x <3}. 因此,不等式组(Ⅰ)的解集是 {x |x <1或x >2}∩{x |-1<x <3} ={x |-1<x <1或2<x <3}.这个不等式组的解集可以在数轴上表示如下:再解不等式组(Ⅱ).解不等式③,得解集{x |1<x <2};解不等式④,得解集{x |x <-1或x >3}.因此,不等式组(Ⅱ)的解集是∅(数轴表示如下).由此可知,原不等式的解集是: {x |-1<x <1或2<x <3}. 解法二:数轴标根法原不等式等价于下面不等式:⇔<--+-0322322x x x x (x 2-3x +2)(x 2-2x -3)<0⇔(x -1)(x -2)(x +1)(x -3)<0. 方程(x -1)(x -2)(x +1)(x -3)=0的根为-1,1,2,3,这些根把数轴分为5个区间(如图所示).故原不等式的解集为{x |-1<x <1或2<x <3}.［师生共析］显然,解法二比解法一解不等式高效、快捷.这就告诉我们,正确运用“数轴标根法”解不等式(尤其是简单的高次不等式或可转化为高次不等式的分式不等式)要予以高度重视.分式不等式的解法:先将不等式左右两边中所有的非零项都移到不等式的左边,并整理为下列某种形式,然后转化为整式不等式(组),灵活选择方法进行求解.1°)()(x g x f >0⇔f (x )g(x )>0; 2°)()(x g x f <0⇔f (x )g(x )<0; 3° )()(x g x f ≥0⇔;0)(0)()(⎩⎨⎧≠≥x g x g x f4°)()(x g x f ≤0⇔.0)(0)()(⎩⎨⎧≠≤x g x g x fⅢ.课堂练习 解下列不等式：1.01272322>+-+-x x x x 答案:思路指示:由)()(x g x f >0⇔f (x )·g(x )>0,把分式不等式转化为整式不等式,然后在数轴上标出f (x )·g(x )=0的各根.用数轴标根法求解.解: 01272322>+-+-x x x x ⇔ (x 2-3x +2)(x 2-7x +12)>0⇔(x -1)(x -2)(x -3)(x -4)>0 方程(x -1)(x -2)(x -3)(x -4)=0的根为1、2、3、4,这些根把数轴分成5个区间(如图所示).故原不等式的解集为{x |x <1或2<x <3或x >4}.2.(6x -x 2-x 3)(x 2-7x +10)>0解:(6x -x 2-x 3)(x 2-7x +10)>0 ⇔(x 3+x 2-6x )(x 2-7x +10)<0 ⇔x (x +3)(x -2)2(x -5)<0⎩⎨⎧≠<<-<⇔⎩⎨⎧≠<-+⇔250320)5)(3(x x x x x x x 或⇔x <-3或0<x <2或2<x <5.故原不等式的解集是:{x |x <-3或0<x <2或2<x <5}. Ⅳ.课时小结本节举例说明三类不等式的解法.1.绝对值符号内是二次式的绝对值不等式的解法.其根据如前所述,|x |<a (a >0)⇔-a <x <a ;|x |>a (a >0) ⇔x <-a ,或x >a .2.高次不等式的解法(1)降次化作不等式组求解f (x )·g(x )>0⇔⎩⎨⎧<<⎩⎨⎧>>0)(0)(0)(0)(x g x f x g x f 或, f (x )·g(x )<0⇔⎩⎨⎧><⎩⎨⎧<>0)(0)(0)(0)(x g x f x g x f 或. (2)数轴标根法求解3.分式不等式的解法(1)记f (x ),g(x )为x 的整式函数,分式不等式)()(x g x f >0与f (x )g(x )>0同解; )()(x g x f <0与f (x )g(x )<0同解.非标准形式的分式不等式则应先化作标准形式的分式不等式)()(x g x f >0或)()(x g x f <0. (2)数轴标根法求解这三类不等式的解法突出了转化方法.转化方向是把高次不等式转化为低次不等式;分式不等式转化为整式不等式.通过深入理解不等式解法,领悟转化方法的精神实质和基本步骤,能灵活地解决不等式问题.Ⅴ.课后作业(一)课本P 19习题6.4 3(二)1.预习内容：课本P 20 §6.5 含有绝对值的不等式. 2.预习提纲:(1)理解定理:|a |-|b |≤|a +b |≤|a |+|b | (2)理解推论1,推论2(课本P 20) (3)如何证明含绝对值的不等式.(4)利用绝对值不等式的重要性质可解决哪些问题.建议:不等式解法举例加一节习题课,因为这部分内容是解其他不等式及应用的基础. ●板书设计。