图算法1(最小生成树)概论

最小生成树的两种经典算法的分析及实现摘要：数据结构是计算机科学的算法理论基础和软件设计的技术基础，在计算机领域中有着举足轻重的作用，是计算机学科的核心课程。

构造最小生成树有很多算法，本文主要介绍了图的概念、图的遍历，并分析了PRIM和KRUSKAL的两种经典算法的算法思想，对两者进行了详细的比较，最后用这两种经典算法实现了最小生成树的生成。

关键词：连通图，赋权图，最小生成树，算法，实现1 前言假设要在n个城市之间建立通信联络网，则连接n个城市只需要n-1条线路。

这时，自然会考虑这样一个问题，如何在节省费用的前提下建立这个通信网？自然在每两个城市之间都可以设置一条线路，而这相应的就要付出较高的经济代价。

n个城市之间最多可以设置n （n-1）/2条线路，那么如何在这些可能的线路中选择n-1 条使总的代价最小呢？可以用连通网来表示n 个城市以及n个城市之间可能设置的通信线路，其中网的顶点表示城市，边表示两个城市之间的线路，赋予边的权值表示相应的代价。

对于n个顶点的连通网可以建立许多不同的生成树，每一个生成树都可以是一个通信网。

现在要选择这样一棵生成树，也就是使总的代价最小。

这个问题便是构造连通网的最小代价生成树（简称最小生成树）的问题。

一棵生成树的代价就是树上各边的代价之和。

2图的概念2.1 定义无序积在无序积中，无向图，其中为顶点(结点)集，为边集，，中元素为无向边，简称边。

有向图，其中为顶点(结点)集，为边集，，中元素为有向边，简称边。

有时，泛指有向图或无向图。

2.2 图的表示法有向图，无向图的顶点都用小圆圈表示。

无向边——连接顶点的线段。

有向边——以为始点，以为终点的有向线段。

2.3 概念(1)有限图——都是有限集的图。

阶图——的图。

零图——的图。

特别，若又有，称平凡图。

(2)关联 (边与点关系)——设边(或)，则称与(或)关联。

无环孤立点——无边关联的点。

环——一条边关联的两个顶点重合，称此边为环 (即两顶点重合的边)。

是按逐个将顶点连通的方式来构造最
小生成树的。
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从连通网络 N = { V, E }中的某一顶点 u0 出 发，选择与它关联的具有最小权值的边( u0, v)， 将其顶点加入到生成树的顶点集合U中。 以后每一步从一个顶点在 U 中，而另一个顶点不 在U中的各条边中选择权值最小的边(u, v),把该 边加入到生成树的边集TE中，把它的顶点加入到 集合 U 中。如此重复执行，直到网络中的所有顶 点都加入到生成树顶点集合U中为止。
for (i=0; i<G.vexnum; ++i)
// 建零入度顶点栈S
if (!indegree[i]) Push(S, i); // 入度为0者进栈 count = 0; // 对输出顶点计数
while (!StackEmpty(S)) { Pop(S, i); printf(i, G.vertices[i].data); ++count; // 输出i号顶点并计数 for (p=G.vertices[i].firstarc; p; p=p->nextarc) { k = p->adjvex; // 对i号顶点的每个邻接点的入度减1
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由于AOV网中有些活动之间没有次序要求，它们在拓扑序列的 位置可以是任意的，因此拓扑排序的结果不唯一。
C1 C3 C4
对右图进行拓扑排序，可得一个拓扑序列： C1，C3，C2，C4，C7，C6，C5 也可得到另一个拓扑序列： C2，C7，C1，C3，C4，C5，C6
C7 C2
C6 C5
还可以得到其它的拓扑序列。学生按照任何一个拓扑序列都可 以完成所要求的全部课程学习。 在AOV网中不应该出现有向环。因为环的存在意味着某项活动 将以自己为先决条件，显然无法形成拓扑序列。 判定网中是否存在环的方法：对有向图构造其顶点的拓扑有序 序列，若网中所有顶点都出现在它的拓扑有序序列中，则该 AOV网中一定不存在环。

1. TE=Ф ,U={u0} 2. 当U≠V，重复下列步骤： (1)选取（u0,v0)=min{cost(u,v)|u∈U,v∈V-U}，
保证不形成回路
(2)TE=TE+（u0,v0), 边（u0,v0)并入TE (3)U=U+{v0}，顶点V0 并入U
特点: 以连通为主、选代价最小的邻接边
说明：Prim算法的起始点（可不写，默认为0）
翻译训练1．学生结合课下注释和工具书自行疏通文义，并画出不解之处。【教学提示】节奏划分与明确文意相辅相成，若能以节奏划分引导学生明确文意最好；若学生理解有限，亦可在解读文意后把握节
奏划分。2．以四人小组为单位，组内互助解疑，并尝试用“直译”与“意译”两种方法译读文章。3．教师选择疑难句或值得翻译的句子，请学生用两种翻译方法进行翻译。翻译示例：若夫日出而林霏开，
【练习】请用kruskal算法找出下图最小生成树。
练习
利用克鲁斯卡尔算法构造最小生成树 算出该最小生成树的代价
最
1
10
小
生
成
21 6
树 19
算
法
33
思
想
5
18
二
1
10
6 Prim算法
2
11
5
6
3
14 6
4
2
11
5
6
3
初始条件
点集合={u0}， TE={φ}。
5
18
4
普里姆（Prim）最小生成树算法
1
③
④
3
42
⑤
6
利用Prim演算法找最小生成树
以A点为起始点
L ：A D B C E F T ： h c d e a

最小生成树的概念
在图论中，最小生成树是一个连通图的生成树，其边的权值之和最小。

通俗地说，最
小生成树是指在一个图中找到一棵权值最小的生成树，这个生成树包含了连通图的所有顶点，且边的数量最小。

怎么找到最小生成树呢？有两种常用算法：Prim算法和Kruskal算法。

Prim算法首先任选一个点作为起点，然后在剩余的点中选择与当前集合距离最短的点加入集合，直到所有点被加入。

在加入每一个点时，找到与当前集合连接的距离最短的边，加入到生成树中。

重复以上步骤，直到所有点都被加入到生成树中。

Kruskal算法则是将边按照权值从小到大排序，选择权值最小的边加入到生成树中，
如果加入当前边后不构成环，则加入，否则继续找下一条权值最小的边。

重复以上步骤，
直到所有点都被加入到生成树中。

最小生成树有很广泛的应用，如在通信、传输、路网规划等领域都有很重要的作用。

在有些应用中，最小生成树不仅要求边的权值之和最小，还要满足一些约束条件，比如边
的数量、每个点的度数等，这时我们需要采用更加复杂的算法来求解问题。

最小生成树的应用非常广泛，比如在计算机网络中，路由协议需要找到最短的数据传
输路径；在城市交通中，规划出最优的交通路径能够有效减少能源的消耗；在电力系统中，设计最短的输电线路可以节省能源成本。

最小生成树的运用如此广泛，它不仅在计算机科
学中有重要作用，也在其他各个领域有着不可替代的作用。