高中物理带电粒子在磁场中的运动练习题及答案及解析

高中物理带电粒子在磁场中的运动练习题及答案及解析

一、带电粒子在磁场中的运动专项训练

1．如图所示，MN为绝缘板，CD为板上两个小孔，AO为CD的中垂线，在MN的下方有匀强磁场，方向垂直纸面向外(图中未画出)，质量为m电荷量为q的粒子(不计重力)以某一速度从A点平行于MN的方向进入静电分析器，静电分析器内有均匀辐向分布的电场(电场方向指向O点)，已知图中虚线圆弧的半径为R，其所在处场强大小为E，若离子恰好沿图中虚线做圆周运动后从小孔C垂直于MN进入下方磁场．

1求粒子运动的速度大小；

2粒子在磁场中运动，与MN板碰撞，碰后以原速率反弹，且碰撞时无电荷的转移，之后恰好从小孔D进入MN上方的一个三角形匀强磁场，从A点射出磁场，则三角形磁场区域最小面积为多少？MN上下两区域磁场的磁感应强度大小之比为多少？

3粒子从A点出发后，第一次回到A点所经过的总时间为多少？

【答案】（1）EqRm；（2）212R；11n；（3）2πmREq。

【解析】

【分析】

【详解】

（1）由题可知，粒子进入静电分析器做圆周运动，则有：

2mvEqR

解得：EqRvm

（2）粒子从D到A匀速圆周运动，轨迹如图所示：

由图示三角形区域面积最小值为：

22RS

在磁场中洛伦兹力提供向心力，则有：

2mvBqvR

得：

mvRBq

设MN下方的磁感应强度为B1，上方的磁感应强度为B2，如图所示：

若只碰撞一次，则有：

112RmvRBq

22mvRRBq

故2112BB

若碰撞n次，则有：

111RmvRnBq

22mvRRBq 故2111BBn

（3）粒子在电场中运动时间：

1242RmRtvEq

在MN下方的磁场中运动时间：

211122nmmRtRRvEqREq

在MN上方的磁场中运动时间：

232142RmRtvEq

总时间：

1232mRttttEq

2．某控制带电粒子运动的仪器原理如图所示，区域PP′M′M内有竖直向下的匀强电场，电场场强E＝1.0×103V/m，宽度d＝0.05m，长度L＝0.40m；区域MM′N′N内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度B＝2.5×10－2T，宽度D＝0.05m，比荷qm＝1.0×108C/kg的带正电的粒子以水平初速度v0从P点射入电场．边界MM′不影响粒子的运动，不计粒子重力．

(1) 若v0＝8.0×105m/s，求粒子从区域PP′N′N射出的位置；

(2) 若粒子第一次进入磁场后就从M′N′间垂直边界射出，求v0的大小；

(3) 若粒子从M′点射出，求v0满足的条件．

【答案】(1)0.0125m (2) 3.6×105m/s. (3) 第一种情况：v0＝54.00.8()10/21nmsn (其中n＝0、1、2、3、4)第二种情况：v0＝53.20.8()10/21nmsn (其中n＝0、1、2、3)．

【解析】

【详解】

(1) 粒子以水平初速度从P点射入电场后，在电场中做类平抛运动，假设粒子能够进入磁场，则 竖直方向21··2Eqdtm＝

得2mdtqE

代入数据解得t＝1.0×10－6s

水平位移x＝v0t

代入数据解得x＝0.80m

因为x大于L，所以粒子不能进入磁场，而是从P′M′间射出，

则运动时间t0＝0Lv＝0.5×10－6s，

竖直位移201··2Eqytm＝＝0.0125m

所以粒子从P′点下方0.0125m处射出．

(2) 由第一问可以求得粒子在电场中做类平抛运动的水平位移x＝v0 2mdqE

粒子进入磁场时，垂直边界的速度

v1＝qEm·t＝2qEdm

设粒子与磁场边界之间的夹角为α，则粒子进入磁场时的速度为v＝1vsin

在磁场中由qvB＝m2vR得R＝mvqB

粒子第一次进入磁场后，垂直边界M′N′射出磁场，必须满足x＋Rsinα＝L

把x＝v02mdqE、R＝mvqB、v＝1vsin、12qEdvm＝ 代入解得

v0＝L·2Eqmd－EB

v0＝3.6×105m/s.

(3) 由第二问解答的图可知粒子离MM′的最远距离Δy＝R－Rcosα＝R(1－cosα)

把R＝mvqB、v＝1vsin、12qEdvm＝代入解得 12(1cos)12tansin2mEdmEdyBqBq

可以看出当α＝90°时，Δy有最大值，(α＝90°即粒子从P点射入电场的速度为零，直接在电场中加速后以v1的速度垂直MM′进入磁场运动半个圆周回到电场)

1max212mvmqEdmEdyqBqBmBq

Δymax＝0.04m，Δymax小于磁场宽度D，所以不管粒子的水平射入速度是多少，粒子都不会从边界NN′射出磁场．

若粒子速度较小，周期性运动的轨迹如下图所示：

粒子要从M′点射出边界有两种情况，

第一种情况：

L＝n(2v0t＋2Rsinα)＋v0t

把2mdtqE、R＝mvqB 、v1＝vsinα、12qEdvm＝

代入解得

0221221LqEnEvnmdnB

v0＝4.00.821nn×105m/s(其中n＝0、1、2、3、4)

第二种情况：

L＝n(2v0t＋2Rsinα)＋v0t＋2Rsinα

把2mdtqE 、R＝mvqB、v1＝vsinα、12qEdvm＝代入解得

02(1)21221LqEnEvnmdnB

v0＝3.20.821nn×105m/s(其中n＝0、1、2、3)．

3．在平面直角坐标系x0y中，第I象限内存在垂直于坐标平面向里的匀强磁场，在A(L，0)点有一粒子源，沿y轴正向发射出速率分别为υ、5υ、9υ的同种带电粒子，粒子质量为m，电荷量为q．在B(0，L)、C(0，3L)、D(0，5L)放一个粒子接收器，B点的接收器只能吸收来自y轴右侧到达该点的粒子，C、D两点的接收器可以吸收沿任意方向到达该点的粒子．已知速率为υ的粒子恰好到达B点并被吸收，不计粒子重力．

(1)求第I象限内磁场的磁感应强度B1;

(2)计算说明速率为5v、9v的粒子能否到达接收器;

(3)若在第Ⅱ象限内加上垂直于坐标平面的匀强磁场，使所有粒子均到达接收器，求所加磁场的磁感应强度B2的大小和方向．

【答案】(1)1mvBqL(2)故速率为v的粒子被吸收，速率为9v的粒子不能被吸收(3)2217'(173)mBqL（或2(17317)'4mvBqL），垂直坐标平面向外

【解析】

【详解】

（1）由几何关系知，速率为v的粒子在第Ⅰ象限内运动的半径为RL①

由牛顿运动定律得21vqvBmR②

得1mvBqL③

（2）由（1）中关系式可得速率为v、9v的粒子在磁场中的半径分别为5L、9L.

设粒子与y轴的交点到O的距离为y，将5RL和9RL分别代入下式

222()RLyR④

得这两种粒子在y轴上的交点到O的距离分别为3L、17L⑤

故速率为v的粒子被吸收，速率为9v的粒子不能被吸收．⑥

（3）若速度为9v的粒子能到达D点的接收器，则所加磁场应垂直坐标平面向外⑦

设离子在所加磁场中的运动半径为1R，由几何关系有 15172917LLRLL⑧

又221(9)9vqvBmR⑨

解得2217(517)mvBqL（或2(51717)4mvBqL）⑩

若粒子到达C点的接收器，所加磁场应垂直于坐标平面向里

同理：21732917LLRLL

222(9)9'vqvBmR

解得2217'(173)mBqL（或2(17317)'4mvBqL）

4．如图所示，在第一象限内存在匀强电场，电场方向与x轴成45°角斜向左下，在第四象限内有一匀强磁场区域，该区域是由一个半径为R的半圆和一个长为2R、宽为2R的矩形组成，磁场的方向垂直纸面向里．一质量为m、电荷量为+q的粒子(重力忽略不计)以速度v从Q(0，3R)点垂直电场方向射入电场，恰在P(R，0)点进入磁场区域．

(1)求电场强度大小及粒子经过P点时的速度大小和方向；

(2)为使粒子从AC边界射出磁场，磁感应强度应满足什么条件；

(3)为使粒子射出磁场区域后不会进入电场区域，磁场的磁感应强度应不大于多少?

【答案】(1) 224mvEqR；2v，速度方向沿y轴负方向(2)82225mvmvBqRqR(3)22713mvqR

【解析】

【分析】 【详解】

（1）在电场中，粒子沿初速度方向做匀速运动

132cos4522cos45RLRR

1Lvt

沿电场力方向做匀加速运动，加速度为a

22sin452LRR

2212Lat

qEam

设粒子出电场时沿初速度和沿电场力方向分运动的速度大小分别为1v、2v，合速度v

1vv、2vat，2tanvv

联立可得224mvEqR

进入磁场的速度22122vvvv

45，速度方向沿y轴负方向

（2）由左手定则判定，粒子向右偏转，当粒子从A点射出时，运动半径12Rr

由211mvqvBr得122mvBqR

当粒子从C点射出时，由勾股定理得

222222RRrr

解得258rR 由222mvqvBr得2825mvBqR

根据粒子在磁场中运动半径随磁场减弱而增大，可以判断，当82225mvmvBqRqR时，粒子从AC边界射出

（3）为使粒子不再回到电场区域，需粒子在CD区域穿出磁场，设出磁场时速度方向平行于x轴，其半径为3r，由几何关系得222332RrrR

解得3714Rr

由233mvqvBr得322713mvBqR

磁感应强度小于3B，运转半径更大，出磁场时速度方向偏向x轴下方，便不会回到电场中

5．如图所示，空间存在方向垂直于xOy平面向里的匀强磁场，在0d的区域Ⅱ内的磁感应强度大小为2B.一个质量为m、电荷量为-q的粒子以速度qBdm 从O点沿y轴正方向射入区域Ⅰ.不计粒子重力．