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线性分组码的信道编码和译码程序

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信道编码-线性分组码2

信道编码-线性分组码2
标准阵列的陪集首和伴随式是一一对应的，因而码的可纠错误图样 和伴随式是一一对应的，应用此对应关系可以构成比标准阵列简单 得多的译码表，从而得到 (n,k) 线性码的一般译码步骤。 (n,k) 线性码的一般译码步骤


计算接收矢量 R 的伴随式 ST=HRT ； 根据伴随式和错误图样一一对应的关系，利用伴随式译码表， 由伴随式译出 R 的错误图样 E； 将接收字减错误图样，得发送码矢的估值 C’=R－E 。
增广：保持 n 不变，增加码字数目 k。 删信：保持 n 不变减小 k。
(3) 延长/Lengthening和缩短/Sportening
延长：同时增加 k 和 n。 缩短：同时减小 k 和 n。
2013/4/11
22/41
9. 由已知码构造新码的方法
举例： (7,4,3) 汉明码的各种修正关系如图6.2.31所示。
[证明]：

(n,k) 线性码的标准阵列有 2k 列（和码矢矢量相等），2n/2k= 2n－k 行，且任何两列和两行都没有相同的元素。 陪集：标准阵列的每一行叫做码的一个陪集。 陪集首：每个陪集的第一个元素叫做陪集首。


每一列包含 2n－k 个元素，最上面的是一个码矢，其它元素是陪 集首和该码矢之和，例如第 j 列为 接下页
8/41

2013/4/11
6. 线性分组码的译码

若发送码矢为 Cj，信道干扰的错误图样是陪集首，则接收矢量 R 必在 Dj 中； 若错误图样不是陪集首，则接收矢量 R不在 Dj 中，则译成其 它码字，造成错误译码； 当且仅当错误图样为陪集首时，译码才是正确的。 可纠正的错误图样：这 2n－k 个陪集首称为可纠正的错误图样。
2/41

线性分组码的编码与译码

线性分组码的编码与译码

实践教学大学计算机与通信学院2014年秋季学期计算机通信课稈设计题目：线性分组码（9 , 4）码的编译码仿真设计专业班级：_______________________________姓名：_________________________________________学号：_______________________________________指导教师：______________________________________成绩：______________________________________________摘要该系统是（9, 4）线性分组码的编码和译码的实现，它可以对输入的四位的信息码进行线性分组码编码，对于接收到的九位码字可以进行译码，从而译出四位信息码。

当接收到的九位码字中有一位发生错误时，可以纠正这一位错码；当接收到的码字有两位发生错误时，只能纠正一位错误，但同时能检测出另一位错误不能纠正。

只有特定位有两位错误时，才能纠正两位错误。

这样就译出正确的信息码组，整个过程是用MATLAB语言实现的。

关键词：编码；译码;纠错摘要 目录1. 信道编码概述2.•…1.1信道模型 ............................................................... 2•…1.2抗干扰信道编码定理及逆定理 ............................................ 3…1.3检错与纠错的基本原理 .................................................. 4•…1.4限失真编码定理 ........................................................ 5•…2. 线性分组码的编码 ........................................................... 6 _2.1生成矩阵 ............................................................... 6•…2.2校验矩阵 ............................................................... 9•…2.3伴随式与译码 ......................................................... 1.0....3. 线性分组码编码的 Matlab 仿真 ............................................... 1.2..3.1程序流程图 ............................................................ 1.2....3.2程序执行结果 ......................................................... 12....3.2线性分组码译码的 Matlab 仿真 .......................................... 1.3.3.3结果分析 .............................................................. 1.5.... 参考文献 .................................................................... .1.6..... 总结 ......................................................................... 1.7.... 致谢 ......................................................................... 1.8.... 附录目录19刖言由于计算机、卫星通信及高速数据网的飞速发展，数据的交换、处理和存储技术得到了广泛的应用，数字信号在传输中往往由于各种原因，使得在传送的数据流中产生误码，从而使接收端产生图象跳跃、不连续、出现马赛克等现象，人们对数据传输和存储系统的可靠性提出来了越来越高的要求，经过长时间的努力，通过编译码来控制差错、提高可靠性的方式在信道传输中得到了大量的使用和发展，并形成了一门新的技术叫做纠错编码技术，纠错编码按其码字结构形式和对信息序列处理方式的不同分为两大类：分组码和卷积码。

线性分组码

线性分组码

C mG
G是一个k*n阶矩阵，称为(n,k)码的生成矩阵。
7
1 0 G 0
0 0 1 0 0 1
p11 p 21 p k1
p12 p 22 pk 2
p1( n k ) p 2( nk ) I P k pk ( nk )
n 1
u和v之间的距离表示2个码字对应位不同的数目。
如(7,3)码的两个码字：u=0011101
v=0100111
它们之间的距离d=4
4
码的最小距离的dmin ：在（n,k）线性码字集合中， 任意两个码字间的距离最小值，是衡量抗干扰能力的 重要参数，dmin越大，抗干扰能力越强。 码字的重量W：码字中非零码元符号的个数；在二元 线性码中，码字的重量是码字中含“1”的个数。 码的最小重量Wmin：线性分组码中，非零码字重量的 最小值，称为码的最小重量，表示为：
限， 性能界限，即码的译码错误概率的上、下 限。 对码距限而言，最重要的限是汉明限，普 洛特金限和吉尔伯特－瓦尔沙莫夫限，汉 明码和普洛特金限告诉我们，在给定码长n 和码的传输速率R=k/n下，最小距离可以达 到的最大值，故它们都是上限，而吉尔伯 特一瓦尔沙莫夫限给出了码的最小距离的 下限。
HC 0
T
T
r=n-k
H
阵是n列，(n-k)行的矩阵；
为了得到确定的码，r个监督方程必须是线性
无关的，即要求H阵的秩为r。
6
2. 生成矩阵G
把方程组写成矩阵的形式为
h11 h 21 h r1
h12 h1k h 22 h 2k h r2 h rk
m 信道编码
C

8.2 线性分组码 线性分组码编码

8.2 线性分组码 线性分组码编码
第八章 差错控制编码
8.2 线性分组码
线性分组码的编码
1
引言
• 信道编码，目的是提高数字通信的可靠性
– 差错率是信噪比的函数
• 信道编码，差错控制编码，抗干扰编码
• 信道编码过程：
– 信息码元序列＋监督码元→编码码组
• 信道译码过程：
– 编码码组→检错或纠错→信息码元序列
2
1. 线性分组码的概念
1 0 0
G＝0 1 0 0 1 1
1 0 1
0 0 1 1 1 0
1 1 0
1 1 1
7
由式
，得码组矩阵为：
0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0
0 C＝0
1
1 1 0
0 1
0
1 0 0
0 1 0
0 0 1
1 0 1
0 1 1
110＝100
1 1 0
0 1 0
0 1 1
6
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例8-1 已知(6,3)码的生成矩阵为G，试求：(1) 编码码组 和各码组的码重；(2) 最小码距 d及min其差错控制能力。
解
(1) 由3位码组成的信息码组矩阵为D：
0 0
0 0
0 1
0 1 0
1 0 0 1 0 1
0 1 1
D＝
ck = dk
ck +1 ck+2
= =
h11d1 h12d2 h1k dk h21d1 h22d2 h2k dk
G生成矩阵
cn = hm1d1 hm2d2 hmk dk
5
写成矩阵形式，有 C = D G ，G为生成矩阵(k*n)，且：

6.2线性分组码

6.2线性分组码

线性特性：码字c的各位码元是消息m各位的线性组 合
一个（ 一个（n,k）线性分组码的码字 c可以表示为 ） 可以表示为
c=mG
其中m：长度为 的消息或 的消息或k维的消息向量 其中 ：长度为k的消息或 维的消息向量 Gk*n：k行n列的生成矩阵 列的生成矩阵 行 列的 矩阵运算采用模二加和模二乘。 矩阵运算采用模二加和模二乘。
1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 G = 0 1 0 1 1 R2 + R3 → R3 →0 1 0 1 1 R1 + R3 → R1 → 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 R1 ← → R 3 →0 1 0 1 1 = G S 0 0 1 1 1
线性分组码的性质
（1）零向量一定是一个码字，记作 θ = (0,0,L ,0) ）零向量一定是一个码字， （2）任意两码字的和仍是一个码字。 ）任意两码字的和仍是一个码字。 都可以表示为G的行向量的线性组合 （3）任意码字 都可以表示为 的行向量的线性组合。 ）任意码字c都可以表示为 的行向量的线性组合。
G的行向量是码集合中的码字（它们线性无关） 的行向量是码集合中的码字（它们线性无关） 的行向量是码集合中的码字
（4）线性分组码的最小距离等于最小非 码的码重： 码的码重： ）线性分组码的最小距离等于最小非0码的码重 码重：码字中的非0符号个数。
d min = min w(c)
c ≠θ
例：c = (0101) d = w(c)
系统码。 （1）则该码称为系统码。 ）则该码称为系统码
容易发现，若系统线性分组码的生成矩阵G 的左（右） 半部分是Ik*K的单位阵，则线性分组码的前（后）k位是 信息位，后n-k位是校验位。 若不是系统码，则可以通过简单行变换得到系统码生成 矩阵。

信息论基础——线性分组码

信息论基础——线性分组码
即校验位是由信息位线性组合得到.
17
线性分组码的基本概念
信息位 00 01 10 11 x2 x0 x1 00000 x3 x0 x x x 01101 0 1 4 码字 10111 11010
信息位k=2 码字数M=4
可见，码字的三个校验元都由其前两位线 性组合得到，即可由的线性方程组求得；
18
线性分组码的基本概念
f1 : GF (2) 2 GF (2)5
信息位 00 01 10 11 码字 00000 01101 10111 11010
1 ( 0 1 ) 1 ( 1 0 ) 1 1
f( 1 1 ) 1 1 0 1 0
1 ( 0 1 1 0 1 )1 ( 1 0 1 1 1 ) 1 1 0 1 0
30
线性分组码的基本概念

汉明距离： 指（n,k）分组码中两个码字xn 、 yn对应位取 值不同的个数；记为d（xn ， yn）.
5 5 ( 1 0 1 0 1 ) , y ( 0 1 1 1 1 ) 例： x
d(x ,y ) 3
5 5
31
线性分组码的基本概念

线性分组码的最小距离： 称（n,k）分组码中任两个码字汉明距离的最小 值，为该分组码的最小距离d.
f ( 1 ( 0 1 ) 1 ( 1 0 ) ) 1 ( 0 1 1 0 1 ) 1 ( 1 0 1 1 1 ) 线性编码
19
线性分组码的基本概念
例题1： 下面是某个（n，k）线性二元码的全部码字
x16=000000 x26=100011 x36=010101 x46=001111 x56=110110 x66=101100 x76=011010 x86=111001 求n、k的值；

第9章 1信道编码-线性分组码

主要内容
n n
信道编码的基本概念和分类 两种主要的信道编码
n n
分组码 卷积码
n n
其他类型编码和编码界限(了解) 工程应用(了解)
北京邮电大学 无线通信中心
2
主要内容
n n
信道编码的基本概念 线性分组码
n n
循环码 BCH码
n n
卷积码 其他编码类型
n
纠正突发错误码、交织码、级联码、Turbo 码、高效率信道编码TCM
北京邮电大学 无线通信中心 8
9.1 信道编码的基本概念
n
信道编码分类（按纠正错误类型分类）
n
n
n
纠独立随机差错码：分组码和卷积码中的大 部分种类 纠突发差错码：分组码和卷积码中的几类、 交织码 纠混合差错码：级联码
北京邮电大学 无线通信中心
9
9.1 信道编码的基本概念
n
信道编码分类（按约束关系分类）
n
信道分类（按差错出现类型）
n
突发差错信道
n n
n
差错成串出现（记忆性） 原因：信道传输特性不理想（衰落和码间干扰）， 有大的脉冲干扰 例如：短波信道、移动通信信道、散射信道、明 线和电缆信道、磁介质存储
n
混合信道
注意：出错类型是统计意义上的，并不表示错误一定发生
北京邮电大学 无线通信中心 6
9.1 信道编码的基本概念
n n
需要反馈信道 实时性和译码复杂度是FEC和ARQ两种方式 的折衷
北京邮电大学 无线通信中心
17
9.1信道编码的基本概念
n
n
信道编码是数字通信中用来提高传输可 靠性的一种重要技术 常用信道编码
n n n
重复码 偶校验码 线性分组码

通信原理电子版讲义--信道编码(3)

9.2 线性分组码
信道编码：研究各种编码的方法和译码的方法。
•k个信息
比特输入
n个信道 比特输出
n个信道 比特输出
k个信息 比特输出
编码器
BSC
译码器
f :0,1k 0,1n
f :0,1n 0,1k
编码器是一对一的映射，译码器是多对一的映射
图中的编码器称做码n, k ，编码率是 k 。 n
1
线性分组码的主要性质
c2c1c0
从而得到（7，4）的所有码组 ：
c6c5c4c3 c2c1c0
c6c5c4c3
0000
000
0001
011
0010
101
0011
110
0100
110
0101
101
0110
011
0111
000
1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111
c2c1c0
111 100 010 001 001 010 100 111
最小码距 d min 3
• 如果 r 位监督位所组成的校正子码组与误码图样一一对应， 这种码组称为完备码（取等号时）
25
扩展汉明码
• 如果在汉明码基础上，再加上一位对所 有码字进行校验的监督位
– 监督码字由 r 位增加到 r+1 位
– 信息位不变
• 码长 n 2r
码结构
• 纠 1 位错，检测 2 位错
• 线性分组码: 信息位和校验位之间的监督关系是线性的 监督位能表示成信息的线性和形式
• 1。封闭性。任意两个码组的和还是许用的码组。 • 2。码的最小距离等于非零码的最小码重。 • 线性分组码:

线性分组码


x1 + x 2 + x 4 = 0 x1 + x 3 + x 5 = 0 x + x + x = 0 3 6 2
1 1 0 1 0 0 令 H= 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1
6
则 校 验 方 程 （2） 可 写 为
H (x ) 0 或 x H
码字
x1 x 2 x 3 x 4 x 5 x6
0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0
x1 x 2 x3 x4 x 5 x6
3
译码规则
给 定 信 道 X ， Q ( y x ), Y , 设 有 函 数 F : Y X ， 对 每 一 个 输 出 符 号 y Y都 有 唯 一 确 定 的 输 入 符 号 x X与 之 对 应 ， 则 称 这 样 的 函 数 为 译 码 规则，记为
F ( y ) x, y Y , x X 显然对于同一信道，译码规则不是唯一的。
u1 u2 u3 u1 u 2 u1 u 3 u2 u3
(1) 中 构 造 的 码 字 中 x1 x 2 x 3 称 为 信 息 元 ， x 4 x 5 x 6 称 为 校 验 元 。
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校验元由方程组
x4 = x1 + x 2 x5 = x1 + x 3 x = x + x 2 3 6
k n
G F (2 ) G F ( 2 )
k
n
它 的 一 个 线 性 变 换 ， 可 用 G F(2) 上 的 k n阶 矩 阵 表 示

实验四 线性分组码的信道编码和译码

检验方程的矩阵形式为：CHT=0或HCT=0, H称为一致 性校验矩阵。
一致性校验矩阵如下：
一般情况下：G是k*N生成矩阵；H为r*N一致性校验 矩阵，r =N-k为校验数目。
H和G的关系为：G=[Ik*K Ak*r] H=[Ak*r Ir*r] 纠错译码时，若发送码字为 c ，则接收序列为 y ，校
实验四 线性分组码的信道编码和译码
一、实验目的
熟悉 Matlab 工作环境及工具箱； 掌握线性分组码的编码、译码原理以及纠错原
理。
二、实验原理
信源发出的信息序列通常不能直接传送给信道传输， 它们需要经过某种变换使其适合信道传输。
变换——编码和译码 信道编码：
降低平均差错率，提高传送的可靠性——纠错编码。 纠错编码：
简述实验目的； 简述实验原理； 根据不同的线性分组码，观察生成矩阵和校验
矩阵的特性。 根据不同的线性分组码，分析检错和纠错能力。
正s=y*HT=e*HT 。
因此，可以得到译码 c=y e 。 其中，e称为差错图样。 S是传输是否出错的标志，称为伴随式。
三、实验内容
(5,2) 线性分组码的最小汉明距离为dmin=3，能够检出 2位错误或纠正1位错误。
线性分组码的信道编码和译码流程图 信道编码流程图
译码流程图
四、实验报告要求
例如，对于（5，2）分组码，N=5，K=2，其编码函数f
为：信息组是二元符号序列，用矩阵表示为m=[m1,m2] 码字长度为N=5,用矩阵表示为C=[C1,C2,C3,C4,C5]
编码函数fห้องสมุดไป่ตู้
由编码函数可知:c(码字)=m(信息矩阵)G(生成矩阵） 生成矩阵
生成矩阵确定以后，由编码函数的后三个方程可以确 定检验方程。
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