高中数学必修四 第2章 平面向量课件 2.3.1 平面向量基本定理

第二章 平面向量复习课（一）

一、教学目标

1. 理解向量.零向量.向量的模.单位向量.平行向量.反向量.相等向量.两向量的夹角等概念。

2. 了解平面向量基本定理.

3. 向量的加法的平行四边形法则（共起点）和三角形法则（首尾相接）。

4. 了解向量形式的三角形不等式：||a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|(试问：取等号的条件是什么?)和向量形式的平行四边形定理：2(|a|2+|b|2)=|a－b|2+|a+b|2.

5. 了解实数与向量的乘法（即数乘的意义）：

6. 向量的坐标概念和坐标表示法

7. 向量的坐标运算（加.减.实数和向量的乘法.数量积）

8. 数量积（点乘或内积）的概念，a·b=|a||b|cos=x1x2+y1y2注意区别“实数与向量的乘法；向量与向量的乘法”

二、知识与方法

向量知识，向量观点在数学.物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体，能与中学数学教学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点，所以高考中应引起足够的重视. 数量积的主要应用：①求模长；②求夹角；③判垂直

三、教学过程

（一）重点知识：

1. 实数与向量的积的运算律：

babaaaaaa)( (3) )( (2) )()( (1)

2. 平面向量数量积的运算律:

)1(abba )()()( )2(bababa cbcacba )( )3(

3. 向量运算及平行与垂直的判定:

).0(),,(),,(2211byxbyxa设

则),(2121yyxxba ),(2121yyxxba 2121yyxxba

.0//1221yxyxba .02121yyxxba

人教A版高中数学必修4《第二章平面向量2.5平面向量应用举例2.5.2向量在物理中的应用举例》28

（ 平面向量在物理中应用举例一、教材剖析向量观点有明确的物理背景和几何背景，物理背景是力、速度、加快度等，几何背景是有向线段，能够说向量观点是从物理背景、几何背景中抽象而来的，正由于这样，运用向量能够解决一些物理和几何问题，比如利用向量计算力沿某方向所做的功，利用向量解决平面内两条直线平行、垂直地点关系的判断等问题。二、教课目的经过应用举例，让学生学会用向量知识研究物理中的有关问题的“四环节”和生活中的实质问题经过本节的学习，让学生体验向量在解决物理问题中的工具作用，加强学生的踊跃主动的研究意识，培育创新精神。三、教课要点难点要点：理解并能灵巧运用向量加减法与向量数目积的法例解决物理问题.难点：选择适合的方法，将物理问题转变为向量问题加以解决.四、学情剖析在平面几何中，平行四边形是学生熟习的重要的几何图形，而在物理中，受力剖析则是此中最基本的基础知识，那么在本节的学习中，借助这些关于学生来说，特别熟习的内容来解说向量在几何与物理问题中的应用。五、教课方法例题教课，要让学生领会思路的形成过程，领会数学思想方法的应用。教案导学：见后边的教案3.新讲课教课基本环节：预习检查、总结迷惑→情境导入、展现目标→合作研究、精讲点拨→反省总结、当堂检测→发导教案、部署预习六、课前准备1.学生的学习准备：预习本节课本上的基本内容，初步理解向量物理中的应用2.教师的教课准备：课前预习教案，课内研究教案，课后延长拓展教案。七、课时安排：1课时八、教课过程(一)预习检查、总结迷惑检查落实了学生的预习状况并认识了学生的迷惑，使教课拥有了针对性。(二）情形导入、展现目标教师第一发问：问题：两个人提一个旅游包,夹角越大越费劲.为何？教师：本节主要研究用向量知识解决物理问题；掌握用向量解决物理问题的步骤，已经部署学生们课前预习了这部分内容，检查学生预习状况并让学生把预习过程中的迷惑说出来。（设计企图：步步导入，吸引学生的注意力，明确学习目标。 ）（三）合作研究、精讲点拨。研究：1）两个人提一个旅游包,夹角越大越费劲.2）在单杠上做引体向上运动,两臂夹角越小越省力.这些问题是为何？人教A版高中数学必修4《第二章平面向量2.5平面向量应用举例2.5.2向量在物理中的应用举例》28

《平面向量基本定理》的教学设计

一 教学目的：

1 了解平面向量基本定理及其意义；

2 理解平面上任意一个向量都可以由这个平面内两个不共线的向量21,ee线性表示，初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法；

3 通过作图体会基底的不唯一性；

二 教学重点与难点

1 重点：平面内的任意向量可以由两个不共线的向量表示

2 难点：平面向量基本定理的理解

3 教学方法：教师主要引导、学生主体思维为主线，学生动手操作。

4 教学手段：使用多媒体辅助教学，使书本的图形“动”起来，加强了教学的直观性。

使用方格纸让学生画图，使学生能更加直观的理解平面向量的基本定理。

三 教学过程

1 复习

以提问的方式复习旧知：求向量和的方法，向量的数乘运算；

设计意图：让学生思考并回答这两个问题，为这节课的内容做准备。

2 新课引入

在学生复述了上述知识之后，让学生在方格纸上画出212,3ee，并画出2123ee；

设计意图：让学生通过自己动手做图，再对向量的求和和数乘进行复习，加强学生对旧知的巩固；

教师活动：动画演示刚刚所做的图，

设计意图：从动画演示上可以让学生从直观上对利用平行四边形法则来求向量的和有了更加直观的印象和理解，同时，利用平行四边形法则来求两个向量的和向量也是这节课在解决问题的主要方法之一。

教师活动：

提出问题：“既然我们给定了212,3ee，那么很容易就可以画出1232eea，如果我们给出a，能否用21,ee表示a呢？”

3 新课讲解

教师活动：让学生在所给的方格上画出,ab，,cd，,fg，并分别用21,ee来表示，为了方便起见21,ee是两个互相垂直的向量。

学生活动：分小组来讨论并画出所给向量。

设计意图：让学生初步体会到平面内的任意向量都可以分解成两个向量的和向量。

教师活动：在幻灯片上打出两个不共线的向量21,ee，和第三个向量a，让学生讨论怎样由21,ee来表示向量a。并用动画演示的形式来强调平面内的任意向量都可以由两个不共线的向量来表示，原因是平面内的任意向量都可以分解成两个不共线的向量之和。 设计意图：从特殊的情况出发，让学生首先对这一定理的内容有了直观的了解，然后再引申到一般情况。引出本节课的课题：§2.3.1平面向量基本定理

2．3.1 平面向量基本定理

1．平面向量基本定理

条件 e1，e2是同一平面内的两个不共线向量

结论 这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2

基底 不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底

[点睛] 对平面向量基本定理的理解应注意以下三点：①e1，e2是同一平面内的两个不共线向量；②该平面内任意向量a都可以用e1，e2线性表示，且这种表示是唯一的；③基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可作为基底．

2．向量的夹角

条件 两个非零向量a和b

产生过程

作向量OA＝a，OB＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角

范围 0°≤θ≤180°

特殊情况 θ＝0° a与b同向

θ＝90° a与b垂直，记作a⊥b

θ＝180° a与b反向

[点睛] 当a与b共线同向时，夹角θ为0°，共线反向时，夹角θ为180°，所以两个向量的夹角的范围是0°≤θ≤180°.

用基底表示向量

[典例] 如图，在平行四边形ABCD中，设对角线AC＝a，BD＝b，试用基底a，b表示AB，BC.

[活学活用]

如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，E，F分别是AD，BC边上的中点，且BC＝3AD，BA＝a，BC＝b.试以a，b为基底表示EF，DF，CD.

向量夹角的简单求解

[典例] 已知|a|＝|b|＝2，且a与b的夹角为60°，则a＋b与a的夹角是多少？a－b与a的夹角又是多少？

[活学活用]

如图，已知△ABC是等边三角形．

(1)求向量AB与向量BC的夹角；

(2)若E为BC的中点，求向量AE与EC的夹角．

平面向量基本定理的应用

[典例] 如图，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM与BP∶PN.

[一题多变]

1．[变设问]在本例条件下，若CM＝a，CN＝b，试用a，b表示CP，

2．[变条件]若本例中的点N为AC的中点，其它条件不变，求AP∶PM与BP∶PN.