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联合典型序列信道编码定理

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信道编码定理

信道编码定理
7
信道编码和译码
译码是由YN到UL的映射，将YN划分为M个不相交的
子集
Y1
Y2
x2
x1
YN
Y
C m
是Ym的补集
xM
Pem P( y | xm ) yYmC
YM
最大后验概率译码
所有消息等概
q元对称信道
最大似然译码
最小汉明
距离译码
8
信道编码和译码
例5.1.1 两个消息等概，x1=0000，x2=1111，通 过二元对称信道，转移概率p
22
联合典型序列和信道编码定理
23
联合典型序列和信道编码定理
定义5.3.1 x和y是联合典型序列
x ( x 1 ,x 2 , ,x N ) X N ,y ( y 1 ,y 2 , ,y N ) Y N (1) x是典型序列，即对任意小的正数e，存在N使
|1lopg(x)H(X)|e
N
误比特率 Bit error rate
Pb
1 K
K
Pek
k 1
第k位出错的概率
5
信道编码和译码
最小错误概率准则
使 P e ( y ) P r { m ' m |y } 1 P r { m ' m |y } 最小
最大后验概率准则
P r{m '|y}m m axP r{m |y}
计算后验概率是困难的，针对具体信道（转移概率已知），采 用最大似然准则
从XN中独立随机地选择2NR个序列作为码字，每个码字出
现的概率为
Y 3 { 1 1 0 0 ,1 0 0 1 ,1 0 1 0 ,0 0 1 1 ,0 1 0 1 ,0 1 1 0 }
9

信道编码定理ppt课件

信道编码定理ppt课件
p
(
y
)

2



(
1


)
2

N
[(
H
Y
)


]
|
G
(
Y
)
|

2
N
[(
H
Y
)

]
§6.3:信道编码定理的证明及其物理意义
N
• 结合AEP定理：
p(x,y) p(xn, yn)
n1
• 设随机序列对 ( X , Y ) 的
，那么对恣意小的
数δ >0，我们总能找到足够大的N使全体序列对的集合能
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
§6.2:信道编码的作用及本质
匹配信道特性： －信道编码的本质
抗白噪声：
优秀的调制、信道编码方案，
扩频方式等。
抗衰落和多径干扰：
功控抗慢衰落，
空间分集抗平滑瑞利〔空间选择〕衰落，
Rake接纳机及自顺应平衡抗频率选择性，
交错编码抗时间选择性衰落等。
抗多址干扰与远近效应：
正交码型设计，
• 资源指的提供信息传输所付出的代价
• 包括频率、时间、空间、功率等等。但不包括
实现复杂度
• 一个好的编码就是要充分利用资源，传送尽能
够多的信息
§6.2:信道编码的作用及本质
－信道编码的三种情
形
– 给定资源和可靠性要求，经过信道编码尽量提
高传输速率〔例：多电平编码〕
– 给定对信息传输的速率和可靠性要求，经过信
信道编码定理
错误概率与译码准那么、编码方法－1

信道编码的基本概念和定理

信道编码的基本概念和定理

j 1, 2,..., N
译码规则对译码性能的影响
示例 设发送码字集 C : 0,1, p c1 p c2 0.5 接收码字集 R : 0,1
两不同的二元对称信道分别为
(1)
p
rj / ci

0.8 0.2
0.2 0.8
(2)
p
rj / ci
2
0.2 0.8
0.8 0.2
分析在两种信道下不同译码规则对译码性能的影响。
RS
有信息论的基本知识，有
I X;Y H X log M
定义归一化信道容量为
CN
max R p xi ,i1,2,...,M I RS log M
max
p xi ,i1,2,...,M
I X;Y log M
1
若记发送序列为 接收序列为
对于离散无记忆信道：
xr x1, x2,..., xN yr y1, y2,..., yN
率矩阵
p c1 / r1 p c1 / r2 ... p c1 / rN
P
C
/
R
p
c2 /
...
r1
p c2 / r2
...
p
c2
/
rN
...
...
...
p
cM
/
r1
p cM / r2
...
p cM / rN
及 R 的分布特性
p rj
Mp
i1
ci
p rj / ci
rj / ck
在先验等概的条件下，最大后验概率译码规则可变为
cˆ D rj c arg max p rj / c1 , p rj / c2 ,..., p rj / cM

信道编码定理PPT教学课件

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第8章
在数字通信系统中，信道的传输特性和传输过程 中噪声的存在是影响通信性能的两个主要因素。人们 总是希望在一定的传输条件下，达到最好的传输性能， 最佳接收就是在噪声干扰中如何有效地检测出信号。
所谓最佳是在某种标准下系统性能达到最佳，最 佳接收是个相对的概念，在某种准则下的最佳系统， 在另外一种准则下就不一定是最佳的。在某些特定条 件下，几种最佳准则也可能是等价的。
最小汉明距离译码
汉明距离 d(x,y), x,y中 分量不同的数目
码字先验等概 K元对称信道
p(i | i) 1 p p( j | i) p /(K 1)
最小汉明距离译码
N
ln p( y | xm ) ln p( yi | xmi ) n1 p
d ( y, xm ) ln K 1 (N d ( y, xm ))ln(1 p) N ln(1 p) d ( y, xm ) ln[(1 p)(K 1) / p]
1
j
e
jT 2
1e jt0
h(t) s(t0 t)
hs(t))
1
hs(tt))
1
0
T
Tt
2
(a)
so(t)
T 2
0
T
Tt
2
(b)
O
T
T
3T t
2
2
(c)
图8-3 信号时间波形
取t0=T，则有
H ()
1
j
e
jT 2
1e jT
h(t) s(t0 t)
(2) 匹配滤波器的输出为
s0 (t) R(t t0 ) s(x)s(x t t0 )dx
滤波器输入 滤波器输出

联合信源信道编码定理

联合信源信道编码定理
我们可以证明，只要满足香农第一定理和第二定理，用两步编码 的方法传输信息和一步编码的方法传输信息其效果是一样的。
电子信息工程学院
信息论
3 有噪信道编码定理
（1） 正因为通过分别进行信源的数据压缩编码和信道 的数据传输编码，即能做到有效又可靠的传输信息，又能 大大简化通信系统设计，因此在实际通信系统中得到广泛 应用。
信息论
3 有噪信道编码定理
3、联合信源信道编码定理 若 S n (S1S2 SN ) 是有限符号集的随机序列 并满足AEP， 又信源S极限熵 H C ，则存在信源和信道编码，其 PE 0 。 反之，对于任意平稳随机序列，若极限熵 H C ，则错 误概率远离零，即不可能在信道中以任意小的错误概率发 送随机序列。
电子信息工程学院

信息论
3 有噪信道编码定理
3、联合信源信道编码定理
从香农第一、第二定理可以看出，要做到有效和可靠的传输信息， 我们可以将通信系统设计成两部分的组合，即信源编码和信道编码两 部分，首先通过信源编码，用尽可能少的信道符号来表达信源，尽可 能减少编码后信源数据的剩余率，然后针对信道，对信源编码后的数 据独立地进行信道编码，适当增加一些剩余度，使能纠正和克服信道 中引起的错误和干扰。
（2）针对各种不同信源，如文本、语音、静止图像、活 动图像等数据压缩的研究形成了数据压缩理论和技术；而 针对信道编码问题的研究，又形成了另一独立的分支—— 纠错码理论。
电子信息工程学院

信道编码定理-2011

信道编码定理-2011

y
PE 1 PE p ( x * y )
y
有 噪 信 道 编 码 定 理
举例
a1 0.5 0.3 0.2 P a2 0.2 0.3 0.5 a3 0.3 0.3 0.4
b1 b2 b3
b1
b2
b3

F (b1 ) a1 F (b2 ) a2
F (b3 ) a2
15
a1 1/6 1/10 1/15 [ P (ai b j )] a2 1/15 1/10 1/6 a3 1/10 1/10 2/15
25
a a*
p( y | x a ) / 3
1/ 2
pE ( B)
a a*
p( y | x a ) / 3
[(1/ 6 1/ 3) (1/ 3 1/ 2) (1/ 6 1/ 2)]/ 3
2/3
有 噪 信 道 编 码 定 理
§ 3 费诺(Fano)不等式
33
其中， 为模二加运算。例如，码字 x [1101110 ] 和 码字 y [1010001] 的汉明距离为6。

一个码字集合中任意两码的汉明距离最小值，称为码
的最小距离，用dmin 来表示。
有 噪 信 道 编 码 定 理
最小汉明距离准则
接收序列 j
D0 j
0
D01
最近码字
1. 汉明距离 2. 序列最大似然译码
32
有 噪 信 道 编 码 定 理
4. 1 汉明距离
设两码字为 x [ x1 ,..., xn ], y [ y1 ,..., y n ]，定义它们的
汉明距离为
n d ( x , y ) xn y k k 1

联合典型序列信道编码定理


Pr [TXY ( N , e )] 1 e
信道编码定理


Shannon信道编码定理：给定容量为C的离散无 记忆信道{X,P(x|y),Y},若编码速率R<C,则R是可 达的 可达：对给定离散无记忆信道和任意e>0,若有 一种编码速率为R的码，在N足够大时，能使 Pe<e，就称R是可达的。
最小汉明距离译码

汉明距离 d(x, y), x, y中分量不同的数目 码字先验等概 K元对称信道
p(i | i) 1 p p( j | i ) p /( K 1)
最小汉明距离译码
ln p( y | xm ) ln p( yi | xmi )
n 1 N
p d ( y, xm ) ln ( N d ( y, xm )) ln(1 p) K 1 N ln(1 p) d ( y, xm ) ln[( 1 p)(K 1) / p]
第五章 信道编码定理
信道编码定理

1.离散信道编码问题 2.信道译码 3.Fano不等式和信道编码逆定理 4.联合典型序列及信道编码定理
1.离散信道编码问题
纠错编码器


Hale Waihona Puke 将输入的信息数字序列变成另外一个数字序列， 人为地按照一定的规律增加多余度，以便纠正 传输过程中出现的错误，以尽可能小的错误概 率恢复原来的信源数字序列 有限状态开关网络：
N N N n 1 n 1 n 1
2 maxln(y | xm ) min ( yn xmn ) 2 min xmn 2 xmn yn
若发送信号能量相等,最大相关译码
Fano不等式和信道编码 逆定理

信道编码定理

且p( x n )在 n 上取均匀分布。
第二节 信道编码问题 （2） ( f , g ), 在n 时，st
n n
n ( f n , g n )的误差
e( f n , g n ) n 0成立。
编码问题一就是求信道序列 C 的最大可达速率R1。 编码问题二 对给定 C 寻找一组 专线：
0
1
2
1
1
第三节 离散无记忆信道 例：对于二元对称信道
0 1-p p p 1-p 0
1
1
如果信源分布X={ ,1- }，则 I ( X ; Y ) H (Y ) H (Y / X )
H (Y ) P( x) P( y / x) log 1 P( y / x) X Y 1 1 H (Y ) P( x)[ p log p log ] p p X

那么，在什么样的信源输出情况下，信道输出能等概分 布呢？可以证明，输入等概分布时，输出也等概分布。
第三节 离散无记忆信道
例：
1 3 P 1 6 1 3 1 6 1 6 1 3 1 6 1 3
1 1 1 1 1 1 1 1 C log 4 H ( , , , ) 2 [ log 3 log 3 log 6 log 6] 0.817 3 3 6 6 3 3 6 6
1 2 1 P 6 1 3 1 3 1 2 1 6 1 6 1 3 1 2 和第三节 离散无记忆信道
如果离散信道的转移矩阵如下
p p P r 1 ... p r 1 p r 1 p p r 1 ... p r 1 ... p r 1 p r 1 p
是可通过的：若

第三章-信源编码定理与信道编码定理

第三章信源编码定理与信道编码定理通信系统的两个基本问题问题一：数据压缩的理论极限是什么。

问题二：通信传输速率的理论极限是什么。

问题一（理论）：如何度量信源产生信息无失真信源编码定理离散无记忆信道离散无记忆信道容量计算时间离散的无记忆连续信道为什么要对信源进行编码?由于信源符号之间存在分布不均匀和相关性，使得信源存在冗余度。

信源编码的主要任务就是减少冗余，提高编码效率。

具体说，就是针对信源输出符号序列的统计特性，寻找一定的方法把信源输出符号序列变换为最短的码字序列。

为什么还要引入有失真编码呢？感觉无失真编码应该优于有失真编码编码器可以看作这样一个系统，它的输入端为原始信源U，其符号集为U:{u1,u2,…,u q}；而信道所能传输的码符号集为X:{x1,x2,…,x r}；编码器的功能是用符号集X中的元素，将原始信源的符号ui 变换为相应的码字符号Wi，(i=1,2,…,q)，所以编码器输出端的符号集为W:{W1,W2,…,W q}。

码的类型信源的类型离散无记忆信源的等长编码无失真等长编码中文电报的汉字编码就是一种等长编码。

这里N=4,D=10 ，即每个汉字用4位十进制数表示。

例如，“西安”编码后就成为4687 16180。

此外，0, 1, 2, ... , 9这10个数字采用如右边的编码方法。

右边的表格中的码字有什么特点？A频率在［0.19,0.21 ］的序列的概率和A频率在［0.19,0.21 ］序列的比例结论●某些特定的信源序列的出现概率可能高于某个特定“常见”序列的出现概率；●随着序列长度的增加，常见序列构成的集合的总体概率趋于1 。

（弱大数定律）想法－渐近无失真编码•如果这些“常见”序列的概率之和接近于1，并且它们的数目相对2L小得多，那么我们就可以只对这些“常见”序列进行编码。

其他序列不做考虑。

•随着L 的增加，其它序列几乎不发生。

这样，这种编码方法也就几乎没有失真了。

如何用数学工具来描述“常见”序列弱典型序列渐进等同分割性质定理：如果U 1,U 2，…是独立离散随机变量,分布服从p (u )，则等价表述：设离散无记忆稳恒信源输出的一个特定序列u 1u 2…u L 。

信息论基础——联合信源—信道编码定理

n n r
P U W P g Y U

n r

n
U n W n 2

b
要证对任何使 P n 0 n 的复合码，其编码函数为
n X n U n f U :
Un
n x
ˆ 译码函数为 g Y n : y n u n ，则必有 H U C


ˆ ① U n X n Y n U n 构成马氏链，
ˆ ②数据处理不等式保证了 I U n ;U n I X n ; Y n
13


第四章 信道编码定理
令 n , Pe
n
1 0, 0 ，从而 H U C 成立. n
说明
定理表明使用一步编码方案可以使通信的误差 概率任意小. 对于同一个通信系统，现在有两种数据处理方 案.
第四章 信道编码定理
例G1：整数全体，按通常加法构成群，这是一个无限群.
例G2：二元集{0,1}，对其上定义的模2加法,构成一个群.
0 0 1 1 0mod 2, 0 1 1 0 1mod 2
31
第四章 信道编码定理
二、 域 域在编码理论中起着关键作用； 域是定义了两种代数运算的系统.
19
第四章 信道编码定理
两步编码与一步编码
信道输入端只是一系列二元码 ↔信道编码只需针对信道特性进行，不用 考虑信源的特性； 以纠正信道带来的错误，做到有效又可 靠地传输信息. 大大降低通信系统设计的复杂度！
20
第四章 信道编码定理
两步编码与一步编码
经典的无线通信系统是将信源编码和信道编码分别进行的。信源 编码主要考虑信源的统计特性，信道编码主要考虑信道的统计特 性。 • 优点是设计简单、通用性好，可以分别形成标准。 • 缺点是没有充分利用各自的优势，因而不是最佳的。 • 无线系统的信源编码由于压缩比很高，对差错十分敏感；而信道 编码面临十分恶劣的传播环境，但提供的带宽冗余度很小。 在这种背景下，需要将信源编码和信道编码综合考虑。这就是联 合编码的基本思路。 • 在无线多媒体通信中，联合编码是抗衰落的一种十分有效的措施。
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判决区域

Ym: lnp(y|xm) > ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱnp(y|xm’) 给定m,错误概率
pem
C yYm
p( y | x
m
)
pe Q (m) pem
m 1
M
高斯信道
max p( y | xm )
n 1 N
( yn xmn ) 2 1 exp{ } 2 2 2

pr (m'| y) pr (m | y)
最大似然译码
Q(m) p(y | m) p(m | y ) (y ) (y ) Q(m) p(y | x m )
m 1 M
译码原则： p(y | m ') p(y | m) 所有Q(m)相同
最大对数似然译码
ln p( y | m' ) ln p( y | m)
N N N n 1 n 1 n 1
2 maxln(y | xm ) min ( yn xmn ) 2 min xmn 2 xmn yn
若发送信号能量相等,最大相关译码
Fano不等式和信道编码 逆定理
Fano不等式和编码逆定理

信源序列：u=(u1,u2,…,uL) ∈UL 码序列（信道输入）：x=(x1,x2,…,xN) 接收序列（信道输出）： y=(y1,y2,…,yN) 译码器输出：v=(v1,v2,…,vL) Fano不等式主要说明Pb, HL(U), 和I(UL;VL)之间 的关系
则序列对x和y是联合e典型序列
联合典型序列
| TX |Y ( N , e ) | 2 (1 e )2
N [ H ( X |Y ) 2e ]
N [ I ( X ;Y ) 3e ]

x y ( x , y )TXY ( N ,e )
p ( x) p ( y ) 2
N [ I ( X ;Y ) 3e ]
Pr [TXY ( N , e )] 1 e
信道编码定理


Shannon信道编码定理：给定容量为C的离散无 记忆信道{X,P(x|y),Y},若编码速率R<C,则R是可 达的 可达：对给定离散无记忆信道和任意e>0,若有 一种编码速率为R的码，在N足够大时，能使 Pe<e，就称R是可达的。
第五章 信道编码定理
信道编码定理

1.离散信道编码问题 2.信道译码 3.Fano不等式和信道编码逆定理 4.联合典型序列及信道编码定理
1.离散信道编码问题
纠错编码器


将输入的信息数字序列变成另外一个数字序列， 人为地按照一定的规律增加多余度，以便纠正 传输过程中出现的错误，以尽可能小的错误概 率恢复原来的信源数字序列 有限状态开关网络：
几个概念

码率 误组率
R＝K/N

p ( xm ' xm ) 1 pb pel L l 1
L

误比特率
2.信道译码问题
译码错误概率
pe ( y) PN (m' m | y) 1 pN (m' m | y)
－误组率
译码准则
最小错误概率译码：是pe(y)最小 最大后验概率译码： 选m，使得pr(m|y)最大
联合典型序列及信道编码定理
联合典型序列
1 x是e典型序列 | log p(x) H ( X ) | e N 1 y 是e典型序列 | log p(y) H (Y ) | e N 1 log p(xy) H ( XY ) | e xy是e典型序列 | N

思路：编码规则采用随机编码；译码规则 是联合典型序列译码
Fano不等式
H U V
logM Log(M-1)
Pb

做了一次译码判决后所保留的关于信源的不确定性可分为2个部 分：第一，判决的结果是对的还是错的，其不确定性：H(Pb)； 第二，若判决是错的，为确定到底是其余M -1种可能事件中哪 一个，所需信息量不超过log(M -1)
信道编码逆定理

离散平稳源有M个字母，熵为HL(U)(limL->∞)， 信道容量为C,当HL(U)>(N/L)C时,误码率为非零值。
信息数字：k0位，每位持续时间，ts=1/Rs 码字输出序列：n0位，每位持续时间，tc n0tc=k0ts
纠错编码器



送给纠错编码器的消息是经过最佳信源编码后，信息 速率为比特/秒的离散二元或q元数字序列。 分组码 每K个信息数字为一组，计算出N个编码数字，称这些 数字为一个码字。通常N为整数。 卷积码 输出的n0长码段不仅依赖于当前的k0位信息数字，还 依赖于前m个信息段的信息数字，即总共与（m＋1） k0个信息数字有关。
Fano不等式
pb log(M 1) H ( pb ) H (U | V ) 1 L L pb log(M 1) H ( pb ) H (U | V ) L 1 [ H (U L ) I (U L ;V L )] L 1 H L (U ) I ( X N ; Y N ) L N H L (U ) C L
最小汉明距离译码

汉明距离 d(x, y), x, y中分量不同的数目 码字先验等概 K元对称信道
p(i | i) 1 p p( j | i ) p /( K 1)
最小汉明距离译码
ln p( y | xm ) ln p( yi | xmi )
n 1 N
p d ( y, xm ) ln ( N d ( y, xm )) ln(1 p) K 1 N ln(1 p) d ( y, xm ) ln[( 1 p)(K 1) / p]