2018-2019学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1 椭圆 2.1.2(第一课时)椭圆的简

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1 / 13 第一课时 椭圆的简单几何性质

预习课本P37～41，思考并完成以下问题

1．椭圆有哪些几何性质？什么叫做椭圆的中心、顶点、长轴与短轴？

2．什么是椭圆的离心率？随着离心率的变化椭圆的形状有何变化？

[新知初探]

椭圆的简单几何性质

焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上

图形

标准方程 x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0) y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)

范围 －a≤x≤a且－b≤y≤b －b≤x≤b且－a≤y≤a

顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)，

B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)，

B1(－b,0)，B2(b,0)

轴长 长轴长＝2a，短轴长＝2b

焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c)

焦距 |F1F2|＝2c

对称性 对称轴x轴和y轴，对称中心(0,0)

离心率 e＝ca(0

[小试身手]

1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的长轴长等于a( )

(2)椭圆上的点到焦点的距离的最小值为a－c( ) 文档供参考，可复制、编辑，期待您的好评与关注！

2 / 13 (3)椭圆的离心率e越小，椭圆越圆( )

答案：(1)× (2)√ (3)√

2．椭圆25x2＋9y2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是( )

A．5,3，45

B．10,6，45 C．5,3，35 D．10,6，35

答案：B

3．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于12，则C的方程是( )

A.x23＋y24＝1

B.x24＋y23＝1

C.x24＋y22＝1 D.x24＋y23＝1

答案：D

4．若焦点在y轴上的椭圆x2m＋y22＝1的离心率为12，则m的值为________．

答案：32

由标准方程研究几何性质

[典例] 求椭圆x2＋9y2＝81的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标．

[解] 把已知方程化成标准方程为x281＋y29＝1，于是a＝9，b＝3，c＝81－9＝62，

所以椭圆的长轴长2a＝18，短轴长2b＝6，离心率e＝ca＝223.

两个焦点的坐标分别为F1(－62，0)，F2(62，0)，四个顶点的坐标分别为A1(－9,0)，A2(9,0)，B1(0，－3)，B2(0,3)．

用标准方程研究几何性质的步骤

(1)将椭圆方程化为标准形式；

(2)确定焦点位置； 文档供参考，可复制、编辑，期待您的好评与关注！

3 / 13 (3)求出a，b，c；

(4)写出椭圆的几何性质．

[注意] 长轴长、短轴长、焦距不是a，b，c，而应是a，b，c的两倍．

[活学活用]

已知椭圆C1：x2100＋y264＝1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上．

(1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；

(2)写出椭圆C2的方程，并研究其性质．

解：(1)由椭圆C1：x2100＋y264＝1可得其长半轴长为10，短半轴长为8，焦点坐标(6,0)，(－6,0)，离心率e＝35；

(2)椭圆C2：y2100＋x264＝1，

性质：①范围：－8≤x≤8，－10≤y≤10；

②对称性：关于x轴、y轴、原点对称；

③顶点：长轴端点(0,10)，(0，－10)，短轴端点(－8,0)，(8,0)；

④焦点：(0,6)，(0，－6)；

⑤离心率：e＝35.

利用几何性质求标准方程

[典例] 求适合下列条件的椭圆的标准方程．

(1)长轴长是10，离心率是45；

(2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.

[解] (1)设椭圆的方程为

x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)或y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)．

由已知得2a＝10，a＝5.

又∵e＝ca＝45，∴c＝4.

∴b2＝a2－c2＝25－16＝9.

∴椭圆方程为x225＋y29＝1或y225＋x29＝1. 文档供参考，可复制、编辑，期待您的好评与关注！

4 / 13 (2)依题意可设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)．

如图所示，△A1FA2为一等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，且|OF|＝c，|A1A2|＝2b，

则c＝b＝3，a2＝b2＋c2＝18，

故所求椭圆的方程为x218＋y29＝1.

利用椭圆的几何性质求标准方程的思路

利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是：

(1)确定焦点位置；

(2)设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)；

(3)根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数．列方程(组)时常用的关系式有b2＝a2－c2，e＝ca等．

[活学活用]

求适合下列条件的椭圆的标准方程：

(1)长轴长与短轴长的和为18，焦距为6；

(2)过点(3,0)，离心率e＝63；

(3)过点M(1,2)，且与椭圆x212＋y26＝1有相同离心率．

解：(1)设椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为2c，由题意可知 2a＋2b＝18，2c＝6，a2＝b2＋c2，解得a＝5，b＝4.

因为不确定焦点在哪个坐标轴上，所以所求椭圆的标准方程为x225＋y216＝1或x216＋y225＝1.

(2)当椭圆的焦点在x轴上时，

设椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，

由题意，得a＝3，

因为e＝63，所以c＝6，从而b2＝a2－c2＝3，

所以椭圆的标准方程为x29＋y23＝1； 文档供参考，可复制、编辑，期待您的好评与关注！

5 / 13 当椭圆的焦点在y轴上时，

设椭圆的标准方程为y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)，

由题意，得b＝3，

因为e＝63，所以a2－b2a＝63，

把b＝3代入，得a2＝27，

所以椭圆的标准方程为y227＋x29＝1.

综上可知，所求椭圆的标准方程为

x29＋y23＝1或y227＋x29＝1.

(3)设所求椭圆方程为x212＋y26＝k1(k1>0)或y212＋x26＝k2(k2>0)，

将点M的坐标代入可得112＋46＝k1或412＋16＝k2，

解得k1＝34，k2＝12，故x212＋y26＝34或y212＋x26＝12，

即所求椭圆的标准方程为x29＋y292＝1或y26＋x23＝1.

求椭圆的离心率

[典例] 设椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为( )

A.36 B.13 C.12 D.33

[解析] 法一：由题意可设|PF2|＝m，结合条件可知|PF1|＝2m，|F1F2|＝3m，故离心率e＝ca＝2c2a＝|F1F2||PF1|＋|PF2|＝3m2m＋m＝33.

法二：由PF2⊥F1F2可知P点的横坐标为c，将x＝c代入椭圆方程可解得y＝±b2a，所以|PF2|＝b2a.又由∠PF1F2＝30°可得|F1F2|＝3|PF2|，故2c＝3·b2a，变形可得3(a2－c2)＝2ac，等式两边文档供参考，可复制、编辑，期待您的好评与关注！

6 / 13 同除以a2，得3(1－e2)＝2e，解得e＝33或e＝－3(舍去)．

[答案] D

[一题多变]

1．[变条件]若将本例中“PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°”改为“∠PF2F1＝75°，∠PF1F2＝45°”，求C的离心率．

解：在△PF1F2中，

∵∠PF1F2＝45°，∠PF2F1＝75°，

∴∠F1PF2＝60°，

设|PF1|＝m，|PF2|＝n，|F1F2|＝2c，椭圆的长轴长为2a，

则在△PF1F2中，有msin 75°＝nsin 45°＝2csin 60°，

∴m＋nsin 75°＋sin 45°＝2csin 60°，

∴e＝ca＝2c2a＝sin 60°sin 75°＋sin 45°＝6－22.

2．[变条件，变设问]若将本例中“PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°”改为“C上存在点P，使∠F1PF2为钝角”，求C的离心率的取值范围．

解：由题意，知c>b，∴c2>b2.

又b2＝a2－c2，∴c2>a2－c2，即2c2>a2.∴e2＝c2a2>12，

∴e>22.故C的离心率的取值范围为22，1.

求椭圆离心率及范围的两种方法

(1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝ca求解．若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝ca求解．

(2)方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或范围．

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7 / 13

1．已知椭圆C1：x212＋y24＝1，C2：x216＋y28＝1，则(

)

A．C1与C2顶点相同 B．C1与C2长轴长相同

C．C1与C2短轴长相同 D．C1与C2焦距相等

解析：选D 由两个椭圆的标准方程可知：C1的顶点坐标为(±23，0)，(0，±2)，长轴长为43，短轴长为4，焦距为42；C2的顶点坐标为(±4,0)，(0，±22)，长轴长为8，短轴长为42，焦距为42.故选D.

2．焦点在x轴上，右焦点到短轴端点的距离为2，到左顶点的距离为3的椭圆的标准方程是( )

A.x24＋y23＝1 B.x24＋y2＝1

C.y24＋x23＝1 D．x2＋y24＝1

解析：选A 依题意，得a＝2，a＋c＝3，故c＝1，b＝22－12＝3，故所求椭圆的标准方程是x24＋y23＝1.

3．若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为( )

A.12 B.32

C.34 D.64

解析：选A 依题意，△BF1F2是正三角形，

∵在Rt△OBF2中，|OF2|＝c，|BF2|＝a，∠OF2B＝60°，

∴cos 60°＝ca＝12，即椭圆的离心率e＝12，故选A.

4．与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为( )

A.x22＋y24＝1 B．x2＋y26＝1

C.x26＋y2＝1 D.x28＋y25＝1

解析：选B 椭圆9x2＋4y2＝36可化为x24＋y29＝1，可知焦点在y轴上，焦点坐标为(0，±5)，故可设所求椭圆方程为y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)，则c＝5.又2b＝2，即b＝1，所以a2＝b2＋c2＝6，则所