2018-2019学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1.1 椭圆及其标准方程优质课件 北师大

第 1 页 共 33 页 选修1-1 第二章《圆锥曲线与方程》

§2.1.1 椭圆及其标准方程

【知识要点】

 椭圆的定义：到两个定点 F1、F2的距离之和等于定长（12FF）的点的轨迹．

 标准方程：（1）222210xyabab，22cab，焦点是 F1（－c，0），F2（c，0）；

（2）222210yxabab，22cab，焦点是 F1（0，－c），F2（0，c）．

【例题精讲】

【例 1】两个焦点坐标分别是(－4，0)、(4，0)，椭圆上一点 P到两焦点的距离之和等于 10，写出椭圆的标准方程．

【例 2】已知椭圆的两个焦点坐标分别是（0，－2）和（0，2）且过35,22，求椭圆的标准方程．

点评：题（1）根据定义求．若将焦点改为(0，－4)、(0，4)其结果如何；题（2）由学生的思考与练习，总结有两种求法：其一由定义求出长轴与短轴长，根据条件写出方程；其二是由已知焦距，求出长轴与短轴的关系，设出椭圆方程，由点在椭圆上的条件，用待定系数的办法得出方程． 第 2 页 共 33 页 【例 3】判断下列方程是否表示椭圆，若是，求出 a，b，c的值．

【例4】已知ΔABC的一边BC的长为6，周长为16，求顶点A的轨迹方程．

【基础达标】

1．椭圆221259xy上一点 P 到一个焦点的距离为 5，则 P到另一个焦点的距离为（ ）

A．5 B．6 C．4 D．10

2．椭圆2211312xy上任一点 P到两个焦点的距离的和为（ ）

A．26 B．24 C．2 D．213

第1课时　基本不等式

1．理解基本不等式的推导过程，掌握基本不等式及成立条件．

2．会用基本不等式证明简单的不等式．两个不等式

叫做正数a

，b

的算术平均数，叫做正数a

，b

的几何平均数．a

＋b

2ab

基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．

温馨提示：“当且仅当a

＝b

时，等号成立”是指若a

≠

b

，则a

2＋b

2≠2ab

，≠ab

，即只能有a

2

＋b

2>2ab

，<.a＋b

2aba

＋b

2

1

．不等式a

2＋b

2

≥2ab

与≤成立的条件相同吗？如果不同各是什么？aba

＋b

2

[答案]　不同，a

2＋b

2≥2ab

成立的条件是a

，b

∈R；≤

成立的条件是a

，b

均aba

＋b2

为正实数

2．a

＋≥2(a

≠0)是否恒成立？1

a[答案]　只有a

>0时，a

＋≥2，当a

<0时，a

＋≤－21

a1

a

3．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)对任意a

，b

∈R，a

2＋b

2≥2ab

、a

＋b

≥2

均成立．( )ab

(2)若a

≠0，则a

＋≥2

＝4.( )4

aa

·4

a

(3)若a

，b

∈R，则ab

≤2.( )(a

＋b

2)

[答案]　(1)×　(2)×　(3)√

题型一对基本不等式的理解

【典例1】　给出下面三个推导过程：

①因为a

，b

∈(0，＋∞)，所以＋≥2

＝2；b

aa

bb

a·ab

②因为a

∈

R，a

≠0，所以＋a

≥2 ＝4；4

a4a·a

③因为x

，y

∈R，xy

<0，所以＋

＝－x

yy

x[(

－x

y)

＋(

－yx)]

≤－2 ＝－2.(

－x

y)(

－y

x)

其中正确的推导过程为( )

A．①② B．②③ C．② D．①③[思路导引]　根据基本不等式中的条件进行判断．

[解析]　从基本不等式成立的条件考虑．

①因为a

，b

∈(0，＋∞)，所以，∈(0，＋∞)，符合基本不等式成立的条件，故①b

aa

b

的推导过程正确；②因为a

∈R，a

≠0不符合基本不等式成立的条件，

所以＋a

≥2 ＝4是错误的；4a4a·a

③由xy

<0得，均为负数，但在推导过程中将＋

看成一个整体提出负号后，，x

yyxx

学必求其心得，业必贵于专精

- 1 - 2．3。1 双曲线及其标准方程

1．双曲线

（1）定义

错误!平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数（小于｜F1F2|且大于零）的点的轨迹叫做双曲线．

这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．

（2)双曲线的集合描述

设点M是双曲线上任意一点，点F1，F2是双曲线的焦点，则由双曲线的定义可知，双曲线就是集合错误!P＝{M｜｜|MF1|－｜MF2｜｜＝2a，0〈2a〈|F1F2｜}．

2．双曲线的标准方程 学必求其心得，业必贵于专精

- 2 -

1．判一判(正确的打“√"，错误的打“×")

（1)平面内到两定点的距离的差等于非零常数(小于两定点间距离）的点的轨迹是双曲线．( )

（2）在双曲线标准方程错误!－错误!＝1中，a〉0,b>0且a≠b.( )

(3）双曲线的标准方程可以统一为Ax2＋By2＝1(其中AB〈0)．（ ）

答案 （1）× (2)× （3)√

2．做一做(请把正确的答案写在横线上） 学必求其心得，业必贵于专精

- 3 - (1)若双曲线错误!－错误!＝1上一点M到左焦点的距离为8,则点M到右焦点的距离为________．

（2）双曲线x2－4y2＝1的焦距为________．

(3)（教材改编P55T1)已知双曲线a＝5，c＝7，则该双曲线的标准方程为________．

(4)下列方程表示焦点在y轴上的双曲线的有________(把序号填在横线上)．

①x2－错误!＝1；②错误!＋错误!＝1(a<0)；③y2－3x2＝1；④x2cosα＋y2sinα＝1错误!.

答案 (1)4或12 （2)5 （3）错误!－错误!＝1或错误!－错误!＝1

（4)②③④

解析 (3）∵a＝5，c＝7,∴b＝错误!＝错误!＝2错误!。

当焦点在x轴上时，双曲线方程为错误!－错误!＝1；

当焦点在y轴上时，双曲线方程为错误!－错误!＝1。

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考纲要求

（1）圆锥曲线

① 了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；

② 掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质；

③ 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质；

④ 了解圆锥曲线的简单应用；

⑤ 理解数形结合的思想。

（2）曲线与方程

了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系。

基本知识回顾

（1）椭圆

① 椭圆的定义

设F1，F2是定点（称焦点），P为动点，则满足|PF1|+|PF2|=2a (其中a为定值，且2a＞|F1F2|)的动点P的轨迹称为椭圆,符号表示：|PF1|+|PF2|=2a（2a＞| F1F2|)。

② 椭圆的标准方程和几何性质

焦点在x轴上的椭圆 焦点在y轴上的椭圆

标准方程

22ax+22by=1（a＞b＞0） 22ay+22bx=1（a＞b＞0）

范围 x[,][,]aaybb [,][,]xbbyaa

图形

对称性 对称轴：x轴、y轴 对称中心：原点

顶点 1212(,0),(,0)(,0),(,0)AaAaBbBb 1212(0,),(0,)(0,),(0,)AaAaBbBb

轴 长轴A1A2的长为：2a 短轴B1B2的长为：2b

焦距 F1F2=2c 2 / 46

离心率

e,(0,1)cea

a,b,c关系 222abc

例题

例1：椭圆22192xy的焦点为12,FF，点P在椭圆上，若1||4PF，则2||PF ；12FPF的大小为 。

变式1：已知12F、F是椭圆2222:1(0)xyCabab的两个焦点，p为椭圆C上的一点，且21PFPF。若12PFF的面积为9，则b 。

例2：若点P到点F(4,0)的距离比它到定直线x+5=0的距离小1，则P点的轨迹方程是（ ）