九年级数学下册 24 圆 课题 正多边形的性质课件 (新版)沪科版

8.下列说法中正确的是( D ) A.平行四边形是正多边形 B. 矩形是正四边
形
C. 菱形是正四边形 D. 正方形A是正四边形
9. 下列命题中,真命题的个数是(
)
①各边都相等的多边形是正多边形; ②各角
都相等的多边形是正多边形; ③正多边形一
定是中心对称图形; ④边数相同的正多边形
一定相似.
A.1 B.2 C. 3 D. 4
2
一个内角是1_2_0_°___． 4、正n边形的一个外角度数与它
的_中_心____角的度数相等．
5.正多边形一定是--轴--------对称图形,一个正 n边形共有----n--------条对称轴,每条对称轴 都称通图过形-,n--中一--心-定---是-;如--偶-果--数-一---个-. 正n边形是中心对 6.将一个正五边形绕它的中心旋转,至少要 旋转-7--2----度,才能与原来的图形位置重合. 7.两个正三角形的内切圆的半径分别为12 和18,则它们的周长之比为-2--﹕---3-,面积之比 为----4--﹕--9----.
点所得的多边形是这个圆的内 接正多边形. ⑵这个圆是这个正多边形的外 接圆.正多边形的外接圆的圆心 叫做正多边形的中心
正多边形是否是轴对 称或中心对称图形？ 正多边形的性质: 1.正多边形的各边相等,各角相等.
2.正n边形是轴对称图形,有n对称轴;但 不一定是中心对称,除非n是偶数 3.边数相同的正多边形相似
有古
一人
个云
在：
路“
上读
。万
”卷
从书
古，
至行
今万
，里
学路
习。
和”
旅今
行人
都说
是：
相“

F A O 4m
E D
亭子地基的面积
r 1 1 S l r 24 2 3 41.6(m 2 ). B M C 2 2
例2 求边长为a的正六边形的周长和面积. 解：如图，过正六边形的中心O作OG⊥BC，垂足为 G，连接OB，OC，设该正六边形的周长和面积分别 为 l和 S . ∵ 多边形ABCDEF为正六边形，
第24章
圆
第2课时 正多边形的性质
导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结
学习目标
1. 理解正多边形的中心、半径、边心距、中心角的概 念.（重点） 2. 掌握正多边形的性质并能加以应用.（难点）
导入新课
复习引入
问题1 什么是正多边形？
各边相等，各角也相等的多边形叫作正多边形. 问题2 如何作出正多边形？ 将一个圆n等分，就可以作出这个圆的内接或
A M
O .
N
图①
M C B
O
M N C B
O N C
图③
D
B
图②
课堂小结
中心 正多边形 的对称性
正多边形的 有 关 概 念
半径 边心距 中心角
正多边形 的性质
正多边形的 有 关 计 算
添加辅助线的方法： 连半径，作边心距
于H、K，连接BD，作CG⊥BD于G. ∵六边形ABCDEF是正六边形 ∴AB∥DE，AF∥CD，BC∥EF，
K
E
∴P到AF与CD的距离之和，及P到EF、BC的距离之和，均为 HK的长.
∵BC=CD，∠BCD=∠ABC=∠CDE=120°， ∴∠CBD=∠BDC=30°，BD∥HK，且BD=HK.
∵CG⊥BD， ∴BD=2BG=2×BC×cos∠CBD=6.

∴ ∠PAB= ∠ PBA= ∠ QBC= ∠ QCB
P
A
T
∵ A B= B C
B Q
C
E
·O
R
D S
∴ AB=BC
△ ∴ PAB≌△QBC ∴ ∠P= ∠ Q,PQ=2PA
同理∴ ∠P= ∠ Q = ∠S =∠R=∠T, PQ==QS=SR=RT=TP=2PA
∵五边形PTRSQ的各边都与⊙O相切
∴ 五边形PTRSQ是⊙O的外切正五边形,
正多边形与圆的关系定理1
把一个圆分成n等份(n≥3),
* 顺次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形
* 过等分点做圆的切线，以相邻切线交点为顶点的多边形是
这个圆的外切正n边形
例、求证：正五边形的对角线相等。
已知：ABCDE是正五边形。
求证：DB=CE
A
证明： 在△BCD和△CDE中 ∵BC=CD ∠BCD=∠CDE CD=DE ∴△BCD≌△CDE ∴BD=CE 同理可证对角线相等。
A
F
仔细考虑如何利用 画正六边形的方法 得到正十二边形
B
·O
E
C
D
把圆六等分，取其中一段弧平 分，以此平分点再把圆六等分 ，顺次连接各点
作出正六边形后，则可作正三角形， 正十二边形，正二十四边形……
用尺规作图法画正四边形
用圆规和直尺作两条互相垂 直的直径，就可以把圆4等分， 从而作出正方形．
A
D
O·
我国民间相传有正五边形的近似画法
A
画法口诀： 九五顶五九,八五两边分
画法口诀意义：
(以边长10的正五边形为例)
5.9
B
E
8F
8

归纳总结
正 n 边形都是轴对称图形，都有 n 条对称轴， 且这些对称轴都通过正多边形的中心. 如果 n 为 偶数，那么它又是中心对称图形，它的中心就是 对称中心.
课堂小结
正多边形 的对称性
正多边形的 有关概念
正多边形 的性质
正多边形的 有关计算
中心 半径 边心距 中心角
添加辅助线的方法： 连半径，作边心距
正多边形的外角=中心角
正多边形 边数
3 4 6
n
内角
60°
90°
120°
中心角
120°
90°
60°
(n 2) 180 360
n
n
外角
120° 90° 60°
360 n
应用举例
范例1：如果一个正多边形的每个外角都等于36°，
那么这个正多边形的中心角等于( A )
A．36°
B．18°
C．72°
D．54°
探究新知
正多边形的有关概念
我们仍然以五边形为例来进行研究.
如图，过正五边形ABCDE的顶点A，B，C作
⊙O，连结OA，OB，OC，OD，OE.
∵ OB=OC，
D
∴ ∠OBC=∠OCB.
又 ∵ ∠ABC=∠BCD，
E
C
∴ ∠OBA=∠OCD.
O
A
B
∵ AB=DC，
∴ △OAB≌△ODC.
∴ OA=OD，
∵ BC = CD，∠BCD =∠ABC =∠CDE = 120°， ∴∠CBD =∠BDC = 30°，BD∥HK，且 BD = HK. ∵ CG⊥BD，∴ BD = 2BG = 2BC·cos∠CBD = 6. ∴ 点 P 到各边的距离之和为 3BD = 3×6 = 18.

n
新课导入
情境导入
如图，要拧开一个边长为6cm的正六边形螺帽，扳手张开 的开口至少是多少？你能想办法知道吗？
新课讲解
知识点1 正多边形的性质
合作探究
问题一 是不是每一个正多边形都有一个外接圆和内切圆呢？ 以正五边形为例来说明
解：如图，过正五边形ABCDE的顶点A，B，C
作⊙O，连接OA，OB，OC，OD，OE
新课讲解
练一练
1 下列圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角最大的图
形是( A ) A．正三角形
B．正方形
C．正五边形
D．正六边形
2 在正三角形、正方形、正五边形、正六边形中，中心对称 图形有( C )
A．0个 B．1个 C．2个 D．4个
新课讲解
3 如图,正五边形ABCDE和正三角形AMN都是 ☉O的内接多边形,则∠BOM= 48 °.
新课讲解
解：胶带包括上、下面各3段，侧面6段．上、下面中的每段胶 带长等于图中的OC的2倍．利用中心角可求得∠COB＝ 30°，由正六边形的边长为12 cm，易得BC＝6 cm，所以 OB＝12 cm，由勾股定理得OC＝ OB2 BC2 6 3 cm，从 而求得上、下面每段胶带长为 12 3 cm，进而求出所需胶 带的长度为(72 3 60)cm ．
B．两角互补
C．两角互余或互补 D．不能确定
2. 正六边形的边心距与边长之比为( B )
A. 3 ∶3
B. 3 ∶2
C．1∶2
D. 2∶2
当堂小练
3. 有一个亭子,它的地基是半径为4 m的正六边形,求地基的 周长和面积 (精确到0.1 m2).
F 抽象成
A
E
O
D
B

9、春去春又回，新桃换旧符。在那桃花盛开的地方，在这醉人芬芳的季节，愿你生活像春天一样阳光，心情像桃花一样美丽，日子像桃子一样甜蜜。 2021/1/122021/1/12Tuesday, January 12, 2021
10、人的志向通常和他们的能力成正比例。2021/1/122021/1/122021/1/121/12/2021 9:12:31 AM 11、夫学须志也，才须学也，非学无以广才，非志无以成学。2021/1/122021/1/122021/1/12Jan-2112-Jan-21 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。2021/1/122021/1/122021/1/12Tuesday, January 12, 2021 13、志不立，天下无可成之事。2021/1/122021/1/122021/1/122021/1/121/12/2021
THE END 17、一个人如果不到最高峰，他就没有片刻的安宁，他也就不会感到生命的恬静和光荣。2021/1/122021/1/122021/1/122021/1/12
谢谢观看
点所得的多边形是这个圆的内 接正多边形. ⑵这个圆是这个正多边形的外 接圆.正多边形的外接圆的圆心 叫做正多边形的中心
正多边形是否是轴对 称或中心对称图形？ 正多边形的性质: 1.正多边形的各边相等,各角相等.
2.正n边形是轴对称图形,有n对称轴;但 不一定是中心对称,除非n是偶数 3.边数相同的正多边形相似
8.下列说法中正确的是( D ) A.平行四边形是正多边形 B. 矩形是正四边
形
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
C. 菱形是正四边形 D. 正方形A是正四边形
9. 下列命题中,真命题的个数是(
)
①各边都相等的多边形是正多边形; ②各角

A.正十二边形
B.正六边形
C.正方形
D.正三角形

，则这个正多边

预习导学
3.如图，正六边形ABCDEF中，AB＝1，连接AD，则AD的长
为
2 .
合作探究
正多边形的有关命题
1.下面给出五个命题:
(1)正多边形都有内切圆和外接圆，且这两个圆是同心圆；
(2)各边相等的圆外切多边形是正多边形；
(3)各角相等的圆内接多边形是正多边形；
(4)正多边形既是轴对称图形又是中心对称图形；
合作探究
°
(5)正n边形的中心角an＝
，且与每一个外角相等.

其中真命题有 (
A.2个
B.3个
B
)
C.4个
D.5个
合作探究
圆内接正多边形的综合
3.如图，△PQR是☉O的内接正三角形，四边形ABCD是☉O
的内接正方形，BC∥QR，求∠AOQ的度数.
预习导学
2.计算正n边形的周长和面积时，我们发现其周长是边长的
n
倍；当其面积没有直接的公式可求时，我们可以用转化的方法
间接求出来，即把原正多边形分割成
n 个全等的
等腰 三角形来求解.
·导学建议·
可向学生说明:在解决正多边形的相关问题时，我们不必将正
多边形的外接圆与内切圆画出来；在使用正多边形的中心O构
建直角三角形时，已经运用了正多边形有一个外接圆和一个内
切圆的相关性质.
预习导学
1.半径为R的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边心距分
别为a，b，c，则a，b，c的大小关系是(
A.a＜b＜c
B.b＜a＜c
C.a＜c＜b
D.c＜b＜a

例：正六边形ABCDEF外切于⊙O，⊙O的半径为R， 则该正六边形的周长和面积各是多少？
解 : 如图 , 设 AB 切 ⊙ O 于 M ， 连结 OA 、 OB OM , 则 OM AB 于 M , AM BM .
在 Rt AOM 中 ,
AOM 1 AOB 30 , 2
OM R ，tan 30 AM , OM
探究总结
定理：任何正多边形都有一个外接圆和 一个内切圆，并且这两个圆是同心圆。
A
B
O
E
·
C
D
中心：一个正多边形的外接圆的圆心。
正多边形的半径：外接圆的半径。
E
D
正多边形的中心角：
正多边形的每一条边所
对的圆心
C
正多边形的边心距：
心 距
中心到正多边形的一边的距离。
r
反过来，是否每一个正多边形都有一个外接 圆和内切圆呢？下面我们仍然以正五边形为例。
过正五边形ABCDE的顶点A、B、C、作⊙O连 接OA、OB、OC、OD
∵OB=OC， ∴∠1=∠2
∵∠ABC=∠BCD ∴∠3=∠4 ∵AB=DC ∴△APB≌△DOC
∴OA=OD 即点D在⊙O上，同理，点E在⊙O上。
4．已知圆内接正方形的边长为4cm，则该圆的内 接正六边形边长为________。 5．圆内接正六边形的边长是8cm，那么该正六边 形的半径为_______；边心距为________。
探究性质
正五边形
正八边形
正三边形
正多边形是轴对称图形，一个正n边形共有n 条对称轴，每条对称轴都通过n边形的中心。
16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/8/312021/8/31August 31, 2021 17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/8/312021/8/312021/8/312021/8/31

B.1- 3
C.１- D.１-
4
5
第十四页，共15页。
3、 如图所示, 已知正六边形ABCDEF的边长为2厘米, 分别以每个顶点 为圆心(yuánxīn), 以1厘米为半径作弧, 求这些弧所围成的图形(阴影部分) 面积.(精确到0.1平方厘米).
S阴 S正六边形 6S扇形AGH
6 3 22 6 120 12
它的中心角等于 360 60，
6
OBC是等边三角形，从而正 A
.. O
六边形的边长等于它的半径.
rR
E D
∴亭子(tíng zi)的周长 L=6×4=24(m) B
PC
在RtOPC中，OC 4，PC BC 4 2 22
根据勾股定理，可得边心距r 42 22 2 3
亭子的面积S 1 Lr 1 24 2 22
1. 如图，在同心圆中，两圆半径分别为2、1，∠AOB= 120°，
则阴影部分(bù fen)的面积为 ( B)
A.4π B.2π C.4/3π D.π
2. 如图，△ABC为等腰直角三角形，∠A=90°， AB=AC=2，⊙A与BC相切，则图中阴影
(yīnyǐng)部分的面积为( ) C
A.1- 2
第三页，共15页。
1、菱形是正多边形(zhèngduōbiānxíng)吗？矩形呢 正方形呢? 为什么？
第四页，共15页。
２、正多边形都是轴对称图形，一个(yī ɡè)正n边形共有n 条对称轴，每条对称轴都通过n边形的中心。
第五页，共15页。
３、边数是偶数的正多边形还是中心对称 (zhōnɡ xīn duì chēnɡ)图形，它的中心就是 对称中心。
D
O叫做正方形ABCD的___中___心_.

形)，所以菱形不一定是正多边形；各边相等，各角相等的多边形是正多边 形，故D不对．
24.6.1 正多边形与圆
获取新知
知识点二：利用圆画正多边形
问题 如图，把☉O进行5等分,依次连接各等分点得到五边形
ABCDE .分别过点A，B，C，D，E作☉O的切线，切线交于点 P，Q，R，S，T，依次连接各交点，得到五边形PQRST.五边
AT
证明：五边形ABCDE是☉O的内接正五边 形.连接OA，OB，OC.则
B
·O
E
S
Q
∠OAB=∠OBA=∠OBC=∠OCB，
C
D
∵ TP，PQ，QR分别是以点A，B，C为切点的☉O的切线，R
∴∠OAP=∠OBP=∠OBQ=∠OCQ，
∴∠PAB=∠PBA=∠QBC=∠QCB.
24.6.1 正多边形与圆
B OC
D
24.6.1 正多边形与圆
解：内接正六方形的做法：
E
D
（1）用直尺作圆的一条直径AD； （2）以点A为圆心，OA为半径作圆，
F
.O C
与⊙O交于点B、F；
（3）以点D为圆心，OD为半径作圆，
你能说明这么作 图的依据吗？连 续的在圆上截取
A
B
与⊙O交与点C、E.
半径为R的弦有什 么问题吗？
24.6.1 正多边形与圆
1. 用量角器等分圆：
由于同圆中相等的圆心角所对的弧相等，因此作相等的圆心角可 以等分圆周，从而得到正多边形．采用“先用量角器画一个 360
n
的圆心角，然后在圆上依次截取这个圆心角所对弧的等弧”．这 种方法简便，且可以画任意正多边形、误差小．
24.6.1 正多边形与圆
2. 用尺规等分圆：