浙江版2018年高考数学一轮复习专题1.2命题及其关系逻辑联结词充分条件与必要条件练

第2讲 命题及其关系、充分条件与必要条件一、选择题1．若a ∈R ，则“a＝1”是“|a|＝1”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析 若a ＝1，则有|a|＝1是真命题，即a ＝1⇒|a|＝1，由|a|＝1可得a ＝±1，所以若|a|＝1，则有a ＝1是假命题，即|a|＝1⇒a ＝1不成立，所以a ＝1是|a|＝1的充分而不必要条件．答案 A2．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是( )A ．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”B ．“若一个数的平方是正数，则它是负数”C ．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”D ．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”解析 原命题的逆命题是：若一个数的平方是正数，则它是负数．答案 B3．已知集合A ＝{x ∈R|12<2x<8}，B ＝{x ∈R|－1<x<m ＋1}，若x ∈B 成立的一个充分不必要的条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是( )A ．m≥2B ．m≤2C ．m>2D ．－2<m<2解析 A ＝{x ∈R|12<2x<8}＝{x|－1<x<3} ∵x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ∴∴m ＋1>3，即m>2.答案 C4．命题：“若x2<1，则－1<x<1”的逆否命题是( )A ．若x2≥1，则x≥1或x≤－1B ．若－1<x<1，则x2<1C ．若x>1或x<－1，则x2>1D ．若x≥1或x≤－1，则x2≥1解析 x2<1的否定为：x2≥1；－1<x<1的否定为x≥1或x≤－1，故原命题的逆否命题为：若x≥1或x≤－1，则x2≥1.答案 D5．命题“若f (x )是奇函数，则f (－x )是奇函数”的否命题是( )．A ．若f (x )是偶函数，则f (－x )是偶函数B ．若f (x )不是奇函数，则f (－x )不是奇函数C ．若f (－x )是奇函数，则f (x )是奇函数D ．若f (－x )不是奇函数，则f (x )不是奇函数解析 否命题既否定题设又否定结论，故选B.答案 B6．方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是( )．A ．0<a ≤1B ．a <1C ．a ≤1D ．0<a ≤1或a <0 解析 法一 (直接法)当a ＝0时，x ＝－12符合题意． 当a ≠0时，若方程两根一正一负(没有零根)，则⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝4－4a >0，1a <0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a <1，a <0⇔a <0；若方程两根均负，则⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝4－4a ≥0，－2a<0，1a >0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤1，a >0⇔0<a ≤1.综上所述，所求充要条件是a ≤1.法二 (排除法)当a ＝0时，原方程有一个负实根，可以排除A ，D ；当a ＝1时，原方程有两个相等的负实根，可以排除B ，所以选C.答案 C二、填空题7．已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题p1：|a ＋b|＞1⇔θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，2π3 p2：|a ＋b|＞1⇔θ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤2π3，π p3：|a －b|＞1⇔θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π3 p4：|a －b|＞1⇔θ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π3，π其中真命题的个数是____________．解析 由|a ＋b|＞1可得a2＋2a·b＋b2＞1，因为|a|＝1，|b|＝1，所以a·b＞－12，故θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，2π3.当θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，2π3时，a·b＞－12，|a ＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＞1，即|a ＋b|＞1，故p1正确．由|a －b|＞1可得a2－2a·b＋b2＞1，因为|a|＝1，|b|＝1，所以a·b＜12，故θ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π3，π，反之也成立，p4正确． 答案 28．若“x2>1”是“x<a”的必要不充分条件，则a 的最大值为________．解析 由x2>1，得x<－1或x>1，又“x2>1”是“x<a”的必要不充分条件，知由“x<a”可以推出“x2>1”，反之不成立，所以a≤－1，即a 的最大值为－1.答案 －19．已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 12<2x<8，x ∈R ，B ＝{x|－1<x<m ＋1，x ∈R }，若x ∈B 成立的一个充分不必要的条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是________．解析 A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 12<2x <8，x ∈R ＝{x |－1<x <3}， ∵x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ，∴A B ，∴m ＋1>3，即m >2.答案 (2，＋∞)10．“m <14”是“一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0有实数解”的________条件． 解析 x 2＋x ＋m ＝0有实数解等价于Δ＝1－4m ≥0，即m ≤14. 答案 充分不必要三、解答题11．写出命题“已知a ，b ∈R ，若关于x 的不等式x2＋ax ＋b≤0有非空解集，则a2≥4b”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．解 (1)逆命题：已知a ，b ∈R ，若a2≥4b，则关于x 的不等式x2＋ax ＋b≤0有非空解集，为真命题．(2)否命题：已知a ，b ∈R ，若关于x 的不等式x2＋ax ＋b≤0没有非空解集，则a2<4b ，为真命题．(3)逆否命题：已知a ，b ∈R ，若a2<4b ，则关于x 的不等式x2＋ax ＋b≤0没有非空解集，为真命题．12．求方程ax2＋2x ＋1＝0的实数根中有且只有一个负实数根的充要条件．解 方程ax2＋2x ＋1＝0有且仅有一负根．当a ＝0时，x ＝－12适合条件． 当a≠0时，方程ax2＋2x ＋1＝0有实根，则Δ＝4－4a≥0，∴a≤1，当a ＝1时，方程有一负根x ＝－1.当a<1时，若方程有且仅有一负根，则x1x2＝1a<0， ∴a<0.综上，方程ax2＋2x ＋1＝0有且仅有一负实数根的充要条件为a≤0或a ＝1.13．分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．(1)若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0；(2)若x2＋y2＝0，则x ，y 全为零．解 (1)逆命题：若a ＝0或b ＝0，则ab ＝0，真命题．否命题：若ab≠0，则a≠0且b≠0，真命题．逆否命题：若a≠0且b≠0，则ab≠0，真命题．(2)逆命题：若x ，y 全为零，则x2＋y2＝0，真命题．否命题：若x2＋y2≠0，则x ，y 不全为零，真命题．逆否命题：若x ，y 不全为零，则x2＋y2≠0，真命题．14．已知p ：x2－8x －20≤0，q ：x2－2x ＋1－a2≤0(a>0)．若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．解 p ：x2－8x －20≤0⇔－2≤x≤10，q ：x2－2x ＋1－a2≤0⇔1－a≤x≤1＋a.∵p ⇒q ，q ⇒/ p ，∴{x |－2≤xx |1－a ≤x ≤1＋a }． 故有⎩⎪⎨⎪⎧ 1－a ≤－2，1＋a ≥10，a >0，且两个等号不同时成立，解得a ≥9.因此，所求实数a 的取值范围是[9，＋∞)．15．已知集合M ＝{x|x<－3，或x>5}，P ＝{x|(x －a)·(x－8)≤0}．(1)求M∩P＝{x|5<x≤8}的充要条件；(2)求实数a 的一个值，使它成为M∩P＝{x|5<x≤8}的一个充分但不必要条件．解 (1)由M∩P＝{x|5<x≤8}，得－3≤a≤5，因此M∩P＝{x|5<x≤8}的充要条件是－3≤a≤5；(2)求实数a的一个值，使它成为M∩P＝{x|5<x≤8}的一个充分但不必要条件，就是在集合{a|－3≤a≤5}中取一个值，如取a＝0，此时必有M∩P＝{x|5<x≤8}；反之，M∩P ＝{x|5<x≤8}未必有a＝0，故a＝0是M∩P＝{x|5<x≤8}的一个充分不必要条件．。

第一章集合与常用逻辑用语第二节命题及其关系、充分条件与必要条件考点2充分条件与必要条件的判断（2018·浙江卷）已知平面α，直线m，n满足m⊄α，n⊂α，则“m∥n”是“m∥α”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】∵若m⊄α，n⊂α，且m∥n，则一定有m∥α，但若m⊄α，n⊂α，且m∥α，则m与n有可能异面，∴“m∥n”是“m∥α”的充分不必要条件．故选A．【答案】A（2018·天津卷（文））设x∈R，则“x3＞8”是“|x|＞2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】由x3＞8⇒x＞2⇒|x|＞2，反之不成立，故“x3＞8”是“|x|＞2”的充分不必要条件．故选A．【答案】A（2018·天津卷（文））阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为20，则输出T的值为（）A．1B．2C．3D．4【解析】输入N的值为20，第一次执行条件语句，N＝20，i＝2，Ni＝10是整数，∴T＝0＋1＝1，i＝3＜5；第二次执行条件语句，N＝20，i＝3，Ni ＝203不是整数，∴i＝4＜5；第三次执行条件语句，N＝20，i＝4，Ni＝5是整数，∴T＝1＋1＝2，i＝5，此时i≥5成立，∴输出T＝2.故选B．【答案】B（2018·北京卷（文））设a，b，c，d是非零实数，则“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】a，b，c，d是非零实数，若a＜0，d＜0，b＞0，c＞0，且ad＝bc，则a，b，c，d不成等比数列（可以假设a＝－2，d＝－3，b＝2，c＝3）．若a，b，c，d成等比数列，则由等比数列的性质可知ad＝bC．所以“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的必要不充分条件．故选B．【答案】B。

第二节命题及其关系、充分条件与必要条件1．命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及其相互关系(1)四种命题间的相互关系图­­(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．3．充分条件与必要条件(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．(2)如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．(3)如果pD q，且qD p，则p是q的既不充分也不必要条件．4．集合与充要条件设集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}，则有：(1)若A⊆B，则p是q的充分条件，若A B，则p是q的充分不必要条件．(2)若B⊆A，则p是q的必要条件，若B A，则p是q的必要不充分条件．(3)若A＝B，则p是q的充要条件．1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“x2＋2x－3<0”是命题．( )(2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则綈q”．( )(3)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．( )(4)“若p 不成立，则q 不成立”等价于“若q 成立，则p 成立”．( ) [解析] (1)错误．该语句不能判断真假，故该说法是错误的． (2)错误．否命题既否定条件，又否定结论．(3)正确．q 是p 的必要条件说明p ⇒q ，所以p 是q 的充分条件． (4)正确．原命题与逆否命题是等价命题． [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√2．(教材改编)命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是( )【导学号：51062007】A ．若α≠π4，则tan α≠1B ．若α＝π4，则tan α≠1C ．若tan α≠1，则α≠π4D ．若tan α≠1，则α＝π4C [“若p ，则q ”的逆否命题是“若綈q ，则 綈p ”，显然綈q ：tan α≠1，綈p ：α≠π4，所以该命题的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠π4”．]3．(2017·浙江五校第一次联考)设x >0，则“a ＝1”是“x ＋ax≥2恒成立”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A [因为x ＋ax≥2，x >0恒成立⇔a ≥(2x －x 2)max ＝1，x >0，所以“a ＝1”是“x ＋a x≥2恒成立”的充分不必要条件，故选A.]4．命题“若a ＞－3，则a ＞－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中假命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4B [原命题正确，从而其逆否命题也正确；其逆命题为“若a ＞－6，则a ＞－3”是假命题，从而其否命题也是假命题．因此4个命题中有2个假命题．]5．(2017·杭州学军中学模拟)若p ：“x >a ”是q ：“x >1或x <－3”的充分不必要条件，则a 的取值范围是( )A ．a ≥1B ．a ≤1C ．a ≥－3D ．a ≤－3A [因为p 是q 的充分不必要条件，所以集合p 是集合q 的真子集，即p ⊆q ，所以a ≥1，故选A.]( )A ．“若x ＝4，则x 2－3x －4＝0”为真命题 B ．“若x ≠4，则x 2－3x －4≠0”为真命题 C ．“若x ≠4，则x 2－3x －4≠0”为假命题 D ．“若x ＝4，则x 2－3x －4＝0”为假命题(2)原命题为“若z 1，z 2互为共轭复数，则|z 1|＝|z 2|”，关于逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )A ．真，假，真B ．假，假，真C ．真，真，假D ．假，假，假(1)C (2)B [(1)根据逆否命题的定义可以排除A ，D ，由x 2－3x －4＝0，得x ＝4或－1，所以原命题为假命题，所以其逆否命题也是假命题．(2)由共轭复数的性质，原命题为真命题，因此其逆否命题也为真命题．当z 1＝1＋2i ，z 2＝2＋i 时，显然|z 1|＝|z 2|，但z 1与z 2不共轭，所以逆命题为假命题，从而它的否命题亦为假命题．][规律方法] 1.已知原命题写出该命题的其他命题时，先要分清命题的条件与结论．特别注意的是，如果命题不是“若p ，则q ”形式的命题，需先改写为“若p ，则q ”的形式．2．给出一个命题，要判断它是真命题，需经过严格的推理证明；而要说明它是假命题，只需举一反例即可．3．由于原命题与其逆否命题的真假性相同，所以有时可以利用这种等价性间接地证明命题的真假．[变式训练1] 原命题为“若a n ＋a n ＋12＜a n ，n ∈N *，则{a n }为递减数列”，关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )A ．真，真，真B ．假，假，真C ．真，真，假D ．假，假，假A [由a n ＋a n ＋12＜a n ，得a n ＋a n ＋1＜2a n ，即a n ＋1＜a n .所以当a n ＋a n ＋12＜a n 时，必有a n ＋1＜a n ，则{a n }是递减数列．反之，若{a n }是递减数列，必有a n ＋1＜a n ， 从而有a n ＋a n ＋12＜a n .所以原命题及其逆命题均为真命题，从而其否命题及其逆否命题也均是真命题．]000)的极值点，则( )A ．p 是q 的充分必要条件B ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件C ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件(2)设x ∈R ，则“|x －2|＜1”是“x 2＋x －2＞0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(1)C (2)A [(1)当f ′(x 0)＝0时，x ＝x 0不一定是f (x )的极值点，比如，y ＝x 3在x ＝0时，f ′(0)＝0，但在x ＝0的左右两侧f ′(x )的符号相同，因而x ＝0不是y ＝x 3的极值点．由极值的定义知，x ＝x 0是f (x )的极值点必有f ′(x 0)＝0. 综上知，p 是q 的必要条件，但不是充分条件． (2)|x －2|＜1⇔1＜x ＜3，x 2＋x －2＞0⇔x ＞1或x ＜－2. 由于{x |1＜x ＜3}是{x |x ＞1或x ＜－2}的真子集．所以“|x －2|＜1”是“x 2＋x －2＞0”的充分不必要条件．] [规律方法] 充分条件、必要条件的三种判断方法(1)定义法：根据p ⇒q ，q ⇒p 进行判断，适用于定义、定理判断性问题．(2)集合法：根据p ，q 成立的对象的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母的范围的推断问题．(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断，适用于条件和结论带有否定性词语的命题．[变式训练2] 设集合M ＝{1,2}，N ＝{a 2}，则“a ＝1”是“N ⊆M ”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件B [若a ＝1，则集合N ＝{1}，此时满足N ⊆M .若N ⊆M ，则a 2＝1或2，所以a ＝±1或a ＝± 2.故“a ＝1”是“N ⊆M ”的充分不必要条件．]x ∈P 是x∈S 的必要条件，求m 的取值范围. 【导学号：51062008】[解] 由x 2－8x －20≤0得 －2≤x ≤10，∴P ＝{x |－2≤x ≤10}.4分 ∵x ∈P 是x ∈S 的必要条件， 则S ⊆P ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≥－2，1＋m ≤10，1－m ≤1＋m ，∴0≤m ≤3.8分综上，可知0≤m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件.14分[迁移探究1] 本例条件不变，问是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件． [解] 由例题知P ＝{x |－2≤x ≤10}.2分 若x ∈P 是x ∈S 的充要条件，则P ＝S ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＝－2，1＋m ＝10，8分∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，m ＝9，这样的m 不存在.14分[迁移探究2] 本例条件不变，若x ∉P 是x ∉S 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围． [解] 由例题知P ＝{x |－2≤x ≤10}．∵x ∉P 是x ∉S 的必要不充分条件，∴P 是S 的充分不必要条件， ∴P ⇒S 且SD P ，4分∴[－－m,1＋m ]，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤－2，1＋m ＞10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＜－2，1＋m ≥10，8分∴m ≥9，即m 的取值范围是[9，＋∞).14分[规律方法] 充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解．(2)要注意区间端点值的检验．[变式训练3] (1)(2017·温州模拟)已知命题p ：a ≤x ≤a ＋1，命题q ：x 2－4x <0，若p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是________．(2)方程ax 2＋2x ＋1＝0(a ∈R ，a 为常数)的解集只有一个负实根的充要条件是________． (1)(0,3) (2)a ≤0或a ＝1 [(1)令M ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}，N ＝{x |x 2－4x <0}＝{x |0<x <4}．∵p 是q 的充分不必要条件，∴MN ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a ＋1<4，解得0<a <3.(2)当a ＝0时，原方程为2x ＋1＝0， ∴原方程有一个负实根x ＝－12.当a ≠0时，ax 2＋2x ＋1＝0只有一个负实根．∴方程有一个正根和一个负根或方程有两个相等的负根，当方程有一正一负根时，则x 1x 2＜0，∴1a＜0，且Δ＝4－4a ＞0，解得a ＜0.当方程有两个相等的负根时，Δ＝4－4a ＝0，a ＝1，此时方程的根为－1，符合题意， 综上，方程的解集只有一个负实根的充要条件是a ≤0或a ＝1.][思想与方法]1．写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论，然后按定义来写；在判断原命题及其逆命题、否命题以及逆否命题的真假时，要借助原命题与其逆否命题同真或同假，逆命题与否命题同真或同假来判定．2．充分条件、必要条件的几种判断方法(1)定义法：直接判断“若p，则q”“若q，则p”的真假．(2)等价法：对于条件或结论是否定形式的命题，一般运用等价法．(3)利用集合间的包含关系判断：设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，若A⊆B，则p是q 的充分条件或q是p的必要条件；若A B，则p是q的充分不必要条件，若A＝B，则p是q的充要条件．[易错与防范]1．当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时，必须保留大前提．2．判断命题的真假及写四种命题时，一定要明确命题的结构，可以先把命题改写成“若p，则q”的形式．3．判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向，正确理解“p的一个充分而不必要条件是q”等语言的含义．课时分层训练(二)命题及其关系、充分条件与必要条件A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．设m∈R，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是( ) A．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m>0B．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m≤0C．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m>0D．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0D[根据逆否命题的定义，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是“若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0”．]2．(2017·杭州调研)设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α.则“m∥β”是“α∥β”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件B[m⊂α，m∥βDα∥β，但m⊂α，α∥β⇒m∥β，∴“m∥β”是“α∥β”的必要不充分条件．]3．“x>1”是“log12(x＋2)<0”的( )A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件B[∵x>1⇒log12(x＋2)<0，log12(x＋2)<0⇒x＋2>1⇒x>－1，∴“x>1”是“log12(x＋2)<0”的充分不必要条件．]4．给出下列命题：①“若a2<b2，则a<b”的否命题；②“全等三角形面积相等”的逆命题；③“若a>1，则ax2－2ax＋a＋3>0的解集为R”的逆否命题；④“若3x(x≠0)为有理数，则x为无理数”的逆否命题．其中正确的命题是( ) 【导学号：51062009】 A ．③④ B ．①③ C ．①②D ．②④A [对于①，否命题为“若a 2≥b 2，则a ≥b ”，为假命题；对于②，逆命题为“面积相等的三角形是全等三角形”，是假命题；对于③，当a >1时，Δ＝－12a <0，原命题正确，从而其逆否命题正确，故③正确；对于④，原命题正确，从而其逆否命题正确，故④正确，故命题③④为真命题．]5．(2017·嘉兴期末测试)设α，β是两个不同的平面，m 是直线，且m ⊂α，则“m ⊥β”是“α⊥β”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A [若m ⊂α，m ⊥β，则α⊥β；反之，若α⊥β，m ⊂α，则m 与β的位置关系不确定，所以“m ⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件，故选A.]6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，则“a ≤b ”是“sin A ≤sin B ”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件A [由正弦定理a sin A ＝bsin B＝2R (R 为三角形外接圆半径)得，a ＝2R sin A ，b ＝2R sinB ，故a ≤b ⇔2R sin A ≤2R sin B ⇔sin A ≤sin B ．]7．已知条件p ：x 2－2ax ＋a 2－1>0，条件q ：x >2，且q 是p 的充分不必要条件，则a 的取值范围是( ) 【导学号：51062010】A ．a ≥1B ．a ≤1C ．a ≥－3D ．a ≤－3B [条件p ：x >a ＋1或x <a －1，条件q ：x >2， 又q 是p 的充分不必要条件，故q ⇒p ，pD ⇒/q ，所以a ＋1≤2，即a ≤1.] 二、填空题8．已知a ，b ，c 都是实数，则在命题“若a ＞b ，则ac 2＞bc 2”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是________.【导学号：51062011】2 [由a ＞bDac 2＞bc 2，但ac 2＞bc 2⇒a ＞b .所以原命题是假命题，它的逆命题是真命题． 从而否命题是真命题，逆否命题是假命题．]9．“m ＜14”是“一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0有实数解”的________条件．充分不必要 [x 2＋x ＋m ＝0有实数解等价于Δ＝1－4m ≥0， 即m ≤14，因为m ＜14⇒m ≤14，反之不成立．故“m ＜14”是“一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0有实数解”的充分不必要条件．]10．已知集合A ＝{x |y ＝lg(4－x )}，集合B ＝{x |x ＜a }，若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________. 【导学号：51062012】(4，＋∞) [A ＝{x |x ＜4}，由题意知AB ，所以a ＞4.]B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．(2017·宁波调研)“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A [cos 2α＝0等价于cos 2α－sin 2α＝0，即cos α＝±sin α. 由cos α＝sin α可得到cos 2α＝0，反之不成立．]2．设p ：实数x ，y 满足(x －1)2＋(y －1)2≤2，q ：实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x －1，y ≥1－x ，y ≤1，则p是q 的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A [p 表示以点(1,1)为圆心，2为半径的圆面(含边界)，如图所示．q 表示的平面区域为图中阴影部分(含边界)．由图可知，p 是q 的必要不充分条件．] 3．有下列几个命题：①“若a ＞b ，则a 2＞b 2”的否命题；②“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题；③“若x 2＜4，则－2＜x ＜2”的逆否命题．其中真命题的序号是________．②③ [①原命题的否命题为“若a ≤b ，则a 2≤b 2”错误．②原命题的逆命题为：“若x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0”正确．③原命题的逆否命题为“若x ≥2或x ≤－2，则x 2≥4”正确．]4．已知不等式|x －m |＜1成立的充分不必要条件是13＜x ＜12，则实数m 的取值范围是________． ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，43 [由|x －m |＜1得－1＋m ＜x ＜1＋m ， 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 13＜x ＜12x |－1＋m ＜x ＜1＋m }，所以⎩⎪⎨⎪⎧ －1＋m ≤13，1＋m ≥12，解得－12≤m ≤43， 所以实数m 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，43.]。

第一章 集合与常用逻辑用语第02节 命题及其关系、逻辑联结词、充分条件与必要条件班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【2018年北京卷文】设a,b,c,d 是非零实数，则“ad=bc ”是“a,b,c,d 成等比数列”的( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】分析：证明“”“成等比数列”只需举出反例即可，论证“成等比数列”“”可利用等比数列的性质.详解：当时，不成等比数列，所以不是充分条件；当成等比数列时，则，所以是必要条件.综上所述，“”是“成等比数列”的必要不充分条件故选B.2．【2018届浙江省嘉兴市高三上期末】已知,x y 是非零实数，则“x y >”是“11x y<”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】因为11x y <,所以0{ 0x y x yxy xy>->⇒>或{ 0x y xy << ,所以x y >是“11x y <”的既不充分也不必要条件,选D3.【2018届浙江省部分市学校（新昌中学、台州中学等）高三上学期9+1联考】“2m =”是“直线()2140x m y +++=与直线320mx y +-=平行”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A4.【2018届浙江省嵊州市高三上期末】已知α， β是两个不同的平面，直线l α⊂，则“l β⊥”是“αβ⊥”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】由线面垂直的判定定理可知， l α⊂时， l β⊥能推出αβ⊥，而αβ⊥不能推出l β⊥，故“l β⊥”是“αβ⊥”的充分不必要条件，故选A.5.【2018届安徽省安庆市第一中学热身】“为假”是“为假”的( )条件.A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要 【答案】A【解析】分析：根据充分、必要条件的定义进行判断即可． 详解：当“为假”时，则都为假，故“为假”；反之，当“为假”时，则中至少有一个为假，此时“为假”不一定成立． 所以“为假”是“为假”的充分不必要条件．故选A ．6.【2018届浙江省台州市高三上期末】已知a R ∈，则“1a ≤”是“112a a ++-=”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】因为21a =-≤,但1142a a ++-=≠;112a a ++-= 111a a ⇒-≤≤⇒≤所以“1a ≤”是“112a a ++-=”的必要不充分条件,选B.7.【2018届浙江省嘉兴市4月模拟】已知：不等式的解集为，：，则是的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】A8.【浙江省杭州市学军中学2018年5月模拟】已知函数，则“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件 【答案】C【解析】分析：先研究函数f(x)的奇偶性和单调性，再利用函数的奇偶性和单调性研究充要条件. 详解：由题得函数的定义域为R.,所以函数f(x)是奇函数. 当x≥0时，是增函数，是增函数.所以函数f(x)在上是增函数.因为函数f(x)是奇函数，所以函数f(x)是R 上的增函数. 所以所以“”是“”的充要条件.故答案为：C9.【2018届浙江省台州中学高三模拟】设，则使成立的一个充分不必要条件是（ ）A.B.C.D.【答案】D【解析】分析：首先利用相关的知识点，对选项逐一分析，结合不等式的性质，可以断定A 项是充要条件，B,C 是既不充分也不必要条件，只有D 项满足是充分不必要条件，从而选出正确结果. 详解：对于A ，根据函数的单调性可知，，是充要条件；对于B ，时，可以得到，对应的结果为当时，；当时，，所以其为既不充分也不必要条件； 对于C ，由，可以得到，对于的大小关系式不能确定的，所以是既不充分也不必要条件；故排除A,B,C ，经分析，当时，得到,充分性成立，当时，不一定成立，如2>1,但2=1+1，必要性不成立，故选D.10．【2018年北京卷理】设a ，b 均为单位向量，则“”是“a⊥b”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】C【解析】分析：先对模平方，将等价转化为0，再根据向量垂直时数量积为零得充要关系.详解：，因为a ，b均为单位向量，所以 a ⊥b ，即“”是“a ⊥b ”的充分必要条件.选C.二、填空题：本大题共7小题，共36分．11．已知命题“若1x >，则21x >” ，其逆命题为__________．【答案】21,1x x >>若则【解析】逆命题为：“若21x >，则1x >”.12.【2018年文北京卷】能说明“若a ﹥b ，则”为假命题的一组a ，b 的值依次为_________.【答案】（答案不唯一）【解析】分析：根据原命题与命题的否定的真假关系，可将问题转化为找到使“若，则”成立的，根据不等式的性质，去特值即可.详解：使“若，则”为假命题 则使“若，则”为真命题即可，只需取即可满足所以满足条件的一组的值为（答案不唯一）13．【2018届浙江省镇海中学高三上学期期末】命题“若实数满足，则”的逆否命题是________命题（填“真”或者“假”）；否命题是________命题（填“真”或者“假”）． 【答案】 假 真14．“”是“”的__________条件.（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一） 【答案】必要不充分【解析】分析：直接利用必要不充分条件的定义判断. 详解：因为不能推出，但是，所以“”是“”的必要不充分条件.故答案为：必要不充分.15．已知条件()2:log 10p x -<，条件:q x a >，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是______． 【答案】(],0-∞【解析】条件p :log 2(1−x )<0，∴0<1−x <1，解得0<x <1. 条件q :x >a ，若p 是q 的充分不必要条件，∴a ⩽0. 则实数a 的取值范围是：(−∞,0]. 故答案为：(−∞,0].16.有下列命题：①在函数cos cos 44y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象中，相邻两个对称中心的距离为π；②函数31x y x +=-的图象关于点()1,1-对称；③“ 5a ≠且5b ≠-”是“0a b +≠”的必要不充分条件；④已知命题p ：对任意的x R ∈，都有sin 1x ≤，则p ⌝是：存在x R ∈，使得sin 1x >；⑤在ABC 中，若3sin 4cos 6A B +=， 4sin 3cos 1B A +=，则角C 等于30︒或150︒.其中所有真命题的个数是__________． 【答案】1【解析】由于()2211cos sin cos222y x x x =-=，其相邻两对称中心的距离22222T d ππ===⨯，故答案①不正确；又因为144111x y x x -+==+--，所以函数的对称中心为()1,1，故答案②不正确；由于若“5a ≠且5b ≠-”，则“0a b +≠”不一定成立，如“1a =-且1b =”，但仍有“0a b +=”，故“5a ≠且5b ≠-”是“0a b +≠”的不充分条件；反之若“0a b +≠” ，则“5a ≠且5b ≠-”是正确的，故是必要条件，则答案③正确；由于命题p ：对任意的x R ∈，都有sin 1x ≤是真命题，故该命题的否定是假命题，即答案④也是错误的；对于答案⑤，由于3cos 14sin 1A B =-<，所以11cos 32A <<，则60A >，故若150C =，则三角形的内角和大于180，即答案⑤也是错误的.应填答案1. 17.已知下列命题：①函数()f x =有最小值2；②“2450x x --=”的一个必要不充分条件是“5x =”；③函数()3231f x x x =-+在点()()2,2f 处的切线方程为3y =-.其中正确命题的序号是__________． 【答案】③三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18.【2017届浙江省温州中学3月高考模拟】已知命题方程有两个不等的负实根，命题方程无实根，（1）若命题为真，求实数的取值范围；（2）若命题和命题一真一假，求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）或.【解析】【试题分析】（1）依据命题真假建立不等式组求解；（2）借助命题的真假建立不等式组分析探求：（Ⅰ）（Ⅱ）命题成立：，真假：假真：或.19.设命题实数满足，其中，命题实数满足．（1）若，且为真，求实数的取值范围；（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】分析：（1）当时，．．据此可得的取值范围是．（2）由题意可知q是p的充分不必要条件，其中，, 且，故．详解：（1）当时，由，得．由，得，所以．由p∧q为真，即p，q均为真命题，因此的取值范围是．（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，可得q是p的充分不必要条件，由题意可得，,所以，因此且，解得．20．已知函数,(1)求函数的最小值；(2)已知,关于的不等式对任意恒成立； 函数是增函数.若“p 或q”为真,“且”为假,求实数的取值范围.【答案】（1）1（2）.【解析】分析：（1）作出函数f （x ）的图象，借助于单调性以及图象即可求最小值；（2）运用（1）中求出的f （x ）的最小值代入不等式f （x ）≥m 2+2m ﹣2，求出对任意x ∈R 恒成立的m 的范围，根据复合命题“p 或q”为真，“p 且q”为假时，建立不等式关系即可的实数m 的取值范围．详解：(1,作出图像可知,(2)，或“或”为真,“且”为假, 当真, 假时,则，解得当假, 真时,则，解得或,故实数的取值范围是.21．已知命题p ：对数()2log 275(0,1)a t t a a -+->≠有意义；命题q ：实数t 满足不等式()()2320t a t a -+++<.(Ⅰ)若命题p 为真，求实数t 的取值范围；(Ⅱ)若命题p 是命题q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）51,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ （2）1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】试题分析：（1）－2t 2＋7t －5>0，解得1<t <；（2）1<t <是不等式t 2－(a ＋3)t ＋(a ＋2)<0解集的真子集，方程t 2－(a ＋3)t ＋(a ＋2)＝0两根为1，a ＋2，故只需a ＋2>，解得a >. 试题解析：解：(1)由对数式有意义得－2t 2＋7t －5>0， 解得1<t <，即实数t 的取值范围是.(2)∵命题p 是命题q 的充分不必要条件，∴1<t <是不等式t 2－(a ＋3)t ＋(a ＋2)<0解集的真子集．22.设命题:p 实数x 满足：03422<+-a ax x ，其中0>a .命题:q 实数x 满足121-⎪⎭⎫ ⎝⎛=m x ，其中()2,1∈m （1）若41=a ，且q p ∧为真，求实数x 的取值范围； （2）p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.【答案】（1）⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<4321x x ；（2）11[,]32． 【解析】试题分析：：（1）先解出p q ，下的不等式，然后由p q ∧为真知p q ，都为真，由此可求得实数x 的取值范围；（2）由p ⌝是q ⌝的充分不必要条件便可得到1231a a ⎧=⎪⎨⎪>⎩或1231a a ⎧<⎪⎨⎪≥⎩，解该不等式组即得实数a 的取值范围．试题解析：（1）()03:><<a a x a p 121:<<x q ……………………………………2分 41=a 时 4341:<<x p p q ∧Q 为真 p ∴真且q 真……………………………………………………3分⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<<<1214341x x 得4321<<x 即q p ∧为真时，实数x 的取值范围为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<4321x x…………………………5分 （2）p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，即q p ⌝⇒⌝且p q ⌝⇒⌝ 等价于p q ⇒且q p ⇒ 记⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<=121x xA {}0,3><<=a a x a xB 则A B 是的真子集………8分 ⎪⎩⎪⎨⎧>=∴1321a a 或⎪⎩⎪⎨⎧≥<1321a a 得2131≤≤a ………………………………………10分。

第02节 命题及其关系、逻辑联结词、充分条件与必要条件班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【2018年北京卷文】设a,b,c,d 是非零实数，则“ad=bc ”是“a,b,c,d 成等比数列”的( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】分析：证明“”“成等比数列”只需举出反例即可，论证“成等比数列”“”可利用等比数列的性质.详解：当时，不成等比数列，所以不是充分条件；当成等比数列时，则，所以是必要条件.综上所述，“”是“成等比数列”的必要不充分条件故选B.2．【2018届浙江省嘉兴市高三上期末】已知,x y 是非零实数，则“x y >”是“11x y<”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】因为11x y <,所以0{ 0x y x yxy xy >->⇒>或{ 0x y xy << ,所以x y >是“11x y<”的既不充分也不必要条件,选D3.【2018届浙江省部分市学校（新昌中学、台州中学等）高三上学期9+1联考】“2m =”是“直线()2140x m y +++=与直线320mx y +-=平行”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】A4.【2018届浙江省嵊州市高三上期末】已知α， β是两个不同的平面，直线l α⊂，则“l β⊥”是“αβ⊥”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】由线面垂直的判定定理可知， l α⊂时， l β⊥能推出αβ⊥，而αβ⊥不能推出l β⊥，故“l β⊥”是“αβ⊥”的充分不必要条件，故选A.5.【2018届安徽省安庆市第一中学热身】“为假”是“为假”的( )条件.A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要 【答案】A【解析】分析：根据充分、必要条件的定义进行判断即可． 详解：当“为假”时，则都为假，故“为假”；反之，当“为假”时，则中至少有一个为假，此时“为假”不一定成立． 所以“为假”是“为假”的充分不必要条件．故选A ．6.【2018届浙江省台州市高三上期末】已知a R ∈，则“1a ≤”是“112a a ++-=”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】因为21a =-≤,但1142a a ++-=≠;112a a ++-= 111a a ⇒-≤≤⇒≤ 所以“1a ≤”是“112a a ++-=”的必要不充分条件,选B.7.【2018届浙江省嘉兴市4月模拟】已知：不等式的解集为，：，则是的（）A.充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A8.【浙江省杭州市学军中学2018年5月模拟】已知函数，则“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件【答案】C【解析】分析：先研究函数f(x)的奇偶性和单调性，再利用函数的奇偶性和单调性研究充要条件. 详解：由题得函数的定义域为R., 所以函数f(x)是奇函数.当x≥0时，是增函数，是增函数.所以函数f(x)在上是增函数.因为函数f(x)是奇函数，所以函数f(x)是R上的增函数.所以所以“”是“”的充要条件.故答案为：C9.【2018届浙江省台州中学高三模拟】设，则使成立的一个充分不必要条件是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：首先利用相关的知识点，对选项逐一分析，结合不等式的性质，可以断定A项是充要条件，B,C 是既不充分也不必要条件，只有D 项满足是充分不必要条件，从而选出正确结果. 详解：对于A ，根据函数的单调性可知，，是充要条件；对于B ，时，可以得到，对应的结果为当时，；当时，，所以其为既不充分也不必要条件； 对于C ，由，可以得到，对于的大小关系式不能确定的，所以是既不充分也不必要条件；故排除A,B,C ，经分析，当时，得到,充分性成立，当时，不一定成立，如2>1,但2=1+1，必要性不成立，故选D.10．【2018年北京卷理】设a ，b 均为单位向量，则“”是“a⊥b”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】C【解析】分析：先对模平方，将等价转化为0，再根据向量垂直时数量积为零得充要关系.详解：，因为a ，b均为单位向量，所以 a ⊥b ，即“”是“a ⊥b ”的充分必要条件.选C.二、填空题：本大题共7小题，共36分．11．已知命题“若1x >，则21x >” ，其逆命题为__________． 【答案】21,1x x >>若则【解析】逆命题为：“若21x >，则1x >”. 12.【2018年文北京卷】能说明“若a ﹥b ，则”为假命题的一组a ，b 的值依次为_________.【答案】（答案不唯一）【解析】分析：根据原命题与命题的否定的真假关系，可将问题转化为找到使“若，则”成立的，根据不等式的性质，去特值即可.详解：使“若，则”为假命题则使“若，则”为真命题即可，只需取即可满足所以满足条件的一组的值为（答案不唯一）13．【2018届浙江省镇海中学高三上学期期末】命题“若实数满足，则”的逆否命题是________命题（填“真”或者“假”）；否命题是________命题（填“真”或者“假”）． 【答案】 假 真14．“”是“”的__________条件.（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一） 【答案】必要不充分【解析】分析：直接利用必要不充分条件的定义判断. 详解：因为不能推出，但是，所以“”是“”的必要不充分条件.故答案为：必要不充分.15．已知条件()2:log 10p x -<，条件:q x a >，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是______． 【答案】(],0-∞【解析】条件p :log 2(1−x )<0，∴0<1−x <1，解得0<x <1. 条件q :x >a ，若p 是q 的充分不必要条件，∴a ⩽0. 则实数a 的取值范围是：(−∞,0]. 故答案为：(−∞,0]. 16.有下列命题： ①在函数cos cos 44y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象中，相邻两个对称中心的距离为π；②函数31x y x +=-的图象关于点()1,1-对称；③“ 5a ≠且5b ≠-”是“0a b +≠”的必要不充分条件；④已知命题p ：对任意的x R ∈，都有sin 1x ≤，则p ⌝是：存在x R ∈，使得sin 1x >；⑤在ABC 中，若3sin 4cos 6A B +=， 4sin 3cos 1B A +=，则角C 等于30︒或150︒.其中所有真命题的个数是__________． 【答案】1【解析】由于()2211cos sin cos222y x x x =-=，其相邻两对称中心的距离22222T d ππ===⨯，故答案①不正确；又因为144111x y x x -+==+--，所以函数的对称中心为()1,1，故答案②不正确；由于若“5a ≠且5b ≠-”，则“0a b +≠”不一定成立，如“1a =-且1b =”，但仍有“0a b +=”，故“5a ≠且5b ≠-”是“0a b +≠”的不充分条件；反之若“0a b +≠” ，则“5a ≠且5b ≠-”是正确的，故是必要条件，则答案③正确；由于命题p ：对任意的x R ∈，都有sin 1x ≤是真命题，故该命题的否定是假命题，即答案④也是错误的；对于答案⑤，由于3cos 14sin 1A B =-<，所以11cos 32A <<，则60A >，故若150C =，则三角形的内角和大于180，即答案⑤也是错误的.应填答案1. 17.已知下列命题：①函数()f x =有最小值2；②“2450x x --=”的一个必要不充分条件是“5x =”； ③函数()3231f x x x =-+在点()()2,2f 处的切线方程为3y =-.其中正确命题的序号是__________． 【答案】③三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18.【2017届浙江省温州中学3月高考模拟】已知命题方程有两个不等的负实根，命题方程无实根，（1）若命题为真，求实数的取值范围；（2）若命题和命题一真一假，求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）或.【解析】【试题分析】（1）依据命题真假建立不等式组求解；（2）借助命题的真假建立不等式组分析探求：（Ⅰ）（Ⅱ）命题成立：，真假：假真：或.19.设命题实数满足，其中，命题实数满足．（1）若，且为真，求实数的取值范围；（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】分析：（1）当时，．．据此可得的取值范围是．（2）由题意可知q是p的充分不必要条件，其中，, 且，故．详解：（1）当时，由，得．由，得，所以．由p∧q为真，即p，q均为真命题，因此的取值范围是．（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，可得q是p的充分不必要条件，由题意可得，,所以，因此且，解得．20．已知函数,(1)求函数的最小值；(2)已知,关于的不等式对任意恒成立； 函数是增函数.若“p 或q”为真,“且”为假,求实数的取值范围.【答案】（1）1（2）.【解析】分析：（1）作出函数f （x ）的图象，借助于单调性以及图象即可求最小值；（2）运用（1）中求出的f （x ）的最小值代入不等式f （x ）≥m 2+2m ﹣2，求出对任意x ∈R 恒成立的m 的范围，根据复合命题“p 或q”为真，“p 且q”为假时，建立不等式关系即可的实数m 的取值范围．详解：(1,作出图像可知,(2)，或“或”为真,“且”为假, 当真, 假时,则，解得当假, 真时,则，解得或,故实数的取值范围是.21．已知命题p ：对数()2log 275(0,1)a t t a a -+->≠有意义；命题q ：实数t 满足不等式()()2320t a t a -+++<.(Ⅰ)若命题p 为真，求实数t 的取值范围；(Ⅱ)若命题p 是命题q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）51,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ （2）1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】试题分析：（1）－2t 2＋7t －5>0，解得1<t <；（2）1<t <是不等式t 2－(a ＋3)t ＋(a ＋2)<0解集的真子集，方程t 2－(a ＋3)t ＋(a ＋2)＝0两根为1，a ＋2，故只需a ＋2>，解得a >. 试题解析：解：(1)由对数式有意义得－2t 2＋7t －5>0， 解得1<t <，即实数t 的取值范围是.(2)∵命题p 是命题q 的充分不必要条件，∴1<t <是不等式t 2－(a ＋3)t ＋(a ＋2)<0解集的真子集．22.设命题:p 实数x 满足：03422<+-a ax x ，其中0>a .命题:q 实数x 满足121-⎪⎭⎫ ⎝⎛=m x ，其中()2,1∈m （1）若41=a ，且q p ∧为真，求实数x 的取值范围； （2）p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.【答案】（1）⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<4321x x ；（2）11[,]32． 【解析】试题分析：：（1）先解出p q ，下的不等式，然后由p q ∧为真知p q ，都为真，由此可求得实数x 的取值范围；（2）由p ⌝是q ⌝的充分不必要条件便可得到1231a a ⎧=⎪⎨⎪>⎩或1231a a ⎧<⎪⎨⎪≥⎩，解该不等式组即得实数a 的取值范围．试题解析：（1）()03:><<a a x a p 121:<<x q ……………………………………2分 41=a 时 4341:<<x p p q ∧Q 为真 p ∴真且q 真……………………………………………………3分 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<<<1214341x x 得4321<<x 即q p ∧为真时，实数x 的取值范围为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<4321x x…………………………5分 （2）p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，即q p ⌝⇒⌝且p q ⌝⇒⌝ 等价于p q ⇒且q p ⇒ 记⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<=121x xA {}0,3><<=a a x a xB 则A B 是的真子集………8分 ⎪⎩⎪⎨⎧>=∴1321a a 或⎪⎩⎪⎨⎧≥<1321a a 得2131≤≤a ………………………………………10分。

第02节 命题及其关系、逻辑联结词、充分条件与必要条件班级__________ 某某_____________ 学号___________ 得分__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的。

）1.【2017某某某某模拟】直线：10mx y +-=与直线：(2)10m x my -+-=，则“1m =”是“12l l ⊥”的（ ）A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A.【解析】12l l ⊥⇔(2)00m m m m -+=⇒=或1m =，故是充分不必要条件，故选A. 2.【2017某某某某二模】已知命题p ：“1m =-”，命题：“直线0x y -=与直线20x m y +=互相垂直”，则命题p 是命题的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要 【答案】A3．【2017某某4月质检】“()ln 20x +<”是“0x <”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】“()ln 20x +<”可得： 021x <+<，即21x -<<-,必有0x <，充分性成立； 若“0x <”未必有21x -<<-,必要性不成立，所以“()ln 20x +<”是“0x <”的充分不必要，故选A.4.已知数列{}n a 的前项和为2n S an bn c =++，则数列{}n a 是等差数列的充要条件为（ ）A ．0,0a c ≠=B ．0,0a c ==C ．0c =D ．0c ≠ 【答案】C【解析】由2n S an bn c =++，可得：1a a b c =++，当2n ≥时，221112[]n n n a S S an bn c a n b n c an a b -=-=++--+-+=-+（）（），数列{}n a 是等差数列的充要条件为20a a b a b c c -+=++⇒=．故选：C ．5.【2017某某某某监测】设x R ∈，则“12x <<”是“|2|1x -<”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】试题分析：|2|113x x -<⇒<<⇒“12x <<”是“|2|1x -<”的充分不必要条件,故选A. 6．【2017某某4月质检】已知集合{}{}2,1,,0A a B a ==，那么“1a =-”是“A B ⋂≠∅”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】C7.【2017某某红桥区二模】设p ：(){|lg 1}x x y x ∈=-，：{|21}xx x -∈<，则p 是的（ ）A. 充分且不必要条件B. 必要且不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】:p 函数()lg 1y x =-得定义域为{}1x x ，:0q x >，p 是的充分不必要条件，选A . 8．【2017某某黄冈三模】设,m n 是空间两条直线，,αβ是空间两个平面，则下列命题中不正确的是（ ）A. 当n α⊥时，“n β⊥”是“//αβ”的充要条件B. 当m α⊂时，“m β⊥”是“αβ⊥”的充分不必要条件C. 当m α⊂时，“//n α”是“//m n ”的必要不充分条件D. 当m α⊂时，“n α⊥”是“m n ⊥”的充分不必要条件 【答案】C【解析】当m α⊂时，“//n α ”⇒ “//m n ”或m 与异面“//m n ” ⇒ “//n α或n α⊂ ”，所以当m α⊂时，“//n α ”是 “//m n ”的即不必要又不充分条件，故C 错误；当m α⊂时，“m β⊥ ”⇒ “αβ⊥ ” ，“αβ⊥ ”推不出“m β⊥ ”，所以当m α⊂时，“m β⊥ ”是 “αβ⊥ ” ，的充分不必要条件，故B 正确；当n α⊥时，“n β⊥ ”⇔ “αβ ” ，所以当n α⊥时，“n β⊥ ”是 “αβ ” ，成立的充要条件，故A 正确；当m α⊂时，“n α⊥ ”⇒ “m n ⊥ ” ，“m n ⊥ ”推不出“n α⊥” ，当m α⊂时，“n α⊥”是“m n ⊥”的充分不必要条件,故D 正确，故选C. 9.在命题p 的四种形式(原命题、逆命题、否命题、逆否命题)中，真命题的个数记为f (p )，已知命题p ：“若两条直线l 1：a 1x ＋b 1y ＋c 1＝0，l 2：a 2x ＋b 2y ＋c 2＝0平行，则a 1b 2－a 2b 1＝0”．那么f (p )等于( ) A ．1 B ．2C ．3 D ．4 【答案】B10．【2017某某某某二模】已知向量()1,a m =，(),1b m =，则“1m =”是“//a b ”成立的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】当1m =时，a b =可以推出//a b ，当//a b 时，211,1,1mm m m =⇒==±不能推出 1.m =所以，“1m =”是“//a b ”成立的充分不必要条件.选A.11．已知m R ∈，“函数21xy m =+-有零点”是“函数log m y x =在()0,+∞上为减函数”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】若函数()21xy f x m ==+-由零点，则(0)111f m m =+-=<，当0m ≤时，函数log m y x =不成立，若函数log m y x =在()0,+∞上为减函数，则01m <<，此时函数21x y m =+-有零点是成立的，所以“函数21x y m =+-有零点”是“函数log m y x =在()0,+∞上为减函数”的必要不充分条件，故选B ．12．【2017某某某某模拟】设函数()()2,,R 0f x ax bx c a b c a =++∈>且，则“02b f f a ⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭”是“()f x 与()()f f x 都恰有两个零点”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】C二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

第 02 节命题及其关系、逻辑联络词、充足条件与必需条件A 基础稳固训练1. 若，则“”是“”的（）A. 充足不用要条件B.必需不充足条件C.充足必需条件D.既不充足也不用要条件【答案】 C【分析】当，而，反过来也建立，因此是充要条件，应选 C.2. 【浙江省金华十校 2 018 年 4 月高考模拟】“”是“”的（）A. 充足而不用要条件B.必需而不充足条件C. 充足必需条件D.既非充足也非必需条件【答案】 A3. 【 2018 年天津卷文】设，则“”是“” 的A. 充足而不用要条件B.必需而不充足条件C.充要条件D.既不充足也不用要条件【答案】 A【分析】剖析：求解三次不等式和绝对值不等式，据此即可确立两条件的充足性和必需性能否成立刻可 .详解：求解不等式可得，求解绝对值不等式可得或，据此可知：“”是“” 的充足而不用要条件.此题选择 A 选项 .点睛：此题主要考察绝对值不等式的解法，充足不用要条件的判断等知识，意在考察学生的转变能力和计算求解能力.4．【 2018 届浙江省“七彩阳光”结盟高三上学期期初联考】若a,b R ，使a b 4 建立的一个充足不用要条件是（）A. a b 4B. a 4C. a 2 且 b 2D.b4【答案】D【分析】A中2+2 4 ，不知足a b 4 ；C中22，2 2 ，不知足a b 4； B 中a 44， b0 ，不知足ab 4；D 中由b 4 可得a b 4 ，但由a b 4得不到b 4 ，如a 1,b 5．选D.5【. 河北省唐山市2018 届三模理】已知命题在中，若，则；命题，. 则以下命题为真命题的是（）A. B. C. D.【答案】 B命题，当时，不建立，故为假命题，应选 B.B 能力提高训练1. 【腾远 2018 年（浙江卷）红卷】设已知是空间五个不一样的点，若点在直线上，则“与是异面直线”是“与是异面直线”的（）A. 充足不用要条件B.充足必需条件C.必需不充足条件D.既不充足也不用要条件【答案】 B【分析】剖析：利用异面直线的定义，依据充要条件的判断方法，即可获得结论.详解：若与是异面直线，则四点不共面，则与是异面直线，而点在上，因此与也是异面直线，若与是异面直线，而点在直线上，因此与是异面直线，因此四点不共面，因此与是异面直线，因此由于充足必需条件，应选 B.点睛：此题主要考察了充要条件的额判断，此中熟记空间中两直线的地点关系是解答的重点，侧重考察了分析问题和解答问题的能力.2 ．【2018 届浙江省诸暨市高三上学期期末】等比数列中，，则“”是“”的（）A.充足不用要条件B.必需不充足条件C. 充要条件D.既不充足又不用要条件【答案】 A3.【 2018 年浙江省一般高等学校全国招生一致考试模拟测试卷】已知二次函数f x ax2bx c a 0 ，则“ y f x 与y f f x有同样的零点”是“c0 ”的（）A. 充足不用要条件B.必需不充足条件C.充要条件D.既不充足也不用要条件【答案】 C【分析】剖析：若 x0是函数f x2f f x 同样的零点可推出ax bx c 与函数yf 00，即 c 0 ，再依据充要条件的定义判断即可.详解：若x0是函数f x ax2bx c 与函数y f f x同样的零点，则 f x00 ，f f x00 .∴ f 0 0 ，即 c0 .∴二次函数2f x 与y f f x 有同样的零点”是f x ax bx c a 0 ，则“ y“ c0 ”的充要条件.应选 C.4．【 2018 届浙江省镇海中学高三上学期期末】已知向量，，则“”是“”的（）A. 充足不用要条件B.必需不充足条件C. 充要条件D.既不充足也不用要条件【答案】 C【分析】先议论充足性：由得因此“再议论必需性：由于“”的必需条件”是“，因此.应选 C.”的充足条件.，所以“”是5．“a 1 ”是“直线ax y 30 的倾斜角大于”的（）4A. 充足而不用要条件B.必需而不充足条件C. 充足必需条件D.既不充足也不用要条件【答案】 AC思想拓展训练1. 【山东省2018 年一般高校招生（春天）】设命题，命题，则以下命题中为真命题的是（）A. B. C. D.【答案】A【分析】剖析：先确立p,q真假，再依据或且非判断复合命题真假.详解：由于命题为真，命题为真，因此为真，、为假，选A.点睛：若要判断一个含有逻辑联络词的命题的真假，需先判断组成这个命题的每个简单命题的真假，再依照“或”：一真即真，“且”：一假即假，“非”：真假相反，做出判断即可.2．已知，则“”是“抛物线的焦点在轴正半轴上”的( )A. 充足不用要条件B.必需不充足条件C. 充足必需条件D.既不充足也不用要条件【答案】 C【分析】若“”，则中的，因此“抛物线的焦点在轴正半轴上”建立，是充足条件；反之，若“抛物线的焦点在轴正半轴上”，则中的，即，则“”建立，故是充足必需条件，应选答案C。

2018年高考一轮复习热点难点精讲精析：1.2命题及其关系、充分条件与必要条件一、命题的关系与真假的判断1、相关链接<1）对于命题真假的判定，关键是分清命题的条件与结论，只有将条件与结论分清，再结合所涉及的知识才能正确地判断命题的真假。

b5E2RGbCAP<2）四种命题的关系的应用掌握原命题和逆否命题，否命题和逆命题的等价性，当一个命题直接判断它的真假不易进行时，可以转而判断其逆否命题的真假。

p1EanqFDPw 注：当一个命题有大前提而写出其他三种命题时，必须保留大前提，大前提不动。

2、例题解读〖例1〗】(1>(2018·苏州模拟>命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是______.DXDiTa9E3d(2>(2018·岳阳模拟>命题“若a＞b，则a-1＞b-1”的否命题是______(3>给出命题：若函数y=f(x>是幂函数，则函数y=f(x>的图象不过第四象限.在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是______.RTCrpUDGiT【解题指导】(1>、(2>先分清原命题的条件和结论，再根据四种命题的概念，写出逆命题、否命题.(3>在判断四种命题的真假时，可根据原命题与其逆否命题、原命题的逆命题与否命题的等价性来判断.【解读】(1>逆命题是将原命题的结论与条件互换位置，故该命题的逆命题是“若一个数的平方是正数，则它是负数”.5PCzVD7HxA(2>同时否定原命题的条件和结论，所得命题就是它的否命题，故该命题的否命题是“若a≤b，则a-1≤b-1”.jLBHrnAILg(3>原命题与逆否命题等价，而原命题为真，所以逆否命题为真命题；原命题的逆命题为：若y=f(x>的图象不过第四象限，则函数y=f(x>是幂函数，此命题为假命题，又因为逆命题与否命题同真同假，所以否命题为假命题，故真命题的个数是1.xHAQX74J0X答案：(1>若一个数的平方是正数，则它是负数(2>若a≤b，则a-1≤b-1(3>1〖例2〗以下列命题为原命题，分别写出它们的逆命题，否命题和逆否命题．①内接于圆的四边形的对角互补；②已知a、b、c、d是实数，若a＝b，c＝d，则a＋c＝b＋d；分析：首先应当把原命题改写成“若p则q”形式，再设法构造其余的三种形式命题．解读：对①：原命题：“若四边形内接于圆，则它的对角互补”；逆命题：“若四边形对角互补，则它必内接于某圆”；否命题：“若四边形不内接于圆，则它的对角不互补”；逆否命题：“若四边形的对角不互补，则它不内接于圆”．对②：原命题：“已知a、b、c、d是实数，若a＝b，c＝d，则a＋c＝b ＋d”，其中“已知a、b、c、d是实数”是大前提，“a＝b，c＝d”是条件，“a＋c＝b＋d”是结论．所以：LDAYtRyKfE逆命题：“已知a、b、c、d是实数，若a＋c＝b＋d，则a＝b，c＝d”；否命题：“已知a、b、c、d是实数，若a≠b或c≠d，则a＋c≠b＋d”(注意“a＝b，c＝d”的否定是“a≠b或c≠d”只需要至少有一个不等即可>；Zzz6ZB2Ltk逆否命题：“已知a、b、c、d是实数，若a＋c≠b＋d则a≠b或c≠d”．逆否命题还可以写成：“已知a、b、c、d是实数，若a＋c≠b＋d则a＝b，c＝d两个等式至少有一个不成立”dvzfvkwMI1说明：要注意大前题的处理．试一试：写出命题“当c＞0时，若a＞b，则ac＞bc”的逆命题，否命题，逆否命题，并分别判定其真假．rqyn14ZNXI二、充分条件与必要条件的判定1、相关链接<1）利用定义判断①若，则p是q的充分条件；注：“p是q的充分条件”是指有p就有q，但无p也可能有q．如“两个三角形全等”是“两个三角形面积相等”的一个充分(不必要>条件，但无“两个三角形全等”也可推出“两个三角形面积相等”，如“两个三角形同底等高”就又是“两个三角形面积相等”的另一个充分(不必要>条件．EmxvxOtOco②若，则p是q的必要条件；注：ⅰ “q是p的必要条件”是指有q才能有p，但有q未必有p．如，一个偶数未必能被6整除(q：为偶数，p：能被6整除>．SixE2yXPq5ⅱ，即无必然无，可见对于来说必不可少。