函数的单调性与凹凸性

单调性的性质
单调性是函数的局部性质，即在某 个区间内单调递增或递减，并不代 表在整个定义域上都是单调的。
判断函数单调性的方法
导数法
通过求函数的导数，并判断导 数的符号来判定函数的单调性
。
定义法
通过比较函数在定义域内的任意 两点x1和x2的函数值f(x1)和 f(x2)，来判断函数的单调性。
图像法
通过观察函数的图像，可以直 观地判断函数的单调性。
判断函数凹凸性的方法
导数法
通过求函数的导数，然后判断导数的正负来判断函数的凹凸性。如果导数在某 区间内大于0，则函数在该区间内为凹函数；如果导数在某区间内小于0，则函 数在该区间内为凸函数。
二阶导数法
如果一个函数的二阶导数在某区间内大于0，则该函数在该区间内为凹函数；如 果二阶导数在某区间内小于0，则该函数在该区间内为凸函数。
单调性决定了函数值的增减趋势，而 凹凸性则决定了函数图像的弯曲程度。
在单调递减的函数中，如果函数是凹 的，则图像呈现向下凸起的形状；如 果函数是凸的，则图像呈现向上凸起 的形状。
在单调递增的函数中，如果函数是凹 的，则函数图像呈现出向上凸起的形 状；如果函数是凸的，则图像呈现向 下凸起的形状。
单调与凹凸在函数图像上的表现
函数凹凸性的应用
01
02
03
最优化问题
利用函数的凹凸性，可以 确定函数的最大值或最小 值，从而解决最优化问题。
经济模型
在经济学中，凹凸性可以 用来描述某些经济现象， 例如供需关系、成本和收 益等。
物理学
在物理学中，凹凸性可以 用来描述物理量之间的关 系，例如弹性、能量等。
03 单调与凹凸的关系
单调与凹凸的相互影响
函数单调与凹凸教学

从几何上看，曲线的凹凸性反映的是曲线弧上两点，连接这两点间的弦与 这两点间的弧段的位置关系。
第三章 微分中值定理与导 数的应用
9
定理 2
设 f (x ) 在 a ,b 上连续，在 (a ,b ) 内具有一阶和二阶导数，那么
> 0 ，则 f ( x ) 在 a ,b 上的图形是凹的； < 0 ，则 f ( x ) 在 a ,b 上的图形是凸的。 ∈ a ,b ，且 x 1 < x 2 ，记 x 0 =
= 0 处，曲线 y = x 3 有水平切线，即 x 轴。
一般地，如果 f ′ (x ) 在某区间内的有限个点处为零，在其余各点处保持固定 符号时，函数 f (x ) 在该区间上是单调的。 结论在 f ′ (x )
= 0 有无限个解时未必成立。
第三章 微分中值定理与导 数的应用
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例6 证
证明：当 x 令 f (x )
=0
< a < 1,b = 2k + 1 k ∈ Z + ,ab > 1 +
(
)
3π 2
，
Van Der Waerden 构造并证明： f (x )
=
n =0
∑
∞
ϕ 10n x
10n
(
) ，其中
x − x , ϕ (x ) = x + 1 − x ,
> 1 时， 2 x > 3 −
1
x
。
1 = 2 x − 3 − ，则 x
f ′ (x ) =
1
x
−
1
x
2
=
1
x2

例1 判断曲线 y x 3 的凹凸性.
y
y x3
解 y 3 x 2 , y 6x ,
当x 0时， y 0,
o
x
曲线 在(,0]为凸的；
当x 0时， y 0,
曲线 在[0,)为凹的；
注意到, 点(0,0)是曲线由凸变凹的分界 . 点
五、曲线的拐点及其求法
令 f ( x) 0 , 得 x 1, x 2
x ( , 1) f (x)
f (x)
故
1 0 2
(1 , 2)

2 ( 2 , ) 0 1
的单调增区间为 ( , 1) , (2 , ); 的单调减区间为
(1 , 2).
例4
当x 0时, 试证e 1 x成立.
例2 确定函数 f ( x ) 3 x 2 的单调区间. 解： x (,).
f ( x ) 2 3 x
3
y
,
( x 0)
o
y 3 x2
当x 0时, 导数不存在.
x
当 x 0时，f ( x ) 0, 在(,0)上单调减少； 当0 x 时， f ( x ) 0, 在(0,)上单调增加；
1.定义
连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点.
2.拐点的求法
定理 2 如果 f ( x )在( x0 , x0 ) 内存在二阶导
x0 , f ( x0 ) 是拐点的必要条件是 f " ( x0 ) 0 . 数,则点
方法:
设函数f ( x )在x0的邻域内二阶可导 ,
且f ( x0 ) 0,
(1) x0两近旁f ( x )变号,点( x0 , f ( x0 ))即为拐点 ; (2) x0两近旁f ( x )不变号,点( x0 , f ( x0 ))不是拐点.

ln(1 x ).
三、曲线的凹凸性 问题: 如何研究曲线的弯曲方向?
y
y
C
B
A
y f ( x)
y
y f ( x)
o
x
o
x1
x2 x
o
x1
x2
x
图形上任意弧段 位于所张弦的下方
图形上任意弧段 位于所张弦的上方
三、曲线的凹凸性
y
y f ( x)
y
y f ( x)
o
x1
x2
x
o
解方程f ( x ) 0 得，x1 1, x2 2.
x 1 时 f ( x ) 0, 在( ,1]上 单调增加 1 x 2 时 f ( x ) 0, 在[1, 2]上 单调减少
2 x 时 f ( x ) 0, 在[2, )上 单调增加
设函数 y f ( x )在[a, b]上连续，在(a, b)内可导. （1） 如果在(a, b)内f ( x ) 0，那末函数 y f ( x ) 在[a, b] 上单调增加； (2) 如果在(a, b)内 f ( x ) 0，那末函数 y f ( x ) 在[a, b] 上单调减少.
四、曲线凹凸的判定
y
y f (x)
A
B
y
y f ( x)
B
A
y 0 f ( x ) 递增 y 0 f ( x ) 递减 定理1 在( a , b ) 内 有一阶和二阶导数， 如果 f ( x ) 在 [a , b] 上 连续；
若在 ( a , b ) 内 (1) f ( x ) 0, 则函数 f ( x ) 在 [a , b] 上的图形 是凹的 (2) f ( x ) 0,则函数 f ( x ) 在 [a , b] 上的图形 是凸的