苏教版高中数学必修四课件2[1].3.1平面向量基本定理

高中数学-打印版

最新版高中数学 2.3 向量的坐标表示

2.3.1 平面向量基本定理

温故知新

新知预习

1.如果e1和e2是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任一向量a,存在唯一的一对实数a1,a2,使___________不共线，向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的___________，记为{e1,e2},___________叫做向量a关于基底{e1,e2}的分解式.

2.A、B是直线l上任意两点，O是l外一点，则对于l上任一点P，存在实数t,使OP=___________.

3.A、B是直线l上任意两点，O是l外一点，M是线段AB的中点，则OM=___________.

知识回顾

1.用向量知识解证立体几何问题，有时比用几何法简便，其优点在于：向量可以使立体几何问题代数化，简单的代数运算取代了复杂的几何证明，解题的方向明确，可避免作辅助线及运用繁重的定理、公理等进行推理的思维过程，在立体几何中求空间面，空间距离及处理垂直面关系显得尤为方便。

2.我们知道这样一个问题，直角坐标系中的任一个点都可用它的横、纵坐标来确定，同样，平面内的任一向量也可用一对不共线的向量来表示.

《平面向量基本定理》

一、内容分析

（一） 课标要求：了解平面向量的基本定理及其意义。这部分教学侧重于帮助学生在现有的向量线性运算的基础上逐步导入平面向量基本定理，引导学生在直观感知的基础上，认识平面向量基本定理的形成和意义；通过直观感知、操作确认、思辨论证，初步了解平面向量基本定理及其意义。

本节课要求：在学生已经初步学会平面向量的线性运算（加法、减法和数乘）的基础上帮助学生自主导入平面向量的基本定理及其几何意义，并学会应用所学知识去解决问题

（二）教材分析

本节内容是《普通高中课程标准实验教科书·数学4·必修（人教A版）》第二章2.3.1平面向量基本定理。学生在学习平面向量实际背景及基本概念、平面向量的线性运算（向量的加法、减法、数乘向量、共线向量定理）之后的又一重点内容，它是引入向量坐标表示，将向量的几何运算转化为代数运算的基础，使向量的工具性得到初步的体现，具有承前启后的作用。

（三）学情分析

知识结构：通过前面几节课的学习，学生已经学会了如何应用三角形法则和平行四边形法则去处理向量之间的线性关系，对于加法、减法和数乘运算的学习使学生已经具备了一定的推理能力，并通过观察图形和归纳，总结的常用的方法的两种方法：三角形法则和平行四边形法则。

心理特征：通过前面几节课的学习，学生已经学会了向量的线性运算，但学生运用数学知识解决实际问题的能力还不强；能够通过讨论、合作交流、辩论得到正确的知识。但在处理问题时学生考虑问题不深入，往往会造成错误的结果。

（四）设计理念

本节课结合课标的要求有效利用几何画板辅助教学，针对学生的实际学习背景，平面向量基本定理的导入教学首先要贴近学生实际让学生学会由现有的知识引发思考，合理质疑，进一步激发学生的学习热情，把学习的主动权交给学生，为他们提供自主探究、合作交流的机会，确实改变学生的学习方式。

二、教学目标

知识技能：了解平面向量基本定理及其意义，会用基底表示某一向量；掌握两个向量夹角的定义及会初步求解简单的向量夹角问题。

1 2．3 向量的坐标表示

2．3.1 平面向量基本定理

情景：“神舟”十号宇宙飞船在升空的某一时刻，速度可以分解成竖直向上和水平向前的两个分速度．在力的分解的平行四边形法则中，我们看到一个力可以分解为两个不共线方向的力的和．

思考：平面内任一向量是否可以用两个不共线的向量来表示呢？

1．如果e1，e2是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使________．这个定理叫________________．

答案：a＝λ1e1＋λ2e2 平面向量基本定理

2．不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组________．

答案：基底

3．基底的特征是________、________．

答案：两个向量 不共线

平面向量基本定理

如果e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使

a＝λ1e1＋λ2e2. 2 我们把不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．

向量的正交分解：

一个平面向量用一组基底e1，e2表示成a＝λ1e1＋λ2e2的形式，我们称它为向量的分解．当e1，e2互相垂直时，就称为向量的正交分解．

重点诠释：对平面向量基本定理的理解主要体现在以下几个方面：

(1)基底不唯一，关键是两基底不共线；

(2)由定理可将任一向量a在给出基底e1，e2的条件下进行分解；

(3)基底给定时，分解形式唯一；

(4)以共线向量为基础，通过把一个向量在其他两个向量上分解，就可以揭示出该定理的本质，由此定理可以得到一个常用结论：

若e1，e2不共线，则λ1e1＋λ2e2＝0⇔λ1＝λ2＝0.

基础巩固

1．e1，e2是平面内的一组基底，则下面四组向量中，不能作为一组基底的是( )

A．e1和e1＋e2 B．e1－2e2和e2－2e1

C．e1－2e2和4e2－2e1 D．e1＋e2和e1－e2

2．3．1 平面向量基本原理

【预习指导】

1、平面向量的基本定理

如果1e，2e是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1，2使a=11e+22e

2.、基底：

平面向量的基本定理中的不共线的向量1e, 2e，称为这一平面内所有向量的一组基底。

思考：

（1） 向量作为基底必须具备什么条件？

（2） 一个平面的基底唯一吗？

答：（1）______________________________________________________

（2）______________________________________________________

3、向量的分解、向量的正交分解：

一个平面向量用一组基底1e , 2e 表示成a=11e+22e的形式，我们称它为向量的分解，当1e, 2e互相垂直时，就称为向量的正交分解。

4、 点共线的证明方法：___________________________________________

【典例选讲】

例1：如图：平行四边形ABCD的对角线AC和BD交于一点M ，AB =a ,AD =b试用 a ,b，表示MC ,MA ,MB 和MD 。

D C

M

b

A B

a

例2： 设1e ，2e 是平面的一组基底，如果 AB =31e —22e ，BC =41e + 2e，CD=81e —92e，求证：A、B、D三点共线。

例3： 如图，在平行四边形ABCD中，点 M在 AB的延长线上，且 BM=21AB，点N 在

BC上，且BN=31BC ，用向量法证明： M、N、D 三点共线。