最小生成树及算法

的最小生成树算法Prim与Kruskal算法的比较Prim算法和Kruskal算法都是常用的最小生成树算法，它们可以在给定的加权连通图中找到连接所有节点的最小权重边集合。

然而，这两种算法在实现细节和时间复杂度上有所不同。

本文将对Prim算法和Kruskal算法进行比较，并讨论它们的优缺点以及适用场景。

一、Prim算法Prim算法是一种贪心算法，它从一个起始节点开始，逐步扩展最小生成树的边集合，直到包含所有节点为止。

具体步骤如下：1. 选取一个起始节点作为最小生成树的根节点。

2. 在最小生成树的边集合中寻找与当前树集合相连的最小权重边，并将这条边添加到最小生成树中。

3. 将新添加的节点加入到树集合中。

4. 重复步骤2和3，直到最小生成树包含所有节点为止。

Prim算法的时间复杂度为O(V^2)，其中V是节点的个数。

这是因为在每轮迭代中，需要从树集合以外的节点中找到与树集合相连的最小权重边，而在最坏情况下，可能需要检查所有的边。

二、Kruskal算法Kruskal算法是一种基于边的贪心算法，它按照边的权重从小到大的顺序依次选择边，并判断是否加入最小生成树中。

具体步骤如下：1. 初始化一个空的最小生成树。

2. 将所有边按照权重从小到大进行排序。

3. 依次检查每条边，如果这条边连接了两个不同的树（即不会形成环），则将这条边加入到最小生成树中。

4. 重复步骤3，直到最小生成树包含所有节点为止。

Kruskal算法使用并查集数据结构来快速判断连通性，时间复杂度为O(ElogE)，其中E是边的个数。

排序边的时间复杂度为O(ElogE)，而对每条边进行判断和合并操作的时间复杂度为O(E)。

三、比较与总结1. 时间复杂度：Prim算法的时间复杂度为O(V^2)，而Kruskal算法的时间复杂度为O(ElogE)。

因此，在边的数量较大的情况下，Kruskal 算法的效率优于Prim算法。

2. 空间复杂度：Prim算法需要维护一个大小为V的优先队列和一个大小为V的布尔数组，而Kruskal算法需要维护一个大小为V的并查集。

最小生成树及克鲁斯卡尔算法
最小生成树是指在一个连通的无向图中，找到一棵生成树，使得所有
边的权值之和最小。

克鲁斯卡尔算法是一种用来求解最小生成树的贪
心算法。

克鲁斯卡尔算法的基本思想是将所有边按照权值从小到大排序，然后
依次加入生成树中，如果加入某条边会形成环，则不加入该边。

直到
生成树中有n-1条边为止，其中n为图中节点的个数。

克鲁斯卡尔算法的时间复杂度为O(ElogE)，其中E为边的数量。

因为需要对所有边进行排序，所以时间复杂度与边的数量有关。

最小生成树的应用非常广泛，例如在网络设计、电力传输、交通规划
等领域都有重要的应用。

在网络设计中，最小生成树可以用来构建网
络拓扑结构，使得网络的总成本最小。

在电力传输中，最小生成树可
以用来确定输电线路的布局，使得电力传输的成本最小。

在交通规划中，最小生成树可以用来确定道路的布局，使得交通运输的成本最小。

除了克鲁斯卡尔算法，还有其他求解最小生成树的算法，例如Prim算法、Boruvka算法等。

这些算法的基本思想都是贪心算法，但具体实
现方式有所不同。

总之，最小生成树是图论中的一个重要问题，克鲁斯卡尔算法是一种常用的求解最小生成树的算法。

在实际应用中，需要根据具体情况选择合适的算法，并结合实际需求进行优化。

最⼩⽣成树的Prim算法以及Kruskal算法的证明Prime算法的思路：从任何⼀个顶点开始，将这个顶点作为最⼩⽣成树的⼦树，通过逐步为该⼦树添加边直到所有的顶点都在树中为⽌。

其中添加边的策略是每次选择外界到该⼦树的最短的边添加到树中（前提是⽆回路）。

Prime算法的正确性证明：引理1：对于连通图中的顶点vi，与它相连的所有边中的最短边⼀定是属于最⼩⽣成树的。

引理2：证明：假设最⼩⽣成树已经建成；(vi, vj)是连接到顶点vi的最短边，在最⼩⽣成树中取出vi，断开连接到vi的边，则⽣成树被拆分成1、顶点vi2、顶点vj所在的连通分量（单独⼀个顶点也看作⼀个独⽴的连通分量）3、其余若⼲个连通分量（个数⼤于等于0）三个部分现在要重建⽣成树，就要重新连接之前被断开的各边虽然不知道之前被断开的都是哪⼏条边，但是可以通过这样⼀个简单的策略来重建连接：将vi分别以最⼩的成本逐个连接到这若⼲个互相分离的连通分量；具体来说，就是要分别遍历顶点vi到某个连通分量中的所有顶点的连接，然后选择其中最短的边来连接vi和该连通分量；⽽要将vi连接到vj所在的连通分量，显然通过边(vi, vj)连接的成本最低，所以边(vi, vj)必然属于最⼩⽣成树（如果连接到vi的最短边不⽌⼀条，只要任意挑选其中的⼀条(vi, vj)即可，以上的证明对于这种情况同样适⽤）。

这样我们就为原来只有⼀个顶点vi的⼦树添加了⼀个新的顶点vj及新边(vi, vj)；接下来只要将这棵新⼦树作为⼀个连通⼦图，并且⽤这个连通⼦图替换顶点vi重复以上的分析，迭代地为⼦树逐个地添加新顶点和新边即可。

Kruskal算法：通过从⼩到⼤遍历边集，每次尝试为最⼩⽣成树加⼊当前最短的边，加⼊成功的条件是该边不会在当前已构建的图中造成回路，当加⼊的边的数⽬达到n-1，遍历结束。

Kruskal算法的正确性证明：Kruskal算法每次为当前的图添加⼀条不会造成回路的新边，其本质是逐步地连接当前彼此分散的各个连通分量（单个顶点也算作⼀个连通分量），⽽连接的策略是每次只⽤最⼩的成本连接任意两个连通分量。

最小生成树聚类算法引言：聚类是数据分析的重要方法之一，它通过将相似的对象分组来发现数据集中的隐藏模式和结构。

在聚类算法中，最小生成树聚类算法是一种基于最小生成树（Minimum Spanning Tree，简称MST）的聚类方法。

它通过在数据点之间构建最小生成树来确定聚类结果。

本文将详细介绍最小生成树聚类算法的原理、步骤和应用。

一、最小生成树聚类算法原理1.将数据集中的每个对象看作一个节点，并计算每对节点之间的相似度（如欧氏距离、余弦相似度等）。

将相似度转化为距离度量，如将相似度映射到0-1之间的距离。

2.基于节点之间的距离建立完全图，图的节点集为数据集的节点集。

3. 使用最小生成树算法从完全图中生成最小生成树。

最小生成树是指连接图中所有节点，且总权重最小的树。

常用的最小生成树算法有Prim算法和Kruskal算法。

4.对生成的最小生成树进行剪枝操作，将权重较大的边删除，得到聚类结果。

剪枝操作的依据可以是设定的阈值或者根据聚类结果的评估指标进行评估选择。

二、最小生成树聚类算法步骤1.输入数据集，将每个对象看作一个节点，并计算节点之间的相似度。

2.将相似度转化为距离度量，建立完全图，节点集为数据集的节点集。

3.使用最小生成树算法生成最小生成树。

4.对生成的最小生成树进行剪枝操作，删除权重较大的边。

5.根据剪枝后的最小生成树，将剩余的边分成若干个子图，每个子图表示一个聚类簇。

6.输出聚类结果。

三、最小生成树聚类算法应用1.社交网络分析：对社交网络中的用户进行聚类，可以帮助发现社交网络中的社区结构和关键用户。

2.图像分割：对图像中的像素进行聚类，可以将图像分割成不同的区域，有助于图像分析和处理。

3.数据挖掘：对大规模数据集进行聚类分析，可以帮助发现数据集中的潜在模式和结构。

4.网络流量分析：对网络流量数据进行聚类，可以发现网络中的异常行为和攻击。

总结：最小生成树聚类算法是一种基于最小生成树的聚类方法，通过将数据点之间的相似度转化为距离，并利用最小生成树算法构建聚类结果。

采用普里姆算法和克鲁斯卡尔算法,求最小生成树-回复普里姆算法和克鲁斯卡尔算法是求解最小生成树问题的两种重要方法。

本文将详细介绍这两种算法的原理和步骤，并比较它们的优缺点和适用场景。

一、普里姆算法普里姆算法（Prim's Algorithm）是一种贪心算法，用于求解带权无向连通图的最小生成树。

它的基本思想是从一个起始顶点开始，逐步向最小代价的边添加顶点，直到生成一颗包含所有顶点的最小生成树。

下面是普里姆算法的具体步骤：1. 随机选择一个顶点作为起始顶点，并将其添加到最小生成树集合中。

2. 从最小生成树集合中已有的顶点出发，寻找与其相连的边中具有最小权值的顶点，将该顶点添加到最小生成树集合中。

3. 重复第二步，直到最小生成树集合包含所有顶点为止。

普里姆算法的时间复杂度为O(V^2)，其中V为顶点数。

它的优点是简单易懂、容易实现，并且适用于稠密图。

然而，普里姆算法对于稀疏图的效率较低，因为需要频繁地搜索和更新权值最小的边。

二、克鲁斯卡尔算法克鲁斯卡尔算法（Kruskal's Algorithm）是一种基于边的贪心算法，用于求解带权无向连通图的最小生成树。

它的基本思想是通过选择代价最小的边，并判断是否会形成环路，最终构建出一颗最小生成树。

下面是克鲁斯卡尔算法的具体步骤：1. 将图中的所有边按照权值从小到大进行排序。

2. 依次选择权值最小的边，判断如果添加该边会形成环路，则将其舍弃；否则将其添加到最小生成树的边集合中。

3. 重复第二步，直到最小生成树的边数等于顶点数减一为止。

克鲁斯卡尔算法的时间复杂度为O(ElogE)，其中E为边数。

相比普里姆算法，克鲁斯卡尔算法适用于稀疏图，并且对于大规模图的求解效率更高。

然而，克鲁斯卡尔算法的缺点是在构建最小生成树时需要尝试的边较多，因此在边数较多的情况下，算法的效率可能不高。

三、比较与总结普里姆算法和克鲁斯卡尔算法都是求解最小生成树问题的经典算法，它们各自具有不同的优点和适用场景。

最⼩⽣成树---普⾥姆算法（Prim算法）和克鲁斯卡尔算法（Kruskal算法）最⼩⽣成树的性质：MST性质（假设N=(V,{E})是⼀个连通⽹，U是顶点集V的⼀个⾮空⼦集，如果（u，v）是⼀条具有最⼩权值的边，其中u属于U，v属于V-U，则必定存在⼀颗包含边（u，v）的最⼩⽣成树）普⾥姆算法（Prim算法)思路：以点为⽬标构建最⼩⽣成树1.将初始点顶点u加⼊U中，初始化集合V-U中各顶点到初始顶点u的权值；2.根据最⼩⽣成树的定义：从n个顶点中，找出 n - 1条连线，使得各边权值最⼩。

循环n-1次如下操作：（1）从数组lowcost[k]中找到vk到集合U的最⼩权值边，并从数组arjvex[k] = j中找到该边在集合U中的顶点下标(2)打印此边，并将vk加⼊U中。

（3）通过查找邻接矩阵Vk⾏的各个权值，即vk点到V-U中各顶点的权值，与lowcost的对应值进⾏⽐较，若更⼩则更新lowcost，并将k存⼊arjvex数组中以下图为例#include<bits/stdc++.h>using namespace std;#define MAXVEX 100#define INF 65535typedef char VertexType;typedef int EdgeType;typedef struct {VertexType vexs[MAXVEX];EdgeType arc[MAXVEX][MAXVEX];int numVertexes, numEdges;}MGraph;void CreateMGraph(MGraph *G) {int m, n, w; //vm-vn的权重wscanf("%d %d", &G->numVertexes, &G->numEdges);for(int i = 0; i < G->numVertexes; i++) {getchar();scanf("%c", &G->vexs[i]);}for(int i = 0; i < G->numVertexes; i++) {for(int j = 0; j < G->numVertexes; j++) {if(i == j) G->arc[i][j] = 0;else G->arc[i][j] = INF;}}for(int k = 0; k < G->numEdges; k++) {scanf("%d %d %d", &m, &n, &w);G->arc[m][n] = w;G->arc[n][m] = G->arc[m][n];}}void MiniSpanTree_Prim(MGraph G) {int min, j, k;int arjvex[MAXVEX]; //最⼩边在 U集合中的那个顶点的下标int lowcost[MAXVEX]; // 最⼩边上的权值//初始化,从点 V0开始找最⼩⽣成树Tarjvex[0] = 0; //arjvex[i] = j表⽰ V-U中集合中的 Vi点的最⼩边在U集合中的点为 Vjlowcost[0] = 0; //lowcost[i] = 0表⽰将点Vi纳⼊集合 U ，lowcost[i] = w表⽰ V-U中 Vi点到 U的最⼩权值for(int i = 1; i < G.numVertexes; i++) {lowcost[i] = G.arc[0][i];arjvex[i] = 0;}//根据最⼩⽣成树的定义：从n个顶点中，找出 n - 1条连线，使得各边权值最⼩for(int i = 1; i < G.numVertexes; i++) {min = INF, j = 1, k = 0;//寻找 V-U到 U的最⼩权值minfor(j; j < G.numVertexes; j++) {// lowcost[j] != 0保证顶点在 V-U中，⽤k记录此时的最⼩权值边在 V-U中顶点的下标if(lowcost[j] != 0 && lowcost[j] < min) {min = lowcost[j];k = j;}}}printf("V[%d]-V[%d] weight = %d\n", arjvex[k], k, min);lowcost[k] = 0; //表⽰将Vk纳⼊ U//查找邻接矩阵Vk⾏的各个权值，与lowcost的对应值进⾏⽐较，若更⼩则更新lowcost，并将k存⼊arjvex数组中for(int i = 1; i < G.numVertexes; i++) {if(lowcost[i] != 0 && G.arc[k][i] < lowcost[i]) {lowcost[i] = G.arc[k][i];arjvex[i] = k;}}}int main() {MGraph *G = (MGraph *)malloc(sizeof(MGraph));CreateMGraph(G);MiniSpanTree_Prim(*G);}/*input:4 5abcd0 1 20 2 20 3 71 2 42 3 8output:V[0]-V[1] weight = 2V[0]-V[2] weight = 2V[0]-V[3] weight = 7最⼩总权值: 11*/时间复杂度O(n^2)克鲁斯卡尔算法（Kruskal算法）思路：以边为⽬标进⾏构建最⼩⽣成树在边集中依次寻找最⼩权值边，若构建是不形成环路（利⽤parent数组记录各点的连通分量），则将其添加到最⼩⽣成树中。

最小生成树kruskal算法例题最小生成树（Minimum Spanning Tree，简称MST）是图论中的一个重要概念，它是指在一个连通图中，找到一棵包含所有顶点且边权值之和最小的树。

Kruskal算法是一种常用的求解最小生成树的算法，下面我们通过一个例题来详细介绍Kruskal算法的具体步骤和实现过程。

假设有一个无向连通图，其中包含6个顶点和9条边，每条边都有对应的权值。

我们的目标是找到一棵最小生成树。

首先，我们需要将所有的边按照权值从小到大进行排序。

然后，从权值最小的边开始，依次判断这条边的两个顶点是否在同一个连通分量中。

如果不在同一个连通分量中，就将这条边加入最小生成树中，并将这两个顶点合并到同一个连通分量中。

重复这个过程，直到最小生成树中包含了所有的顶点。

下面是具体的步骤：1. 将所有的边按照权值从小到大进行排序。

2. 创建一个并查集，用于判断两个顶点是否在同一个连通分量中。

3. 从权值最小的边开始遍历，依次判断这条边的两个顶点是否在同一个连通分量中。

4. 如果两个顶点不在同一个连通分量中，将这条边加入最小生成树中，并将这两个顶点合并到同一个连通分量中。

5. 重复步骤3和步骤4，直到最小生成树中包含了所有的顶点。

下面我们通过一个具体的例题来演示Kruskal算法的实现过程。

假设有一个无向连通图，其中包含6个顶点A、B、C、D、E、F，以及9条边，每条边的权值如下：AB: 2AC: 3AD: 1BC: 4BD: 5BE: 6CD: 7CE: 8DE: 9首先，将所有的边按照权值从小到大进行排序：AD: 1AB: 2AC: 3BC: 4BD: 5BE: 6CD: 7CE: 8DE: 9然后，创建一个并查集，用于判断两个顶点是否在同一个连通分量中。

接下来，从权值最小的边AD开始遍历，判断顶点A和顶点D是否在同一个连通分量中。

由于初始时每个顶点都是一个独立的连通分量，所以A和D不在同一个连通分量中。

克里斯卡尔算法最小生成树什么是克里斯卡尔算法？克里斯卡尔算法是一种求解最小生成树(Minimum Spanning Tree, MST)的算法，它采用贪心算法的思想，在给定一个连通图的情况下，通过逐步选择边来生成树，最终得到权值和最小的生成树。

为了更好地理解克里斯卡尔算法，我们首先要明确最小生成树的概念。

在一个连通图中，最小生成树是指连接图中所有顶点的树，并且树上所有边的权值之和最小。

生成树是一个无环的连通图，具有n个顶点的连通图的生成树必然含有n-1条边。

克里斯卡尔算法的步骤如下：1. 初始化：将图中的每个顶点看作是一个单独的树，每个树只包含一个节点。

同时，创建一个空的边集合用于存储最小生成树的边。

2. 对所有边按照权值进行升序排列。

3. 依次选择权值最小的边，并判断该边连接的两个节点是否属于不同的树（不属于同一个连通分量）。

4. 如果两个节点不属于同一个树，则将这条边添加到边集合中，并将两个节点合并为同一个连通分量。

5. 重复步骤3和步骤4，直到最小生成树的边数达到n-1条为止。

6. 返回边集合，即为最小生成树。

通过这个步骤的执行，克里斯卡尔算法能够保证运行过程中生成的树权值和是最小的。

这是因为在选择边时，我们总是选择权值最小且不会形成环路的边，这样生成的树就不会包含多余的边。

需要注意的是，克里斯卡尔算法适用于带权无向连通图，如果是带权有向图，需要先进行转化为无向图的操作。

另外，克里斯卡尔算法在实际应用中有着广泛的应用，比如网络设计、电路设计以及地图路线规划等领域。

总结一下，克里斯卡尔算法是一种通过贪心思想解决最小生成树问题的算法。

它通过逐步选择权值最小的边，并将不同的树合并为一个连通分量的方式，生成一个权值和最小的生成树。

在实际应用中，克里斯卡尔算法具有重要的意义，能够为我们提供高效、经济的解决方案。

通过了解和学习克里斯卡尔算法，我们能够更好地理解图论中的最小生成树问题，并运用其解决实际问题。

最⼩⽣成树（普⾥姆算法）：所谓⽣成树，就是n个点之间连成n-1条边的图形。

⽽最⼩⽣成树，就是权值（两点间直线的值）之和的最⼩值。

⾸先，要⽤⼆维数组记录点和权值。

如上图所⽰⽆向图：int map[7][7];map[1][2]=map[2][1]=4;map[1][3]=map[3][1]=2;......然后再求最⼩⽣成树。

具体⽅法是：1.先选取⼀个点作起始点，然后选择它邻近的权值最⼩的点（如果有多个与其相连的相同最⼩权值的点，随便选取⼀个）。

如1作为起点。

visited[1]=1;pos=1;//⽤low[]数组不断刷新最⼩权值，low[i](0<i<=点数)的值为：i点到邻近点（未被标记）的最⼩距离。

low[1]=0; //起始点i到邻近点的最⼩距离为0low[2]=map[pos][2]=4;low[3]=map[pos][3]=2;low[4]==map[pos][4]=3;low[5]=map[pos][5]=MaxInt; //⽆法直达low[6]=map[pos][6]=MaxInt;2.再在伸延的点找与它邻近的两者权值最⼩的点。

//low[]以3作当前位置进⾏更新visited[3]=1;pos=3;low[1]=0; //已标记，不更新low[2]=map[1][2]=4; //⽐5⼩，不更新low[3]=2; //已标记，不更新low[4]=map[1][4]=3; //⽐1⼤，更新后为：low[4]=map[3][4]=1;low[5]=map[1][5]=MaxInt;//⽆法直达，不更新low[6]=map[1][6]=MaxInt;//⽐2⼤，更新后为：low[6]=map[3][6]=2;3.如此类推...当所有点都连同后，结果最⽣成树如上图所⽰。

所有权值相加就是最⼩⽣成树，其值为2+1+2+4+3=12。

⾄于具体代码如何实现，现在结合POJ1258例题解释。

最小生成树的方法
最小生成树（Minimum Spanning Tree）是指在一个带权无向连通图中，找到一个包含所有顶点且总权值最小的树。

常用的方法有以下几种：
1. Prim算法（普里姆算法）：从一个起始顶点开始，逐步扩展生成树，每次选择一个与当前生成树距离最小的顶点加入，直到所有顶点都被包含在生成树中。

2. Kruskal算法（克鲁斯卡尔算法）：首先将图的所有边按照权值从小到大排序，然后依次选择权值最小的边加入生成树中，但要保证加入边后不会形成环，直到生成树中包含所有顶点，或者图中的所有边都被考虑过。

3. Boruvka算法（博鲁卡尔算法）：将图的所有顶点分成多个不相交的集合，每个集合中的顶点组成一棵生成树，然后每次选择具有最小权值且连接两个不同集合的边加入生成树中，直到只剩下一个集合。

4. Jarnik算法（加尔尼克算法）：也称为更改版的Prim算法，首先选择一个起始顶点加入生成树中，然后通过比较当前生成树中的顶点到其他顶点的距离，选择一个距离最小的顶点加入生成树，重复该过程直到所有顶点都被包含在生成树中。

这些方法都可以得到最小生成树，但在某些情况下，它们的效率和性能可能会不同。

选择合适的方法取决于具体的应用场景和图的特征。

最小生成树算法Prim算法设G=(V,E)是连通带权图，V={1,2,…,n}。

构造G的最小生成树的Prim算法的基本思想是：(1)置S={1}(2)只要S是V的真子集，就作如下的贪心选择选取满足条件i ∈ S，j ∈ V-S，且c[i][j]最小的边，将顶点j添加到S中。

一直到S=V时为止。

(2)选取到的所有边恰好构成G的一棵最小生成树。

源代码：//科目：算法实验4//题目：设G=(V,E)是连通带权图，V={1,2,…,n}。

构造G的最小生成树的Prim算法//作者：武叶//语言：C语言//创作时间：2012年4月14日#include"stdio.h"int point[100],key_point[100],tree[100][100]; //定义三个数组用于存放关键点和最小生成树int INT_MAX=0x7fff;void prim(int end,int V); //prim算法函数int main(){int V,E; //定义顶点数V和边数Eint i,j;int start,end,distance; //定义开始顶点start和结束顶点end，以及他们的权值distanceprintf("请输入连通带权图的边数和顶点数：");while(scanf("%d%d",&V,&E)) //开始输入你要求最小生成树的顶点数和边数{printf("\n------------------------------------");for(i=1;i<=V;i++){for(j=1;j<=V;j++)tree[i][j]=INT_MAX;}printf("\n请输入%d条边的起点和终点，以及权值。

\n",E);printf("\n----------------------------------------\n");int x=1; //用x记录输入的边数while(E--){printf("第%d条边的起点：终点：权值：",x);scanf("%d%d%d",&start,&end,&distance); //记录输入的起点、终点、权值tree[start][end]=tree[end][start]=distance;x=x+1;}prim(1,V); //调用prim计算最小生成树printf("\n");}return 0;}void prim(int end,int V){int min; //定义权值最小值minfor(int i=1;i<=V;i++){point[i]=end;key_point[i]=tree[end][i];}key_point[end]=0;for(i=2;i<=V;i++){min= INT_MAX;for(int j=1;j<=V;j++)if(key_point[j]>0 && key_point[j]<min){end=j;min=key_point[j];}printf("起点%d-->终点%d连通\n",point[end],end); //输出最小生成树的连通边key_point[end]=0;for(j=1;j<=V;j++) //继续判断条件if(tree[end][j]<key_point[j])point[j]=end,key_point[j]=tree[end][j];}}运行结果截图：答销网真情提供：：文章出处：：：：/forum.php?mod=viewthread&tid=1533&extra=page%3D1%26filter%3Dtypeid%26typeid%3D3%26typeid%3D3。

作业1最小生成树的生成算法1.1算法应用背景在实际生活中, 图的最小花费生成树问题有着广泛的应用。

例如, 用图的顶点代表城市, 顶点与顶点之间的边代表城市之间的道路或通信线路, 用边的权代表道路的长度或通信线路的费用, 则最小花费生成树问题, 就表示为城市之间最短的道路或费用最小的通信线路问题。

其中普里姆算法是使用贪婪法策略设计的典型算法。

1.2算法原理在一给定的无向图G = (V, E) 中, (u, v) 代表连接顶点u 与顶点v 的边（即）, 而w(u, v) 代表此边的权重, 若存在T 为E 的子集（即）且为无循环图, 使得的w(T) 最小, 则此T 为G 的最小生成树。

许多应用问题都是一个求无向连通图的最小生成树问题。

例如：要在n个城市之间铺设光缆, 主要目标是要使这n 个城市的任意两个之间都可以通信, 但铺设光缆的费用很高, 且各个城市之间铺设光缆的费用不同；另一个目标是要使铺设光缆的总费用最低。

这就需要找到带权的最小生成树。

1.3算法描述1)最小生成树之普里姆算法描述:令G=(V,E,W), 为简单期间, 令顶点集为V={0,1,2…, n-1}。

假定与顶点i, j相关联的边为ei, j, ei, j的权用c[i][j]表示, T是最小花费生成树的边集。

这个算法维护两个顶点集合S 和N, 开始时: 令T=Ф,S={0},N=V-S。

然后, 进行贪婪选择, 选取i∈S, j∈N, 并且c[i][j]最小的i和j；并使S=S∪S{j},N=N-{j},T=T∪{ei, j}.重复上述步骤, 直到N为空, 或找到n-1条边为止。

此时, T中的边集, 就是所要求取的G中的最小花费生成树。

由此, 可描述普里姆算法的步骤如下:（1）T=Ф, S={0},N=V-S。

（2）如果N为空, 算法结束；否则, 转步骤（3）。

（3）寻找使i∈S, j∈N, 并且c[i][j]最小的i和j。

（4）S=S∪S{j},N=N-{j},T=T∪{ei, j}；转步骤（2）。

数据结构（三⼗三）最⼩⽣成树（Prim、Kruskal） ⼀、最⼩⽣成树的定义 ⼀个连通图的⽣成树是⼀个极⼩的连通⼦图，它含有图中全部的顶点，但只有⾜以构成⼀棵树的n-1条边。

在⼀个⽹的所有⽣成树中，权值总和最⼩的⽣成树称为最⼩代价⽣成树（Minimum Cost Spanning Tree），简称为最⼩⽣成树。

构造最⼩⽣成树的准则有以下3条：只能使⽤该图中的边构造最⼩⽣成树当且仅当使⽤n-1条边来连接图中的n个顶点不能使⽤产⽣回路的边 对⽐两个算法，Kruskal算法主要是针对边来展开，边数少时效率会⾮常⾼，所以对于稀疏图有很⼤的优势；⽽Prim算法对于稠密图，即边数⾮常多的情况会更好⼀些。

⼆、普⾥姆（Prim）算法 1.Prim算法描述 假设N={V,{E}}是连通⽹，TE是N上最⼩⽣成树中边的集合。

算法从U={u0，u0属于V}，TE={}开始。

重复执⾏下⾯的操作：在所有u属于U，v 属于V-U的边(u,v)中找⼀条代价最⼩的边(u0,v0)并加⼊集合TE，同时v0加⼊U，直到U=V为⽌。

此时TE中必有n-1条边，则T=(V,{TE})为N的最⼩⽣成树。

2.Prim算法的C语⾔代码实现/* Prim算法⽣成最⼩⽣成树 */void MiniSpanTree_Prim(MGraph G){int min, i, j, k;int adjvex[MAXVEX]; /* 保存相关顶点下标 */int lowcost[MAXVEX]; /* 保存相关顶点间边的权值 */lowcost[0] = 0;/* 初始化第⼀个权值为0，即v0加⼊⽣成树 *//* lowcost的值为0，在这⾥就是此下标的顶点已经加⼊⽣成树 */adjvex[0] = 0; /* 初始化第⼀个顶点下标为0 */for(i = 1; i < G.numVertexes; i++) /* 循环除下标为0外的全部顶点 */{lowcost[i] = G.arc[0][i]; /* 将v0顶点与之有边的权值存⼊数组 */adjvex[i] = 0; /* 初始化都为v0的下标 */}for(i = 1; i < G.numVertexes; i++){min = INFINITY; /* 初始化最⼩权值为∞， *//* 通常设置为不可能的⼤数字如32767、65535等 */j = 1;k = 0;while(j < G.numVertexes) /* 循环全部顶点 */{if(lowcost[j]!=0 && lowcost[j] < min)/* 如果权值不为0且权值⼩于min */{min = lowcost[j]; /* 则让当前权值成为最⼩值 */k = j; /* 将当前最⼩值的下标存⼊k */}j++;}printf("(%d, %d)\n", adjvex[k], k);/* 打印当前顶点边中权值最⼩的边 */lowcost[k] = 0;/* 将当前顶点的权值设置为0,表⽰此顶点已经完成任务 */for(j = 1; j < G.numVertexes; j++) /* 循环所有顶点 */{if(lowcost[j]!=0 && G.arc[k][j] < lowcost[j]){/* 如果下标为k顶点各边权值⼩于此前这些顶点未被加⼊⽣成树权值 */lowcost[j] = G.arc[k][j];/* 将较⼩的权值存⼊lowcost相应位置 */adjvex[j] = k; /* 将下标为k的顶点存⼊adjvex */}}}}Prim算法 3.Prim算法的Java语⾔代码实现package bigjun.iplab.adjacencyMatrix;/*** 最⼩⽣成树之Prim算法*/public class MiniSpanTree_Prim {int lowCost; // 顶点对应的权值public CloseEdge(Object adjVex, int lowCost) {this.adjVex = adjVex;this.lowCost = lowCost;}}private static int getMinMum(CloseEdge[] closeEdges) {int min = Integer.MAX_VALUE; // 初始化最⼩权值为正⽆穷int v = -1; // 顶点数组下标for (int i = 0; i < closeEdges.length; i++) { // 遍历权值数组，找到最⼩的权值以及对应的顶点数组的下标if (closeEdges[i].lowCost != 0 && closeEdges[i].lowCost < min) {min = closeEdges[i].lowCost;v = i;}}return v;}// Prim算法构造图G的以u为起始点的最⼩⽣成树public static void Prim(AdjacencyMatrixGraphINF G, Object u) throws Exception{// 初始化⼀个⼆维最⼩⽣成树数组minSpanTree，由于最⼩⽣成树的边是n-1，所以数组第⼀个参数是G.getVexNum() - 1，第⼆个参数表⽰边的起点和终点符号，所以是2 Object[][] minSpanTree = new Object[G.getVexNum() - 1][2];int count = 0; // 最⼩⽣成树得到的边的序号// 初始化保存相关顶点和相关顶点间边的权值的数组对象CloseEdge[] closeEdges = new CloseEdge[G.getVexNum()];int k = G.locateVex(u);for (int j = 0; j < G.getVexNum(); j++) {if (j!=k) {closeEdges[j] = new CloseEdge(u, G.getArcs()[k][j]);// 将顶点u到其他各个顶点权值写⼊数组中}}closeEdges[k] = new CloseEdge(u, 0); // 加⼊u到⾃⾝的权值0for (int i = 1; i < G.getVexNum(); i++) { // 注意，这⾥从1开始，k = getMinMum(closeEdges); // 获取u到数组下标为k的顶点的权值最短minSpanTree[count][0] = closeEdges[k].adjVex; // 最⼩⽣成树第⼀个值为uminSpanTree[count][1] = G.getVexs()[k]; // 最⼩⽣成树第⼆个值为k对应的顶点count++;closeEdges[k].lowCost = 0; // 下标为k的顶点不参与最⼩权值的查找了for (int j = 0; j < G.getVexNum(); j++) {if (G.getArcs()[k][j] < closeEdges[j].lowCost) {closeEdges[j] = new CloseEdge(G.getVex(k), G.getArcs()[k][j]);}}}System.out.print("通过Prim算法得到的最⼩⽣成树序列为: {");for (Object[] Tree : minSpanTree) {System.out.print("(" + Tree[0].toString() + "-" + Tree[1].toString() + ")");}System.out.println("}");}} 4.举例说明Prim算法实现过程 以下图为例： 测试类：// ⼿动创建⼀个⽤于测试最⼩⽣成树算法的⽆向⽹public static AdjacencyMatrixGraphINF createUDNByYourHand_ForMiniSpanTree() {Object vexs_UDN[] = {"V0", "V1", "V2", "V3", "V4", "V5", "V6", "V7", "V8"};int arcsNum_UDN = 15;int[][] arcs_UDN = new int[vexs_UDN.length][vexs_UDN.length];for (int i = 0; i < vexs_UDN.length; i++) // 构造⽆向图邻接矩阵for (int j = 0; j < vexs_UDN.length; j++)if (i==j) {arcs_UDN[i][j]=0;} else {arcs_UDN[i][j] = arcs_UDN[i][j] = INFINITY;}arcs_UDN[0][5] = 11;arcs_UDN[1][2] = 18;arcs_UDN[1][6] = 16;arcs_UDN[1][8] = 12;arcs_UDN[2][3] = 22;arcs_UDN[2][8] = 8;arcs_UDN[3][4] = 20;arcs_UDN[3][6] = 24;arcs_UDN[3][7] = 16;arcs_UDN[3][8] = 21;arcs_UDN[4][5] = 26;arcs_UDN[4][7] = 7;arcs_UDN[5][6] = 17;arcs_UDN[6][7] = 19;for (int i = 0; i < vexs_UDN.length; i++) // 构造⽆向图邻接矩阵for (int j = i; j < vexs_UDN.length; j++)arcs_UDN[j][i] = arcs_UDN[i][j];return new AdjMatGraph(GraphKind.UDN, vexs_UDN.length, arcsNum_UDN, vexs_UDN, arcs_UDN);}public static void main(String[] args) throws Exception {AdjMatGraph UDN_Graph = (AdjMatGraph) createUDNByYourHand_ForMiniSpanTree();MiniSpanTree_Prim.Prim(UDN_Graph, "V0");} 输出为：通过Prim算法得到的最⼩⽣成树序列为: {(V0-V1)(V0-V5)(V1-V8)(V8-V2)(V1-V6)(V6-V7)(V7-V4)(V7-V3)} 分析算法执⾏过程：从V0开始：-count为0，k为0，closeEdges数组的-lowCost为{0 10 INF INF INF 11 INF INF INF}，adjVex数组为{V0，V0，V0，V0，V0，V0，V0，V0，V0}-⽐较lowCost，于是k为1，adjVex[1]为V0，minSpanTree[0]为（V0，V1），lowCost为{0 0 INF INF INF 11 INF INF INF}-k为1，与V1的权值⾏⽐较，得到新的-lowCost为：{0 0 18 INF INF 11 16 INF 12}，adjVex数组为{V0，V0，V1，V0，V0，V0，V1，V0，V1}-⽐较lowCost，于是k为5，adjVex[5]为V0，minSpanTree[1]为（V0，V5），lowCost为{0 0 18 INF INF 0 16 INF 12}-k为5，与V5的权值⾏⽐较，得到新的-lowCost为{0 0 18 INF 26 0 16 INF 12}，adjVex数组为{V0，V0，V1，V0，V5，V0，V1，V0，V1}-⽐较lowCost，于是k为8，adjVex[8]为V1，minSpanTree[2]为（V1，V8），lowCost为{0 0 18 INF INF 0 16 INF 0}... 三、克鲁斯卡尔（Kruskal）算法 1.Kruskal算法描述 Kruskal算法是根据边的权值递增的⽅式，依次找出权值最⼩的边建⽴的最⼩⽣成树，并且规定每次新增的边，不能造成⽣成树有回路，直到找到n-1条边为⽌。

Prim算法和Kruskal算法介绍⼀、Prim算法普利姆(Prim)算法适⽤于求解⽆向图中的(Minimum Cost Spanning Tree)。

下⾯是Prim算法构造最⼩⽣成树的过程图解。

选择⼀个节点开始，⽐如V1进⼊集合U，剩下的集合的V-U包括剩下的节点，然后寻找从集合U到集合V-U最近的路径。

这⾥有三条路径分别是权重为6到V2，权重为5到V4以及权重为1到V3，显然到通过V3连接⽽集合U和集合V-U是最近的，选择V3进⼊集合U。

同样继续选择到V-U的路径，此时有6条可选路径，分别是权为6到V2【从V1】，权为5到V4【从V1】，权为5到V2【从V3】，权为5到V4【从V3】，权为6到V5【从V3】，权为4到V6【从V3】。

选择出从V3到V6的路径并将V6添加⾄集合U中。

按照这种⽅法依次将V4，V2和V5添加到集合U直到U和全体节点结合V相等，或者说V-U集合为空时结束，这时选出的n-1条边即为最⼩⽣成树。

⼆、Kruskal算法克鲁斯卡尔(Kruskal)算法是另⼀种求解最⼩⽣成树的算法。

下⾯是Kruskal算法构造最⼩⽣成树的过程图解。

Kruskal则是采取另⼀种思路，即从边⼊⼿。

⾸先n个顶点分别视为n个连通分量，然后选择⼀条权重最⼩的边，如果边的两端分属于两个连通分量，就把这个边加⼊集合E，否则舍去这条边⽽选择下⼀条代价最⼩的边，依次类推，直到所有节点都在同⼀个连通分量上。

三、对⽐假设⽹中有n个节点和e条边，普利姆算法的时间复杂度是O(n^2)，克鲁斯卡尔算法的时间复杂度是O(eloge)，可以看出前者与⽹中的边数⽆关，⽽后者相反。

因此，普利姆算法适⽤于边稠密的⽹络⽽克鲁斯卡尔算法适⽤于求解边稀疏的⽹。