数列极限(二)

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第二节 数列的极限

一、数列极限的定义

如果按照某一法则，对每个nN，对应着一个确定的实数nx，这些实数nx按照下标n从小到大排列得到的一个系列

12,,,,nxxx

就叫做数列，记为.nx

数列中的每一个数叫做数列的项，第n项nx叫做数列的一般项（或通项）．

数列nx可以看作自变量为正整数n的函数

,.nxfnnN

当自变量n依次取一切正整数1,2,3,时，对应的函数值就排成数列.nx

一个非常重要的问题是：当n无限增大时（即n时），对应的nxfn是否无限接近某个确定的数值？

对于数列11nnn，其通项

111111.nnnnxnn

01123451111111111,111,1,1,1,1122345xxxxx

678910111111,1,1,1,1,678910xxxxx1112131411111,1,1,1,11121314xxxx

易知，当n无限增大时，nx的值无限接近于1.也即当n无限增大时，11111nnxnn的值无限接近零．

给定1100，要使

11100nx，

只需11100n，即100n．故当100n时，11.100nx 2

给定11000，要使

111000nx，

只需111000n，即1000.n故当1000n时，11.1000nx

一般地，任意给定一个正数，存在一个正整数N，使得当nN时，不等式

1nx

都成立．事实上，要使

11nxn，只需1n．故取正整数1max,1N，则当nN时，n，1n，

1.nx

注：设m为整数，x为实数，且mx，则.mx这是因为m为整数，且mx，所以111.mxxx

培养孩子终生学习力 1

教师姓名 学生姓名 年 级 高三 上课日期 2016/6/4

学 科 数学 课题名称 专题--------求极限 计划时长 2h

教学目标 数列求极限

教学重难点 教学重点：数列求极限

教学难点：数列求极限

教学过程

一、知识点梳理

几个重要的极限

1、01limnn

2、CCnlim

3、CADCnBAnnlim)0(AC，

4、)0212122221121limAAAACnBnACnBnAn（其中

5、)1(0lim0)1qnqnqnq，即：的极限是（无穷等比数列

6、qanSSn11nlimn，则项和记为等比数列前

二、知识点巩固

例1：若1limanann，则常数a .

例2：计算limn2123nn＝ ．

练习：若数列na为等差数列，且12341,21aaaa，则122limnnaaan .

例3：已知无穷等比数列{}na中，122318,9,aaaa其前n项和为,limnnnSS_____

培养孩子终生学习力 2

例4：已知na为无穷等比数列，且41)(lim21nnaaa，则1a的取值范围是____________

练习1：若数列na满足311a，且对任意正整数nm,有nmnmaaa，则)(lim21nnaaa（

）

A．21 B．32 C．23 D．2

练习2：设无穷等比数列na(*)nN的公比12q,11a，则2462lim()nnaaaa ．

练习3：设无穷等比数列}{na的公比为q．若1242)(limaaaann，则q________．

1 数列的极限

【知识概要】

1. 数列极限的定义

1）数列的极限，在n无限增大的变化过程中，如果数列{}na中的项na无限趋向于某个常数A，那么称A为数列{}na的极限，记作limnnaA. 换句话说，即：对于数列{}na，如果存在一个常数A，对于任意给定的0，总存在自然数N，当nN时，不等式naA恒成立，把A叫做数列{}na的极限，记为limnnaA.

注：① 理解数列极限的关键在于弄清什么是无限增大，什么是无限趋近；

② 有限项的数列不存在极限问题，只有无穷项数列才存在极限问题；

③ 这里的常数A是唯一的，每个无穷数列不一定都有极限，例如：{(1)}n；

④ 研究一个数列的极限，关注的是数列后面无限项的问题，改变该数列前面任何有限多个项，都不能改变这个数列的极限；

⑤ “无限趋近于A”是指数列{}na后面的项与A的“距离”可以无限小到“零”.

例1 判断下列结论的正误

（1）若lim0nna，则na越来越小；

（2）若limnnaA，且{}na不是常数数列，则na无限接近A，但总不能达到A；

（3）在数列{}na中，如果对一切nN总有1nnaa，则{}na没有极限；

（4）若limnnaA，则lim0nnaA.

解：（1）不正确，例如：1nan，1nnaa

（2）不正确，例如：2)21nnannn，（为偶数，（为奇数），lim2nna.

（3）不正确，例如：11nan，1nnaa，但lim1nna.

（4）正确

2 2. 数列极限的运算性质

1）数列极限的运算性质

如果limnnaA，limnnbB，那么

① lim()limlimnnnnnnnababAB；

② lim()limlimnnnnnnnababAB；

数列极限点的定义(二)

数列极限点的定义

1. 数列的极限点定义

• 数列极限点是指在数列中存在一个实数a，使得数列中有无穷多个项的值无限接近于a。若一个数列存在极限点，则称该数列收敛，否则称为发散。

2. 极限点的严格定义

• 对于给定的正数ε，存在正整数N，使得当n大于N时，数列的每一项的值与极限点a之间的距离小于ε，即|an - a| < ε。

3. 图形化解释

• 可以从图形上直观地理解数列极限点的定义。当数列收敛时，数列的图像会逐渐逼近极限点a，并且趋于稳定；当数列发散时，数列的图像会无规律地变化，无法稳定在某一点上。

4. 应用和意义

• 数列极限点的定义在数学中有着广泛的应用和意义。它是数学分析中极重要的概念，涉及到微积分、级数等诸多数学分支的领域。 5. 书籍推荐

• 《数学分析教程》——王道考研教育出版社：该书是考研数学分析必备教材，全面系统地讲解数学分析的基本概念与理论，包括数列极限点的定义和性质等内容。

• 《微积分学教程》——习题与解析：该书是一本面向高等数学的教材，其中包含了数列极限点的详细定义和推导过程，特点是注重实际问题与数学知识的结合。

总结：数列极限点的定义是数学分析中重要的概念，通过对数列中项的无限接近于某一实数的性质描述，可以帮助我们理解数列的收敛和发散，并在数学分析中应用于不同领域。其中，推荐的书籍提供了更深入的学习和理解。