高中物理带电粒子在磁场中的运动解题技巧和训练方法及练习题(含答案)及解析

高中物理带电粒子在磁场中的运动解题技巧和训练方法及练习题(含答案)及解析

一、带电粒子在磁场中的运动专项训练

1．如图所示为电子发射器原理图，M处是电子出射口，它是宽度为d的狭缝．D为绝缘外壳，整个装置处于真空中，半径为a的金属圆柱A可沿半径向外均匀发射速率为v的电子；与A同轴放置的金属网C的半径为2a.不考虑A、C的静电感应电荷对电子的作用和电子之间的相互作用，忽略电子所受重力和相对论效应，已知电子质量为m，电荷量为e.

(1)若A、C间加速电压为U，求电子通过金属网C发射出来的速度大小vC；

(2)若在A、C间不加磁场和电场时，检测到电子从M射出形成的电流为I，求圆柱体A在t时间内发射电子的数量N.(忽略C、D间的距离以及电子碰撞到C、D上的反射效应和金属网对电子的吸收)

(3)若A、C间不加电压，要使由A发射的电子不从金属网C射出，可在金属网内环形区域加垂直于圆平面向里的匀强磁场，求所加磁场磁感应强度B的最小值．

【答案】(1)22eeUvvm (2) 4altNed(3) 43mvBae

【解析】

【分析】

（1）根据动能定理求解求电子通过金属网C发射出来的速度大小；（2）根据neIt 求解圆柱体A在时间t内发射电子的数量N；（3）使由A发射的电子不从金属网C射出，则电子在 CA 间磁场中做圆周运动时，其轨迹圆与金属网相切，由几何关系求解半径，从而求解B.

【详解】

（1）对电子经 CA 间的电场加速时，由动能定理得

221122eeUmvmv

解得：22eeUvvm

（2）设时间t从A中发射的电子数为N，由M口射出的电子数为n， 则

neIt 224ddNnNaa

解得4altNed

（3）电子在 CA 间磁场中做圆周运动时，其轨迹圆与金属网相切时，对应的磁感应强度为B．设此轨迹圆的半径为 r，则

222(2)arra

2vBevmr

解得：43mvBae

2．如图甲所示，在直角坐标系中的0≤x≤L区域内有沿y轴正方向的匀强电场，右侧有以点（2L，0）为圆心、半径为L的圆形区域，与x轴的交点分别为M、N，在xOy平面内，从电离室产生的质量为m、带电荷量为e的电子以几乎为零的初速度从P点飘入电势差为U的加速电场中，加速后经过右侧极板上的小孔Q点沿x轴正方向进入匀强电场，已知O、Q两点之间的距离为2L，飞出电场后从M点进入圆形区域，不考虑电子所受的重力。

（1）求0≤x≤L区域内电场强度E的大小和电子从M点进入圆形区域时的速度vM；

（2）若圆形区域内加一个垂直于纸面向外的匀强磁场，使电子穿出圆形区域时速度方向垂直于x轴，求所加磁场磁感应强度B的大小和电子在圆形区域内运动的时间t；

（3）若在电子从M点进入磁场区域时，取t＝0，在圆形区域内加如图乙所示变化的磁场（以垂直于纸面向外为正方向），最后电子从N点飞出，速度方向与进入圆形磁场时方向相同，请写出磁场变化周期T满足的关系表达式。

【答案】（1）2UEL，2MeUvm，设vM的方向与x轴的夹角为θ，θ＝45°；（2）2MmvmvBeRLe，3348MRLmtveU；（3）T的表达式为22mLTnemU（n＝1，2，3，…）

【解析】

【详解】

（1）在加速电场中，从P点到Q点由动能定理得：2012eUmv

可得02eUvm

电子从Q点到M点，做类平抛运动，

x轴方向做匀速直线运动，02LmtLveU

y轴方向做匀加速直线运动，2122LeEtm

由以上各式可得：2UEL

电子运动至M点时：220()MEevvtm

即：2MeUvm

设vM的方向与x轴的夹角为θ，

02cos2Mvv

解得：θ＝45°。

（2）如图甲所示，电子从M点到A点，做匀速圆周运动，因O2M＝O2A，O1M＝O1A，且O2A∥MO1，所以四边形MO1AO2为菱形，即R＝L

由洛伦兹力提供向心力可得：2MMvevBmR 即2MmvmvBeRLe

3348MRLmtveU。

（3）电子在磁场中运动最简单的情景如图乙所示，在磁场变化的半个周期内，粒子的偏转角为90°，根据几何知识，在磁场变化的半个周期内，电子在x轴方向上的位移恰好等于轨道半径2R，即222RL

因电子在磁场中的运动具有周期性，如图丙所示，电子到达N点且速度符合要求的空间条件为：2(2)2nRL（n＝1，2，3，…）

电子在磁场中做圆周运动的轨道半径0MmvReB

解得：022nemUBeL（n＝1，2，3，…）

电子在磁场变化的半个周期内恰好转过14圆周，同时在MN间的运动时间是磁场变化周期的整数倍时，可使粒子到达N点且速度满足题设要求，应满足的时间条件是0142TT

又002mTeB

则T的表达式为22mLTnemU（n＝1，2，3，…）。

3．如图所示，在两块长为3L、间距为L、水平固定的平行金属板之间，存在方向垂直纸面向外的匀强磁场．现将下板接地，让质量为m、电荷量为q的带正电粒子流从两板左端连线的中点O以初速度v0水平向右射入板间，粒子恰好打到下板的中点．若撤去平行板间的磁场，使上板的电势随时间t的变化规律如图所示，则t=0时刻，从O点射人的粒子P经时间t0(未知量)恰好从下板右边缘射出．设粒子打到板上均被板吸收，粒子的重力及粒子间的作用力均不计．

(1)求两板间磁场的磁感应强度大小B．

(2)若两板右侧存在一定宽度的、方向垂直纸面向里的匀强磁场，为了使t=0时刻射入的粒子P经过右侧磁场偏转后在电场变化的第一个周期内能够回到O点，求右侧磁场的宽度d应满足的条件和电场周期T的最小值Tmin．

【答案】（1）0mvBqL

（2）223cos2dRaRL

；min0(632)3LTv

【解析】

【分析】

【详解】

（1）如图，设粒子在两板间做匀速圆周运动的半径为R1，则0102qvBmvR

由几何关系：222113()()22LLRR

解得0mvBqL

（2）粒子P从O点运动到下板右边缘的过程，有：003Lvt

01122yLvt

解得033yvv

设合速度为v，与竖直方向的夹角为α，则：0tan3yvv

则=3 0023sin3vvv

粒子P在两板的右侧匀强磁场中做匀速圆周运动，设做圆周运动的半径为R2，则212sinLR ，

解得233LR

右侧磁场沿初速度方向的宽度应该满足的条件为223cos2dRRL；

由于粒子P从O点运动到下极板右侧边缘的过程与从上板右边缘运动到O点的过程，运动轨迹是关于两板间的中心线是上下对称的，这两个过程经历的时间相等，则：2min0(22)2RTtv

解得min06323LTv

【点睛】

带电粒子在电场或磁场中的运动问题，关键是分析粒子的受力情况和运动特征，画出粒子的运动轨迹图，结合几何关系求解相关量，并搞清临界状态.

4．如图：竖直面内固定的绝缘轨道abc，由半径R=3 m的光滑圆弧段bc与长l=1.5 m的粗糙水平段ab在b点相切而构成，O点是圆弧段的圆心，Oc与Ob的夹角θ=37°;过f点的竖直虚线左侧有方向竖直向上、场强大小E=10 N/C的匀强电场，Ocb的外侧有一长度足够长、宽度d =1.6 m的矩形区域efgh，ef与Oc交于c点，ecf与水平向右的方向所成的夹角为β(53°≤β≤147°)，矩形区域内有方向水平向里的匀强磁场．质量m2=3×10-3 kg、电荷量q=3×l0-3 C的带正电小物体Q静止在圆弧轨道上b点，质量m1=1.5×10-3 kg的不带电小物体P从轨道右端a以v0=8 m/s的水平速度向左运动，P、Q碰撞时间极短，碰后P以1

m/s的速度水平向右弹回．已知P与ab间的动摩擦因数μ=0.5，A、B均可视为质点，Q的电荷量始终不变，忽略空气阻力，sin37°=0.6，cos37°=0.8，重力加速度大小g=10

m/s2．求：

(1)碰后瞬间，圆弧轨道对物体Q的弹力大小FN；

(2)当β=53°时，物体Q刚好不从gh边穿出磁场，求区域efgh内所加磁场的磁感应强度大小B1；

(3)当区域efgh内所加磁场的磁感应强度为B2=2T时，要让物体Q从gh边穿出磁场且在磁场中运动的时间最长，求此最长时间t及对应的β值．

【答案】(1)24.610NFN (2)11.25BT (3)127s360t,001290143和

【解析】

【详解】

解：(1)设P碰撞前后的速度分别为1v和1v，Q碰后的速度为2v

从a到b，对P，由动能定理得：221011111-22mglmvmv

解得：17m/sv

碰撞过程中，对P，Q系统：由动量守恒定律：111122mvmvmv

取向左为正方向，由题意11m/sv，

解得：24m/sv

b点：对Q，由牛顿第二定律得：2222NvFmgmR

解得:24.610NNF

(2)设Q在c点的速度为cv，在b到c点，由机械能守恒定律：22222211(1cos)22cmgRmvmv

解得：2m/scv

进入磁场后：Q所受电场力22310NFqEmg ，Q在磁场做匀速率圆周运动

由牛顿第二定律得：2211ccmvqvBr

Q刚好不从gh边穿出磁场，由几何关系：11.6mrd

解得：11.25TB

(3)当所加磁场22TB，2221mcmvrqB

要让Q从gh边穿出磁场且在磁场中运动的时间最长，则Q在磁场中运动轨迹对应的圆心角最大，则当gh边或ef边与圆轨迹相切，轨迹如图所示：

设最大圆心角为，由几何关系得：22cos(180)drr

解得：127

运动周期：222mTqB

则Q在磁场中运动的最长时间：222127127•s360360360mtTqB

此时对应的角：190和2143

5．如图所示，在竖直面内半径为R的圆形区域内存在垂直于面向里的匀强磁场，其磁感应强度大小为B，在圆形磁场区域内水平直径上有一点P，P到圆心O的距离为2R，在P点处有一个发射正离子的装置，能连续不断地向竖直平面内的各方向均匀地发射出速率不同的正离子. 已知离子的质量均为m，电荷量均为q，不计离子重力及离子间相互作用力，求：

（1）若所有离子均不能射出圆形磁场区域，求离子的速率取值范围；

（2）若离子速率大小02BqRvm，则离子可以经过的磁场的区域的最高点与最低点的高度差是多少。