2019版高考数学总复习第二章函数、导数及其应用14导数与函数的单调性课时作业文

第14讲 导数与函数的单调性函数的导数与单调性的关系 函数y ＝f (x )在某个区间内可导，则(1)若f ′(x )>0，则f (x )在这个区间内__单调递增__； (2)若f ′(x )<0，则f (x )在这个区间内__单调递减__.1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．(1)若函数f (x )在区间(a ，b )上单调递增，那么在区间(a ，b )上一定有f ′(x )>0.( × )(2)如果函数在某个区间内恒有f ′(x )＝0，则函数f (x )在此区间内没有单调性．( √ )(3)导数为零的点不一定是极值点．( √ ) (4)三次函数在R 上必有极大值和极小值．( × )解析 (1)错误．函数f (x )在区间(a ，b )上单调递增，则f ′(x )≥0，故f ′(x )>0是f (x )在区间(a ，b )上单调递增的充分不必要条件．(2)正确．如果函数在某个区间内恒有f ′(x )＝0，则f (x )为常数函数．如f (x )＝3，则f ′(x )＝0，函数f (x )不存在单调性．(3)正确．导数为零的点不一定是极值点．如函数y ＝x 3在x ＝0处导数为零，但x ＝0不是函数y ＝x 3的极值点．(4)错误．对于三次函数y ＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d ，y ′＝3ax 2＋2bx ＋c .当Δ＝(2b )2－12ac <0，即b 2－3ac <0时，y ′＝0无实数根，此时三次函数没有极值．2．函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为( B )A ．(－1,1]B ．(0,1]C ．[1，＋∞)D ．(0，＋∞)解析 函数y ＝12x 2－ln x 的定义域为(0，＋∞)，y ′＝x －1x ＝(x －1)(x ＋1)x ，令y ′≤0，则可得0<x ≤1．3．已知函数y ＝f (x )的图象是下列四个图象之一，且其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则该函数的图象是( B )解析 由导函数图象知，x ＝0处导数最大，由几何意义知B 项正确．4．已知函数f (x )＝mx 3＋3(m －1)x 2－m 2＋1(m >0)的单调递减区间是(0,4)，则m ＝！！！ 13###. 解析 ∵f ′(x )＝3mx 2＋6(m －1)x ，f (x )的递减区间为(0,4)，则由f ′(x )＝3mx 2＋6(m－1)x <0得0<x <4，即⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，f ′(0)＝0，f ′(4)＝0⇒m ＝13.5．函数f (x )＝sin x 2＋cos x 的单调递增区间是 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－2π3，2k π＋2π3(k ∈Z ) ###. 解析 f ′(x )＝2cos x ＋1(2＋cos x )2，由f ′(x )≥0得cos x ≥－12， ∴x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－2π3，2k π＋2π3(k ∈Z )．一 求函数的单调区间利用导数求函数的单调区间的两种方法方法一：(1)确定函数y ＝f (x )的定义域； (2)求导数y ′＝f ′(x )；(3)令f ′(x )>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间； (4)令f ′(x )<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间． 方法二：(1)确定函数y ＝f (x )的定义域；(2)求导数y ′＝f ′(x )，令f ′(x )＝0，解此方程，求出在定义域内的一切实根； (3)把函数f (x )的间断点(即f (x )的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f (x )的定义域分成若干个小区间；(4)确定f ′(x )在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性．【例1】 已知函数f (x )＝x 4＋a x －ln x －32，其中a ∈R ，且曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x .(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间．解析 (1)f ′(x )＝14－a x 2－1x ，f ′(1)＝－34－a .由题意，得－34－a ＝－2，解得a ＝54.(2)由(1)知，f ′(x )＝14－54x 2－1x ＝x 2－4x －54x 2，f (x )的定义域为(0，＋∞)．由f ′(x )>0，得x 2－4x －5>0(x >0)，解得x >5；由f ′(x )<0，得x 2－4x －5<0(x >0)，解得0<x <5. 故函数f (x )的递增区间为(5，＋∞)，递减区间为(0,5)． 【例2】 试确定下列函数的单调递减区间． (1)f (x )＝x ＋a x(a >0)；(2)f (x )＝13x 3－12(a ＋a 2)x 2＋a 3x ＋a 2.解析 (1)函数的定义域为{x |x ≠0}．f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a x ′＝1－a x 2＝1x 2(x ＋a )(x －a )． 要求f (x )的单调递减区间，不妨令f ′(x )<0，则1x2(x ＋a )·(x －a )<0，解得－a <x <a ，且x ≠0，∴函数的单调减区间为(－a ，0)和(0，a )． (2)y ′＝x 2－(a ＋a 2)x ＋a 3＝(x －a )(x －a 2)， 令y ′<0，得(x －a )(x －a 2)<0.①当a <0时，不等式解集为{x |a <x <a 2}，此时函数的单调递减区间为(a ，a 2)； ②当0<a <1时，不等式解集为{x |a 2<x <a }，此时函数的单调递减区间为(a 2，a )； ③当a >1时，不等式解集为{x |a <x <a 2}，此时函数的单调递减区间为(a ，a 2)； ④当a ＝0，a ＝1时，y ′≥0，此时，无单调递减区间．综上所述，当a <0或a >1时，函数y ＝13x 3－12(a ＋a 2)x 2＋a 3x ＋a 2的单调递减区间为(a ，a 2)；当0<a <1时，函数y ＝13x 3－12(a ＋a 2)x 2＋a 3x ＋a 2的单调递减区间为(a 2，a )；当a ＝0，a＝1时，无单调递减区间．二 已知函数的单调性求参数的范围由函数的单调性求参数的取值范围的方法(1)可导函数在某一区间上单调，实际上就是在该区间上f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)(f ′(x )在该区间的任意子区间内都不恒等于0)恒成立，然后分离参数，转化为求函数的最值问题，从而获得参数的取值范围．(2)可导函数在某一区间上存在单调区间，实际上就是f ′(x )>0(或f ′(x )<0)在该区间上存在解集，这样就把函数的单调性问题转化成了不等式问题．(3)若已知f (x )在区间I 上的单调性，区间I 中含有参数时，可先求出f (x )的单调区间，令I 是其单调区间的子集，从而可求出参数的取值范围．【例3】 已知函数f (x )＝x 3－ax －1． (1)若f (x )在R 上为增函数，求a 的取值范围； (2)若f (x )在(1，＋∞)上为增函数，求a 的取值范围； (3)若f (x )在(－1,1)上为减函数，求a 的取值范围； (4)若f (x )的单调递减区间为(－1,1)，求a 的值； (5)若f (x )在(－1,1)上不单调，求a 的取值范围．解析 (1)∵f (x )在R 上为增函数，∴f ′(x )＝3x 2－a ≥0在R 上恒成立．∴a ≤3x 2对x ∈R 恒成立．∵3x 2≥0，∴只需a ≤0.又∵a ＝0时，f ′(x )＝3x 2≥0，f (x )＝x 3－1在R 上为增函数，∴a 的取值范围是(－∞，0]．(2)∵f ′(x )＝3x 2－a ，且f (x )在(1，＋∞)上为增函数，∴f ′(x )≥0在(1，＋∞)上恒成立，∴3x 2－a ≥0在(1，＋∞)上恒成立，∴a ≤3x 2在(1，＋∞)上恒成立，∴a ≤3，即a 的取值范围是(－∞，3]．(3)∵f ′(x )＝3x 2－a ，且f (x )在(－1,1)上为减函数， ∴f ′(x )≤0⇔3x 2－a ≤0在(－1,1)上恒成立， ∴a ≥3x 2在(－1,1)上恒成立．∵x ∈(－1,1)，∴3x 2<3，即a ≥3.∴a 的取值范围是[3，＋∞)． (4)f ′(x )＝3x 2－a .①当a ≤0时，f ′(x )≥0，故f (x )在(－∞，＋∞)上为增函数． ②当a >0时，由f ′(x )<0，得3x 2－a <0， ∴x 2<a 3，即－a3<x <a3. 故f (x )的递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫－a3，a 3. 由题意，得a3＝1，解得a ＝3. (5)f ′(x )＝3x 2－a .①当a ≤0时，f ′(x )≥0， 故f (x )在(－∞，＋∞)上为增函数． ②当a >0时，∵f (x )在(－1,1)上不单调， ∴f ′(x )＝0在(－1,1)内有解x ＝±a3，∴0<a3<1，解得0<a <3.∴a 的取值范围是(0,3)．三 构造法在函数单调性中的应用构造法在函数单调性中的应用技巧对于含有导函数不等式的试题，一般要依据导函数不等式(或其变式)和所求结论构造新的函数，并对构造的新函数求导，研究其单调性，应用构造新函数的单调性将所求问题转化求解．【例4】 (1)已知函数y ＝f (x －1)的图象关于点(1,0)对称，且当x ∈(－∞，0)时，f (x )＋xf ′(x )<0成立(其中f ′(x )为f (x )的导函数)．若a ＝(30.3)·f (30.3)，b ＝(log π3)·f (log π3)，c ＝⎝⎛⎭⎪⎫log 319·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 319，则a ，b ，c 的大小关系是( C )A ．a >b >cB ．c >b >aC ．c >a >bD ．a >c >b(2)(2017·江苏卷)已知函数f (x )＝x 3－2x ＋e x－1e x ，其中e 是自然对数的底数．若f (a－1)＋f (2a 2)≤0，则实数a 的取值范围是！！！ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12 ###.解析 (1)∵函数y ＝f (x －1)的图象关于点(1,0)对称，∴y ＝f (x )的图象关于点(0,0)对称，∴y ＝f (x )为奇函数．令g (x )＝xf (x )，则g (x )＝xf (x )为偶函数，且g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )<0在(－∞，0)上恒成立，∴g (x )＝xf (x )在(－∞，0)上为减函数，在(0，＋∞)上为增函数． ∵c ＝⎝⎛⎭⎪⎫log 319·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 319＝(－2)·f (－2)＝2f (2)，0<log π3<30.3<2，∴g (log π3)<g (30.3)<g (2)，∴c >a >b ，故选C ．(2)由f (x )＝x 3－2x ＋e x －1e x ，得f (－x )＝－x 3＋2x ＋1e x －e x＝－f (x )，所以f (x )是R 上的奇函数，又f ′(x )＝3x 2－2＋e x ＋1ex ≥3x 2－2＋2e x ·1ex ＝3x 2≥0，当且仅当x ＝0时取等号，所以f (x )在其定义域内单调递增，所以不等式f (a －1)＋f (2a 2)≤0⇔f (a －1)≤－f (2a 2)＝f (－2a 2)⇔a －1≤－2a 2，解得－1≤a ≤12，故实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12.1．(2017·浙江卷)函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的图象可能是( D )解析 根据题意，已知导函数的图象有三个零点，且每个零点的两边导函数值的符号相反，因此函数f (x )在这些零点处取得极值，排除A 项，B 项；记函数f ′(x )的零点从左到右分别为x 1，x 2，x 3，又在(－∞，x 1)上f ′(x )<0，在(x 1，x 2)上f ′(x )>0，所以函数f (x )在(－∞，x 1)上单调递减，排除C 项，故选D ．2．函数f (x )的定义域为R ，f (0)＝2，对任意的x ∈R ，f (x )＋f ′(x )>1，则不等式e x ·f (x )>e x＋1的解集是( A )A ．{x |x >0}B ．{x |x <0}C ．{x |x <－1或x >1}D ．{x |x <－1或0<x <1}解析 令g (x )＝e x ·f (x )－e x－1，则g ′(x )＝e x ·f (x )＋e x ·f ′(x )－e x ＝e x(f (x )＋f ′(x )－1)． ∵f (x )＋f ′(x )>1，∴g ′(x )＝e x(f (x )＋f ′(x )－1)>0， ∴g (x )在R 上是增函数．又∵g (0)＝e 0·f (0)－e 0－1＝0，∴e x ·f (x )>e x ＋1⇔e x ·f (x )－e x－1>0⇔g (x )>0⇔g (x )>g (0)⇔x >0，故选A ．3．(2018·河北邯郸一模)已知函数f (x )＝ln x ＋12ax 2－x －m (m ∈R )为增函数，那么实数a 的取值范围为！！！ ⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞ ###. 解析 f ′(x )＝1x＋ax －1，x >0.依题意可得f ′(x )≥0，则a ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1x 2max ，而1x －1x 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －122＋14≤14，当x ＝2时，等号成立，所以a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞.4．设函数f (x )＝x 3＋ax 2－9x －1(a <0)，若曲线y ＝f (x )的斜率最小的切线与直线12x ＋y ＝6平行，求：(1)a 的值；(2)函数f (x )的单调区间．解析 (1)∵f (x )＝x 3＋ax 2－9x －1，∴f ′(x )＝3x 2＋2ax －9＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 32－9－a 23，即x ＝－a 3时，f ′(x )取最小值－9－a 23.∵斜率最小的切线与12x ＋y ＝6平行，∴－9－a 23＝－12，即a 2＝9.解得a ＝±3，由题设a <0，∴a ＝－3.(2)由(1)知a ＝－3，因此f (x )＝x 3－3x 2－9x －1，f ′(x )＝3x 2－6x －9＝3(x －3)(x ＋1)．令f ′(x )＝0，解得x 1＝－1，x 2＝3.当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )>0，故f (x )在(－∞，－1)上为增函数； 当x ∈(－1,3)时，f ′(x )<0，故f (x )在(－1,3)上为减函数； 当x ∈(3，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(3，＋∞)上为增函数．可见，函数f (x )的单调递增区间为(－∞，－1)和(3，＋∞)，单调递减区间为(－1,3)．易错点 导数与单调性的关系不明确错因分析：可导函数f (x )在某区间上f ′(x )>0(f ′(x )<0)为f (x )在该区间上是单调递增(减)函数的充分不必要条件．【例1】 已知函数f (x )＝m (x －1)x ＋1－ln x 在[1，＋∞)上是减函数，求实数m 的取值范围．解析 ∵f (x )＝m (x －1)x ＋1－ln x 在[1，＋∞)上是减函数， ∴f ′(x )＝m (x ＋1)－m (x －1)(x ＋1)2－1x ＝－x 2＋(2m －2)x －1x (x ＋1)2≤0在[1，＋∞)上恒成立， 即x 2－(2m －2)x ＋1≥0在[1，＋∞)上恒成立， 则2m －2≤x ＋1x在[1，＋∞)上恒成立．∵x ＋1x∈[2，＋∞)，∴2m －2≤2，得m ≤2.∴实数m 的取值范围是(－∞，2]．【跟踪训练1】 y ＝13x 3＋bx 2＋(b ＋2)x ＋3是R 上的单调增函数，则实数b 的取值范围为__[－1,2]__.解析 y ′＝x 2＋2bx ＋b ＋2≥0恒成立(显然y ′不恒为零)， ∴Δ＝4b 2－4(b ＋2)≤0，整理得(b －2)(b ＋1)≤0，∴－1≤b ≤2.课时达标 第14讲[解密考纲]本考点主要考查利用导数研究函数的单调性．高考中导数试题经常和不等式、函数、三角函数、数列等知识相结合，作为中档题或压轴题出现．三种题型均有出现，以解答题为主，难度较大．一、选择题1．函数y ＝f (x )的图象如图所示，则y ＝f ′(x )的图象可能是( D )解析 由函数f (x )的图象可知，f (x )在(－∞，0)上单调递增，f (x )在(0，＋∞)上单调递减，所以在(－∞，0)上f ′(x )>0，在(0，＋∞)上f ′(x )<0，故选D ．2．函数f (x )＝x －ln x 的单调递减区间为( A ) A ．(0,1) B ．(0，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞)解析 函数的定义域是(0，＋∞)， 且f ′(x )＝1－1x ＝x －1x，令f ′(x )<0，解得0<x <1，所以单调递减区间是(0,1)．3．(2018·吉林长春调研)已知函数f (x )＝12x 3＋ax ＋4，则“a >0”是“f (x )在R 上单调递增”的( A )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析 f ′(x )＝32x 2＋a ，当a ≥0时，f ′(x )≥0恒成立，故“a >0”是“f (x )在R 上单调递增”的充分不必要条件．4．(2016·全国卷Ⅰ)函数y ＝2x 2－e |x |在[－2,2]的图象大致为( D )解析 易知y ＝2x 2－e |x |是偶函数，设f (x )＝2x 2－e |x |，则f (2)＝2×22－e 2＝8－e 2，所以0<f (2)<1，所以排除A 项，B 项；当0≤x ≤2时，y ＝2x 2－e x ，所以y ′＝4x －e x，又(y ′)′＝4－e x ，当0<x <ln 4时，(y ′)′>0，当ln 4<x <2时，(y ′)′<0，所以y ′＝4x －e x在(0，ln 4)上单调递增，在(ln 4,2)上单调递减，所以y ′＝4x －e x在[0,2]有－1≤y ′≤4(ln 4－1)，所以y ′＝4x －e x 在[0,2]上存在零点ε，所以函数y ＝2x 2－e x在[0，ε)上单调递减，在(ε，2]上单调递增，排除C 项，故选D ．5．已知R 上可导函数f (x )的图象如图所示，则不等式(x 2－2x －3)·f ′(x )>0的解集为( D )A ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)B ．(－∞，2)∪(1,2)C ．(－∞，－1)∪(－1,0)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(－1,1)∪(3，＋∞)解析 由题图可知，f ′(x )>0，则x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，f ′(x )<0，则x ∈(－1,1)，不等式(x 2－2x －3)f ′(x )>0等价于⎩⎪⎨⎪⎧f ′(x )>0，x 2－2x －3>0或⎩⎪⎨⎪⎧f ′(x )<0，x 2－2x －3<0，即⎩⎪⎨⎪⎧x <－1或x >1，x <－1或x >3或⎩⎪⎨⎪⎧－1<x <1，－1<x <3，解得x ∈(－∞，－1)∪(－1,1)∪(3，＋∞)．6．已知a ≥0，函数f (x )＝(x 2－2ax )e x，若f (x )在[－1,1]上是单调减函数，则a 的取值范围是( C )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，34C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞ D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 解析 f ′(x )＝(2x －2a )e x＋(x 2－2ax )e x＝[x 2＋(2－2a )x －2a ]e x，由题意知当x ∈[－1,1]时，f ′(x )≤0恒成立，即x 2＋(2－2a )x －2a ≤0恒成立．令g (x )＝x 2＋(2－2a )x －2a ，则有⎩⎪⎨⎪⎧g (－1)≤0，g (1)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧(－1)2＋(2－2a )·(－1)－2a ≤0，12＋2－2a －2a ≤0，解得a ≥34.二、填空题7．函数f (x )＝x 3－15x 2－33x ＋6的单调减区间为__(－1,11)__.解析 由f (x )＝x 3－15x 2－33x ＋6得f ′(x )＝3x 2－30x －33，令f ′(x )<0，即3(x －11)(x ＋1)<0，解得－1<x <11，所以函数f (x )的单调减区间为(－1,11)．8．幂函数f (x )＝xn 2－3n (n ∈Z )在(0，＋∞)上是减函数，则n ＝__1或2__. 解析 ∵f (x )在(0，＋∞)上是减函数，∴n 2－3n <0，解得0<n <3. ∵n ∈Z ，∴n ＝1或n ＝2.9．(2017·山东卷)若函数e xf (x )(e ＝2.718 28…是自然对数的底数)在f (x )的定义域上单调递增，则称函数f (x )具有M 性质．下列函数中所有具有M 性质的函数的序号为__①④__.①f (x )＝2－x；②f (x )＝3－x；③f (x )＝x 3；④f (x )＝x 2＋2.解析 对于①，e x f (x )＝e x ·2－x ，故[e x f (x )]′＝(e x ·2－x )′＝e x ·2－x(1－ln 2)>0，故函数e x f (x )＝e x ·2－x在(－∞，＋∞)上为增函数，故①符合要求；对于②，e x f (x )＝e x ·3－x ，故[e x f (x )]′＝(e x ·3－x )′＝e x ·3－x(1－ln 3)<0，故函数e x f (x )＝e x ·3－x在(－∞，＋∞)上为减函数，故②不符合要求；对于③，e x f (x )＝e x ·x 3，故[e x f (x )]′＝(e x ·x 3)′＝e x ·(x 3＋3x 2)，显然函数e xf (x )＝e x ·x 3在(－∞，＋∞)上不单调，故③不符合要求；对于④，e x f (x )＝e x ·(x 2＋2)，故[e x f (x )]′＝[e x ·(x 2＋2)]′＝e x ·(x 2＋2x ＋2)＝e x·[(x ＋1)2＋1]>0，故函数e x f (x )＝e x ·(x 2＋2)在(－∞，＋∞)上为增函数，故④符合要求．综上，具有M 性质的函数的序号为①④. 三、解答题10．已知函数f (x )＝ln x ＋kex(k 为常数，e 是自然对数的底数)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行．(1)求k 的值；(2)求f (x )的单调区间．解析 (1)由题意得f ′(x )＝1x－ln x －ke x，又f ′(1)＝1－ke＝0，故k ＝1． (2)由(1)知，f ′(x )＝1x－ln x －1ex. 设h (x )＝1x －ln x －1(x >0)，则h ′(x )＝－1x 2－1x<0，即h (x )在(0，＋∞)上是减函数．由h (1)＝0知，当0<x <1时，h (x )>0，从而f ′(x )>0； 当x >1时，h (x )<0，从而f ′(x )<0.综上可知，f (x )的单调递增区间是(0,1)，递减区间是(1，＋∞)．11．已知二次函数h (x )＝ax 2＋bx ＋2，其导函数y ＝h ′(x )的图象如图，f (x )＝6ln x＋h (x )．(1)求函数f (x )的解析式；(2)若函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎪⎫1，m ＋12上是单调函数，求实数m 的取值范围．解析 (1)由已知，h ′(x )＝2ax ＋b ，其图象为直线，且过(0，－8)，(4,0)两点，把两点坐标代入h ′(x )＝2ax ＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－8，8a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－8，∴h (x )＝x 2－8x ＋2，h ′(x )＝2x －8， ∴f (x )＝6ln x ＋x 2－8x ＋2.(2)f ′(x )＝6x ＋2x －8＝2(x －1)(x －3)x，∵x >0，∴f ′(x )，f (x )的变化如下.∴f (x )的单调递增区间为(0,1)和(3，＋∞)，递减区间为(1,3)， 要使函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1，m ＋12上是单调函数，则1<m ＋12≤3，即m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤12，52.12．设函数f (x )＝13x 3－a 2x 2＋bx ＋c ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝1．(1)求b ，c 的值；(2)若a >0，求函数f (x )的单调区间；(3)设函数g (x )＝f (x )＋2x ，且g (x )在区间(－2，－1)内存在单调递减区间，求实数a 的取值范围．解析 (1)f ′(x )＝x 2－ax ＋b ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝1，f ′(0)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，b ＝0.(2)由(1)得，f ′(x )＝x 2－ax ＝x (x －a )(a >0)，当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )>0；当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0； 当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0.所以函数f (x )的增区间为(－∞，0)和(a ，＋∞)，减区间为(0，a )． (3)g ′(x )＝x 2－ax ＋2，依题意，存在x ∈(－2，－1)， 使不等式g ′(x )＝x 2－ax ＋2≤0成立，即x ∈(－2，－1)时，a ≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2x max ＝－22，当且仅当x ＝2x，即x ＝－2时等号成立，所以满足要求的a 的取值范围是(－∞，－22]．。