命题与证明优秀课件
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《命题、定理、证明》课件(22张ppt)
判断一件事情的语句叫做命题。
注意： 1、只要对一件事情作出了判断，不管正确与否，都是命题。
如：相等的角是对顶角。
下列语句是命题吗？
①熊猫没有翅膀.
②大象是红色的
③同位角相等.
④连接A、B两点.
⑤你多大了？
句子 ① ② ③ 能判断一件事情. 是命题
句子 ④ ⑤ ⑥ 不能判断一件事情. 不是命题
问题1 请同学读出下列语句 （1）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两 条直线也互相平行； （2）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补； （3）对顶角相等； （4）等式两边都加同一个数，结果仍是等式．
像这样判断一件事情的语句，叫做命题（proposition）.
命题的概念
⑥请你吃饭。
问题2 判断下列语句是不是命题？ （1）你饭吃了吗？（ ） （2）两点之间，线段最短。（ ） （3）请画出两条互相平行的直线。 （ ） （4）过直线外一点作已知直线的垂线。 （ ） （5）如果两个角的和是90º，那么这两个角互余。（ ） （6）对顶角不相等。（ ）
（1）这个命题的题设和结论分别是什么呢？
题设：在同一平面内，一条直线垂直于两条平行线中 的一条；
结论：这条直线也垂直于两条平行线中的另一条．
（2）你能结合图形用几何语言表述命题的题设和结论吗？
命题1 在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条.
已知：b∥c， a⊥b ．
下列语句在表述形式上，哪些是对事情作了判断？哪些没有对事情作出判断？ 1、对顶角相等； 2、画一个角等于已知角； 3、两直线平行，同位角相等； 4、a、b两条直线平行吗？ 5、温柔的小明； 6、玫瑰花是动物；
否
是
注意： 1、只要对一件事情作出了判断，不管正确与否，都是命题。
如：相等的角是对顶角。
下列语句是命题吗？
①熊猫没有翅膀.
②大象是红色的
③同位角相等.
④连接A、B两点.
⑤你多大了？
句子 ① ② ③ 能判断一件事情. 是命题
句子 ④ ⑤ ⑥ 不能判断一件事情. 不是命题
问题1 请同学读出下列语句 （1）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两 条直线也互相平行； （2）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补； （3）对顶角相等； （4）等式两边都加同一个数，结果仍是等式．
像这样判断一件事情的语句，叫做命题（proposition）.
命题的概念
⑥请你吃饭。
问题2 判断下列语句是不是命题？ （1）你饭吃了吗？（ ） （2）两点之间，线段最短。（ ） （3）请画出两条互相平行的直线。 （ ） （4）过直线外一点作已知直线的垂线。 （ ） （5）如果两个角的和是90º，那么这两个角互余。（ ） （6）对顶角不相等。（ ）
（1）这个命题的题设和结论分别是什么呢？
题设：在同一平面内，一条直线垂直于两条平行线中 的一条；
结论：这条直线也垂直于两条平行线中的另一条．
（2）你能结合图形用几何语言表述命题的题设和结论吗？
命题1 在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条.
已知：b∥c， a⊥b ．
下列语句在表述形式上，哪些是对事情作了判断？哪些没有对事情作出判断？ 1、对顶角相等； 2、画一个角等于已知角； 3、两直线平行，同位角相等； 4、a、b两条直线平行吗？ 5、温柔的小明； 6、玫瑰花是动物；
否
是
《命题与证明》PPT精选教学课件
指尖轻触玻窗，嗤嗤的响声，惊动了脆弱的心脏，一阵阵的酸楚，像浪潮般袭来，若果这样酸酸的痛可以代替撕心裂肺，那就让他长久点，这样时间会把我忘记，这样便可躲在这里，让那些软弱手舞足蹈，让那些脆弱和不堪拼命娱乐，让那颗紧绷的心，少少松弦。 曾过往，伊颜纯美无暇，如玉般璀璨，许多人像发现了财富，紧抱于怀，怜香般害怕失去。那时，遇见你的是洗礼过后的悔过者，只懂怜香，而不懂惜玉，再璀璨也掩盖不了他身上久积的灰尘，铸造不了你，也成就不了他，于是乎，迷糊坚固了戏剧化的情谊，疼只是简单的疼。
樱花有单樱和双樱，她们绽放时满树灿烂，清香扑鼻，单樱白的如雪如云，双樱色彩如火似霞。但是无论是单樱还是双樱，她们盛开的时间都不长，二十多天的光景，开的绚丽多彩、满树烂漫，落得星星瓣瓣，匆匆忙忙。 深秋还远，徐徐的风吹着，却也有了几分萧瑟，春天，不仅有满天飘飞的花儿，还有到处弥散着花的幽香。随着秋韵渐渐浓郁起来，院子里的花便盛开了，整个院子里香气四溢，溢漫着甜丝丝的味儿。金灿的花儿一串串、一撮撮，重重叠叠簇涌着点缀在茂密的绿叶之间，温温暖暖象极了一个个孩子的笑脸，仿佛是给这温暖的春天注入了一道亮丽的风景。
思绪渺渺，发怀古之悲情，世间种种，诱愁之决堤，三山五岳，撼天地之威名，流水之昌吉，涓涓之柔情，不禁闲情满溢。 人生自是有情痴，此恨不关风与月。谁为谁真情缱绻？谁为谁痴傻疯狂？谁为谁望穿秋水？谁为谁痛彻心扉？都是你我解不开的白线团。无缘何生斯世，有情能累此生。 相思成为了很多人生命里的一种自我安慰，在月圆的时候无尽思念，在月缺的时候无限惆怅，想念着岁月里和情有关的所有悲欢离合。在情感的世界里，我们一直带着所有的铿锵前行，不管风雨肆虐，不管风和日丽。 染窗前。那堪清风曲径，不似甚似还满。份外湮留韶华，时节正乱红，空留余恨。淡眉醉眼，红妆轻粉，旧时依恋尘缘。只皓月朗朗，乾坤转，故国山川。次第红颜，疑是讴歌回畔。 生命中；总有太多的遗憾要留给回忆，年华里；屡不清的斑驳，总是勾勒了无数支离破碎的心伤。太多的执着所放不下，只是；那一份不屈的痛过，不期而遇的却是最美的意外。文字依旧可以华美朴实，年华不可唯美梦境，快乐不是一件不可奢侈的事情，忧伤，而往往是一度的颓废。 人生的路途，经历无数的驿站之后，总会出现陌生或熟悉的风景。时间所说的过客，只是注定走过的人和事，没有太多是刻意要去记住或淡忘的。铺就在黑白交错里的，无非就是忧伤曾穿越过的黑暗，在记忆的角落里，诉说了全部的待续。那些停驻在指尖的薄凉，是曾绽放在年华里的微碎。 指间年华，渲染着无暇斑驳的彩塑，悲伤的城池依旧提笔挥墨，画下四季风吹过的无痕。微笑掩饰了寂寞过的眼泪，是因为，在婆娑的年华里，聆听着没有人的相伴相知。那些了不断的往事，是梦绕在悲伤情愫深处，盈满心扉的最初和凝眸的叹息。终不过似水流年，清风凄语，唯独旧梦难拾。一叶落便知秋意浓，即使江南的绿色褪色之期晚了几许，南飞的大雁也会在天空一会儿排成一字，一会儿排成人字，秋天真的来了，中秋真的来了，国庆真的来了。
樱花有单樱和双樱，她们绽放时满树灿烂，清香扑鼻，单樱白的如雪如云，双樱色彩如火似霞。但是无论是单樱还是双樱，她们盛开的时间都不长，二十多天的光景，开的绚丽多彩、满树烂漫，落得星星瓣瓣，匆匆忙忙。 深秋还远，徐徐的风吹着，却也有了几分萧瑟，春天，不仅有满天飘飞的花儿，还有到处弥散着花的幽香。随着秋韵渐渐浓郁起来，院子里的花便盛开了，整个院子里香气四溢，溢漫着甜丝丝的味儿。金灿的花儿一串串、一撮撮，重重叠叠簇涌着点缀在茂密的绿叶之间，温温暖暖象极了一个个孩子的笑脸，仿佛是给这温暖的春天注入了一道亮丽的风景。
思绪渺渺，发怀古之悲情，世间种种，诱愁之决堤，三山五岳，撼天地之威名，流水之昌吉，涓涓之柔情，不禁闲情满溢。 人生自是有情痴，此恨不关风与月。谁为谁真情缱绻？谁为谁痴傻疯狂？谁为谁望穿秋水？谁为谁痛彻心扉？都是你我解不开的白线团。无缘何生斯世，有情能累此生。 相思成为了很多人生命里的一种自我安慰，在月圆的时候无尽思念，在月缺的时候无限惆怅，想念着岁月里和情有关的所有悲欢离合。在情感的世界里，我们一直带着所有的铿锵前行，不管风雨肆虐，不管风和日丽。 染窗前。那堪清风曲径，不似甚似还满。份外湮留韶华，时节正乱红，空留余恨。淡眉醉眼，红妆轻粉，旧时依恋尘缘。只皓月朗朗，乾坤转，故国山川。次第红颜，疑是讴歌回畔。 生命中；总有太多的遗憾要留给回忆，年华里；屡不清的斑驳，总是勾勒了无数支离破碎的心伤。太多的执着所放不下，只是；那一份不屈的痛过，不期而遇的却是最美的意外。文字依旧可以华美朴实，年华不可唯美梦境，快乐不是一件不可奢侈的事情，忧伤，而往往是一度的颓废。 人生的路途，经历无数的驿站之后，总会出现陌生或熟悉的风景。时间所说的过客，只是注定走过的人和事，没有太多是刻意要去记住或淡忘的。铺就在黑白交错里的，无非就是忧伤曾穿越过的黑暗，在记忆的角落里，诉说了全部的待续。那些停驻在指尖的薄凉，是曾绽放在年华里的微碎。 指间年华，渲染着无暇斑驳的彩塑，悲伤的城池依旧提笔挥墨，画下四季风吹过的无痕。微笑掩饰了寂寞过的眼泪，是因为，在婆娑的年华里，聆听着没有人的相伴相知。那些了不断的往事，是梦绕在悲伤情愫深处，盈满心扉的最初和凝眸的叹息。终不过似水流年，清风凄语，唯独旧梦难拾。一叶落便知秋意浓，即使江南的绿色褪色之期晚了几许，南飞的大雁也会在天空一会儿排成一字，一会儿排成人字，秋天真的来了，中秋真的来了，国庆真的来了。
命题与证明课件初中数学湘教版八年级上册
如：相等的角是对顶角. 2.如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断,那么 它就不是命题.
如：画线段AB=CD.
例如，下列句子都不是命题：
(1)你喜欢数学吗? (3)清新的空气.
(2)作线段AB=CD. (4)不许讲话！
下列命题的表述情势有什么共同点？ （1）如果a=b且b=c，那么a=c ; （2）如果两个角的和等于90°，那么这两个角
②有公共顶点的 两个角有 这两个角 如果两个角有公共顶点，那么两 两个角是对顶角. 公共顶点 是对顶角 个角是对顶角.
③两直线平行， 同位角相等.
两直线平行
同位角相等 两条直线别第三条直线所截，如 果两直线平行，那么同位角相等.
④同位角相等， 两直线平行.
同位角相等 两直线平行
两条直线别第三条直线所截，如 果同位角相等，那么两直线平行.
互为余角. 它们的表述情势都是“如果……，那么……”.
命题通常可写成“如果……，那么……”的情势， 其中“如果” 引出的部分就是条件，“那么”引出的部分就是结论.反之，如 果一个句子没有对某一件事情作出任何判断，那么它就不是命题.
有时为了叙述的简便，命题也可以省略关联词 “如果”、“那么”.
“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” 简写
这个过程 叫证明
（2）要判断一个命题是假命题，只需举出一个例子（反 例），它符合命题的条件，但不满足命题的结论，从而 就可判断这个命题为假命题.
称为“举反例”
判断下列命题为真命题的根据是什么?
（1）如果a是整数，那么a是有理数; 有理数的定义
（2）如果△ABC是等边三角形，那么△ABC是等腰三角形. 等腰（等边）三角形的定义
2.2 命题与证明 第1课时 定义与命题
《命题、定理、证明》相交线与平行线PPT精品课件下载
（2）余角的性质：同角或等角的余角相等.
（3）对顶角的性质：对顶角相等.
（4）垂线的性质：①在同一平面内过一点有且只有一条 直线与已知直线垂直；②垂线段最短.
探究新知
考 点 1 利用公理定理进行推理
已知：b∥c， a⊥b ．
求证：a⊥c． bc
证明： ∵ a ⊥b（已知）, ∴ ∠1=90°（垂直的定义）.
课堂检测
6.在下面的括号内，填上推理的依据. A
B
E
如图，AB ∥ CD,CB ∥ DE ,
求证：∠ B+ ∠D=180°
证明：
∵ AB ∥ CD,
C
D
∴ ∠B= ∠C( 两直线平行，内错角相等 ).
∵ CB ∥ DE,
∴ ∠ C+ ∠ D=180°( 两直线平行，同旁内角互补 ).
∴ ∠ B+ ∠ D=180°( 等量代换
2.会判断真假命题，知道证明的意义及必要性， 了解反例的作用. 1. 理解命题，定理及证明的概念，会区分命 题的题设和结论.
探究新知 知识点 1 命题的概念
请同学读出下列语句： （1）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也 互相平行； （2）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补； （3）对顶角相等； （4）等式两边都加同一个数，结果仍是等式．
课堂检测
拓广探索题
如图，已知AB∥CD，直线AB，CD被直 线MN所截，交点分别为P，Q，PG平分 ∠BPQ，QH平分∠CQP， 求证：PG∥HQ.
证明：∵AB∥CD(已知)，
M AP
H C
B
G
Q
D N
∴∠BPQ＝∠CQP(两直线平行,内错角相等)．
直线公理： 两点确定一条直线. 线段公理： 两点间线段最短.
（3）对顶角的性质：对顶角相等.
（4）垂线的性质：①在同一平面内过一点有且只有一条 直线与已知直线垂直；②垂线段最短.
探究新知
考 点 1 利用公理定理进行推理
已知：b∥c， a⊥b ．
求证：a⊥c． bc
证明： ∵ a ⊥b（已知）, ∴ ∠1=90°（垂直的定义）.
课堂检测
6.在下面的括号内，填上推理的依据. A
B
E
如图，AB ∥ CD,CB ∥ DE ,
求证：∠ B+ ∠D=180°
证明：
∵ AB ∥ CD,
C
D
∴ ∠B= ∠C( 两直线平行，内错角相等 ).
∵ CB ∥ DE,
∴ ∠ C+ ∠ D=180°( 两直线平行，同旁内角互补 ).
∴ ∠ B+ ∠ D=180°( 等量代换
2.会判断真假命题，知道证明的意义及必要性， 了解反例的作用. 1. 理解命题，定理及证明的概念，会区分命 题的题设和结论.
探究新知 知识点 1 命题的概念
请同学读出下列语句： （1）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也 互相平行； （2）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补； （3）对顶角相等； （4）等式两边都加同一个数，结果仍是等式．
课堂检测
拓广探索题
如图，已知AB∥CD，直线AB，CD被直 线MN所截，交点分别为P，Q，PG平分 ∠BPQ，QH平分∠CQP， 求证：PG∥HQ.
证明：∵AB∥CD(已知)，
M AP
H C
B
G
Q
D N
∴∠BPQ＝∠CQP(两直线平行,内错角相等)．
直线公理： 两点确定一条直线. 线段公理： 两点间线段最短.
命题与证明PPt课件
03
命题可以用文字、符号或公式来表示，通常用“若P，则Q”的形式表示，其中P是条件，Q是结论。
要点三
按照真假性分类
真命题和假命题。真命题是指前提成立时结论也成立的命题；假命题是指前提成立时结论不成立的命题。
要点一
要点二
按照形式分类
简单命题和复合命题。简单命题是指不包含其他命题作为其构成成分的命题，如“2+3=5”；复合命题是指由简单命题通过逻辑联结词（如“且”、“或”、“非”）组合而成的命题，如“2+3>6”或“5<x<10”。
几何命题证明
总结词
代数命题证明是数学中另一种常见的证明方式，主要涉及代数式和等式的证明。
详细描述
代数命题证明通常需要使用代数定理和性质，通过数学归纳法、反证法等证明方法来证明某个代数式或等式是否成立。例如，对于二次方程的判别式证明，需要使用代数定理和性质，通过数学归纳法进行证明。
代数命题证明
总结词：代数命题证明需要学生掌握代数的基础知识和证明技巧。 详细描述：在代数命题证明中，学生需要理解代数式和等式的性质，掌握代数运算和证明技巧，如数学归纳法、反证法等。这需要学生具备扎实的代数基础知识和较高的数学思维能力。 总结词：代数命题证明有助于培养学生的数学思维和问题解决能力。 详细描述：通过代数命题证明，学生可以学习如何运用代数定理和性质进行逻辑推理和证明，这有助于培养学生的数学思维和问题解决能力。同时，代数命题证明也可以帮助学生更好地理解代数式和等式的性质和关系，提高他们的数学素养。
联结词
用于限定命题中主谓项范围的逻辑符号，如“所有”、“有些”等。
量词
命题逻辑的基本概念
一个命题的真，或者假，在同一推理关系中不容改变。
13.2 命题与证明 课件沪科版八年级数学上册
2
∵BE⊥AC，∴∠CEF＝90°.
∴在 Rt△ CEF 中，∠EFC＝90°－∠ACD＝90°－28°＝62°，
∴∠DFB＝∠EFC＝62°.
感悟新知
知5－练
(2)如图②，若BE⊥CD，∠A＝50°，求∠ABE的度数．
解：∵BE⊥CD，∴∠BFC＝90°.
∵CD 是∠ACB 的平分线，
1
∴∠BCF＝ ∠ACB＝28°.
称之为反例.
感悟新知
知3－讲
特别警示
判断一个命题是真命题，需要经过推理说明其正确性，
而判断一个命题是假命题，只需举一个反例即可.
原命题的真假和其逆命题的真假没有必然联系，原命
题是真命题，其逆命题不一定是真命题；原命题是假命题,
其逆命题也不一定是假命题.
感悟新知
知3－练
例 3 判断下列命题的真假，写出逆命题，并判断逆命题
(2)辅助线通常画成虚线.
感悟新知
知5－讲
4. 推论1 直角三角形的两锐角互余.
几何语言：在△ABC中，∵∠C＝90°，
∴∠A＋∠B＝90°.
5. 推论2 有两个角互余的三角形是直角三角形.
几何语言：在△ABC中，∵∠A＋∠B＝90°，
∴∠C＝9 0°，即△ABC为直角三角形.
感悟新知
知5－讲
特别解读
能直接用来作为判断其他命题真假的依据.
感悟新知
知4－练
例 4 填写下列证明过程中推理的依据.
如图13.2-1，已知AC，BD相交于点O，DF平分
∠CDO与AC相交于点F，BE平分
∠ABO与AC相交于点E，∠A＝∠C.
求证：∠1＝∠2.
感悟新知
知4－练
证明：∵∠A＝∠C，(_______)
∵BE⊥AC，∴∠CEF＝90°.
∴在 Rt△ CEF 中，∠EFC＝90°－∠ACD＝90°－28°＝62°，
∴∠DFB＝∠EFC＝62°.
感悟新知
知5－练
(2)如图②，若BE⊥CD，∠A＝50°，求∠ABE的度数．
解：∵BE⊥CD，∴∠BFC＝90°.
∵CD 是∠ACB 的平分线，
1
∴∠BCF＝ ∠ACB＝28°.
称之为反例.
感悟新知
知3－讲
特别警示
判断一个命题是真命题，需要经过推理说明其正确性，
而判断一个命题是假命题，只需举一个反例即可.
原命题的真假和其逆命题的真假没有必然联系，原命
题是真命题，其逆命题不一定是真命题；原命题是假命题,
其逆命题也不一定是假命题.
感悟新知
知3－练
例 3 判断下列命题的真假，写出逆命题，并判断逆命题
(2)辅助线通常画成虚线.
感悟新知
知5－讲
4. 推论1 直角三角形的两锐角互余.
几何语言：在△ABC中，∵∠C＝90°，
∴∠A＋∠B＝90°.
5. 推论2 有两个角互余的三角形是直角三角形.
几何语言：在△ABC中，∵∠A＋∠B＝90°，
∴∠C＝9 0°，即△ABC为直角三角形.
感悟新知
知5－讲
特别解读
能直接用来作为判断其他命题真假的依据.
感悟新知
知4－练
例 4 填写下列证明过程中推理的依据.
如图13.2-1，已知AC，BD相交于点O，DF平分
∠CDO与AC相交于点F，BE平分
∠ABO与AC相交于点E，∠A＝∠C.
求证：∠1＝∠2.
感悟新知
知4－练
证明：∵∠A＝∠C，(_______)
命题与证明课件(上海)数学八年级上册
例2：判断下列句子是命题吗？ （1）你的作业做完了吗？ （2）欢迎前来参观！ （3）以点o为圆心、3cm长为半径画弧.
疑问句、感叹句、祈使句、以及表示画图的语句都不是命题。
巩固练习
1．下列语句是命题的是（ ） A.过直线外一点作直线的平行线 B.用量角器画∠AOB=90°
C. 4 的算术平方根是2 D.任何数的平方都不小于0吗？
两个角是对顶角. 顶点
顶角
③两直线平行， 同位角相等.
如果两条直线平行
那么它们的同位角 相等
④同位角相等， 两直线平行.
如果两个同位角相等 那么这两条直线平行
上述命题③与④的条件与结论之间有什么联系？
命题③与④的条件与 ③两直线平行，同位角相等.
结论互换了位置.
④同位角相等，两直线平行.
对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另 一个命题的结论和条件，我们把这样的两个命题称为互 逆命题，其中一个叫作原命题，另一个叫作逆命题.
19.1 命题与证明
教学目标
1.理解命题、真命题、假命题的意义，会区分命题的条件与结论. 2.通过具体实例，了解原命题及其逆命题的意义，会识别两个互逆的命题，知 道原命题成立其逆命题不一定成立. 3.了解反例的作用，知道利用反例可以判断一个命题是错误的. 4.初步感受感性认识与理性认识的不同，体会数学的严谨性.
教学难点
重点：区分一个命题的条件与结论. 难点：举出反例来判断一个命题是假命题.
新课引入
在证明命题时，要分清命题的条件和结论，如果问题与图形 有关，首先画出图形，再结合图形，写出已知、求证. 命题：三角形的内角和等于180°.
你能证明这个命题吗？
已知：△ABC， 求证：∠A+∠B+∠C=180°
浙教版八年级上册第一章1.2定义、 命题、证明 课件(21张PPT)
三 证明与举反例
三、基本事实的概念
1.数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出
来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，
这样的真命题叫做基本事实.
直线：
两点确定一条直线.
线段：
两点间线段最短.
平行线：
经过直线外的一点有且仅有一条直线
与已知直线平行.
平行线性质： 两直线平行，同位角相等.
平行线判定： 同位角相等，两直线平行.
二、命题的结构 观察下列命题，你能发现这些命题有什么共同的结构特 征？与同伴交流. （1）如果两个三角形的三条边相等，那么这两个三角
形的周长相等； （2）如果两个数的绝对值相等，那么这两个数也相等； （3）如果一个数的平方等于9，那么这个数是3.
都是“如果……那么……”的形式
命题一般都可以写成“如果……那么……”的形式. 1.“如果”后接的部分是题设, 2.“那么”后接的部分是结论. 如命题：熊猫没有翅膀.改写为： 如果这个动物是熊猫，那么它就没有翅膀.
定义、命题、证明
讲授新课
一 定义 一、定义的概念
一般地，能清楚的规定某一名称或术语的意义 的句子叫做该名称或术语的定义. 例如： 物体单位面积受到的压力叫做压强； 在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行 线。
导入新课
观察与思考
下列语句在表述形式上，有什么共同特点？ （1）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这
3.举反例说明下列命题是假命题． (1)若两个角不是对顶角，则这两个角不相等； (2)若ab＝0，则a＋b＝0.
解：(1)两条直线平行形成的内错角，这两个角不 是对顶角，但是它们相等；
(2)当a＝5，b＝0时，ab＝0，但a＋b≠0.
《命题与证明》PPT课件
你还能举出曾学过的“定义”吗？
什么是命题？
判断一件事情的句子，叫做命题.
例如： （1）任何一个三角形一定有直角. （2）对顶角相等. （3）无论n为怎样的自然数，式子n^2-
n+11的值都是质数. （4）如果两条直线都和第三条直线平行，
那么这两条直线也互一 件事情作出任何判断，那么它就 不是命题.
八年级 上 册
命题与证明
什么是定义？
对名称和术语的含义加以描述，作出 明确的规定，也就是给出它们的定义.
例如： （1）“具有中华人民共和国国籍的人，叫
做中华人民共和国公民”是“中华人民共 和国公民”的定义
（2）“两点之间线段的长度，叫做这两点 之间的距离”是“两点之间距离”的定义
（3）“无限不循环小数称为无理数”是 “无理数”的定义
2、一般地，命题可以写成“如果……，那么……”的情势， 其中“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分
是 结论.
1.下列命题的条件是什么？结论是什么？ 如果两个角相等，那么它们是对顶角； 如果a≠b，b≠c，那么a≠c； 全等三角形的面积相等； 菱形的四条边都相等.
2.上述的命题中，哪些是正确的？哪些是不正确的？你怎么 知道
正它们确是的不命正题确称的为？与真同命伴题交，流不. 正确的的命题称为假命 题要. 说明一个命题是假命题，通常可以举出一个例 子，使之具备命题的条件，而不具备命题的结论， 这种例子称为反例.
命题的特征
每个命题都由条件和结论两部分 组成.条件是已知的事项，结论 是由已知事项推论出的事项.一 般地，命题都可以写成“如 果……那么……”的情势，其中 “如果”引出的部分是条件， “那么”引出的部分是结论.
例如：
（1）你喜欢数学吗？
13.1 命题与证明课件(共19张PPT)
归纳小结
1.在两个互逆的命题中，如果我们将其中一个命题称为原命题，那么另一个命题就是这个原命题的逆命题.2.从命题的条件出发，根据已学过的基本事实、定义、性质和定理等，进行有理有据的推理.这种推理的过程叫做证明.3.如果一个定理的逆命题是真命题，那么这个逆命题也可以称为原定理的逆定理.
同学们再见！
1.写出下列命题的逆命题，并判断他们的真假：（1）如果 a = b ,那么 ；（2）同旁内角互补，两直线平行.
随堂练习
2.已知：如图，点B，A，E在一条直线上，∠1=∠B. 求证：∠2=∠C.
证明：∵∠1=∠B，( 已知 ) ∴AD∥BC. ( 同位角相等，两直线平行 ) ∴∠2=∠C. ( 两直线平行，内错角相等 )
知识点2 证明
命题，有真命题，也有假命题.要说明一个命题是假命题，只要举出反例即可；要说明一个命题是真命题，则要从命题的条件出发，根据已学过的基本事实、定义、性质和定理等，进行有理有据的推理.这种推理的过程叫作证明.
例题解析
例
证明：平行于同一条直线的两条直线平行.
已知：如图，直线a，b，c，a//c，b//c.求证：a//b.证明：如图，作直线d，分别与直线a，b，c相交.∵a//c（已知），∴∠1=∠2（两直线平行，同位角相等）.∵b//c（已知），∴∠2=∠3（两直线平行，同位角相等）.∴∠1=∠3（等量代换）.∴a//b（同位角相等，两直线平行）.即平行于同一条直线的两条直线平行.
用文字叙述的命题的证明，应当按下列步骤进行：第一步，依据题意画图，将文字语言转换为符号（图形）语言.第二步，根据图形写出已知、求证.第三步，根据基本事实、已有定理等进行证明.
知识点3 逆定理
定义
如果一个定理的逆命题是真命题，那么这个逆命题也可以称为原定理的逆定理.一个定理和它的逆定理是互逆定理.
1.在两个互逆的命题中，如果我们将其中一个命题称为原命题，那么另一个命题就是这个原命题的逆命题.2.从命题的条件出发，根据已学过的基本事实、定义、性质和定理等，进行有理有据的推理.这种推理的过程叫做证明.3.如果一个定理的逆命题是真命题，那么这个逆命题也可以称为原定理的逆定理.
同学们再见！
1.写出下列命题的逆命题，并判断他们的真假：（1）如果 a = b ,那么 ；（2）同旁内角互补，两直线平行.
随堂练习
2.已知：如图，点B，A，E在一条直线上，∠1=∠B. 求证：∠2=∠C.
证明：∵∠1=∠B，( 已知 ) ∴AD∥BC. ( 同位角相等，两直线平行 ) ∴∠2=∠C. ( 两直线平行，内错角相等 )
知识点2 证明
命题，有真命题，也有假命题.要说明一个命题是假命题，只要举出反例即可；要说明一个命题是真命题，则要从命题的条件出发，根据已学过的基本事实、定义、性质和定理等，进行有理有据的推理.这种推理的过程叫作证明.
例题解析
例
证明：平行于同一条直线的两条直线平行.
已知：如图，直线a，b，c，a//c，b//c.求证：a//b.证明：如图，作直线d，分别与直线a，b，c相交.∵a//c（已知），∴∠1=∠2（两直线平行，同位角相等）.∵b//c（已知），∴∠2=∠3（两直线平行，同位角相等）.∴∠1=∠3（等量代换）.∴a//b（同位角相等，两直线平行）.即平行于同一条直线的两条直线平行.
用文字叙述的命题的证明，应当按下列步骤进行：第一步，依据题意画图，将文字语言转换为符号（图形）语言.第二步，根据图形写出已知、求证.第三步，根据基本事实、已有定理等进行证明.
知识点3 逆定理
定义
如果一个定理的逆命题是真命题，那么这个逆命题也可以称为原定理的逆定理.一个定理和它的逆定理是互逆定理.
最新华师版八上数学 13.1 命题、定理与证明 上课课件(共43张PPT)
（1）同位角相等，两直线平行； 真命题 （2）多边形的内角和等于 180°； 假命题 （3）三角形的外角和等于 360°； 真命题
（4）平行于同一条直线的两条直线互相平行.
真命题
3. 如图,从① ∠1＝ ∠2；②∠C＝∠D ；③∠A ＝∠F 三个条件
中选出两个作为已知条件，另一个作为结论所组成的命题中，
这些都是公认的真命题，我们把它视为基本事实.
基本事实：
公认的真命题视为基本事实. 它们是用来判断其他命题真假的原始依据，即出发点．
定理：
数学中，有些命题可以从基本事实或其他真命题出发， 用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并且可以作为进一步 判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理．
试一试
1. 下列命题中属于基本事实的是（ C ） A. 内错角相等，两直线平行 B. 三角形的外角和等于 360° C. 两点确定一条直线 D. 直角三角形两锐角互余
改写：直角都相等. 如果两个角都是直角，那么这两个角相等.
例1 把命题“三个角都相等的三角形是等边三角形” 改写成“如果……，那么……”的形式，并分别指出 该命题的条件与结论.
解：这个命题可以写成“如果一个三角形的三个角 都相等，那么这个三角形是等边三角形”.该命题的条件 是“一个三角形的三个角都相等”，结论是“这个三角 形是等边三角形”.
命题的分类 命题分为真命题和假命题. 有些命题，如果条件成立，那么结论一定成立， 像这样的命题称为真命题； 而有些命题，条件成立时，不能保证结论总是正确， 也就是说结论不成立，像这样的命题，称为假命题．
两直线平行，内错角相等. 真命题 同位角相等. 假命题
真假命题的判断:
（1）要判断一个命题是真命题，可以用演绎推理加以论证． （2）要判断一个命题是假命题，只要举出一个例子，说明 该命题不成立，即只要举出一个符合该命题条件而不符合 该命题结论的例子就可以了.
（4）平行于同一条直线的两条直线互相平行.
真命题
3. 如图,从① ∠1＝ ∠2；②∠C＝∠D ；③∠A ＝∠F 三个条件
中选出两个作为已知条件，另一个作为结论所组成的命题中，
这些都是公认的真命题，我们把它视为基本事实.
基本事实：
公认的真命题视为基本事实. 它们是用来判断其他命题真假的原始依据，即出发点．
定理：
数学中，有些命题可以从基本事实或其他真命题出发， 用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并且可以作为进一步 判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理．
试一试
1. 下列命题中属于基本事实的是（ C ） A. 内错角相等，两直线平行 B. 三角形的外角和等于 360° C. 两点确定一条直线 D. 直角三角形两锐角互余
改写：直角都相等. 如果两个角都是直角，那么这两个角相等.
例1 把命题“三个角都相等的三角形是等边三角形” 改写成“如果……，那么……”的形式，并分别指出 该命题的条件与结论.
解：这个命题可以写成“如果一个三角形的三个角 都相等，那么这个三角形是等边三角形”.该命题的条件 是“一个三角形的三个角都相等”，结论是“这个三角 形是等边三角形”.
命题的分类 命题分为真命题和假命题. 有些命题，如果条件成立，那么结论一定成立， 像这样的命题称为真命题； 而有些命题，条件成立时，不能保证结论总是正确， 也就是说结论不成立，像这样的命题，称为假命题．
两直线平行，内错角相等. 真命题 同位角相等. 假命题
真假命题的判断:
（1）要判断一个命题是真命题，可以用演绎推理加以论证． （2）要判断一个命题是假命题，只要举出一个例子，说明 该命题不成立，即只要举出一个符合该命题条件而不符合 该命题结论的例子就可以了.
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平行线的性质１
人们从长期的实践中总结出来的真命题叫做公理
两点之间线段最短
公理
三角形的任何两边的和大于第三边 定理
从公理或其它命题出发，用推理方法证明为正确的， 并进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的真命 题叫做定理
能界定某个对象含义的句子叫做定义
判断一件事情的句子叫做命题
正确的命题 叫做真命题
错误的命题 叫做假命题
人们从长期的实践中总结出来的真命题叫做公 理
从公理或其它命题出发，用推理方法证明为正确的， 并进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的真 命题叫做定理
1、如果两个三角形的三条边对应相等， 那么这两个三角形全等；
题设
结论
已知事项
由已知事项推断 出来的事项
命题都可以写成“如果……那么……” 的形式；其中“如果”引出的部分是 题设，“那么”引出的部分是结论。
题设 已知事项 如果……
数学中的命题 对顶角相等
结论 由已知事项推出的事项 那么……
eg：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等
题设
结论
有两条边相等的三角形是等腰三角形
如果在一个三角形有两条边相等， 那么这个三角形是等腰三角形
证明命题“等腰三角形两底角的平分线相等。”是真命题。
第一步： 根据题意，画出图形
∴ ∠ABC= ∠ACB (等边对等角).
∵BＤ、CE是∠ABC、∠ACB的角平分线（已知）
∴ ∠1=
1 2
∠ABC，∠2=
1 2
∠ACB
(角平分线的定义)，
第三步：
∴∠1=∠2 (等式性质). 在△BDC和△CEB中，
在“证明”中写出推
ACB= ABC
BC=CB
1 = 2
(已证)， 理过程，并且步步有 依据。 (公共边)，
命题与证明
整个证明由一段一段的因果关系连接而成， 段与段前后连贯，有序展开。
第 因 因为 ∠1与∠2、 ∠2与∠3分别是邻补角（已知）
一 段
果 所以 ∠1+ ∠2=180°，
∠2+ ∠3=180°（邻补角的意义）
第 因 所以 ∠1+ ∠2=∠2+ ∠3=180 （等量代换）
二 段
果 所以 ∠1=∠2 （等式性质）
由于证明需要，可以在原来的图形上添画一些线， 像这样的线叫做辅助线。辅助线通常画成虚线。
（１）能被２整除的数叫做偶数
能界定某个对象含义的句子
定义
判 （２）对顶角相等
断 一 件
正确的命题 真命题 （３）互为补角的两个角都是锐角
事
错误的命题
假命题
情 （４）如果两条直线都和第三条直线平行，那么这
的
两条直线也互相平行
2、图形语言
′
3、符号语言
Hale Waihona Puke 如图，已知：在△ABC中，AB=AC，
∠1=
1 2
∠ABC，∠2=
1 2
∠ACB，
则BD=CE.
证明命题“等腰三角形两底角的平分线相等。”是真命题。
已知： 如图，在△ABC中，AB=AC，
BD， CE分别平分∠ＡＢＣ、∠ＡＣＢ
求证： BD=CE 证明： ∵AB=AC
(已知)，
真命题
句
子 （５）两条直线被第三条直线所截，如果内错角
叫做命题 相等，那么这两条直线互相平行 真命题
（６）画∠ＡＯＢ的平分线ＯＣ 不是命题
（７）等角的余角相等吗？ 不是命题
判断下列命题哪些是真命题，哪些是假命题？ 1. 面积相等的两个三角形全等
2. 两个全等三角形的面积相等
3. 任何一条线段有且只有一条垂直平分线 ４．如果两个角互补，那么一个角是锐角，另 一个角是钝角 ５．两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形 全等；
证明命题“等腰三角形两底角的平分线相等。”是真命题。
第二步： 在“已知”中写出题设，
在“求证”中写出结论
题已设知：: 如等图腰，三在角△形A两BC中，AB=AC，
B底D角，的CE平分分别线平分∠ ABC、 ∠ACB
求结论证：： B相D=等CE.
几何的三种语言
1、文字语言
等腰三角形两底角的平分线相等。
正确的命题即真命题用逻辑推理来判定其正确， 假命题通过举反例的方法证明其错误
（１）两点之间线段最短
线段的基本性质 （２）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
平行线的基本性质 （３）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
垂线的基本性质 （４）同位角相等，两直线平行
平行线的判定方法１ （５）两直线平行，同位角相等
(已证)，
∴△BDC≌△CEB （A.S.A）.
∴BD=CE (全等三角形的对应边相等).
人们从长期的实践中总结出来的真命题叫做公理
两点之间线段最短
公理
三角形的任何两边的和大于第三边 定理
从公理或其它命题出发，用推理方法证明为正确的， 并进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的真命 题叫做定理
能界定某个对象含义的句子叫做定义
判断一件事情的句子叫做命题
正确的命题 叫做真命题
错误的命题 叫做假命题
人们从长期的实践中总结出来的真命题叫做公 理
从公理或其它命题出发，用推理方法证明为正确的， 并进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的真 命题叫做定理
1、如果两个三角形的三条边对应相等， 那么这两个三角形全等；
题设
结论
已知事项
由已知事项推断 出来的事项
命题都可以写成“如果……那么……” 的形式；其中“如果”引出的部分是 题设，“那么”引出的部分是结论。
题设 已知事项 如果……
数学中的命题 对顶角相等
结论 由已知事项推出的事项 那么……
eg：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等
题设
结论
有两条边相等的三角形是等腰三角形
如果在一个三角形有两条边相等， 那么这个三角形是等腰三角形
证明命题“等腰三角形两底角的平分线相等。”是真命题。
第一步： 根据题意，画出图形
∴ ∠ABC= ∠ACB (等边对等角).
∵BＤ、CE是∠ABC、∠ACB的角平分线（已知）
∴ ∠1=
1 2
∠ABC，∠2=
1 2
∠ACB
(角平分线的定义)，
第三步：
∴∠1=∠2 (等式性质). 在△BDC和△CEB中，
在“证明”中写出推
ACB= ABC
BC=CB
1 = 2
(已证)， 理过程，并且步步有 依据。 (公共边)，
命题与证明
整个证明由一段一段的因果关系连接而成， 段与段前后连贯，有序展开。
第 因 因为 ∠1与∠2、 ∠2与∠3分别是邻补角（已知）
一 段
果 所以 ∠1+ ∠2=180°，
∠2+ ∠3=180°（邻补角的意义）
第 因 所以 ∠1+ ∠2=∠2+ ∠3=180 （等量代换）
二 段
果 所以 ∠1=∠2 （等式性质）
由于证明需要，可以在原来的图形上添画一些线， 像这样的线叫做辅助线。辅助线通常画成虚线。
（１）能被２整除的数叫做偶数
能界定某个对象含义的句子
定义
判 （２）对顶角相等
断 一 件
正确的命题 真命题 （３）互为补角的两个角都是锐角
事
错误的命题
假命题
情 （４）如果两条直线都和第三条直线平行，那么这
的
两条直线也互相平行
2、图形语言
′
3、符号语言
Hale Waihona Puke 如图，已知：在△ABC中，AB=AC，
∠1=
1 2
∠ABC，∠2=
1 2
∠ACB，
则BD=CE.
证明命题“等腰三角形两底角的平分线相等。”是真命题。
已知： 如图，在△ABC中，AB=AC，
BD， CE分别平分∠ＡＢＣ、∠ＡＣＢ
求证： BD=CE 证明： ∵AB=AC
(已知)，
真命题
句
子 （５）两条直线被第三条直线所截，如果内错角
叫做命题 相等，那么这两条直线互相平行 真命题
（６）画∠ＡＯＢ的平分线ＯＣ 不是命题
（７）等角的余角相等吗？ 不是命题
判断下列命题哪些是真命题，哪些是假命题？ 1. 面积相等的两个三角形全等
2. 两个全等三角形的面积相等
3. 任何一条线段有且只有一条垂直平分线 ４．如果两个角互补，那么一个角是锐角，另 一个角是钝角 ５．两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形 全等；
证明命题“等腰三角形两底角的平分线相等。”是真命题。
第二步： 在“已知”中写出题设，
在“求证”中写出结论
题已设知：: 如等图腰，三在角△形A两BC中，AB=AC，
B底D角，的CE平分分别线平分∠ ABC、 ∠ACB
求结论证：： B相D=等CE.
几何的三种语言
1、文字语言
等腰三角形两底角的平分线相等。
正确的命题即真命题用逻辑推理来判定其正确， 假命题通过举反例的方法证明其错误
（１）两点之间线段最短
线段的基本性质 （２）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
平行线的基本性质 （３）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
垂线的基本性质 （４）同位角相等，两直线平行
平行线的判定方法１ （５）两直线平行，同位角相等
(已证)，
∴△BDC≌△CEB （A.S.A）.
∴BD=CE (全等三角形的对应边相等).