通信原理-第2章

矩形脉冲的带宽等于其脉
冲持续时间的倒数，在这里
-1/
1/
-2/
0
2/
f
它等于(1/) Hz。
(a) ga(t)
(b) Ga(f)
图2-5 单位门函数
【例2.5】试求单位冲激函数(函数)的频谱密度。
函数的定义：

(t)dt 1
(t) 0
t 0
函数的频谱密度：
g a (t )
它的傅里叶变换为

1 0
t /2 t /2
Ga ( f )
/2 e j2 ft dt
/2
1 (e j f e j f ) sin( f ) Sa( f )
j2 f
f
ga(t) 1
0
t
Ga(f)
0
t
f
0
2.2.3 能量信号的能量谱密度
定义：设能量信号s(t)的傅立叶变换（即频谱密度）为S( f ) 则能量谱密度为 G( f ) S( f ) 2 (J / Hz)
信号能量---巴塞伐尔(Parseval)能量守恒定理
E s2 (t)dt S 2 ( f ) df 2 S 2 ( f ) df
s(t) s(t T0 ), t
T0－信号的周期， T0 > 0
➢ 非周期信号: 在时间上不具有周而复始的特性，可看作是一个周期T 趋于无穷大的周期信号。
2.1 确知信号的类型
❖ 按照能量区分：
➢ 能量信号：能量有限（绝对可积）
➢ 功率信号：
0 E s2 (t)dt
【例2.1】 试求图2-2(a)所示周期性方波的频谱。
V ,
/2 t /2
s(t)
s(t) 0,
/ 2 t (T / 2)
s(t) s(t T ),
由式(2.2-1)：
t
V

-T
0
t
T
/2
Cn

1 T
/2 Ve j 2 nf0t dt
2. 实信号s(t)的各次谐波的振幅等于 3. 实信号s(t)的各次谐波的相位等于
an2 bn2
称为单边谱。
4. 频谱函数Cn又称为双边谱， |Cn|的值是单边谱的振幅之
半。
总 结：
➢数学上的频谱函数称为双边谱；实信号的频谱称为单边谱 双边谱便于数学分析，单边谱便于实验测量。 ➢数学上的频谱函数的各次谐波的振幅分布在全部正负频率范围， 并且是实信号各次谐波振幅的一半。 或理解为：数学上的频谱函数的负频率分量的模和正频率分量的 模相加，等于物理上实信号的频谱的模。 ➢ 若s(t)不但是实信号，而且还是偶信号，则Cn是实函数。
周期性功率信号： 自相关函数定义：
时域表述：描述信号的幅值随 频域表述：以频率作为独立变量
时间的变化规律，可直接检测 的方式，也就是所谓信号的频谱
或记录到的信号。
分析。
特点：
不能揭示信号的频率结构特 可以反映信号的各频率成分的幅
征。
值和相位特征。
时域表述和频域表述为从不同的角度观察、分析信号提供了 方便。运用傅里叶级数、傅里叶变换及其反变换，可以方便地 实现信号的时、频域转换。
( f )
(t)e j2ft dt 1

(t)dt 1


函数的物理意义： 一个高度为无穷大、宽度为无穷小、面积为1的脉冲。
单位冲激函数(t)的频谱密度：
(f) (t)


f1(t) (t t0 )dt f (t0 ) (t t0 )dt f (t0 )
思考问题
(2.1) 为什么能量信号的平均功率为零,举例说明哪 些信号是能量信号，哪些信号是功率信号？
(2.2.1) 周期信号的频谱特性？ (2.2.2) 为什么能量信号用频谱密度来表示它的频
域特性？
2.1 确知信号的类型
❖ 按照周期性区分： ➢ 周期信号：每隔一定时间T，周而复始且无始无终的信 号。


0
理解：1）能量谱密度反映了信号能量在频率域的分布情况
2）、信号的能量既可以通过时间函数来计算，又可以通过频谱函数来计算， 体现了能量信号的能量在时域和频域中保持守恒。
3）、 当信号s(t)是一个实函数，|S(f)|是一个偶函数。
【例2.7】试求例2.4中矩形脉冲的能量谱密度 在例2.4中，已经求出其频谱密度：
R( ) lim 1
T /2
s(t)s(t )dt
T T T / 2

性质：
当 = 0时，自相关函数R(0)等于信号的平均功率：
R(0) lim 1 T / 2 s 2 (t)dt P
T T
T / 2
功率信号的自相关函数也是偶函数。
2.3.2 功率信号的自相关函数
/ 2
1 T

V
j2 nf0
e
j
2
nf0t

/2
V T
e e j 2 nf0 /2
j 2 nf0 / 2
j2 nf0
V
nf0T
sin nf0
V
T
Sa

n
T

C
s(t)


C e j 2 nf0t n
n
T0 / 2 T0 / 2
s(t
)e

j
2nf0t
dt

Cn*
(2.2 5)
频谱函数的正频率部分和负频率部分间存在复数共轭关系。 即：正负频率总是共轭成对地出现。
1
令：
Cn 2 (an jbn )
将式(2.2－5)代入式(2.2－2)，得到


s(t)
C e j 2 nt /T0 n
故得出
S( f ) Sa( f )
G( f ) S( f ) 2 Sa( f ) 2 2 Sa( f ) 2
2.2.4 功率信号的功率谱密度
定义：首先将功率信号s(t)截短为sT(t)，-T/2 < t < T/2
sT(t)是一个能量信号，可以用傅里叶变换求出其能量谱密 度 |ST(t)|2，由巴塞伐尔定理有
✓ 归一化功率： P V 2 / R I 2 R V 2 I 2
✓ 平均功率P为有限正值：
P 1 T0 /2 s2 (t)dt
T0 T0 / 2
能量信号的功率趋于0，功率信号的能量趋于
2.2 确知信号的频域性质
根据描述信号的自变量不同可分为时域信号和频域信号。
定义：
2.3 确知信号的时域性质
2.3.1 能量信号的自相关函数
定义：

R( ) s(t)s(t )dt

性质：
自相关函数R()和时间t 无关，只和时间差 有关。
当 = 0时，R(0)等于信号的能量：
R(0) s 2 (t)dt E
E
T /2 T / 2
sT2
(t )dt


ST
(
f
)
2 df
将
1 lim T T
ST ( f ) 2
定义为信号的功率谱密度P(f) ，即
P( f ) lim 1 T T
ST ( f ) 2
周期信号的功率：
令T 等于信号的周期T0 ，于是有
P lim 1 T / 2 s 2 (t)dt 1 T0 / 2 s 2 (t)dt
注意：在针对能量信号讨论问题时，也常把频谱密度简称为频谱。 实能量信号：负频谱和正频谱的模偶对称，相位奇对称。
s(t)e j2ft dt



s(t
)e

j
2ft
dt


,
S( f ) S( f )
【例2.4】试求一个矩形脉冲的频谱密度。
设
|Cn| －为频率nf0信号分量的振幅 n－为频率nf0信号分量的相位
周期性功率信号频谱的性质1
Cn的模偶对称
|Cn| -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
实信号的双边幅
度谱是nf0的偶
n 函数。
(a) 振幅谱 n
Cn的相位奇对称 -5 -4
-2 -1
3
-3
0
1
2
4
5
实信号的双边相
2.2 确知信号的频域性质
2.2.1 功率信号的频谱 周期性功率信号： 可以利用傅里叶级数展开成多个乃至无穷多个不同频率的 谐波信号的线性叠加。 即周期信号可以展开为如下的傅立叶级数：

s(t)
C e j2nt /T0 n
n
(2பைடு நூலகம்2 2)
周期性功率信号频谱（函数）的定义
所以： 得出
Cn
V
T
Sa

n
T


P( f ) C( f ) 2 ( f nf0 ) n
P( f
)

n
C( f
)2(f
nf0 )

V
n T
2

Sa2
f
( f
nf0 )
s(t)
V

-T
0
t
T
位谱是nf0的奇
n
函数。
(b) 相位谱
1. 周期信号的频谱具有离散性、谐波性和收敛性。 即各谐波分量频率为基频的整倍数，离散分布，且幅值随频
率的增加而减小。
分析：对于物理可实现的实信号 由式(2.2－1)有

Cn

1 T0
T0 / 2 T0 / 2
s(t)e
dt j 2nf0t

1 T0
C0
an cos 2 nt / T0 bn sin 2 nt / T0
n
n1


C0

n1

an2 bn2 cos 2 nt / T0
tan1 bn / an
上式表明：
1. 实信号可以表示成包含直流分量C0、基波(n = 1时)和各 次谐波(n = 1, 2, 3, …)。
S(f)和Cn的主要区别：
S(f)是连续谱，Cn是离散谱； S(f)的单位是V/Hz，而Cn的单位是V。
注：能量信号的能量有限，并分布在连续频率轴上，所以在每个频率f上 的信号的幅度是无穷小，只有在一小段频率间隔df上有确定的非零振幅。
功率信号的功率有限，能量无限，它在无限多的离散频率点上有确定 的非零振幅。
通信原理
第二章 确知信号
第二章 确知信号
2.1 确知信号的类型 2.2 确知信号的频域性质
2.3 确知信号的时域性质
2.4
小结
课程基本要求
掌握内容：
能量信号、功率信号 确知信号在频域中的四种性质：频谱、频谱密度、
能量谱密度、功率谱密度 确知信号在时域中的特性：自相关函数、互相关函数
利用函数可将上式表示为
P
C( f ) 2 ( f

nf0 )df
式中
C( f ) Cn 0
f nf0 其他处
上式中的被积因子就是此信号的功率谱密度P(f)，即

P( f ) C( f ) 2 ( f nf0 ) n
【例2.8】试求例2.1中周期性信号的功率谱密度。 该例中信号的频谱已经求出，它等于式：
R()是 的偶函数

R( ) R( )
自相关函数R()和其能量谱密度|S(f)|2是一对傅里叶变换：
S ( f ) 2 R( )e j2f d
R( ) S ( f ) 2 e j 2f df
2.3.2 功率信号的自相关函数
定义：
T T
T / 2
T0 T0 / 2
由周期函数的巴塞伐尔(Parseval)定理:
式中
P 1
T0
T0 / 2 s 2 (t )dt
T0 / 2


Cn
n
2
|Cn|2 －第n次谐波的功率 ，信号的功率谱。
理解： 1）、周期性信号的平均功率等于各个频率分量单独贡献出的功率之和。 2）、功率谱密度反映了信号功率在频率域的分布情况。

V
T n
Sa

n
T

e
j
2
nf0t
n
2.2.2 能量信号的频谱密度
频谱密度的定义：
能量信号s(t) 的傅里叶变换：
S ( f ) s(t)e j2ft dt
S(f)的逆傅里叶变换为原信号：
s(t) S ( f )e j2ft df
1
Cn C(nf0 ) T0
T0 / 2 s(t)e j 2nf0t dt
T0 / 2
(2.2 1)
式中，f0 ＝ 1/T0，n为整数，- < n < +。
当n
=0时：
C0

1 T0
T0 / 2 s(t)dt
T0 / 2
分析：
(2.2 3)
Cn C－n 双e 边jn谱，复振幅 (2.2－4)