34.函数模型及应用(2)

第9讲函数的应用【2013年高考会这样考】1．考查二次函数模型的建立及最值问题．2．考查分段函数模型的建立及最值问题．3．考查指数、对数、幂函数、“对勾”型函数模型的建立及最值问题．【复习指导】函数模型的实际应用问题，主要抓好常见函数模型的训练，解答应用问题的重点在信息整理与建模上，建模后利用函数知识分析解决问题．基础梳理1．常见的函数模型及性质(1)几类函数模型①一次函数模型：y＝kx＋b(k≠0)．②二次函数模型：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．③指数函数型模型：y＝ab x＋c(b＞0，b≠1)．④对数函数型模型：y＝m log a x＋n(a＞0，a≠1)．⑤幂函数型模型：y＝ax n＋b.(2)三种函数模型的性质一个防范特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域．四个步骤(1)审题：深刻理解题意，分清条件和结论，理顺其中的数量关系，把握其中的数学本质；(2)建模：由题设中的数量关系，建立相应的数学模型，将实际问题转化为数学问题；(3)解模：用数学知识和方法解决转化出的数学问题； (4)还原：回到题目本身，检验结果的实际意义，给出结论．双基自测1．(人教A 版教材习题改编)从1999年11月1日起，全国储蓄存款征收利息税，利息税的税率为20%，由各银行储蓄点代扣代收，某人2011年6月1日存入若干万元人民币，年利率为2%，到2012年6月1日取款时被银行扣除利息税138.64元，则该存款人的本金介于( )． A ．3～4万元 B ．4～5万元 C ．5～6万元D ．2～3万元解析 设存入的本金为x ，则x ·2%·20%＝138.64，∴x ＝1 386 40040＝34 660.答案 A2．(2012·新乡月考)某产品的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系是y ＝3 000＋20x －0.1x 2(0＜x ＜240，x ∈N *)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是( )． A ．100台 B ．120台 C ．150台 D ．180台解析 设利润为f (x )(万元)，则f (x )＝25x －(3 000＋20x －0.1x 2)＝0.1x 2＋5x －3 000≥0，∴x ≥150. 答案 C3．有一批材料可以围成200米长的围墙，现用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地(如图)，且内部用此材料隔成三个面积相等的矩形，则围成的矩形场地的最大面积为( )．A ．1 000米2B ．2 000米2C ．2 500米2D ．3 000米2解析 设三个面积相等的矩形的长、宽分别为x 米、y 米，如图，则4x ＋3y ＝200，又矩形场地的面积S ＝3xy ＝3x ·200－4x 3＝x (200－4x )＝－4(x －25)2＋2 500，∴当x ＝25时，S max ＝2 500.答案 C4．(2011·湖北)里氏震级M 的计算公式为：M ＝lg A －lg A 0，其中A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A 0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为__________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍． 解析 由lg 1 000－lg 0.001＝6，得此次地震的震级为6级．因为标准地震的振幅为0.001，设9级地震最大振幅为A 9，则lg A 9－lg 0.001＝9解得A 9＝106，同理5级地震最大振幅A 5＝102，所以9级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的10 000倍． 答案 6 10 0005．(2012·东三校联考)为了保证信息安全，传输必须使用加密方式，有一种方式其加密、解密原理如下：明文――→加密密文――→发送密文――→解密明文已知加密为y ＝a x －2(x 为明文，y 为密文)，如果明文“3”通过加密后得到密文为“6”，再发送，接受方通过解密得到明文“3”，若接受方接到密文为“14”，则原发的明文是________．解析 依题意y ＝a x －2中，当x ＝3时，y ＝6，故6＝a 3－2，解得a ＝2.所以加密为y ＝2x －2，因此，当y ＝14时，由14＝2x －2，解得x ＝4. 答案 4考向一 一次函数、二次函数函数模型的应用【例1】►(2011·武汉调研)在经济学中，函数f (x )的边际函数Mf (x )定义为：Mf (x )＝f (x ＋1)－f (x )．某公司每月生产x 台某种产品的收入为R (x )元，成本为C (x )元，且R (x )＝3 000x －20x 2，C (x )＝500x ＋4 000(x ∈N *)．现已知该公司每月生产该产品不超过100台．(1)求利润函数P (x )以及它的边际利润函数MP (x )； (2)求利润函数的最大值与边际利润函数的最大值之差． [审题视点] 列出函数解析式，根据函数性质求最值． 解 (1)由题意，得x ∈[1,100]，且x ∈N *. P (x )＝R (x )－C (x )＝(3 000x －20x 2)－(500x ＋4 000) ＝－20x 2＋2 500x －4 000，MP (x )＝P (x ＋1)－P (x )＝[－20(x ＋1)2＋2 500(x ＋1)－4 000]－(－20x 2＋2 500x － 4 000)＝2 480－40x .(2)P (x )＝－20⎝⎛⎭⎪⎫x －12522＋74 125，当x ＝62或x ＝63时，P (x )取得最大值74 120元； 因为MP (x )＝2 480－40x 是减函数，所以当x ＝1时，MP (x )取得最大值2 440元．故利润函数的最大值与边际利润函数的最大值之差为71 680元.二次函数是我们比较熟悉的基本函数，建立二次函数模型可以求出函数的最值，解决实际中的最优化问题，值得注意的是：一定要注意自变量的取值范围，根据图象的对称轴与定义域在数轴上表示的区间之间的位置关系讨论求解．【训练1】 经市场调查，某种商品在过去50天的销售量和价格均为销售时间t (天)的函数，且销售量近似地满足f (t )＝－2t ＋200(1≤t ≤50，t ∈N )．前30天价格为g (t )＝12t ＋30(1≤t ≤30，t ∈N )，后20天价格为g (t )＝45(31≤t ≤50，t ∈N )．(1)写出该种商品的日销售额S 与时间t 的函数关系； (2)求日销售额S 的最大值． 解 (1)根据题意，得S ＝⎩⎪⎨⎪⎧(－2t ＋200)⎝ ⎛⎭⎪⎫12t ＋30，1≤t ≤30，t ∈N ，45(－2t ＋200)，31≤t ≤50，t ∈N＝⎩⎨⎧－t 2＋40t ＋6 000，1≤t ≤30，t ∈N ，－90t ＋9 000，31≤t ≤50，t ∈N .(2)①当1≤t ≤30，t ∈N 时， S ＝－(t －20)2＋6 400，∴当t ＝20时，S 的最大值为6 400； ②当31≤t ≤50，t ∈N 时， S ＝－90t ＋9 000为减函数， ∴当t ＝31时，S 的最大值为6 210. ∵6 210＜6 400，∴当t ＝20时，日销售额S 有最大值6 400.考向二 指数函数模型的应用【例2】►某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y (微克)与时间t (小时)之间近似满足如图所示的曲线．(1)写出第一次服药后y 与t 之间的函数关系式y ＝f (t )；(2)据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25微克时，治疗有效．求服药一次后治疗有效的时间是多长？[审题视点] 根据图象用待定系数法求出函数解析式，再分段求出时间长． 解 (1)设y ＝⎩⎪⎨⎪⎧kt ，0≤t ≤1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －a ，t ＞1.当t ＝1时，由y ＝4得k ＝4，由⎝ ⎛⎭⎪⎫121－a＝4得．a ＝3.则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 4t ， 0≤t ≤1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －3，t >1.(2)由y ≥0.25得⎩⎨⎧0≤t ≤1，4t ≥0.25，或⎩⎪⎨⎪⎧t ＞1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －3≥0.25.解得116≤t ≤5，因此服药一次后治疗有效的时间是5－116＝7916小时．可根据图象利用待定系数法确定函数解析式，然后把实际问题转化为解不等式问题进行求解．【训练2】 某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答以下问题：(1)写出该城市人口总数y (万人)与年份x (年)的函数关系式； (2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人)；(3)计算大约多少年以后，该城市人口将达到120万人(精确到1年)；(4)如果20年后该城市人口总数不超过120万人，年自然增长率应该控制在多少？(参考数据：1.0129≈1.113,1.01210≈1.127，lg 1.2≈0.079，lg 2≈0.3010，lg 1.012≈0.005，lg 1.009≈0.003 9) 解 (1)1年后该城市人口总数为 y ＝100＋100×1.2%＝100×(1＋1.2%) 2年后该城市人口总数为y ＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2% ＝100×(1＋1.2%)2. 3年后该城市人口总数为y ＝100×(1＋1.2%)2＋100×(1＋1.2%)2×1.2% ＝100×(1＋1.2%)3.x 年后该城市人口总数为y ＝100×(1＋1.2%)x .(2)10年后，人口总数为100×(1＋1.2%)10≈112.7(万人)． (3)设x 年后该城市人口将达到120万人， 即100×(1＋1.2%)x ＝120，x ＝log 1.012120100＝log 1.0121.20≈16(年)．(4)由100×(1＋x %)20≤120，得(1＋x %)20≤1.2，两边取对数得20lg(1＋x %)≤lg 1.2＝0.079，所以lg(1＋x %)≤0.07920＝0.003 95， 所以1＋x %≤1.009，得x ≤0.9，即年自然增长率应该控制在0.9%.考向三 函数y ＝x ＋ax模型的应用【例3】►(2010·湖北)为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C (单位：万元)与隔热层厚度x (单位：cm)满足关系：C (x )＝k 3x ＋5(0≤x ≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f (x )为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和． (1)求k 的值及f (x )的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f (x )达到最小，并求最小值． [审题视点] 用基本不等式求最值，注意等号成立的条件． 解 (1)由已知条件C (0)＝8则k ＝40，因此f (x )＝6x ＋20C (x )＝6x ＋8003x ＋5 (0≤x ≤10)．(2)f (x )＝6x ＋10＋8003x ＋5－10≥2(6x ＋10)8003x ＋5－10＝70(万元)，当且仅当6x ＋10＝8003x ＋5即x ＝5时等号成立．所以当隔热层为5 cm 时，总费用f (x )达到最小值，最小值为70万元．求函数解析式同时要注意确定函数的定义域，对于y ＝x ＋ax(a >0)类型的函数最值问题，特别要注意定义域问题，可考虑用均值不等式求最值，否则要考虑使用函数的单调性．【训练3】 某村计划建造一个室内面积为800 m 2的矩形蔬菜温室，在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1 m 宽的通道，沿前侧内墙保留3 m 宽的空地，当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大面积是多少？ 解 设温室的左侧边长为x m ，则后侧边长为800xm. ∴蔬菜种植面积y ＝(x －4)⎝ ⎛⎭⎪⎫800x －2＝808－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1 600x (4<x <400)． ∵x ＋1 600x≥2x ·1 600x＝80，∴y ≤808－2×80＝648(m)2. 当且仅当x ＝1 600x ，即x ＝40，此时800x＝20 m ，y 最大＝648(m 2)． ∴当矩形温室的左侧边长为40 m ，后侧边长为20 m 时，蔬菜的种植面积最大，为648 m 2.规范解答5——应用题中的函数建模问题(【问题研究】 解决应用问题的关键是建立恰当的函数模型，因此，首先要熟悉和掌握几类常用的函数模型.求解中容易在以下两个地方出现失误：,(1)列函数关系式时，会出现由于理不清楚各个量之间的关系，而导致列出错误的关系式.这一点在求解应用题时是常出现的错误；,(2)列出解析式，在求最优解的过程中，由于方法使用不当而出现求解上的错误.,【解决方案】 (1)阅读理解，审清题意.读题要做到逐字逐句，读懂题中的文字叙述，理解叙述部分所反映的实际背景，在此基础上，分析出已知是什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题.,(2)根据所给模型，列出函数关系式.根据已知条件和数量关系，建立函数关系式，在此基础上将实际问题转化为一个函数问题.,(3)利用数学的方法将得到的常规函数问题(即数学模型)予以解答，并求得结果.,(4)将所得结果代入原问题中，对具体问题进行解答.)【示例】►(本题满分12分)(2011·湖北)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v (单位：千米/小时)是车流密度x (单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20≤x ≤200时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数． (1)当0≤x ≤200时，求函数v (x )的表达式；(2)当车流密度x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f (x )＝x ·v (x )可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/小时)首先求函数v (x )为分段函数，然后利用一元二次函数配方法或基本不等式求解．[解答示范] (1)由题意：当0≤x ≤20时，v (x )＝60；当20≤x ≤200时，设v (x )＝ax ＋b ，再由已知，得⎩⎨⎧200a ＋b ＝0，20a ＋b ＝60，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－13，b ＝2003.故函数v (x )的表达式为v (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 60，0≤x ≤20，13(200－x )，20＜x ≤200.(4分)(2)依题意并由(1)可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60x ，0≤x ≤20，13x (200－x )，20＜x ≤200.(6分)当0≤x ≤20时，f (x )为增函数，故当x ＝20时，其最大值为60×20＝1 200；(7分)当20＜x ≤200时，f (x )＝13x (200－x )≤13⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋(200－x )22＝10 0003，当且仅当x ＝200－x ，即x ＝100时，等号成立．所以，当x ＝100时，f (x )在区间(20,200]上取得最大值10 0003.(10分)综上，当x ＝100时，f (x )在区间[0,200]上取得最大值10 0003≈3 333，即当车流密度为100 辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/小时．(12分)对于分段函数模型的最值问题，应该先求出每一段上的最值，然后再比较大小．另外在利用均值不等式求解最值时，一定要检验等号成立的条件，也可通过函数的单调性求解最值．。

第十节函数模型及其应用知识回顾1．几类函数模型2.三种函数模型的性质1.【2019年浙江丽水高一上学期期末考试数学试卷统测】某种放射性元素的原子数N随时间t的变化规律是N=N0eλt，其中N0，λ是正的常数．当N=2N0时，t=________ ．ln⁡2【答案】1λ【解析】【解答】某种放射性元素的原子数N随时间t的变化规律是N=N0eλt，其中N0，λ是正的常数．当N= 2N0时，则N=N0eλt=2N0≠0，化为：eλt=2，ln⁡2．解得t=1λ故答案为1λln⁡2．【分析】由题意可得：N =N 0e λt =2N 0≠0，化为：e λt =2，化为对数式即可得出． 【备注】【点评】本题考查了指数式化为对数式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．某市生产总值连续两年持续增加．第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为________． 答案p ＋1q ＋1－1解析 设年平均增长率为x ，则(1＋x )2＝(1＋p )(1＋q )， ∴x ＝1＋p1＋q －1.3．某公司租地建仓库，已知仓库每月占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月车载货物的运费y 2与仓库到车站的距离成正比．据测算，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y 1，y 2分别是2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________千米处． 答案 5解析 由题意得，y 1＝k 1x ，y 2＝k 2x ，其中x >0，当x ＝10时，代入两项费用y 1，y 2分别是2万元和8万元，可得k 1＝20，k 2＝45，y 1＋y 2＝20x ＋45x ≥220x ·45x ＝8，当且仅当20x ＝45x ，即x ＝5时取等号．4.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x ，y 应为________． 答案 15,12解析 由三角形相似得24－y 24－8＝x 20，得x ＝54(24－y )，∴S ＝xy ＝－54(y －12)2＋180，∴当y ＝12时，S 有最大值，此时x ＝15.5．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p 与加工时间t (单位：分钟)满足函数关系p ＝at 2＋bt ＋c (a 、b 、c 是常数)，如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为________分钟．答案 3.75解析 根据图表，把(t ，p )的三组数据(3,0.7)，(4,0.8)，(5,0.5)分别代入函数关系式，联立方程组得⎩⎪⎨⎪⎧0.7＝9a ＋3b ＋c ，0.8＝16a ＋4b ＋c ，0.5＝25a ＋5b ＋c ，消去c 化简得⎩⎪⎨⎪⎧7a ＋b ＝0.1，9a ＋b ＝－0.3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－0.2，b ＝1.5，c ＝－2.0.所以p ＝－0.2t 2＋1.5t －2.0＝－15(t 2－152t ＋22516)＋4516－2＝－15(t －154)2＋1316，所以当t ＝154＝3.75时，p 取得最大值，即最佳加工时间为3.75分钟.6．(多选)某工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不得超过0.1%，而这种溶液最初的杂质含量为2%，现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少13，则使产品达到市场要求的过滤次数可以为(参考数据：lg2≈0.301，lg 3≈0.477)( ) A ．6 B ．9 C ．8 D ．7 答案 BC解析 设经过n 次过滤，产品达到市场要求， 则2100×⎝⎛⎭⎫23n ≤11 000，即⎝⎛⎭⎫23n ≤120， 由n lg 23≤－lg 20，即n (lg 2－lg 3)≤－(1＋lg 2)，得n ≥1＋lg 2lg 3－lg 2≈7.4，故选BC.课中讲解考点一.函数图像刻画变化过程例1．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是( )解析：选C 小明匀速行驶时，图象为一条直线，且距离学校越来越近，故排除A.因交通堵塞停留了一段时间，与学校的距离不变，故排除D.后来为了赶时间加快速度行驶，故排除B.故选C.变式1．如图，四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止．用下面对应的图象表示该容器中水面的高度h 和时间t 之间的关系，其中不正确的个数为( )A．1B．2C．3 D．4解析：选A将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，容器中水面的高度h和时间t之间的关系可以从高度随时间的变化率上反映出来．图①应该是匀速的，故下面的图象不正确；②中的变化率应该是越来越慢的，正确；③中的变化率是先快后慢再快，正确；④中的变化率是先慢后快再慢，也正确，故只有①是错误的．例2．设甲、乙两地的距离为a(a>0)，小王骑自行车匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为()答案 D解析y为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移，故排除A，C.又因为小王在乙地休息10分钟，故排除B，故选D.变式2．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)的影响．根据近8年的年宣传费x i和年销售量y i(i＝1,2，…，8)数据得到下面的散点图．则下列哪个作为年销售量y关于年宣传费x的函数模型最适合()A．y＝ax＋b B．y＝a＋b xC．y＝a·b x D．y＝ax2＋bx＋c答案 B解析根据散点图可知，选择y＝a＋b x最适合．考点二.应用所给的模型解决实际问题例1.候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模迁徙，研究某种候鸟的专家发现，该种候鸟的飞行速度 v （单位：m ⋅s −1）与其耗氧量 Q 之间的关系为 v =a +blog 3⁡Q10（其中 a 、b 是常数）．据统计，该种鸟类在静止时的耗氧量为 30 个单位，而其耗氧量为个 90 单位时，飞行速度为 1m ⋅s −1．若这种候鸟为赶路程，飞行的速度不能低于 2m ⋅s −1，求其耗氧量至少要多少个单位． 【答案】270 个单位【解析】由题意，知 {a +blog 3⁡3010=0a +blog 3⁡9010=1，即 {a +b =0a +2b =1，解得 {a =−1b =1，所以 v =−1+log 3⁡Q 10， 要使飞行速度不能低于 2m ⋅s −1，则有 v ⩾2，即 −1+log 3⁡Q 10⩾2，即 log 3⁡Q10⩾3，解得 Q10⩾27，即 Q10⩾270，所以耗氧量至少要 270 个单位．变式1.数据显示，某 IT 公司 2018 年上半年五个月的收入情况如下表所示：月份 2 3 4 5 6月收入（万元）1.42.565.311121.3根据上述数据，在建立该公司 2018 年月收入 y （万元）与月份 x 的函数模型时，给出两个函数模型 y =x 12 与 y =2x 3供选择．(1) 你认为哪个函数模型较好，并简单说明理由； 【答案】函数 y =2x 3这一模型较好【解析】画出散点图由图可知点 (2,1.4)；(3,2.56)；(4,5.31)；(5,11)；(6,21.3) 基本上是落在函数 y =2x 3的图像的附近，因此用函数 y =2x 3这一模型较好．(2) 试用你认为较好的函数模型，分析大约从第几个月份开始，该公司的月收入会超过 100 万元？（参考数据 lg⁡2=0.3010，lg⁡3=0.4771） 【答案】大约从第 9 月份开始 【解析】当2x 3>100 时，2x >300，∴lg⁡2x >lg⁡300即 xlg⁡2>2+lg⁡3∴x >2+lg⁡3lg 2=2+0.47710.3010≈8.23故大约从第 9 月份开始，该公司的月收入会超过 100 万元． 当2x 3>100 时，2x >30028=256<300；29=512>300故大约从第 9 月份开始，该公司的月收入会超过 100 万元．例2.为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)成正比；药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式y ＝⎝⎛⎭⎫116t －a(a 为常数)，如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：①从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)之间的函数关系式为________________________________________________________________________．②据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过________小时后，学生才能回到教室． 答案 ①y ＝⎩⎪⎨⎪⎧10t ，0≤t ≤0.1，⎝⎛⎭⎫116t －0.1，t >0.1②0.6解析 ①设y ＝kt ，由图象知y ＝kt 过点(0.1,1)， 则1＝k ×0.1，k ＝10，∴y ＝10t (0≤t ≤0.1)． 由y ＝⎝⎛⎭⎫116t －a过点(0.1,1)，得1＝⎝⎛⎭⎫1160.1－a ， 解得a ＝0.1，∴y ＝⎝⎛⎭⎫116t －0.1(t >0.1)．②由⎝⎛⎭⎫116t －0.1≤0.25＝14，得t ≥0.6. 故至少需经过0.6小时学生才能回到教室．变式2.拟定甲、乙两地通话m 分钟的电话费(单位：元)由f (m )＝1.06(0.5[m ]＋1)给出，其中m >0，[m ]是不超过m 的最大整数(如[3]＝3，[3.7]＝3，[3.1]＝3)，则甲、乙两地通话6.5分钟的电话费为______元． 答案 4.24解析 ∵m ＝6.5，∴[m ]＝6， 则f (6.5)＝1.06×(0.5×6＋1)＝4.24. 考点三.构建函数模型解决实际问题1.二次函数模型例1.某企业为打入国际市场，决定从A ，B 两种产品中只选择一种进行投资生产，已知投资生产这两种产品的有关数据如下表(单位：万美元)：预计m ∈[6,8]，另外，年销售x 件B 产品时需上交0.05x 2万美元的特别关税，假设生产出来的产品都能在当年销售出去．(1)写出该厂分别投资生产A ，B 两种产品的年利润y 1，y 2与生产相应产品的件数x 1，x 2之间的函数关系式，并指明定义域；(2)如何投资才可获得最大年利润？请你做出规划．[解] (1)由题意得y 1＝10x 1－(20＋mx 1)＝(10－m )x 1－20(0≤x 1≤200且x 1∈N)，y 2＝18x 2－(40＋8x 2)－0.05x 22＝－0.05x 22＋10x 2－40＝－0.05(x 2－100)2＋460(0≤x 2≤120且x 2∈N)． (2)∵6≤m ≤8，∴10－m ＞0， ∴y 1＝(10－m )x 1－20为增函数． 又0≤x 1≤200，x 1∈N ，∴当x 1＝200时，生产A 产品的最大利润为(10－m )×200－20＝1 980－200m (万美元)． ∵y 2＝－0.05(x 2－100)2＋460(0≤x 2≤120，且x 2∈N)， ∴当x 2＝100时，生产B 产品的最大利润为460万美元． (y 1)max －(y 2)max ＝(1 980－200m )－460＝1 520－200m . 易知当6≤m ＜7.6时，(y 1)max ＞(y 2)max .即当6≤m ＜7.6时，投资生产A 产品200件可获得最大年利润；当m ＝7.6时，投资生产A 产品200件或投资生产B 产品100件，均可获得最大年利润； 当7.6＜m ≤8时，投资生产B 产品100件可获得最大年利润．变式1. 某城市对一种售价为每件160元的商品征收附加税，税率为R %(即每销售100元征税R 元)，若每年销售量为⎝⎛⎭⎫30－52R 万件，要使附加税不少于128万元，则R 的取值范围是( ) A ．[4,8] B ．[6,10] C ．[4%,8%] D ．[6%,10%]答案 A解析 根据题意，要使附加税不少于128万元，需⎝⎛⎭⎫30－52R ×160×R %≥128， 整理得R 2－12R ＋32≤0，解得4≤R ≤8，即R ∈[4,8]．2. 指对数函数模型例2.某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2016年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( )(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30) A ．2018年 B ．2019年 C ．2020年D ．2021年变式2.某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系y ＝e kx ＋b (e ＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是( )A ．16小时B ．20小时C ．24小时D ．28小时[解析] (1)设第n (n ∈N *)年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元． 根据题意得130(1＋12%)n －1＞200， 则lg[130(1＋12%)n －1]＞lg 200， ∴lg 130＋(n －1)lg 1.12＞lg 2＋2， ∴2＋lg 1.3＋(n －1)lg 1.12＞lg 2＋2， ∴0.11＋(n －1)×0.05＞0.30，解得n ＞245，又∵n ∈N *，∴n ≥5，∴该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是2020年．故选C. (2)由已知得192＝e b ，① 48＝e 22k ＋b ＝e 22k ·e b ，②将①代入②得e 22k ＝14，则e 11k ＝12，当x ＝33时，y ＝e 33k ＋b ＝e 33k ·e b ＝⎝⎛⎭⎫123×192＝24，所以该食品在33 ℃的保鲜时间是24小时．故选C. [答案] (1)C (2)C3. 对勾函数模型例3 某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y (万元)与营运年数x 的关系如图所示(抛物线的一段)，则为使其营运年平均利润最大，每辆客车营运年数为________．答案 5解析 根据图象求得y ＝－(x －6)2＋11， ∴年平均利润yx＝12－⎝⎛⎭⎫x ＋25x ， ∵x ＋25x ≥10，当且仅当x ＝5时等号成立．∴要使平均利润最大，客车营运年数为5.变式3.某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边夹角为60°(如图)，考虑防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为9 3 平方米，且高度不低于 3 米．记防洪堤横断面的腰长为x 米，外周长(梯形的上底线段BC 与两腰长的和)为y 米．要使防洪堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即横断面的外周长最小)，则防洪堤的腰长x ＝________米．答案 2 3解析 由题意可得BC ＝18x －x2(2≤x <6)，∴y ＝18x ＋3x 2≥218x ×3x2＝6 3. 当且仅当18x ＝3x2(2≤x <6)，即x ＝23时等号成立．4. 分段函数模型例4.某市营业区内住宅电话通话费用为前 3 分钟 0.20 元，以后每分钟 0.10 元（前 3 分钟不足 3 分钟按 3 分钟计，以后不足 1 分钟按 1 分钟计）．(1) 在直角坐标系内，画出一次通话在 6 分钟内（包括 6 分钟）的话费 y （元）关于通话时间 t （分钟）的函数图象； 【答案】见解析 【解析】如下图所示．(2) 如果一次通话t分钟（t>0），写出话费y（元）关于通话时间t（分钟）的函数关系式（可用[t]表示不小于t的最小整数）．【答案】y={0.2,0<t⩽30.2+[t−3]×0.1,t>3【解析】由(1)知，话费y与时间t的关系是分段函数．当0<t⩽3时，话费y为0.2元；当t>3时，话费y应为(0.2+[t−3]×0.1)元．所以y={0.2,0<t⩽30.2+[t−3]×0.1,t>3．变式4.在扶贫活动中，为了尽快脱贫（无债务）致富，企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以5.8万元的优惠价格转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型企业乙，并约定从该店经营的利润中，首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支3600元后，逐步偿还转让费（不计息）．在甲提供的资料中：①这种消费品的进价为每件14元；①该店月销量Q（百件）与销量价格P（元）的关系如图所示；①每月需各种开支2000元．(1) 当商品的价格为每件多少元时，月利润扣除职工最低生活费的余额最大？并求最大余额；【答案】当P=19.5元时，月利润余额最大，为450元【解析】设该店月利润余额为L元，则由题设得L=Q(P−14)×100−3600−2000①由销量图易得Q={−2P+50,14⩽P⩽20−32P+40,20<P⩽26，代入①式得L={(−2P+50)(P−14)×100−5600,14⩽P⩽20(−32P+40)(P−14)×100−5000,20<P⩽26当14⩽P⩽20时，L max=450元，此时P=19.5元；当20<P⩽26时，L max=12503元，此时P=613元．故当P=19.5元时，月利润余额最大，为450元．(2) 企业乙只依靠该店，最早可望在几年后脱贫？【答案】最早可望在20年后脱贫【解析】设可在n年后脱贫，依题意有12n×450−50000−58000⩾0，解得n⩾20．即最早可望在20年后脱贫．课后习题一．单选题1．(2018·北京石景山联考)小明在如图1所示的跑道上匀速跑步，他从点A出发，沿箭头方向经过点B跑到点C，共用时30 s，他的教练选择了一个固定的位置观察小明跑步的过程，设小明跑步的时间为t(s)，他与教练间的距离为y(m)，表示y与t的函数关系的图象大致如图2所示，则这个固定位置可能是图1中的()A．点M B．点NC．点P D．点Q解析：选D假设这个位置在点M，则从A至B这段时间，y不随时间的变化改变，与函数图象不符，故A选项错误；假设这个位置在点N，则从A至C这段时间，A点与C点对应y的大小应该相同，与函数图象不符，故B选项错误；假设这个位置在点P，则由函数图象可得，从A到C的过程中，会有一个时刻，教练到小明的距离等于经过30 s时教练到小明的距离，而点P不符合这个条件，故C选项错误；经判断点Q符合函数图象，故D选项正确，选D.2．(2019·洛阳模拟)某校为了规范教职工绩效考核制度，现准备拟定一函数用于根据当月评价分数x(正常情况下0≤x≤100，且教职工平均月评价分数在50分左右，若有突出贡献可以高于100分)计算当月绩效工资y(元)．要求绩效工资不低于500元，不设上限，且让大部分教职工绩效工资在600元左右，另外绩效工资越低或越高时，人数要越少．则下列函数最符合要求的是()A．y＝(x－50)2＋500 B．y＝10x25＋500C ．y ＝11 000(x －50)3＋625D ．y ＝50[10＋lg(2x ＋1)]解析：选C 由题意知，拟定函数应满足：①是单调递增函数，且增长速度先快后慢再快；②在x ＝50左右增长速度较慢，最小值为500.A 中，函数y ＝(x －50)2＋500先减后增，不符合要求；B 中，函数y ＝10x25＋500是指数型函数，增长速度是越来越快，不符合要求；D 中，函数y ＝50[10＋lg(2x ＋1)]是对数型函数，增长速度是越来越慢，不符合要求；而C 中，函数y ＝11 000(x －50)3＋625是由函数y ＝x 3经过平移和伸缩变换得到的，符合要求．故选C.3．(2019·邯郸名校联考)某企业准备投入适当的广告费对甲产品进行促销宣传，在一年内预计销售量y (万件)与广告费x (万元)之间的函数关系为y ＝1＋3x x ＋2(x ≥0)．已知生产此产品的年固定投入为4万元，每生产1万件此产品仍需再投入30万元，且能全部售完. 若每件甲产品售价(元)定为“平均每件甲产品所占生产成本的150%”与“年平均每件甲产品所占广告费的50%”之和，则当广告费为1万元时，该企业甲产品的年利润为( )A ．30.5万元B ．31.5万元C ．32.5万元D ．33.5万元解析：选B 由题意，产品的生产成本为(30y ＋4)万元，销售单价为30y ＋4y ×150%＋xy ×50%，故年销售收入为z ＝⎝⎛⎭⎫30y ＋4y ×150%＋xy ×50%·y ＝45y ＋6＋12x .∴年利润W ＝z －(30y ＋4)－x ＝15y ＋2－x 2＝17＋45x x ＋2－x 2(万元)．∴当广告费为1万元时，即x ＝1，该企业甲产品的年利润为17＋451＋2－12＝31.5(万元)．故选B. 4．一种放射性元素的质量按每年10%衰减，这种放射性元素的半衰期(剩余质量为最初质量的一半所需的时间叫作半衰期)是(精确到0.1，已知lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)( ) A ．5.2 B ．6.6 C ．7.1 D ．8.3 答案 B解析 设这种放射性元素的半衰期是x 年， 则(1－10%)x ＝12，化简得0.9x ＝12，即x ＝log 0.912＝lg12lg 0.9＝－lg 22lg 3－1≈－0.301 02×0.477 1－1≈6.6(年)．故选B. 5．某单位为鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每月用水不超过10 m 3的，按每立方米m 元收费；用水超过10 m 3的，超过部分加倍收费．某职工某月缴水费16m 元，则该职工这个月实际用水为( ) A ．13 m 3 B ．14 m 3 C ．18 m 3 D ．26 m 3答案 A解析 设该职工用水x m 3时，缴纳的水费为y 元，由题意得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧mx ，0<x ≤10，10m ＋x －10·2m ，x >10，则10m ＋(x －10)·2m ＝16m ，解得x ＝13.6.(2020·青岛模拟)某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x ，y 应为( )A ．x ＝15，y ＝12B ．x ＝12，y ＝15C ．x ＝14，y ＝10D ．x ＝10，y ＝14答案 A解析 由三角形相似得24－y 24－8＝x 20，得x ＝54(24－y )，所以S ＝xy ＝－54(y －12)2＋180，所以当y ＝12时，S 有最大值，此时x ＝15.检验符合题意．二．多选题7．(多选)在一次社会实践活动中，某数学调研小组根据车间持续5个小时的生产情况画出了某种产品的总产量y (单位：千克)与时间x (单位：小时)的函数图象，则以下关于该产品生产状况的正确判断是( )A ．在前三小时内，每小时的产量逐步增加B ．在前三小时内，每小时的产量逐步减少C ．最后一小时内的产量与第三小时内的产量相同D ．最后两小时内，该车间没有生产该产品 答案 BD解析 由该车间5小时来某种产品的总产量y (千克)与时间x (小时)的函数图象，得前三小时的年产量逐步减少，故A 错误，B 正确；后两小时均没有生产，故C 错误，D 正确．三．填空题 8．(2019·唐山模拟)某人计划购买一辆A 型轿车，售价为14.4万元，购买后轿车每年的保险费、汽油费、车检费、停车费等约需2.4万元，同时汽车年折旧率约为10%(即这辆车每年减少它的价值的10%)，试问，大约使用________年后，用在该车上的费用(含折旧费)达到14.4万元．解析：设使用x 年后花费在该车上的费用达到14.4万元，依题意可得，14.4(1－0.9x )＋2.4x ＝14.4. 化简得x －6×0.9x ＝0. 令f (x )＝x －6×0.9x ，易得f (x )为单调递增函数，又f (3)＝－1.374＜0，f (4)＝0.063 4＞0，所以函数f (x )在(3,4)上有一个零点． 故大约使用4年后，用在该车上的费用达到14.4万元． 答案：49.某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形ABCD ，腰与底边夹角为60°(如图)，考虑防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面面积为93平方米，且高度不低于3米．记防洪堤横断面的腰长为x 米，外周长(梯形的上底线段BC 与两腰长的和)为y 米．要使防洪堤横断面的外周长不超过10.5米，则其腰长x 的取值范围为________．解析：根据题意知，93＝12(AD ＋BC )h ，其中AD ＝BC ＋2×x 2＝BC ＋x ，h ＝32x ，所以93＝12(2BC ＋x )32x ，得BC ＝18x －x2，由⎩⎨⎧h ＝32x ≥3，BC ＝18x －x2＞0，得2≤x ＜6.所以y ＝BC ＋2x ＝18x ＋3x2(2≤x ＜6)，由y ＝18x ＋3x2≤10.5，解得3≤x ≤4.因为[3,4] ⊆[2,6)，所以腰长x 的取值范围为[3,4]． 答案：[3,4]10．(2019·皖南八校联考)某购物网站在2019年11月开展“全部6折”促销活动，在11日当天购物还可以再享受“每张订单金额(6折后)满300元时可减免100元”．某人在11日当天欲购入原价48元(单价)的商品共42件，为使花钱总数最少，他最少需要下的订单张数为________． 答案 3解析 为使花钱总数最少，需使每张订单满足“每张订单金额(6折后)满300元时可减免100元”，即每张订单打折前原金额不少于500元．由于每件原价48元，因此每张订单至少11件，又42＝11×3＋9，所以最少需要下的订单张数为3.11．某市用37辆汽车往灾区运送一批救灾物资，假设以v km/h 的速度直达灾区，已知某市到灾区公路线长400 km ，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于⎝⎛⎭⎫v 202 km ，那么这批物资全部到达灾区的最少时间是______ h ．(车身长度不计) 答案 12解析 设全部物资到达灾区所需时间为t h ，由题意可知，t 相当于最后一辆车行驶了⎣⎡⎦⎤36×⎝⎛⎭⎫v 202＋400 km 所用的时间，因此，t ＝36×⎝⎛⎭⎫v 202＋400v ＝36v 400＋400v≥236v 400×400v＝12， 当且仅当36v 400＝400v ，即v ＝2003时取等号．故这些汽车以2003 km/h 的速度匀速行驶时，所需时间最少，最少时间为12 h.四．解答题12.某城市现有人口总数为 100 万，如果年自然增长率为 1.2%，试解答下面的问题： (1) 写出 x 年后该城市的人口总数 y （万人）与年数 x （年）的函数关系式； 【答案】y =100×(1+1.2%)x ,x ∈N ∗【解析】1 年后该城市人口总数为 y =100+100×1.2%=100×(1+1.2%)；2 年后该城市人口总数为 y =100×(1+1.2%)+100×(1+1.2%)×1.2%=100×(1+1.2%)2；3 年后该城市人口总数为 y =100×(1+1.2%)3；…； x 年后该城市人口总数为 y =100×(1+1.2%)x ,x ∈N ∗．(2) 计算 10 年以后该城市人口总数（精确到 0.1 万）； 【答案】112.7 万【解析】10 年后该城市人口总数为 y =100×(1+1.2%)10=100×1.01210≈112.7（万）．(3) 计算大约多少年以后该城市人口总数将达到 120 万（精确到 1 年）． 【答案】16 年【解析】令 y =120，则有 100×(1+1.2%)x =120，解方程可得 15<x <16． 故大约 16 年后该城市人口总数将达到 120 万．13.某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压 p （千帕）是气球的体积 V （立方米）的反比例函数，其图象如图所示．（千帕是一种压强单位）(1) 写出这个函数的解析式；【答案】p=96V【解析】设p与V的函数的解析式为p=k，把点A(1.5,64)代入，解得k=96．V∴这个函数的解析式为p=96．V(2) 当气球的体积为0.8立方米时，气球内的气压是多少千帕？【答案】120千帕【解析】把V=0.8代入p=96，p=120，V当气球的体积为0.8立方米时，气球内的气压是120千帕．(3) 当气球内的气压大于144千帕时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应不小于多少立方米？立方米【答案】气球的体积应不小于23，【解析】由p=144时，V=23∴p⩽144时，V⩾2，3当气球内的气压大于144千帕时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应不小于2立方米314.如图所示，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中AE=4米，CD=6米．为合理利用这块钢板，在五边形ABCDE内截取一个矩形BNPM，使点P在边DE上．设MP=x米，PN=y米，将y表示成x的函数，求该函数的解析式及定义域．【答案】y=−12x+10，定义域为[4,8]【解析】作PQ⊥AF于Q，∴PQ=(8−y)米，EQ=(x−4)米．又△EPQ∼△EDF，∴EQPQ =EFFD，即x−48−y=42．∴y=−12x+10，定义域为[4,8]．15.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速可以表示为函数v=1 2log3⁡O100，单位是m/s，其中O表示鱼的耗氧量的单位数，(1) 当一条鱼的行氧量是2700个单位时，它的游速是多少？【答案】当一条鱼的行氧量是2700个单位时，它的游速是32(m/s)【解析】由题意得v=12log3⁡2700100=32(m/s)当一条鱼的行氧量是2700个单位时，它的游速是32(m/s)．(2) 计算一条鱼静止时耗氧量的单位数．【答案】当一条鱼静止时耗氧量的单位数是100【解析】当一条鱼静止时，即v=0，则0=12log3⁡O100，解得O=100当一条鱼静止时耗氧量的单位数是100．。

2020届高考数学命题猜想函数与方程﹑函数模型及其应用【考向解读】求方程的根、函数的零点的个数问题以及由零点存在性定理判断零点是否存在，利用函数模型解决实际问题是高考的热点；备考时应理解函数的零点，方程的根和函数的图象与x轴的交点的横坐标的等价性；掌握零点存在性定理．增强根据实际问题建立数学模型的意识，提高综合分析、解决问题的能力．【命题热点突破一】函数零点的存在性定理1．零点存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．2．函数的零点与方程根的关系函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标．例1 、（2018年全国卷Ⅱ）已知函数．（1）若，求的单调区间；（2）证明：只有一个零点．【答案】见解析【解析】（2）由于，所以等价于．设=，则g ′（x ）=≥0，仅当x=0时g ′（x ）=0，所以g （x ）在（–∞，+∞）单调递增．故g （x ）至多有一个零点，从而f （x ）至多有一个零点．又f （3a –1）=，f （3a+1）=，故f （x ）有一个零点．综上，f （x ）只有一个零点．【感悟提升】新定义问题的本质是转化思想的应用，即把新定义问题转化为已知的问题加以解决，解题的关键是理解新定义，把新定义表达的问题转化为我们已经掌握的数学问题，然后根据题目的要求进行推理计算得出结论．【变式探究】给出定义：如果函数f(x)在[a ，b]上存在x1，x2(a<x1<x2<b)，满足f ′(x1)＝f （b ）－f （a ）b －a ，f ′(x2)＝f （b ）－f （a ）b －a ，则称实数x1，x2为[a ，b]上的“对望数”，函数f(x)为[a ，b]上的“对望函数”．已知函数f(x)＝13x3－x2＋m 是[0，m]上的“对望函数”，则实数m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32，3 B ．(2，3) C.⎝⎛⎭⎪⎪⎫32，2 3 D ．(2，2 3)【答案】A【命题热点突破三】 函数模型及其应用解决函数模型的实际应用题，首先考虑题目考查的函数模型，并要注意定义域．其解题步骤是(1)阅读理解，审清题意：分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题；(2)数学建模：弄清题目中的已知条件和数量关系，建立函数关系式；(3)解函数模型：利用数学方法得出函数模型的数学结果；(4)实际问题作答：将数学问题的结果转化成实际问题作出解答．例3、(2017·江苏)设f(x)是定义在R 上且周期为1的函数，在区间[0,1)上，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x2，x ∈D ，x ，x ∉D ，其中集合D ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪⎪x ＝n －1n ，n ∈N*，则方程f(x)－lg x ＝0的解的个数是_____.【答案】8【变式探究】随着网络的发展，网校教育越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生们课外学习的一种趋势．假设某网校每日的套题销售量y(单位：万套)与销售价格x(单位：元/套)满足关系式y ＝m x －2＋4(x －6)2，其中2<x<6，m 为常数．已知销售价格为4元/套时，每日可售出套题21万套．(1)求m 的值；(2)假设每套题的成本为2元(只考虑销售出的套数)，试确定销售价格x 的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大．(保留1位小数)【解析】解：（1）因为x ＝4时，y ＝21，代入y ＝mx －2＋4（x －6）2，得m2＋16＝21，解得m ＝10.（2）由（1）可知，套题每日的销售量y ＝10x －2＋4（x －6）2，所以每日销售套题所获得的利润f （x ）＝（x －2）·⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10x －2＋4（x －6）2＝10＋4（x －6）2（x －2）＝4x3－56x2＋240x －278（2<x<6），从而f ′（x ）＝12x2－112x ＋240＝4（3x －10）（x －6）（2<x<6）.令f ′（x ）＝0，得x ＝103（x ＝6舍去），且在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2，103上，f ′（x ）>0，函数f （x ）单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫103，6上，f ′（x ）<0，函数f （x ）单调递减，所以x ＝103是函数f （x ）在（2，6）内的极大值点，也是最大值点，所以当x ＝103≈3.3时，函数f （x ）取得最大值，即当销售价格为3.3元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大.1 、(2017·全国Ⅲ)已知函数f(x)＝x2－2x ＋a(ex －1＋e －x ＋1)有唯一零点，则a 等于 A.－12B.13C.12 D.1【解析】f(x)＝x2－2x ＋a(ex －1＋e －x ＋1) ＝(x －1)2＋a[ex －1＋e －(x －1)]－1，令t ＝x －1，则g(t)＝f(t ＋1)＝t2＋a(et ＋e －t)－1. ∵g(－t)＝(－t)2＋a(e －t ＋et)－1＝g(t)， ∴函数g(t)为偶函数.∵f(x)有唯一零点，∴g(t)也有唯一零点. 又g(t)为偶函数，由偶函数的性质知g(0)＝0， ∴2a －1＝0，解得a ＝12 .【答案】C.2、(2017·江苏)设f(x)是定义在R 上且周期为1的函数，在区间[0,1)上，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x2，x ∈D ，x ，x ∉D ，其中集合D ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪⎪x ＝n －1n ，n ∈N*，则方程f(x)－lg x ＝0的解的个数是_____.【答案】81.【2016高考新课标1卷】函数在[]2,2-的图像大致为（A）（B）（C）（D）【答案】D2.【2016高考山东文数】已知函数其中0m>，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是________________.【答案】() 3,+∞【解析】画出函数图象如下图所示：由图所示，要()f x b=有三个不同的根，需要红色部分图像在深蓝色图像的下方，即，解得3m >。

§4.8 三角函数模型及解三角形应用举例解三角形应用题的一般步骤(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系． (2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型． (3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等．题型一 测量距离、高度问题例1(2013·江苏)如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C .现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m /min.在甲出发2 min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1 min 后，再从B 匀速步行到C .假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min ，山路AC 长为1260m ，经测量cos A ＝1213，cos C ＝35.①求索道AB 的长；②问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？③为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？题型二测量角度问题例2如图，在海岸A处发现北偏东45°方向，距A处(3－1)海里的B处有一艘走私船．在A处北偏西75°方向，距A处2海里的C处的我方缉私船奉命以103海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度，以B处向北偏东30°方向逃窜．问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间．题型三利用三角函数模型求最值例3如图，在直径为1的圆O中，作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形，其中y>x>0.(1)将十字形的面积表示为θ的函数；(2)θ满足何种条件时，十字形的面积最大？最大面积是多少？变式如图为一个缆车示意图，该缆车半径为4.8米，圆上最低点与地面距离为0.8米，且60秒转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ角到OB，设B点与地面间的距离为h.(1)求h与θ间关系的函数解析式；(2)设从OA开始转动，经过t秒后到达OB，求h与t之间的函数关系式，并求缆车到达最高点时用的最少时间是多少？课堂练习：1．已知△ABC ，C 为坐标原点O ，A (1，sin α)，B (cos α，1)，α∈⎝⎛⎦⎤0，π2，则当△OAB 的面积达到最大值时，α＝______.2．某人向正东方向走x km 后，向右转150°，然后朝新方向走3km ，结果他离出发点恰好是3km ，那么x 的值为________． 3．如图所示，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°且相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB 前往B 处救援，则cos θ等于________．4.8三角函数模型及解三角形应用举例作业1．如图为一半径是3m的水轮，水轮的圆心O距离水面2m．已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P到水面的距离y(m)与时间x(s)满足函数关系y＝A sin(ωx＋φ)＋2(ω>0，A>0)，则ω＝________，A＝________.2．甲、乙两楼相距20米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是________________．3.如图所示，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个观测点C与D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30m，并在点C处测得塔顶A的仰角为60°，求塔高AB.4．某渔船在航行中不幸遇险，发出呼叫信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔船在方位角为45°，距离为10nmile的C处，并测得渔船正沿方位角为105°的方向，以10nmile/h的速度向某小岛B靠拢，我海军舰艇立即以103nmile/h的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔船所需的时间．5.某运输装置如图所示，其中钢结构ABD 是AB ＝BD ＝l ，∠B ＝π3的固定装置，AB 上可滑动的点C 使CD 垂直于地面(C 不与A ，B 重合)，且CD 可伸缩(当CD 伸缩时，装置ABD 随之绕D 在同一平面内旋转)，利用该运输装置可以将货物从地面D 处沿D →C →A 运送至A 处，货物从D 处至C 处运行速度为v ，从C 处至A 处运行速度为3v .为了使运送货物的时间t 最短，需在运送前调整运输装置中∠DCB ＝θ的大小．(1)当θ变化时，试将货物运行的时间t 表示成θ的函数(用含有v 和l 的式子表示)； (2)当t 最小时，C 点应设计在AB 的什么位置？6某港口O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口O 北偏西30°且与该港口相距20海里的A 处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v 海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t 小时与轮船相遇．(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？ (2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．§4.8 三角函数模型及解三角形应用举例解三角形应用题的一般步骤(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系． (2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型． (3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等．题型一 测量距离、高度问题例1(2013·江苏)如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C .现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m /min.在甲出发2 min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1 min 后，再从B 匀速步行到C .假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min ，山路AC 长为1260m ，经测量cos A ＝1213，cos C ＝35.①求索道AB 的长；②问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？③为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？ (1)答案 30＋30 3解析 在△P AB 中，∠P AB ＝30°，∠APB ＝15°，AB ＝60，sin15°＝sin(45°－30°)＝sin45°cos30°－cos45°sin30°＝22×32－22×12＝6－24，由正弦定理得PB sin30°＝ABsin15°，∴PB ＝12×606－24＝30(6＋2)，∴树的高度为PB ·sin45°＝30(6＋2)×22＝(30＋303)m.(2)解 ①在△ABC 中，因为cos A ＝1213，cos C ＝35，所以sin A ＝513，sin C ＝45.从而sin B ＝sin [π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C ) ＝sin A cos C ＋cos A sin C＝513×35＋1213×45＝6365. 由正弦定理AB sin C ＝ACsin B ，得AB ＝AC sin B ×sin C ＝1 2606365×45＝1 040(m)．所以索道AB 的长为1040m.②假设乙出发t 分钟后，甲、乙两游客距离为d ，此时，甲行走了(100＋50t )m ，乙距离A 处130t m ，所以由余弦定理得d 2＝(100＋50t )2＋(130t )2－2×130t ×(100＋50t )×1213＝200(37t 2－70t ＋50)，由于0≤t ≤1040130，即0≤t ≤8，故当t ＝3537min 时，甲、乙两游客距离最短．③由正弦定理BC sin A ＝ACsin B ，得BC ＝AC sin B ×sin A ＝12606365×513＝500(m)．乙从B 出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710m 才能到达C .设乙步行的速度为v m/min ，由题意得－3≤500v －71050≤3，解得125043≤v ≤62514，所以为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3min ，乙步行的速度应控制在⎣⎡⎦⎤125043，62514(单位：m/min)范围内． 题型二 测量角度问题例2 如图，在海岸A 处发现北偏东45°方向，距A 处(3－1)海里的B 处有一艘走私船．在A 处北偏西75°方向，距A 处2海里的C 处的我方缉私船奉命以103海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度，以B 处向北偏东30°方向逃窜．问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间．思维点拨 设缉私船t 小时后在D 处追上走私船，确定出三角形，先利用余弦定理求出BC ，再利用正弦定理求出时间．解 设缉私船应沿CD 方向行驶t 小时，才能最快截获(在D 点)走私船，则CD ＝103t (海里)，BD ＝10t (海里)，在△ABC 中，由余弦定理，有 BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos ∠BAC ＝(3－1)2＋22－2(3－1)·2·cos120°＝6. ∴BC ＝6(海里)．又∵BC sin ∠BAC ＝ACsin ∠ABC，∴sin ∠ABC ＝AC ·sin ∠BAC BC ＝2·sin120°6＝22，∴∠ABC ＝45°，∴B 点在C 点的正东方向上， ∴∠CBD ＝90°＋30°＝120°，在△BCD 中，由正弦定理，得BD sin ∠BCD ＝CDsin ∠CBD，∴sin ∠BCD ＝BD ·sin ∠CBD CD ＝10t ·sin120°103t ＝12.∴∠BCD ＝30°，∴缉私船沿北偏东60°的方向行驶．又在△BCD 中，∠CBD ＝120°，∠BCD ＝30°， ∴D ＝30°，∴BD ＝BC ，即10t ＝ 6. ∴t ＝610小时≈15(分钟)． ∴缉私船应沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟． 思维升华 测量角度问题的一般步骤(1)在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离； (2)用正弦定理或余弦定理解三角形；(3)将解得的结果转化为实际问题的解．题型三 利用三角函数模型求最值例3 如图，在直径为1的圆O 中，作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形，其中y >x >0.(1)将十字形的面积表示为θ的函数；(2)θ满足何种条件时，十字形的面积最大？最大面积是多少？ 思维点拨 由题图可得：x ＝cos θ，y ＝sin θ.列出面积函数后，利用三角函数性质求解，注意θ的范围． 解 (1)设S 为十字形的面积，则S ＝2xy －x 2＝2sin θcos θ－cos 2θ (π4<θ<π2)；(2)S ＝2sin θcos θ－cos 2θ＝sin2θ－12cos2θ－12＝52sin(2θ－φ)－12，其中tan φ＝12， 当sin(2θ－φ)＝1，即2θ－φ＝π2时，S 最大．所以，当θ＝π4＋φ2(tan φ＝12)时，S 最大，最大值为5－12.思维升华 三角函数作为一类特殊的函数，可利用其本身的值域来求函数的最值．变式 如图为一个缆车示意图，该缆车半径为4.8米，圆上最低点与地面距离为0.8米，且60秒转动一圈，图中OA 与地面垂直，以OA 为始边，逆时针转动θ角到OB ，设B 点与地面间的距离为h . (1)求h 与θ间关系的函数解析式； (2)设从OA 开始转动，经过t 秒后到达OB ，求h 与t 之间的函数关系式，并求缆车到达最高点时用的最少时间是多少？解 (1)以圆心O 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则以Ox为始边，OB 为终边的角为θ－π2，故点B 的坐标为(4.8cos(θ－π2)，4.8sin(θ－π2))， ∴h ＝5.6＋4.8sin ⎝⎛⎭⎫θ－π2. (2)点A 在圆上转动的角速度是π30弧度/秒，故t 秒转过的弧度数为π30t ，∴h ＝5.6＋4.8sin ⎝⎛⎭⎫π30t －π2，t ∈[0，＋∞)．到达最高点时，h ＝10.4米．由sin ⎝⎛⎭⎫π30t －π2＝1，得π30t －π2＝π2，∴t ＝30秒， ∴缆车到达最高点时，用的最少时间为30秒．课堂练习：1．已知△ABC ，C 为坐标原点O ，A (1，sin α)，B (cos α，1)，α∈⎝⎛⎦⎤0，π2，则当△OAB 的面积达到最大值时，α＝______.答案 π2解析 ∵S ＝1－12×1×sin α－12×1×cos α－12(1－cos α)(1－sin α)＝12－12sin αcos α ＝12－14sin2α. ∴当α＝π2时，S 取到最大值．3．某人向正东方向走x km 后，向右转150°，然后朝新方向走3km ，结果他离出发点恰好是3km ，那么x 的值为________． 答案 3或2 3解析 如图所示，设此人从A 出发，则AB ＝x ，BC ＝3，AC ＝3，∠ABC ＝30°， 由余弦定理得(3)2＝x 2＋32－2x ·3·cos30°，整理，得x 2－33x ＋6＝0，解得x ＝3或2 3.4．如图所示，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°且相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB 前往B 处救援，则cos θ等于________．答案 2114解析 在△ABC 中，AB ＝40，AC ＝20，∠BAC ＝120°，由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos120°＝2800，所以BC ＝207. 由正弦定理，得sin ∠ACB ＝AB BC ·sin ∠BAC ＝217.由∠BAC ＝120°，知∠ACB 为锐角，故cos ∠ACB ＝277.故cos θ＝cos(∠ACB ＋30°)＝cos ∠ACB cos30°－sin ∠ACB sin30°＝2114.4.8 三角函数模型及解三角形应用举例作业1．如图为一半径是3m 的水轮，水轮的圆心O 距离水面2m ．已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P 到水面的距离y (m)与时间x (s)满足函数关系y ＝A sin(ωx ＋φ)＋2(ω>0，A >0)，则ω＝________，A ＝________.答案 2π153 解析 每分钟转4圈，每圈所需时间T ＝604＝15. 又T ＝2πω＝15，∴ω＝2π15，A ＝3. 2．甲、乙两楼相距20米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是________________．答案 203米、4033米 解析 如图，依题意有甲楼的高度为AB ＝20·tan60°＝203(米)，又CM＝DB ＝20(米)，∠CAM ＝60°，所以AM ＝CM ·1tan60°＝2033(米)，故乙楼的高度为CD ＝203－2033＝4033(米)． 3.如图所示，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个观测点C 与D ，测得∠BCD ＝15°，∠BDC ＝30°，CD ＝30m ，并在点C 处测得塔顶A 的仰角为60°，求塔高AB .解 在△BCD 中，∠CBD ＝180°－15°－30°＝135°，由正弦定理，得BC sin ∠BDC ＝CD sin ∠CBD，所以BC ＝30sin30°sin135°＝15 2 (m)． 在Rt △ABC 中，AB ＝BC ·tan ∠ACB ＝152tan60°＝15 6 (m)．所以塔高AB 为156m.4．某渔船在航行中不幸遇险，发出呼叫信号，我海军舰艇在A 处获悉后，立即测出该渔船在方位角为45°，距离为10nmile 的C 处，并测得渔船正沿方位角为105°的方向，以10nmile/h 的速度向某小岛B 靠拢，我海军舰艇立即以103nmile/h 的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔船所需的时间．解 如图所示，设所需时间为t 小时，则AB ＝103t ，CB ＝10t .在△ABC 中，根据余弦定理，则有AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos120°，可得：(103t )2＝102＋(10t )2－2×10×10t cos120°.整理得：2t 2－t －1＝0，解得t ＝1或t ＝－12(舍去)． 所以舰艇需1小时靠近渔船，此时AB ＝103，BC ＝10. 在△ABC 中，由正弦定理得：BC sin ∠CAB ＝AB sin120°， 所以sin ∠CAB ＝BC ·sin120°AB ＝10×32103＝12. 所以∠CAB ＝30°.所以舰艇航行的方位角为75°.5.某运输装置如图所示，其中钢结构ABD 是AB ＝BD ＝l ，∠B ＝π3的固定装置，AB 上可滑动的点C 使CD 垂直于地面(C 不与A ，B 重合)，且CD 可伸缩(当CD 伸缩时，装置ABD 随之绕D 在同一平面内旋转)，利用该运输装置可以将货物从地面D 处沿D →C →A 运送至A 处，货物从D 处至C 处运行速度为v ，从C 处至A 处运行速度为3v .为了使运送货物的时间t 最短，需在运送前调整运输装置中∠DCB ＝θ的大小．(1)当θ变化时，试将货物运行的时间t 表示成θ的函数(用含有v 和l 的式子表示)；(2)当t 最小时，C 点应设计在AB 的什么位置？解 (1)在△BCD 中，∵∠BCD ＝θ，∠B ＝π3，BD ＝l ， ∴BC ＝l sin (2π3－θ)sin θ，CD ＝3l 2sin θ， ∴AC ＝AB －BC ＝l －l sin (2π3－θ)sin θ， 则t ＝AC 3v ＋CD v ＝l 3v －l sin (2π3－θ)3v sin θ＋3l 2v sin θ(π3<θ<2π3)． (2)t ＝l 6v (1－3cos θsin θ)＋3l 2v sin θ＝l 6v ＋3l 6v ·3－cos θsin θ. 令m (θ)＝3－cos θsin θ，θ∈(π3，2π3)，则m ′(θ)＝1－3cos θsin 2θ. 令m ′(θ)＝0，得cos θ＝13，设cos θ0＝13，θ0∈(π3，2π3)， 则θ∈(π3，θ0)时，m ′(θ)<0；当θ∈(θ0，2π3)时，m ′(θ)>0，∴当cos θ＝13时，m (θ)取得最小值22，此时BC ＝6＋48l . 故当BC ＝6＋48l 时货物运行时间最短. 6某港口O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口O 北偏西30°且与该港口相距20海里的A 处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v 海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t 小时与轮船相遇．(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．规范解答解 (1)设相遇时小艇的航行距离为S 海里， 则S ＝900t 2＋400－2·30t ·20·cos (90°－30°) ＝900t 2－600t ＋400＝900(t －13)2＋300.[4分] 故当t ＝13时，S min ＝103，v ＝10313＝30 3.[6分] 即小艇以303海里/小时的速度航行，相遇小艇的航行距离最小．[7分](2)设小艇与轮船在B 处相遇．则v 2t 2＝400＋900t 2－2·20·30t ·cos(90°－30°)，故v 2＝900－600t ＋400t2.[9分] ∵0<v ≤30，∴900－600t ＋400t 2≤900，即2t 2－3t ≤0，解得t ≥23.[10分] 又t ＝23时，v ＝30， 故v ＝30时，t 取得最小值，且最小值等于23.[12分] 此时，在△OAB 中，有OA ＝OB ＝AB ＝20.故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30°，航行速度为30海里/小时．[14分]。