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最优控制课件第三章

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最优控制_西安交通大学课件第三章

最优控制_西安交通大学课件第三章


tf t0
F

x

x

F x

x

o
(
x)2, (
x)
2


dt
上式中 o[( x)2 , ( x)2 ]是高阶项。
根据定义，泛函的变分 J 是 J 的线性
主部，即
J
tf t0
F x
x

F x
x dt
对上式第二项作分部积分，按公式
现在，将上面对 x(t) 是标量函数时所得到的公式推 广到X (t)是n维向量函数的情况。这时，性能泛函为
式中
J tf F(X , X ,t)dt t0
x1 (t)
X


x
2
(t
)


x
n
(t
)
x1 (t)
X


x
2
(t
)



x
称 J (X ) 在 X X *处有极值。
定理：J (X ) 在 X X * 处有极值的必要条件是对 于所有容许的增量函数 X（自变量的变分）， 泛函 J (X )在 X *处的变分为零
J(X*, X ) 0
为了判别是极大还是极小，要计算二阶变 分 2J。但在实际问题中根据问题的性质容易
J
1
(
x
2

x 2
)dt
0
取极值的轨迹 x* (t)。
解 这是固定端点问题，相应的欧拉——拉格朗日方
程为 即
2x d (2x) 0 dt
x x 0
它的通解形式为

最优控制理论课件

最优控制理论课件

8
最优控制问题
1.1 两个例子
例1.1 飞船软着陆问题
软着陆 过程开 始时刻 t 为零
h& v
v& u g m
m& K u
m 飞船的质量 h 高度 v 垂直速度 g 月球重力加速度常数 M 飞船自身质量 F 燃料的质量 K 为常数
初始状态 h(0) h0 v(0) v0 m(0)MF
f(x(t),u(t),t) 为n维向量函数
22.03.2020
现代控制理论
24
最优控制问题
1.2 问题描述
(1) 状态方程 一般形式为
x&(t) f (x(t),u(t),t)
x(t) Rn
x(t)|tt0 x0
为n维状态向量
u(t) Rr
为r 维控制向量
f(x(t),u(t),t) 为n维向量函数
求解最优控制的变分方法
泛函与函数的几何解释
22.03.2020
现代控制理论
50
求解最优控制的变分方法
泛函与函数的几何解释
宗量的变分
x(t)x(t)x(t)
22.03.2020
现代控制理论
51
求解最优控制的变分方法
泛函与函数的几何解释
宗量的变分
x(t)x(t)x(t)
泛函的增量 J ( x ( g ) ) J ( x ( g ) x ) J ( x ( g ) ) L ( x , x ) r ( x , x )
J x ( T ) ,y ( T ) ,x & ( T ) ,y & ( T ) x & ( T )
控制
(t)
22.03.2020
现代控制理论

最优控制课件第3章

最优控制课件第3章
第三章 极小值原理及应用
经典变分法局限性： 1、应用前提： a ）控制量 u(t)的取值无约束。 b ） f、L、Φ等函数对其自变量二次连续可微，要求哈密 尔顿函数关于控制变量的偏导数存在 。 2、实际控制要求：
a ）控制量u受不等式约束，如：M i (u ) 0 ，i=1,2,3……
b ）性能指标有时关于u并不可微，要求哈密尔顿函数 关于控制变量的偏导数不存在 。
一般:对于实际系统根据物理意义有最优解 极小值原理 有唯一解－－ 最优解
－－－－－－－－
－－－－－－－－
但是，对于线性系统可以证明极小值原理既是泛函取最小 值的必要条件，也是充分条件。
Optimal Control Theory
Dong Jie 2014. All rights reserved.
Date: File:
05.04.2015 OC_CH3.6
Optimal Control Theory & its Application
②在最优轨线上，与最优控制u*相对应的H函数取绝对极小 值，即 或 沿最优轨线
③H函数在最优轨线终点满足
Optimal Control Theory
Dong Jie 2014. All rights reserved.
Optimal Control Theory & its Application
取哈密尔顿函数为
则实现最优控制的必要条件是，最优控制u*、最优轨线x* 和最优协态矢量λ*满足下列关系式： ①沿最优轨线满足正则方程
当g中不含x时
Optimal Control Theory
Dong Jie 2014. All rights reserved.

最优控制 第三章 静态最优化问题的最优控制

最优控制 第三章 静态最优化问题的最优控制
第三章 静态最优化问题的最优控制
5
它在定义域上可以不止一个， 它在定义域上可以不止一个，如果将整个定义 上所有的极小值进行比较， 域[a,b]上所有的极小值进行比较，找出最小的极小 上所有的极小值进行比较 称为最小值 它具有全局性质， 最小值。 值，称为最小值。它具有全局性质，而且是唯一 的。一般地记为
三、具有等式约束条件的极值
上面讲的是无约束条件极值问题的求解方法。 上面讲的是无约束条件极值问题的求解方法。 对于具有等式约束条件的极值问题，则要通过等效 对于具有等式约束条件的极值问题， 变换，化为无约束条件的极值问题来求解。 变换，化为无约束条件的极值问题来求解。
第三章 静态最优化问题的最优控制
第三章 静态最优化问题的最优控制
18
嵌入法只适用于简单情况， 嵌入法只适用于简单情况，而拉格朗日乘子 法具有普遍意义。现把式(3-15)写成更为一般的形 法具有普遍意义。现把式 写成更为一般的形 式。 目标函数为 设连续可微的目标函数 设连续可微的目标函数为 J = f(x,u) 等式约束条件为 等式约束条件为 g(x,u) = 0 式中x——n维列矢量； 维列矢量； 式中 维列矢量 u——r维列矢量； 维列矢量； 维列矢量 g——n维矢量函数。 维矢量函数。 维矢量函数
第三章 静态最优化问题的最优控制 19
(3-18)
(3-19)
在拉格朗日乘子法中，用乘子矢量 乘等式 在拉格朗日乘子法中，用乘子矢量λ乘等式 约束条件并与目标函数相加，构造拉格朗日函数 约束条件并与目标函数相加，构造拉格朗日函数
H = J + λ g = f ( x, u) + λ g( x, u)
第三章 静态最优化问题的最优控制
13
显然， 显然，式(3-11)取极值的条件为 取极值的条件为

最优控制应用基础-第三章

最优控制应用基础-第三章

= L[x, t ] + ∑ λi f i [x, t ] + min ∑ [ g i (x, t ) + λ T (t )b j (x, t )]u j u
i =1 j =1
n
m
3
砰－砰控 制
H [x* (t ), u* (t ),λ * (t ), t ] = min H [x* (t ), u(t ),λ * (t ), t ]
1
砰－砰控制
Bang一、Bang-Bang 控制和最短时间控制
1．Bang-Bang 控制 Bang非线性系统 或写为
ɺ x = f [x(t ), t ] + B[x(t ), t ]u(t ), x(t0 ) = x 0
m
ɺ xi = f i [x(t ), t ] + ∑ bij [x(t ), t ]u j (t ), xi (t0 ) = xi 0 , i = 1,2,⋯, n
7
最短时间问题
2．最短时间问题 线性定常系统的最速控制问题 给定完全能控的线性时不变系统 ɺ x(t ) = Ax(t ) + Bu(t ), x(t0 ) = x 0 控制变量不等式约束 性能指标
tf 0
− 1 ≤ u j (t ) ≤ 1, j = 1,2,⋯ , m
J = ∫ dt
根据极小值原理可得到求解最短时间问题砰－ 根据极小值原理可得到求解最短时间问题砰－砰控制的 必要条件 ɺ x* (t ) = Ax* (t ) + Bu* (t ) 规范方程） （规范方程） ∂H ɺ λ * (t ) = − = − ATλ * (t ) ∂x x(0)=x0， x(tf)=0 x(t 边界条件
tf

最优控制(3)

最优控制(3)

(22) 最优控制问题为：当系统受扰动偏离原零平衡状态时， 要求产生一控制向量，使得系统状态恢复到原平衡 状态附近，并使上面的性能指标极小，称为状态调 节器问题。 (2) 输出调节器问题 如果z(t)=0，则e(t)=-y(t)， 并且性能指标为
(23)
最优控制问题为：当系统受扰动偏离原输出平衡状态时， 要求产生一控制向量，使得系统输出保持在原平衡状态 附近，并使上面的性能指标极小，称为状态调节器问题。 (3) 输出跟踪系统问题 若C(t)≠I, z(t) ≠ 0，则 最优控制问题为：当理想输入作用于系统时，要求产生一 控制向量，使得系统实际输出向量始终跟踪理想输入 的变化 ，并使性能指标(21) 极小，称为输出跟踪系统 问题。
解：本题属于N=3级最优决策问题。根据递推方程(37) 令k=2
根据代价函数的末值项及系统方程，有
所以
因为u(k)无约束，令
可得
令k=1
可得 令k=0
可得
代入已知的x(0)，按正向顺序求出
因此最优控制、最优轨线及最优代价为
4.4.2 离散动态规划
采用离散动态规划方法，可以方便地求出控制与状态变量 均有约束时离散系统的最优控制问题。 (1) 离散最优控制问题的动态规划解 设非线性离散系统的状态差分方程为
在二次型性能指标中，其各项都有明确的物理含义，即
1) 末值项 ，若取
末值项的物理含义表示在控制结束后，对系统末态跟踪 误差的要求。
2) 积分项 ，若取
该项表示系统在控制过程中的动态误差跟踪的大小。
3) 积分项 ，若
则
该项表示在控制过程中所消耗的能量。
线性二次型最优控制问题的类型：
(1) 状态调节器问题 如果C(t)=I, z(t)=0，则e(t)=-y(t)=-x(t), 并且性能指标为

《最优控制》第3章庞德里雅金极大值原理

19
第3章——庞德里雅金极大值原理
性能指标
J
tf 0
| u(t ) | dt
寻求最优控制u* f
T
H | u | 1x2 2u
(2) 协态方程:
H X
0 1 10 1 , 2 10t 20 1 2
目标泛函：
J dt , | f (t ) | 1 0
8
tf
第3章——庞德里雅金极大值原理
1 x2 x 问题：设系统的状态方程 其中控制变量u (t ) 满足约束 x u 2
， 条件 | u(t) | 1 设系统的初始状态 x1 (0) x10 , x2 (0) x20 ;
(3)寻求H最小的 u (t )
由 | u(t) | 1可知，当| u(t) | 1,且u(t) 的符号与2相反 时，H最小
10
第3章——庞德里雅金极大值原理
1 u (t ) sgn[ 2 ] 1 不定
2 0 2 0 2 0
（4） 对u * (t ), x * (t )而言，有H 1 1x2 2u 0 （5）分析 ①2 0
4
第3章——庞德里雅金极大值原理
(3)边界条件
x ( t ) x(t0 ) x0 , (t f ) ①当 f 不受限制， x(t f )
②当存在终端约束条件
[ x(t f ), t f ] 0时，x(t0 ) x0
(tf ) V x(tf ) x(tf )
快速控制系统的这个特性称为有限切换原理，相应的 控制方式称为Bang-bang控制。 （6）求最优轨线
①u 1 2 u dx2 dt x2 t c1 x2 (0) x20 x2 (t ) t x20 x 1 2 1 x2 x1 (t ) t x20t x10 x 2

最优控制理论课件


m 飞船的质量 h 高度 v 垂直速度 g 月球重力加速度常数 M 飞船自身质量 F 燃料的质量 K 为常数
初始状态 终点条件
h(0) h0 h(T ) 0
v(0) v0 v(T ) 0
m(0) M F
控制目标
J m(T )
推力方案
0 u(t) umax
2019年11月25日星期一
指标
J x(T), y(T), x(T), y(T) x(T)
2019年11月25日星期一
现代控制理论
18
最优控制问题
例1.2
导弹发射问题
x F (t) cos (t)
m
y F (t) sin (t)
m
初始条件 x(0) 0 y(0) 0 x(0) 0
2019年11月25日星期一
现代控制理论
1
最优控制理论
东北大学信息科学与工程学院 井元伟教授
二○○九年十一月
2019年11月25日星期一
2
第1章 题第2章 法第3章 第理4章 划第5章 制 第6章 统
最优控制问 求解最优控制的变分方 最大值原 动态规 线性二次型性能指标的最优控 快速控制系
2019年11月25日星期一
现代控制理论
12
最优控制问题
例1.2 导弹发射问题
2019年11月25日星期一
现代控制理论
13
最优控制问题
例1.2 导弹发射问题
最优控制问题
例1.2
导弹发射问题
x F (t) cos (t)
m
y F (t) sin (t)
m
2019年11月25日星期一

现代控制工程最优控制课件


03
优化目标
最小化损失函数，即达到最优控制效果。
线性调节器问题的解法
01
极点配置法
通过选择控制器的极点位置， 使得系统的传递函数在频率域
上具有理想的性能指标。
02
最优反馈增益
通过求解 Riccati 方程，得到 最优反馈增益，使得系统的性
能达到最优。
03
LQR 设计步骤
确定系统的状态空间模型、选 择适当的参考信号、设计控制
定义
非线性最优控制问题可以定 义为在给定初始状态和初始 时刻，寻找一个控制输入， 使得系统在结束时刻的状态
和性能指标达到最优。
特点
非线性最优控制问题具有复 杂性，其解决方案通常需要
借助数学工具和算法。
应用
非线性最优控制问题在许多 领域都有广泛的应用，如航 空航天、机器人、车辆控制 等。
利用梯度下降法求解非线性最优控制问题
移方程。
利用动态规划法求解非线性最优控制问题
3. 定义性能指标函数
根据问题的要求，定义性能 指标函数。
4. 求解最优子问题
利用动态规划法，依次求解 每个子问题，得到每个时刻 的最优控制输入。
5. 得到最优解
通过逆向递推，得到初始时 刻的最优控制输入和最优状 态。
04
动态规划基础上的最优控 制
多阶段决策过程的动态规划
利用动态规划法求解非线性最优控制问题
• 基本思想：动态规划法是一种通过将原问题分解为一 系列子问题，并逐个求解子问题，最终得到原问题最 优解的方法。
利用动态规划法求解非线性最优控制问题
01
步骤
02
1. 初始化：选择一个初始状 态和初始时刻。
03
2. 定义状态转移方程：根据 系统动态方程，定义状态转

最优控制3

解： 控制函数受闭集性约束，应用最小值 原理求解。 为使H达到最小，控制函数应为：
H L f (3) u x ( x u ) 2 1 (1 ) x ( )u 2
(t f )
1 u * (t ) sgn( (t ) ) (4) 2 由协态方程求解 (t ) H 1 (5) x T
第3章
（2）最小值原理只给出最优控制的必要条件，并非充分条件。符 合最小值原理的控制能否使性能指标取最小值，还需进一步判断： • 数学证明 • 根据问题的物理性质来判断 （3）若讨论的是性能指标极大的问题，只要将指标函数前加负号 ，即可应用最小值原理来求解。 （4）最小值原理没有涉及最优控制的存在性和唯一性，可根据实 际物理意义判定。 （5）为了适合于计算机运算的需要，最小值原理还有离散的表达 形式。


解：定常系统、积分型 J ，
t f 固定， x t f 自由， u 受约束

H x u x u x1 1 u
1 * u t 0.5
1
1
第3章
由协态方程
H t 1 x
第3章
3.1 连续系统的最小值原理
用变分法求解最优控制时，认为 控制向量不受限制。但是实际的 系统，控制信号都是受到某种限 制的。
因此，应用控制方程 H 0 来确定最优控制，可能出错。
u
a)图中所示，H 最小值出现在左 侧，不满足控制方程。
b)图中不存在 H 0
u
第3章
考虑条件极值定理中，控制函数u受约束的情况 。为了便于分析，控制 方程（3-1），可写成另一种形式（3-2）：
x( N )
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将（4-7）式两边分别对t求导，并将（4-4）式代入得
(t)K (t)X (t)K (t)X (t)
Q (t)X (t) A T (t)K (t)X (t)
（4-9）
9
把式（4-8）代入上式并整理得 [ K ( t ) K ( t ) A ( t ) K ( t ) B ( t ) R 1 ( t ) B T ( t ) K ( t ) A T ( t ) K ( t ) Q ( t ) X ( t ) ] 0
x(t)A (t)x(t)B (t)u(t) y(t)C (t)x(t)
e(t)z(t)y(t)
1 )C ( t ) Iz ( t ) 0 y ( t ) x ( t ) e ( t ) 状态调节器
2 ) z ( t ) 0y ( t ) e ( t ) 3 ) z ( t) 0e ( t) z ( t) y ( t)
输出调节器 跟踪问题
6
§4-2 状态调节器问题
系统状态方程和性能指标
X (t)A (t)X (t) B (t)u (t)
（4-2）
J 1 2 X T ( tf) P ( tf) X 1 2 t t 0 f[ X T ( t) Q ( t) X ( t) u T ( t) R ( t) u ( t)d ] （t 4-3）
（线性最优反馈控制规律的确定可归结为Riccati方程的求解）
2
§4-1 二次型问题提法
设线性系统的动态方程为： X (t)A (t)X (t) B (t)u (t) y(t)C(t)X(t)
X (t)为n维状态向量，u (t ) 为m维控制向量，y (t ) 为输出向量。 设 u (t ) 不受限制求解黎卡提矩阵微分方程时，利用K (t f ) ，从 t f 时刻开始逆
时间求解。在获得 K (t) 之后，可计算最优反馈控制规律：
u * (t) R 1 (t)B T(t)K (t)X (t)
由上式可见，协态(t) 和状态 X (t)，在终端时刻成线性关系。
假定：
(t)K(t)X(t)
（4-7）
然后再求 K (t) ，这种方法称为扫描法。
由（4-2）、（4-5）、（4-7）式得
X ( t ) A ( t ) X ( t ) B ( t ) R 1 ( t ) B T ( t ) K ( t ) X ( t )（4-8）
线性二次型指标的最优控制
§4-1 线性二次型问题提法 §4-2 状态调节器问题 §4-3 线性定常系统的状态调节器问题 §4-4 输出调节器问题 §4-5 跟踪问题
1
如果系统是线性的，性能指标为二次型函数，则最优 控制问题为线性二次型问题。
代表了大量工程实际问题中提出的性能指标要求 易于工程实现
保持在零值附近。 7
取哈密顿函数为
H 1 [ X T ( t ) Q ( t ) X ( t ) u T ( t ) R ( t ) u ( t ) ] T ( t )A ( t [ ) X ( t ) B ( t ) u ( t ) 2
则协态方程为
H [Q (t)X (t)A T(t)(t)]
其中，P为半正定对称阵，Q (t)为半正定对称阵，R (t )为正定对 称阵。一般将P，Q (t) ，R (t ) 取为对角阵。
性能指标函数中的每一项：
1eT 2
(tf
)Pe(tf
)
表示对终端误差(例如导弹的脱靶量等)的惩罚
1
tf
eT(t)Q(t)e(t)dt
表示对系统误差的惩罚，定量地刻画了整个控制 过程中实际状态偏离期望状态的状况。
2 t0
1
2
tf t0
uT(t)R(t)u(t)dt
定量地刻画了整个过程中所消耗的能量，反映 了控制的代价，表示对消耗控制能量的惩罚。 4
线性二次型问题的本质：
用不大的控制，来保持较小的误差，以达到能量和误差综合最优的目的。
根据不同的出发点，二次型最优控制问题具有各种不同的分类：
（1）根据终点时刻 t f
e(t)z(t)y(t) 其中，z (t ) 为期望输出向量。
寻求最优控制 u * ( t ) ，使下列性能指标最小：
3
e(t)z(t)y(t)
J 1 2 e T ( tf) P ( tf) e 1 2 t t 0 f[ e T ( t) Q ( t) e ( t) u T ( t) R ( t) u ( t) （d 4] -1）t
上式对任意 X (t) 均成立，因而有
（4-10）
K ( t ) K ( t ) A ( t ) A T ( t ) K ( t ) K ( t ) B ( t ) R 1 ( t ) B T ( t ) K ( t ) Q ( t ) （4-11）
式（4-11）称为黎卡提（Riccati）矩阵微分方程，K (t)即为该 矩阵微分方程的解。一般来说得不出 K (t) 的解析表达式，但可 利用数值计算得到其数值解。比较（4-6）和（4-7）式可得 K (t) 的边界条件为：
有限终点时间的二次型最优控制问题 无限终点时间的二次型最优控制问题
（2）根据终端状态 x t f
自由终端二次型最优控制问题 非自由终端二次型最优控制问题
（3）根据期望输出 z (t )
二次型最优调节器问题（ z(t) zd 定点） 二次型最优跟踪器问题 ( z ( t ) 动点）
5
线性二次型问题的三种重要情形：
J 1 2 e T ( tf) P ( tf) e 1 2 t t 0 f[ e T ( t) Q ( t) e ( t) u T ( t) R ( t) u ( t)d ]t
和前一节比较: C(t) I ,z(t) 0，则
y(t)X (t) e(t)
该性能指标的物理含义为：以较小的控制能量为代价，使 X (t)
X
（4-4）
控制方程为
HR(t)u(t)BT(t)(t)0
u
u(t)R 1(t)B T(t)(t)
（4-5）
思路：确定x (t )与 (t) 的关系，带入（4-5）形成状态反馈
横截条件 (tf) X (tf) X (tf)[1 2 X T (tf)P(tX f) ]P(tX f)（4-6）8