北京市石景山区2020届高三一模数学试卷及答案

2020北京石景山高三一模数学本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟．请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后上交答题卡．第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.设集合P={1，2，3，4}，Q={x||x|≤3,x∈R}，则P∩Q等于A. {1}B.{1,2,3}C.{3,4}D.{−3,−2,−1,0,1,2,3}2.在复平面内，复数5+6i,3−2i对应的点分别为A,B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是A.8+4iB.2+8iC.4+2iD.1+4i3.下列函数中，既是奇函数又在区间(0,+∞)上单调递减的是A.y=−x2+2B.y=2−xC.y=lnxD. y=1x4.圆x2+y2−2x−8y+13=0的圆心到直线ax+y−1=0的距离为1，则a=A. −43B. −34C. √3D. 25.将4位志愿者分配到博物馆的3个不同场馆服务，每个场馆至少1人，不同的分配方案有（）种A.36B.64C.72D.816.如图，网格纸的小正方形的边长是1，粗线表示一正方体被某平面截得的几何体的三视图，则该几何体的体积为A.2B.4C.5D.87.函数f(x)=cos (ωx+π6)(ω>0)的最小正周期为π，则f(x)满足A.在(0,π3)上单调递增B.图象关于直线x=π6对称C. f (π3)=√32D.当x =5π12时有最小值−18.设{a n }是等差数列，其前n 项和为S n .则“S 1+S 3>2S 2”是“{a n }为递增数列”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件9.设f(x)是定义在R 上的函数，若存在两个不等实数x 1,x 2∈R ，使得f (x 1+x 22)=f (x 1)+f(x 2)2，则称函数f(x)具有性质P ，那么下列函数：①f (x )={1x x ≠00 x =0②f (x )=x 2;③f (x )=|x 2−1|;具有性质P 的函数的个数为A.0B.1C.2D.310.点M ，N 分别是棱长为2的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中棱BC,CC 1的中点，动点P 在正方形BCC 1B 1（包括边界）内运动.若PA 1∥面AMN ，则PA 1的长度范围是 A. [2,√5] B. [3√22,√5] C. [3√22,3]D. [2,3]第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11.已知向量BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,√32),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32,12),，则∠ABC =__________． 12.已知各项为正数的等比数列{a n }中，a 1=1，其前n 项和为S n (n ∈N ∗)，且1a 1−1a 2=2a 3则S 4=__________．13.能够说明“设a,b 是任意非零实数，若“a >b ，则1a <1b ”是假命题的一组整数a,b 的值依次为______________．14.已知F 是抛物线C:y 2=4x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ．若M 为FN 的中点，则|FN |=__________．15.石景山区为了支援边远山区的教育事业，组织了一支由13名一线中小学教师组成的支教团队，记者采访其中某队员时询问这个团队的人员构成情况，此队员回答：①有中学高级教师；②中学教师不多于小学教师；③小学高级教师少于中学中级教师；④小学中级教师少于小学高级教师；⑤支教队伍的职称只有小学中级、小学高级、中学中级、中学高级；⑥无论是否把我计算在内，以上条件都成立.由此队员的叙述可以推测出他的学段及职称分别是_______、_______．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.（本小题14分）如图，在正四棱锥P−ABCD中，AB=PB=2√2，AC∩BD=O．（Ⅰ）求证：BO⊥面PAC；（Ⅱ）求二面角A−PC−B的余弦值．17.（本小题14分）2020年，北京将实行新的高考方案.新方案规定：语文、数学和英语是考生的必考科目，考生还需从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目．若一个学生从六个科目中选出了三个科目作为选考科目，则称该学生的选考方案确定；否则，称该学生选考方案待确定．例如，学生甲选择“物理、化学和生物”三个选考科目，则学生甲的选考方案确定，“物理、化学和生物”为其选考方案．某校为了解高一年级840名学生选考科目的意向，随机选取60名学生进行了一次调查，统计选考科目人数如下表：((Ⅱ)从选考方案确定的16名男生中随机选出2名，求恰好有一人选“物理、化学、生物”的概率；（Ⅲ）从选考方案确定的16名男生中随机选出2名，设随机变量ξ={0两名男生选考方案不同1两名男生选考方案相同，求ξ的分布列和期望。

2020年北京市石景山区高考一模试卷数学文一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.设集合A={x|(x+1)(x-2)＜0}，集合B={x|1＜x ＜3}，则A ∩B=( ) A.{x|-1＜x ＜3} B.{x|-1＜x ＜1} C.{x|1＜x ＜2} D.{x|2＜x ＜3}解析：A={x|-1＜x ＜2}，∴A ∩B={x|1＜x ＜2}. 答案：C2.下列函数中既是奇函数，又在区间(0，+∞)上是单调递减的函数为( )A.y =B.y=-x 3C.12log y x =D.1y x x=+解析：对于A ，(x ≥0)是非奇非偶的函数，不满足条件；对于B ，y=-x 3，是定义域R 上的奇函数，且在区间(0，+∞)上是单调减函数，满足条件； 对于C ，12log y x =，定义域是(0，+∞)，是非奇非偶的函数，不满足条件；对于D ，1y x x=+，是定义域(-∞，0)∪(0，+∞)上的奇函数，但在区间(0，+∞)上不是单调减函数，也不满足题意. 答案：B3.执行如图所示的程序框图，输出的结果是( )A.3B.11C.38D.123解析：模拟程序的运行，可得a=1，满足条件a＜10，执行循环体，a=3，满足条件a＜10，执行循环体，a=11，不满足条件a＜10，退出循环，输出a的值为11. 答案：B4.设x，y满足约束条件2239x yx yx+≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，，，则下列不等式恒成立的是( )A.x≥1B.y≤1C.x-y+2≥0D.x-3y-6≤0解析：作出x，y满足约束条件2239x yx yx+≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，，，对应的平面区域如图：则A(0，2)，易知x ≥1，y ≤1不成立，直线z=x-y+2经过A 时取得最小值为0，直线z=x-3y-6经过A 时取得最小值为：-12， 由图象可知x-3y-6≤0不成立，恒成立的是x-y+2≥0. 答案：C5.已知平面向量a b r r ，满足32a b ==r r ，，a r 与b r 的夹角为120°，若()a mb a +⊥r r r ，则实数m 的值为( )A.1B.32C.2D.3解析：∵32a b ==r r，，a r 与b r 的夹角为120°， ∴1cos1203232a b a b ⋅=︒=⎛⎫⨯⨯-=⎪⎝-⎭r r r r ．∵()()22330a mb a a mb a a ma b m +⊥∴+⋅=+⋅=-=r r r r r r r r r，，解得m=3.答案：D6.“a ＞b ＞1”是“log a 3＜log b 3”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 解析：由log a 3＜log b 3得3311log log a b＜，若a ＞b ＞1，则log 3a ＞log 3b ＞0，则3311log log a b＜成立，即充分性成立， 若log 3a ＜0，log 3b ＞0时，满足条件，但此时0＜a ＜1，b ＞1，则a ＞b ＞1不成立， 即“a ＞b ＞1”是“log a 3＜log b 3”的充分不必要条件. 答案：A7.若某多面体的三视图(单位：cm)如图所示，则此多面体的体积是( )A.78cm 3B.23cm 3C.56cm 3D.12cm 3 解析：由三视图知几何体是一个正方体减去一个三棱柱， 正方体的棱长是1，∴正方体的体积是1×1×1=1，三棱柱的底面是腰长是12的直角三角形，高是1， ∴三棱柱的体积是111112228⨯⨯⨯=，∴几何体的体积是171.88-=答案：A8.如图，已知线段AB 上有一动点D(D 异于A 、B)，线段CD ⊥AB ，且满足CD 2=λAD ·BD(λ是大于0且不等于1的常数)，则点C 的运动轨迹为( )A.圆的一部分B.椭圆的一部分C.双曲线的一部分D.抛物线的一部分解析：以AB所在直线为x轴，以AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，设AB中点为O，设C(x，y)，AB=2a，则D(x，0)，A(-a，0)，B(a，0)，∵线段CD⊥AB，且满足CD2=λAD·BD(λ是大于0且不等于1的常数)，∴y2=λ(x+a)(x-a)=λx2-λa2，∴λx2+y2=λa2.∴点C的运动轨迹为椭圆的一部分. 答案：B二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9.复数31ii=+.解析：()()()31111. 1111222i ii i iii i i i-----====--+++-答案：11 22i --10.双曲线2212xy-=的焦距是，渐近线方程是 .解析：双曲线2212xy-=中，1a b c===，∴焦距是2c=，渐近线方程是y x=．答案：y x=．11.若圆C的半径为1，其圆心与点(1，0)关于直线y=x对称，则圆C的标准方程为 . 解析：圆心与点(1，0)关于直线y=x对称，可得圆心为(0，1)，再根据半径等于1，可得所求的圆的方程为x2+(y-1)2=1，答案：x2+(y-1)2=1.12.在△ABC中，A=60°，AC=4，，则△ABC的面积等于 .解析：∵△ABC中，A=60°，AC=4，由正弦定理得：4sin sin sinBC ACA B B==，，解得sinB=1，∴B=90°，C=30°，∴△ABC的面积=14sin302⨯⨯︒=答案：.13.在等差数列{a n}中a3=0，如果a k是a6与a k+6的等比中项，那么 . 解析：在等差数列{a n}中，由a3=0，得a k=a3+(k-3)d=(k-3)d，a6=a3+3d=3d，a k+6=a3+(k+3)d=(k+3)d，∵a k是a6与a k+6的等比中项，∴a k2=a6·a k+6，即(k-3)2d2=3d·(k+3)d，∵d≠0，∴k2=9k，得k=9.答案：914.已知函数f(x)=224x x x m x x m⎧--≤⎨-⎩，，，＞．①当m=0时，函数f(x)的零点个数为；②如果函数f(x)恰有两个零点，那么实数m的取值范围为 .解析：①令-x2-2x=0可得x=-2或x=0，令x-4=0得x=4.∴当m=0时，f(x)有3个零点.②若m＜-2，则f(x)在(-∞，m]上无零点，在(m，+∞)上有1个零点x=4，不符合题意；若-2≤m＜0，则f(x)在(-∞，m]上有1个零点x=-2，在(m，+∞)上有1个零点x=4，符合题意；若0≤m＜4，则f(x)在(-∞，m]上有2个零点x=-2，x=0，在(m，+∞)上有1个零点x=4，不符合题意；若m≥4，则f(x)在(-∞，m]上有2个零点x=-2，x=0，在(m，+∞)上无零点，符合题意；∴-2≤m＜0或m≥4.答案：①3，②[-2，0)∪[4，+∞).三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15.已知函数()22cos cos1f x x x x=+-．(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期； (Ⅱ)求函数f(x)在区间[2π，π]上的最小值和最大值. 解析：(Ⅰ)利用二倍角公式以及两角和与差的三角函数化简函数的解析式，然后求函数f(x)的最小正周期；(Ⅱ)通过角的范围求解相位的范围，利用正弦函数的单调性求解函数的最值即可. 答案：(Ⅰ)()22cos cos 1f x x x x =+-1cos 222cos 222sin 2226x x x x x π⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝=+⎝⎭+=+⎭=， 所以周期为T=22π=π. (Ⅱ)因为2π≤x ≤π，所以7132666x πππ≤+≤．所以当13266x ππ+=时，即x=π时，f(x)max =1.当3262x ππ+=时，即x=23π时，f(x)min =-2.16.等差数列{a n }中，a 2=4，其前n 项和S n 满足S n =n 2+λn(λ∈R). (Ⅰ)求实数λ的值，并求数列{a n }的通项公式； (Ⅱ)若数列{1nS +b n }是首项为λ、公比为2λ的等比数列，求数列{b n }的前n 项的和T n . 解析：(I)利用a 2=S 2-S 1=4+2λ-1-λ=4，求出λ=1，再利用数列中a n 与S n 关系a n =S n ，n=1， S n -S n-1，n ≥2，求通项公式.(II)求出数列{1S n +b n }的通项公式，再得出数列{b n }的通项公式，最后根据通项公式形式选择相应方法求和.答案：(I)因为a 2=S 2-S 1=4+2λ-1-λ=4，解得λ=1，∴S n =n 2+n ，当n ≥2时，则a n =S n -S n-1=n 2+n-(n-1)2-(n-1)=2n ， 当n=1时，也满足，所以a n =2n. (II)由已知数列{1nS +b n }是首项为1、公比为2的等比数列， 其通项公式为111112n n n b b S S -⎛⎫ ⎪⎝⎭+=+，且首项1111b S +=，故()11111111111112222211n n n n n n n b b b b S S n n n n ----=+=+⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==-=--++，，， 11()1111112212122311n nn n T n n n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ =++⋯+⋯--⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦+-+⋯+-=--++．17.抢“微信红包”已经成为中国百姓欢度春节时非常喜爱的一项活动.小明收集班内20名同学今年春节期间抢到红包金额x(元)如下(四舍五入取整数)：102 52 41 121 72162 50 22 158 4643 136 95 192 5999 22 68 98 79对这20个数据进行分组，各组的频数如下：(Ⅰ)写出m，n的值，并回答这20名同学抢到的红包金额的中位数落在哪个组别；(Ⅱ)记C组红包金额的平均数与方差分别为v1、s12，E组红包金额的平均数与方差分别为v2、s22，试分别比较v1与v2、s12与s22的大小；(只需写出结论)(Ⅲ)从A，E两组所有数据中任取2个，求这2个数据差的绝对值大于100的概率.解析：(Ⅰ)由题意求出m=4，n=2，从而能求出这20名同学抢到的红包金额的中位数落在B 组.(Ⅱ)记C组红包金额的平均数与方差分别为v1、s12，E组红包金额的平均数与方差分别为v2、s22，由此能比较v1与v2、s12与s22的大小.(Ⅲ)A组两个数据为22，22，E组两个数据为162，192，任取两个数据，利用列举法能求出这2个数据差的绝对值大于100的概率.答案：(Ⅰ)由题意求出m=4，n=2，这20名同学抢到的红包金额的中位数落在B组. (Ⅱ)记C组红包金额的平均数与方差分别为v1、s12，E组红包金额的平均数与方差分别为v2、s22，则v1＜v2，s12＜s22.(Ⅲ)A组两个数据为22，22，E组两个数据为162，192任取两个数据，可能的组合有6种结果，分别为：(22，22)，(22，162)，(22，192)，(22，162)，(22，192)，(162，192)，记数据差的绝对值大于100为事件A，事件A包括4种结果，∴这2个数据差的绝对值大于100的概率P(A)=42 63 ．18.如图，在三棱锥D-ABC中，已知△BCD是正三角形，AB⊥平面BCD，AB=BC=a，E为BC点，F棱AC上，且AF=3FC.(1)求三棱锥D-ABC 的体积； (2)求证：AC ⊥平面DEF ；(3)若M 为DB 中点，N 在棱AC 上，且CN=38CA ，求证：MN ∥平面DEF. 解析：(1)直接利用体积公式，求三棱锥D-ABC 的体积； (2)要证AC ⊥平面DEF ，先证AC ⊥DE ，再证AC ⊥EF ，即可.(3)M 为BD 的中点，连CM ，设CM ∩DE=O ，连OF ，只要MN ∥OF 即可. 答案：(1)∵△BCD 是正三角形，AB ⊥平面BCD ，AB=BC=a ，∴三棱锥D-ABC 的体积2313V a =⨯=． (2)取AC 的中点H ，∵AB=BC ，∴BH ⊥AC.∵AF=3FC ，∴F 为CH 的中点.∵E 为BC 的中点，∴EF ∥BH.则EF ⊥AC. ∵△BCD 是正三角形，∴DE ⊥BC. ∵AB ⊥平面BCD ，∴AB ⊥DE.∵AB ∩BC=B ，∴DE ⊥平面ABC.∴DE ⊥AC. ∵DE ∩EF=E ，∴AC ⊥平面DEF. (3)连CM ，设CM ∩DE=O ，连OF. 由条件知，O 为△BCD 的重心，CO=23CM. 当CN=38CA 时，CF=23CN ，∴MN ∥OF. ∵MN ⊄平面DEF ，OF ⊂平面DEF ，∴MN ∥平面DEF.19. 已知椭圆E ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的离心率e=2，焦距为(Ⅰ)求椭圆E 的方程；(Ⅱ)若C ，D 分别是椭圆E 的左、右顶点，动点M 满足MD ⊥CD ，连接CM ，交椭圆E 于点P.证明：OM OP ⋅u u u u r u u u r为定值(O 为坐标原点).解析：(Ⅰ)根据题意，分析可得椭圆中c 的值，结合椭圆的离心率公式可得a 的值，计算可得b 的值，将a 、b 的值代入椭圆的方程，即可得答案；(Ⅱ)根据题意，设l CM ：x=my-2，联立直线与椭圆的方程，用根与系数的关系分析，用m 表示P 的坐标结合直线的方程分析可得M 的坐标，进而可以用m 表示OM OP ⋅u u u u r u u u r，分析可得答案.答案：(Ⅰ)根据题意，椭圆E的焦距为2c=，所以，因为c e a ==所以c=2， 因为a 2=b 2+c 2，所以b 2=2，所以椭圆方程为22142x y +=. (Ⅱ)因为直线CM 不在x 轴上，故可设l CM ：x=my-2.由221422x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，，得(m 2+2)y 2-4my=0， ∴22224422P P m m y x m m -==++，，即P(22224422m mm m -++，).在直线x=my-2中令x=2，则4M y m =，即M(2，4m). ∴2224816422m OM OP m m -⋅=+=++u u u u r u u u r ．∴OM OP ⋅u u u u r u u u r 为定值4.20.设函数f(x)=lnx+mx，m ∈R. (Ⅰ)当m=e(e 为自然对数的底数)时，求f(x)的极小值； (Ⅱ)讨论函数g(x)=f ′(x)-3x零点的个数； (Ⅲ)若对任意b ＞a ＞0，()()f b f a b a--＜1恒成立，求m 的取值范围.解析：(Ⅰ)m=e 时，f(x)=lnx+e x ，利用f ′(x)判定f(x)的增减性并求出f(x)的极小值； (Ⅱ)由函数g(x)=f ′(x)-3x ，令g(x)=0，求出m ；设φ(x)=m ，求出φ(x)的值域，讨论m 的取值，对应g(x)的零点情况；(Ⅲ)由b ＞a ＞0，()()f b f a b a--＜1恒成立，等价于f(b)-b ＜f(a)-a 恒成立； 即h(x)=f(x)-x 在(0，+∞)上单调递减；h ′(x)≤0，求出m 的取值范围. 答案：(Ⅰ)当m=e 时，f(x)=lnx+e x ，∴f ′(x)=2x e x -； ∴当x ∈(0，e)时，f ′(x)＜0，f(x)在(0，e)上是减函数；当x ∈(e ，+∞)时，f ′(x)＞0，f(x)在(e ，+∞)上是增函数；∴x=e 时，f(x)取得极小值为f(e)=lne+e e=2； (Ⅱ)∵函数g(x)=f ′(x)-2133x m x x x =--(x ＞0)， 令g(x)=0，得m=-13x 3+x(x ＞0)； 设φ(x)=-13x 3+x(x ＞0)， ∴φ′(x)=-x 2+1=-(x-1)(x+1)；当x ∈(0，1)时，φ′(x)＞0，φ(x)在(0，1)上是增函数，当x ∈(1，+∞)时，φ′(x)＜0，φ(x)在(1，+∞)上是减函数；∴x=1是φ(x)的极值点，且是极大值点，∴x=1是φ(x)的最大值点，∴φ(x)的最大值为φ(1)=23； 又φ(0)=0，结合y=φ(x)的图象，如图；可知：①当m ＞23时，函数g(x)无零点； ②当m=23时，函数g(x)有且只有一个零点；③当0＜m ＜23时，函数g(x)有两个零点； ④当m ≤0时，函数g(x)有且只有一个零点； 综上，当m ＞23时，函数g(x)无零点； 当m=23或m ≤0时，函数g(x)有且只有一个零点； 当0＜m ＜23时，函数g(x)有两个零点； (Ⅲ)对任意b ＞a ＞0，()()f b f a b a--＜1恒成立， 等价于f(b)-b ＜f(a)-a 恒成立；设h(x)=f(x)-x=lnx+m x-x(x ＞0)，则h(b)＜h(a). ∴h(x)在(0，+∞)上单调递减；∵h ′(x)=211m x x--≤0在(0，+∞)上恒成立， ∴m ≥-x 2+x=-(x-12)2+14(x ＞0)，∴m ≥14； 对于m=14，h ′(x)=0仅在x=12时成立；∴m 的取值范围是[14，+∞). 考试高分秘诀是什么？试试这四个方法，特别是中考和高考生谁都想在考试中取得优异的成绩，但要想取得优异的成绩，除了要掌握好相关的知识定理和方法技巧之外，更要学会一些考试技巧。

2020年北京市石景山区高考数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知集合P=[−1,3]，Q={x||x−1|≤1}，则P∩Q=()A. [−1,0]B. [0,2]C. [−2,3]D. [−1,3]2.在复平面上，复数3−2i对应的点位于()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.下列函数中，既是偶函数又在(0,+∞)上单调递增的是()A. y=x3B. y=ln|x|C. y=x−2D. y=|log2x|4.直线x−y+1=0与圆x2+y2=1的关系是()A. 相切B. 相交但不过圆心C. 相离D. 相交且过圆心5.将4名志愿者全部分配到三个不同的场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的分配方案总数为()A. 18B. 24C. 36D. 726.如图，网络纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四棱锥的三视图，则该几何体的体积为()A. 2B. 83C. 6D. 87.设函数的最小正周期为π，且f(−x)=f(x)，则()A. f(x)在(0,π2)单调递减 B. f(x)在(π4,3π4)单调递减C. f(x)在(0,π2)单调递增 D. f(x)在(π4,3π4)单调递增8.已知等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，则“d>0”是“S3+S5>2S4”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件9.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)=e x(x+1)，给出下列命题：①当x>0时，f(x)=e x(1−x)；②f(x)>0的解集为(−1,0)∪(1,+∞)；③函数f(x)有2个零点；④∀x1，x2∈R，都有|f(x1)−f(x2)|<2，其中正确命题的个数是()A. 1B. 2C. 3D. 410.在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E,F分别是棱BC,CC1的中点，P是侧面BCC1B1内(含边界)一点，若，则线段A1P长度的取值范围是()A. (√22,√52) B. [3√24,√52] C. [1,√52] D. [0,√52]二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）11.已知向量a⃗=(1,√3)，向量a⃗,c⃗的夹角是π3，a⃗·c⃗=2，则|c⃗|等于________．12.已知首项为1的正项等比数列{a n}的前n项和为S n，a1+a3=10，则S4a4−2=_______．13.由命题“∃x∈R，x2+2x+m≤0”是假命题，求得实数m的取值范围是(a,+∞)，则实数a=______ ．14.M是抛物线y2=8x上一点，F是抛物线的焦点，若|FM|=8，则∠xFM的大小为______．15.某医务人员说：“包括我在内，我们社区诊所医生和护士共用17名，无论是否把我算在内，下面是否都是对的，在这些医务人员中：医生不少于护士，女护士多于男医生，男医生比女医生多；至少有两名男护士．”请你推断说话的人的性别与职业是______．三、解答题（本大题共6小题，共85.0分）16.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为矩形且AD=2AB，侧面PAD⊥底面ABCD，且侧面PAD是正三角形，E是AD中点．(1)证明：CE⊥平面PBE；(2)求二面角D−PC−B的余弦值．17.天津高考数学试卷共有8道选择题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，评分标准规定：“选对得5分，不选或选错得0分”.某考生已确定有4道题答案是正确的，其余题中：有两道只能分别判断2个选项是错误的，有一道仅能判断1个选项是错误的，还有一道因不理解题意只好乱猜，求：(Ⅰ)该考生得40分的概率；(Ⅱ)写出该考生所得分数孝的分布列，并求：①该考生得多少分的可能性最大？②该考生所得分数ξ的数学期望⋅18.已知，△ABC同时满足下列四个条件中的三个：①A=π3；②cosB=−23；③a=7；④b=3．(Ⅰ)请指出这三个条件，并说明理由；(Ⅱ)求△ABC的面积．19.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点A(2,0)，且离心率为√32．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)设直线y=kx+√3与椭圆C交于M，N两点，若直线x=3上存在点P，使得四边形PAMN 是平行四边形，求k的值．20.已知函数f(x)=x−lnx−1．(Ⅰ)求函数f(x)在x=2处的切线方程；(Ⅱ)若x∈(0,+∞)时，f(x)≥ax−2恒成立，求实数a的取值范围．21.已知首项为3的等比数列{a n}的前n项和为S n(n∈N∗)，且−2S2，S3，4S4成等差数列．2(1)求数列{a n}的通项公式；(2)对于数列{A n}，若存在一个区间M，均有A i∈M，(i=1,2，3…)，则称M为数列{A n}的“容，试求数列{b n}的“容值区间”长度的最小值．值区间”.设b n=S n+1Sn-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：∵集合P=[−1,3]，Q={x||x−1|≤1}={x|0≤x≤2}，∵P∩Q={x|0≤x≤2}=[0,2]．故选：B．先分别求出集合P，Q，由此能求出P∩Q．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．2.答案：D解析：本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．直接写出复数3−2i对应的点的坐标得答案．解：在复平面上，复数3−2i对应的点的坐标为(3,−2)，位于第四象限．故选：D．3.答案：B解析：本题考查函数的单调性与单调区间，函数的奇偶性，指数函数及其性质，对数函数及其性质．掌握奇偶函数的判定方法及常见函数的性质是解题的关键．解：A.y=x3为奇函数，故A错；B.y=ln|x|既是偶函数又在(0,+∞)上单调递增，故B正确；C.y=x−2在(0,+∞)上是减函数，故C错；D.y=|log2x|，函数的定义域为(0,+∞)，不关于原点对称，不是偶函数，故D错．故选B．4.答案：B解析：本题主要考查了直线与圆位置关系，灵活运用点到直线的距离公式化简求值，是一道容易题．解：由圆的方程x2+y2=1，得圆心坐标为(0,0)，圆的半径r=1，圆心到直线x−y+1=0的距离为d=√1+1=√22<1=r，且d≠0所以直线与圆相交且不过圆心，故选B．5.答案：C解析：本题考查排列、组合的运用，为基础题．根据题意，分2步进行分析，先将4人分为2、1、1的三组，再将分好的3组对应3个场馆，由排列、组合公式可得每一步的情况数目，由分步计数原理，计算可得答案．解：首先把4名志愿者分为3组，则有一个组有2人，共有C42种分法，再把分好的3组分到不同的3个场馆，则有A33种分法，所以共有C42A33=36种分法．故选C．6.答案：A解析：本题考查几何体的体积、几何体的三视图，考查学生的计算能力，确定直观图的形状是关键.直观图如图所示，底面为梯形，面积为(1+2)×22=3，四棱锥的高为2，即可求出几何体的体积．解：直观图为四棱锥F−ABHI，如图所示：=3，四棱锥的高为2，底面为梯形，面积为(1+2)×22×3×2=2．∴几何体的体积为13故选A．7.答案：A解析：本题主要考查了辅助角公式以及三角函数的图象和性质，属于基础题．首先根据辅助角将其变成，根据函数周期求出ω，再结合其为偶函数，，再利用余弦函数的图象解答．求出φ=π4解：f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)(ω>0)，且函数f(x)的最小正周期为π，=π，解得ω=2，∴2πω，∵f(−x)=f(x)，，即，，∴取k=0，可得，则f(x)=√2cos2x．)单调递减，则f(x)在(0,π2故选A．8.答案：C解析：【试题解析】本题考查充要性，以及数列，属于基础题．化简求解S3+S5>2S4，再判断充要性．解：∵等差数列{a n}的公差为d，S3+S5>2S4，∴S3+S4+a5>S3+a4+S4，∴a5−a4=d>0，则“d>0”是“S3+S5>2S4”的充要条件，故选：C．9.答案：B解析：解：设x>0，则−x<0，故f(−x)=e−x(−x+1)，又f(x)是定义在R上的奇函数，故f(−x)=−f(x)=e−x(−x+1)，所以f(x)=e−x(x−1)，故①错误；因为当x<0时，由f(x)=e x(x+1)>0，解得−1<x<0，当x>0时，由f(x)=e−x(x−1)>0，解得x>1，故f(x)>0的解集为(−1,0)∪(1,+∞)，故②正确；令e x(x+1)=0可解得x=−1，当e−x(x−1)=0时，可解得x=1，又函数f(x)是定义在R上的奇函数，故有f(0)=0，故函数的零点由3个，故③错误；④∀x1，x2∈R，都有|f(x1)−f(x2)|<2，正确，因为当x>0时f(x)=e−x(x−1)，图象过点(1,0)，又f′(x)=e−x(2−x)，可知当0<x<2时，f′(x)>0，当x>2时，，f′(x)<0，故函数在x=2处取到极大值f(2)=1，e2且当x趋向于0时，函数值趋向于−1，当当x趋向于+∞时，函数值趋向于0，由奇函数的图象关于原点对称可作出函数f(x)的图象，可得函数−1<f(x)<1，故有|f(x1)−f(x2)|<2成立．综上可得正确的命题为②④，故选B逐个验证：①为函数对称区间的解析式的求解；②为不等式的求解，分段来解，然后去并集即可；③涉及函数的零点，分段来解即可，注意原点；④实际上是求函数的取值范围，综合利用导数和极值以及特殊点，画出函数的图象可得范围．本题考查命题真假的判断，涉及函数性质的综合应用，属中档题．10.答案：B解析：本题考查点、线、面间的距离问题，线面平行，属中档题．分别取棱BB1、B1C1的中点M、N，连接MN，易证平面A1MN//平面AEF，由题意知点P必在线段MN上，由此可判断P在M或N处时A1P最长，位于线段MN中点处时最短，由此可解．解：如下图所示：分别取棱BB1、B1C1的中点M、N，连接MN，连接BC1，∵M、N、E、F为所在棱的中点，∴MN//BC1，EF//BC1，∴MN//EF，又MN⊄平面AEF，EF⊂平面AEF，∴MN//平面AEF；∵AA1//NE，AA1=NE，∴四边形AENA1为平行四边形，∴A1N//AE，又A1N⊄平面AEF，AE⊂平面AEF，∴A1N//平面AEF，又A1N∩MN=N，∴平面A1MN//平面AEF，∵P是侧面BCC1B1内一点，且A1P//平面AEF，则P必在线段MN上，在Rt△A1B1M中，A1M=√A1B12+B1M2=√52，同理，在Rt△A1B1N中，求得A1N=√52，∴△A1MN为等腰三角形，当P在MN中点O时A1P⊥MN，此时A1P最短，P位于M、N处时A1P最长，A1O=√A1M2−OM2=3√24，A1M=A1N=√52，所以线段A1P长度的取值范围是[3√24,√5 2].故选B．11.答案：2解析：本题考查向量的坐标以及向量数量积的定义，由向量的坐标可求的向量的模再由向量数量积的定义即可得出答案．解：∵|a⃗|=√12+(√3)2=2又∵a⃗⋅c⃗=|a⃗|⋅|c⃗|⋅cosπ3=2即：2×|c⃗|×12=2∴|c⃗|=2故答案为2.12.答案：85解析：本题考查等比数列通项和求和，属于基础题．先求出公比q，再利用等比数列通项和求和化简求解即可．解：等比数列{a n}中，a1=1，a1+a3=10，由题意设公比为q(q>0)，故1+q²=10，解得q=3(q=−3舍去)，故S4a4−2=1−341−333−2=85．故答案为85．13.答案：1解析：解：存在x∈R，使x2+2x+m≤0”是假命题，∴其否命题为真命题，即是说“∀x∈R，都有x2+2x+m>0”，∴△=4−4m<0，∴m>1，m的取值范围为(1,+∞)．则a=1存在x∈R，使x2+2x+m≤0”是假命题，其否命题为真命题，即是说“∀x∈R，都有x2+2x+m> 0”，根据一元二次不等式解的讨论，可知△=4−4m<0，所以m>1，则a=1．考察了四种命题间的关系和二次函数的性质，属于常规题型．14.答案：60°解析：解：M是抛物线y2=8x上一点，F是抛物线的焦点，若|FM|=8，可得M(6,4√3).|FM|=8，则∠xFM的大小，可得cos∠xFM=6−28=12，则∠xFM的大小为：60°．故答案为：60°．求出抛物线中的M的坐标，然后求解∠xFM的大小．本题考查抛物线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．15.答案：女医生解析：解：设男医生人数为a，女医生人数为b，女护士人数为c，男护士人数为d，则有：①a+b≥c+d②c>a，③a>b④d≥2得出：c>a>b>d≥2，假设：d=2，仅有：a=5，b=4，c=6，d=2时符合条件，又因为使abcd中一个数减一人符合条件，只有b−1符合，即女医生．假设：d>2则没有能满足条件的情况．综上，这位说话的人是女医生．故答案为：女医生．设男医生人数为a，女医生人数为b，女护士人数为c，男护士人数为d，根据已知构造不等式组，推理可得结论．本题考查逻辑推理，考查简单的合情推理等基础知识，考查运算求解能力、分析判断能力，是基础题．16.答案：解：(1)证明：∵侧面△PAD 是正三角形，E 是AD 中点，∴PE ⊥AD ，∵侧面PAD ⊥底面ABCD ，侧面PAD ∩底面ABCD =AD ， ∴PE ⊥底面ABCD ，∴PE ⊥CE ， ∵底面ABCD 是矩形且AD =2AB ， ∴AE =DE =AB =CD ， ∴∠AEB =∠DEC =45°， ∴∠AEB +∠DEC =90°， ∴∠BEC =90°，∴BE ⊥CE ， ∵PE ∩BE =E ，∴CE ⊥平面PBE ．(2)解：以E 为原点，以ED ，EP 所在直线，AD 的垂直平分线为x ，z ，y 轴，建立空间直角坐标系， 设AD =2AB =2，则点D(1,0，0)，C(1,1，0)，P(0,0，√3)，B(−1,1，0)， ∴PD⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0，−√3)，PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1，−√3)，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1，−√3)， 设平面PCB 的法向量m⃗⃗⃗ =(x,y ，z)， 则{m⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−x +y −√3z =0m ⃗⃗⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =x +y −√3z =0，取z =1，得m ⃗⃗⃗ =(0,√3,1)， 设平面PCD 的法向量n ⃗ =(a,b ，c)， 则{n ⃗ ⋅PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =a −√3c =0n ⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a +b −√3c =0，取c =1，得n ⃗ =(√3,0,1)，设二面角D −PC −B 的平面角为θ，则θ为钝角， ∴二面角D −PC −B 的余弦值为：cosθ=−|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=−14．解析：本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．(1)推导出PE ⊥AD ，从而PE ⊥底面ABCD ，PE ⊥CE ，AE =DE =AB =CD ，BE ⊥CE ，由此能证明CE ⊥平面PBE ．(2)以E 为原点，以ED ，EP 所在直线，AD 的垂直平分线为x ，z ，y 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角D −PC −B 的余弦值．17.答案：解：(Ⅰ)设选对一道“可判断2个选项是错误的”题目为事件A ，“可判断1个选项是错误的”该题选对为事件B ， “不能理解题意的”该题选对为事件C ， 则P(A)=12，P(B)=13，P(C)=14， ∴该考生得40分的概率：P =[P(A)]2⋅P(B)⋅P(C)=14×13×14=148．(Ⅱ)①该考生所得分数ξ=20，25，30，35，40， P(ξ=20)=[P(A .)]2P(B .)P(C .)=14×23×34=648，P(ξ=25)=C 21P(A)P(A .)P(B .)P(C .)+[P(A .)]2P(B)P(C .)+[P(A .)]2P(B .)P(C .)=2×(12)2×23×34+14×13×34+14×23×14=1748，P(ξ=30)=[P(A)]2P(B .)P(C .)+C 21P(A .)P(A)P(B .)P(C)+[P(A .)]2P(B)P(C)=(12)2×23×34+2×12×12×23×14+2×12×12×13×34+(12)2×13×14=1748，P(ξ=35)=C 21P(A)P(A .)P(B)P(C)+[P(A)]2P(B .)P(C .)=2×12×12×13×14+(12)2×13×34+(12)2×23×14=748， P(ξ=40)=1−648−1748−1748−748=148，∴该考生得25分或30分的可能性最大． ②Eξ=20×648+25×1748+30×1748+35×748+40×148=33512．解析：(Ⅰ)设选对一道“可判断2个选项是错误的”题目为事件A ，“可判断1个选项是错误的”该题选对为事件B ，“不能理解题意的”该题选对为事件C ，则P(A)=12，P(B)=13，P(C)=14，由此能求出该考生得40分的概率．(Ⅱ)①该考生所得分数ξ=20，25，30，35，40，分别求出相应的概率，由此能求出该考生得25分或30分的可能性最大． ②由①能求出Eξ．本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题．18.答案：(Ⅰ)解：△ABC 同时满足①，③，④.理由如下：若△ABC 同时满足①，②．因为cosB =−23<−12，且B ∈(0,π)，所以B >23π． 所以A +B >π，矛盾．所以△ABC 只能同时满足③，④．因为a >b ，所以A >B ，故△ABC 不满足②． 故△ABC 满足①，③，④．(Ⅱ)解：因为a 2=b 2+c 2−2bccosA ， 所以72=32+c 2−2×3×c ×12． 解得c =8，或c =−5(舍)．所以△ABC 的面积S =12bcsinA =6√3．解析：(Ⅰ)判断三角形的满足的条件，推出结果即可； (Ⅱ)利用余弦定理求出c ，利用面积公式求解△ABC 的面积．本题考查三角形的解法，余弦定理的应用，考查分析问题解决问题的能力．19.答案：解：(Ⅰ)由题意得a =2，e =c a =√32，所以c =√3．因为a 2=b 2+c 2， 所以b =1， 所以椭圆C 的方程为x 24+y 2=1．(Ⅱ)若四边形PAMN 是平行四边形， 则 PA//MN ，且|PA|=|MN|． 所以 直线PA 的方程为y =k(x −2)， 所以 P(3,k)，|PA| =√k 2+1． 设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2). 由{y =kx +√3x 2+4y 2=4得 (4k 2+1)x 2+8√3kx +8=0， 由Δ>0，得 k 2>12，且x 1+x 2=−8√3k4k 2+1，x 1x 2=84k 2+1．所以|MN|=√(k 2+1)[(x 1+x 2)2−4x 1x 2]=√(k 2+1)64k 2−32(4k 2+1)2．因为|PA|=|MN|， 所以 √(k 2+1)64k 2−32(4k 2+1)2=√k 2+1．整理得 16k 4−56k 2+33=0，解得 k =±√32，或 k =±√112．经检验均符合Δ>0，但k =− √32时不满足PAMN 是平行四边形，舍去．所以 k =√32，或 k =±√112．解析：本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．(Ⅰ)利用已知条件求出a ，b ，即可得到椭圆的方程；(Ⅱ)直线PA 的方程为y =k(x −2)，得到 P(3,k)，求出|PA| =√k 2+1，设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理以及弦长公式转化求解即可．20.答案：解：(Ⅰ)由题意得，f′(x)=1−1x ，∴f′(2)=1−12=12，f(2)=1−ln2，∴函数f(x)在x =2处的切线方程为：y −(1−ln2)=12(x −2) 即x −2y −ln4=0(Ⅱ)当x ∈(0,+∞)时，f(x)≥ax −2恒成立， ∴a ≤1+1x −lnx x ，令g(x)=1+1x −lnx x，则g′(x)=lnx−2x 2=0，即x =e 2，可得g(x)在(0,e 2)上单调递减，在(e 2,+∞)上单调递增， ∴g(x)min =g(e 2)=1−1e 2，即a ≤1−1e 2故实数a 的取值范围是(−∞,1−1e 2]．解析：(Ⅰ)求切线方程，关键是求斜率，也就是求f(x)在x =2时的导数，然后利用点斜式，问题得以解决；(Ⅱ)求参数的取值范围，转化为a ≤1+1x −lnx x，也就是求最值的问题，问题得以解决．本题综合考察函数的单调性、导数的应用以及恒成立问题，中等题．21.答案：解：(1)设等比数列{a n }的公比为q(q ≠0)，由−2S 2，S 3，4S 4成等差数列， 知2S 3=−2S 2+4S 4，即a 1+a 2+a 3=−(a 1+a 2)+2(a 1+a 2+a 3+a 4)， ∴a 4a 3=−12=q ，又a 1=32，∴a n =32⋅(−12)n−1；(2)由(1)可知S n =1−(−12)n ，当n 为偶数时，S n =1−(12)n ，易知S n 随n 增大而增大， ∴S n ∈[34,1)，此时b n =S n +1S n∈(2,2512]，当n 为奇数时，S n =1+(12)n ，易知S n 随n 增大而减小， ∴S n ∈(1,32]，此时b n =S n +1S n∈(2,136]，又136>2512，∴b n ∈(2,136]，故数列{b n }的“容值区间”长度的最小值为16．解析：本题考查等差数列的中项的性质和等比数列的通项公式，考查新定义的理解和运用，以及分类讨论的思想方法，注意运用单调性，考查化简整理的运算能力，属于中档题．(1)设等比数列{a n }的公比为q(q ≠0)，运用等差数列的中项的性质，以及等比数列的通项公式，解方程可得q ，即可得到所求通项公式；(2)运用等比数列的求和公式，讨论n 为偶数，n 为奇数，结合数列的单调性，以及“容值区间”的定义，即可得到所求区间的最小值．。

2020北京市石景山区高三一模拟数学（含答案）本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟．请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后上交答题卡．第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1.设集合}4321{，，，=P ，},3|||{R x x x Q ∈≤=，则Q P ⋂等于 A. {}1 B. {}1,23，C. {}34，D. {}3,2,1,0,1,2,3---2. 在复平面内，复数5+6i , 3-2i 对应的点分别为A,B.若C 为线段AB 的中点，则点C对应的复数是 A. 8+4iB. 2+8iC. 4+2iD. 1+4i3.下列函数中，既是奇函数又在区间()0,+∞上单调递减的是A. 22y x =-+B. 2xy -=C. ln y x =D. 1y x=4.圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a = A. 43-B. 34-C.D. 25.将4位志愿者分配到博物馆的3个不同场馆服务，每个场馆至少1人，不同的分配 方案有（ ）种 A. 36B. 64C. 72D. 816. 如图，网格纸的小正方形的边长是1，粗线表示一正方体被某平面截得的几何体的三视图，则该几何体的体积为 A. 2 B. 4 C. 5 D. 87. 函数()cos6f x xπω⎛⎫=+⎪⎝⎭（0ω>）的最小正周期为π，则()f x满足A.在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 B. 图象关于直线6xπ=对称C.32fπ⎛⎫=⎪⎝⎭D. 当512xπ=时有最小值1-8. 设{}n a是等差数列，其前n项和为n S. 则“132+2S S S>”是“{}na为递增数列”的A.充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件9. 设()f x是定义在R上的函数，若存在两个不等实数12,x x∈R，使得1212()()()22x x f x f xf++=，则称函数()f x具有性质P，那么下列函数：①1()00xf x xx⎧≠⎪=⎨⎪=⎩；②2()f x x=；③2()|1|f x x=-；具有性质P的函数的个数为A.0B. 1C. 2D. 310. 点M N，分别是棱长为2的正方体1111ABCD A B C D-中棱1,BC CC的中点，动点P在正方形11BCC B（包括边界）内运动.若1PA∥面AMN，则1PA的长度范围是A.⎡⎣B.2⎡⎢⎣1AN第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11.已知向量1(2BA =uu v，1)2BC =uu u v ，则ABC ∠=__________． 12. 已知各项为正数的等比数列{}n a 中，11a =，其前n 项和为()*n S n N ∈，且123112a a a -=，则4S =_________． 13. 能够说明“设,ab 是任意非零实数，若“a b >，则11a b<”是假命题的一组 整数,a b 的值依次为______________．14. 已知F 是抛物线C:24y x =的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于 点N ．若M 为FN 的中点，则FN =__________．15. 石景山区为了支援边远山区的教育事业，组织了一支由13名一线中小学教师C.2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.[]2,3组成的支教团队，记者采访其中某队员时询问这个团队的人员构成情况，此队员回答：①有中学高级教师；②中学教师不多于小学教师；③小学高级教师少于中学中级教师；④小学中级教师少于小学高级教师；⑤支教队伍的职称只有小学中级、小学高级、中学中级、中学高级；⑥无论是否把我计算在内，以上条件都成立.由此队员的叙述可以推测出他的学段及职称分别是_______、_______．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16.（本小题14分）如图，在正四棱锥P ABCD -中，AB PB ==AC BD O ⋂=． （Ⅰ）求证：BO ⊥面PAC ；（Ⅱ）求二面角A PC B --的余弦值．17.（本小题14分）2020年，北京将实行新的高考方案.新方案规定：语文、数学和英语是考生的必考科C目，考生还需从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目．若一个学生从六个科目中选出了三个科目作为选考科目，则称该学生的选考方案确定；否则，称该学生选考方案待确定．例如，学生甲选择“物理、化学和生物”三个选考科目，则学生甲的选考方案确定，“物理、化学和生物”为其选考方案．某校为了解高一年级840名学生选考科目的意向，随机选取60名学生进行了一次调查，统计选考科目人数如下表：(Ⅰ)估计该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有多少人？(Ⅱ)从选考方案确定的16名男生中随机选出2名，求恰好有一人选“物理、化学、生物”的概率；（Ⅲ）从选考方案确定的16名男生中随机选出2名，设随机变量⎩⎨⎧=两名男生选考方案相同两名男生选考方案不同10ξ，求ξ的分布列和期望.18.（本小题14分）已知锐角ABC △，同时满足下列四个条件中的三个： ①3A p =② 13a = ③ 15c = ④1sin 3C = (Ⅰ)请指出这三个条件，并说明理由； (Ⅱ)求ABC △的面积.19.（本小题15分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为(1,0)F . 直线l 过点F 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点,A B ，线段AB 的中点为M .（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；（Ⅲ）延长线段OM 与椭圆C 交于点P ，若四边形OAPB 为平行四边形，求此时直线l 的斜率．20. （本小题14分）已知函数2()(0),()ln (0)f x x x g x a x a =>=>． （Ⅰ）若()()f x g x >恒成立，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）当1a =时，过()f x 上一点11（，）作()g x 的切线，判断：可以作出多少条切线，并说明理由．21.（本小题14分）有限个元素组成的集合},,,{21n a a a A Λ=，*N ∈n ，记集合A 中的元素个数为()card A ，即()card A n =.定义{|,}A A x y x A y A +=+∈∈，集合A A +中的元素个数记为(+)card A A ,当(1)(+)=2n n card A A +时，称集合A 具有性质P . (Ⅰ)}7,4,1{=A ，}8,4,2{=B ，判断集合B A ,是否具有性质P ，并说明理由；（Ⅱ）设集合}2020,,,{321a a a A =，2020321<<<a a a 且)3,2,1(*=∈i N a i ，若集合A 具有性质P ，求321a a a ++的最大值；（Ⅲ）设集合},,,{21n a a a A Λ=，其中数列}{n a 为等比数列，),,2,1(0n i a i Λ=>且公比为有理数，判断集合集合A 是否具有性质P 并说明理由.。

2020年石景山区高三统一测试数 学本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟．请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后上交答题卡．第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1.设集合}4321{，，，=P ，},3|||{R x x x Q ∈≤=，则Q P ⋂等于 A. {}1 B. {}1,23，C. {}34，D. {}3,2,1,0,1,2,3---2. 在复平面内，复数5+6i , 3-2i 对应的点分别为A,B.若C 为线段AB 的中点，则点C对应的复数是 A. 8+4iB. 2+8iC. 4+2iD. 1+4i3.下列函数中，既是奇函数又在区间()0,+∞上单调递减的是A. 22y x =-+B. 2xy -=C. ln y x =D. 1y x=4.圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a =A. 43-B. 34-C.D. 25.将4位志愿者分配到博物馆的3个不同场馆服务，每个场馆至少1人，不同的分配 方案有（ ）种 A. 36B. 64C. 72D. 816. 如图，网格纸的小正方形的边长是1，粗线表示一正方体被某平面截得的几何体的三视图，则该几何体的体积为A. 2B. 4C. 5D. 87. 函数()cos6f x xπω⎛⎫=+⎪⎝⎭（0ω>）的最小正周期为π，则()f x满足A.在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 B. 图象关于直线6xπ=对称C.3fπ⎛⎫=⎪⎝⎭D. 当512xπ=时有最小值1-8. 设{}n a是等差数列，其前n项和为n S. 则“132+2S S S>”是“{}na为递增数列”的A.充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件9. 设()f x是定义在R上的函数，若存在两个不等实数12,x x∈R，使得1212()()()22x x f x f xf++=，则称函数()f x具有性质P，那么下列函数：①1()00xf x xx⎧≠⎪=⎨⎪=⎩；②2()f x x=；③2()|1|f x x=-；具有性质P的函数的个数为A.0B. 1C. 2D. 310. 点M N，分别是棱长为2的正方体1111ABCD A B C D-中棱1,BC CC的中点，动点P在正方形11BCC B（包括边界）内运动.若1PA∥面AMN，则1PA的长度范围是A.⎡⎣B.⎣1A第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11.已知向量1(2BA =uu v，1)2BC =uu u v ，则ABC ∠=__________． 12. 已知各项为正数的等比数列{}n a 中，11a =，其前n 项和为()*n S n N ∈，且123112a a a -=，则4S =_________． 13. 能够说明“设,ab 是任意非零实数，若“a b >，则11a b<”是假命题的一组 整数,a b 的值依次为______________．14. 已知F 是抛物线C:24y x =的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于 点N ．若M 为FN 的中点，则FN =__________．15. 石景山区为了支援边远山区的教育事业，组织了一支由13名一线中小学教师C.2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.[]2,3组成的支教团队，记者采访其中某队员时询问这个团队的人员构成情况，此队员回答：①有中学高级教师；②中学教师不多于小学教师；③小学高级教师少于中学中级教师；④小学中级教师少于小学高级教师；⑤支教队伍的职称只有小学中级、小学高级、中学中级、中学高级；⑥无论是否把我计算在内，以上条件都成立.由此队员的叙述可以推测出他的学段及职称分别是_______、_______．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16.（本小题14分）如图，在正四棱锥P ABCD -中，AB PB ==AC BD O ⋂=． （Ⅰ）求证：BO ⊥面PAC ；（Ⅱ）求二面角A PC B --的余弦值．17.（本小题14分）2020年，北京将实行新的高考方案.新方案规定：语文、数学和英语是考生的必考科C目，考生还需从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目．若一个学生从六个科目中选出了三个科目作为选考科目，则称该学生的选考方案确定；否则，称该学生选考方案待确定．例如，学生甲选择“物理、化学和生物”三个选考科目，则学生甲的选考方案确定，“物理、化学和生物”为其选考方案．某校为了解高一年级840名学生选考科目的意向，随机选取60名学生进行了一次调查，统计选考科目人数如下表：(Ⅰ)估计该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有多少人？(Ⅱ)从选考方案确定的16名男生中随机选出2名，求恰好有一人选“物理、化学、生物”的概率；（Ⅲ）从选考方案确定的16名男生中随机选出2名，设随机变量⎩⎨⎧=两名男生选考方案相同两名男生选考方案不同10ξ，求ξ的分布列和期望.18.（本小题14分）已知锐角ABC △，同时满足下列四个条件中的三个： ①3A p =② 13a = ③ 15c = ④1sin 3C = (Ⅰ)请指出这三个条件，并说明理由； (Ⅱ)求ABC △的面积.19.（本小题15分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为(1,0)F . 直线l 过点F 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点,A B ，线段AB 的中点为M .（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；（Ⅲ）延长线段OM 与椭圆C 交于点P ，若四边形OAPB 为平行四边形，求此时直线l 的斜率．20. （本小题14分）已知函数2()(0),()ln (0)f x x x g x a x a =>=>． （Ⅰ）若()()f x g x >恒成立，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）当1a =时，过()f x 上一点11（，）作()g x 的切线，判断：可以作出多少条切线，并说明理由．21.（本小题14分）有限个元素组成的集合},,,{21n a a a A Λ=，*N ∈n ，记集合A 中的元素个数为()card A ，即()card A n =.定义{|,}A A x y x A y A +=+∈∈，集合A A +中的元素个数记为(+)card A A ,当(1)(+)=2n n card A A +时，称集合A 具有性质P . (Ⅰ)}7,4,1{=A ，}8,4,2{=B ，判断集合B A ,是否具有性质P ，并说明理由；（Ⅱ）设集合}2020,,,{321a a a A =，2020321<<<a a a 且)3,2,1(*=∈i N a i ，若集合A 具有性质P ，求321a a a ++的最大值；（Ⅲ）设集合},,,{21n a a a A Λ=，其中数列}{n a 为等比数列，),,2,1(0n i a i Λ=>且公比为有理数，判断集合集合A 是否具有性质P 并说明理由.2020年石景山区高三统一测试数学试卷答案及评分参考一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分． 11．6π； 12．15； 13． 21，-；答案不唯一 14．3； 15. 小学中级 ．三、解答题：本大题共6个小题，共85分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（本小题14分）（Ⅰ）证明：联结PO ．在正四棱锥P ABCD -中， PO ⊥底面ABCD ．因为BO ⊂平面ABCD ，所以PO ⊥BO ． …………3分 在正方形ABCD 中，BO AC ⊥， 又因为PO AC O =I ，所以BO ⊥面PAC ． …………6分（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，PO ，AO ，BO 两两垂直，以O 为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系 . …………7分 在正方形ABCD 中，因为AB = 所以2AO =． 又因为PB = 所以2PO =．所以点P 的坐标为(0,0,2)P ，点C 的坐标为(2,0,0)C -，点B 的坐标为(0,2,0)B ． …………8分则(2,0,2)PC =--u u u r ，(2,2,0)CB =u u u r． …………9分由（Ⅰ）知，BO ⊥平面PAC ．所以平面PAC 的一个法向量为1(0,2,0)n OB ==u r u u u r． …………10分 设平面PBC 的一个法向量2(,,)n x y z =u u r．则220,0,n PC n CB ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u r u u u r g u u r u u u r g 即220,220.x z x y --=⎧⎨+=⎩ 令1y =，则1x =-，1z =．故平面PBC 的一个法向量2(1,1,1)n =-u u r． …………13分121212cos ,3||||n n n n n n <>==u r u u ru r u u r g u ru u r所以二面角A PC B --的余弦值为3． …………14分17.（本小题14分）解：(Ⅰ)由数据知，60人中选考方案确定的学生中选考生物的学生有8+20=28人 …1分所以该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有 3926028840=⨯人 ………4分 (Ⅱ)选考方案确定且为“物理，化学，生物”的男生共有8人。

2020年石景山区高三统一测试数 学本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟．请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后上交答题卡．第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1.设集合}4321{，，，=P ，},3|||{R x x x Q ∈≤=，则Q P ⋂等于 A. {}1 B. {}1,23，C. {}34，D. {}3,2,1,0,1,2,3---2. 在复平面内，复数5+6i , 3-2i 对应的点分别为A,B.若C 为线段AB 的中点，则点C对应的复数是 A. 8+4iB. 2+8iC. 4+2iD. 1+4i3.下列函数中，既是奇函数又在区间()0,+∞上单调递减的是A. 22y x =-+B. 2xy -=C. ln y x =D. 1y x=4.圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a =A. 43-B. 34-C.D. 25.将4位志愿者分配到博物馆的3个不同场馆服务，每个场馆至少1人，不同的分配 方案有（ ）种 A. 36B. 64C. 72D. 816. 如图，网格纸的小正方形的边长是1，粗线表示一正方体被某平面截得的几何体的三视图，则该几何体的体积为A. 2B. 4C. 5D. 87. 函数()cos6f x xπω⎛⎫=+⎪⎝⎭（0ω>）的最小正周期为π，则()f x满足A.在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 B. 图象关于直线6xπ=对称C.3fπ⎛⎫=⎪⎝⎭D. 当512xπ=时有最小值1-8. 设{}n a是等差数列，其前n项和为n S. 则“132+2S S S>”是“{}na为递增数列”的A.充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件9. 设()f x是定义在R上的函数，若存在两个不等实数12,x x∈R，使得1212()()()22x x f x f xf++=，则称函数()f x具有性质P，那么下列函数：①1()00xf x xx⎧≠⎪=⎨⎪=⎩；②2()f x x=；③2()|1|f x x=-；具有性质P的函数的个数为A.0B. 1C. 2D. 310. 点M N，分别是棱长为2的正方体1111ABCD A B C D-中棱1,BC CC的中点，动点P在正方形11BCC B（包括边界）内运动.若1PA∥面AMN，则1PA的长度范围是A.⎡⎣B.⎣1A第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11.已知向量1(2BA =uu v，1)2BC =uu u v ，则ABC ∠=__________． 12. 已知各项为正数的等比数列{}n a 中，11a =，其前n 项和为()*n S n N ∈，且123112a a a -=，则4S =_________． 13. 能够说明“设,ab 是任意非零实数，若“a b >，则11a b<”是假命题的一组 整数,a b 的值依次为______________．14. 已知F 是抛物线C:24y x =的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于 点N ．若M 为FN 的中点，则FN =__________．15. 石景山区为了支援边远山区的教育事业，组织了一支由13名一线中小学教师C.2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.[]2,3组成的支教团队，记者采访其中某队员时询问这个团队的人员构成情况，此队员回答：①有中学高级教师；②中学教师不多于小学教师；③小学高级教师少于中学中级教师；④小学中级教师少于小学高级教师；⑤支教队伍的职称只有小学中级、小学高级、中学中级、中学高级；⑥无论是否把我计算在内，以上条件都成立.由此队员的叙述可以推测出他的学段及职称分别是_______、_______．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16.（本小题14分）如图，在正四棱锥P ABCD -中，AB PB ==AC BD O ⋂=． （Ⅰ）求证：BO ⊥面PAC ；（Ⅱ）求二面角A PC B --的余弦值．17.（本小题14分）2020年，北京将实行新的高考方案.新方案规定：语文、数学和英语是考生的必考科C目，考生还需从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目．若一个学生从六个科目中选出了三个科目作为选考科目，则称该学生的选考方案确定；否则，称该学生选考方案待确定．例如，学生甲选择“物理、化学和生物”三个选考科目，则学生甲的选考方案确定，“物理、化学和生物”为其选考方案．某校为了解高一年级840名学生选考科目的意向，随机选取60名学生进行了一次调查，统计选考科目人数如下表：(Ⅰ)估计该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有多少人？(Ⅱ)从选考方案确定的16名男生中随机选出2名，求恰好有一人选“物理、化学、生物”的概率；（Ⅲ）从选考方案确定的16名男生中随机选出2名，设随机变量⎩⎨⎧=两名男生选考方案相同两名男生选考方案不同10ξ，求ξ的分布列和期望.18.（本小题14分）已知锐角ABC △，同时满足下列四个条件中的三个： ①3A p =② 13a = ③ 15c = ④1sin 3C = (Ⅰ)请指出这三个条件，并说明理由； (Ⅱ)求ABC △的面积.19.（本小题15分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为(1,0)F . 直线l 过点F 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点,A B ，线段AB 的中点为M .（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；（Ⅲ）延长线段OM 与椭圆C 交于点P ，若四边形OAPB 为平行四边形，求此时直线l 的斜率．20. （本小题14分）已知函数2()(0),()ln (0)f x x x g x a x a =>=>． （Ⅰ）若()()f x g x >恒成立，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）当1a =时，过()f x 上一点11（，）作()g x 的切线，判断：可以作出多少条切线，并说明理由．21.（本小题14分）有限个元素组成的集合},,,{21n a a a A Λ=，*N ∈n ，记集合A 中的元素个数为()card A ，即()card A n =.定义{|,}A A x y x A y A +=+∈∈，集合A A +中的元素个数记为(+)card A A ,当(1)(+)=2n n card A A +时，称集合A 具有性质P . (Ⅰ)}7,4,1{=A ，}8,4,2{=B ，判断集合B A ,是否具有性质P ，并说明理由；（Ⅱ）设集合}2020,,,{321a a a A =，2020321<<<a a a 且)3,2,1(*=∈i N a i ，若集合A 具有性质P ，求321a a a ++的最大值；（Ⅲ）设集合},,,{21n a a a A Λ=，其中数列}{n a 为等比数列，),,2,1(0n i a i Λ=>且公比为有理数，判断集合集合A 是否具有性质P 并说明理由.2020年石景山区高三统一测试数学试卷答案及评分参考一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分． 11．6π； 12．15； 13． 21，-；答案不唯一 14．3； 15. 小学中级 ．三、解答题：本大题共6个小题，共85分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（本小题14分）（Ⅰ）证明：联结PO ．在正四棱锥P ABCD -中， PO ⊥底面ABCD ．因为BO ⊂平面ABCD ，所以PO ⊥BO ． …………3分 在正方形ABCD 中，BO AC ⊥， 又因为PO AC O =I ，所以BO ⊥面PAC ． …………6分（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，PO ，AO ，BO 两两垂直，以O 为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系 . …………7分 在正方形ABCD 中，因为AB = 所以2AO =． 又因为PB = 所以2PO =．所以点P 的坐标为(0,0,2)P ，点C 的坐标为(2,0,0)C -，点B 的坐标为(0,2,0)B ． …………8分则(2,0,2)PC =--u u u r ，(2,2,0)CB =u u u r． …………9分由（Ⅰ）知，BO ⊥平面PAC ．所以平面PAC 的一个法向量为1(0,2,0)n OB ==u r u u u r． …………10分 设平面PBC 的一个法向量2(,,)n x y z =u u r．则220,0,n PC n CB ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u r u u u r g u u r u u u r g 即220,220.x z x y --=⎧⎨+=⎩ 令1y =，则1x =-，1z =．故平面PBC 的一个法向量2(1,1,1)n =-u u r． …………13分121212cos ,3||||n n n n n n <>==u r u u ru r u u r g u ru u r所以二面角A PC B --的余弦值为3． …………14分17.（本小题14分）解：(Ⅰ)由数据知，60人中选考方案确定的学生中选考生物的学生有8+20=28人 …1分所以该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有 3926028840=⨯人 ………4分 (Ⅱ)选考方案确定且为“物理，化学，生物”的男生共有8人。