复杂二次分式函数极值的快速解法

解题秘诀二次函数最值的4种解法二次函数是高中数学中的一个重要知识点，掌握了解题的秘诀和方法，就可以更好地解决与二次函数相关的各种问题。

本文将介绍四种解法来求解二次函数的最值问题。

一、二次函数的最值根据导数解法要求解二次函数的最值，可以通过求导数的方法来解决。

具体步骤如下：1. 将二次函数表示为一般式：f(x) = ax^2 + bx + c。

2. 对函数进行求导，得到导函数：f'(x) = 2ax + b。

3.导函数表示了二次函数的斜率，要求函数的最值，就是要求导函数为零点时的x值。

4. 解方程2ax + b = 0，求得x = -b / 2a。

5.将求得的x值代入二次函数，计算得到对应的y值。

6.x和y的值就是二次函数的最值。

二、二次函数的最值根据顶点法解法顶点法也是求解二次函数的最值的一种方法，具体步骤如下：1. 将二次函数表示为一般式：f(x) = ax^2 + bx + c。

2.求出二次函数的顶点坐标，顶点的x值为-x/2a。

3.将求得的x值代入二次函数，计算得到对应的y值。

4.x和y的值就是二次函数的最值。

三、二次函数的最值根据平移法解法平移法是一种通过平移变换求解二次函数最值的方法，具体步骤如下：1. 将二次函数表示为一般式：f(x) = ax^2 + bx + c。

2.将二次函数表示为顶点形式：f(x)=a(x-h)^2+k，其中(h,k)为顶点坐标。

3.根据函数的几何性质，二次函数的最值就是顶点的纵坐标k。

四、二次函数的最值根据因式分解解法因式分解是一种求解二次函数最值的常用方法，具体步骤如下：1. 将二次函数表示为一般式：f(x) = ax^2 + bx + c。

2.将二次函数进行因式分解：f(x)=a(x-x1)(x-x2)，其中x1和x2为二次函数的两个零点。

3.根据函数的几何性质，二次函数的最值为x轴与二次函数的拐点处的纵坐标。

通过以上四种解法，我们可以灵活地解决二次函数的最值问题。

关于函数极值的高效解题技巧在数学的学习中，函数极值问题是一个重要且具有一定难度的知识点。

掌握高效的解题技巧不仅能帮助我们在考试中取得好成绩，更能提升我们的数学思维能力。

下面，让我们一起来探讨一下函数极值的高效解题技巧。

一、函数极值的定义与概念首先，我们要明确函数极值的定义。

函数的极值是指在函数定义域内的某一点，其函数值大于（或小于）该点附近所有点的函数值。

极大值和极小值统称为极值。

理解极值的概念需要注意以下几点：1、极值是局部概念，是在某个局部区间内的最大值或最小值。

2、极值点不一定是导数为零的点，导数为零的点也不一定是极值点。

3、函数在区间端点处一般不考虑极值。

二、求函数极值的必要条件要找到函数的极值点，通常需要先求出函数的导数。

导数为零的点可能是极值点，但这只是必要条件，而非充分条件。

例如，对于函数 f(x) ＝ x³，其导数 f'（x) ＝ 3x²，当 f'（x) ＝ 0 时，x ＝ 0 。

但 x ＝ 0 并不是函数的极值点。

三、判断极值点的充分条件在求出导数为零的点后，我们需要进一步判断这些点是否为极值点。

常用的方法有：1、一阶导数判别法设函数 f(x) 在 x₀处可导，且 f'（x₀) ＝ 0 。

若在 x₀的左侧导数为正，右侧导数为负，则 x₀为极大值点；若在 x₀的左侧导数为负，右侧导数为正，则 x₀为极小值点。

2、二阶导数判别法设函数 f(x) 在 x₀处二阶可导，且 f'（x₀) ＝ 0 ，f'＇（x₀) ≠ 0 。

若 f'＇（x₀) ＜ 0 ，则 x₀为极大值点；若 f'＇（x₀) ＞ 0 ，则 x₀为极小值点。

四、求函数极值的步骤下面是求函数极值的一般步骤：1、求出函数的定义域。

2、对函数求导，得到导函数 f'（x) 。

3、令 f'（x) ＝ 0 ，求出导函数的零点。

4、利用上述判别法判断这些零点是否为极值点。

高考数学如何解决复杂的函数极值问题在高考数学中，函数极值问题是一个重要的考点。

解决复杂函数极值问题需要掌握一定的数学知识和解题技巧。

本文将从数学知识的应用和解题方法两个方面，介绍如何解决复杂的函数极值问题。

一、数学知识的应用在解决复杂函数极值问题时，我们需要运用以下数学知识：1. 导数的概念和性质：导数可以表示函数在某一点的变化率，通过导数可判断函数在某一点的极值和临界点。

掌握导数的计算、导数的性质和导数的应用是解决函数极值问题的基础。

2. 极值的判定条件：对于给定的函数，如果函数在某一点的导数等于零或不存在，那么这个点可能是函数的极值点。

通过求导并令导数等于零，可以找到函数极值点的候选值。

3. 函数的单调性：在函数的极值问题中，还需要考虑函数的单调性。

如果函数在某个区间上单调递增或单调递减，那么该区间的端点可能是函数的极值点。

以上是解决复杂函数极值问题所必须掌握的数学知识，下面将介绍解题方法。

二、解题方法解决函数极值问题可以分为以下几个步骤：1. 确定函数的定义域：首先需要确定函数的定义域，即函数存在的取值范围。

对于定义域内的函数，才能进行极值的分析和计算。

2. 求函数的导数：根据函数的表达式，求出函数的导数。

导数代表函数在某一点的变化率，可以给出函数的极值点的候选值。

3. 求导数为零的点：将函数的导数等于零，求解方程得到导数为零的点。

这些点称为函数的临界点，它们可能是函数的极值点。

4. 判断极值点：通过判断函数在临界点附近的单调性，确定临界点是否为函数的极值点。

对于单调递增的函数，极小值点可能在临界点的左侧；而对于单调递减的函数，极大值点可能在临界点的右侧。

5. 确定极值：根据函数的定义域以及在临界点处的极值情况，确定函数的极值。

通过以上步骤，我们可以解决复杂的函数极值问题。

需要强调的是，在解题过程中，要注意对函数的定义域、导数和极值点进行合理的分析，灵活运用数学方法，尽量简化计算，提高解题的效率。

高中数学中的二次函数求解二次方程与二次函数极值的技巧二次函数是高中数学中一个重要的内容，它们在各个学科领域都有广泛的应用。

求解二次方程和求取二次函数的极值是解决二次函数问题的两个基本技巧。

本文将介绍一些在高中数学中用于求解二次方程和求取二次函数的极值的常用技巧，帮助学生更好地理解和掌握这些概念。

一、求解二次方程的技巧一般来说，二次方程的标准形式为：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为实数且a不等于0。

我们可以通过以下技巧来解决二次方程问题。

1.使用因式分解法当二次方程可以因式分解时，我们可以利用这一性质来求解。

例如，对于方程x^2 - 5x + 6 = 0，我们可以将其写成(x - 2)(x - 3) = 0的形式，从而得到方程的两个解x = 2和x = 3。

2.使用配方法对于那些无法直接因式分解的二次方程，我们可以使用配方法来求解。

该方法通过将二次方程转化为完全平方的形式，从而得到方程的解。

例如，对于方程x^2 + 6x + 9 = 0，我们可以将其写成(x + 3)^2 = 0的形式，从而得到方程的解x = -3。

3.使用求根公式当无法使用因式分解或配方法时，我们可以使用求根公式来求解二次方程。

二次方程的通解可以通过公式x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)来表示。

例如，对于方程x^2 - 2x - 3 = 0，我们可以代入a = 1、b = -2、c =-3，利用求根公式计算得到方程的两个解x = 3和x = -1。

二、求取二次函数的极值的技巧二次函数的标准形式为：f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为实数且a不等于0。

我们可以通过以下技巧来求取二次函数的极值。

1.使用二次函数的顶点公式二次函数的顶点公式表达式为x = -b / (2a)，y = f(-b / (2a))，其中x表示顶点的横坐标，y表示顶点的纵坐标。

顶点是二次函数的极值点，通过这一公式可以直接计算出极值点的坐标。

第2讲 二次型分式函数求最值知识与方法我们把y =一次函数二次函数、y =二次函数一次函数、y =二次函数二次函数统称为“二次型分式函数”，这些函数求最值的方法是类似的，通常有均值不等式法、判别式法、求导法等，下面通过例题详细分析这些方法是如何使用的.典型例题【例题】函数211x x y x −+=−()1x >的最小值为________.【解析】解法1（均值不等式法）：令1t x =−，则0t >，1x t =+，所以()()2211111113t t t t y t tt t +−++++===++≥+=，当且仅当1t t =，即1t =时取等号，此时2x =，从而函数211x x y x −+=−()1x >的最小值为3.解法2（判别式法）：将211x x y x −+=−变形为()211y x x x −=−+，整理得：()2110x y x y −+++=①，将式①看出关于x 的一元二次方程，其判别式()()21410y y ∆=+−+≥，解得：1y ≤−或3y ≥，因为1x >，所以10x −>，210x x −+>，从而0y >，故3y ≥，注意到当2x =时，3y =，所以函数211x x y x −+=−()1x >的最小值为3.解法3（求导法）：设()211x x f x x −+=−()1x >，则()()()221x x f x x −'=−，所以()02f x x '>⇔>，()012f x x '<⇔<<，从而()f x 在()1,2上，在()2,+∞上，故()()min 23f x f ==.【答案】3 变式1 函数211x y x x −=−+()1x >的最大值为________.【解析】解法1（均值不等式法）：令1t x =−，则0t >，1x t =+，所以()()22111131111t t y t t t t t t ===≤=+++−++++， 当且仅当1t t =，即1t =时取等号，此时2x =，从而函数211x y x x −=−+()1x >的最大值为13.解法2（判别式法）：将211x y x x −=−+变形成()211y x x x −+=−， 整理得：()2110yx y x y −+++=①，当0y ≠时，把①看成关于x 的一元二次方程，其判别式()()21410y y y ∆=−+−+≥⎡⎤⎣⎦，解得：113y −≤≤，注意到当2x =时，13y =，所以函数211x y x x −=−+()1x >的最大值为13. 解法3（求导法）：设()211x f x x x −=−+()1x >，则()()()2221x x f x x x −'=−+，所以()012f x x '>⇔<<，()02f x x '<⇔>，从而()f x 在()1,2上，在()2,+∞上，故()()max 123f x f ==.【答案】13变式2 函数22221x x y x x −+=−+()1x >的最小值为________.【解析】解法1（均值不等式法）：由题意，()()22222112211111x x x x x x y x x x x x x −+−−−+−===−−+−+−+，令1t x =−，则0t >，1x t =+，且()()221211111131111t t y t t t t t t =−=−=−≥=+++−++++， 当且仅当1t t =，即1t =时取等号，此时2x =，从而函数22221x x y x x −+=−+()1x >的最小值为23.解法2（判别式法）：将22221x x y x x −+=−+变形为()22122y x x x x −+=−+，整理得：()()21220y x y x y −+−+−=，当1y ≠时，将该方程看成关于x 的一元二次方程，其判别式()()()224120y y y ∆=−−−−≥，解得：223y ≤≤()1y ≠， 注意到当2x =时，23y =，所以函数22221x x y x x −+=−+()1x >的最小值为23.解法3（求导法）：设()22221x x f x x x −+=−+()1x >，则()()()2221x x f x x x −'=−+，所以()02f x x '>⇔>，()012f x x '<⇔<<，从而()f x 在()1,2上，在()2,+∞上，故()()min 223f x f ==. 【答案】23【反思】从上面的几个例子可以看到，y =一次函数二次函数、y =二次函数一次函数、y =二次函数二次函数这三种“二次型分式函数”求最值的方法是类似的，在三种方法的选择上，一般首选均值不等式法，判别式法和求导法作为备选方案. 变式3函数y =的最大值为________.【解析】设t ，则1t ≥，221x t =−，且211444t y t t t ===≤=++，当且仅当4t t =，即2t =时取等号，此时x =，所以函数y =14.【答案】14变式4函数y =________.【解析】设t ，则2t ≥，224x t =−，且222115411t y x x t t t====+++++， 易得函数()1t t tϕ=+在[)2,+∞上，所以()()min522t ϕϕ==，故函数25y x =+的最大值为25. 【答案】25强化训练1.（★★）函数21x y x =−()1x >的最小值为________.【解析】解法1（均值不等式法）：设1t x =−，则0t >，1x t =+，且()22212112241t x t t y t x t t t +++====++≥=−，当且仅当1t t =，即1t =时取等号，此时2x =，所以函数21x y x =−()1x >的最小值为4.解法2（判别式法）：将21x y x =−变形成()21y x x −=，整理得：20x yx y −+=①，将式①看成关于x 的一元二次方程，则其判别式240y y ∆=−≥，所以0y ≤或4y ≥，因为1x >，所以0y >，从而4y ≥，注意到当2x =时，4y =，所以函数21x y x =−()1x >的最小值为4.解法3（求导法）：设()21x f x x =−()1x >，则()()()221x x f x x −'=−，所以()02f x x >⇔>，()012f x x '<⇔<<，从而()f x 在()1,2上，在()2,+∞上，故()()min 24f x f ==.【答案】42.（★★）函数221x x y x −+=+在[]0,4上的最小值为________.【解析】解法1（均值不等式法）：设1t x =+，则1x t =−，因为04x ≤≤，所以15t ≤≤，且()()22211223443311t t x x t t y t x t t t −−−+−+−+====+−≥=+，当且仅当4t t =，即2t =时取等号，此时1x =，所以函数221x x y x −+=+在[]0,4上的最小值为1.解法2（判别式法）：将221x x y x −+=+变形成()212y x x x +=−+，整理得：()2120x y x y −++−=①，将式①看成关于x 的一元二次方程，则其判别式()()21420y y ∆=+−−≥，解得：7y ≤−或1y ≥，因为04x ≤≤，所以10x +>，220x x −+>，从而0y >，故1y ≥，注意到当1x =时，1y =，所以函数221x x y x −+=+在[]0,4上的最小值为1.解法3（求导法）：设()221x x f x x −+=+()04x ≤≤，则()()()()2311x x f x x +−'=+，所以()014f x x '>⇔<≤，()001f x x '<⇔≤<，从而()f x 在[)0,1上，在(]1,4上，故()()min 11f x f ==.【答案】13.（★★★）函数2211x x y x x ++=−+的值域为________.【解析】解法1（均值不等式法）：由题意，()2222212121111x x x x x xy x x x x x x −++++===+−+−+−+，当0x =时，1y =；当0x ≠时，2111y x x=++−，易求得12x x +≤−或12x x +≥， 所以113x x +−≤−或111x x +−≥，从而220131x x−≤<+−或20211x x <≤+−，所以113y ≤<或13y <≤，综上所述，函数2211x x y x x ++=−+的值域为1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦.解法2（判别式法）：()22221111x x y y x x x x x x ++=⇒−+=++−+，整理得：()()21110y x y x y −−++−=①，当1y =时，0x =；当1y ≠时，方程①可以看成关于x 的一元二次方程，则其判别式()()221410y y ∆=+−−≥，解得：133y ≤≤()1y ≠，综上所述，函数2211x x y x x ++=−+的值域为1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【答案】1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦4.（★★★）函数2sin 12sin x y x=+02x π⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭的最大值为________.【解析】设sin t x =，则212t y t =+，因为02x π≤≤，所以01t ≤≤， 当0t =时，0y =；当01t <≤时，1142y t t=≤=+，当且仅当12t t =，即2t =时等等号，此时4x π=，所以函数2sin 12sin xy x=+02x π⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭的最大值为4. 【答案】45.（★★★）函数22y x =+的最大值为________.【解析】设t =，则1t ≥，且211112t y t t t ====≤=++，当且仅当1t t =，即1t =时取等号，此时0x =，所以函数y =12.【答案】1 26.（★★★）函数y=的最小值为________.【解析】设1t=+，则1t≥，()211x t=−+，所以()22211124332444t t ty tt t t⎡⎤−+−−+⎣⎦====+−≥−=−，当且仅当32tt=，即t=y=的最小值为4.【答案】−4。

二次函数最值问题及其解决方法首先，我们可以通过求导数的方法来找到二次函数的极值。

对于一个一般形式的二次函数 $f(x)=ax^2+bx+c$，其中 $a \neq 0$，我们可以先求出它的导数 $f'(x)=2ax+b$。

通过求导数，可以得到函数的极值点。

当导数 $f'(x)$ 为零时，即 $2ax+b=0$，解出 $x$ 的值，并代入原函数$f(x)$ 中，即可得到函数在该点上的最大值或最小值。

举个例子来说明，设有一个二次函数 $f(x)=2x^2+3x-2$，我们可以先求出它的导数 $f'(x)=4x+3$。

将导数设置为零，得到 $4x+3=0$，解得$x=-\frac{3}{4}$。

将 $x=-\frac{3}{4}$ 代入原函数 $f(x)$ 中，得到$f(-\frac{3}{4})=\frac{31}{8}$。

所以函数在 $x=-\frac{3}{4}$ 处取得最小值 $\frac{31}{8}$。

其次，我们也可以通过二次函数的图像特征来找到二次函数的最大值和最小值。

我们知道，二次函数的图像是一个开口朝上或开口朝下的抛物线。

如果二次函数的系数$a>0$，那么它的抛物线开口朝上，此时二次函数的最小值就是抛物线的顶点的纵坐标值；如果二次函数的系数$a<0$，那么它的抛物线开口朝下，此时二次函数的最大值就是抛物线的顶点的纵坐标值。

下面我们以一个具体的例子来说明这种方法。

考虑一个二次函数$f(x)=x^2-4x+3$。

我们可以求出该二次函数的顶点坐标，并判断它的开口方向。

先求导数$f'(x)=2x-4$，将导数设置为零，得到$2x-4=0$，解得$x=2$。

将$x=2$代入原函数$f(x)$中，得到$f(2)=-1$。

所以函数的最小值为$-1$。

通过分析二次函数$f(x)$，我们可以发现系数$a=1>0$，所以抛物线开口朝上，这也验证了我们的结论。

高中数学解二次函数求极值和最值的技巧和分析二次函数在高中数学中占据着重要的地位，它的求极值和最值是我们学习的重点内容之一。

本文将通过具体的例题，详细介绍解二次函数求极值和最值的技巧和分析，帮助高中学生和他们的父母更好地掌握这一知识点。

首先，我们来看一个简单的例题：已知函数f(x) = x^2 - 2x + 1，求f(x)的最小值。

要求函数的最小值，我们需要先找到函数的极值点。

根据二次函数的性质，当二次函数的导数等于0时，函数的极值点就出现了。

所以，我们首先需要求出f(x)的导数。

f'(x) = 2x - 2。

将f'(x) = 0带入，得到2x - 2 = 0，解得x = 1。

这就是函数f(x)的极值点。

接下来，我们需要判断这个极值点是函数的最小值还是最大值。

这可以通过二次函数的凹凸性来确定。

二次函数的凹凸性由二次项的系数决定，当二次项系数大于0时，函数开口向上，为凹函数，极值点为最小值；当二次项系数小于0时，函数开口向下，为凸函数，极值点为最大值。

回到我们的例题，函数f(x) = x^2 - 2x + 1的二次项系数为1，大于0，因此函数是凹函数，极值点x = 1是最小值。

通过这个例题，我们可以总结出求二次函数极值和最值的一般步骤：1. 求出函数的导数；2. 令导数等于0，解方程得到极值点；3. 判断二次函数的凹凸性，确定极值点是最小值还是最大值。

接下来，我们来看一个稍微复杂一些的例题：已知函数g(x) = -2x^2 + 4x + 3，求g(x)的最大值。

同样地，我们首先求出函数g(x)的导数。

g'(x) = -4x + 4。

令g'(x) = 0，得到-4x + 4 = 0，解得x = 1。

这是函数g(x)的极值点。

然后，我们需要判断这个极值点是最大值还是最小值。

由于函数g(x)的二次项系数为-2，小于0，所以函数是凸函数，极值点x = 1是最大值。

通过这个例题，我们可以看到，求二次函数极值和最值的步骤是相同的，只是需要注意函数的凹凸性来确定极值点的性质。

二次函数的极值求法攻略求二次函数的极值是中考热点，往往出现在压轴题中，多与面积、利润、成本等相结合。

其攻略途径为：第一，写出二次函数的解析式并化为顶点式；第二，确定自变量的取值范围，画出大致形状，范围内的用实线，外的用虚线；第三，判定x =ab2-是否在其范围内，若在，则极值为顶点纵坐标；若不在，就要根据其增减性求极值。

y=a x 2+b x +c (a,b,c 是常数，且a ≠0)= 2)2(ab x a -+a b ac 442-，顶点坐标为（-a b 2，a b ac 442-），对称轴为x =-ab2。

一、当x =-a b 2在自变量范围内时，当x =-ab2时，最值为y =a b ac 442-。

二、当x=-ab2不在自变量范围内时1、 若≤≤x m n 〈-ab2（n m 〈）（1）当0〉a 时，开口向上，在对称轴的左边y 随x 的增大而减小，所以当x =m 时，y 最大；当x =n 时，y 最小。

（2）当0〈a 时，开口向下，在对称轴的左边y 随x 的增大而增大，所以当x =m 时，y 最小；当x =n 时，y 最大。

2、若-ab2〈≤≤x m n （n m 〈） （1）当0〉a 时，开口向上，在对称轴的右边y 随x的增大而增大，所以当x =m 时，y 最小；当x =n 时，y 最大。

（2）当0〈a 时，开口向下，在对称轴的右边y 随x 的增大而减小，所以当x =m 时，y 最大；当x =n 时，y 最小。

三、举例1、当22x -≤≤时，求函数223y x x =--的最大值和最小值．2、当12x ≤≤时，求函数21y x x =--+的最大值和最小值．3、当0x ≥时，求函数(2)y x x =--的取值范围．4、当1t x t ≤≤+时，求函数21522y x x =--的最小值(其中t 为常数)．1、某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量m(件)与每件的销售价x(元)满足一次函数1623,3054=-≤≤．m x x(1) 写出商场卖这种商品每天的销售利润y与每件销售价x之间的函数关系式；(2) 若商场要想每天获得最大销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？2、（湖北武汉）某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天l80元时，房间会全部住满．当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲．宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用．根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元．设每个房间的房价每天增加x元(x为10的正整数倍)．(1) 设一天订住的房间数为y，直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；(2) 设宾馆一天的利润为w元，求w与x的函数关系式；(3) 一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大? 最大利润是多少元?3、（安徽省中中考）春节期间某水库养殖场为适应市场需求，连续用20天时间，采用每天降低水位以减少捕捞成本的办法，对水库中某种鲜鱼进行捕捞、销售。

“二次函数最值”4种解法
二次函数作为初中函数知识板块中最复杂的函数，无论是平常的考试中，还是中考中都占据非常重要的位置。

作为初三数学学习中的一个重点，也是难点，在平常的考试，乃至中考中占有很大的比重，尤其是在大型考试的最后三题中，必有一题是二次函数的综合题。

在学习二次函数过程中，我们时常会碰见一类题目，试图让你求竖直线段最大值，抑或三角形面积最大值，我们常用的解题伎俩是几何问题代数化，从而将问题得到完美的转化，只不过在求解的过程中，对于逻辑性不是很好的同学思考路程难免有些长！
但就近几年的各地中考试卷来看，求面积的最值问题在压轴题中比较常见，而且通常与二次函数相结合，一般作为中考的压轴题存在。

可在实际的学习中，无数学生一提到二次函数，都会异口同声的说二次函数太难了！在考试里一做到二次函数的压轴题就一脸茫然，怀疑自己到底有没有学过二次函数。

针对这一现状，今天，老师就特地为大家整理了一份“二次函数最值”4种解法，并附有例题+解析，介绍几种不同的解题方法，供同学们参考，都掌握了之后一定会在压轴题上有一个大的提升。

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二次分式函数最值的求解—-根判别式法函数最值的求解方法有:反函数、单调性、导数等方法.针对二次分式函数的最值求解适用于判别式的方法.二次分式函数的形式为:ax2+bx+cpx2+qx+r(px2+qx+r=0).若要运用根判别式法,要求定义域D为R,然后分式函数整理成整式,利用根判别式,注意二次项系数的讨论.否则(定义域不为R),则要分离参数.如果函数中有根式,一般先换元(包括三角换元,所有换元的前提是不能改变变量的范围).在圆锥曲线中,根判别式法还有应用.假设直线和圆锥曲线有交点,意味两者联立消元得到后的二次函数有实数解.即, ≥0.还有在圆锥曲线中的“点差法”的应用1.根的判别式只适用于判断实系数一元二次方程根的情况.复数不适用.注意,不能忽视对方程ax2+bx+c=0中a的讨论.1.求函数y=2x+√1−2x的最值2.1.1求函数y=x+4√1−x的值域.1.2求函数y=x+√1−x2的值域.解析:已知某两数的平方和大于、小于或者等于某数,或已知定义域区间为对称的,可以用三角换元.比如下面这2题:1.3设x2+y2≤2,求函数f(x,y)=|x2−2xy−y2|的最大值.1.4已知x2+4(y−1)2=4,求x2+y2的最值.1.5(平方法化简为二次函数)已知函数y=√1−x+√x+3,求y的最大值和最小值.1.6求函数y=x+x(2−x)的最大值和最小值.1.7求函数y=√x+√1−x的最大值和最小值.2.实数x,y满足4x2−5xy+4y2=5.设s=x2+y2,求s的最大值和最小值3.3.(2010江苏14)将边长为1的正三角形薄片,沿一条平行于底边的直线剪成两块,其中一块是梯形,记S=(梯形边长)2/(梯形面积),则S的最小值是?4.已知p3+q3=2,其中p,q是实数,求p+q的最大值.4解析和总结:凡是题目中出现或者隐含两个变量p+q,pq的形式,都可以转化为二次函数利用根判别式进行求解最值.1点差法是由弦的两端点坐标代入圆锥曲线的方程,得到两个等式相减,可得一个与弦的斜率及中点相关的式子,再结合有关条件来求解.当题目涉及弦的中点、斜率或借助曲线方程中变量的取值范围求其他变量的范围时,一般都可以用“点差法”来求解.这种方法对有关点的坐标设而不求,充分发挥整体思想25/43化简成关于x/y的二次函数,利用根判别式方法.10/3;10/134此题关键在于构建二次函数,设s=p+q,立方和展开表示成p+q的二次函数,得到pq=f(s),则利用韦达定理构建关于s的二次函数,p,q为两个根,再利用根判别式定理.5.求函数y =x 2−x +12x 2−2x +3的值域.类似的题型:求函数y =x 2−x x 2−x +1的值域.5.1求函数y =ax 2+x +1x +1(x >−1,a >0)的最小值.解析:分子分母分离系数,利用均值不等式.注意条件的验证.6.当实数t 为何值时,一元二次方程x 2+3ix +t 2−2=0,(i 为虚数单位)有实数根？5解析:因为根判别式不适用于复数方程.进行参变分类,转化为x 2+3ix =2−t 2,方程右边为实数,则左边的复数项为0,得到2−t 2=0.7.已知方程sin 2x +2cosx −2m −1=0有实数根,求m 的取值范围6.8∗.已知直线y =(a +1)x −1与曲线y 2=ax 恰有一个公共点,求实数a 的值.解析:直线与二次曲线只有一个交点并不一定相切.不能等价转化为二次函数的根存在问题. =0只是该问题的一个充分不必要条件.可以转化为方程组解的个数模型,实质就为参数a =0?;a +1=0?的讨论问题,要求达到的条件是只有一个根-1,0,-4/5.9.已知函数y =log 2(x 2+ax +2);(1)当函数的定义域为R 时,求a 的取值范围.(2)当函数的值域为R 时,求a 的取值范围.解析:判别式的几何意义是函数与x 轴的交点个数.(1)通过 <0转化为恒成立的问题.(2)利用反证法来理解.x 2+ax +2能取到一切正数,等价于 ≥0.10.已知函数f (x )=ax 2−2x (0≤x ≤1).求f (x )的最小值g (a ).11(利用反函数法).讨论函数y =10x +10−x10x −10−x的定义域和值域.利用反函数的方法表示102x 求解值域y .127.求函数y =x 2(1−3x )在[0,13]时的最大值.12.1求函数f (x )=2x 3+3x 2−12x +14在[-3,4]上的最大值和最小值.13.若实数x ,y 满足|x |+|y |=5,求t =x 2+y 2−2x 的最值.解析:利用数形结合+线性规划.t =x 2+y 2−2x 可以认为是圆的方程.它表示一个同心圆簇,半径为√t +1.13.1求函数v =sinucosu +sinu +cosu 的最大值.解析:利用换元法,令cosu =x ,sinu =y ,有x 2+y 2=1.则转化为点(x ,y )在单位圆x 2+y 2=1上运动,xy +x +y −v =0在y 轴上的截距v 的最大值.(v 视为常数)13.2已知x 2+y 2−2x +4y −20=0,求x 2+y 2的最值.14.已知正数x ,y ,满足x +2y =1,求1x +1y的最小值.5注意根判别式法适用的条件,不能在复数方程中,系数不能保证都为实数.6换元后转化为二次函数注意定义域的同步变化7求导法。