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2013届高考北师大版数学总复习课件：8.7空间向量及其运算

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新北师大版第7章第5节空间向量与向量运算课件(80张)

新北师大版第7章第5节空间向量与向量运算课件(80张)


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3．(多选题)下列各组向量中，是平行向量的是( ) A．a＝(1，2，－2)，b＝(－2，－4，4) B．c＝(1，0，0)，d＝(－3，0，0) C．e＝(2，3，0)，f＝(0，0，0) D．g＝(－2，3，5)，h＝(16，－24，40) ABC 对于 A，有 b＝－2a，所以 a 与 b 是平行向量； 对于 B，有 d＝－3c，所以 c 与 d 是平行向量； 对于 C，f 是零向量，与 e 是平行向量； 对于 D，不满足 g＝λh，所以 g 与 h 不是平行向量．
向量总是_共__面_的
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4.空间向量的线性运算及运算律 (1)线性运算：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向 量运算，如下：O→C ＝O→A ＋O→B ＝a＋b，B→A ＝O→A －O→B ＝a－b；O→P ＝ λa(λ∈R). (2)空间向量加法的运算律 ①加法交换律：a＋b＝b＋a； ②加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c).
2．空间向量的概念 (1)定义：在空间中，我们把具有_大__小_和方__向__的量叫作空间向量． (2)长度或模：空间向量的大__小__叫作空间向量的长度或模． (3)表示法：①几何表示法：空间向量用有向线段表示．表示向量 a 的 有向线段的长度也叫作向量 a 的长度或模，用|a|表示．②字母表示法：用 字母 a，b，c，…表示．
＋45
→ OB
＋25
→ (OC
－O→B
)
＝15
→ OA
＋25
→ OB
＋25
→ OC
，
∵15 ＋25 ＋25 ＝1，
∴M，A，B，C 四点共面．
即点 M∈平面 ABC.
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探究·核心考点
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2013届高考北师大版数学总复习课件：8.8空间向量的应用

2013届高考北师大版数学总复习课件：8.8空间向量的应用


4．已知两平面的法向量分别为 m＝ (0,1,0)， n＝ (0,1,1)，则 两平面所成的二面角为( A． 45° C． 45° 或 135°
[答案] C
) B． 135° D． 90°
[解析] cos< m，n>＝
m· n 1 2 ＝ ＝ ， | m|| n| 1× 2 2
a· b |b| |a|·
.
(2)直线与平面的夹角 ①定义：直线和平面的夹角，是指直线与它在这个平面内的 投影的夹角．
π [0， ]． 2 ②范围：直线和平面夹角 θ 的取值范围是
③向量求法：设直线 l 的方向向量为 a，平面的法向量为 u， 直线与平面所成的角为 θ，a 与 u 的夹角为 φ，则有 sinθ＝ |cosφ | 或 cosθ＝ sinφ.
(3)二面角 ①二面角的取值范围是 [0，π]． ②二面角的向量求法： (ⅰ )若 AB、 CD 分别是二面角 α—l—β 的两个面内与棱 l 垂 → → 直的异面直线，则二面角的大小就是向量AB 与CD 的夹角 (如图 ① )．
(ⅱ )设 n1， n2 分别是二面角 α—l— β 的两个面 α， β 的法向量， 则向量 n1 与 n2 的夹角 (或其补角)的大小就是二面角的平面角的 大小 (如图②③ )．
2．设平面 α 的法向量为(1,2，－2)，平面 β 的法向量为(－2， － 4， k)，若 α∥ β，则 k＝ ( A． 2 C． 4
[答案] C
)
B．－ 4 D．－2
[解析] ∵α∥β，∴(－2，－4，k)＝λ(1,2，－2)． ∴－2＝λ，k＝－2λ，∴k＝4.
3．如图所示，在三棱柱 ABC－A1B1C1 中，AA1⊥底面 ABC， AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90° ，点 E、F 分别是棱 AB、BB1 的中 点，则直线 EF 和 BC1 所成的角是( A．45° C．90°
空间向量及其运算 课件

空间向量及其运算 课件


共线向量与共面向量
1.共线向量 (1) 定 义 ： 表 示 空 间 向 量 的 有 向 线 段 所 在 的 直 线 互__相__平__行__或__重__合__，则这些向量叫做_共__线__向__量___或平行向量； (2)共线向量定理：对于空间任意两个向量 a，b(b≠0)， a∥b 的充要条件是存在实数 λ 使__a_＝__λ_b____.
【思路探究】 (1)空间向量中，零向量是怎样定义的？ (2)怎样判断两个向量相等？(3)四边形 ABCD 满足什么条件
时，才有A→B＋A→D＝A→C？ 【自主解答】 ①正确；②正确，因为A→C与A→1C1的大小
和方向均相同；③|a|＝|b|，不能确定其方向，所以 a 与 b 的 方向不能确定；④中只有当四边形 ABCD 是平行四边形时，
2．共面向量 (1)定义：平行于__同__一__个__平__面___的向量叫做共面向量． (2)共面向量定理：若两个向量 a，b 不共线，则向量 p 与向量 a，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)， 使_p_＝__x__a_＋__y_b__.
推论 空间一点 P 位于平面 ABC 内的充要条件是存在有 序实数对(x，y)，使_A→_P__＝__x_A→_B_＋__y_A→_C__；或对空间任一定点 O，
才有A→B＋A→D＝A→C.
综上可知，正确命题为①②. 【答案】 ①②
1．在空间中，零向量、单位向量、向量的模、相等向 量、相反向量等概念和平面向量中相对应的概念完全相同．
2．由于向量是由其模和方向确定的，因此解答空间向 量有关概念问题时，通常抓住这两点来解决．
3．零向量是一个特殊向量，其方向是任意的，且与任 何向量都共线，这一点说明了共线向量不具备传递性．
【思路探究】 (1)E→H与F→G共线吗？怎样证明？
空间向量及其运算课件 课件

空间向量及其运算课件 课件

| AB | (x2 x1)2 ( y2 y1)2 , C(x, y)是AB的中点，则
x
y
x1 y1
2
x2 y2
2
空间向量
空间向量的坐标运算：
a (x1, y1, z1),b (x2 , y2 , z2 )
a b (x1 x2 , y1 y2 , z1 z2 );
a (x1, y1, z1), R;
空间向量
空间向量的夹角：
a (x1, y1, z1),b (x2 , y2 , z2 ) cos a,b a • b
| a || b |
x1x2 y1 y2 z1z2
x12 y12 z12 x22 y22 z22
垂直与平行：
a (x1, y1, z1),b (x2 , y2 , z2 ) a // b x1 y1 z1 (?)
(4)已知不共线的三点A、B、C，对平面 ABC外的任意一点O，若 OG 1 (OA OB OC) 则G是三角形ABC的重心 3
以上命题中，正确的是__________
已知三棱锥O—ABC中，G为△ABC的重心，OA=a，OB=b， OC=c，试用a , b , c 来表示OG.
(1)若AD是△ABC的中线，则有
平面的向量参数方程：
A, B,C是不共线的三点，P 平面ABC
存在唯一的实数对x, y，使 AP x
AB yAC
存在唯一的实数对x, y,使
OP (1 x y) OA yOC
存在唯一的实数对x, y, z
(x y z 1),使 OP x OA
yOB zOC
空间向量及其运算
• 空间向量的概念、表示、相等关系。 • 空间向量的加法、减法、数乘向量 • 加法交换律 • 加法结合律 • 数乘分配律
北师大版 空间向量与加减数乘运算优秀课件

北师大版 空间向量与加减数乘运算优秀课件

14
例1：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，化简下列向量 表达式，并标出化简结果的向量。(如图)
( 1 ) AB BC ( 2 ) AB AD AA
1
D1 A1 G D
1
C1 B1
1 ( 3 ) ( AB AD AA 1 ) 3 1 ( 4 ) AB AD CC 2
M
C B
解： ( 1 )AB BC ＝ AC ;
A
( 2 ) AB AD AA AC AA AC CC AC 1 1 1 1
始点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向量 15 为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量
F2
F1=10N
F2=15N F3 F1 F3=15N
（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图 形，则它们的和为零向量。
A A A A A A A A 0 1 2 2 3 3 4 n 1
12
例1：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，化简下列向量 表达式，并标出化简结果的向量。(如图)
( 1 ) AB BC ( 2 ) AB AD AA
A A A A A A A A A A 1 2 2 3 3 4 n 1 n 1 n
（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图 形，则它们的和为零向量。
A A A A A A A A 0 1 2 2 3 3 4 n 1
3
F2
F1=10N
F2=15N
F3
思考题：考虑空间三个向量共面的充要条件.
27
思考：空间任意两个向量是否可能异面？
B
b
O
A
思考：它们确定的平面是否唯一？
空间向量与加减数乘运算ppt 北师大版

空间向量与加减数乘运算ppt 北师大版


A
D C
( 1 ) AC x ( AB BC CC )
' ' '
B
( 2 ) AE AA x AB y AD
A
D
B
C
24
练习2
A
在立方体AC1中,点E是面AC’ 的中心,求下 列各式中的x,y.
E D C
' ( 2 ) AE AA x AB y AD
B
A
D
B
C
25
18
例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值。
( 3 ) AC AB AD x AC ( 2 )2 AD BD x AC 1 1 1 1 1 1
( 2 ) 2 AD BD 1 1
AD AD BD 1 1 1 AD ( BC BD ) 1 1 1 AD C 1 D 1 1 AC 1
边的中点,化简
A
1 (1) AB ( BC BD ) 2 1 ( 2) AG ( AB AC ) 2
D G B
( 1 ) 原式＝ AB BM MG AG
(2)原式
M
C
1 ＝ AB BM MG ( AB AC ) 2 1 ＝ BM MG ( AB AC ) 2 MG ＝ BM MG MB
M
C B
解： ( 1 )AB BC ＝ AC ;
A
( 2 ) AB AD AA AC AA AC CC AC 1 1 1 1
始点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向量 15 为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量
F2
F1=10N
高考理科数学(北师大版)一轮复习课件第八章第6讲空间向量及其运算

高考理科数学(北师大版)一轮复习课件第八章第6讲空间向量及其运算

第八章 立体几何
第6讲 空间向量及其运算
数学
01
基础知识 自主回顾
02
核心考点 深度剖析
03
高效演练 分层突破
一、知识梳理 1．空间向量的有关定理 (1)共线向量定理：对空间任意两个向量 a，b(b≠0)，a∥b 的充要条件是存在唯一的实数 λ，使得__a_＝ ___λb___． (2)共面向量定理：如果两个向量 a，b 不共线，那么向量 p 与向量 a，b 共面的充要条件 是存在唯一的有序实数对(x，y)，使__p_＝__x_a_＋__y_b_____． (3)空间向量基本定理：如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对空间任一向量 p，存在有 序实数组{x，y，z}，使得___p_＝__x_a_＋__y_b_＋__zc___．其中{a，b，c}叫做空间的一个基底．
对空间任一点 O，＝O→A＋tA→B
对空间任一点 O，O→P＝O→M＋xM→A＋yM→B
对空间任一点 O，O→P＝xO→A＋(1 －x)O→B
对空间任一点 O，O→P＝xO→M＋yO→A＋(1－x－y)O→B
1．已知 a＝(λ＋1，0，2)，b＝(6，2μ－1，2λ)，若 a∥b，则 λ 与 μ 的值可以是
2．两个向量的数量积(与平面向量基本相同)
(1)两向量的夹角：已知两个非零向量 a，b，在空间中任取一点 O，作O→A＝a，O→B＝b， 则__∠__A_O_B___叫做向量 a 与 b 的夹角，记作_〈__a_，__b_〉__．通常规定_0_____≤〈a，b〉
π ≤___π____．若〈a，b〉＝____2_____，则称向量 a，b 互相垂直，记作 a⊥b.
2．正四面体 ABCD 的棱长为 2，E，F 分别为 BC，AD 的中点，则 EF 的长为________．
高中数学理科基础知识讲解《87空间几何中的向量方法》教学课件

高中数学理科基础知识讲解《87空间几何中的向量方法》教学课件

×
×
√
√
×
×
×
--
考点自诊
2.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为a,M,N分别为A1B和AC上的点,A1M=AN= ,则MN与平面BB1C1C的位置关系是( )A.斜交 B.平行C.垂直 D.MN在平面BB1C1C内
B
--
考点自诊
3.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1,则AC1与平面BB1C1C所成角的正弦值为( )
[0,π]
--
知识梳理
4.利用空间向量求距离(1)点到平面的距离 如图所示,已知AB为平面α的一条斜线段,n为平面α的法向量,则B到平面α的距离为(2)线面距、面面距均可转化为点面距进行求解.
--
知识梳理
--
知识梳理
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)直线的方向向量是唯一确定的. ( )(2)平面的单位法向量是唯一确定的. ( )(3)若两条直线的方向向量不平行,则这两条直线不平行. ( )(4)若空间向量a垂直于平面α,则a所在直线与平面α垂直. ( )(5)两条直线的方向向量的夹角就是这两条直线所成的角. ( )(6)已知向量m,n分别是直线l的方向向量和平面α的法向量,若cos <m,n>= ,则直线l与平面α所成的角为120°. ( )(7)已知两平面的法向量分别为m=(0,1,0),n=(0,1,1),则两平面所成的二面角的大小为45°. ( )
|cos φ|
|cos φ|
--
知识梳理
(3)二面角①范围:二面角的取值范围是 . ②向量求法:若AB,CD分别是二面角α-l-β的两个面内与棱l垂直的异面直线,则二面角的大小就是向量 的夹角(如图①).设n1,n2分别是二面角α-l-β的两个半平面α,β的法向量,则图②中向量n1与n2的夹角的补角的大小就是二面角的平面角的大小;而图③中向量n1与n2的夹角的大小就是二面角的平面角的大小.
空间向量及其运算(共22张PPT)

空间向量及其运算(共22张PPT)

向量场的点乘
两个向量场进行点乘运算，得到一个标量场，其 每个标量是原来两个向量场的对应向量的点乘结 果。
向量场的几何意义
向量场表示了空间中某一点受到的力或速度等物理量的分布情况，可以通 过图形表示出来。
向量场的方向表示了该点受到的力的方向或速度的方向，向量的大小表示 了力的大小或速度的大小。
通过观察图形可以直观地了解向量场的分布情况，从而更好地理解物理现 象和问题。
向量的模
向量的模定义为从起点到终点距离的 长度，记作|a|。
向量的模具有以下性质：|a + b| ≤ |a| + |b|，|a - b| ≤ |a| + |b|，|λa| = |λ||a| （λ为实数）。
向量的加法
向量的加法定义为同起点同终点的向量相加，即a + b = b + a（交换律），(λ + μ)a = λa + μa（结合律）。
向量场具有方向性和大小，表 示了空间中某一点受到的力或 速度等物理量的分布情况。
向量场的运算律
1 2 3
向量场的加法
将两个向量场叠加，得到一个新的向量场，其每 个向量是原来两个向量场的对应向量的和。
向量场的数乘
将一个标量与一个向量场中的每个向量相乘，得 到一个新的向量场，其每个向量是原来向量场的 对应向量与该标量的乘积。
向量在其他领域的应用
经济学
在经济学中，例如在市场分析和供需关系中，可以使用向量来表示不同因素之间的关系，通过向量的运算来分析 这些因素之间的关系。
生物学
在生物学中，例如在生态学和生物力学中，可以使用向量来描述生物体的运动、方向和力的作用，通过向量的运 算来分析这些力的作用和影响。
THANKS
高三数学一轮复习 空间向量及其运算课件 北师大版

高三数学一轮复习 空间向量及其运算课件 北师大版


＝62＋42＋82＋2×6×8cos 120°＝68.∴|
答案：2
cm
变式1.平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，向量 两两的夹角均为60°，且| |＝1，
则
A．5 解析：
等于(
B．6
)
C．4 ，∴ 12＋22＋32＋1×2＋2×3＋3×1＝25. D．8
则 答案：A
＝5.
利用共面向量定理可解决四点共面和直线与平面平行等问题．
7.6
空间向量及其运算
(了解空间向量的概念/掌握空间向量的线性运算/掌握空间向量 的数量积，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直)
1．空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量． (1)向量一般用有向线段表示．同向等长的有向线段表示 同一或相等 的向量．
(2)空间的两个向量可用 同一平面内 的两条有向线段来表示．
N分
∴
与b、c向量共面，即MN∥平面PAD.
利用平行向量的充要条件可解决三点共线和直线与直线平行等问题．
【例3】 如右图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，G为△BC1D的重心，
(1)试证A1、G、C三点共线； (2)试证A1C⊥平面BC1D； (3)求点C到平面BC1D的距离．
解答：(1)证明： ∴ (2)证明：设
【例2】 如右图，已知平行六面体ABCD－
A′B′C′D′，E、F、G、H
分别是棱A′D′、D′C′、C′C
和AB的中点，求证E、F、G、H四点共面．
证明:取
则
与b、c共面.即E、F、G、H四点共面.
变式2.如右图，PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形，M、 别是AB、PC的中点，求证：MN∥平面PAD. 证明:设 ,则
【走向高考】高三数学一轮复习 8-7空间向量及其运算课件 (理) 北师大版

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2 1 1 ∴x＝－ ，y＝－ ，z＝ . 3 6 6 1→ 2→ → → → 方法三：MN＝PN－PM＝ PD－ PC 2 3 1→ → 2→ → ＝ (PA＋AD)－ (PA＋AC) 2 3 1→ 1 → 2 → → → ＝－ AP＋ AD－ (－AP＋AB＋AD) 2 2 3 2→ 1 → 1→ ＝－ AB－ AD＋ AP， 3 6 6 2 1 1 ∴x＝－ ，y＝－ ，z＝ . 3 6 6
2 1 2 2 1 2 [答案] (－ ，－ ， )或( ， ，－ ) 3 3 3 3 3 3 → ＝(－4，－2,4)，|AB → |＝6. [解析] AB
→ AB 2 → ∴与 AB 共线且同向时，单位向量e＝ ＝(－ ，－ 3 → |AB| → 1 2 AB 2 1 → ， )，与AB共线且反向时，单位向量e＝－ ＝( ， ， 3 3 → |AB| 3 3 2 － )． 3
2．利用向量法判断或证明线面垂直、平行问题． 3．利用空间向量来求空间角、距离等问题．
4．运用空间向量的线性运算及数量积考查点共线、
点共面、线共面问题．
知识梳理 1．空间向量的概念及运算
空间向量的概念及运算同平面向量基本相同．加减运
算遵循 三角形法则和平行四边形法则 ，数乘运算和数量 积运算与平面向量的数乘运算和数量积运算 相同 ；坐标
3．△ABC的顶点分别为A(1，－1,2)，B(5，－6,2)， C(1,3，－1)，则AC边上的高BD等于( A．5 B. 41 C．4 )
D．2 5
[答案] A
[解析]
[答案] D
[解析]
[答案] a＋b＋c
[解析]
→ 共线 6．已知A(2,3，－1)，B(－2,1,3)，则与向量 AB 的单位向量是____________．

高中数学空间向量的运算课件

思考⑴:对空间任意两个向量 a 与 b ,如果 a b ,那 么 a 与 b 有什么关系?反过来呢?
类似于平面,对于空间任意两个向量 a , b ( b 0 ),
a // b R , a b . c
b
第十七页，本课件共47页
a
17
思考:如图, l 为经过已知点 A 且平行非零向量 a 的直线,
⑴AB BC； ⑵ABADAA'；
D’ A’
C’ B’
(3)A BC BA A
(4 )A C D B D C
D
C
A
B
第十二页，本课件共47页
例 1 、 已 知 平 行 六 面 体 A B C D A 'B 'C 'D '， 化 简 下
列 向 量 表 达 式 ， 并 标 出 化 简 结 果 的 向 量 ：
。
第十四页，本课件共47页
C’ B’
C B
三、空间向量的数乘运算法则
与平面向量一样,实数 与空间向量 a 的乘积
a 仍然是一个向量.
⑴当 0时, a 与向量 a 的方向相同; ⑵当 0时, a 与向量 a 的方向相反; ⑶当 0 时, a 是零向量.
例如:
3a
a
3a 15
第十五页，本课件共47页
∴点 P 在平面 上 是存在唯一有序实数对(x, y), 使 AP xAB yAC ②
⑶∵已知点 B 、C 在平面 内且 AB a , AC b ,对于空间任意一点 O ∴点 P 在平面 上
是存在唯一有序实数对(x, y), 使 OP OA x AB y AC ③
注:①、②、③式都称为平面的向量表示式,
ab ba 加法结合律:

北师版高考总复习一轮数学精品课件 第8章立体几何与空间向量 第5节空间向量及其运算

6
+
1
OC
12
+
1
OC
18
1
OC
8
(2)连接 AG 并延长交 BC 于点 N,连接 ON.由点 G 是△ABC 的重心,可得 =
2

,

3
=
1
]=
3
1

3
1
(
2
1
+
3
+ ),则 =
2
− ,则1
3
2
1
1
− )= +
3
12
12
2

3
=
=
题组二连线高考
5.(2014·广东,理5)已知向量a=(1,0,-1),则下列向量中与a成60°角的是
( B )
A.(-1,1,0)
B.(1,-1,0)
C.(0,-1,1)
D.(-1,0,1)
解析 设 A,B,C,D 四个选项中的向量分别为 a1,a2,a3,a4.A 选项,
·1
cos<a,a1>=||| |
8
(2)已知 O,A,B,C,D,E,F,G,H 为空间 9 个点(如图),并且
OE=kO, O =kO, OH=kOD, C = D+m, EG = EH+mE .求证:
①A,B,C,D 四点共面;
②C ∥ EG;
③OG=kOC.
证明 ①因为 = +m,所以 , , 是共面向量.又因为 , ,
1
1
√2× √2
=
=
-1
1
=-2,则<a,a1>=120°;B

空间向量的运算课件(北师大版选修


添加标题
根据评价结果，调整教学方法和 内容，提高教学质量
定期组织教学研讨会，分享教学 经验和改进措施
感谢观看
汇报人：
重点：空间向量的运算法则， 包括加法、减法、数乘和向 量积等
教学方法：通过实例讲解， 让学生理解空间向量的运算
法则
教学策略：采用启发式教学， 引导学生思考，提高学生的
自主学习能力
教学方法的选用依据
教材内容：根据 教材内容选择合 适和学习特点选择 教学方法
教学目标：根据 教学目标选择合 适的教学方法
实例分析
实例1：空间向量的加法 运算
实例2：空间向量的减法 运算
实例3：空间向量的数乘 运算
实例4：空间向量的混合 运算
实例5：空间向量的坐标 运算
实例6：空间向量的向量 积运算
互动讨论
提出问题：引导学生思考空间向 量的运算方法
教师引导：教师对讨论内容进行 点评和引导
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
向量的数量积运算
向量的数量积 定义：两个向 量的数量积是 一个实数，表 示两个向量的
夹角大小
向量的数量积 公式：
a·b=|a||b|cos θ，其中a和b 是向量，θ是向 量a和b的夹角
向量的数量积 性质：
a·b=b·a， a·a=|a|^2， a·b=0当且仅 当a和b垂直
向量的数量积 应用：计算两 个向量的夹角 大小，判断两 个向量是否垂 直，计算向量
的长度等
向量的向量积运算
向量积的定义：两个 向量的向量积是一个 向量，其方向垂直于 两个向量所在的平面
向量积的性质：向量 积的长度等于两个向 量长度的乘积，方向 垂直于两个向量所在 的平面

空间向量及其运算ppt8 北师大版


2.下列命题： ①若A、B、C、D是空间任意四点，则有AB BC
CD DA 0 ;
②|a|-|b|=|a+b|是a、b共线的充要条件；
③若a、b共线，则a与b所在直线平行； ④对空间任意一点O与不共线的三点A、B、C，
若 OP （其中x、y、z∈R）,则P、 x OA y OB z OC
3 1 2 3
定理
作空间的一个基底．
三、向量的线性运算 1．空间向量的加法和减法 类似于平面向量，我们可以定义空间向量的加法和
减法运算(如图)：
OA OC CO AO
D
2．空间向量的数乘
实数λ 与空间向量a的乘积 λa 称为
数乘
仍然是一个向量，
．
相同
当λ ＞0时，λ a与a方向
λ a与a方向 倍．
→ → → → (1)OB＋OM＝3OP－OA； → → → → (2)OP＝4OA－OB－OM.
祝同学们学习愉快！
再见！
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46．凡事不要说＂我不会＂或＂不可能＂，因为你根本还没有去做！ 47．成功不是靠梦想和希望，而是靠努力和实践． 48．只有在天空最暗的时候，才可以看到天上的星星． 49．上帝说：你要什么便取什么，但是要付出相当的代价． 50．现在站在什么地方不重要，重要的是你往什么方向移动。 51．宁可辛苦一阵子，不要苦一辈子． 52．为成功找方法，不为失败找借口． 53．不断反思自己的弱点，是让自己获得更好成功的优良习惯。 54．垃圾桶哲学：别人不要做的事，我拣来做！ 55．不一定要做最大的，但要做最好的． 56．死的方式由上帝决定，活的方式由自己决定！ 57．成功是动词，不是名词！ 28、年轻是我们拼搏的筹码，不是供我们挥霍的资本。 59、世界上最不能等待的事情就是孝敬父母。 60、身体发肤，受之父母，不敢毁伤，孝之始也； 立身行道，扬名於后世，以显父母，孝之终也。——《孝经》 61、不积跬步，无以致千里；不积小流，无以成江海。——荀子《劝学篇》 62、孩子：请高看自己一眼，你是最棒的！ 63、路虽远行则将至，事虽难做则必成！ 64、活鱼会逆水而上，死鱼才会随波逐流。 65、怕苦的人苦一辈子，不怕苦的人苦一阵子。 66、有价值的人不是看你能摆平多少人，而是看你能帮助多少人。 67、不可能的事是想出来的，可能的事是做出来的。 68、找不到路不是没有路，路在脚下。 69、幸福源自积德，福报来自行善。 70、盲目的恋爱以微笑开始，以泪滴告终。 71、真正值钱的是分文不用的甜甜的微笑。 72、前面是堵墙，用微笑面对，就变成一座桥。 73、自尊，伟大的人格力量；自爱，维护名誉的金盾。 74、今天学习不努力，明天努力找工作。 75、懂得回报爱，是迈向成熟的第一步。 76、读懂责任，读懂使命，读懂感恩方为懂事。 77、不要只会吃奶，要学会吃干粮，尤其是粗茶淡饭。 78、技艺创造价值，本领改变命运。 79、凭本领潇洒就业，靠技艺稳拿高薪。 80、为寻找出路走进校门，为创造生活奔向社会。 81、我不是来龙飞享福的，但，我是为幸福而来龙飞的！ 82、校兴我荣，校衰我耻。 83、今天我以学校为荣，明天学校以我为荣。 84、不想当老板的学生不是好学生。 85、志存高远虽励志，脚踏实地才是金。 86、时刻牢记父母的血汗钱来自不易，永远不忘父母的养育之恩需要报答。 87、讲孝道读经典培养好人，传知识授技艺打造能人。 88、知技并重，德行为先。 89、生活的理想，就是为了理想的生活。 —— 张闻天 90、贫不足羞，可羞是贫而无志。 —— 吕坤
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第 七 节
空间向量及其运算(理)
考纲解读 1．了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其 意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示． 2．掌握空间向量的线性运算及其坐标表示． 3．掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的 数量积判断向量的共线与垂直．
考向预测 1．以选择、填空的形式考查空间向量的概念、数量积及 其运算性质． 2．利用向量法判断或证明线面垂直、平行问题． 3．利用空间向量来求空间角、距离等问题． 4．运用空间向量的线性运算及数量积考查点共线、点共 面、线共面问题．
1 1 A．－ a＋ b＋ c 2 2 1 1 C. a－ b＋ c 2 2
1 1 B. a＋ b＋ c 2 2 1 1 D．－ a－ b＋ c 2 2
[答案] A → → → → 1 → → → 1 [解析 ] B1M ＝ B1B ＋BM ＝ A1A ＋ ( BA ＋ BC )＝ A1A ＋ 2 2
知识梳理 1．空间向量的概念及运算 空间向量的概念及运算同平面向量基本相同．加减运算遵 循 三角形法则和平行四边形法则 ，数乘运算和数量积运算与 平面向量的数乘运算和数量积运算相同；坐标运算与平面向量 的坐标运算类似，仅多出了一个竖坐标．
2．共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理 (1)共线向量定理 对空间任意两个向量 a、b(b≠ 0)，a∥b 的充要条件是存在 唯一的实数 λ，使 a＝λ b . 推论 如图所示，点 P 在 l 上的充要条件是：
a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 (a，b 均为非零向量)．
(3)模、夹角和距离公式 设 a(a1， a2， a3)， b＝ (b1， b2， b3)，
2 2 2 a ＋ a ＋ a 则|a|＝ a· a＝ 1 2 3 ， a1b1＋a2b2＋a3b3 a· b 2 2 2 2 2 2 cos〈 a， b〉＝ ＝ a1＋a2＋a3· b1＋b2＋b3 . |a||b|
4．空间向量的坐标表示及应用 (1)数量积的坐标运算 若 a＝ (a1， a2， a3)， b＝ (b1， b2， b3)， 则 a· b＝ a1b1＋a2b2＋a3b3 .
(2)共线与垂直的坐标表示 设 a＝ (a1， a2， a3)， b＝ (b1， b2， b3)， a1＝λb1 ， b ＝0⇔ 则 a∥b⇔ a＝λb⇔ a2＝λb2 ， a⊥ b⇔ a· a ＝λb ， 3 3
→ 若 A(a1， b1， c1)， B(a2， b2， c2)，则|AB|＝
a2－a12＋b2－b12＋c2－c12 .
基 础 自 测
1.(教材改编题 )如下图，在平行六面体 ABCD— A1B1C1D1 → → → 中， M 为 AC 与 BD 的交点，若A1B1＝ a，A1D1 ＝ b，A1A ＝ c， → 则下列向量中与B1M 相等的向量是( )
3．空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角 → → 已知两个非零向量 a， b， 在空间任取一点 O， 作OA ＝a， OB
〈a，b〉 ＝b，则∠AOB 叫做向量 a 与 b 的夹角，记作 ，其范围
π 0 ≤〈 a ， b 〉≤ π 是 ，若〈a， b〉＝ ，则称 a 与 b互相垂直， 2 记作 a⊥b.
→ → OP ＝OA ＋ ta
①
→ 其中 a 叫直线 l 的方向向量，t∈ R，在 l 上取AB＝a，则① → → → → → → 可化为OP ＝ OA ＋tAB或OP ＝ (1－ t)OA ＋ tOB .
(2)共面向量定理的向量表达式为： p＝ x a＋y b ，其中 x， y∈ R， a，b 为不共线向量，推论 → → → → → 的表达式为MP ＝ xMA ＋ yMB 或对空间任意一点 O 有，OP ＝OM
→ → 1 1 1 (B1A1＋A1D1 )＝ c＋ (－ a＋ b)＝－ a＋ b＋ c. 2 2 2
→ → → → 2．已知AB＝ (2,4,5)，CD ＝ (3，x，y) 若AB∥CD ， 则( A． x＝ 6， y＝ 15 C． x＝ 3， y＝ 15 15 B． x＝ 3， y＝ 2 15 D． x＝ 6， y＝ 2
)
[答案] D → → → → 2 [解析 ] AB∥CD ⇔AB＝ kCD ，得 2＝3k，∴ k＝ . 3
15 ∴ x＝ 6， y＝ . 2
→ 3．已知点 A(2，－ 5,1)，B(2，－ 2,4)，C(1，－4,1)，则AB与 → AC的夹角为( A． 30° C． 60° ) B． 45° D． 90°
②两向量的数量积 已知空间两个非零向量 a，b，则|a||b|cos〈a，b〉 叫做向量 a， b 的数量积，记作 a· ． b＝|a||b|cos〈a· b〉 b ，即a·
(2)空间向量数量积的运算律
b) ； ①结合律：(λa)· b＝ λ(a·
a； ②交换律：a· b＝ b·
b＋ a· c . ③分配律：a· (b＋ c)＝ a·
→ → → → → → ＋xMA ＋yMB 或OP ＝ xOM ＋ yOA ＋ zOB ，其中 x＋ y＋ z＝1.
(3)空间向量基本定理 如果向量 e1， e2， e3 是不共面的向量， a 是空间任一向量， 那么存在唯一一组实数 λ1，λ2，λ3，使得 a＝ λ1e1＋λ2e2＋λ3e3 ， 把 e1， e2， e3 叫做空间的一个基底．
[答案] A
[解析] 由空间两点间距离公式可得 | AB|＝ 1－ 22＋1－22＋1＋ 12＝ 6.
[答案] C
→ → [解析] ∵AB＝(0,3,3)，AC＝(－ 1,1,0)， → → ∴ cos<AB，AC>＝ → → ∴ <AB，AC>＝ 60° . 1 2 2 2 2＝2， 3 ＋ 3 × －1 ＋ 1 3
4． (2012· 广东广州模拟)在空间直角坐标系中，点 A(1,1,1) 与点 B(2,2，－ 1)之间的距离为 ( A. 6 C. 3 B． 6 D． 2 )