微积分北京大学出版社课后详解

习题1 —1解答1. 设 f(x,y)xyx11x，求 f ( x, y), f (, ), f (xy,),- 1 f(x, y) yx y y 解 f( x, y) xy-；f(-,-y x y )1-；f(xy,-) x 2 x y2y ;1 y 丿xyf(x,y) 2xy x 2. 设 f (x, y)In xIn y ，证明：f(xy,uv) f(x,u) f(x,v)f(y,u)f(y,v)f(xy,uv) In(xy) In(uv) (Inx In y)(1 nu Inv) Inx Inu In x Inv Iny Inu In y Inv f(x,u) f(x,v) f(y,u) f(y,v)（1）f(x, y),1 x 2 ,y 21;(2)f(x,y)\i'4x 2y .In(1 x 2 2/ y )(3)f(x, y)1 x2 a 22 y b 22z . 2; c (4) f(x, y,z)、x、y -z1 x2 2y2z3.求下列函数的定义域，并画出定义域的图形:解（1）D1,y 1{(x, y) x(2) D(x, y) 0 yx 24.求下列各极限:5.证明下列极限不存在:则 H m 3 lim^3;x 20x 0x y x 0x 2x如果动点P(x, y)沿x 2y 趋向(0,0)，贝y limy 0 x 2y(3) D2x(x,y)~ra(4) D(x, y,z)x0,y2y2y b 2I1zxyJxy(2xy1 xy 1 0 1y 2 0 (1)H xyxxyvxxy\1(1) r X y lim ; x 0 x yy 0lim 飞；0x y 2 (xy)2(1) 证明如果动点P(x,y)沿y2x 趋向(0,0)x yxynxylim 2x 0 x 2y 1 AH xy所以极限不存在。

(2)证明如果动点P(x,y)沿y x趋向(0,0)则limx 0y x 02 2x y~2~2 2 x y (x y)如果动点P(x, y)沿y 2x趋向(0,0)，则limx 0 y 2x 02 2x y~2~2 2x y (x y)"m0-^ 0x 04x x所以极限不存在。

微积分课后题答案习题详解IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】第二章习题2-11. 试利用本节定义5后面的注（3）证明：若lim n →∞x n =a ,则对任何自然数k ，有lim n →∞x n +k =a .证：由lim n n x a →∞=，知0ε∀>，1N ∃，当1n N >时，有取1N N k =-，有0ε∀>，N ∃，设n N >时（此时1n k N +>）有 由数列极限的定义得 lim n k x x a +→∞=.2. 试利用不等式A B A B -≤-说明：若lim n →∞x n =a ,则lim n →∞∣x n ∣=|a|.考察数列x n =(-1)n ，说明上述结论反之不成立.证：而 n n x a x a -≤- 于是0ε∀>，,使当时，有N n N ∃>n n x a x a ε-≤-< 即 n x a ε-<由数列极限的定义得 lim n n x a →∞=考察数列 (1)nn x =-，知lim n n x →∞不存在，而1n x =，lim 1n n x →∞=，所以前面所证结论反之不成立。

3. 利用夹逼定理证明：(1) lim n →∞222111(1)(2)n n n ⎛⎫+++ ⎪+⎝⎭=0； (2) lim n →∞2!n n =0.证：（1）因为222222111112(1)(2)n n n n n n n n n n++≤+++≤≤=+ 而且 21lim0n n →∞=，2lim 0n n→∞=， 所以由夹逼定理，得222111lim 0(1)(2)n n n n →∞⎛⎫+++= ⎪+⎝⎭. （2）因为22222240!1231n n n n n<=<-，而且4lim 0n n →∞=，所以，由夹逼定理得4. 利用单调有界数列收敛准则证明下列数列的极限存在.(1) x n =11n e +，n =1,2,…；(2) x 1x n +1,n =1,2,…. 证：（1）略。

高等数学上册教材答案北大第一章：微积分基础1.1 极限与连续1.1.1 极限的定义根据微积分基础知识，极限是函数概念的核心之一。

在数学中，我们需要明确了解极限的定义。

对于函数 f(x)，当 x 趋近于某一点 a 时，如果 f(x) 的值趋近于一个常数 L，则我们称 L 为 f(x) 在 x=a 处的极限，记作lim(x→a) f(x) = L。

1.1.2 连续的概念与性质连续是微积分中的另一个重要概念。

对于函数 f(x)，如果在某一点a 处，该函数的极限等于 f(a)，则我们称函数在点 a 处是连续的。

连续性具有以下性质：- 连续函数的和、差、积均为连续函数；- 两个连续函数的乘积仍为连续函数；- 连续函数的复合函数仍为连续函数。

1.2 导数与微分1.2.1 导数的概念导数是微积分中的重要概念之一。

对于函数 y=f(x)，如果函数在某一点 x=a 处的极限值存在，则称该极限值为函数 y=f(x) 在 x=a 处的导数，记作 f'(a) 或 df(x)/dx。

导数的计算公式包括函数的基本运算法则、常数的导数、幂函数的导数、指数函数的导数等。

1.2.2 微分的概念与应用微分是导数的一种表现形式，也是微积分的重要概念之一。

对于函数 y=f(x)，如果δx 是 x 的增量，δy 是 y 的增量，则函数 y=f(x) 的微分为 dy=f'(x)dx。

微分的应用包括切线问题、极值问题、凹凸性判定等。

第二章：函数与极限2.1 函数概念与基本运算2.1.1 函数定义与表示法函数是数学中最基本的概念之一。

函数可以通过函数定义域、值域以及对应关系进行定义。

常见的函数表示法有显式函数表示法、隐式函数表示法、参数方程表示法等。

2.1.2 函数的基本运算函数的基本运算包括函数的和、差、积、商运算。

通过研究函数的基本运算，可以帮助我们理解函数之间的关系以及求解函数的性质。

2.2 极限的思想与性质2.2.1 函数的极限函数的极限是函数概念的核心之一。

姓名，年级：时间：§2微积分基本定理已知函数f(x)＝x，F(x)＝错误!x2。

问题1:f（x）和F(x)有何关系？提示:F′(x)＝f（x)．问题2:利用定积分的几何意义求错误!x d x的值．提示：错误!x d x＝错误!。

问题3：求F(2）－F（1)的值．提示：F(2)－F（1）＝错误!×22－错误!×12＝错误!.问题4：你得出什么结论?提示：错误!f(x)d x＝F（2）－F（1)，且F′（x)＝f(x）．问题5：由错误!f(x）d x与F(2)－F（1)之间的关系,你认为导数与定积分之间有什么联系？提示：错误!f(x）d x＝F(b）－F（a），其中F′（x）＝f（x)．微积分基本定理如果连续函数f(x)是函数F(x)的导函数，即f(x)＝F′(x)，则有错误!定理中的式子称为牛顿—莱布尼茨公式，通常称F（x)是f(x)的一个原函数．在计算定积分时,常常用记号F(x）错误!来表示F（b)－F（a)，于是牛顿-莱布尼茨公式也可写作错误!f（x)d x＝F（x) 错误!＝F（b）－F（a)．微积分基本定理揭示了导数与定积分之间的关系，即求定积分与求导互为逆运算，求定积分时只需找到导函数的一个原函数，就可以代入公式求出定积分．求简单函数的定积分[例1］(1) 错误! (2x＋3）d x;(2) 错误!（cos x＋e x)d x；(3）错误!错误!d x。

[思路点拨］先求被积函数的原函数,然后利用微积分基本定理求解．[精解详析] （1）∵(x2＋3x）′＝2x＋3，∴错误! (2x＋3）d x＝（x2＋3x）错误!＝1＋3＝4。

（2）∵（sin x＋e x）′＝cos x＋e x，∴错误! (cos x＋e x）d x＝(sin x＋e x）错误!＝1－e－π.(3）∵错误!′＝2x－错误!，∴错误!错误!d x＝错误!错误!＝7＋错误!＝错误!。

[一点通] 应用微积分基本定理求定积分时，首先要求出被积函数的一个原函数，在求原函数时,通常先估计原函数的类型，然后求导数进行验证，在验证过程中要特别注意符号和系数的调整，直到原函数F(x）的导函数F′(x）＝f(x)为止（一般情况下忽略常数),然后再利用微积分基本定理求出结果．1。

第二章习题2-11. 试利用本节定义5后面的注（3）证明：若lim n →∞x n =a ,则对任何自然数k ，有lim n →∞x n +k =a .证：由lim n n x a →∞=，知0ε∀>，1N ∃，当1n N >时，有取1N N k =-，有0ε∀>，N ∃，设n N >时（此时1n k N +>）有 由数列极限的定义得 lim n k x x a +→∞=.2. 试利用不等式A B A B -≤-说明：若lim n →∞x n =a ,则lim n →∞∣x n ∣=|a|.考察数列x n =(-1)n ，说明上述结论反之不成立. 证：而 n n x a x a -≤- 于是0ε∀>，,使当时，有N n N ∃>n n x a x a ε-≤-< 即 n x a ε-<由数列极限的定义得 lim n n x a →∞=考察数列 (1)nn x =-，知lim n n x →∞不存在，而1n x =，lim 1n n x →∞=，所以前面所证结论反之不成立。

3. 利用夹逼定理证明：(1) lim n →∞222111(1)(2)n n n ⎛⎫+++ ⎪+⎝⎭=0； (2) lim n →∞2!nn =0.证：（1）因为222222111112(1)(2)n n n n n n n n n n++≤+++≤≤=+ 而且 21lim0n n →∞=，2lim 0n n→∞=，所以由夹逼定理，得222111lim 0(1)(2)n n n n →∞⎛⎫+++= ⎪+⎝⎭. （2）因为22222240!1231n n n n n<=<-，而且4lim 0n n →∞=，所以，由夹逼定理得4. 利用单调有界数列收敛准则证明下列数列的极限存在. (1) x n =11n e +，n =1,2,…；(2) x 1x n +1,n =1,2,…. 证：（1）略。

§2 微积分基本定理1.了解微积分基本定理的含义.(难点)2.会利用微积分基本定理求函数的定积分.(重点)[基础·初探]教材整理 微积分基本定理 阅读教材P 82～P 84，完成下列问题. 1.微积分基本定理如果连续函数f (x )是函数F (x )的导函数，即f (x )＝F ′(x )，则有⎠⎛a b f (x )dx ＝F (b )－F (a ).2.定积分和曲边梯形面积的关系设曲边梯形在x 轴上方的面积为S 上，x 轴下方的面积为S 下，则(1) 图4-2-1(1)当曲边梯形的面积在x 轴上方时，如图4-2-1(1)，则⎠⎛a b f (x )dx ＝S 上.(2)当曲边梯形的面积在x 轴下方时，如图4-2-1(2)，则⎠⎛ab f (x )dx ＝－S 下.(2) (3)图4-2-1(3)当曲边梯形的面积在x 轴上方、x 轴下方均存在时，如图4-2-1(3)，则⎠⎛a bf (x )dx ＝S 上－S 下，若S 上＝S 下，则⎠⎛ab f (x )dx ＝0.1.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)微积分基本定理中，被积函数f (x )是原函数F (x )的导数.( )(2)应用微积分基本定理求定积分的值时，为了计算方便通常取原函数的常数项为0.( )(3)应用微积分基本定理求定积分的值时，被积函数在积分区间上必须是连续函数.( )【答案】 (1)√ (2)√ (3)√ 2.⎠⎛02π(－sin x )dx 等于( ) A.0 B.2 C.－2D.4【解析】 ⎠⎛02π(－sin x )dx ＝cos x ⎪⎪⎪2π0＝cos 2π－cos 0＝0.【答案】 A[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：[小组合作型](1)⎠⎛12(x 2＋2x ＋3)dx ；(2)⎠⎛－π0(cos x －e x )dx ； (3)⎠⎛122x 2＋x ＋1x dx ；(4) ⎠⎛0π2 sin 2x 2dx . 【思路探究】 (1)、(2)先求被积函数的一个原函数F (x )，然后利用微积分基本定理求解；(3)、(4)则需先对被积函数变形，再利用微积分基本定理求解.【自主解答】 (1)⎠⎛12(x 2＋2x ＋3)dx＝⎠⎛12x 2dx ＋⎠⎛122xdx ＋⎠⎛123dx ＝x 33⎪⎪⎪21＋x 2⎪⎪⎪21＋3x ⎪⎪⎪21＝253.(2)⎠⎛－π0(cos x －e x )dx ＝⎠⎛－π0cos xdx －⎠⎛－π0e x dx ＝sin x ⎪⎪⎪0－π－e x ⎪⎪⎪0－π＝1e π－1.(3)2x 2＋x ＋1x ＝2x ＋1＋1x ，而(x 2＋x ＋ln x )′＝2x ＋1＋1x .∴⎠⎛122x 2＋x ＋1x dx ＝(x 2＋x ＋ln x )⎪⎪⎪21＝4＋ln 2. (4)原式＝⎠⎛0π2 12(1－cos x )dx ＝12⎠⎛0π2 (1－cos x )dx ＝12⎠⎛0π21dx －12⎠⎛0π2cos xdx ＝x 2⎪⎪⎪π20－sinx 2⎪⎪⎪π20＝π－24.求简单的定积分应注意两点：(1)掌握基本函数的导数以及导数的运算法则，正确求解被积函数的原函数，当原函数不易求时，可将被积函数适当变形后再求解；(2)精确定位积分区间，分清积分下限与积分上限.[再练一题]1.⎠⎛12x －1x 2dx ＝________. 【解析】 ⎠⎛12x －1x 2dx ＝⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1x 2dx＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋1x ⎪⎪⎪20＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 2＋12－(ln 1＋1)＝ln 2－12. 【答案】 ln 2－12(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，0≤x <π2，1，π2≤x ≤2，x －1，2<x ≤4，求⎠⎛04f (x )dx ；(2)⎠⎛02|x 2－1|dx . 【精彩点拨】 (1)按f (x )的分段标准，分成⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2，⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2，(2，4]三段求定积分，再求和.(2)先去掉绝对值号，化成分段函数，再分段求定积分. 【自主解答】 (1)⎠⎛04f (x )dx ＝⎠⎜⎛0π2sin xdx ＋⎠⎜⎛π221dx ＋⎠⎛24(x －1)dx ＝(－cos x )⎪⎪⎪⎪π20＋x ⎪⎪⎪⎪2π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－x ⎪⎪⎪42＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－π2＋(4－0)＝7－π2.(2)⎠⎛02|x 2－1|dx ＝⎠⎛01(1－x 2)dx ＋⎠⎛12(x 2－1)dx＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13x 3⎪⎪⎪10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x ⎪⎪⎪21＝2.1.本例(2)中被积函数f (x )含有绝对值号，可先求函数f (x )的零点，结合积分区间，分段求解.2.分段函数在区间[a ，b ]上的定积分可分成n 段定积分和的形式，分段的标准可按照函数的分段标准进行.3.带绝对值号的解析式，可先化为分段函数，然后求解.[再练一题]2.计算定积分：⎠⎛－33(|2x ＋3|＋|3－2x |)dx .【解】 设f (x )＝|2x ＋3|＋|3－2x |，x ∈[－3，3]，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x ，－3≤x <－32，6，－32≤x ≤32，4x ，32<x ≤3.所以⎠⎛－33(|2x ＋3|＋|3－2x |)dx ＝⎠⎜⎛-3-32(－4x )dx ＋⎠⎜⎜⎛-32326 dx ＋⎠⎜⎛3234x dx ＝－2x 2⎪⎪⎪⎪-32-3＋6x ⎪⎪⎪⎪32-32＋2x 2⎪⎪⎪⎪332＝－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫94－9＋6×⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋32＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫9－94＝45. [探究共研型]探究1 【提示】 不唯一，它们相差一个常数，但不影响定积分的值. 探究2 如何求对称区间上的定积分？【提示】 在求对称区间上的定积分时，应首先考虑函数性质和积分的性质，使解决问题的方法尽可能简便.(1)设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，若⎠⎛01f （x ）dx ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，求x 0的值；(2)已知f (x )是一次函数，其图像过点(3，4)，且⎠⎛01f （x ）dx ＝1，求f (x )的解析式.【精彩点拨】 (1)先利用微积分基本定理求出定积分⎠⎛01f （x ）dx ，然后列出关于x 0的方程，求出x 0的值.(2)设出f (x )的解析式，再根据已知条件列方程组求解. 【自主解答】 (1)因为f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)， 且⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3x 3＋cx ′＝ax 2＋c ， 所以⎠⎛01f (x )dx ＝⎠⎛01(ax 2＋c )dx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3x 3＋cx |10＝a 3＋c ＝ax 20＋c ，解得x 0＝33或x 0＝－33(舍去). (2)依题意设一次函数f (x )的解析式为 f (x )＝kx ＋b (k ≠0).∵函数图像过点(3，4)，∴3k ＋b ＝4.①∵⎠⎛01f (x )dx ＝⎠⎛01(kx ＋b )dx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2x 2＋bx |10＝k2＋b ，∴k2＋b ＝1.②由①②得，k ＝65，b ＝25， ∴f (x )＝65x ＋25.1.含有参数的定积分可以与方程、函数或不等式综合起来考查，先利用微积分基本定理计算定积分是解决此类综合问题的前提.2.计算含有参数的定积分，必须分清积分变量与被积函数f (x )、积分上限与积分下限、积分区间与函数F (x )等概念.[再练一题]3.已知⎠⎛0k (2x －3x 2)dx ＝0，则k 等于( )【导学号：94210072】A.0B.1C.0或1D.以上都不对【解析】 ∵⎠⎛0k (2x －3x 2)dx ＝(x 2－x 3)|k＝k 2－k 3， ∴k 2－k 3＝0，解得k ＝1或k ＝0(舍去)，故选B . 【答案】 B[构建·体系]微积分基本定理—⎪⎪⎪⎪—定理—定积分的计算—定积分的几何意义1.下列定积分的值等于1的是( ) A.⎠⎛01xdx B.⎠⎛01(x ＋1)dx C.⎠⎛011dx D.⎠⎛0112dx 【解析】 选项A ，因为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22′＝x ，所以⎠⎛01xdx ＝x 22⎪⎪⎪10＝12；选项B ，因为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22＋x ′＝x ＋1，所以⎠⎛01(x ＋1)dx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22＋x ⎪⎪⎪10＝32；选项C ，因为x ′＝1，所以⎠⎛011dx ＝x ⎪⎪⎪10＝1；选项D ，因为⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ′＝12，所以⎠⎛0112dx ＝12x ⎪⎪⎪10＝12.【答案】 C2. ⎠⎜⎛-π2π2 (sin x ＋cos x )dx 的值是( ) A.0 B.π4 C.2D.4【解析】 ⎠⎜⎛-π2π2 (sin x ＋cos x )dx ＝⎠⎜⎛-π2π2sin xdx ＋⎠⎜⎛-π2π2cos xdx ＝(－cos x )⎪⎪⎪⎪π2-π2＋sin x ⎪⎪⎪⎪π2-π2＝2. 【答案】 C3.计算⎠⎛01x 2dx ＝________.【导学号：94210073】【解析】 由于⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3′＝x 2，所以⎠⎛01x 2dx ＝13x 3⎪⎪⎪10＝13.【答案】 134.已知2≤⎠⎛12(kx ＋1)dx ≤4，则实数k 的取值范围为________.【解析】 ⎠⎛12(kx ＋1)dx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12kx 2＋x ⎪⎪⎪21＝(2k ＋2)－⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ＋1＝32k ＋1，所以2≤32k ＋1≤4，解得23≤k ≤2.【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，25.已知f (x )＝ax ＋b ，且⎠⎛－11f 2(x )dx ＝1，求f (a )的取值范围.【解】 由f (x )＝ax ＋b ，⎠⎛－11f 2(x )dx ＝1，得2a 2＋6b 2＝3，2a 2＝3－6b 2≥0， 所以－22≤b ≤22，所以f (a )＝a 2＋b ＝－3b 2＋b ＋32 ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫b －162＋1912， 所以－22≤f (a )≤1912.我还有这些不足：(1) (2) 我的课下提升方案：(1) (2)学业分层测评(十六)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题 1.⎠⎛241x d x 等于( ) A.－2ln 2 B.2ln 2 C.－ln 2D.ln 2【解析】 ⎠⎛241x d x ＝ln x |42＝ln 4－ln 2＝ln 2.【答案】 D2.设a ＝⎠⎛01x 13d x ，b ＝⎠⎛01x 2d x ，c ＝⎠⎛01x 3d x ，则a ，b ，c 的大小关系是( )A.a>b>cB.c>a>bC.a>c>bD.c>b>a【解析】 ∵a ＝⎠⎛01x 13d x ＝x 4343⎪⎪⎪10＝34，b ＝⎠⎛01x 2d x ＝x 33⎪⎪⎪10＝13，c ＝⎠⎛01x 3d x ＝x 44⎪⎪⎪10＝14，∴a >b >c . 【答案】 A3.(2016·东莞高二检测)已知⎠⎛01(kx ＋1)d x ＝k ，则实数k ＝( )A.2B.－2C.1D.－1【解析】 ⎠⎛01(kx ＋1)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12kx 2＋x ⎪⎪⎪10＝12k ＋1＝k ，∴k ＝2.【答案】 A4.已知f (x )＝2－|x |，则⎠⎛－12f (x )d x ＝( ) A.3 B.4 C.72D.92【解析】 因为f (x )＝2－|x |＝⎩⎨⎧2＋x ，x ≤0，2－x ，x ≥0，所以⎠⎛－12f (x )d x ＝⎠⎛－10(2＋x )d x ＋⎠⎛02(2－x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋x 22⎪⎪⎪0－1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －x 22⎪⎪⎪20＝32＋2＝72. 【答案】 C5.设f (x )＝⎩⎨⎧x 2，0≤x ＜1，2－x ，1＜x ≤2，则⎠⎛02f (x )d x ＝( )A.23B.34C.45D.56【解析】 ⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛12(2－x )d x＝13x 3⎪⎪⎪10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －12x 2⎪⎪⎪21＝13＋12＝56. 【答案】 D 二、填空题6.(2015·长沙高二检测)若f (x )＝sin x ＋cos x ， 则⎠⎜⎛-π2π2f (x )d x ＝________. 【解析】 因为f (x )＝sin x ＋cos x ，所以f (x )的一个原函数F (x )＝sin x －cos x ， 则⎠⎜⎛-π2π2 (sin x ＋cos x )d x ＝F ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π2－cos π2－⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝2. 【答案】 27.(2016·长沙高二检测)f (x )＝sin x ＋cos x ，则⎠⎜⎛-π2π2f (x )d x ＝__________. 【解析】⎠⎜⎛-π2π2f (x )d x ＝⎠⎜⎛-π2π2 (sin x ＋cos x )d x ＝(－cos x ＋sin x )⎪⎪⎪⎪π2-π2＝⎝⎛⎭⎪⎫－cos π2＋sin π2－⎣⎢⎡⎦⎥⎤－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝sin π2＋sin π2＝1＋1＝2. 【答案】 28.已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x >0，x ＋⎠⎛0a 3t 2dt ，x ≤0，若f (f (1))＝1，则a ＝__________.【导学号：94210074】【解析】 因为f (1)＝lg 1＝0，且⎠⎛0a 3t 2d t ＝t 3|a 0＝a 3－03＝a 3， 所以f (0)＝0＋a 3＝1，所以a ＝1. 【答案】 1 三、解答题9.已知f (x )＝⎠⎛－a x (12t ＋4a )d t ，F (a )＝⎠⎛01[f (x )＋3a 2]d x ，求函数F (a )的最小值.【解】 因为f (x )＝⎠⎛－a x (12t ＋4a )d t ＝(6t 2＋4at )⎪⎪⎪x－a＝6x 2＋4ax －(6a 2－4a 2)＝6x 2＋4ax －2a 2， F (a )＝⎠⎛01[f (x )＋3a 2]d x ＝⎠⎛01(6x 2＋4ax ＋a 2)d x＝(2x 3＋2ax 2＋a 2x )⎪⎪⎪10＝2＋2a ＋a 2＝(a ＋1)2＋1≥1.∴当a ＝－1时，F (a )有最小值1.10.设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，f (1)＝4，f ′(1)＝1，⎠⎛01f (x )d x ＝196，求f (x ).【解】 因为f (1)＝4，所以a ＋b ＋c ＝4，① f ′(x )＝2ax ＋b ，因为f ′(1)＝1，所以2a ＋b ＝1，② ⎠⎛01f (x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 3＋12bx 2＋cx ⎪⎪⎪1＝13a ＋12b ＋c ＝196，③由①②③可得a ＝－1，b ＝3，c ＝2. 所以f (x )＝－x 2＋3x ＋2.[能力提升]1.已知等比数列{}a n ，且a 4＋a 8＝⎠⎛024－x 2d x ，则a 6(a 2＋2a 6＋a 10)的值为( )A.π2B.4C.πD.－9π【解析】 ⎠⎛024－x 2d x 表示以原点为圆心，半径r ＝2在第一象限的面积，因此⎠⎛024－x 2d x ＝π，a 6(a 2＋2a 6＋a 10)＝a 6·a 2＋2a 6·a 6＋a 6·a 10＝a 24＋2a 4·a 8＋a 28＝(a 4＋a 8)2＝π2，故选A .【答案】 A2.如图4-2-2所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为()图4-2-2A.14 B.15 C.16D.17【解析】 因为S 正方形＝1，S 阴影＝⎠⎛01(x －x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 32－12x 2⎪⎪⎪10＝23－12＝16，所以点P 恰好取自阴影部分的概率为161＝16. 【答案】 C3.计算：⎠⎛－22(2|x |＋1)d x ＝__________.【解析】 ⎠⎛－22(2|x |＋1)d x ＝⎠⎛－20(－2x ＋1)d x ＋⎠⎛02(2x ＋1)d x ＝(－x 2＋x )|0－2＋(x 2＋x )|20 ＝－(－4－2)＋(4＋2)＝12. 【答案】 124.定义F (x ，y )＝(1＋x )y ，x ，y ∈(0，＋∞).令函数f (x )＝F (1，log 2(x 2－4x ＋9))的图像为曲线C 1，曲线C 1与y 轴交于点A (0，m )，过坐标原点O 作曲线C 1的切线，切点为B (n ，t )(n >0)，设曲线C 1在点A ，B 之间的曲线段与OA ，OB 所围成图形的面积为S ，求S 的值.【解】 ∵F (x ，y )＝(1＋x )y ， ∴f (x )＝F (1，log 2(x 2－4x ＋9)) ＝2log 2(x 2－4x ＋9)＝x 2－4x ＋9，故A (0，9)，f ′(x )＝2x －4. 又∵过O 作C 1的切线， 切点为B (n ，t )(n >0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧t ＝n 2－4n ＋9，t n＝2n －4，解得B (3，6).∴S ＝⎠⎛03(x 2－4x ＋9－2x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－3x 2＋9x ⎪⎪⎪30＝9.。