苏教版高中数学必修四课件2.3.2平面向量的坐标运算(1)

1 2.3.2 平面向量的坐标运算（1）

高一数学导学案 新授课 主备人：赵永 审核人：董平 第 周星期

教学目标：

（1）理解平面向量的坐标的概念，理解坐标表示的意义；（2）掌握平面向量的坐标运算。

重点难点

重点：平面向量的坐标运算；难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性.

教学过程：

一、问题情境

1、平面向量基本定理：如果1e，2e是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平面内的任一向量a， 一对实数1,2使 ．

其实质：同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合．

2、在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对实数(,)xy表示，那么，每一个向量可否也用一对实数来表示？

二、数学建构

2．向量的坐标计算公式：

问题：已知11(,)axy，22(,)bxy，你能得出ab，ab，a的坐标吗？

结论：两个向量和与差的坐标分别等于 ． 2 3．实数与向量的积的坐标：已知(,)axy和实数，

则()(,)axiyjxiyjxy

结论：实数与向量的积的坐标等于 ．

4.向量的坐标计算公式：已知向量AB，且点11(,)Axy，22(,)Bxy，求AB的坐标．

AB＝OB－OA＝),(22yx),(11yx=( , )

结论：一个向量的坐标等于 ；

三、数学应用

例1、已知A（-1，3），B（1，-3），C（4，1），D（3，4），求向量OC，OD，CO，AD的坐标。

思考：1.四边形OACD是平行四边形吗？说明理由。

高一向量同步练习5（平面向量的坐标运算）

一、选择题

1、已知MA=(-2，4)，MB=(2，6)，则21AB=

( )

A．(0，5) B．(0，1) C．(2，5) D．(2，1)

2、已知两点A(4，1)，B(7，-3)，则与向量AB同向的单位向量是 （ ）

A．(53，-54) B．(-53，54) C．(-54，53) D．(54，-53)

3、若向量a = (1，1)， b= (1，－1)， c=(－1，2)，则c等于 （ ）

A．－21a+23b B．21a－ 23b C．23a－ 21b D．－ 23a+ 21b

4、已知向量AB=（1，2），OB=（0，1），则下列各点中在直线AB上的点是 （ ）

A．(0，3) B．(1，1) C．(2，4) D．(2，5)

5、已知向量a=(-2，4)，b=(1，-2)，则a与b的关系是 （ ）

A．不共线 B．相等 C．同向 D．反向

6、设k∈R，下列向量中，与向量a=(1，-1)一定不平行的向量是 （ ）

A．(k，k) B．(-k，-k) C．(k2+1，k2+1) D．(k2-1，k2-1)

二、填空题

1、已知：4,2M、3,2N，那么MN ；NM ．

2、已知点5,1A和向量3,2a，若aAB3，则点B的坐标是 ．

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1．平面向量坐标的加法、减法和数乘运算

运 算 坐标语言

加法与减法 记OA=(x1，y1)，OB=(x2，y2)

OAOB=(x1+x2，y1+y2)，OBOA=(x2-x1，y2-y1)

实数与向量的乘积 记a=(x，y)，则a=(x，y)

2．如何进行平面向量的坐标运算

在进行平面向量的坐标运算时，应先将平面向量用坐标的形式表示出来，再根据向量的直角坐标运算法则进行计算．在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标．但同时注意以下几个问题：

（1）点的坐标和向量的坐标是有区别的，平面向量的坐标与该向量的起点、终点坐标有关，只有起点在原点时，平面向量的坐标与终点的坐标才相等．

（2）进行平面向量坐标运算时，先要分清向量坐标与向量起点、终点的关系．

（3）要注意用坐标求向量的模与用两点间距离公式求有向线段的长度是一样的．

（4）要清楚向量的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置无关，只与其相对位置无关．

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2. 3.2平面向量正交分解及坐标表示

一、复习引入：

平面向量基本定理：如果

1e

，

2e

是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面

内的任一向量a

，有且只有一对实数λ

1，λ

2使a

=λ

1

1e

+λ

2

2e

(1)我们把不共线向量ｅ

１、ｅ

２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；

(2)基底不惟一，关键是不共线；

[来源:]

(3)由定理可将任一向量ａ

在给出基底ｅ

１、ｅ

２的条件下进行分解；

(4)基底给定时，分解形式惟一. λ

1，λ

2是被a，

1e，

2e

唯一确定的数量

二、讲解新课：

1．平面向量的坐标表示

如图，在直角坐标系内，我们分别取与x

轴、y

轴方向相同的两个单位向量i

、j

作为

基底.任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得

yjxia

…………○1○1

我们把),(yx

叫做向量a

的（直角）坐标，记作

),(yxa

…………○2○2

其中x

叫做a

在x

轴上的坐标，y叫做a

在y轴上的坐标，○2○2式叫做向量的坐标表

示.与

．a

相等的向量的坐标也为

．．．．．．．．．．),(yx

.

特别地，)0,1(i

，)1,0(j

，)0,0(0

.

如图，在直角坐标平面内，以原点O为起点作aOA

，则点A的位置由a唯一确定.

设yjxiOA，则向量OA

的坐标),(yx

就是点A的坐标；反过来，点A的坐标),(yx

也

就是向量OA

的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯

一表示.

2．平面向量的坐标运算

（1）若),(

11yxa，),(

22yxb，则ba),(

2121yyxx，

ba),(

2121yyxx

两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.

设基底为i

、j

，则ba)()(

2211jyixjyixjyyixx)()(

2121

即ba),(

2121yyxx，同理可得ba),(

2121yyxx

（2）若),(

11yxA

，),(

22yxB

，则

1212,yyxxAB