数学_2009年浙江省宁波市某校高考数学模拟试卷(理科)(含答案)

2009年浙江省宁波市某校高考数学模拟试卷（理科）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．.

1. 已知复数𝑧=(2−𝑖)⋅(1+𝑖)，则该复数𝑧的模等于( )

A √5 B √6 C √10 D 3√2

2. 已知条件𝑃：(𝑥−1)2+(𝑦−1)2=0，条件𝑄：(𝑥−1)⋅(𝑦−1)=0，那么𝑃是𝑄的（ ）

A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件

3. 已知直线𝑙和两个不同的平面𝛼，𝛽，则下列命题中，真命题的是（ ）

A 若𝑙 // 𝛼，且𝑙 // 𝛽，则𝛼 // 𝛽 B 若𝑙⊥𝛼．且𝑙⊥𝛽，则𝛼 // 𝛽 C 若𝑙⊂𝛼，且𝛼⊥𝛽，则𝑙⊥𝛽 D 若𝑙 // 𝛼，且𝛼 // 𝛽，则𝑙 // 𝛽

4. 已知(𝑥−1)(𝑥+1)9=𝑎0+𝑎1𝑥+𝑎2𝑥2+...+𝑎9𝑥9+𝑎10𝑥10，则𝑎2+𝑎4+𝑎6+𝑎8+𝑎10=( )

A −1 B 0 C 1 D 2

5. 已知函数𝑓(𝑥)满足：𝑓(1)=2,𝑓(𝑥+1)=1+𝑓(𝑥)1−𝑓(𝑥)，则𝑓(2009)等于（ ）

A 2 B −3 C −12 D 13

6. 已知𝑓(𝑥)=2sin(2𝑥−𝜋6)−𝑚在𝑥∈[0,𝜋2]上有两个不同零点，则𝑚的取值范围为（ ）

A (1, 2) B [1, 2] C [1, 2) D (1, 2]

7. 已知𝑎>0且𝑎≠1，则等式log𝑎(𝑀+𝑁)=log𝑎𝑀+log𝑎𝑁( )

A 对任意正数𝑀，𝑁都不成立 B 对任意正数𝑀，𝑁都成立 C 仅对𝑀=𝑁=2成立 D 存在无穷多组正数𝑀，𝑁成立

8. 某程序框图如右图所示，现将输出(𝑥, 𝑦)值依次记为：(𝑥1, 𝑦1)，(𝑥2, 𝑦2)，…，(𝑥𝑛, 𝑦𝑛)，…；若程序运行中输出的一个数组是(𝑥, −10)，则数组中𝑥=(

)

A 64 B 32 C 16 D 8

9. 函数𝑦=𝑓(𝑥)在𝑅上的图象是连续不断的一条曲线，并且在．𝑅上单调递增，已知𝑃(−1, −1)，𝑄(3, 1)是其图象上的两点，那

么|𝑓(𝑥+1)|<1的解集为（ ） A (0, 4) B (−2, 2) C (−∞, 0)∪(4, +∞) D (−∞, −2)∪(2, +∞)

10. 已知𝑎≥0，𝑏≥0，且有{(𝑥,𝑦)|{𝑥≥0𝑦≥0𝑥+2𝑦≤2}⊆{(𝑥,𝑦)|𝑎𝑥+𝑏𝑦≤4}，则以𝑎，𝑏为坐标的点𝑃(𝑎, 𝑏)所形成的平面区域的面积等于（ ）

A 1 B 2 C 4 D 8

二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．

11. 双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑎>0,𝑏>0)的渐近线方程为𝑥±√3𝑦=0，则双曲线离心率𝑒=________．

12. 已知𝑀={1, 2, 4}，𝐴={𝑦|𝑦=𝑥2, 𝑥∈𝑀}，𝐵={𝑦|𝑦=log2𝑥2, 𝑥∈𝑀}，则𝐶𝑎𝑟𝑑(𝐴∪𝐵)=________．

13. 等差数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和为𝑆𝑛，若𝑆3=𝑆6，则𝑆9=________．

14. 若不等式(12)𝑥2−2𝑎𝑥<23𝑥+𝑎2对任意实数𝑥都成立，则𝑎的取值范围为________．

15. 在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵→=𝑎→，𝐴𝐶→=𝑏→，𝐴𝐷→=𝜆𝑎→(0<𝜆<1)，𝐴𝐸→=𝜇𝑏→(0<𝜇<1)，𝐵𝐸与𝐶𝐷交于点𝑃，设𝐴𝑃→=𝑥𝑎→+𝑦𝑏→，其中已求得𝑥=𝜆⋅1−𝜇1−𝜆𝜇，则𝑦=________．

16. 将24个志愿者名额分配给3个学校，则每校至少有一个名额且各校名额互不相同的分配方法共有________种．

17. 如图，平面𝛼⊥平面𝛽，𝛼∩𝛽=𝑙，𝐷𝐴⊂𝛼，𝐵𝐶⊂𝛼，且𝐷𝐴⊥𝑙于𝐴，𝐵𝐶⊥𝑙于𝐵，𝐴𝐷=4，𝐵𝐶=8，𝐴𝐵=6，点𝑃是平面𝛽内不在𝑙上的一动点，记𝑃𝐷与平面𝛽所成角为𝜃1，𝑃𝐶与平面𝛽所成角为𝜃2．若𝜃1=𝜃2，则△𝑃𝐴𝐵的面积的最大值是________．

三、解答题：本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

18. 已知𝑚→=(cos𝜔𝑥+sin𝜔𝑥, √3cos𝜔𝑥)，𝑛→=(cos𝜔𝑥−sin𝜔𝑥, 2sin𝜔𝑥)，其中𝜔>0．设函数𝑓(𝑥)=𝑚→⋅𝑛→，且函数𝑓(𝑥)的周期为𝜋．

（1）求𝜔的值；

（2）在△𝐴𝐵𝐶中，𝑎，𝑏，𝑐分别是角𝐴，𝐵，𝐶的对边，且𝑎，𝑏，𝑐成等差数列，当𝑓(𝐵)=1时，判断△𝐴𝐵𝐶的形状．

19. 如图，矩形𝐴𝐵𝐶𝐷与正三角形𝐴𝑃𝐷中，𝐴𝐷=2，𝐷𝐶=1，𝐸为𝐴𝐷的中点，现将正三角形𝐴𝑃𝐷沿𝐴𝐷折起，得到四棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷，该四棱锥的三视图如下：

（1）求四棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷的体积；

（2）求异面直线𝐵𝐸，𝑃𝐷所成角的大小；

（3）求二面角𝐴−𝑃𝐷−𝐶的正弦值．

20. 甲乙两人约定以“五局三胜”制进行乒乓球比赛，比赛没有平局，设甲在每局中获胜的概率为23，且各局胜负相互独立，已知比赛中，乙嬴了第一局比赛．

（1）求甲获胜的概率；（用分数作答）

（2）设比赛总的局数为𝜉，求𝜉的分布列及期望𝐸𝜉．（用分数作答）

21. 已知直线𝑙:𝑦=𝑘𝑥+𝑚交抛物线𝐶:𝑥2=4𝑦于相异两点𝐴，𝐵．过𝐴，𝐵两点分别作抛物线的切线，设两切线交于𝑀点．

（1）若𝑀(2, −1)，求直线𝑙的方程；

（2）若|𝐴𝐵|=4，求△𝐴𝐵𝑀面积的最大值．

22. 已知函数𝑓(𝑥)=𝑒𝑥𝑥2+𝑥+1−3𝑒249（𝑒是自然对数的底数），𝑔(𝑥)=𝑎𝑥（𝑎是实数）．

（1）求函数𝑓(𝑥)的单调区间；

（2）若在[2, +∞)上至少存在一点𝑥0，使得𝑓(𝑥0)<𝑔(𝑥0)成立，求𝑎的取值范围．

2009年浙江省宁波市某校高考数学模拟试卷（理科）答案

1. C

2. A

3. B

4. C

5. A

6. C

7. D

8. B

9. B

10. D

11. 2√33

12. 5

13. 0

14. (34，+∞)

15. 𝜇⋅1−𝜆1−𝜆𝜇 16. 222

17. 12

18. 解：（1）∵ 𝑚→=(cos𝜔𝑥+sin𝜔𝑥,√3cos𝜔𝑥)，𝑛→=(cos𝜔𝑥−sin𝜔𝑥,2sin𝜔𝑥)(𝜔>0)∴ 𝑓(𝑥)=2sin(2𝜔𝑥+𝜋6)˙

∵ 函数𝑓(𝑥)的周期为𝜋∴ 𝑇=2𝜋2𝜔=𝜋∴ 𝜔=1

（2）在△𝐴𝐵𝐶中𝑓(𝐵)=1∴ 2sin(2𝐵+𝜋6)=1∴ sin(2𝐵=𝜋6)=12

又∵ 0<𝐵<𝜋∴ 𝜋6<2𝐵+𝜋6<76𝜋

∵ 2𝐵+𝜋6=5𝜋5∴ 𝐵=𝜋3∵ 𝑎，𝑏，𝑐成等差∴ 2𝑏=𝑎+𝑐

∴ cos𝐵=cos𝜋3=𝑎2+𝑐2−𝑏22𝑎𝑐=12∴ 𝑎𝑐=𝑎2+𝑐2−(𝑎+𝑐)24

化简得：𝑎=𝑐又∵ 𝐵=𝜋3∴ △𝐴𝐵𝐶为正三角形

19. 解：（1）由三视图可知四棱锥的高为√2，

∴ 𝑉=13⋅√2⋅2⋅1=2√23

（2）由题意可知，𝑃点在平面𝐴𝐵𝐶𝐷的射影为𝐵𝐶的中点𝑂，连接𝑂𝐷

在矩形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐷𝐸 // 𝐵𝑂，且𝐷𝐸=𝐵𝑂∴ 𝑂𝐷 // 𝐵𝐸，且𝑂𝐷=𝐵𝐸

∵ 异面直面𝐵𝐸，𝑃𝐷所成角等于𝑃𝐷于𝐷𝑂的所成角

∵ 𝑃𝑂⊥平面𝐴𝐵𝐶𝐷且𝑃𝑂=√2∴ ∠𝑃𝑂𝐷=90∘

又∵ 𝐷𝐶=𝐶𝑂=1,∠𝐷𝐶𝑂=90∘∴ 𝐷𝑂=√2∴ ∠𝑃𝐷𝑂=45∘

∴ 异面直线𝐵𝐸，𝑃𝐷所成角的大小为45∘

（3）作𝐶𝐻⊥𝑃𝐷于𝐻，连接𝐸𝐻，𝐶𝐸

∵ 𝐸𝐷=𝐶𝑂=1,𝑃𝐸=𝑃𝐶=√3，𝐷𝐸=𝐷𝐶=1∴ △𝑃𝐷𝐸≅△𝑃𝐷𝐶∴ ∠𝐸𝐷𝐻=∠𝐶𝐷𝐻

又∵ 𝐷𝐸=𝐷𝐶，𝐷𝐻=𝐷𝐻

∴ △𝐸𝐷𝐻≅△𝐶𝐷𝐻

∴ ∠𝐸𝐻𝐷=∠𝐶𝐻𝐷=90∘,𝐶𝐻=𝐸𝐻=𝐷𝐶⋅𝑃𝐶𝑃𝐷=1⋅√32=√32

∴ 𝐸𝐻⊥𝑃𝐷∴ ∠𝐸𝐻𝐶为二面角𝐴−𝑃𝐷−𝐶的平面角

在△𝐶𝐸𝐻中，cos∠𝐸𝐻𝐶=𝐶𝐻2+𝐸𝐻2−𝐶𝐸22𝐶𝐻⋅𝐸𝐻=−13 ∵ ∠𝐸𝐻𝐶∈[0,𝜋]∴ sin∠𝐸𝐻𝐶=2√23

∴ 二面角𝐴−𝑃𝐷−𝐶的正弦值为2√23

20. 解：（1）甲获胜的概率𝑃=(23)3+𝐶31⋅13⋅(23)3=1627

（2）由题设知：𝜉=3，4，5，

𝑃(𝜉=3)=(1−23)2=19，

𝑃(𝜉=4)=(23)3+𝐶21⋅23⋅(13)2=49，

𝑃(𝜉=5)=𝐶32(23)2(13)2+𝐶31⋅13⋅(23)3=49

∵ 𝜉的分布列为：

𝜉 3 4

5

𝑃 19 49 49

∴ 𝐸𝜉=3⋅19+4⋅49+5⋅49=133

21. 解：（1）设𝐴(𝑥1, 𝑦1)，𝐵(𝑥2, 𝑦2)，𝑀(𝑥0, 𝑦0)，

则𝑦1=𝑥124，𝑦2=𝑥224

∵ 𝑦=𝑥24，

∴ 𝑦′=𝑥2

∴ 切线方程：𝑦−𝑦1=𝑥12(𝑥−𝑥1)，𝑦−𝑦2=𝑥22(𝑥−𝑥2)

两式联立且有𝑦1=𝑥124，𝑦2=𝑥224，

可得{𝑥0=𝑥1+𝑥22𝑦0=𝑥1𝑥24①