数学_2010年浙江省宁波市某校高考数学模拟试卷(理科)(含答案)

2010年浙江省宁波市某校高考数学模拟试卷（理科）

一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）

1. 若复数𝑧=𝑚1−𝑖+1−𝑖2是纯虚数，则实数𝑚等于（ ）

A 1 B −1 C 12 D −12

2. 已知全集𝑈=𝑅，且𝐴={𝑥||𝑥−1|>2}，𝐵={𝑥|𝑥2−6𝑥+8<0}，则(∁𝑈𝐴)∩𝐵等于（ ）

A (2, 3) B [2, 3] C (2, 3] D (−2, 3]

3. 已知命题𝑝：实数𝑥满足log𝑎𝑥>log𝑎(1−𝑥)，其中0<𝑎<1；命题𝑞：实数𝑥满足−1<𝑥<1；则𝑝是𝑞的（ ）

A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件

4. 下列函数中，最小正周期为𝜋，且图象关于直线𝑥=𝜋3对称的是（ ）

A 𝑦=sin(2𝑥+𝜋6) B 𝑦=sin(𝑥2+𝜋3) C 𝑦=sin(2𝑥−𝜋3) D 𝑦=sin(2𝑥−𝜋6)

5. 已知𝑚，𝑛是两条异面直线，点𝑃是直线𝑚，𝑛外的任一点，有下面四个结论：①过点𝑃一定存在一个与直线𝑚，𝑛都平行的平面．②过点𝑃一定存在一条与直线𝑚，𝑛都相交的直线．③过点𝑃一定存在一条与直线𝑚，𝑛都垂直的直线．④过点𝑃一定存在一个与直线𝑚，𝑛都垂直的平面．则四个结论中正确的个数为（ ）

A 1 B 2 C 3 D 4

6. 若函数𝑓(𝑥)=1𝑛𝑒−𝑚𝑥的图象在𝑀(0,1𝑛)处的切线𝑙与圆𝐶:𝑥2+𝑦2=1相交，则点𝑃(𝑚, 𝑛)与圆𝐶的位置关系是（ ）

A 圆内 B 圆外 C 圆上 D 圆内或圆外

7. 已知数列{𝑎𝑛}是等差数列，其前𝑛项和为𝑆𝑛，若𝑎1𝑎2𝑎3=15，且3𝑆1𝑆3+15𝑆3𝑆5+5𝑆5𝑆1=35，则𝑎2=( )

A 2 B 12 C 3 D 13

8. 如果执行如图的程序框图，那么输出的𝑆为（ ）

A 𝑆=3 B 𝑆=43 C 𝑆=12 D 𝑆=−2

9. 已知𝐹1，𝐹2分别是双曲线𝐶：𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑎>0, 𝑏>0)的左，右焦点．过点𝐹2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线于点𝑀，且∠𝐹1𝑀𝐹2=90∘，则双曲线的离心率为（ ）

A √2 B √3 C 2 D √5

10. 已知函数𝑓(𝑥)={𝑥+1𝑥，𝑥>0𝑥3+3，𝑥≤0，则方程𝑓(2𝑥2+𝑥)=𝑎(𝑎>2)的根的个数不可能为（ ）

A 3 B 4 C 5 D 6

二、填空题（共7小题，每小题4分，满分28分）

11. 如图，是从参加低碳生活知识竞赛的学生中抽出60名，将其成绩整理后画出的频率分布直方图，则这些同学成绩的中位数为________．（保留一位小数）

12. 已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是边长为2的正三角形，侧视图是直角三角形，则此几何体的体积为________．

13. 已知实数𝑥，𝑦满足不等式组{2𝑥−𝑦≤0𝑥+𝑦−3≥0𝑥+2𝑦≤𝑚，且𝑧=𝑥−𝑦的最小值为−3，则实数𝑚的值是________．

14. 在△𝐴𝐵𝐶中，角𝐴，𝐵，𝐶所对的边分别是𝑎，𝑏，𝑐，已知点𝐷是𝐵𝐶边的中点，且𝐴𝐷→⋅𝐵𝐶→=12(𝑎2−𝑎𝑐)，则角𝐵=________．

15. 某人要测量一座山的高度，他在山底所在的水平面上，选取在同一直线上的𝐴，𝐵，𝐶三点进行测量．他在𝐴点测得山顶的仰角是30∘，在𝐵点测得山顶的仰角是45∘，在𝐶点测得山顶的仰角是60∘，若𝐴𝐵=𝐵𝐶=𝑎，则这座山的高度为________（结果用𝑎表示）．

16. 在多项式(𝑥+1√𝑥)6(√𝑥−1)10的展开式中，其常数项为________．

17. 在等比数列{𝑎𝑛}中，若前𝑛项之积为𝑇𝑛，则有𝑇3𝑛=(𝑇2𝑛𝑇𝑛)3．则在等差数列{𝑏𝑛}中，若前𝑛项之和为𝑆𝑛，用类比的方法得到的结论是________．

三、解答题（共5小题，满分72分）

18. 在△𝐴𝐵𝐶中，角𝐴，𝐵，𝐶所对的边分别是𝑎，𝑏，𝑐，已知𝐴=𝜋6，𝑎=2；设内角𝐵=𝑥，△𝐴𝐵𝐶的面积为𝑦．

（1）求函数𝑦=𝑓(𝑥)的解析式和定义域；

（2）求函数𝑦=𝑓(𝑥)的值域．

19. 某公司在招聘员工时，要进行笔试，面试和实习三个过程．笔试设置了3个题，每一个题答对得5分，否则得0分．面试则要求应聘者回答3个问题，每一个问题答对得5分，否则得0分．并且规定在笔试中至少得到10分，才有资格参加面试，而笔试和面试得分之和至少为25分，才有实习的机会．现有甲去该公司应聘，假设甲答对笔试中的每一个题的概率为34，答对面试中的每一个问题的概率为12．

（1）求甲获得实习机会的概率；

（2）设甲在去应聘过程中的所得分数为随机变量𝜉，求𝜉的数学期望．

20. 如图，在几何体𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐷⊥平面𝑆𝐶𝐷，𝐵𝐶⊥平面𝑆𝐶𝐷，𝐴𝐷＝𝐷𝐶＝2，𝐵𝐶＝1，又𝑆𝐷＝2，∠𝑆𝐷𝐶＝120∘．

（1）求𝑆𝐶与平面𝑆𝐴𝐵所成角的正弦值；

（2）求平面𝑆𝐴𝐷与平面𝑆𝐴𝐵所成的锐二面角的余弦值．

21. 在对某班的一次数学测验成绩进行统计分析中，各分数段的人数如图所示（分数取正整数，满分100分），则69.5∼79.5这一组的频率是________．

22. 已知函数𝑓(𝑥)=(𝑥3−6𝑥2+3𝑥+𝑡)𝑒𝑥，𝑡∈𝑅．

（1）若函数𝑦=𝑓(𝑥)依次在𝑥=𝑎，𝑥=𝑏，𝑥=𝑐(𝑎<𝑏<𝑐)处取到极值．

①求𝑡的取值范围；

②若𝑎+𝑐=2𝑏2，求𝑡的值．

（2）若存在实数𝑡∈[0, 2]，使对任意的𝑥∈[1, 𝑚]，不等式𝑓(𝑥)≤𝑥恒成立．求正整数𝑚的最大值．

2010年浙江省宁波市某校高考数学模拟试卷（理科）答案

1. B

2. C

3. A

4. D

5. A

6. B

7. C

8. B

9. D

10. A

11. 72.8

12. 8√33

13. 3

14. 𝜋3

15. √62𝑎

16. −495

17. 𝑆3𝑛=3(𝑆2𝑛−𝑆𝑛)

18. 解：（1）设△𝐴𝐵𝐶的外接圆的半径为𝑅，则2𝑅=2sin𝜋6=4，∴ 𝑅=2．

则𝑦=𝑓(𝑥)=12𝑏𝑐sin𝐴=14×2𝑅sin𝐵×2𝑅sin𝐶=4sin𝑥sin(5𝜋6−𝑥)，

定义域为{𝑥|0<𝑥<5𝜋6}．

（2）∵ 𝑓(𝑥)=4sin𝑥sin(5𝜋6−𝑥)=4sin𝑥(12cos𝑥+√32sin𝑥)=2sin𝑥cos𝑥+2√3sin2𝑥=sin2𝑥+√3−√3cos2𝑥=2sin(2𝑥−𝜋3)+√3

而0<𝑥<5𝜋6，∴ −𝜋3<2𝑥−𝜋3<4𝜋3．

则−√32

故函数𝑦=𝑓(𝑥)的值域为(0,2+√3]．

19. ∵ 由题意知甲获得实习机会需要笔试和面试得分之和至少为25分，

包括两种情况：一是笔试和面试得分之和为25分；二是笔试和面试得分之和为30分，这两种情况是互斥的

笔试和面试得分之和为25分的概率为𝑝1=𝐶32×(34)2×14×𝐶33×(12)3+𝐶33×(34)3×𝐶32×(12)2×12=27128， 笔试和面试得分之和为30分的概率为𝑝1=𝐶33×(34)3×𝐶33×(12)3=27512，

∴ 甲获得实习机会的概率为𝑝=𝑝1+𝑝2=27128+27512=135512．

𝜉的取值为0，5，10，15，20，25，30．

𝑝(𝜉=0)=𝐶33×(14)3=164，

𝑝(𝜉=5)=𝐶31×34×(14)2=964，

𝑝(𝜉=10)=𝐶32×(34)2×14×𝐶30×(12)3=27512，

𝑝(𝜉=15)=𝐶32×(34)2×14×𝐶31×(12)3+𝐶33×(34)3×𝐶30×(12)3=108512，𝑝(𝜉=20)=𝐶32×(34)2×14×𝐶32×(12)3+𝐶33×(34)3×𝐶31×(12)3=162512，

由（1）知𝑝(𝜉=25)=108512，

𝑝(𝜉=30)=27512．

∴ 𝐸𝜉=0×164+5×964+10×27512+15×108512+20×162512+25×108512+30×27512=112564

20. 设平面𝑆𝐴𝐵的法向量为𝑛→=(𝑥,𝑦,𝑧)，

∵ 𝐴𝐵→=(2,0,−1),𝐴𝑆→=(−1,√3,−2)．

则有{2𝑥−𝑧=0−𝑥+√3𝑦−2𝑧=0 ，取𝑥=√3，

得𝑛→=(√3,5,2√3)，又𝑆𝐶→=(3,−√3,0)，

设𝑆𝐶与平面𝑆𝐴𝐵所成角为𝜃，

则sin𝜃=|cos<𝑆𝐶→,𝑛→>|=2√32√3×2√10=√1020，

故𝑆𝐶与平面𝑆𝐴𝐵所成角的正弦值为√1020．

设平面𝑆𝐴𝐷的法向量为𝑚→=(𝑥,𝑦,𝑧)，

∵ 𝐴𝐷→=(0,0,−2),𝐴𝑆→=(−1,√3,−2)，

则有{−2𝑧=0−𝑥+√3𝑦−2𝑧=0 ，取𝑥=√3，得𝑚→=(√3,1,0)．

∴ cos<𝑛→,𝑚→>=𝑛→⋅𝑚→|𝑛→|×|𝑚→|=82√10×2=√105，

故平面𝑆𝐴𝐷与平面𝑆𝐴𝐵所成的锐二面角的余弦值是√105．

21. 0.3

22. 解：（1）①𝑓′(𝑥)=(3𝑥2−12𝑥+3)𝑒𝑥+(𝑥3−6𝑥2+3𝑥+𝑡)𝑒𝑥=(𝑥3−3𝑥2−9𝑥+𝑡+3)𝑒𝑥∵ 𝑓(𝑥)有3个极值点，

∴ 𝑥3−3𝑥2−9𝑥+𝑡+3=0有3个根𝑎，𝑏，𝑐．

令𝑔(𝑥)=𝑥3−3𝑥2−9𝑥+𝑡+3，𝑔′(𝑥)=3𝑥2−6𝑥−9=3(𝑥+1)(𝑥−3)，

𝑔(𝑥)在(−∞, −1)，(3, +∞)上递增，(−1, 3)上递减．