第19章几何证明§19.1命题与证明学习目标1.通过“对顶角相等”与“三角形的内角和”两例的回顾，初步理解演绎证明及其因果关系的表述；演绎证明的必要性；演绎证明的过程。
2.体会演绎证明是一种严格的数学证明，是人类理性精神的闪光。
知识概要1.演绎证明的概念演绎推理是数学证明的一种常用、完全可靠的的方法，演绎推理的过程就是演绎证明。
也就是说演绎证明是指：从已知的概念、条件出发，依据已被确认的事实和公认的逻辑规则，推导出某结论为正确的过程。
演绎证明是一种严格的数学证明，是我们现在要学习的证明方式。
在本书中演绎证明简称为证明。
学习演绎证明，可以使我们的思维更加严格、缜密，其表达条理清楚、无可辩驳，这是提高逻辑思维能力的有效手段。
运用演绎证明需要注意：①演绎证明的每一步推理都必须有依据，通常把依据写在得到的结论后面的括号内；②整个证明由一段一段的因果关系连接而成，段与段前后连贯，有序展开。
说明：推理的依据，可以是“已知条件”和“已证事实”(简记为“已知”和“已证”)，也可以是已有的概念、性质等。
这样表述的“因果关系”的形式，初学时要写得详细些，以后可以在保持论证完整的前提下逐渐省略。
由于证明的需要，可以在原来的图形上添画一些线，像这样的线叫做辅助线。
辅助线通常画成虚线。
2.演绎证明的过程演绎证明的过程是由“一连串、有序的因果关系”组成，演绎证明中每一段先说“因”再说“果”，同时要表述确立因果关系的“依据”。
3.命题能界定某个对象含义的语句叫做定义.能够判断正确与错误的语句叫做命题.其判断正确的命题称为真命题，其判断错误的命题叫做假命题.数学命题通常由题设或已知条件、结论两部分组成的.题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项.这样的命题常可写成“如果…，那么…”的形式.用“如果”开始的部分是题设，而用“那么”开始的部分是结论.4.公理与定理数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其它命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理.如古希腊著名数学家欧几里得在他的《几何原本》中提出了著名的五大公理与五大公设.五条公理：(1)等于同量的量彼此相等；(2)等量加等量，其和相等；(3)等量减等量，其差相等；(4)彼此能重合的物体是全等的；(5)整体大于部分.五条公设：(1)过两点能作且只能作一直线；(2)线段(有限直线)可以无限地延长；(3)以任一点为圆心，任意长为半径，可作一圆；(4)凡是直角都相等；(5)同一平面内一条直线和另外两条直线相交，若在直线同侧的两个内角之和小于0180，则这两条直线经无限延长后在这一侧一定相交.有些命题是从公理或其它真命题出发，用推理方法证明为正确的，并进一步作为判断其它命题真假的依据.这样的真命题叫做定理.定理依据其作用，一般可分为判定定理和性质定理.例如“等角对等边”是已知三角形的两个内角相等，得到所对的两条边相等，这是等腰三角形的判定定理；“等边对等角”是已知三角形的两条边相等，得到所对的两个角相等，这是等腰三角形的性质定理.一般来说，在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一命题就叫做它的逆命题.如果一个定理的逆命题经过证明也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理是另一 个定理的逆定理.例如“两直线平行，同位角相等”与“同位角相等，两直线平行”就是互逆定理.经典题型精析(一)演绎证明例1.已知：如图，点F E D 、、分别在ABC ∆的边AC AB 、上，且AB DF //，AC DE //，试利用平行线的性质证明=∠+∠+∠C B A 180°.试一试：如图，下面是由已知：b a ⊥，c b ⊥，求证：b a //的证明过程，由如下①②③④四句话组成： ①所以b a //； ②因为b a ⊥，c b ⊥； ③所以21∠=∠； ④所以0901=∠，0902=∠。
19.1（1）命题和证明一、填空1．如图1，已知：直线AB ，CD 被直线EF ，GH 所截，且∠1=∠2，求证：∠3+∠4=180°。
证明：∵∠1=∠2 ，又∵∠2=∠5 （ ）∴∠1=∠5∴AB ∥CD （ ） ∴∠3+∠4=180°（ ） 其中，因： 果：因： 果：因： 果：2．如图2，已知：EF ∥AD ，∠1=∠2，∠BAC=70°，求证：∠AGD=110 °。
解：∵EF ∥AD ，∴∠2= （）又∵∠1=∠2， ∴∠1=∠3， ∴AB ∥ （）∴∠BAC+ =180 °（）∵∠BAC=70 ° ∴∠AGD=110 °。
图1 GFDBC A H E2 4 1 35 图2ECDFGBA2 13其中，因：果：因：果：因：果：因：果：因：果：3．如图3，已知∠BAP与∠APD互补，∠1=∠2，在括号中填上理由．∵∠BAP与∠APD互补（）∴AB∥CD（）∴∠BAP=∠APC（）∵∠1=∠2（）∴∠BAP－∠1=∠APC－∠2 （）即∠3=∠4∴AE∥PF（）∴∠E=∠F（）其中，因：果：因：果：因：果：因：果：PAFC DEB2413图3因： 果： 4. 如图，已知：AB ＝AC ，BD ＝CD . 求证：BE ＝CE .第4题图证明：因为在△ABD 与△ACD 中⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC （ ）BD ＝CD （ ）AD ＝AD （ ）所以△ABD ≌△ACD ( ) 所以∠1＝∠2( ) 因为AB ＝AC ( ) 所以BE ＝CE ( )其中，因： 果：因： 果：因： 果：二、提高题5. 如图，已知：四边形ABCD 中∠B ＝∠C ，AB ＝DC . （1）求证：AD ∥BC .（2）并指出其中的因果关系。
19.1(2)命题和证明一、填空题1. 能说明一个名词的含义，能界定某一个对象含义的句子叫做__________．2. 判断一件事情的句子叫做__________，其判断为正确的命题叫做__________；其判断为错误的命题叫做__________．3. 人们从长期的实践中总结出来的真命题叫做__________，它们可以作为判断其他命题真假的__________．4. 有些命题是从__________或__________出发，用__________方法证明为正确的，并进一步作为其他命题真假的依据，这样的命题叫做__________．5.每个命题都是由________、________两部分组成．6. 下列语句：①直角都相等；②连结AB；③对顶角相等；④延长AB到C，使BC＝2AB；⑤若∠α＞∠β，则∠α＋∠γ＞∠β＋∠γ；⑥期中考试谁夺魁；⑦等角的余角相等．其中命题有，真命题的有________(只填序号)．二、选择题7.命题“等角的补角相等”中的“等角的补角”是（）A．题设部分 B．是题设，也是结论C．结论部分 D．不是题没，也不是结论8.判断下列命题哪个是公理（）A．对顶角相等 B．两直线平行，同旁内角互补C．同位角相等，两直线平行 D．平行于同一直线的两条直线平行三、解答题9．把下列判断列命题的真假，写成“如果……那么……”的形式，并指出命题的题设和结论：(1) 同旁内角互补；(2)同角的补角相等；(3)平行于同一直线的两条直线平行；(4)若a2＝b2，则 a＝b；(5)在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行；四、按题意作出图形，并写出已知、求证(不必证明)10. 等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等．11. 两条平行线被第三条直线所截，一对同位角的平分线互相平行．12. 平行四边形的一对邻角的平分线互相垂直．五、证明下列命题是假命题13. 等腰三角形一边上的中线也是这一边上的高。
19.1（1）命题和证明教学目标1．初步理解演绎证明及其因果关系的表述；演绎证明的必要性；演绎证明的过程；2．体会演绎证明是一种严格的数学证明，是人类理性精神的闪光．教学重点及难点重点：理解演绎证明的过程.难点：演绎证明因果关系的表述.教学流程设计教学过程设计一、复习旧知，理解概念一般来说，证明是指人们为获得使人信服的结论所采用的手段，有“实践证明”、“历史证明”、“举例证明”等多种形式；而对数学结论的正确性进行证明，还有更为严格的形式．怎样才算严格的数学证明呢？下面以“对顶角相等”为例进行分析．我们分别用几种方法来导出“对顶角相等”？师生一起回忆解决.方法一：直观说明;方法二：操作确认;方法三：推理论证.（请学生推理对顶角相等）这三种方法中哪一种最可靠、最有说服力？（请学生思考）学生发现：第三种方法.像第三种方法，称为演绎推理，演绎推理的过程就是演绎证明．也就是说演绎证明是指：从已知的概念、条件出发，依据已被确认的事实和公认的逻辑规则，推导出某结论为正确的过程．演绎推理是数学证明的一种常用的、完全可靠的方法．演绎证明是一种严格的数学证明，是我们现在要学习的证明方式．在本书中演绎证明以后简称为证明．举例：三角形内角和等于180°．请学生回忆推理过程．二、表述因果，领悟证明通过以上两例，我们初步知道了什么是演绎证明．还从中看到演绎证明的每一步推理都必须有依据，通常把每一步的依据写在由其得到的结论后面的括号内；整个证明由一段一段的因果关系连接而成，段与段前后连贯，有序展开．还是以“对顶角相等”的证明为例．请学生分析共有几个逻辑段，并分别指出“因”“果”以及确立因果关系的“依据”．再说一说“三角形内角和180°”证明中的因果关系．【说明】通过对两个熟悉证明过程的解决，有助于使学生理解证明过程是“一连串连贯、有序的因果关系”，对初学者的书写过程大有帮助，使学生顺利地从七年级的实验几何过渡到八年级的论证几何．三、应用新知，巩固所学练习：19.1（1）．（其中第二题增加一个要求，并说一说其中的因果关系．）四、小结升华谈谈你对这节课的体会和收获．五、作业反馈分层作业19.1（1）六、板书设计：教学后记：。
