例说不等式的证明

288sin 8R RA R S r===∑,故(3)式获证.推论3'''338a b c xyz abc ≥≥.(4)当且仅当△ABC 为正三角形时取等号.证明由'4cos 2A a R =,4sin 2Ax R =等,及4abc Rrs =,sin 24A rRπ=,cos 24A s Rπ=,33s r ≥,332R s ≥,得32'''64cos 162Aa b c R R s π==,3264sin 162Axyz R R r π==,∴'''33a b c s xyz r =≥,即'''33a b c xyz ≥,又∵3333182xyz R abcs=≥,即338xyz abc ≥,故(4)式获证.推论4设△EIF 、△FID 、△DIE 的面积分别为A 、B 、C ,则3()4a b c a b c A B C ++++≥(5)当且仅当ABC 为正三角形时取等号.证明∵1sin 2A yz EIF=∠14sin4sinsin()22222B C AR R π=+28cos sin sin 222A B CR =由cos sin sin 2224A B C s a R =,cot 2A s a r =,立得2cot 2A A Rr =,同理2cot 2B B Rr =,2cot 2CC Rr =.注意到2sin 122A rR=∑,并应用Euler不等式:2R r ≥,得4sincos222cot2A AR a A Rr =∑∑222121sin 22A r r R r r==≥∑,即333()224a s abc A r ++≥==∑故(5)式获证(以上用∑表示循环和,π表示循环积).参考文献[1]闵飞.三角形的外角平分线三角形的两个性质.中学数学,2004,8[2]邹守文.三角形外角平分线构成的三角形的又几个性质.中学数学,2005,1[3]邹守文.关于外角平分线三角形的一个恒等式.中学数学.2005,5[4]田平.关于旁心三角形的一个基本不等式.中学教研(数学),1994,4例说构造函数证明不等式福建龙岩二中张南福不等式的证明经常会出现在不等式与函数、数列、三角等综合题型中,它是学生逻辑推理能力和变形化简能力训练的有效途径.平时教学时,必须抓住不等式常见的证明方法,注重欲证式子的结构分析,同时也要重视其它证明方法的灵活运用.构造函数证明不等式就是不等式证明的一种重要方法,它是在不等式中渗透函数思想的重要手段,本文就如何从式结构分析来构造函数证明不等式进行探索.例1已知1a ≥,求证:11a a aa +<.证明构造函数()1f x x x =+,62则1()1f xx x=++.显然,当0x≥时,()f x为减函数又1a≥,∴10a a>≥.∴()(1)f a f a<,而()1f a a a=+,(1)1f a a a=,∴11a a a a+<.函数、方程、不等式是密切联系的,因此不等式证明如能与函数性质尤其是函数的单调性联系在一起,证明将是非常简捷方便而准确.例2已知a b c<<,求证:222222a b b c c a ab bc ca++<++.证明将b看作自变量,用x替换,原题即证当a x c<<时,函数22222()()(f x a x x c c a ax xc=+++2)0ca+<.事实上,22()()(f x c a x a=+2)c x+22()c a ca,易知()()0f a f c==,又c a>,∴0c a>.函数()f x的图象为开口向上的抛物线,它与x轴有两个交点(,0)a和(,c 0),因此当(,)x a c∈时,有()0f x<,从而获证.一定的数学内容可以有多种不同的存在形式,同一数学形式也可以从多种内容上去理解,因此,我们的解题思路、思考方向应“广开门路”.本题解题过程的启示、分析,领悟那无限的数学机智,函数的数形结合思想为人们分析问题和解决问题提供了重要的思想方法和有效的手段.例3已知0a b c++>,ab bc ca++>,0abc>求证:0,0,0a b c>>>.证明设()()()()f x x a x b x c=+++,则32()()()f x x a b c x ab bc ca x abc=+++++++,∵0a b c++>,0ab bc ca++>,abc>.∴方程()0f x=在区间[)0,+∞上无解,因此方程()0f x=的三个根,,a b c均在区间(),0∞上,故0,0,0a b c>>>.本题如果直接从正面证明,确实相当困难,容易陷入多元素的重围之中而难以自拔.所提供的解法,构思新颖,独具匠心,通过命题的等价转化把三个数大于零的证明转化为某方程三根小于零的证明.这种函数方程思想、创新思维确实难能可贵,值得借鉴.例4求证:2112a a≤++≤.证明令'1x a=,'1y a=+,则22''2('0,'0)x y x y+=≥≥.设''y x y=+,问题转化为目标函数y=''x y+在可行域22''2('x y x+=≥0,'0)y≥即圆心在原点,半径为2的圆在第一象限的部分(含两个端点)的最值问题.如图所示,利用线性规划相关知识,不难求出22y≤≤.∴2112a a≤++≤.本题有多种方法,所提供证法的思路更注意内容上的转化,表现为思维比较抽象、比较跳跃的推理,观察点更高、能力更强、格调更新,把内容与形式结合起来思考,必然思路更加广阔,风格更加高雅.例5设01,01,01x y z<<<<<<,求证:(1)(1)(1)1x y y z z x++<.证明设函数()(1)(1)(1)f x x y y z z x=++(1)()x y z y z yz=++(01)x<<.(1)当10y z=即1y z+=时,()11f x y z yz y z=+=<;(2)当10y z>时,()f x在(0,1)上是增函数,即()()f x f yz<=<;yxO222211127(3)当10y z <时,()f x 在(0,1)上是减函数,即()(0)f x f y zyz<=+1(1)(1)1y z =<.综上所述,原不等式成立.此题目证明应用了函数的如下性质:函数()f x ax b =+在[,]x αβ∈上的图象是一条线段,显然对一切[,]x αβ∈都有()max{(),()}f x f f αβ≤.例6,a b 均为正数,求证:不等式1a b +>.①成立的充要条件是:对于任意实数1x >,有/(1)ax x x b +>.②分析只需证不等式②对(1,)x ∈+∞恒成立的充要条件是不等式①成立.可考虑最值法.证明设()/(1)(1)f x ax x x x =+>,那么不等式②对(1,)x ∈+∞恒成立的充要条件是函数()(1)f x x >的最小值大于b.∵()11/(1)f x ax x =++(1)(1)1/(1)a a x x =+++(1)2a a ≥++2(1)a =+,当且仅当(1)1/(1)a x x =即11/x a =+时,上式等号成立,故()f x 的最小值是2(1)a +.因此,不等式②对1x >恒成立的充要条件是:2(1)a b +>即1a b +>.证明运用了函数最值思想,几乎在产生这个念头的同时,题目也就证明了.问题是怎样才能想到？这需要我们平时有意识训练构造性思维,需要我们对题目的条件进行深入的观察,并对结论作广泛的联想.数学家希尔伯特在巴黎世界数学家代表大会曾说过:“数学科是一个不可分割的有机整体,它的生命力在于各部分之间的联系.”的确,数学最为迷人之处是不同分支之间有许多相互影响,预想不到的联系有时会奇迹般地展观在你的眼前.以上通过函数思想构造函数证明不等式就是一个很好的例子.戴上“函数眼镜”看数列福建宁化一中邱云数列是高中数学中的重要一章.它以其内容的丰富性和探索性,以其解法的灵活性和多样性,能从多角度检测学生思维的广度和深度,多年来倍受高考亲睐.2005年全国各地16份高考卷中,有6个省市以数列为压轴题.函数思想方法与数列的结合是一种常见又富有挑战性的综合题,高考命题中频频出现.所以,学习数列除了熟练掌握有关公式性质的运用,还需戴上“函数眼镜”,善于运用函数观点审视分析问题.这样有助于我们快捷省力地解题,有助于培养对数学知识的综合灵活运用能力,有助于良好思维习惯和品质的形成.1运用函数观点,看待n a 和nS 数列中的两大派系是等差数列和等比数列,考察的两大主题是通项n a 和前n 和n S ,其实数列是一种特殊的函数,且看()n a f n =与()n S f n =.在等差数列{}n a 中,通项公式n a =1a +1(1)()n d dn a d =+*()n N ∈,得n a =()f n kn b =+,其中1,k d b a d ==,它是关于n 的一次函数形式,当0d >时,n a 递增;0d <时,n a 递减.前n 项和1n S na =21(1)()222n n d dd n a n +=+,所以n S =2()f n An Bn =+,其中/2,A d =1/2B a d =,它是关于n 的不含常数项的二次函数,借助二次函数的性质特征,在研究n S 的有关性质和判断等差数列上可达事半功倍之效.例1已知数列{}n a 中首项10a >的常数,前n 项和22112353333n S a n a n =+,(1){}n a 是否为等差数列？()S 取得最大值,则=2n n .28。

例说与二次函数有关的含有绝对值不等式的证明问题二次函数是数学中一种非常重要的函数类型，它的图像呈现出抛物线的形状。

而绝对值不等式是描述了一个变量与另一个变量之间的不等关系，其中包含了绝对值运算。

在本文中，我们将探讨二次函数与绝对值不等式的关系，并给出一个例子来说明如何证明这种含有绝对值的不等式。

首先，我们来介绍二次函数的基本形式，它可以表示为：f(x) = ax^2 + bx + c其中a、b和c是实数常数，且a不等于零。

这个函数有一个重要的性质，即它的图像总是一个抛物线，开口的方向取决于a的正负。

接下来，我们来讨论绝对值不等式的基本形式，它可以表示为：g(x)，<d其中g(x)是一个与x有关的函数，d是一个正实数。

这个不等式的含义是，g(x)的绝对值小于d时，不等式成立。

现在，我们来考虑一个含有绝对值不等式的二次函数的证明问题。

假设我们要证明以下不等式成立：ax^2 + bx + c， < k其中a、b、c和k都是已知的实数常数。

首先，我们可以将不等式拆分成两个部分，考虑g(x) = ax^2 + bx+ c的两种情况：当g(x) 大于等于 0 时，以及当g(x) 小于 0 时。

对于这两种情况，我们可以分别进行讨论和证明。

情况一：g(x)大于等于0当g(x)大于等于0时，即ax^2 + bx + c >= 0这意味着抛物线的开口朝上，并且g(x)的绝对值可以简化为g(x)，因此我们可以将不等式重写为：ax^2 + bx + c < k接下来，我们需要找到函数g(x)与k之间的最大值。

这可以通过求导数的方式来实现。

我们对函数g(x)进行求导，并令导数等于0，可以得到抛物线的顶点坐标。

然后我们将这个坐标带入g(x)中，即可得到g(x)的最大值。

我们将这个最大值命名为M。

因此，我们可以将不等式进一步简化为：g(x)<M然后，我们可以使用一些常用的技巧来证明这个不等式的正确性，比如因子分解、配方法、或者其他适用的方法。

不等式的证明·典型例题【例1】已知a，b，c∈R+，求证：a3+b3+c3≥3abc．【分析】用求差比较法证明．证明：a3+b3+c3-3abc=[(a+b)3+c3]-3a2b-3ab2-3abc=(a+b+c)[(a+b)2-(a+b)c+c2]-3ab(a+b+c)=(a+b+c)[a2+b2+c2-ab-bc-ca]∵a，b，c∈R+，∴a+b+c＞0．(c-a)]2≥0即 a3+b3+c3-3abc≥0，∴a3+b3+c3≥3abc．【例2】已知a，b∈R+，n∈N，求证：(a+b)(a n+b n)≤2(a n+1+b n+1)．【分析】用求差比较法证明．证明：左-右=a n+1+ab n+a n b+b n+1-2a n+1-2b n+1=ab n+a n b-a n+1-b n+1=a(b n-a n)+b(a n-b n)=(b n-a n)(a-b)(*) 当a＞b＞0时，b n-a n＜0，a-b＞0，∴(*)＜0；当b＞a＞0时，b n-a n＞0，a-b＜0，∴(*)＜0；当a=b＞0时，b n-a n=0，a-b=0，∴(*)=0．综上所述，有(a+b)(a n+b n)-2(a n+1+b n+1)≤0．即 (a+b)(a n+b n)≤2(a n+1+b n+1)．【说明】在求差比较的三个步骤中，“变形”是关键，常用的变形手段有配方、因式分解等，常将“差式”变形为一个常数，或几个因式积的形式．【例3】已知a，b∈R+，求证a a b b≥a b b a．【分析】采用求商比较法证明．证明：∵a，b∈R+，∴a b b a＞0综上所述，当a＞0，b＞0，必有a a b b≥a b b a．【说明】商值比较法的理论依据是：【例4】已知a、b、c是不全等的正数，求证：a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)＞6abc．【分析】采用综合法证明，利用性质a2+b2≥2ab．证明：∵b2+c2≥2bc，a＞0，∴a(b2+c2)≥2abc．①同理b(c2+a2)≥2abc②c(a2+b2)≥2abc③∵a，b，c不全相等，∴①，②，③中至少有一个式子不能取“=”号∴①+②+③，得a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)＞6abc．【例5】已知a，b，c∈R+，求证：(1)(ab+a+b+1)(ab+ac+bc+c2)≥16abc；【分析】用综合法证明，注意构造定理所需条件．证明：(1)ab+a+b+1=(a+1)(b+1)，ab+ac+bc+c2=(a+c)(b+c)．∴(a+1)(b+1)(a+c)(b+c)≥16abc因此，当a，b，c∈R+，有(ab+a+b+1)(ab+ac+bc+c2)≥16abc．【说明】用均值定理证明不等式时，一要注意定理适用的条件，二要为运用定理对式子作适当变形，把式子分成若干分，对每部分运用均值定理后，再把它们相加或相乘．【分析】采用分析法证明．(*)∵a＜c，b＜c，∴a+b＜2c，∴(*)式成立．∴原不等式成立．用充分条件代替前面的不等式．【例7】若a、b、c是不全相等的正数，求证：证明二：(综合法)∵a，b，c∈R+，abc成立．上式两边同取常用对数，得【说明】分析法和综合法是对立统一的两个方面．在证法一中，前面是分析法，后面是综合法，两种方法结合使用，使问题较易解决．分析法的证明过程恰恰是综合法的分析、思考过程，综合法的证明方法是分析思考过程的逆推．【例8】已知a＞2，求证log a(a-1)·log a(a+1)＜1．【分析】两个对数的积不好处理，而两个同底对数的和却易于处理．因为我们可以先把真数相乘再取对数，从而将两个对数合二为一，平均值不等式恰好有和积转化功能可供利用．证明：∵a＞2，∴log a(a-1)＞0，log a(a+1)＞0．又log a(a-1)≠log a(a+1)∴log a(a-1)·log a(a+1)＜1．【说明】上式证明如果从log a(a-1)·log a(a+1)入手，得log a(a-1)二为一了．另外，在上述证明过程中，用较大的log a a2代替较小的log a(a2-1)，并用适当的不等号连结，从而得出证明．这种方法通常叫做“放缩法”．同样，也可以用较小的数代替较大的数，并用适当的不等号连结．【例9】已知：a，b，c都是小于1的正数；【分析】采用反证法证明．其证明思路是否定结论从而导出与已知或定理的矛盾．从而证明假设不成立，而原命题成立．对题中“至少∵a，b，c都是小于1的正数，故与上式矛盾，假设不成立，原命题正确．【说明】反证法是利用互为逆否命题具有等价性的思想进行推证的．反证法必须罗列各种与原命题相异的结论，缺少任何一种可能，则反证都是不完全的，遇到“至少”、“至多”、“唯一”等字句的命题常用反证法．|a|≤1．【说明】换元法是将较为复杂的不等式利用等价转换的思想转换成易证明的不等式．常用的换元法有(1)，若|x|≤1，可设x=sinα，α∈R；(2)若x2+y2=1，可设x=sinα，y=cosα；(3)若x2+y2≤1，可设x=【例11】已知a1、a2、…a n，b1、b2、…b n为任意实数，求证明：构造一个二次函数它一定非负，因它可化为(a1x-b1)2+(a2x-b2)2+…+(a n x-b n)2．∴Δ≤0，(当a1，a2，…a n都为0时，所构造式子非二次函数，但此时原不等式显然成立．)【说明】上例是用判别式法证明的“柯西不等式”，它可写为：变量分别取|a+b|，|a|、|b|时就得到要证的三个式子．因此，可考虑从函数∴f（x2）＞f（x1），f（x）在[0，+∞）上是增函数．取x1=|a+b|，x2=|a|+|b|，显然0≤x1≤x2．∴f（|a+b|）≤f（|a|+|b|）．【说明】这里是利用构造函数，通过函数的单调性，结合放缩法来证明不等式的．应注意的是，所给函数的单调整性应予以论证．【例13】已知a，b，m，n∈R，且a2+b2=1，m2+n2=1，求证：|am+bn|≤1．证法一：（比较法）证法二：（分析法）∵a，b，m，n∈R，∴上式成立，因此原不等式成立．证法三：（综合法）∵a，b，m，n∈R，∴（|a|-|m|）2≥0，（|b|-|n|）2≥0．即a2+m2≥2|am|，b2+n2≥2|bn|∴a2+m2+b2+n2≥2（|am|+|bn|）∵a2+b2=1，m2+n2=1，∴|am|+|bn|≤1∴|am+bn|≤|am|+|bn|≤1．证法四：（换元法）由已知，可设a=sinα，b=cosα，m=sinβ，n=cosβ．于是|am+bn|=|sinαsinβ+cosαcosβ|=|cos（α-β）|≤1．【说明】一个不等式的证明方法往往不只一种，要注意依据题目特点选择恰当的方法．【例14】已知f（x）=x2-x+c，且|x-a|＜1，（a，b，c∈R）求证：|f（x）-f（a）|＜2（|a|+1）．【分析】绝对值不等式的证明充分利用绝对值不等式性质：证明：|f（x）－f（a）|=|x2-x+c-a2+a-c|=|（x+a）（x-a）-（x-a）|=|x-a||x+a-1|＜|x+a-1|=|（x-a）+2a-1|＜|x-a|+|2a|+|（-1）|＜1+2|a|+1=2（|a|+1）．∴|f（x）-f（a）|＜2（|a|+1）．【例15】当h与|a|，|b|，1中最大的一个相等，求证：当|x|＞h时，由已知，有|x|＞h≥|a|，|x|＞h≥|b|，|x|＞h≥1 ∴|x|2≥b．。

ab 证明：要证| | ＜1 1 ab 只需证|a+b|＜|1+ab|
ab 例3：|a|＜1，|b|＜1，求证：| 1 ab |＜1
只需证|a+b|2＜|1+ab|2 展开得 a2+2ab+b2＜1+2ab+a2b2 只需证 a2+b2＜1+a2b2 只需证 a2+b2－1－a2b2 ＜0 即证（a2-1)(1-b2）＜0 ∵|a|＜1，|b|＜1 ∴a2-1＜0，1-b2＞0 （a2-1)(1-b2）＜0

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不宣的行规。为什么？原因只有一个，甲醛太便宜了！”„„„2天灾突变 ---突遇“非典”|正当花开人充满信心，准备再展往日辉 煌的时候，一场突如其来的飞来横祸将花开啤酒又一次抛入了险境。还记得那场可怕的、横扫全国的传染病——非典型肺炎（下面简 称“非典”）？地球人肯定都清楚地记得，谁也无法想像它会把全社会搅动成如此惨烈的、人人惊慌的模样！几年前爆炒兰花时，100 元钱的铃兰能“呼呼”地窜到40多万，人心都疯了。这一次，人确实都害怕了，没有那一次比这个更害怕的！仿佛地球马上就要毁灭 了，好像世界到了末日了似的，马启明刻骨铭心地记得那一场场景象。这是天灾！不是人祸。2003年初，当电视新闻首次报道，我国 广东省首例确诊的传染性疾病——“非典”时，马启明只是知道世界上又添了一种传染病叫“非典”，当个新闻听一下也就拉倒，心 想广东离江苏省海涛州绿溪镇太遥远了，“非典”不一定就能传到江苏，并没有在意，“非典”也只把它作为闲聊时的一个话题一带 而过了。与此同时花开啤酒单位员工们都忙着加班加点地生产啤酒，梦想着月底的工资和奖金又要拿到手，该如何花销？马启明从新 闻上看到，4月3日至4月8日世界卫生组织官员到达广东佛山考察，举行新闻发布会，到广州市第八人民医院考察，向外国驻广州领事 馆总领事们通报广东情况、世界卫生组织官员发布“取消到广东旅游不明智”等等一系列非正常的行动。紧接着在广东考察工作的** 总书记4月１４日上午来到广东省疾病预防控制中心慰问，深入了解防治 “非典”型肺炎的情况，特别指出：把防治“非典”型肺炎 的工作，作为关系改革发展稳定大局、关系人民群众身体健康和生命安全的一件大事，切实抓紧抓好，把防治“非典”提到政治的高 度来看。政治的高度，马启明觉得政治的高度就是要多大就有多大，一切都要给它让路，事态真的有这么严重吗？很快电视、报纸上 有关“非典”的报道越来越多，马启明感到事情越来越不对劲。 “隔离”、“消毒”、“死亡”成了每个人关注的重点，人人出门带 着口罩，公共娱乐场所关闭，特别是江苏也发现“非典”病人时，特别是啤酒销量锐减，他当初的预感被现实残酷地撕成了碎片。4月 30日单位特地召开了一次“非典”专题会，会上通报的情况，把马启明当时就给吓傻了,吓呆了，当时的情景到现在马启明仍历历在目。 为保持空气畅通，会议室的门窗都大开着。从窗口望出去，天气阴沉沉的，风“呜呜呜”地像魔鬼一样疯狂抽打着室外的行道树，路 上几乎看不到来往的车辆和行人。马启明的心里莫明地恐惧、烦燥、紧张起来，他的心脏似乎要从胸腔里蹦跳出来了一样。会议由赵 树春主持，他神情严肃地讲道：“各位，这场突