命题与证明

1、定义：对一个概念的含义加以描述说明或作出明确规定的语句叫作这个概念的定义.例如：“同一平面内没有公共点的两条直线叫作平行线”是“平行线”的定义. 例如：“把数与表示数的字母用运算符号连接而成的式子叫作代数式”是“代数式”的定义.2、命题：一般地，对某一件事情作出判断的语句（陈述句）叫作命题.注：命题通常写成“如果……，那么……”的形式，其中“如果”引出的部分就是条件，“那么”引出的部分就是结论.2、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，我们把这样的两个命题称为互逆命题，其中一个叫作原命题，另一个叫作逆命题.注：只要将一个命题的条件和结论互换，就可得到它的逆命题，所以每个命题都有逆命题.4、证明：要判断一个命题是真命题，常常要从命题的条件出发，通过讲道理（推理），得出其结论成立，从而判断这个命题为真命题，这个过程叫证明.5、要判断一个命题是假命题，只需举出一个例子（反例），它符合命题的条件，但不满足命题的结论，从而就可判断这个命题为假命题. （举反例）注：6、当直接证明一个命题为真有困难时，我们可以先假设命题不成立，然后利用命题的条件或有关的结论，通过推理导出矛盾，从而得出假设不成立，即所证明的命题正确，这种证明方法称为反证法.反证法是一种间接证明的方法，其基本的思路可归结为“否定结论，导出矛盾，肯定结论”.【例1】下列四个命题中是真命题的有（）.①同位角相等；②相等的角是对顶角；③直角三角形两锐角互余；④三个内角相等的三角形是等边三角形.A.4个B.3个C.2个D.1个【例2】下列语句中，属于命题的是（）．（A）直线AB和CD垂直吗（B）过线段AB的中点C画AB的垂线（C）同旁内角不互补，两直线不平行（D）连结A，B两点【例3】下列命题中，属于假命题的是（）（A）若a⊥c，b⊥c，则a⊥b （B）若a∥b，b∥c，则a∥c（C）若a⊥c，b⊥c，则a∥b （D）若a⊥c，b∥a，则b⊥c【例4】下列四个命题中，属于真命题的是（）．（A）互补的两角必有一条公共边（B）同旁内角互补（C）同位角不相等，两直线不平行（D）一个角的补角大于这个角【例5】如图，∠A+∠D=180°（已知），∴______∥_______（）．∴∠1=_________（）．∵∠1=65°（已知），∴∠C=65°（）．【例6】“两直线平行，同位角互补”是______命题（填“真”或“假”）．【例7】•．•把命题“等角的补有相等”改写成“如果……那么……”的形式是结果_________，那么__________．【例8】．命题“直角都相等”的题设是________，结论是____________．【例9】判断下列命题的真假，若是假命题，举出反例．（1）若两个角不是对顶角，则这两个角不相等；（2）若a+b=0，则ab=0；（3）若ab=0，则a+b=0．【例10】用“如果……那么……”改写命题．（1）有三个角是直角的四边形是矩形；（2）同角的补角相等；（3）两个无理数的积仍是无理数．。

命题与证明知识导引1命题：判断某一件事情的句子，由条件和结论两部分组成，正确的命题叫做真命题，不正确的命题叫做假命题。

把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，每个命题都有逆命题。

2、从命题的条件出发，经过逐步推理来判断命题的结论是否正确的过程叫做证明。

要证明一个命题是真命题，就是要证明凡是符合条件的所有情况都能得出结论。

要证明一个命题是假命题，只需要举出一个反例说明命题不能成立。

证明一个命题的一般步骤如下：（1）按照题意画出图形；（2）分清命题的条件和结论，结合图形，在“已知”一项中写出条件，在“求证”一项中写出结论；（3）在“证明”一项中写出全部推理过程。

3、证明的两种思路：综合与分析（1）利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法。

（2）从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证明方法叫做分析法。

典例精析例1：判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，请举出一个反例。

（1）两条直线被第三条直线所截，同位角相等；（2）如果a＞b，那么ac＞bc；（3）两个锐角的和是钝角。

例2：下列命题中：①三角形中，至少有两个锐角；②三角形中，至少有一个直角或钝角；③三角形中，两个锐角的和等于90°；④三角形中，三个内角不可能都小于60°。

其中，真命题的个数是（）A、1个B、2个C、3个D、4个例3：证明：两条平行线被第三条直线所截，一组同位角的角平分线互相平行。

例4：已知：如图，AM 、CM 分别平分∠BAD 和∠BCD，求证：∠M=21（∠B＋∠D）例5：在△ABC 中，BO 平分∠ABC，点P 为直线AC 上一动点，PO⊥BO 于点O 。

（1）如图1，当∠ABC=40°，∠BAC=60°，点P 与点C 重合时，教APO ＝ （2）如图2，当点P 在AC 的延长线时，求证：∠APO=21（∠ACB－∠BAC ） （3）如图3，当点P 在边AC 上时，请直接写出∠APO 与∠ACB，∠BAC 的等量关系 式探究活动例：已知：如图，在△ABC 中有D ，E 两点，求证：BD ＋DE ＋CE ＜AB ＋AC学力训练A 组 务实基础1、以下各数中可用来证明命题“能被5整除的数的末位数一定是5”是假命题的反例为（ ）A 、5B 、24C 、25D 、30 2、下列命题中，真命题是（ ）A 、同位角相等B 、在同一平面内，若直线a ⊥b ，b ⊥c ，则a ⊥cC 、三角形的一个外角大于任何一个内角D 、直角三角形的两个锐角互余 3、如图所示，∠A=28°，∠BFC=92°，∠B=∠C，则∠BDC 的度数是（ ） A 、85° B、75° C 、64° D、60°（第3题图） （第4题图）4、如图所示，∠A=50°，∠B=40°，∠C=30°，则∠BDC 等于（ ） A 、120° B、100° C、115° D、150°5、已知α，β是两个钝角，计算)(61βα+的值。

命题与证明㈠、定义；1、一般地，能清楚地规定某一名称或术语的意义的句子叫做该名称或术语的定义。

2、定义必须是严密的，避免使用含糊不清的术语，正确的定义能把被定义的事物或名词与其他的事物或名词区分开来。

㈡、命题；1、一般地，对某一件事情作出正确或不正确的判断的句子叫做命题．2、命题可看做由题设(或条件)和结论两部分组成．题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项．一般可以用“如果……，那么……”表示3、注意事项：（1）命题通常是一个陈述句，包括肯定句和否定句，而疑问句和命令性语句都不是命题；（2）必须是对某一事件作出肯定或否定的判断，两者必具其一㈢、真命题和假命题：1. 正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题。

2. 要判断一个命题是真命题，可以通过实践是方式，也可以通过推理的方式，即根据已知事实来推断未知事实，也有一些命题是人们经过长期实践后公认的真命题，如“两点之间线段最短”，“两点确定一条直线”等，判断一个命题是假命题，只要举出一个反例即可。

（四）、公理，定理：1. 经过长期实践后公认为正确的命题，作为判断其他命题的依据。

这样公认为正确的命题叫做公理。

例如：“两点之间线段最短”，“一条直线截两条平行所得的同位角相等”。

用推理的方法判断为正确的命题叫做定理。

2. 公理是不需要堆理论证的真命题，它可以作为判断其余命题真假的原始依据。

3. 定理都是真命题，但并不是所有的真命题都能作为定理，定理可以作为判断其他命题真假是依据。

4、本章中公理定理总结1) 平行线的判定性质定理平行线的判定公理● 两直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． ● 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．注意：证明两直线平行，关键是找到与特征结论相关的角.平行线的性质．● 公理：两直线平行，同位角相等.● 定理：两直线平行，内错角相等.● 定理：两直线平行，同旁内角互补.2）三角形内角和定理三角形内角和定理：三角形的内角和等于180°。

命题与证明知识点总结命题与证明是数学中基础且重要的一部分，它涉及到逻辑推理、推断和论证等一系列思维活动。

在整个数学学科中，命题与证明贯穿始终，无处不在。

本文将系统总结命题与证明的相关知识点，包括命题逻辑、证明方法、常见证明技巧等内容。

一、命题逻辑命题逻辑是研究命题之间的逻辑关系的一门学科，其中命题是陈述句，它要么为真，要么为假。

在命题逻辑中，我们通常使用符号来表示命题，并通过符号之间的逻辑连接来表达命题之间的关系。

常见的逻辑连接包括合取(∧)、析取(∨)、蕴含(→)、双条件(↔)等。

1.合取合取是指命题p和q同时为真时，合取命题p∧q为真，否则为假。

合取命题p∧q的真值表如下：p q p∧qT T TT F FF T FF F F2.析取析取是指命题p和q中至少有一个为真时，析取命题p∨q为真，否则为假。

析取命题p∨q的真值表如下：p q p∨qT T TT F TF T TF F F3.蕴含蕴含是指当p为真而q为假时，蕴含命题p→q为假，否则为真。

蕴含命题p→q的真值表如下：p q p→qT T TT F FF T TF F T4.双条件双条件是指命题p和q同时为真或同时为假时，双条件命题p↔q为真，否则为假。

双条件命题p↔q的真值表如下：p q p↔qT T TT F FF T FF F T二、证明方法在数学中，我们常常需要证明一个命题的真假，为此我们需要采用合适的证明方法来论证。

常见的证明方法包括直接证明法、间接证明法、数学归纳法等。

1.直接证明法直接证明法是指通过一系列逻辑推理来证明一个命题的方法。

通常情况下，我们能够找到一条直接的逻辑推理路径，从已知的事实得出结论。

举例：证明“所有的偶数都是2的倍数”。

我们可以直接证明该命题，因为偶数的定义就是2的倍数。

2.间接证明法间接证明法是指通过反证法来证明一个命题的方法。

我们假设该命题的反命题为真，然后通过一系列逻辑推理得出矛盾，从而证明原命题为真。