2020年广东省东莞市高考数学二模试卷(文科) (解析版)

高考数学二模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x2+x-2＜0}，集合B={x|x＞0}，则集合A∪B=（）A. {x|0＜x＜1}B. {x|x＜1}C. {x|-2＜x＜1}D. {x|x＞-2}2.若复数z满足（z+i）（2+i）=5（其中i为虚数单位），则等于（）A. 2+2iB. -2+2iC. 2-2iD. -2-2i3.已知等差数列，，，则（）B. C. D.A.4.设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=4x+2y的最大值为（）A. 12B. 10C. 8D. 65.已知，若θ是第二象限角，则tanθ的值为（）A. B. -2 C. D.6.曲线y=在点（-1，-1）处的切线方程为（）A. y=2x+1B. y=2x-1C. y=-2x-3D. y=-2x-27.若函数图象的两个相邻最高点的距离为π，则函数f（x）的一个单调递增区间为（）A. B. C. D.8.某几何体示意图的三视图如图示，已知其主视图的周长为8，则该几何体侧面积的最大值为（）A. πB. 2πC. 4πD. 16π9.欧拉三角形定义如下：△ABC的三个欧拉点（顶点与垂心连线的中点）构成的三角形称为△ABC的欧拉三角形．已知△ABC中，AB＝AC＝3，BC＝2，△ABC的垂心为P，AP，BP，CP的中点分别为A1，B1，C1，△A1B1C1即为△ABC的欧拉三角形，往△ABC中随机投掷一点，该点落在△PA1B1或△PB1C1内的概率为A. B. C. D.10.已知点F为双曲线的右焦点，定点A为双曲线虚轴的一个顶点，直线FA与双曲线的一条渐近线在y轴左侧的交点为B，若，则此双曲线的离心率是（）11.已知点P在直线x+2y-1=0上，点Q在直线x+2y+3=0上，M（x0，y0）为PQ的中点，且y0＞2x0+1，则的取值范围是（）A. B.C. D.12.已知函数f（x）=2-|x|，若关于x的不等式f（x）≥x2-x-m的解集中仅有1个整数，则实数m的取值范围为（）A. [-3，-1）B. （-3，-1）C. [-2，-1）D. （-2，-1）二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知单位向量与单位向量的夹角为120°，则=______．14.若f（x）=是奇函数，则a=______．15.已知数列{a n}满足，（n∈N*），则{a n}中最大项的值为______．16.已知矩形ABCD，AB=1，，E为AD中点，现分别沿BE、CE将三角形ABE和三角形DCE翻折，使A、D点重合，记为P点，则几何体P-BCE外接球的表面积为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且．（1）求∠B的值；（2）若a=4，，求△ABC的面积．18.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面ABB1A1是菱形，∠BAA1=60°，E是棱BB1的中点，CA=CB=1，F在线段AC上，且AF=2FC．（1）证明：CB1∥面A1EF；（2）若CA⊥CB，面CAB⊥面ABB1A1，求三棱锥C-AA1B的体积19.某网络平台从购买该平台某课程的客户中，随机抽取了100位客户的数据，并将这（）根据上表估计男性客户购买该课程学时数的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，结果保留小数点后两位）；（2）从这100位客户中，对购买该课程学时数在20以下的女性客户按照分层抽样的方式随机抽取7人，再从这7人中随机抽取2人，求这2人购买的学时数都不低于15的概率．（3）将购买该课程达到25学时及以上者视为“十分爱好该课程者”，25学时以下者视，为“非十分爱好该课程者”．请根据已知条件完成以下2×2列联表，并判断是否有99.9%的把握认为“十分爱好该课程者”与性别有关？附：，n=a+b+c+d20.已知椭圆G：=1（a＞b＞0）的离心率为，右焦点为（2，0），斜率为1的直线l与椭圆G交与A、B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P（-3，2）．（Ⅰ）求椭圆G的方程；（Ⅱ）求△PAB的面积．21.已知函数f（x）=ln x-ax2（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若f（x）≤-x恒成立，求a的取值范围．22.已知曲线C的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，过极点的两射线l1、l2相互垂直，与曲线C分别相交于A、B两点（不同于点O），且l1的倾斜角为锐角α．（1）求曲线C和射线l2的极坐标方程；（2）求△OAB的面积的最小值，并求此时α的值．23.已知函数f（x）=|x-2|-a|x+2|．（1）当a=2时，求不等式f（x）＜2的解集；（2）当x∈[-2，2]时，不等式f（x）≥x恒成立，求a的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵集合A={x|x2+x-2＜0}={x|-2＜x＜1}，集合B={x|x＞0}，∴集合A∪B={x|x＞-2}．故选：D．利用并集定义直接求解．本题考查并集的求法，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】A【解析】解：由（z+i）（2+i）=5，得z=，∴．故选：A．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.【答案】D【解析】【分析】本题考查等差数列的首项的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.利用等差数列通项公式列出方程组，能求出首项a1．【解答】解：∵等差数列{a n}，a4=9，a8=-a9，∴，解得a1=15，d=-2．故选：D．4.【答案】B【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=4x+2y得y=-2x+z，平移直线y=-2x+z，由图象可知当直线y=-2x+z经过点C时，直线y=-2x+的截距最大，由，解得，即C（2，1），代入目标函数z=4x+2y得z=4×2+2×1=10．即目标函数z=4x+2y的最大值为10．故选：B．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最大值．本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解5.【答案】C【解析】【分析】本题考查了同角三角函数的基本关系式、三角函数值的符号，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．利用sin2θ+cos2θ=1，解得a．由于θ为第二象限角，可得sinθ＞0，cosθ＜0．即可得出a 的值，进而可求tanθ的值．【解答】解：∵，∴sin2θ+cos2θ=（）2+（-）2=1，解得：a=0，或a=4，∵θ为第二象限角，∴sinθ＞0，cosθ＜0．∴a=4，∴可得：sinθ=，cosθ=-，tanθ=-．故选：C．6.【答案】A【解析】解：∵y=，∴y′=，所以k=y′|x=-1=2，得切线的斜率为2，所以k=2；所以曲线y=f（x）在点（-1，-1）处的切线方程为：y+1=2×（x+1），即y=2x+1．故选：A．欲求在点（-1，-1）处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=-1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．7.【答案】B【解析】解：∵函数图象的两个相邻最高点的距离为=π，∴ω=2，f（x）=sin（2x-）．令2kπ-≤2x-≤2kπ+，求得kπ-≤x≤kπ+，故函数的增区间为[kπ-，kπ+]，k∈Z，故选：B．由题意利用正弦函数的图象求得ω的值，可得函数的解析式，再利用正弦函数的单调性求得函数f（x）的一个单调递增区间．本题主要考查正弦函数的图象，正弦函数的单调性，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：由三视图知，该几何体为圆锥，设底面圆的半径为r，母线的长为l，则2r+2l=8，即r+l=4；∴圆锥的侧面积为S侧=，（当且仅当r=l时“=”成立）；∴圆锥的侧面积最大值为4π．故选：C．由三视图知该几何体为圆锥，设出底面圆半径和母线长，利用基本不等式求出圆锥侧面积的最大值．本题考查了圆锥的三视图与应用问题，是基础题．9.【答案】D【解析】解：以BC的中点O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则直线AC：,故直线BP：,令x=0，得，故=,则所求概率为.故选：D．根据题意，设事件A={该点落在△PA1B1或△PB1C1内}，求出事件A的测度，除以△ABC 的面积即可．本题考查了几何概型的概率求法、相似三角形的相关知识、三角形的垂心、新定义欧拉三角形等．本题属于中档题．10.【答案】B【解析】【分析】由题意可得点F（c，0），设点A（0，b），求得直线AF的方程，联立渐近线方程，本题考查了双曲线的方程和性质应用问题，主要是渐近线方程和离心率的求法，是基础题．【解答】解：由题意可得F（c，0），设A（0，b），直线FA的方程为bx+cy-bc=0，与双曲线的渐近线y=-x的交点B横坐标为x=，由=（-1），可得-c=（-1）•，化为c=a，即离心率为e==．故选B．11.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查直线斜率的求解，利用直线平行的性质求出中点的轨迹方程以及利用直线的斜率公式是解决本题的关键，是中档题．根据直线平行的性质求出M的轨迹方程，结合直线斜率的几何意义进行求解即可．【解答】解：如图∵直线x+2y-1=0与x+2y+3=0平行，∴点M的轨迹为与两直线距离相等且平行于两直线的直线，其方程为x+2y+1=0，即点M（x0，y0）满足x0+2y0+1=0，而满足不等式y0＞2x0+1的点在直线y=2x+1的上方，易得直线x+2y+1=0与y=2x+1的交点为（-，-），故问题转化为求射线（不含端点）x0+2y0+1=0（x0＜-）上的点M（x0，y0）与坐标原点（0，0）连线斜率．即的取值范围，故=k OM∈（-，）．故选：C．12.【答案】C【解析】解：令g（x）=x2-x-m-f（x），则g（x）=x2-x+|x|-2-m，∴g（x）=，则g（x）在（-∞，0]上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，关于x的不等式f（x）≥x2-x-m的解集中仅有1个整数，即g（x）≤0解集中仅有1个整数，∴只需g（x）满足，，即，∴-2≤m＜-1，∴实数m的取值范围为：[-2，-1）．故选：C．构造函数g（x）=x2-x-m-f（x），将问题转化为g（x）≤0解集中仅有1个整数，然后结合函数g（x）的单调性，找出限制条件即可求解．本题主要考查绝对值不等式的解法，构造函数，将问题转化为函数问题是解题的关键，属中档题．13.【答案】【解析】解：据题意得，；∴；∴．故答案为：．根据条件即可得出，，从而可求出，进而可求出．考查单位向量的概念，向量数量积的运算及计算公式．14.【答案】【解析】解：∵f（x）是奇函数，∴f（x）=-f（-x），∴=∴=，解得a=．故答案为：．根据奇函数的性质，f（x）=-f（-x），代入f（x）的解析式，得到等式即可求出a的值．本题主要考查奇函数的性质，根据f（x）=-f（-x）列出式子即可解得a的值，本题比较基础．15.【答案】【解析】解：由（n∈N*），得（n∈N*），∴数列{}是以为首项，以8为公差的等差数列，则，则．当n=1时，；当n=2时，a2=-1；当n=3时，．当n≥3时，数列为递减数列，则数列{a n}中最大项的值为．故答案为：．把已知数列递推式两边取倒数，可得数列{}是以为首项，以8为公差的等差数列，求其通项公式，得到数列{a n}的通项公式，利用函数的单调性求解．本题考查数列递推式，考查等差关系的确定，训练了等差数列通项公式的求法，考查数列的函数特性，是中档题．16.【答案】【解析】解：∵AB=1，AD=，E为AD中点，可得∠EPB=∠EPC=90°，∠CPB=90°，∴P-BCE为长方体一角，其外接球直径为长方体的体对角线长，∴2R==，∴R=，∴外接球表面积为4π×=，故答案为：．首先利用数量关系得到三线垂直，而后联想到长方体，外接球直径为长方体体对角线长，得解．此题考查了长方体外接球问题，难度不大．17.【答案】解：（1）法一：由正弦定理得，∵，∴sin B cos C+cos B sin C-sin C=sin B cos C，∴；∵sin C≠0，∴，∵B∈（0，π），∴.（1）法二：由余弦定理得化简得，∴.∵B∈（0，π），∴.（2）由，得sin C==,在△ABC中，∵，由正弦定理，得，.【解析】本题主要考查解三角形的应用，结合正弦定理余弦定理以及三角形的面积公式是解决本题的关键．考查学生的计算能力．（1）结合正弦定理或余弦定理进行化简，进行求解即可．（2）求出sin C的值，结合正弦定理以及三角形的面积公式进行计算即可．18.【答案】证明：（1）连结AB1交A1E于点G，连结FG，∵△AGA1～△B1GE，∴==2，∵=2，∴=，∴FG∥CB1，∵CB1⊄面A1EF，FG⊂面A1EF，∴CB1∥面A1EF．解：（2）作O点为AB中点，连结CO，∵CA⊥CB，且CA=CB=1，∴CO⊥面ABA1，∴CO是三棱锥C-AA1B的高，由题意得CO=，AB=，∴三棱锥C-AA1B的体积：=×=．【解析】（1）连结AB1交A1E于点G，连结FG，推导出FG∥CB1，由此能证明CB1∥面A1EF．（2）作O点为AB中点，连结CO，推导出CO⊥面ABA1，CO是三棱锥C-AA1B的高，由此能求出三棱锥C-AA1B的体积．本题考查线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．19.【答案】解：（1）由题意知，在100位购买该课程的客户中，男性客户购买该课程学时数的平均值为=（7.5×18+12.5×12+17.5×9+22.5×9+27.5×6+32.5×4+37.5×2）≈16.92；所以估计男性客户购买该课程学时数的平均值为16.92．（ 2）设“所抽取的2人购买的学时数都不低于15为事件A，依题意按照分层抽样的方式分別在学时数为[5，10），[l0，15），[15，20）的女性客户中抽取1人（设为a），2人（设为A，B）4人，（设为c1，c2，c3，c4），从7人中随机抽取2人所包含的基木事件为：aA，aB，ac1，ac2，ac3，ac4，AB，Ac1，Ac2，Ac3，Ac4，Bc1，Bc2，Bc3，Bc4，c1c2，c1c3，c1c4，c2c3，c2c4，c3c4，共21种，其中事件A所包含的基本事件为：c1c2，c1c3，c1c4，c2c3，c2c4，c3c4，共6个，则事件A发生的概率P==．32×2则=≈16.667＞10.828．故有99.9%6的把握认为“十分爱好该课程者”与性別有关．【解析】（1）根据平均数的公式进行计算即可．（2）利用分层抽样的方法，利用列举法结合古典概型的概率公式进行计算即可．（3）完成2×2列联表，计算K2的值，利用独立性检验的性质进行判断即可．本题主要考查古典概型的概率计算，以及独立性检验的应用，利用列举法是解决本题的关键．考查学生的计算能力．20.【答案】解：（Ⅰ）由已知得，c=，，解得a=，又b2=a2-c2=4，所以椭圆G的方程为．（Ⅱ）设直线l的方程为y=x+m，由得4x2+6mx+3m2-12=0．①设A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）（x1＜x2），AB的中点为E（x0，y0），则x0==-，y0=x0+m=，因为AB是等腰△PAB的底边，所以PE⊥AB，所以PE的斜率k=，解得m=2．此时方程①为4x2+12x=0．解得x1=-3，x2=0，所以y1=-1，y2=2，所以|AB|=3，此时，点P（-3，2）．到直线AB：y=x+2距离d=，所以△PAB的面积s=|AB|d=．【解析】（Ⅰ）根据椭圆离心率为，右焦点为（，0），可知c=，可求出a的值，再根据b2=a2-c2求出b的值，即可求出椭圆G的方程；（Ⅱ）设出直线l的方程和点A，B的坐标，联立方程，消去y，根据等腰△PAB，求出直线l方程和点A，B的坐标，从而求出|AB|和点到直线的距离，求出三角形的高，进一步可求出△PAB的面积．此题是个中档题．考查待定系数法求椭圆的方程和椭圆简单的几何性质，以及直线与椭圆的位置关系，同时也考查了学生观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力．21.【答案】解：（Ⅰ）函数f（x）=ln x-ax2的定义域为（0，+∞），f′（x）=-2ax=，当a≤0，则f′（x）≥0，f（x）在（0，+∞）为增函数；a＞0，令f′（x）=0，解得x=（负的舍去），所以，当x∈（0，），f′（x）＞0，f（x）在（0，）为增函数；当x∈（，+∞），f′（x）＜0，f（x）在（，+∞）为减函数．综上所述，当a≤0，f（x）在（0，+∞）为增函数；当a＞0，f（x）在（0，）为增函数，在（，+∞）为减函数；（Ⅱ）f（x）≤-x，即ln x-ax2≤-x，得ln x-ax2+x≤0，得a≥，设g（x）=，g′（x）=（x＞0），g′（x）=0，得x=1．令h（x）=1-2ln x-x，则h（x）=1-2ln x-x在（0，+∞）为减函数，h（1）=0，所以x∈（0，1），g′（x）＞0，g（x）递增；x∈（1，+∞），g′（x）＜0，g（x）递减，所以g（x）min=g（1）=1，所以a≥1．【解析】（Ⅰ）求得f（x）的导数，讨论a≤0，a＞0，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间；（Ⅱ）由题意可得ln x-ax2≤-x，得a≥，设g（x）=，求得g（x）的导数，g（x）的单调性，可得最小值，即可得到所求范围．本题考查函数的导数的运用：求单调性和极值和最值，考查分类讨论思想方法和构造函数法，考查运算能力，属于中档题．22.【答案】解：（1）由曲线C的参数方程为（t为参数），得普通方程为4y=x2，由x=ρcosθ，y=ρsinθ，得4ρsinθ=ρ2cos2θ，所以曲线C的极坐标方程为ρcos2θ=4sinθ，[或]过极点的两射线l1、l2相互垂直，与曲线C分别相交于A、B两点（不同于点O），且l1的倾斜角为锐角α．故l2的极坐标方程为；（2）依题意设，则由（1）可得，同理得，即，∴=∵，∴0＜α＜π，∴=≥16，△OAB的面积的最小值为16，此时sin2α=1，得，∴．【解析】（1）由曲线C的参数方程，得普通方程，由此能求出曲线C的极坐标方程；由过极点的两射线l1、l2相互垂直，与曲线C分别相交于A、B两点（不同于点O），且l1的倾斜角为锐角α，能求出l2的极坐标方程．（2）依题意设，则，同理，由此能法语出△OAB的面积的最小值及此时α的值．本题考查曲线、射线的极坐标方程的求法，考查三角形的面积的最小值的求法，考查参数方程、极坐标方程、直角坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．23.【答案】解：（1）①当x＜-2时，f（x）=-x+2+2（x+2）=x+6＜2，解得x＜-4，②当-2≤x＜2时，f（x）=-x+2-2（x+2）=-3x-2＜2，解得，③当x≥2时，f（x）=x-2-2（x+2）=-x-6＜2解得x≥2，上知，不等式f（x）＜2的解集为；（2）解法1：当x∈[-2，2]时，f（x）=2-x-a（x+2）=-（a+1）x+2（1-a），设g（x）=f（x）-x，则∀x∈[-2，2]，g（x）=-（a+2）x+2（1-a）≥0恒成立，只需，即，解得，解法2：当x∈[-2，2]时，f（x）=2-x-a（x+2），f（x）≥x，即2-x-a（x+2）≥x，即（x+2）a≤2（1-x），①当x=-2时，上式恒成立，a∈R；②当x∈（-2，2]时，得=恒成立，只需，综上知，．【解析】本题考查了解绝对值不等式问题，函数恒成立问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．（1）通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；（2）解法1：设g（x）=f（x）-x，结合一次函数的性质得到关于a的不等式组，解出即可；解法2：分离参数a，得到恒成立，求出a的范围即可．。

广东省东莞市2020届高三数学下学期第二次统考6月模拟考试（最后一卷）试题 文本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共23小题，满分150分，考试用时120分钟注意事项： 2020.6 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、单项选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{}{}3,2,1,1,32-=<=B x x x A ，则AB =A. {}2,1,1-B. {}2,1-C.{}32,1， D. {}2,1 2．已知复数12i34iz +=+，i 为虚数单位，则||z = A ．15 B ．5 C ．12 D ．2 3．在一个圆柱内挖去一个圆锥，圆锥的底面与圆柱的上底面重合，顶点是圆柱下底面中心。

若圆柱的轴截面是边长为2的正方形，则圆锥的侧面展开图面积为A.π3B. π4C.π5D. π6 4.设等差数列{}n a 前n 项和n S ，满足92,6543==+a a a ，则7S =A.235 B. 21 C.249 D. 28 5.某轮船公司的质检部要对一批轮胎的宽度（单位：mm ）进行质检，若从这批轮胎中随机选取3个，至少有2个轮胎的宽度在3195±内，则称这批轮胎基本合格。

已知这批轮胎的宽度分别为200194190196195，，，，，则这批轮胎基本合格的概率为A.52 B. 53 C.54 D. 107 6.古希腊数学家阿波罗尼斯在他的著作《圆锥曲线论》中记载了用平面切割圆锥得到圆锥曲线的方法。

如右图将两个完全相同的圆锥对顶放置(两圆锥的轴重合)，已知两个圆锥的底面半径均为1，母线长均为3，记过圆锥轴的平面ABCD 为平面α(α与两个圆锥侧面的交线为,AC BD )，用平行于α的平面截圆锥，该平面与两个圆锥侧面的交线即双曲线E 的一部分，且双曲线E 的两条渐近线分别平行于,AC BD ，则双曲线E 的离心率为A.4 B. 3D. 7.已知α为锐角，53cos =α，则=-)24tan(απA. 21B. 31C.2D. 38.已知函数()xx a f x e e=+为偶函数，若曲线()y f x =的一条切线与直线230x y +=垂直，则切点的横坐标为A B ．ln 2 C ．2 D ．2ln 2 9.已知C B A ,,三点不共线，且点O 满足031216=--，则A.312+=B.312+-=C.312-=D.312--=10.已知ABC △的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，C B c B c C b 2,3,6cos cos ===+， 则C cos 的值为A.53 B.43 C.33 D.2311.在三棱锥BCD A -中,ABD △与CBD △均为边长为2的等边三角形,且二面角C BD A --的平面角为︒120,则该三棱锥的外接球的表面积为A.π316 B.π7C.π328D.π812.已知函数()2xf x e ax =-，对任意10x <，20x <，都有()()()()21210x x f x f x --<，则实数a 的取值范围是A.,2e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ B.,2e ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦ C.0,2e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D.,02e⎡⎤-⎢⎥⎣⎦二、填空题（本大题共4小题，每小题5分,共20分）13．已知实数x ，y 满足210020x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则目标函数2z x y =+的最大值为14.设等比数列{}n a 前n 项和n S ，满足87,4132==S a ，则公比q 为 15.若非零向量b a,满足a b 4=，a b a ⊥)2(-，则a 与b 的夹角为 16．在三棱锥A BCD -中，AB AD ⊥，2,AB AD ==，CB CD ==，当三棱锥A BCD -的体积最大时，三棱锥A BCD -外接球的体积与三棱锥A BCD -的体积之比为__________三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

故选 ．
12. B 解析:
若 若 ∴
，则 ，则
， ．
，
，由
得
，
，与函数 有唯一零点矛盾；
，
，当且仅当
时，两式同时取等，
，当且仅当
时取等，
10
∴函数 有唯一零点；
若
，则
，令
，
，
①当
时，
，∴ 在 上单调递增，
即
在 上单调递增，又
，
∴
时，
， 单调递减；
时，
， 单调递增，
又
，∴函数 有唯一零点；
②当
，则
存在解，设其在
图表数据填写下面列联表（单位：件），并判断是否有 的把握认为“产品质量高与新设备有关”．
非优质品
优质品
合计
新设备产品
旧设备产品
合计
附：
，其中
．
（ 3 ） 已知每件产品的纯利润 （单位：元）与产品质量指标值 的关系式为
，若
每台新设备每天可以生产 收回设备成本．
件产品，买一台新设备需要 万元，请估计至少需要生产多少天方可以
∴ 在 上单调递增．
又∵
，
∴
．
22.（ 1 ）
．
（2） ．
解析:
（ 1 ）由
，
得
，
∴
，
∵
，
．
∴直线 的直角坐标方程为
，
即
．
（ 2 ）依题意可知曲线 的参数方程为：
设
，
则点 到直线 的距离为：
，
（ 为参数），
17
，
∵
，
∴当
时，
，
依题意得

2020年广东省高考数学二模试卷（文科）一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|−5<2x +1<7}，B ={x|−2<x <4}，则A ∩B =( )A. {x|−3<x <4}B. {x|−2<x <4}C. {x|−3<x <3}D. {x|−2<x <3}2. 已知复数z =i(a −i)(i 为虚数单位，a ∈R)，若|z|=√5，则a =( )A. 4B. 2C. ±2D. −23. 小青和她的父母到照相馆排成一排拍照，则小青不站在两边的概率为( )A. 13B. 23C. 16D. 124. 若x ，y 满足约束条件{x +y −3≤0x −y −3≤0x +1≥0，则z =y −2x 的最大值是( )A. 9B. 7C. 3D. 65. 《周髀算经》是我国古老的天文学和数学著作，其书中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测影子的长度)，夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降是连续的九个节气，其晷长依次成等差数列，经记录测算，这九个节气的所有晷长之和为49.5尺，夏至、大暑、处暑三个节气晷长之和为10.5尺，则立秋的晷长为( )A. 1.5尺B. 2.5尺C. 3.5尺D. 4.5尺6. 一个底面半径为2的圆锥，其内部有一个底面半径为1的内接圆柱，若其内接圆柱的体积为√3π，则该圆锥的体积为( )A. 2√3πB. 2√33πC. 8√33πD. 4√33π7. 已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数，且在[0,+∞)上单调递减，f(−3)=0，则不等式f(x −1)>0的解集为( )A. (−3,3)B. (−2,4)C. (−∞,−2)∪(2,+∞)D. (−4,2)8. 已知双曲线x 2a −y 2b =1(a >0,b >0)的右焦点为F ，过点F 分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为A ，B.若FA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则该双曲线的离心率为( )A. √5B. 2C. √3D. √29. 已知数列{a n }满足a n+1=an1+a n (n ∈N ∗)，且a 1=1，设b n =a n a n+1，记数列{b n }的前n 项和为S n ，则S 2019=( )A. 20182019B. 20192020C. 2019D. 1201910. 把函数f(x)=2sinx 的图象向右平移π3个单位长度，再把所得的函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)得到函数g(x)的图象，关于g(t)的说法有：①函数g(x)的图象关于点(π3,0)对称；②函数g(x)的图象的一条对称轴是x =−π12；③函数g(x)在[π3,π2]上的最上的最小值为√3；④函数g(x)∈[0,π]上单调递增，则以上说法正确的个数是( )A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个11. 已知椭圆C 的焦点为F 1(−c,0)，F 2(c,0)，P 是椭圆C 上一点．若椭圆C 的离心率为√22，且PF 1⊥F 1F 2，△PF 1F 2的面积为√22，则椭圆C 的方程为( )A. x 22+y 2=1B. x 23+y 22=1 C. x 24+y 22=1 D. x 24+y 2=112. 已知函数f(x)=12ax 2+cosx −1(a ∈R)，若函数f(x)有唯一零点，则a 的取值范围为( )A. (−∞,0)B. (−∞,0)∪[1，+∞)C. (−∞,0]∪[1,+∞)D. (−∞,−1]∪[1,+∞)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 记等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2=14，S 3=78，则公比q =______． 14. 已知向量a ⃗ =(1,√3)，|b ⃗ |=1，且向量a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为π3，则|a ⃗ −2b ⃗ |=______．15. 对于任意实数a ，b ，定义min{a,b}={a,a ≤b b,a >b，函数f(x)=−ex +2e ，g(x)=e x ，ℎ(x)=min{f(x),g(x)}，若函数Q(x)=ℎ(x)−k 有两个零点，则k 的取值范围为______． 16. 如图，在矩形ABCD 中，已知AB =2AD =2a ，E 是AB 的中点，将△ADE 沿直线DE 翻折成△A 1DE ，连接A 1C .若当三棱锥A 1−CDE 的体积取得最大值时，三棱锥A 1−CDE 外接球的体积为8√23π，则a =______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知a(2√2cos 2A2−√2)=b ⋅cosC +c ⋅cosB ．(1)求角A 的大小；(2)若c =6√2，且AB 边上的高等于13AB ，求sin C 的值．18.如图，四棱锥P−ABCD中，四边形ABCD是边长为4的菱形，PA=PC，BD⊥PA，E是BC上一点，且BE=1，设AC∩BD=O．(1)证明：PO⊥平面ABCD；(2)若∠BAD=60°，PA⊥PE，求三棱锥P−AOE的体积．19.为了提高生产效益，某企业引进了一批新的生产设备，为了解设备生产产品的质量情况，分别从新、旧设备所生产的产品中，各随机抽取100件产品进行质量检测，所有产品质量指标值均在(15,45]以内，规定质量指标值大于30的产品为优质品，质量指标值在(15,30]的产品为合格品．旧设备所生产的产品质量指标值如频率分布直方图所示，新设备所生产的产品质量指标值如频数分布表所示．(1)请分别估计新、旧设备所生产的产品的优质品率．(2)优质品率是衡量一台设备性能高低的重要指标，优质品率越高说明设备的性能越高．根据已知图表数据填写下面列联表(单位：件)，并判断是否有95%的把握认为“产品质量高与新设备有关”．附：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n =a +b +c +d ．(3)已知每件产品的纯利润y(单位：元)与产品质量指标值的关系式为y ={2,30<t ≤451,15<t ≤30，若每台新设备每天可以生产100件产品，买一台新设备需要80万元，请估计至少需要生产多少天方可以收回设备成本．20.已知曲线C上每一点到直线l：y=−2的距离比它到点F(0,1)的距离大1．(1)求曲线C的方程；(2)曲线C任意一点处的切线m(不含x轴)与直线y=2相交于点M，与直线l相交于点N，证明：|FM|2−|FN|2为定值，并求此定值．21.已知函数f(x)=ae x−ex−a(a<e)，其中e为自然对数的底数．(1)若a=2，求函数f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(2)若函数f(x)的极小值为−1，求a的值．22.在直角坐标系xOy中，曲线C的方程为x212+y24=1，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为√2ρcos(θ−π4)=a(a>0)．(1)求直线l的直角坐标方程；(2)已知P是曲线C上的一动点，过点P作直线l1交直线于点A，且直线l1与直线l的夹角为45°，若|PA|的最大值为6，求a的值．23.已知函数f(x)=|x−1|+|x+3|．(1)解不等式：f(x)≤6；(2)若a，b，c均为正数，且a+b+c=f(x)min，证明：(a+1)2+(b+1)2+(c+1)2≥493．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵集合A ={x|−5<2x +1<7}={x|−3<x <3}， B ={x|−2<x <4}， ∴A ∩B ={x|−2<x <3}． 故选：D ．求出集合A ，B ，由此能求出A ∩B ．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】C【解析】解：因为复数z =i(a −i)=1+ai ，所以|z|=√1+a 2=√5，即1+a 2=5，所以a =±2． 故选：C ．根据复数的基本运算法则进行化简，再由模长公式列方程求解即可． 本题主要考查复数的乘法法则和模的计算，比较基础．3.【答案】A【解析】解：小青和她的父母到照相馆排成一排拍照， 基本事件总数n =A 33=6，小青不站在两边包含的基本事件个数m =A 22=2， ∴小青不站在两边的概率为P =m n=26=13．故选：A ．基本事件总数n =A 33=6，小青不站在两边包含的基本事件个数m =A 22=2，由此能求出小青不站在两边的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.【答案】D【解析】解：由x ，y 满足约束条件{x +y −3≤0x −y −3≤0x +1≥0，作出可行域如图，联立{x +y −3=0x +1=0，解得A(−1,4)，化目标函数z=y−2x为直线方程的斜截式：y=2x+Z．由图可知，当直线y=2x+Z过A时，直线在y轴上的截距最大，Z有最大值为4−2×(−1)=6；故选：D．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数的答案．本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．5.【答案】D【解析】解：∵夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降是连续的九个节气，其晷长依次成等差数列{a n}，经记录测算，这九个节气的所有晷长之和为49.5尺，夏至、大暑、处暑三个节气晷长之和为10.5尺，9a1+36d=49.5，a1+a3+a5=10.5，即3a1+6d=10.5．解得d=1，a1=1.5．∴立秋的晷长=a4=1.5+3=4.5．故选：D．由夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降是连续的九个节气，其晷长依次成等差数列{a n}，经记录测算，这九个节气的所有晷长之和为49.5尺，夏至、大暑、处暑三个节气晷长之和为10.5尺，可得：9a1+36d=49.5，a1+a3+a5=10.5，即3a1+6d=10.5.解出利用通项公式即可得出．本题考查了等差数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6.【答案】C【解析】解：设内接圆柱的高为h，则圆锥的高d=2ℎ，∵一个底面半径为2的圆锥，其内部有一个底面半径为1的内接圆柱，其内接圆柱的体积为√3π，∴π×12×ℎ=√3π，解得ℎ=√3，∴圆锥的高d=2ℎ=2√3，∴该圆锥的体积为：V=13×π×22×2√3=8√33π．故选：C．设内接圆柱的高为h，则圆锥的高d=2ℎ，由内接圆柱的体积为√3π，求出ℎ=√3，从而圆锥的高d=2ℎ= 2√3，由此能求出该圆锥的体积．本题考查圆锥的体积的求法，考查圆锥、圆柱的体积公式、结构特征等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．7.【答案】B【解析】解：根据题意，函数f(x)是定义在R 上的偶函数，且在[0,+∞)上单调递减， 又由f(−3)=0，则f(x −1)>0⇒f(x −1)>f(−3)⇒f(|x −1|)>f(3)⇒|x −1|<3， 解可得：−2<x <4，即不等式的解集为(−2,4)； 故选：B ．根据题意，由函数的奇偶性与单调性的性质以及f(−3)=0分析可得：f(x −1)>0等价于|x −1|<3，解可得x 的取值范围，即可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及绝对值不等式的解法，属于基础题．8.【答案】D【解析】解：如图，由FA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，得∠AOB =90°，即∠AOF =45°，∴ba =tan45°=1，即a =b ． 则e =ca=√1+(b a )2=√2． 故选：D ．由题意画出图形，可得渐近线的倾斜角，得到ba =1，则离心率可求．本题考查双曲线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，考查双曲线离心率的求法，是基础题．9.【答案】B【解析】解：数列{a n }满足a n+1=an1+a n (n ∈N ∗)，整理得：a n+1+a n a n+1=a n ，所以：a n −a n+1=a n a n+1，故1an+1−1a n=1(常数)，由于且a 1=1，所以数列{1a n}是以1为首项，1为公差的等差数列．故：1a n=1+(n −1)=n ，所以a n =1n ．设b n =a n a n+1=1n(n+1)=1n −1n+1，所以S n =1−12+12−13+⋯+1n −1n+1=1−1n+1=nn+1． 所以S 2019=20192019+1=20192020． 故选：B ．首先利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法在数列求和中的应用求出结果．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．10.【答案】C【解析】解：把函数f(x)=2sinx 的图象向右平移π3个单位长度，得y =2sin(x −π3)， 再把所得的函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)得到函数g(x)的图象， 则g(x)=2sin(2x −π3).①∵g(π3)=2sin(2π3−π3)=√3≠0，∴函数g(x)的图象不关于点(π3,0)对称，故①错误； ②∵g(−π12)=2sin(−π6−π3)=−2，∴函数g(x)的图象的一条对称轴是x =−π12，故②正确； ③当x ∈[π3,π2]时，2x −π3∈[π3,2π3]，则2sin(2x −π3)∈[√3,2]， 即函数g(x)在[π3,π2]上的最上的最小值为√3，故③正确； ④当x ∈[0,π]时，2x −π3∈[−π3,5π3]，可知函数g(x)在[0,π]上不单调，故④错误．∴正确命题的个数为2． 故选：C ．通过平移变换与伸缩变换求得函数g(x)的解析式．由g(π3)≠0判断①错误；由g(−π12)=−2求得最小值判断②正确；由x 的范围求得函数值域判断③正确；由x 的范围可知函数g(x)在[0,π]上不单调判断④错误． 本题考查命题的真假判断与应用，考查y =Asin(ωx +φ)型函数的图象与性质，是中档题．11.【答案】A【解析】【分析】利用椭圆的离心率以及三角形的面积，求出a、b；即可得到椭圆方程．本题考查椭圆的简单性质的应用、椭圆方程的求法，是基本知识的考查，基础题．【解答】解：椭圆C的焦点为F1(−c,0)，F2(c,0)，P是椭圆C上一点．若椭圆C的离心率为√22，且PF1⊥F1F2，△PF1F2的面积为√22，可得：{ca =√221 2×2c×b2a=√22a2=b2+c2，解得a=√2，b=1，所以：椭圆方程为：x22+y2=1．故选：A．12.【答案】B【解析】解：当a=0时，f(x)=cosx−1，显然此时函数f(x)的零点不唯一，不合题意，故可排除选项C；依题意，方程cosx=−12ax2+1有唯一解，即函数g(x)=cosx与函数ℎ(x)=−12ax2+1的图象有唯一交点，当a<0时，如图，函数g(x)=cosx与函数ℎ(x)=−12ax2+1的图象显然只有唯一交点(0,1)，符合题意，故可排除选项D；当a>0时，如图，由二次函数的性质可知，函数ℎ(x)的开口向下，且a越大，函数ℎ(x)=−12ax2+1的开口越小，由图可知，此时函数g(x)=cosx与函数ℎ(x)=−12ax2+1的图象显然只有唯一交点(0,1)，符合题意，故可排除选项A；故选：B．当a=0，由余弦函数的周期性可知，此时函数f(x)的零点不唯一，当a≠0时，问题等价于函数g(x)=cosx与函数ℎ(x)=−12ax2+1的图象有唯一交点，分a>0及a<0三种情况讨论，结合图象即可得出结论．本题主要考查函数零点与方程根的关系，考查数形结合思想及转化思想的运用，该题也可以利用导数分类讨论得解，但作为选择题，采用分类讨论加排除法，可以快速而有效的得出答案，是考试中的必备技巧，属于中档题．13.【答案】12或2【解析】解：由a2=14，S3=78，∴14q+14+14q=78，化为：2q2−5q+2=0．解得q=12或2．故答案为：12或2．由a2=14，S3=78，可得：14q+14+14q=78，化简解出即可得出．本题考查了等比数列的通项公式求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14.【答案】2【解析】解：|a ⃗ |=2,|b ⃗ |=1,<a ⃗ ,b ⃗ >=π3， ∴a ⃗ ⋅b ⃗ =1，∴(a ⃗ −2b ⃗ )2=a ⃗ 2−4a ⃗ ⋅b ⃗ +4b ⃗ 2=4−4+4=4，∴|a ⃗ −2b ⃗ |=2． 故答案为：2．根据向量a ⃗ 的坐标即可求出|a ⃗ |=2，进而求出a ⃗ ⋅b ⃗ 的值，进而得出(a ⃗ −2b ⃗ )2的值，从而得出|a ⃗ −2b ⃗ |． 本题考查了根据向量的坐标求向量的长度的方法，向量数量积的计算公式，考查了计算能力，属于基础题．15.【答案】(0,e)【解析】解：因为f(x)=−ex +2e 单调递减，g(x)=e x 单调递增， 且f(1)=e =g(1)， 故ℎ(x)=min{f(x),g(x)}={e x ,x ≤1−ex +2e,x >1，作出函数ℎ(x)的图象如下：函数Q(x)=ℎ(x)−k 有两个零点等价于函数ℎ(x)与直线y =k 图象有2个交点， 由图可知，k ∈(0,e)； 故答案为：(0,e)．根据题意得到ℎ(x)解析式为ℎ(x)={e x ,x ≤1−ex +2e,x >1，作出其图象，数形结合即可本题主要考查函数与方程的应用，将方程转化为函数图象的交点问题是解决本题的关键．要注意使用数形结合的数学思想，属于中档题．16.【答案】√2【解析】解：在矩形ABCD 中，已知AB =2AD =2a ，E 是AB 的中点，所以：△A 1DE 为等腰直角三角形；斜边DE 上的高为：A′K =12DE =12√a 2+a 2=√22a ；要想三棱锥A 1−CDE 的体积最大；需高最大，则当△A 1DE ⊥面BCDE 时体积最大，此时三棱锥A 1−CDE 的高等于：12DE =12√a 2+a 2=√22a ；取DC 的中点H ，过H 作下底面的垂线； 此时三棱锥A 1−CDE 的外接球球心在OH 上； ∵三棱锥A 1−CDE 外接球的体积为8√23π；所以球半径R =√2； 如图：OH 2=OC 2−CH 2；① A′O 2=A′G 2+GO 2；② 即：R 2−a 2=OH 2；③ R 2=(√22a −OH)2+(√22a)2；④ 联立③④可得a =√2； 故答案为：√2．要想体积最大，需高最大，当△A 1DE ⊥面BCDE 时体积最大，根据对应球的体积即可求解结论． 本题考查的知识要点：几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力及空间想象能力的应用，属于中档题型．17.【答案】解：(1)∵a(2√2cos 2A2−√2)=b ⋅cosC +c ⋅cosB ，∴√2acosA =bcosC +ccosB ，由正弦定理可得√2sinAcosA =sinBcosC +sinCcosB ， ∴√2sinAcosA =sin(B +C)=sinA ， ∵A ∈(0,π)，sinA ≠0， ∴解得cosA =√22，A =π4．(2)设AB 边上的高为CD ，在Rt △CDA 中，可得AD =CD =13×6√2=2√2=2√2， 可得BD =4√2，在Rt △CDB 中，根据勾股定理，可得BC =√CD 2+BD 2=2√10，在△ABC中，根据正弦定理ABsinC =BCsinA，可得sinC=AB⋅sinABC=6√2×√222√10=3√1010．【解析】(1)利用二倍角公式，正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得√2sinAcosA=sinA，结合A∈(0,π)，sinA≠0，可得cos A，进而可求A的值．(2)设AB边上的高为CD，在Rt△CDA中，可得AD=CD=2√2，可得BD=4√2，在Rt△CDB中，根据勾股定理可得BC，在△ABC中，根据正弦定理可得sin C的值．本题主要考查了二倍角公式，正弦定理，两角和的正弦函数公式化以及勾股定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．18.【答案】解：(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，O是AC的中点，∵BD⊥PA，PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC，∵PO⊂平面PAC，∴BD⊥PO，∵PA=PC，O是AC的中点，∴PO⊥AC，∵AC∩BD=O，∴PO⊥平面ABCD．(2)解：由四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°，得△ABD和△BCD都是等边三角形，∴BD=AB=4，∵O是BD的中点，∴BO=2，在Rt△ABO中，AO=√AB2−BO2=2√3，在Rt△PAO中，PA2=AO2+PO2=12+PO2，取BC的中点F，连结DF，则DF⊥BC，∴在Rt△POE中，PE2=OE2+PO2=3+PO2，在△ABE中，由余弦定理得AE2=AB2+BE2−2AB⋅BEcos120°=21，∵PA⊥PE，∴PA2+PE2=AE2，∴12+PO2+3+PO2=21，∴PO=√3，∵S△AOE=S△ABC−S△ABE−S△COE=12×4×4×sin120°−12×4×1×sin120°−12×3×√3=3√32，∴三棱锥P−AOE的体积V P−AOE=13S△AOE⋅PO=13×3√32×√3=32．【解析】(1)推导出BD⊥AC，BD⊥PA，从而BD⊥平面PAC，BD⊥PO，推导出PO⊥AC，由此能证明PO⊥平面ABCD．(2)取BC的中点F，连结DF，则DF⊥BC，由余弦定理得PO=√3，S△AOE=S△ABC−S△ABE−S△COE，三棱锥P−AOE的体积V P−AOE=13S△AOE⋅PO，由此能求出结果．本题考查线面垂直、三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．=0.7=70%，19.【答案】解：(1)估计新设备所生产的产品的优质品率为：30+25+15100估计旧设备所生产的产品的优质品率为：5×(0.06+0.03+0.02)=0.55=55%；(2)根据题目所给数据得到如下2×2的列联表：=4.8>3.841，由列联表可知：K2=200×(30×55−45×70)275×125×100×100∴有95%的把握认为“产品质量高与新设备有关”；(3)∵新设备所生产的产品的优质品率为0.7，∴每台新设备每天所生产的1000件产品中，估计有1000×0.7=700件优质品，有1000−700=300件合格品，∴估计每台新设备一天所生产的产品的纯利润为700×2+300×1=1700(元)，∵800000÷1700≈471(天)，∴估计至少需要生产471天方可以收回设备成本．【解析】(1)根据旧设备所生产的产品质量指标值的频率分布直方图中后3组的频率之和即为旧设备所生产的产品的优质品率，根据新设备所生产的产品质量指标值的频数分布表即可估计新设备所生产的产品的优质品率；(2)根据题目所给的数据填写2×2列联表，计算K的观测值K2，对照题目中的表格，得出统计结论；(3)根据新设备所生产的产品的优质品率，分别计算1000件产品中优质品的件数和合格品的件数，得到每天的纯利润，从而计算出至少需要生产多少天方可以收回设备成本．本题考查了独立性检验的应用问题，考查了频率分布直方图，也考查了计算能力的应用问题，是基础题目．20.【答案】解：(1)由题意可知，曲线C上每一点到直线y=−1的距离等于该点到点F(0,1)的距离，由抛物线的定义可知，曲线C是顶点在原点，y轴为对称轴，F(0,1)为焦点的抛物线，∴曲线C的方程为：x2=4y；(2)依题意，切线m的斜率存在且不等于0，设切线m的方程为：y=ax+b(a≠0)，代入x2=4y得：x2−4ax−4b=0，由△=0得(4a)2+16b =0，整理得：b =−a 2， 故切线m 的方程可写为y =ax −a 2，分别令y =2，y =−2得点M ，N 的坐标为M(2a +a,2)，N(−2a +a,−2)，∴FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2a+a,1)，FN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2a+a,−3)， ∴|FM|2−|FN|2=(2a +a)2+1−(−2a +a)2−9=0， 即|FM|2−|FN|2为定值0．【解析】(1)利用抛物线的定义可得曲线C 是顶点在原点，y 轴为对称轴，F(0,1)为焦点的抛物线，从而求出曲线C 的方程；(2)依题意，切线m 的斜率存在且不等于0，设切线m 的方程为：y =ax +b(a ≠0)，与抛物线方程联立，利用△=0得到b =−a 2，故切线m 的方程可写为y =ax −a 2，进而求出点M ，N 的坐标，用坐标表达出FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 和FN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，即可证得|FM|2−|FN|2为定值． 本题主要考查了抛物线的定义，以及直线与抛物线的位置关系，是中档题．21.【答案】解：(1)∵a =2，∴f(x)=2e x −ex −2，则f′(x)=2e x −e ， ∴f′(1)=e ，又f(1)=2e −e −2=e −2，∴所求切线方程为y −(e −2)=e(x −1)，即y =ex −2； (2)函数f(x)的定义域为R ，f′(x)=ae x −e ， ①当a ≤0时，f′(x)<0对任意x ∈R 都成立， ∴f(x)在R 上递减，此时无极值；②当0<a <e 时，令f′(x)>0，解得x >ln ea ，∴当x ∈(ln e a ,+∞)时，f′(x)>0，当x ∈(−∞,ln ea )时，f′(x)<0， ∴f(x)在(−∞,ln e a )递减，在(ln ea ,+∞)递增， ∴当x =ln ea 时，f(x)取得极小值−1，∴f(ln ea )=ae ln ea −eln ea −a =−1，即elna −a +1=0， 令m(x)=elnx −x +1(0<x <e)，则m′(x)=ex −1=e−x x，∵0<x <e ，∴m′(x)>0，∴m(x)在(0,e)上递增，又m(1)=0，∴a=1．【解析】本题考查导数的几何意义，以及利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查分类讨论思想，考查运算求解能力，属于较难题．(1)将a=2代入，求导，进而求得切线斜率，再求出切点坐标，利用点斜式方程即得解；(2)分a≤0及0<a<e两种情形讨论，当a≤0时显然不合题意，当0<a<e时，利用导数可求得当x=ln ea 时，f(x)取得极小值−1，进而得解．22.【答案】解：(1)由√2ρcos(θ−π4)=a，得√2ρ(cosθcosπ4+sinθsinπ4)=a，即ρcosθ+ρsinθ=a．∵x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴直线l的直角坐标方程为x+y=a，即x+y−a=0；(2)依题意可知曲线C的参数方程为{x=2√3cosαy=2sinα(α为参数)．设P(2√3cosα,2sinα)，则点P到直线l的距离为：d=|2√3cosα+2sinα−a|√2=|4(√32cosα+12sinα)−a|√2=|4sin(α+π3)−a|2．∵a>0，∴当sin(α+π3)=−1时，d max=√2．又过点P作直线l1交直线于点A，且直线l1与直线l的夹角为45°，∴d|PA|=cos45°，即|PA|=√2d．∴|PA|的最大值为√2d max=6，即√2√2=6．∵a>2，∴解得a=2．【解析】(1)把√2ρcos(θ−π4)=a展开两角差的余弦，结合x=ρcosθ，y=ρsinθ可得直线l的直角坐标方程；(2)依题意可知曲线C 的参数方程为{x =2√3cosαy =2sinα(α为参数).设P(2√3cosα,2sinα)，写出点P 到直线l 的距离，利用三角函数求其最大值，可得|PA|的最大值，结合已知列式求解a ．本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，训练了利用三角函数求最值，是中档题． 23.【答案】解：(1)函数f(x)=|x −1|+|x +3|={−2x −2(x <−3)4(−3≤x ≤1)2x +2(x >1)． 当x <−3时，−2x −2≤6，解得x ≥−4，故−4≤x <−3． 当−3≤x ≤1时，4≤6，恒成立．当x >1时，2x +2≤6，解得x ≤2，故1<x ≤2， 所以不等式的解集为{x|−4≤x ≤2}．证明：(2)由(1)知：f(x)min =4，所以：a +b +c =4， 所以(a +1)+(b +1)+(c +1)=7， 所以[(a +1)+(b +1)+(c +1)]2=49，所以(a +1)2+(b +1)2+(c +1)2+2(a +1)(b +1)+2(a +1)(c +1)+2(b +1)(c +1)=49≤3[(a +1)2+(b +1)2+(c +1)2].当且仅当a =b =c =43时，等号成立． 故：(a +1)2+(b +1)2+(c +1)2≥493．【解析】(1)直接利用分段函数的解析式和零点讨论法的应用求出结果． (2)直接利用基本不等式的应用求出结果．本题考查的知识要点：分段函数的性质的应用，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．。