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湖北省2019届高三数学理一轮复习典型题专项训练：圆锥曲线

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湖北省2019届高三数学一轮复习典型题专项训练圆锥曲线一、选择、填空题1、（2018全国I 卷高考题）设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过点()20-，且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN ⋅=（ ） A ．5B ．6C ．7D ．82、（2017全国I 卷高考题）已知F 为抛物线C ：24y x =的交点，过F 作两条互相垂直1l ，2l ，直线1l 与C 交于A 、B 两点，直线2l 与C 交于D ，E 两点，AB DE +的最小值为（）A ．16B ．14C ．12D ．103、（湖北省2018届高三4月调研考试）已知双曲线的一条渐近线方程为分别是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，且,则( )A ．1B ．3 C.1或9 D ．3或74、（华师一附中、黄冈中学等八校2018届高三第二次联考）已知双曲线22212x y a a-=-的离心率为2，则a 的值为A ．1B ．2-C ．1或2-D ．-15、（华师一附中、黄冈中学等八校2018届高三第二次联考）已知椭圆22:143x y C +=，直线:4l x =与x 轴相交于点E ，过椭圆右焦点F 的直线与椭圆相交于,A B 两点，点C 在直线l 上，则“BC //x 轴”是“直线AC 过线段EF 中点”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件6、（黄冈、黄石等八市2018届高三3月联考）设12,F F 分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点，P 是C 的右支上的点，射线PT 平分12F PF ∠,过原点O 作PT 的平行线交1PF 于点M ,若12||5||F F MP =,则双曲线C 的离心率为（ ） A.52B.2C.2D.37、（黄冈市2018届高三9月质量检测）若椭圆的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（）（A ） （B ） （C ） （D ）8、（黄冈市2018届高三上学期期末考试）设双曲线x 2a 2 - y 2b 2 = 1 (a ＞0,b ＞0)的渐近线与圆x 2+(y-2)2=3相切,则双曲线的离心率为( )A.4 3 3B.2 33C. 3D.2 39、（黄冈中学2018届高三5月二模）过双曲线22:1x y Γ-=上任意点P 作双曲线Γ的切线，交双曲线Γ两条渐近线分别交于,A B 两点，若O 为坐标原点，则AOB ∆的面积为( )A ．4B ．3C ．2D ．110、（荆州中学2018届高三5月模拟）已知双曲线2222:1x y E a b-=（0,0a b >>）的左、右焦点分别为12,F F ，126F F =，P 是E 右支上的一点，1PF 与y 轴交于点A ，2PAF △的内切圆在边2AF 上的切点为Q ．若3AQ =，则E 的离心率是 （A ）3（B ）5（C ）32（D ）211、（湖北省七市（州）教科研协作体2018届高三3月联考）已知椭圆C :1222=+y x 的离心率与双曲线E ：()0012222>>=-,b a by a x 的一条渐近线的斜率相等，则双曲线E 的离心率为 A.2 B. 3 C.25 D. 2612、（湖北省七市（州）教科研协作体2018届高三3月联考）已知圆E :2222r y px =++）（与抛物线)0(2:2>=p px y C 相交于A ，B 两点，分别以点A ，B 为切点作圆E 的切线.若切线恰好都经过抛物线C 的焦点F ，则=∠AEF sin A.215- B. 213- C. 212- D. 2113、（天门、仙桃、潜江2018届高三上学期期末联考）从抛物线24y x =在第一象限内的一点P 引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且||9PM =，设抛物线的焦点为F ，则直线PF 的斜率为 A ．627B ．1827C ．427D ．22714、（武汉市2018届高三毕业生二月调研）已知不过原点O 的直线交抛物线22y px =于,A B 两点，若,OA AB 的斜率分别为2,6OA AB k k ==，则OB 的斜率为（ ） A ．3 B ．2 C ．-2 D ．-315、（武汉市2018届高三毕业生四月调研测试）已知直线1y kx =-与双曲线224x y -=的右支有两个交点，则k 的取值范围为（ ） A ．5(0,)2 B ．5[1,]2 C ．55(,)22- D ．5(1,)2 16、（武汉市部分学校2018届高三起点调研）已知,A B 分别为椭圆22219x y b+=（03b <<）的左、右顶点，,P Q 是椭圆上的不同两点且关于x 轴对称，设直线,AP BQ 的斜率分别为,m n ，若点A 到直线1y mnx =-的距离为1，则该椭圆的离心率为（ ）A ．12 B ．24 C. 13 D ．2217、（钟祥一中2018届高三五月适应性考试（一））已知双曲线C:191622=-y x 与直线L:05=--k y kx 交于A ，B 两点，若8=AB ，则直线L 有（ ）条 A ．1B ．2C ．3D ．4参考答案：一、选择、填空题1、D2、A3、C4、C5、A6、A7、C8、B9、D 10、A 11、D 12、A 13、C 14、D 15、D 16、B 17、C二、解答题1、（2018全国I 卷高考题）设椭圆2212x C y +=：的右焦点为F ，过F 的直线与C 交于A ，B 两点，点M 的坐标为()20，．⑴当与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； ⑵设O 为坐标原点，证明：OMA OMB =∠∠．2、（2017全国I 卷高考题）已知椭圆C ：22221x y a b +=()0a b >>，四点()111P ，，()201P ，，3312P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，，4312P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，中恰有三点在椭圆C 上． （1）求C 的方程；（2）设直线l 不经过2P 点且与C 相交于A 、B 两点，若直线2P A 与直线2P B 的斜率的和为1-，证明：l 过定点．3、（湖北省2018届高三4月调研考试）已知椭圆的离心率为分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，当时，内切圆的半径为.(1)求椭圆的方程； (2)已知直线与椭圆相较于两点，且，当直线的斜率之和为2时，问：点到直线的距离是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，说明理由.4、（华师一附中、黄冈中学等八校2018届高三第二次联考）如图，圆22:4O x y +=，(2,0),(2,0)A B -，D 为圆O 上任意一点，过D 作圆O 的切线分别交直线2x =和2x =-于,E F 两点，连,AF BE 交于点G ，若点G 形成的轨迹为曲线C .（1）记,AF BE 斜率分别为12,k k ，求12k k ⋅的值并求曲线C 的方程；（2）设直线:(0)l y x m m =+≠与曲线C 有两个不同的交点,P Q ，与直线2x =交于点S ，与直线1y =-交于点T ，求OPQ ∆的面积与OST ∆面积的比值λ的最大值及取得最大值时m 的值．5、（黄冈、黄石等八市2018届高三3月联考）如图，已知抛物线)0(22>=p py x ，其焦点到准线的距离为2，圆0:22=-+py y x S ，直线:2pl y kx =+与圆和抛物线自左至右顺次交于四点A 、B 、C 、D ,（1）若线段AB 、BC 、CD 的长按此顺序构成一个等差数列，求正数k 的值；（2）若直线l '过抛物线焦点且垂直于直线l ，直线l '与抛物线交于点M 、N ，设AD 、MN 的中点分别为P 、Q ，求证：直线PQ 过定点.6、（黄冈市2018届高三上学期期末考试）如图,椭圆C 1:x 2a 2 + y 2b 2 = 1 (a ＞b ＞0)的离心率为 53 ,抛物线C 2:y=-x 2+2截x 轴所得的线段长等于 2 b.C 2与y 轴的交点为M ，过点P(0,1)作直线l 与C 2相交于点A ，B,直线MA ，MB 分别与C 1相交于D 、E. (1)求证:MA →·MB →为定值;(2)设△MAB,△MDE 的面积分别为S 1、S 2,若S 1=λ2S 2(λ＞0),求λ的取值范围.7、（黄冈中学2018届高三5月二模）已知抛物线C 顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线C 上一点(),2Q a 到焦点的距离为3，线段AB 的两端点()11,A x y ， ()22,B x y 在抛物线C 上.（1）求抛物线C 的方程；（2）在抛物线C 上存在点()33,D x y ，满足312x x x <<，若ABD ∆是以角A 为直角的等腰直角三角形，求ABD ∆面积的最小值.8、（荆州中学2018届高三5月模拟）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的上顶点为B ，点(0,2)D b -，P 是E 上且不在y 轴上的点，直线DP 与E 交于另一点Q .若E 的离心率为22，PBD ∆的最大面积等于322. （Ⅰ）求E 的方程；（Ⅱ）若直线,BP BQ 分别与x 轴交于点,M N ，试判断OM ON ⋅是否为定值.9、（湖北省七市（州）教科研协作体2018届高三3月联考）已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左顶点为M ，上顶点为N ，直线0362=-+y x 与直线MN 垂直，垂足为B 点，且点N 是线段MB 的中点.（1）求椭圆C 的方程；（2）如图，若直线m kx y l +=:与椭圆C 交于F E ,两点， 点G 在椭圆C 上，且四边形OEGF 为平行四边形， 求证：四边形OEGF 的面积S 为定值.10、（天门、仙桃、潜江2018届高三上学期期末联考）如图，椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，离心率22e =，过左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于A ，A '两点||4AA '=．（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；（Ⅱ）取垂直于x 轴的直线与椭圆相交于不同的两点P ，P '，过P 、P '作圆心为Q 的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q 外． 若PQ P Q '⊥，求圆Q 的标准方程．11、（武汉市2018届高三毕业生二月调研）已知,A B 为椭圆22221(0)x y a b a bΓ+=>>：的左、右顶点，||4AB =，且离心率为22． （1）求椭圆Γ的方程；（2）若点000(,)(0)P x y y ≠为直线4x =上任意一点，,PA PB 交椭圆Γ于,C D 两点，求四边形ACBD 面积的最大值．12、（武汉市2018届高三毕业生四月调研测试）已知椭圆Γ：22142x y +=，过点(1,1)P 作倾斜角互补的两条不同直线1l ，2l ，设1l 与椭圆Γ交于A 、B 两点，2l 与椭圆Γ交于C ，D 两点. （1）若(1,1)P 为线段AB 的中点，求直线AB 的方程；（2）记ABCDλ=，求λ的取值范围.13、（武汉市部分学校2018届高三起点调研）已知抛物线2:2C x py =（0p >）和定点(0,1)M ，设过点M 的动直线交抛物线C 于,A B 两点，抛物线C 在,A B 处的切线交点为N . （1）若N 在以AB 为直径的圆上，求p 的值；（2）若三角形ABN 的面积最小值为4，求抛物线C 的方程.14、（钟祥一中2018届高三五月适应性考试（一））已知抛物线2:43y x Γ=的焦点1F 与椭圆()2222C:10x y a b a b+=>>的一个焦点重合，Γ的准线与x 轴的交点为F 2,若Γ与C 的交点为,A B ，且点A 到点12,F F 的距离之和为4. （1）求椭圆C 的方程；（2）若不过原点且斜率存在的直线l 交椭圆C 于点G ，H ，且三角形OGH 的面积为1，线段GH 的中点为P .在x 轴上是否存在关于原点对称的两个定点M ，N ,使得直线,PM PN 的斜率之积为定值？若存在，求出两定点,M N 的坐标和定值的大小；若不存在，请说明理由.15、（武汉市武昌区2017届高三1月调研）已知椭圆的中心在坐标原点，()2,0A ，()0,1B 是它的两个顶点，直线(0)y kx k => 与AB 相交于点D ,与椭圆相交于,E F 两点. （Ⅰ）若6ED DF =，求k 的值； （Ⅱ）求四边形AEBF 面积的最大值.16、（襄阳市2017届高三1月调研）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的焦点为12,F F ，P 是椭圆C 上一点，若12PF PF ⊥，1223F F =,12PF F ∆的面积为1.(1)求椭圆C 的方程；(2))如果椭圆C 上总存在关于直线y x m =+对称的两点A,B ，求实数m 的取值范围.参考答案：二、解答题1、（1）如图所示，将1x =代入椭圆方程得2112y +=，得22y =±，∴2(1,)2A ±，∴22AM k =±，∴直线AM 的方程为：2(2)2y x =±-.（2）证明：当斜率不存在时，由（1）可知，结论成立；当斜率存在时，设其方程为(1)y k x =-，1122(,),(,)A x y B x y ，联立椭圆方程有22(1),12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩即2222(21)4220k x k x k +-+-=，∴2122421k x x k +=+，21222221k x x k -=+，1212121212[(23()4]22(2)(2)AM BM y y k x x x x k k x x x x -+++=+=----2222124412(4)21210(2)(2)k k k k k x x --+++==--，∴AM BM k k =-，∴OMA OMB ∠=∠.2、（1）根据椭圆对称性，必过3P 、4P又4P 横坐标为1，椭圆必不过1P ，所以过234P P P ，，三点 将()2330112P P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，，，代入椭圆方程得 222113141b ab ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得24a =，21b = ∴椭圆C 的方程为：2214x y +=．（2）①当斜率不存在时，设()():A A l x m A m y B m y =-，，，，221121A A P A P B y y k k m m m----+=+==- 得2m =，此时l 过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足． ②当斜率存在时，设()1l y kx b b =+≠∶ ()()1122A x y B x y ，，，联立22440y kx b x y =+⎧⎨+-=⎩，整理得()222148440k x kbx b +++-= 122814kb x x k -+=+，21224414b x x k -⋅=+ 则22121211P A P B y y k k x x --+=+()()21212112x kx b x x kx b x x x +-++-= 222228888144414kb k kb kb k b k --++=-+ ()()()811411k b b b -==-+-，又1b ≠ 21b k ⇒=--，此时64k ∆=-，存在k 使得0∆>成立． ∴直线l 的方程为21y kx k =--当2x =时，1y =- 所以l 过定点()21-，． 3、(1)依题意：,则，即又,联立解得：，故，所以椭圆的方程为(2)设,联立直线和椭圆的方程得：,当时有：由得：,即,整理得：,所以,化简整理得：，代入得：,解之得：或,点到直线的距离,设，易得或，则,当时；当时，,若，则；若，则，当时，综上所述：，故点到直线的距离没有最大值.4、解析：（1）设000(,)(0)D x y y ≠，易知过D 点的切线方程为004x x y y +=，其中22004x y +=则00004242(2,),(2,)x x E F y y -+-，002200001222004242164414416164x x y y x y k k y y -+--∴⋅=⋅===---…………3分 设(,)G x y ，由2212111(0)42244y y x k k y y x x ⋅=-⇒⋅=-⇒+=≠-+ 故曲线C 的方程为221(0)4x y y +=≠…………………5分（2）22225844044y x m x mx m x y =+⎧⇒++-=⎨+=⎩，设1122(,),(,)P x y Q x y ，则21212844,55m x x m x x -+=-⋅=， …………………7分由22=6420(44)055m m m ∆-->⇒-<<且0,2m m ≠≠±……………8分与直线2x =交于点S ，与直线1y =-交于点T(2,2),(1,1)S m T m ∴+---∴∴，令3+,(35,35)m t t =∈-+且1,3,5t ≠则……………10分当，即45,33t m ==-时，取得最大值255.…………………12分5、【解析】（1）由题意可得2=p ，所以(0,1)S ,圆的半径为1，设),(11y x A ，),(22y x D ，由⎩⎨⎧+==142kx y yx 得0442=--kx x ，k x x 421=+∴21212()242y y k x x k ∴+=++=+，21212112424AB CD AS DS BC y y y y k ∴+=+-=+++-=+=+= 22k ∴=…………6分 (2)124x x k +=21212,()242y y k x x k +=++=+，2(2,21)Q k k ∴+当0=k 时直线l 1与抛物线没有交点，所以0≠k用k 1-替换k 可得222(,1)P k k -+，kk k k PQ 222234+-=∴所以PQ 的直线方程为)2(2222)12(342k x kk k k y -+-=+-， 化简得213k y x k-=+，所以直线PQ 过定点（0,3）.…………12分 6、解:(1)由题设得 2 b=2 2 ,(b ＞0),∴b=2,又e= c a = 5 3 ,∴c 2=59 a 2=a 2-4,解得a 2=9.因此椭圆C 1和方程为x 29 + y 24 =1.由抛物线C 2的方程为y=-x 2+2,得M(0,2).………(2分)设直线l 的方程为 y=kx+1(k 存在),A(x 1,y 1),B(x 2,y 2).于是.由⎩⎨⎧y=-x 2+2y=kx+1 消去y 得x 2+kx-1=0,∴⎩⎨⎧x 1+x 2=-kx 1x 2=-1 ,①………………………(3分) ∴ MA →·MB →=(x 1,y 1-2)·(x 2,y 2-2)=x 1x 2+(y 1-2)(y 2-2)=x 1x 2+(kx 1+1-2)(kx 2+1-2)=(1+k 2)x 1x 2-k(x 1+x 2)+1,∴将①代入上式得MA →·MB →=-1-k 2+k 2+1=0(定值).……………………(5分)(2)由(1)知,MA ⊥MB,∴△MAB 和△MDE 均为直角三角形,设直线MA 方程为y=k 1x+2,直线MB 方程为y=k 2x+2,且k 1k 2=-1,由⎩⎨⎧y=k 1x+2y=-x 2+2 解得⎩⎨⎧x=0y=2或⎩⎨⎧x=-k 1y=-k 12+2,∴A(-k 1,-k 12+2),同理可得B(-k 2,-k 22+2),………(7分)∴S 1=12 |MA|·|MB|= 12 1+k 12 ·1+k 22 |k 1||k 2|.………………………………(8分)由⎩⎨⎧y=k 1x+2x 29 + y 24 =1 解得⎩⎨⎧x=0y=2 或⎩⎨⎧x= -36k 14+9k 12 y= 8-18k 124+9k 12,∴D(-36k 14+9k 12 ,8-18k 124+9k 12 ), 同理可得E(-36k 24+9k 22 ,8-18k 224+9k 22 ),………………………………………………………(9分)∴S 2=12 |MD|·|ME|= 12 ·361+k 12 |k 1|4+9k 12 ·361+k 22 |k 2|4+9k 22 ,………………………(10分)∴λ2=S 1S 2 = 1362 (4+9k 12)(4+9k 22)= 1362 (16+81k 12k 22+36k 12+36k 22) = 1362 (97+ 36k 12+ 36k 12 )≥132362 ,又λ＞0,∴λ≥1336故λ的取值范围是[1336 ,+∞)………………………………………………………(12分)7、【解析】（1）设抛物线的方程为22x py =，抛物线的焦点为F ，则322pQF ==+，所以1p =，则抛物线C 的方程为24x y =.（2）如图所示，设211,4x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 222,4x B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，233(,)4x D x ，根据抛物线关于y 轴对称，取10x ≥，记1AB k k =， 2AD k k =，则有2114x x k +=， 3124x x k +=，所以2114x k x =-， 3214x k x =-， 121k k ⋅=-，又因为ABD ∆是以A 为顶点的等腰直角三角形，所以AB AD =，即2212123111k x x k x x +⋅-=+⋅-，将23,x x 代入得： 22111221142142k k x k k x +-=+-化简求出1x ，得： 3112114422k x k k -=+，则()2222112114411||122ABDk S AB k k k ∆⎛⎫+=⋅=⨯+⨯ ⎪+⎝⎭，可以先求AB 的最小值即可， 2211211441k AB k k k +=+⋅+，令()3222222111t t y t t t t t++=+⋅=++， 则()()()()()1322222223122112t t t t t t y t t+⋅⋅+-+++'=()()()()()()11233223222222213322111t tt t t t tt t t t tt t ++----+-+-==++()()()()122222111tt t t t +-+=+所以可以得出当1t =即11k =时， AB 最小值为42，此时10x =，即当()0,0A ， ()4,4B ，()4,4D -时， ABD ∆为等腰直角三角形，且此时面积最小，最小值为16.8、（1）由题意，可得PBD ∆的最大面积为132322b a ⨯⨯=，即2ab =.……① 又22c e a ==……② ................................................................................................................. 2分 222a b c =+……③ ..................................................................................................................... 3分联立①②③，解得2a =，1b =，故E 的方程2212x y +=. ............................................................................................................. 4分 （2）设直线DP 的方程为2y kx =-，11(,)P x y ，22(,)Q x y . ........................................... 5分联立方程组222,1,2y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，得222(2)2x kx +-=， .................................................... 6分 整理，得22(21)860k x kx +-+=， ........................................................................................... 7分由韦达定理，得12122286,2121k x x x x k k +==++， .................................................................. 8分 又直线BP 的方程为1111y y x x -=+，所以11,01x M y ⎛⎫ ⎪-⎝⎭，.................................................... 9分 直线BQ 的方程为2211y y x x -=+，所以22,01x N y ⎛⎫ ⎪-⎝⎭， ..................................................... 10分 所以121211x xOM ON y y ⋅=⋅-- ............................................................................................11分 1212222212121262(3)(3)3()96249(21)3x x x x kx kx k x x k x x k k k ====---++-++， 即OM ON ⋅为定值2312分9、10、解：（Ⅰ）由题意知，(2)A c -，在椭圆上， 则2222()21c a b -+=，从而22221c b +=………………………………………1分 由22e =，得22481b e ==-，从而222161b a e ==-．故该椭圆的标准方程为221168y x +=…………………………………………4分（Ⅱ）由椭圆的对称性，可设0(0)Q x ，． 又设()M x y ，是椭圆上任意一点，则 222222000||()28(1)16x QM x x y x x x x =-+=-++- 22001(2)8([4,4])2x x x x =--+∈-…………………………………………6分设11()P x y ，，由题意知，点P 是椭圆上到点Q 的距离最小的点，因此，上式当1x x =时取最小值．又因为1(44)x ∈-，，∴上式当02x x =时取最小值，从而102x x =，且20||8QP x =-．因为PQ P Q '⊥，且11()P x y '-，，∴101101()()0QP QP x x y x x y =--=，，-，即22101()0x x y -=-…………8分由椭圆方程及102x x =，得221118(1)0416x x --=，解得1104626323x x x =±=±，，从而22016||83PQ x =-=．………10分故这样的圆有两个，其标准方程分别为222226261616()()3333x y x y ++=-+=，…………………………12分11、12、解：（1）设直线AB 的斜率为tan k α=，方程为1(1)y k x -=-，代入2224x y +=中，∴222[(1)]40x kx k +---=.∴222(12)4(1)2(1)40k x k k x k +--+--=.判别式222[4(1)]4(21)[2(1)4]k k k k ∆=--+--28(321)k k =++.设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则12221224(1)212(1)421k k x x k k x x k -⎧+=⎪⎪+⎨--⎪=⎪+⎩. ∵AB 中点为(1,1)，∴12212(1)()1221k k x x k -+==+，则12k =. ∴直线的AB 方程为11(1)2y x -=-，即210x y -+=.（2）由（1）知2121AB kx x =+-21212()4x x x x =+-22218(321)21k k k k +⋅++=+. 设直线的CD 方程为1(1)(0)y k x k -=--≠.同理可得22218(321)21k k k CD k +⋅-+=+. ∴22321(0)321AB k k k CD k k λ++==≠-+. ∴2241312kk kλ=++-41132k k=++-. 令13t k k =+， 则4()12g t t =+-，(,23][23,)t ∈-∞-+∞.()g t 在(,23]-∞-，[23,)+∞分别单调递减，∴23()1g t -≤<或1()23g t <≤+. 故2231λ-≤<或2123λ<≤+. 即6262[,1)(1,]22λ-+∈. 13、解：（1）可设:1AB y kx =+，11(,)A x y ，22(,)B x y ， 将AB 方程代入抛物线C 方程得2220x pkx p --= 则122x x pk +=，122x x p =- ① 又22x py =得'x y p =，则,A B 处的切线斜率乘积为12221x x p p=-=- 则有2p =（2）由①可得122N x x x pk +== 2222211148AB k x x k p k p =+-=++点N 到直线AB 的距离2222111N Npk kx y d kk++-==++231(2)222ABN S AB d p pk p ∆=∙∙=+≥∴224p =，∴2p =，故抛物线C 的方程为24x y = 14解：（Ⅰ）因为抛物线2:43y x Γ=的焦点()13,0F 与椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的一个焦点重合，所以3c =.又因为抛物线Γ的准线与x 轴的交点为()13,0F ，且点A 到点12,F F 的距离之和为4，根据椭圆上的定义知24a = ，解得2a = .所以222431b a c ===－－.于是所求椭圆C 的方程为2214x y +=. ---------------4分（Ⅱ）设直线()()()1122:0,G ,,H ,l y kx m m x y x y =+≠，联立2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩， 得()222148440k x kmx m +++-=.由判别式和根与系数间的关系知()()()()2222284144416410km k m k m ∆=-+-=+->，2121222844,1414km m x x x x k k -+=-=++根据弦长公式知()2221212122222114414114GH k x x k x x x x k k m k =+-=++-++-=+又根据点到直线的距离公式知原点O 到直线y kx m =+的距离为214m d k =+ ---------8分于是OGH 的面积为22222411121414m m k m S GHk k+-===++.整理得()2221420k m +-=，所以221420k m +-=①又线段GH 的中点224,1414km m P k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，即21,2k P m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 假设存在满足条件的定点M,N ，不妨设()(),),0,0(0M s N s s >-,直线,PM PN 的斜率之积为t ，则有()222111222244PM PNm m t k k k k k s m s sm m==⨯=----+.整理得222144k s m t -=②.将①代入②，得()2212104s m t ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭.由直线l 的任意性可得2201104s t⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，解得214s t ⎧=⎪⎨=-⎪⎩.于是存在两定点()()2,0,2,0M N -，使得直线PM ，PN 的斜率之积为定值，定值为14-. -------------12分15、（Ⅰ）由题设条件可得，椭圆的方程为224x y +，直线AB 的方程为220x y +-=. 设()00,D x kx ，()11,E x kx ，()22,F x kx ，其中12x x <，由2214y kxx y=⎧⎪=⎨+⎪⎩ ，得()22144k x +=，解得212214x x k =-=+ ① 由6ED DF = ，得()01206x x x x -=-，()021221510677714x x x x k∴=+==+ ， 由D 在AB 上，得00220x kx +-=，0212x k∴=+ ，221012714k k ∴=++ ，化简，得2242560k k -+= ， 解得23k =，或38k =. （Ⅱ）根据点到直线的距离公式和①式可知，点,E F 到AB 的距离分别为()()211122221214225145k k x kx d ka b++++-==++ ，()()2222221214225514k k x kx dk +-++-==+ ，又2215AB =+= , ∴四边形AEBF 的面积为 ()()()()()21222241221211144522214514514k k k kS AB d d k k k ++++=+=⋅⋅==+++2444212121221141424kk k k k k=+=+≤+=++⋅ ，当且仅当()140k k k =>，即12k =时，等号成立.max 22S ∴= .16、(Ⅰ)解：由已知，2212121||||12||||12PF PF PF PF +==，2分 又122||||a PF PF =+，∴22212124||||2||||16a PF PF PF PF =++=，a 2 = 4 22224(3)1b a c =-=-=∴椭圆C 的方程为：2214x y +=．4分 (Ⅱ)解：设AB 的方程为：y x n =-+ 由2244x y y x n ⎧+=⎨=-+⎩得：2258440x nx n -+-= 6分 由226480(1)0n n ∆=-->得：55n -<< 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则1285nx x +=12122()25n y y x x n +=-++= 8分 AB 的中点在直线y x m =+上，∴45553n n mm n =+⇒=- 10分 ∴5353555355mm --<-<⇒<<∴实数m 的取值范围是3535()55-，．12分。

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2019年高考数学理试题分类汇编：圆锥曲线(含答案)

2019年高考数学理试题分类汇编：圆锥曲线(含答案)

2019年高考数学理试题分类汇编：圆锥曲线(含答案)2019年高考数学理试题分类汇编——圆锥曲线一、选择题1.（2019年四川高考）设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y=2px(p>0)上任意一点，M是线段PF上的点，且PM=2MF，则直线OM的斜率的最大值为2/3.（答案：C）2.（2019年天津高考）已知双曲线x^2/4 - y^2/9 = 1（b>0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A、B、C、D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为x^2/4 - y^2/9 = 1.（答案：D）3.（2019年全国I高考）已知方程x^2/n^2 - y^2/m^2 = 1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是(-1,3)。

（答案：A）4.（2019年全国I高考）以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于D、E两点。

已知|AB|=42，|DE|=25，则C的焦点到准线的距离为4.（答案：B）5.（2019年全国II高考）圆(x-1)^2 + (y-4)^2 = 13的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1，则a=-2/3.（答案：A）6.（2019年全国II高考）已知F1,F2是双曲线E:x^2/4 -y^2/2 = 1的左、右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1=1/3，则E的离心率为2/3.（答案：A）7.（2019年全国III高考）已知O为坐标原点，F是椭圆C:x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1(a>b>0)的左焦点，A、B分别为C的左、右顶点。

P为C上一点，且PF⊥x轴。

过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E。

若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为1/3.（答案：A）8.（2019年浙江高考）已知椭圆 + y^2/(m^2-1) = 1(m>1)与双曲线- y^2/(n^2-1) = 1(n>0)的焦点重合，e1，e2分别为m，n，则e1+e2=3.（答案：C）解析】Ⅰ）由题意可知，椭圆C的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，根据离心率的定义可得：$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，其中$c$为椭圆的焦距之一，即$2c$为椭圆的长轴长度，$a$为椭圆的半长轴长度，$b$为椭圆的半短轴长度，则有：$$\frac{2c}{2a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$ 即：$$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{4}$$ 又因为焦点$F$在椭圆的一个顶点上，所以该顶点的坐标为$(a,0)$，即$2c=2a$，代入上式可得：$$\frac{b}{a}=\frac{1}{2}$$ 又因为椭圆的方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，代入$\frac{b}{a}=\frac{1}{2}$可得：$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{4y^2}{a^2}=1$$ 即：$$x^2+4y^2=a^2$$ （Ⅱ）（i）设椭圆C的另一个顶点为$V$，则$OV$为椭圆的长轴，$OF$为椭圆的短轴，且$OV=2a$，$OF=\sqrt{3}a$。

2019版高考数学(理科 课标版)一轮复习题组训练：微专题5 高考中的圆锥曲线问题 Word版含解析

2019版高考数学(理科 课标版)一轮复习题组训练：微专题5 高考中的圆锥曲线问题 Word版含解析

微专题5 高考中的圆锥曲线问题一、选择题(每小题5分,共20分)1.已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a>0,b>0)过点(√2,√3),其实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形,则双曲线C 的标准方程是 ( )A .x 212-y 2=1B .x 2-y 23=1 C .x 29-y 23=1D .x 223-y 232=12.设F 1,F 2是双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,P 为双曲线右支上一点,若∠F 1PF 2=90°,c=2,S △PF 2F 1=3,则双曲线的两条渐近线的夹角为 ( )A.π5 B.π4 C.π6 D.π33.已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的中心为O ,一个焦点为F ,若以O 为圆心,|OF|为半径的圆与椭圆恒有公共点,则椭圆的离心率的取值范围是 ( )A.[√22,1) B .(0,√32] C.[√32,1) D .(0,√22]4.已知M ,N 为双曲线x 24-y 2=1上关于坐标原点O 对称的两点, P 为双曲线上异于M ,N 的点,若直线PM 的斜率的取值范围是[12,2],则直线PN 的斜率的取值范围是 ( )A.(18,12)B.[-12,-18] C.[18,12] D.[-12,-18]∪[18,12]二、填空题(每小题5分,共10分)5.已知离心率为√22的椭圆C :x 22+y 2b 2=1(0<b<√2)与y 轴的正半轴交于A 点, P 为椭圆上任意一点,则|PA|的最大值为 .6.在平面直角坐标系xOy 中,抛物线Γ:x 2=my (m ≠0)的焦点为F ,准线为l ,A ,B 是Γ上两个不同的动点,且∠AFB=θ(θ为常数),2OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,过点M 作l 的垂线,垂足为N ,若|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=λ|MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,实数λ的最小值为√2-√3,tan θ的值为 . 三、解答题(共48分)7.(12分)如图5-1,已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√32,且过点P(2,-1).(1)求椭圆C的标准方程;(2)设点Q在椭圆C上,且PQ与x轴平行,过P点作两条直线分别交椭圆C于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,若直线PQ平分∠APB,求证:直线AB的斜率是定值,并求出这个定值.图5-18.(12分)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个焦点为F1(-√6,0), 且过点T(√6,√22).(1)求椭圆C的方程;(2)设P(0,-1),直线l与椭圆C交于A,B两点,且|PA|=|PB|.求△OAB(O为坐标原点)的面积S的取值范围.9.(12分)如图5-2,AB为抛物线x2=2py(p>0)的弦,且以AB为直径的圆恒过原点O(A,B均不与O重合),△AOB面积的最小值为16.(1)求抛物线的方程;(2)设过点A,B的切线的交点为M,试问点M是否在某定直线上?若在,求出该直线的方程;若不在,请说明理由.图5-210.(12分)已知圆(x+2)2+y2=36的圆心为B,A(2,0),C为圆上任意一点,线段AC的垂直平分线l 与线段CB的交点为P.(1)求点P的轨迹Γ的方程;(2)已知Q 为曲线Γ上一动点,M (3,0),过O (O 为坐标原点)作线段QM 的垂线交曲线Γ于E ,D 两点,求|DE ||QM |的取值范围.答案1.B 由题意得ba=tan 60°=√3,又双曲线C过点(√2,√3),所以(√2)2a 2-(√3)2b2=1,联立方程得{ba =√3,2a 2-3b 2=1,解得{a 2=1,b 2=3,所以双曲线C 的标准方程是x 2-y 23=1,故选B .2.D 由题意知{|PF 1|2+|PF 2|2=16,12|PF 1||PF 2|=3,化简得(|PF 1|-|PF 2|)2=4,结合图形(图略),可得|PF 1|-|PF 2|=2=2a ,所以a=1,b=√22-12=√3,所以渐近线方程为y=±√3x ,所以双曲线的两条渐近线的夹角为π3,故选D .3.A 由于以O 为圆心,以b 为半径的圆内切于椭圆,所以要使以O 为圆心,以c 为半径的圆与椭圆恒有公共点,需满足c ≥b ,则 c 2≥b 2=a 2-c 2,所以2c 2≥a 2,所以1>e ≥√22,故选A.4.C 设M (x 0,y 0),N (-x 0,-y 0),P (m ,n )(m ≠±x 0),则k PM =n -y 0m -x 0,k PN =n+y 0m+x 0.因为点P ,M ,N 均在双曲线x 24-y 2=1上,所以m 24-n 2=1,x 024-y 02=1,两式相减得(m -x 0)(m+x 0)4-(n-y 0)(n+y 0)=0,化简得n -y0m -x 0·n+ym+x 0=14,即k PM ·k PN =14,又12≤k PM ≤2,即12≤14k PN≤2,解得18≤k PN ≤12,故选C .5.2 由椭圆C 的长半轴长a=√2,离心率e=c a =√2=√22,知c=1,所以b=√a 2-c 2=1,所以椭圆C的方程为x 22+y 2=1,所以 A (0,1).设P (x ,y ),由两点间的距离公式可得|PA|=√x 2+(y -1)2=√2-2y 2+y 2-2y +1=√4-(y +1)2, 因为-1≤y ≤1,所以当y=-1时,|PA|取得最大值2.6.√33 因为2OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2,所以M 为线段AB 的中点.设|AF|=x ,|BF|=y ,根据抛物线的定义,知|MN|=x+y 2,因为|AB|2=x 2+y 2-2xy cos θ,且|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=λ|MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,所以λ2=(|AB ⃗⃗⃗⃗⃗||MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |)2=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗|2|MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=x 2+y 2-2xycosθx 2+y 2+2xy4=4(1-2+2cosθx y +yx+2)≥4(1-2+2cosθ4)=2-2cos θ,当且仅当x y =yx 时取等号.因为λ的最小值为√2-√3,2-2cos θ=(√2-√3)2,解得cos θ=√32,又0<θ≤π,所以θ=π6,所以 tanθ=√33.7.(1)因为椭圆C 的离心率为ca =√32,所以a 2-b 2a 2=34,即a 2=4b 2,所以椭圆C 的方程可化为x 2+4y 2=4b 2,又椭圆C 过点P (2,-1),所以4+4=4b 2,解得b 2=2,a 2=8, 所以椭圆C 的标准方程为x 28+y 22=1.(4分)(2)由题意,知直线PA ,PB 的斜率均存在且不为0,设直线PA 的方程为y+1=k (x-2)(k ≠0), 联立方程,得{x 2+4y 2=8,y =k (x -2)-1,消去y 得(1+4k 2)x 2-8(2k 2+k )x+16k 2+16k-4=0, (6分)所以2x 1=16k 2+16k -41+4k 2,即x 1=8k 2+8k -21+4k 2,因为直线PQ 平分∠APB ,且PQ 与x 轴平行,所以直线PA 与直线PB 的斜率互为相反数, 设直线PB 的方程为y+1=-k (x-2)(k ≠0),同理可得x 2=8k 2-8k -21+4k 2. (9分)又{y 1+1=k (x 1-2),y 2+1=-k (x 2-2),所以y 1-y 2=k (x 1+x 2)-4k , 即y 1-y 2=k (x 1+x 2)-4k=k ·16k 2-41+4k 2-4k=-8k1+4k 2,x 1-x 2=16k1+4k 2. 所以直线AB 的斜率k AB =y 1-y 2x 1-x 2=-8k1+4k 216k 1+4k 2=-12,为定值.(12分)8.(1)解法一 依题意得{a 2-b 2=6,6a2+12b2=1,解得{a 2=8,b 2=2,(2分)所以椭圆C 的方程为x 28+y 22=1.(4分)解法二 依题意得c=√6,2a=√2(√6-√6)+(√22-0)=4√2,(2分)所以a=2√2,于是b 2=a 2-c 2=2, 所以椭圆C 的方程为x 28+y 22=1.(4分)(2)由题意知,直线l 的斜率存在,设直线l 的斜率为k.①当k=0时,可设直线l 的方程为y=y 0(-√2<y 0<√2,且y 0≠0),A (-x 0,y 0),B (x 0,y 0),则x 028+y 022=1,所以S=12|2x 0|·|y 0|=|x 0|·|y 0|=2√y 02·(2-y 02)≤2·y 02+(2-y 02)2=2,当且仅当y 02=2-y 02,即|y 0|=1时取等号,此时0<S ≤2. (6分)②当k ≠0时,可设直线l 的方程为y=kx+m ,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).联立得{y =kx +m ,x 28+y 22=1,消去y ,整理得(1+4k 2)x 2+8kmx+4(m 2-2)=0,(7分)由Δ=(8km )2-4(1+4k 2)·4(m 2-2)>0,得8k 2+2>m 2 (*), 则x 1+x 2=-8km1+4k2,x 1x 2=4(m 2-2)1+4k2,所以可得AB 的中点M (-4km1+4k 2,m1+4k 2). (9分)因为|PA|=|PB|,所以PM ⊥AB ,所以k PM =m1+4k 2+1-4km 1+4k 2-0=-1k ,化简得1+4k 2=3m ,结合(*)可得0<m<6.又点O 到直线l 的距离d=√1+k2,|AB|=√1+k 2|x 1-x 2|=4√1+k 2·√8k 2+2-m 21+4k 2,所以S=12|AB|·d=12·4√1+k 2·√8k 2+2-m 21+4k 2·√1+k 2, (11分)即S=23√6m -m 2=23√-(m -3)2+9. 所以,当m=3时,S 取得最大值2,即0<S ≤2.综上,△OAB (O 为坐标原点)的面积S 的取值范围为(0,2]. (12分)9.(1)不妨设点A 在第二象限,点B 在第一象限. 设直线OA :y=kx (k<0),与抛物线方程联立,化简得x 2-2pkx=0,解得x=0或x=2pk ,则A (2pk ,2pk 2),由于以AB 为直径的圆恒过原点O ,所以OA ⊥OB , 所以直线OB 的斜率为-1k,同理可得B (-2p k ,2pk2).(2分)所以S △AOB =12|OA||OB|=12√(4p 2k 2+4p 2k 4)(4p 2k 2+4p 2k 4)=2p 2√2+k 2+1k 2≥ 4p 2,当且仅当k=-1时等号成立.所以4p 2=16,p=2,即抛物线的方程为x 2=4y. (6分)(2)由(1)知y=x 24,则y'=x2,k MA =2k ,k MB =-2k.所以直线MA 的方程为y-4k 2=2k (x-4k ),直线MB 的方程为y-4k2=-2k(x+4k),(9分)联立两直线方程,得{y -4k 2=2k (x -4k ),y -4k 2=-2k (x +4k ),解得x=2(k 2-1)k ,y=-4, 由于x=2(k 2-1)k∈R,所以点M 在定直线y=-4(x ∈R)上. (12分)10.(1) 如图D 5-1,连接PA ,图D 5-1由于l 是线段AC 的垂直平分线, 所以|PC|=|PA|,所以|PB|+|PA|=|PB|+|PC|=6>4=|AB|.(2分)所以点P 的轨迹是以B ,A 为焦点,以6为长轴长的椭圆,设其方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0), 则2a=6,2c=4,从而得a=3,c=2,b 2=a 2-c 2=5,故点P 的轨迹Γ的方程为x 29+y 25=1. (4分)(2)由题意知,直线QM 的斜率存在.当直线QM 的斜率为0时,|QM|=6,DE 为椭圆Γ的短轴, 则|DE|=2√5,所以|DE ||QM |=2√56=√53. (5分)当直线QM 的斜率不为0时,设直线QM 的方程为y=k (x-3),Q (x 0,y 0), 故直线DE 的方程为y=-1k x ,由{y =k (x -3),x 29+y 25=1得(5+9k 2)x 2-54k 2x+81k 2-45=0,Δ=(-54k 2)2-4(5+9k 2)(81k 2-45)>0,3+x 0=54k 25+9k 2, 即x 0=27k 2-155+9k 2,所以|QM|=√(x 0-3)2+(y 0-0)2=√(1+k 2)(x 0-3)2=30√1+k 29k 2+5. (8分)由{y =-1k x ,x 29+y 25=1得(5k 2+9)x 2=45k 2,所以|DE|=√1+(-1k )2·|√5|√5k 2+9|=6√5√1+k 25k 2+9,所以|DE ||QM |=6√5√1+k25k 2+9√29k 2+5=√55·2√5k 2+9.(10分)令t=√5k 2+9>3,则|DE ||QM |=√55·9(t 25-95)+5t =√525(9t-56t )(t>3),设g (t )=9t-56t(t>3),则g'(t )=9+56t2>0,所以g (t )在(3,+∞)上是增函数,于是g (t )>9×3-563=253,所以|DE ||QM |>√525×253=√53.综上,|DE||QM|的取值范围是[√53,+∞). （12分）。

2019年高三数学理一轮复习典型题专项训练：圆锥曲线

2019年高三数学理一轮复习典型题专项训练：圆锥曲线

7、（广州市海珠区2018届高三综合测试（一）且过点．()2,1A (Ⅰ) 求椭圆的方程；C (Ⅱ) 若不经过点的直线A l PQ是椭圆上的动点，从原点向圆的斜率存在，并分别记为在平面直角坐标系中，已知点，，动点不在轴上，直线、的斜率之积．（Ⅰ）求动点的轨迹方程；（Ⅱ）经过点的两直线与动点的轨迹分别相交于、两点。

是否存在常数，使得任意满足的直线恒过线段的中点？请说明理由．的离心率为是和）求曲线的方程；）倾斜角为的直线过原点且与交于两点，倾斜角为的直线过且与交于若，求）因为,,故,所以,故.又圆的标准方程为,从而,所以.由题设得,,,由椭圆定义可得点的轨迹方程为：（））当与轴不垂直时设的方程为,,.由得.则,.所以.过点且与垂直的直线：,到的距离为,所以.故四边形的面积.可得当与轴不垂直时,四边形面积的取值范围为.当与轴垂直时,其方程为,,,四边形的面积为12.综上,四边形面积的取值范围为.4、5、、14、解：（Ⅰ）设（），则，，……2分由得，，……4分化简整理得，动点的轨迹方程为（）……5分（Ⅱ）动点的轨迹与轴的两个交点为、，猜想时，直线恒过线段的中点……7分（猜想存在1分，猜想存在且2分）记，则直线：，解得……9分当时，，则直线：，同理可得……11分线段的中点是线段的中点，所以直线恒过线段的中点……12分15、【解析】（1）由题可知，椭圆中，解得，所以椭圆的方程是；。

5分（2）设倾斜角为的直线为，倾斜角为的直线，①当时，由，知，则，于是，此时；。

6分）当时，由，知，且这两条直线的斜率互为相反数，设，则，由，可得，则，由可得：，由于，设与椭圆的两个交点坐标依次为，于是，∴。

，综上所述总有．16、解：。

2019年高考理科数学一轮单元卷：第十九单元圆锥曲线A卷(含答案)

2019年高考理科数学一轮单元卷：第十九单元圆锥曲线A卷(含答案)

一轮单元训练金卷▪高三▪数学卷（A ）第十九单元 圆锥曲线注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．双曲线22=13x y -的焦点坐标是（ ）A ．()，)B ．()2,0-，()2,0C ．(0，，D ．()02-，，()0,22．若双曲线22(0)5y x m m -=>的焦距等于离心率，则m =（ ）A ．120B ．110C ．15D ．143．若双曲线()222109y x a a -=>的一条渐近线与直线13y x =垂直，则此双曲线的实轴长为（ ）A ．2B ．4C ．18D ．364．设椭圆22:14x C y +=的左焦点为F ，直线():0l y kx k =≠与椭圆C 交于A ，B 两点，则AF BF+的值是（ ）A ．2B ．C ．4D ．5．设1F 、2F 是椭圆的两个焦点，点P 为椭圆上的点，且128F F =，1210PF PF +=，则椭圆的短轴长为（ ） A ．6B ．8C ．9D ．106．双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的离心率为2，则双曲线的渐近线方程是（ ）A ．20x y ±=B ．20x y ±=C 0y ±=D ．0x ±=7．已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为K ，抛物线上一点P ，若5PF =，则PFK △的面积为（ ） A ．4B ．5C ．8D ．108．已知双曲线2222:1-=x y C ，其左焦点为()15,0F -，则双曲线C 的方程为（ ）A C D 9的一条渐近线方程为20x y +=，1F ，2F 分别是双曲线C 的左、右焦点，点P 在双曲线C 上，且 ） A ．1B ．3C ．1或9D ．3或710．双曲线22221(00x y E a b a b-=>>：，），过右焦点F 作渐近线l 的垂线，垂足为M ，若OFM △的面积是1，则双曲线E 的实轴长是（ ）A B ．C ．1D ．211．如图，AB 为经过抛物线22(0)y px p =>焦点F 的弦，点A ，B 在直线2px =-上的射影分别为1A ，1B ，且113AA BB =，则直线AB 的倾斜角为（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．512π 12．已知抛物线28x y =，过点(),4P b 作该抛物线的切线PA ，PB ，切点为A ，B ，若直线AB 恒过A ．()4,0B ．()3,2C ．()0,4-D ．()4,1二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上）13．抛物线2y =的焦点到准线的距离为__________．14．已知F 为双曲线220()3C x my m m ：－＝＞的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为______．15．设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点与抛物线216y x =方程为__________．16．设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，过点F 且倾斜角为4π的直线l 与抛物线相交于A ，B 两点，4AB =，则该抛物线的方程为__________．三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）设命题p ：对任意实数x ，不等式220x x m -+≥恒成立；命题q :22x y 表示焦点在x 轴上的双曲线．（1）若命题p 为真命题，求实数m 的取值范围； （2）若p 是q 的充分条件，求实数t 的取值范围．18．（12分）已知椭圆C ：的左、右焦点分别为1F 、2F ，焦距为2，过点2F 作直线交椭圆C 于M 、N 两点，1F MN △的周长为 （1）求椭圆C 的方程；（219．（12分）已知点()1,P m 在抛物线()2:20C y px p =>上，F 为焦点，且3PF =．（1）求抛物线C 的方程；（2）过点()4,0T 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，求OA OB ⋅的值．20．（12分）抛物线22(0)y px p =>上的点P 到点,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭的距离与到直线0x =的距离之差为1，过点(),0M p 的直线l 交抛物线于A ，B 两点． （1）求抛物线的方程；（2）若ABO △的面积为l 的方程．21．（12分）如图，过抛物线()220y px p =>的焦点F 作一条倾斜角为的直线与抛物线相交于A ，B 两点．（1）用p 表示（2）若3OA OB ⋅=-求这个抛物线的方程．22．（12分）已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为()20，，右顶点为（O 为原点）（1）求双曲线C 的方程；（2）若直线1l ：与双曲线恒有两个不同的交点A 和B ，且2⋅>OA OB ，求k 的取值范围．一轮单元训练金卷▪高三▪数学卷答案（A ）第十九单元 圆锥曲线一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．【答案】B【解析】因为双曲线方程为2213x y -=，所以焦点坐标可设为(),0c ±，因为222314c a b =+=+=，2c =，所以焦点坐标为()2,0±，选B ． 2．【答案】A【解析】双曲线2205y x m m -=（＞）的焦距等于离心率．可得：=e即e =120m =．故选A ． 3．【答案】C【解析】由双曲线的方程22219y x a -=，可得一条渐近线的方程为3a y x =-， 所以1133a -⨯=-，解得9a =，所以双曲线的实轴长为218a =，故选C ．4．【答案】C【解析】设椭圆的右焦点为2F 连接2AF ，2BF ，因为OA OB =，2 OF OF =，所以四边形2AFBF 是平行四边形．所以2BF AF =，所以224AF BF AF AF a +=+==，故选C ． 5．【答案】A【解析】由题意，椭圆满足1210PF PF +=，128F F =， 由椭圆的定义可得210a =，28c =，解得5a =，4c =，又22222549b a c =-=-=，解得3b =，所以椭圆的短轴为26b =，故选A ． 6．【答案】C【解析】由题意得2c e a ===，∴b a = 又双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线方程为b y x a =±，∴双曲线的渐近线方程是y =0y ±=，故选C ． 7．【答案】A【解析】由抛物线的方程24y x =，可得()1,0F ，()1,0K -，准线方程为1x =-， 设()00,P x y ，则015PF x =+=，即04x =，不妨设()00,P x y 在第一象限，则()4,4P ，所以01124422PKF S FK y =⨯=⨯⨯=△，故选A ．8．【答案】D【解析】，其左焦点为()15,0F -，∴5c =，，∴3a =，∵222c a b =+，∴216b =，∴双曲线C 的标准方程为D ．9．【答案】C【解析】因为222415c a b =+=+=，所以或9，故选C ． 10．【答案】D【解析】因为FM b =，OF c =，所以OM a =，故12ab=，即2ab =， 由5c a =，所以2225a b a +=，即2b a =，故1a =，2b =，双曲线的实轴长为2．故选D ． 11．【答案】C【解析】由抛物线定义可知：1F AA A =，1BB BF =，设1BB t =， ∵113AA BB =，∴4AB t =，作1BH AA ⊥交1AA 于H ，则2AH t = 在Rt ABH △中，cos 3HAB π∠=，∴直线AB 的倾斜角为3π，故选C ． 12．【答案】C【解析】设A ，B 的坐标为()11x y ，，()22x y ，，28x y =，4x y '=，PA ，PB 的方程为()1114x y y x x -=-，()2224xy y x x -=-由22118x y =，22228x y =，可得114x y x y =-，224x y x y =-切线PA ，PB 都过点(),4P b ，(),4P b ，2244xb y =⨯-，故可知过A ，B 两点的直线方程为44bx y =-，当0x =时，4y =，直线AB 恒过定点()04-，，故选C ． 二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上）13．【解析】根据题意，抛物线2y =的标准方程为2x y =，其焦点坐标为（，准线方程为y =，则其焦点到准线的距离为4，故答案为4．14．【解析】双曲线2230C x my m m =>：﹣（）可化为22133x y m -=，∴一个焦点为)，一条渐近线方程为0x =，∴点F 到C =15．【答案】221248x y +=【解析】由题意知抛物线216y x =的焦点为4,0（），∴4c =，∵4c e a a ===，∴a = ∴2228b a c =-=，∴椭圆的方程为221248x y +=．故答案为221248x y +=． 16．【答案】22y x =【解析】直线AB 方程为2p y x =-，代入抛物线方程并整理得22304p x px -+=， 设()11,A x y ，()22,B x y ，则123x x p +=，又12AB x x p =++，∴34p p +=，1p =， ∴抛物线方程为22y x =，故答案为22y x =．三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．【答案】（1）1m ≥；（2）(]0,1．【解析】（1）∵不等式220x x m -+≥恒成立，∴440m ∆=-≤，1m ≥， ∴当1m ≥时，p 为真命题．（2表示焦点在x 轴上的双曲线．∴0 0->>⎧⎨⎩m t m ，得>m t ； ∴当m t >时，q 为真命题．∵p 是q 的充分条件，∴，∴1t ≤ 综上，t 的取值范围是(]0,1．18．【答案】（1（2． 【解析】（1）因为焦距为2，所以22c =，即1c =．又因为1F MN △的周长为，于是椭圆C 的方程（2，所以直线MN 的方程为1y x =-，y 可得2340x x -=．设()11,M x y ，()22,N x y ，则，210x x =，19．【答案】（1）28y x =；（2）16-．【解析】（1）抛物线()2:20C y px p =>，焦点,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由132p PF =+=得4p =．∴抛物线C 得方程为28y x =．（2）依题意，可设过点()4,0T 的直线l 的方程为4x ty =+，由28 4y xx ty =+⎧⎨⎩=得28320y ty --=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则1232y y =-， ∴222212111688x x y y =⨯=，∴121216OA OB x x y y ⋅=+=-． 20．【答案】（1）24y x =；（2）2=-y x 或2=--y x ． 【解析】（1）设()00,P x y ，由定义知02p PF x =+，所以，0012p x x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，所以2p =，所以，抛物线方程为24y x =；（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，由（1）知()2,0M ；若直线l 的斜率不存在，则方程为2x =，此时AB =ABO △的面积为l 的斜率存在；设直线l 的方程为()2y k x =-，带入抛物线方程得：()22224140k x k x k -++=()222161160k k ∆=+->，所以，12244xx k +=+，124x x =，所以AB =， 点O 到直线l的距离为=d=1=±k ． 所以，直线l 的方程为2=-y x 或2=--y x ． 21．【答案】（1）4=AB p ；（2）24=y x ．【解析】（1，过点F且倾斜角为 设()11,A x y ，()22,B x y∴213+=x x p ，2124=p x x ，∴124=++=AB x x p p（2）由（1）知，123+=x x p ，2124=p x x∴12⋅=OA OB x x ，解得24=p ，∴2=p∴这个抛物线的方程为24=y x ．22．【答案】（1（2313，⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭． )0,0>b ，由2⋅>OA OB 得2+>A B A B x x y y ，故k 的取值范围为313，⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭．。