2021届浙江省新高考测评第一模拟考试数学试题一、单选题1．已知集合12M x x ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭，{}11N x x =-≤≤，则M N =（ ）A ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎤⎥⎝⎦C ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】B【分析】根据集合交集的概念及运算，即可求解.【详解】由题意，集合12M x x ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭，{}11N x x =-≤≤，根据集合交集的概念及运算，可得112M N x x ⎧⎫⋂==<≤⎨⎬⎩⎭. 故选：B. 2．已知复数231z i =-（i 为虚数单位），则z 的虚部是（ ） A ．15i - B ．35i - C ．15-D ．35【答案】D【分析】先化简求出z ，即可得出虚部. 【详解】由题意得：()()()23121331313155i z i i i i +===----+，则z 的虚部为35． 故选：D3．已知椭圆2224x y +=上一点P 到其左焦点F 的距离为1，则PF 的中点M 到坐标原点O 的距离为（ ） A ．3 B ．32C ．1D ．12【答案】B【分析】由椭圆定义求得P 到右焦点1F 的距离，由中位线定理得112OM PF =，从而可得结论．【详解】易知椭圆的标准方程为22142x y +=．设椭圆的长轴长为2a ，则2a =，设椭圆的右焦点为1F ，连接1PF ， 则由椭圆的定义得123PF a PF =-=．在1PFF 中，易知OM 为1PFF 的中位线，所以11322OM PF ==， 故选：B ．4．若实数x ，y 满足不等式组10,210,240,x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，且z x y =-，则max min z z -=（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】A【分析】作出可行域，作出目标函数对应的直线，平移该直线得最大值和最小值，从而得结论．【详解】作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，其中()3,2A --，()1,2B -，()1,0C ．在直线z x y =-中，y x z =-，z -表示直线的纵截距．作出直线y x =并平移，数形结合知当平移后的直线经过点()1,2B -时，z 取得最小值，且min 123z =--=-；当平移后的直线经过点()1,0C 时，z 取得最大值，且max 101z =-=．所以()max min 134z z -=--=.故选：A ．5．已知a ，b 是实数，则“1a >且1b >”是“1ab a b +>+”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据充分必要条件的关系,结合不等式性质即可判断. 【详解】当1a >且1b >时,()()()1110ab a b a b +-+=-->,即1a >且1b >时1ab a b +>+成立.当1ab a b +>+时,即()()()1110ab a b a b +-+=-->解得1a >且1b >,或1a <且1b <综上可知, “1a >且1b >”是“1ab a b +>+”的充分不必要条件 故选:A【点睛】本题考查了不等式比较大小,充分必要条件的关系及判断,属于基础题. 6．已知函数()f x 的图象如图所示，则()f x 的解析式可能是（ ）A ．()1sin 1x x e f x x e +=⋅-B ．()1sin 1x x e f x x e +=⋅-C ．()1cos 1x x e f x x e +=⋅-D ．()1cos 1x x f x x e e +=⋅-【答案】D【分析】确定函数的奇偶性，特殊的函数值及函数值的正负排除错误选项，得正确结论． 【详解】由题意可知函数()f x 的定义域为{}0x x ≠，其图象关于坐标原点对称，故函数()f x 是奇函数，而选项A 中的函数是偶函数，故排除选项A ；又()π0f ≠，故可排除选项B ；又当()0,x ∈+∞时，()0f x ≥，当(),0x ∈-∞时，()0f x ≤，故排除选项C ． 故选：D ．【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.7．已知随机变量X 的分布列是（ ）则下列说法正确的是（ ） A ．对任意的a ，10,2b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()116E X ≤ B ．存在a ，10,2b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()18E X > C ．对任意的a ，10,2b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()()D X E X < D ．存在a ，10,2b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()18D X >【答案】C【分析】求得()E X 的表达式，由此确定AB 选项的正确性.求得()D X 的表达式，利用差比较法确定CD 选项的正确性. 【详解】由题意可知a ，10,2b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，12a b +=，所以12b a =-，所以()1022E X ab ab ab =+⨯+==2211222811248a a a a a ⎛⎫=- -⎪⎛⎫-=-≤⎪+⎝⎭ ⎭⎝，故选项A ，B 错误． 由方差的计算公式得()()()222222111222222D X a a aa a a a a a a⎛⎫⎛⎫=-+⋅-+-⋅+--+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭243423111111424222222222a a a a a a a a a a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-=-+-+-⎢⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦122a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭2124a a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，所以()()2111122222422D X E X a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--+--=- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2324a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭．因为10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以1202a a ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，()233221044a a a a --=--<，所以()()0D X E X -<，()()18D XE X <≤，故选项C 正确，选项D 错误． 故选：C8．已知F 是双曲线E ：()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点，直线43y x =与双曲线E交于A ，B 两点，O 为坐标原点，AF ，BF 的中点分别为P ，Q ，若0OP OQ ⋅=，则双曲线E 的离心率为（ ） A．BC．D．【答案】A【分析】设A 位于第一象限，由0OP OQ ⋅=，得到OP OQ ⊥，连接2AF ，得到22AOF AF F ∠=∠，根据题意得到4tan 3AOF ∠=，求得21tan 2AF F ∠=，得出22cos sin AF F AF F ∠∠，的值，结合双曲线的定义和离心率的计算公式，即可求解.【详解】如图所示，不妨设点A 位于第一象限，因为0OP OQ ⋅=，所以OP OQ ⊥， 设2F 为双曲线E 的左焦点，连接2AF ，因为O ，P ，Q 分别为AB ，AF ，BF 的中点，所以//OQ AF ，2//OP AF ， 所以290FAF ∠=︒，所以2OA OF OF==，所以22AOF AF F ∠=∠，又直线AB 的方程为43y x =，所以4tan 3AOF ∠=，所以22222tan 4tan tan 21tan 3AF F AOF AF F AF F ∠∠=∠==-∠，得21tan 2AF F ∠=，所以2cos 5AF F ∠=2sin 5AF F ∠=，所以222cos 255AF FF AF F c c =⨯∠=⨯=， AF=22sin 2FF AF F c ⨯∠==，由双曲线的定义可知22AF AF a -==， 所以双曲线E的离心率ce a==． 故选：A【点睛】求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法：1、定义法：通过已知条件列出方程组，求得,a c 得值，根据离心率的定义求解离心率e ；2、齐次式法：由已知条件得出关于,a c 的二元齐次方程，然后转化为关于e 的一元二次方程求解；3、特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.9．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，已知ABC 是边长为1的等边三角形，12AA =，E ，F 分别在侧面11AA B B 和侧面11AAC C 内运动（含边界），且满足直线1AA 与平面AEF 所成的角为30°，点1A 在平面AEF 上的射影H 在AEF 内（含边界）．令直线BH 与平面ABC 所成的角为θ，则tan θ的最大值为（ ）A ．(323+B ．33C 3D ．(323【答案】A【分析】点H 为1A 在平面AEF 上的射影，得1A HAH ⊥，首先得H 在以1AA 为直径的球面上．1AA 与平面AEF 所成的角为30°，所以130HAA ∠=︒，过H 作11HO AA ⊥于点1O ，计算得111,,,HA HA HO AO ，知H 在圆锥1AO 的底面圆周上，再由H 在AEF 内（含边界），得H 在三棱柱111ABC A B C -及其内部，其轨迹是以1O 为圆心，1O H 为半径的圆中圆心角为60°的圆弧，且H 在底面ABC 上的射影H '的轨迹（以A 为圆心，3为半径的一段圆弧），HBH θ'=∠，求出tan HH BH θ'='得BH '最小时，tan θ最大，由点与圆的位置关系可得结论．【详解】因为点H 为1A 在平面AEF 上的射影，所以1A H ⊥平面AEF ，连接AH ，则1A HAH ⊥，故H 在以1AA 为直径的球面上．又1AA 与平面AEF 所成的角为30°，所以130HAA ∠=︒，过H 作11HO AA ⊥于点1O ，如图1所示，则易得11HA =，3HA =，132HO =，132AO =，所以H 在如图2所示的圆锥1AO 的底面圆周上，又H 在AEF 内（含边界），故H 在三棱柱111ABC A B C -及其内部，其轨迹是以1O 为圆心，1O H 为半径的圆中圆心角为60°的圆弧，且H 在底面ABC 上的射影H '的轨迹（以A 为圆心，3为半径的一段圆弧）如图3所示，连接BH '，易知直线BH 与平面ABC 所成的角HBH θ'=∠，且13tan 2O A HH BH BH BH θ'==='''，故当BH '最小时，tan θ最大，A 是圆弧圆心，则当H '在AB 上时，BH '最小，最小值为323122--=，所以()()max 3tan 323223θ=⨯=+-． 故选：A ．【点睛】关键点点睛：本题考查直线与平面所成的角，解题关键是确定动点的轨迹，利用球面的性质，圆锥的性质，可得轨迹是圆弧，并得出其在底面上的射影，由射影的定义得出线面角，并求出其正切值，分析后可得最值． 10．已知正项数列{}n a 满足110,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()()2*11ln 2n n n a a a n N +-=∈，则（ ）A ．对任意的*n N ∈，都有01n a <<B ．对任意的*n N ∈，都有10n n a a +≥>C ．存在*n N ∈，使得112n n a a +<D ．对任意的*n N ∈，都有112n n a a +≥【答案】D【分析】特值法可以排除A 、B 选项，再令()()()ln 11f x x x x =+->-，可求出函数的单调性，从而可以得出212n n n a a a +≤，再根据累乘法可得112n n a a +≥，由此得出答案． 【详解】解：∵110,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴可取112a e =， 则由()211ln 2nn n a a a +-=得22211ln ln 14a a e e-==-， ∴22121ln 014a a a e=>⇒>>，故选项A ，B 错误； 令()()()ln 11f x x x x =+->-，则()1111x f x x x -'=-=++， 故()f x 在()1,0-上单调递增，在()0,∞+上单调递减，∴()()00f x f ≤=，即()ln 1x x ≤+，当且仅当0x =时等号成立，∴()()21111ln 2ln 21121n n n n n n n a a a a a a a +++-==+-≤-，即212n n n a a a +≤，∴112n n a a +≥，累乘可得11211112n n n n n n a a a a a a a a ++-⋅⋅⋅⋅=≥， ∴112n n a a +≥，故选项C 错误，选项D 正确． 故选：D ．【点睛】关键点点睛：本题主要考查数列与不等式，解题的关键是构造函数()()()ln 11f x x x x =+->-，从而得到212nn n a a a +≤，进一步用累乘法可以得到112n n a a +≥，考查了转化与化归思想，考查数学运算能力，属于中档题．二、填空题11．某省派出由4名医生、5名护士组成的医疗小组前往疫区支援，要求将这9名医护人员平均派往某地的A ，B ，C 3家医院，且每家医院至少要分到一名医生和一名护士，则不同的分配方案有______种．（用数字作答） 【答案】1080【分析】假设A 医院分配的是2名医生1名护士，则B ，C 医院均分配1名医生2名护士，求出此时的方法数，再计算总共的不同的分配方案.【详解】由题可知，4名医生要分配到3家医院，且每家医院至少有一名医生，则必有一家医院有2名医生，其余2家医院各有1名医生．假设A 医院分配的是2名医生1名护士，则B ，C 医院均分配1名医生2名护士，则分配方案有21124524C C C C 360=（种），故不同的分配方案有36031080⨯=（种）． 故答案为：1080【点睛】方法点睛：排列组合常用的方法有：一般问题直接法、相邻问题捆绑法、不相邻问题插空法、特殊对象优先法、等概率问题缩倍法、至少问题间接法、复杂问题分类法、小数问题列举法.要根据已知灵活选择方法求解.12．已知平面向量a ，b ，c 满足23a a b b ==-=，()()2c a c b -⋅-=-．若存在实数λ，使得c a λ-取得最小值，则λ的值为______． 【答案】34【分析】记a GA =，b GB =，c GC =，a b GD +=，建立直角坐标系，求出设(),C x y ，求出各向量的坐标，结合已知条件求出点C 的轨迹方程，从而确定何时c a λ-取得最小值，进而可求出λ的值.【详解】记a GA =，b GB =，c GC =，a b GD +=，则四边形OADB 为平行四边形，∵23a a b b ==-=，∴OADB 为菱形，且,60a b =︒，如图建立直角坐标系．设(),C x y ，则())()(),,0,3,0,3A BG D -，所以()3,3a =--，()3,3b =-，(),3c x y =-，则()()3,,3,c a x y c b x y -=+-=-，则()()(22232x x y x c c b y a -⋅+=-+-==-，即221x y +=，所以点C 在以原点为圆心，1为半径的圆上，设E 在AG 所在的直线上，且GE a λ=，c a λ-可看作是EC ，即圆上一点到直线AG 的距离，当CE AG ⊥时，该距离最小，此时cos303GE OG =︒==3cos30OG GA ===︒所以34GE GA λ===故答案为：34【点睛】关键点睛:本题考查了向量的线性运算，考查了向量数量积的坐标表示，考查了向量的共线定理.本题的关键是建立坐标系后，结合已知条件求出C 的轨迹方程.13．已知不等式11ln a x a x e x x-+≥对任意()0,1x ∈恒成立，则实数a 的最小值为___________. 【答案】e -【分析】先将不等式11ln a xe x xx a -≥-变形为11ln ln x x a a x e e x -≥-， 再构造函数()()ln 0f x x x x =->，利用函数单调性可得，1a x e x ≥，再分离参数转化为 ()101ln a x x x≥<<，然后求出函数()()()ln 0,1h x x x x =∈的最小值，即解出． 【详解】由题意，不等式可变形为11ln a xe x xx a -≥-， 得11ln ln x x a a x e e x -≥-对任意()0,1x ∈恒成立. 设()ln f x x x =-，则1()ax f e f x ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭对任意()0,1x ∈恒成立，()111x f x x x-'=-=， 当01x <<时，()0f x '<，所以函数()f x 在()0,1上单调递减， 当1x >时，()0f x '>，所以函数()f x 在()1,+∞上单调递增. 当()0,1x ∈时，1x e e >，因为求实数a 的最小值，所以考虑0a <的情况，此时1a x >， 因为函数()f x 在()1,+∞上单调递增，所以要使()1a x f e f x ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，只需1a x e x ≥， 两边取对数，得上1ln a x x≥， 由于()0,1x ∈，所以1ln a x x≥. 令()()()ln 0,1h x x x x =∈，则()ln 1h x x '=+， 令()0h x '=，得1=x e， 易得()h x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增， 所以()min 11h x h e e ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，所以()max 1e h x ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，所以a e ≥-， 所以实数a 的最小值为e -. 故答案为：e -【点睛】关键点睛：求解不等式问题的关键：（1）适当变形，灵活转化，结合题设条件，有时需要对不等式进行“除法”变形，从而分离参数，有时需要进行移项变形，可使不等式两边具有相同的结构特点；（2）构造函数，利用导数求解，若分离参数，则直接构造函数，并借助导数加以求解，若转化为不等式两边具有相同的结构特点，则可根据该结构特点构造函数，并借助导数加以求解.三、双空题 14．已知π1sin 43α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则πcos 4α⎛⎫-= ⎪⎝⎭______，sin 2α=______．【答案】1379-【分析】由诱导公式直接求得cos 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭，然后诱导公式变形sin 2α，然后由余弦的二倍角公式计算． 【详解】ππππ1cos cos sin 42443ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+=⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦． 2217sin 2cos 2cos 22cos 12124439πππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=--=⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．故答案为：13；79-.15．由于柏拉图及其追随者对正多面体有系统深入的研究，因此我们把正多面体又称为柏拉图多面体．如图，网格中小正方形的边长为1，粗线画出的是某柏拉图多面体的三视图，则该多面体的表面积为______，体积为______．【答案】163323【分析】由三视图知原几何体是正八面体，根据三视图尺寸可计算出表面积和体积． 【详解】由三视图可知，该多面体是棱长为22的正八面体，其中每个面的面积为()2322234⨯=，所以该多面体的表面积为163，体积为()2132222233⨯⨯⨯=． 故答案为：163；323.16．已知523450123451322x a a x a x a x a x a x ⎛⎫-=+++++ ⎪⎝⎭，则2a =______，123452345a a a a a ++++=______．【答案】13516-52【分析】由二项式定理求得2x 的系数得2a ，已知等式两边同时求导，然后令1x =可得123452345a a a a a ++++．【详解】由二项式定理知，2332513135C 2216a ⎛⎫⎛⎫=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．对已知等式两边同时求导可得42341234511352345222x a a x a x a x a x ⎛⎫⨯-=++++ ⎪⎝⎭，令1x =，得12345523452a a a a a ++++=． 故答案为：13516-；52. 【点睛】关键点点睛：本题考查二项式定理，考查赋值法的应用，在二项展开式中求与系数有关的和时，常常用赋值法求解，观察和的形式，有时可能对已知展开式进行求导又得出另一等式，赋值后又可得出一些系数有关的和．17．如图，在平行四边形ABCD 中，E 为AB 上一点，AC 与DE 交于点O ，已知2AD =，7DE =，60DAE ∠=︒，21sin 7ACB ∠=，则AE AB =______，DOC ∠=______．【答案】34120° 【分析】在DAE △中，由余弦定理可知3AE =,进而在ABC 中,由内角和定理得()sin sin 120CAB ACB ∠=∠+︒2114=,由正弦定理得4AB =,27AC =故34AE AB =;再根据AOE △与COD △相似得477DO =，877CO =，4DC =，进而由余弦定理可知，1cos 2DOC ∠=-，故120DOC ∠=︒. 【详解】在DAE △中，2AD =，7DE =60DAE ∠=︒，由余弦定理可知2222cos DE AD AE AD AE DAE =+-⋅∠， 即:2724AE AE =-+,解得:3AE =．因为四边形ABCD 为平行四边形，所以2BC AD ==，120ABC ∠=︒．又sin 7ACB ∠=，所以cos ACB ∠= 所以()()sin sin 180sin 120CAB ACB ABC ACB ∠=︒-∠+∠=∠+︒⎡⎤⎣⎦1727214⎛⎫=⨯-+⨯=⎪⎝⎭，由正弦定理可知sin 4sin 7BC AB ACB CAB =⋅∠==∠，sin120sin 14BC AC CAB =⋅︒=∠=故34AE AB =． 在平行四边形ABCD 中，由AOE △与COD △相似，所以47DO DE ==477CO AC ==，4DC AB ==， 故在COD △中，由余弦定理可知，1cos 2DOC ∠=-，故120DOC ∠=︒． 故答案为：34；120°. 【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，解题的关键是根据题意，将问题放在特定三角形ABC 中，利用边角关系结合正弦定理得4AB =,AC =解借助三角形相似，放到COD △，结合余弦定理求解.四、解答题18．已知函数()2π2sin cos 62f x x x x ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭． （1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）设锐角ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知()14f A =，1a =，求ABC 的面积的取值范围．【答案】（1）ππππ,62122k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈；（2）12⎛ ⎝⎦.【分析】（1）把函数利用二倍角公式、两角和的正弦公式化为一个角的一个三角函数形式，然后结合sin y x =的单调性求()f x 的增区间；（2）由(A)f 求得A 角，利用正弦定理把,b c 用sin ,sin B C 表示，从而求得ABCS，并转化为B 的函数，注意转化为一个角的一个三角函数形式，由锐角三角形及A 角大小求得B 角范围，从而得面积的范围． 【详解】（1）由题意知()2πcos 21π32sin cos sin 26222x f x x x x x ⎛⎫++ ⎪⎛⎫⎝⎭=++-=⋅+- ⎪⎝⎭111πcos 22sin 2sin 2cos 2sin 22224423x x x x x x ⎫⎛⎫=-+=+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭． 令ππ2π,π32x k k ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈，则ππππ,62122k k x ⎡⎤∈-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈， 所以()f x 的单调递增区间为ππππ,62122k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈． （2）因为()14f A =，所以1π1sin 2234A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以π1sin 232A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以ππ22π36A k +=+或5π2π6k +，k Z ∈，即ππ12A k =-+或ππ4k +，k Z ∈．又ABC 为锐角三角形，故π4A =，因为1a =，所以由正弦定理可知，b B =，c C =．所以11πsin sin sin sin 222224ABC S bc A B C B C B B ⎛⎫==⨯==+ ⎪⎝⎭△()()21111cos 21sin sin cos sin sin cos sin 222222B B B B B B B B -⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭()11π1sin 2cos 2sin 244444B B B ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭．因为ABC 是锐角三角形，所以π0,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3π0,42C B π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，所以ππ,42B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以ππ3π2,444B ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，π2sin 2,142B ⎛⎤⎛⎫-∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦，所以2π1112sin 2,44424ABC S B ⎛⎤+⎛⎫=-+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦△． 【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数的恒等变换，考查三角函数的性质，正弦定理等．解题方法一般是由二倍角公式降幂，由辅助角公式化函数为()sin()f x A x ωϕ=+形式，然后结合正弦函数性质求解单调性、对称性、周期性、最值等等． 19．如图，在四棱锥P ABCD -中，已知//AB CD ，122AB AD CD ===，23PA =，10PB =，60BAD ∠=︒，PAB PAD ∠=∠，E 为PD 上的动点．（1）探究：当PEPD为何值时，//PB 平面AEC ？ （2）在（1）的条件下，求直线AE 与平面ABCD 所成角的正弦值．【答案】（1）当13PE PD =时，//PB 平面AEC ，理由见解析；（2）34. 【分析】（1）当13PE PD =时，//PB 平面AEC ．连接BD ，与AC 交于点O ，连接OE ，证明//PB EO 即得证；（2）证明PG ⊥平面ABCD ，易知GA ，GB ，GP 两两垂直，故可以以G 为坐标原点，分别以GA ，GB ，GP 所在直线为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 利用向量法求出直线AE 与平面ABCD 所成角的正弦值．【详解】（1）当13PE PD =时，//PB 平面AEC ．理由如下： 如图，连接BD ，与AC 交于点O ，连接OE ，因为12//AB DC ，所以AOB COD ∽，12BO DO =， 当12PE DE =，即13PE PD =时，有//PB EO ， 又EO ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ， 所以//PB 平面AEC ．（2）取BD 的中点G ，连接PG ，AG ，因为PAB PAD ∠=∠，2AD AB ==，PA PA =，所以PAB PAD △△≌， 所以10PB PD ==，所以PG BD ⊥．因为2AB AD ==，60BAD ∠=︒，所以2BD =，AG BD ⊥，3AG =，1DG BG ==，所以223PG PB BG =-=． 又23PA =，所以222PA PG AG =+，所以PG AG ⊥． 因为BD AG G ⋂=，所以PG ⊥平面ABCD ．易知GA ，GB ，GP 两两垂直，故可以以G 为坐标原点，分别以GA ，GB ，GP 所在直线为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则()3,0,0A，()0,1,0D -，()0,0,3P ．由（1）可知()2220,1,30,,2333DE DP →→⎛⎫=== ⎪⎝⎭，故10,,23E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以13,,23AE →⎛⎫=- ⎪⎝⎭．易知平面ABCD 的一个法向量为()0,0,1n =．设直线AE 与平面ABCD 所成的角为θ，则3sin cos ,4AE n θ→→===， 即直线AE 与平面ABCD 所成角的正弦值为34． 【点睛】方法点睛：直线和平面所成的角的求法：方法一：（几何法）找→作（定义法）→证（定义）→指→求（解三角形），其关键是找到直线在平面内的射影作出直线和平面所成的角和解三角形.方法二：（向量法）sin AB nAB nα→→→→=，其中AB →是直线l 的方向向量，n →是平面的法向量，α是直线和平面所成的角.20．已知递增的等差数列{}n a 的前n 项和是n S ，且满足4223a a =-，2S 是11S -与42S +的等比中项．（1）求数列{}na 的通项公式； （2）若nb =121122n b b b n ++⋅⋅⋅+<+． 【答案】（1）43n a n =+；（2）证明见解析.【分析】（1）由等比中项定义得出等式，并用1a 和公差d 表示，结合4223a a =-，可解得1,a d ，得通项公式；（2）由（1）得n b ，利用基本不等式放缩为14322n n n b ++≤+，然后用错位相减法对不等式右边式子求和．得和n T 的不等关系，从而证得结论成立． 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为4223a a =-，所以()11323a d a d +=+-，即13a d =+．又2S 是11S -与42S +的等比中项，所以()()221412S S S =-+，即()()()211121462a d a a d +=-++，即()()()23621014d d d +=++，解得4d =或2d =-．因为{}n a 为递增数列，所以0d >，所以4d =，137a d =+=．故43n a n =+．（2）由（1）得114343132222n n n n n b +++⎛⎫==≤++=+ ⎪⎝⎭． 令23171143222n n n T ++=++⋅⋅⋅+，则2711432222n nn T +=++⋅⋅⋅+， 两式相减得12311111711143743422441222222212n n n n n n n n n T T T -++⎛⎫- ⎪++⎛⎫⎝⎭=-=+++⋅⋅⋅+-=+⨯- ⎪⎝⎭-11141122n n ++=-， 所以121114111122222n n n b b b n n ++++⋅⋅⋅+≤+-<+． 【点睛】本题考查求等差数列的通项公式，错位相减法求和．放缩法是证明数列不等式的常用方法（目的是为求和），数列求和的常用方法： 设数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，（1）公式法：等差数列或等比数列的求和直接应用公式求和； （2）错位相减法：数列{}n n a b 的前n 项和应用错位相减法； （3）裂项相消法；数列1{}n n ka a +（k 为常数，0n a ≠）的前n 项和用裂项相消法； （4）分组（并项）求和法：数列{}n n pa qb +用分组求和法，如果数列中的项出现正负相间等特征时可能用并项求和法；（5）倒序相加法：满足m n m a a A -+=（A 为常数）的数列，需用倒序相加法求和． 21．如图，已知抛物线()220y px p =>，过点()(),00P m m >的直线交抛物线于A ，B 两点，过点B 作抛物线的切线交y 轴于点M ，过点A 作AN 平行PM 交y 轴于点N ，交直线BM 于点Q ．（1）若1p m ==，求AB 的最小值；（2）若AOB 的面积为1S ，MNQ △的面积为2S ，求12S S 的值． 【答案】（1）22（2）2.【分析】（1）设直线AB ：x ty m =+，211,2y A y p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,2y B y p ⎛⎫⎪⎝⎭，联立直线与抛物线方程，列出韦达定理，表示出弦长，即可求出弦长的最小值； （2）不妨设点B 位于x 轴下方，由2y px =-，求出导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线BM 的方程，即可求出M 的坐标，再表示出直线AN 的方程，求出N 的坐标，则21214S m y y =-，11212S m y y =-，即可得解； 【详解】解：（1）由题意可知，直线AB 的斜率不为0，故可设直线AB ：x ty m =+，211,2y A y p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,2y B y p ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 联立，得2,2,x ty m y px =+⎧⎨=⎩，得2220y pty pm --=，所以12122,2.y y pt y y pm +=⎧⎨=-⎩因为1p m ==，所以12122,2,y y t y y +=⎧⎨=-⎩ 所以()22222121212114148AB t y y t y y y y t t =+-=++-=++()()22212t t =++易知()()22122t t ++≥，故22AB ≥，当且仅当0t =时，等号成立．故AB 的最小值为（2）不妨设点B位于x轴下方，由y=，得122py py'=-⋅==．因为直线BM与抛物线相切，所以直线BM的斜率2BMpky=，故直线BM的方程为22222222y yp py x y xy p y⎛⎫=-+=+⎪⎝⎭，令0x=，得22yy=，所以20,2yM⎛⎫⎪⎝⎭，则22202PMyykm m-==--．又//AN PM，所以22AN PMyk km==-，所以直线AN的方程为2221212112224y y y y yy x y x ym p m mp⎛⎫=--+=-++⎪⎝⎭，令0x=，得21214y yy ymp=+，故21214Ny yy ymp=+．又122y y pm=-，所以2121142Ny y yy ymp=+=，所以10,2yN⎛⎫⎪⎝⎭，连接PN，则11222222PN BMpmyy y pk km m m y-=====---，所以//PN BM，又//AN PM，所以四边形MQNP是平行四边形，所以1221211122224QMN MNP N My yS S S OP y y OP m y y ===⋅-=⋅-=-△△．又易知112121122AOBS S OP y y m y y==⋅-=-△，所以122SS=．【点睛】(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．22．已知函数()()lnxxef x a x x=+-，a R∈．（1）当1a =时，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程； （2）讨论函数()f x 的零点个数． 【答案】（1）11y e=-；（2）答案不唯一，见解析. 【分析】（1）求出导函数()'f x ，得切线斜率(1)f '，从而可得切线方程；（2）定义域是(0,)+∞，在0a ≤时直接由函数()f x 的解析式确定无零点（需用导数证明ln 0x x -<），在1a >时，由导函数()'f x ，得单调性，确定函数的最大值为(1)f ，根据(1)f 的正负分类讨论．在(1)0f >时，通过证明()0f a <和1()0f a<，得零点个数．【详解】（1）当1a =时，()ln x x e f x x x =+-，()111f e=-，()111xe xf x x -'=+-，()10f '=，所以曲线()y f x =在1x =处的切线方程为11y e=-． （2）函数()f x 的定义域为()0,∞+，()()1111111e e e x x x x x x a f x a a x x x x ---⎛⎫⎛⎫'=+-=+⋅=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． ①当0a =时，()0ex xf x =>，()f x 无零点． ②当0a >时，10e x ax+>，令()0f x '>，得01x <<，令()0f x '<， 得1x >，所以()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，所以()f x 有最大值()11ef a =-． 当10ea -<，即1e >a 时，()f x 无零点．当10e a -=，即1a e =时，()f x 只有一个零点． 当10a e ->，即10a e<<时，()10f >，()()ln a ae f a a a a =+-，令()ln 1g x x x =-+，则()111xg x x x-'=-=，则()g x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，所以()()max 10g x g ==，所以()ln 10g x x x =-+≤，因此当10a e <<时，ln 1a a -<-，()()1ln 1a a aa a f a a a a a a e e e ⎛⎫=+-<-=- ⎪⎝⎭． 因为0a >，所以1a e >，于是()110a f a a e ⎛⎫<-<⎪⎝⎭． 又()f x 在()0,1上单调递增，()10f >，且1a <，所以()f x 在()0,1上有唯一零点．1111111ln ln 1a aa a f a a a a a e a e ⎛⎫⎛⎫=+-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当10a e<<时，1e a >，令()2e x h x x =-，其中x e >，则()2xh x e x '=-，令()2xx e x ϕ=-，x e >，则()20xx e ϕ'=->， 所以()h x '在(),e +∞上单调递增，()20eh x e e '>->，所以()h x 在(),e +∞上单调递增，()20eh x e e >->，故当x e >时，2x e x >．因为1e a >，所以211ae a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即11aa e a <，所以111ln 1ln 1aa f a a a a a a e ⎛⎫=--<-- ⎪⎝⎭．由ln 10x x -+≤，得11ln 10a a -+<，即1ln 10a a--+<，得ln 10a a a --<，于是10f a ⎛⎫<⎪⎝⎭． 又()10f >，11a>，()f x 在()1,+∞上单调递减，所以()f x 在()1,+∞上有唯一零点．故10ea <<时，()f x 有两个零点． ③当0a <时，由ln 10x x -+≤，得ln 10x x -≤-<，则()ln 0a x x ->，又当0x >时，0e xx>，所以()0f x >，()f x 无零点． 综上可知，0a ≤或1a e >时，()f x 无零点；1a e =时，()f x 只有一个零点；10a e<<时，()f x 有两个零点．【点睛】关键点点睛：本题考查导数的几何意义，考查用导数研究函数的零点个数．解题关键是求出函数的导数()'f x ，由()'f x 确定单调性和最值，本题在最大值(1)f 0>的情况下，通过证明()f a 0<和10f a ⎛⎫< ⎪⎝⎭，结合零点存在定理得出零点个数．难度较大，对学生的要求较高，属于困难题．。
