数学_2011年浙江省高考数学模拟试卷1(理科)(含答案)

2011年浙江省高考数学模拟试卷1（理科）

一、选择题（共12小题，每小题4分，满分48分）

1. 已知集合𝐴={𝑥|−1<𝑥<𝑎}，𝐵={𝑥|0<𝑥<1}，若𝐴∩𝐵≠⌀，𝐵⊄𝐴，则实数𝑎的取值范围是（ ）

A (−∞, 0) B (0, 1) C 1 D (1, +∞)

2. 已知向量𝑎→=(1, 1)，2𝑎→+𝑏→=(4, 2)，则向量𝑎→，𝑏→的夹角的余弦值为（ ）

A 310√10 B −310√10 C √22 D −√22

3. 在等差数列{𝑎𝑛}中，首项𝑎1=0，公差𝑑≠0，若𝑎𝑚=𝑎1+𝑎2+𝑎3+𝑎4+𝑎5，则𝑚=(

)

A 11 B 12 C 10 D 13

4. 若一个圆台的正视图如图所示，则其侧面积等于（ ）

A 6 B 6𝜋 C 3√5𝜋 D 6√5𝜋

5. 已知𝑖为虚数单位，𝑎为实数，复数𝑧=(𝑎−2𝑖)(1+𝑖)在复平面内对应的点为𝑀，则“𝑎=1”是“点𝑀在第四象限”的（ ）

A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件

6. 函数𝑦=cos2(𝑥+𝜋4)−sin2(𝑥+𝜋4)的最小正周期为( )

A 𝜋4 B 𝜋2 C 𝜋 D 2𝜋

7. 设实数𝑥和𝑦满足约束条件{𝑥+𝑦≤10𝑥−𝑦≤2𝑥≥4，则𝑧=2𝑥+3𝑦的最小值为( )

A 26 B 24 C 16 D 14

8. 已知直线𝑥+2𝑦=2与𝑥轴，𝑦轴分别交于𝐴，𝐵两点，若动点𝑃(𝑎, 𝑏)在线段𝐴𝐵上，则𝑎𝑏的最大值为( )

A 12 B 2 C 3 D 13

9. 某校高中年级开设了丰富多彩的校本课程，甲、乙两班各随机抽取了5名学生的学分，用茎叶图表示（如图）．𝑠1，𝑠2分别表示甲、乙两班抽取的5名学生学分的标准差，则𝑠1 ____ 𝑠2．（填“>”、“<”或“=”）．（ ）

A > B < C = D 不能确定

10. 若函数𝑦=𝑓(𝑥)的导函数在区间(𝑎, 𝑏)上的图象关于直线𝑥=𝑎+𝑏2对称，则函数𝑦=𝑓(𝑥)在区间[𝑎, 𝑏]上的图象可能是（ ）

A ① B ② C ③ D ③④

11. 已知函数𝑓(𝑥)={𝑥2+2𝑥−1，𝑥≥0𝑥2−2𝑥−1，𝑥<0，则对任意𝑥1，𝑥2∈𝑅，若0<|𝑥1|<|𝑥2|，下列不等式成立的是（ ）

A 𝑓(𝑥1)+𝑓(𝑥2)<0 B 𝑓(𝑥1)+𝑓(𝑥2)>0 C 𝑓(𝑥1)−𝑓(𝑥2)>0 D 𝑓(𝑥1)−𝑓(𝑥2)<0

12. 已知双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑎>0,𝑏>0)与抛物线𝑦2=8𝑥有一个公共的焦点𝐹，且两曲线的一个交点为𝑃，若|𝑃𝐹|=5，则双曲线的渐近线方程为( )

A 𝑥±√3𝑦=0 B √3𝑥±𝑦=0 C 𝑥±2𝑦=0 D 2𝑥±𝑦=0

二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）

13. 由曲线𝑦2=2𝑥 和直线𝑦=𝑥−4所围成的图形的面积为________．

14. 某程序框图如图所示，该程序运行后输出的𝑆的值是________．

15. 若点𝑃在直线𝑙1:𝑥+𝑦+3=0上，过点𝑃的直线𝑙2与曲线𝐶：(𝑥−5)2+𝑦2=16只有一个公共点𝑀，则|𝑃𝑀|的最小值为________．

16. 以下是面点师一个工作环节的数学模型：如图，在数轴上截取与闭区间[0, 4]对应的线段，对折后（坐标4所对应的点与原点重合）再均匀地拉成4个单位长度的线段，这一过程称为一次操作（例如在第一次操作完成后，原来的坐标1、3变成2，原来的坐标2变成4，等等）．那么原闭区间[0, 4]上（除两个端点外）的点，在第𝑛次操作完成后(𝑛≥1)，恰好被拉到与4重合的点所对应的坐标为________．

三、解答题（共6小题，满分74分）

17. 在△𝐴𝐵𝐶中，已知𝐴=45∘，cos𝐵=45．

(1)求cos𝐶的值； (2)若𝐵𝐶=10，𝐷为𝐴𝐵的中点，求𝐶𝐷的长．

18.

某班同学利用五一节进行社会实践，对[25, 55]岁的人群随机抽取𝑛人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念，则称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：

组数 分组 低碳族

的人数 占本组

的频率

1 [25, 30) 120 0.6

2 [30, 35) 195 𝑝

3 [35, 40) 100 0.5

4 [40, 45) 𝑎 0.4

5 [45, 50) 30 0.3

6 [50, 55) 15 0.3

(1)请补全频率分布直方图，并求𝑛，𝑎，𝑝的值；

(2)在所得样本中，从[40, 50)岁年龄段的“低碳族”中采用分层抽样法抽取18人参加户外低碳体验活动，其中选取3人作为领队，记选取的3名领队中年龄在[40, 45)岁的人数为𝑋，求𝑋的分布列和数学期望𝐸𝑋．

19. 设数列{𝑎𝑛}是首项为𝑎1(𝑎1>0)，公差为2的等差数列，其前𝑛项和为𝑆𝑛，且√𝑆1，√𝑆2，√𝑆3成等差数列．

(1)求数列{𝑎𝑛}的通项公式；

(2)记𝑏𝑛=𝑎𝑛2𝑛的前𝑛项和为𝑇𝑛，求𝑇𝑛．

20. 如图，已知𝐸，𝐹分别是正方形𝐴𝐵𝐶𝐷边𝐵𝐶、𝐶𝐷的中点，𝐸𝐹与𝐴𝐶交于点𝑂，𝑃𝐴、𝑁𝐶都垂直于平面𝐴𝐵𝐶𝐷，且𝑃𝐴=𝐴𝐵=4，𝑁𝐶=2，𝑀是线段𝑃𝐴上一动点．

（1）求证：平面𝑃𝐴𝐶⊥平面𝑁𝐸𝐹；

（2）若𝑃𝐶 // 平面𝑀𝐸𝐹，试求𝑃𝑀:𝑀𝐴的值；

（3）当𝑀是𝑃𝐴中点时，求二面角𝑀−𝐸𝐹−𝑁的余弦值． 21. 已知椭圆𝐶：𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎>𝑏>0)的离心率为𝑒=√33，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线𝑥−𝑦+2=0相切，𝐴，𝐵分别是椭圆的左右两个顶点，𝑃为椭圆𝐶上的动点．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若𝑃与𝐴，𝐵均不重合，设直线𝑃𝐴与𝑃𝐵的斜率分别为𝑘1，𝑘2，证明：𝑘1⋅𝑘2为定值；

（3）𝑀为过𝑃且垂直于𝑥轴的直线上的点，若|𝑂𝑃||𝑂𝑀|=𝜆，求点𝑀的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．

22. 已知三次函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑥3+𝑏𝑥2+𝑐𝑥(𝑎, 𝑏, 𝑐∈𝑅)．

（1）若函数𝑓(𝑥)过点(−1, 2)且在点（1, 𝑓(1)）处的切线方程为𝑦+2=0，求函数𝑓(𝑥)的解析式；

（2）在（1）的条件下，若对于区间[−3, 2]上任意两个自变量的值𝑥1，𝑥2都有|𝑓(𝑥1)−𝑓(𝑥2)|≤𝑡，求实数𝑡的最小值；

（3）当−1≤𝑥≤1时，|𝑓′(𝑥)|≤1，试求𝑎的最大值，并求𝑎取得最大值时𝑓(𝑥)的表达式．

2011年浙江省高考数学模拟试卷1（理科）答案

1. B

2. C

3. A

4. C

5. A

6. C

7. D

8. A

9. B

10. D

11. D

12. B

13. 18

14. −12

15. 4

16. 𝑗2𝑛−2（这里𝑗为[1, 2𝑛]中的所有奇数 ）

17. 解：(1)∵ cos𝐵=45，且𝐵∈(0∘, 180∘)，

∴ sin𝐵=√1−cos2𝐵=35．

cos𝐶=cos(180∘−𝐴−𝐵)=cos(135∘−𝐵)

=cos135∘cos𝐵+sin135∘sin𝐵

=−√22⋅45+√22⋅35=−√210． (2)由(1)可得sin𝐶=√1−cos2𝐶

=√1−(−√210)2=710√2，

由正弦定理得𝐵𝐶sin𝐴=𝐴𝐵sin𝐶，

即10√22=𝐴𝐵710√2，

解得𝐴𝐵=14．

在△𝐵𝐶𝐷中，𝐵𝐷=7，

由余弦定理可知𝐶𝐷2=72+102−2×7×10×45=37，

∴ 𝐶𝐷=√37．

18. 解：(1)第二组的频率为1−(0.04+0.04+0.03+0.02+0.01)×5=0.3，

所以高为0.35=0.06．

频率直方图如下：

第一组的人数为1200.6=200，频率为0.04×5=0.2，

所以𝑛=2000.2=1000．

由题可知，第二组的频率为0.3，

所以第二组的人数为1000×0.3=300，所以𝑝=195300=0.65．

第四组的频率为0.03×5=0.15，

所以第四组的人数为1000×0.15=150，所以𝑎=150×0.4=60．

(2)因为[40, 45)岁年龄段的“低碳族”与[45, 50)岁年龄段的“低碳族”的比值为60:30=2:1，所以采用分层抽样法抽取18人，[40, 45)岁中有12人，[45, 50)岁中有6人．

随机变量𝑋服从超几何分布．𝑃(𝑋=0)=𝐶120𝐶63𝐶183=5204，

𝑃(𝑋=1)=𝐶121𝐶62𝐶183=1568，

𝑃(𝑋=2)=𝐶122𝐶61𝐶183=3368，

𝑃(𝑋=3)=𝐶123𝐶60𝐶183=55204． 所以随机变量𝑋的分布列为

𝑋 0 1 2

3

𝑃 5204 1568 3368 55204

∴ 数学期望𝐸𝑋=0×5204+1×1568+2×3368+3×55204=2．

19. 解：(1)∵ 𝑆1=𝑎1，

𝑆2=𝑎1+𝑎2=2𝑎1+2，

𝑆3=𝑎1+𝑎2+𝑎3=3𝑎1+6，

由√𝑆1，√𝑆2，√𝑆3成等差数列得：

2√𝑆2=√𝑆1+√𝑆3，

即2√2𝑎1+2=√𝑎1+√3𝑎1+6，

解得𝑎1=1.

故𝑎𝑛=2𝑛−1.

(2)𝑏𝑛=𝑎𝑛2𝑛=2𝑛−12𝑛=(2𝑛−1)(12)𝑛，

𝑇𝑛=1×12+3×14+

5×18+⋯+(2𝑛−1)×(12)𝑛，①