函数的概念

函数的概念 教学设计

1.2.1函数的概念

课型：新授课

课时：40分钟

一、 教学理念

按照新课程教学理念，“数学教学是数学活动的教学；在这个活动中，使学生掌握一定的数学知识和技能，同时身心获得一定的发展，形成良好的思想品质。”数学课已不仅仅是一些数学知识的学习，更要体现知识的认识和发展过程，同时要根据教学需要，关注学生已有的知识基础和学习经验，精心设计问题情境，激发学生学习兴趣，引导学生积极探索，在探索过程中获得对数学的积极体验和应用。

二、 教材分析

本节课选自普通高中课程标准实验教科书必修一第一章第二节第一课时——函数及其表示，本节课的主要内容是用集合的观点来定义函数，以及函数的定义域、值域以及区间的表示方法，是一节概念课，函数是中学数学的一个核心内容，本节课学习函数在集合观点下的函数定义，对以后更深入的学习函数知识垫底了基础。通过让学生经历直观感知，观察发现，归纳类比，抽象概括，形式化，符号化的表示过程。发挥函数内容在体会属性结合的思想、发展思维能力方面的特殊优越。

三、 学情分析

本节课授课的对象是普通高中高一的学生，学生在初中已经学习了函数的定义，但是初中的定义并不是很完整，属于狭义的定义，针对高一学生，刚进入高中不久，学生的动手，动脑能力，以及观察、归纳能力都还没有很全面的基础，在本节课的学习上还是会遇到较多的困难，所以我在本节课的教学过程中，从学生已有的经验出发，环环紧扣提出问题引起学生对结论最求的愿望，将学生置于主动参与的地位。

四、 教学目标

【知识与技能】能用集合与对应的语言刻画函数的概念，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；通过大量实例理解构成函数的三个要素；掌握判定两个函数是否相等的方法，会求一些简单的函数的定义域和值域。

【过程与方法】通过从实际问题中抽象概括出函数概念的活动，培养学生“从特殊到一般”的综合归纳能力，培养学生的抽象概括能力。

【情感态度与价值观】通过实例让学生体会到事物是运动的这一辩证观点，树立要用发展的眼光看待问题这一方法论。

五、 重点难点

【重点】在已有认识（把函数看成变量之间的依赖关系）的基础上，学会用集合与对英语言刻画函数概念；认识到函数是描述客观世界中变量间依赖关系的重要数学模型。 函数的概念 教学设计

【难点】认识函数概念的整体性；理解函数符号y=f（x）。

六、 教法学法

建构主义观点的教学方式，即通过大量实例，遵循“特殊到一般”的认识规律，提出问题，大胆猜想，确定方向，分组研究，尝试验证，归纳总结；通过搭建新概念与学生原有认识结构间的桥梁，使学生心理上得到认同，建立新的认识结构。

七、 教学流程

八、 教学过程

（一）回顾旧知 引入新课

问题1 同学们在初中已经学过函数，请你举几个函数的具体例子。

预设与方案：如果学生所举例子都是用解析式表示的，教师则问:“函数关系都是可以“函数关系都是可以用解析式表示的吗？”引导学生开阔思路，再列举一些用图像、表格表示对应关系的函数．

问题2 初中时我们已学过函数的概念，回顾一下函数的概念是怎么说的。

复习回顾：初中时我们已学过函数的概念：在变化过程中，有两个变量x和y，如果给回顾旧知 引入新课

实例归纳 学习新知

深刻体会 知识补充

课堂练习 巩固加深

课堂小结 升华概念 分析实例 初步感知

综合归纳 提炼概念

理解概念

运用新知

知识补充 函数的概念 教学设计

定一个x值，相应地也就确定了一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量，x的取值范围叫定义域，y的取值范围叫值域。

【设计意图】通过具体例子，让学生回顾初中学习过的函数概念，把握内涵。

（二）实例归纳 学习新知

1.分析实例 初步感知

提问：炮弹距地面高度h是时间t的函数吗？为什么？

预设：有两个变量，地面高度h和时间t，如果给定一个时间t值，相应的也就确定了一个h值，那么h是t的函数。

教师在这时提出大多数现实世界中的函数问题和今后研究的函数的自变量的取值范围都是有限制的，就如这个例子一样。

炮弹飞行时间t的变化范围是数集A={t|0≤t≤26}，炮弹距地面的高度的变化范围是数集B={h|0≤h≤845}，从问题的实际意义可知，对于数集A中的任意一个时间t，按照对应关系（*），在数集B中都有唯一确定的高度h和它对应。

提问：你有什么结论？ 活动2 近几年来，大气层中的臭氧迅速减少，因而出现了臭氧空洞问题，图中曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积从1979∽2001年的变化情况。 活动1 一枚炮弹发射后，经过26s落到地面击中目标．炮弹的射高为845m，且炮弹距地面高度h（单位：m）随时间t（单位：s）变化的规律是

h＝130t－5t2„„（*） 函数的概念 教学设计

教师引导学生看图启发，从图中得知时间t的变化范围是数集，臭氧层空洞面积S的变化范围是数集。对于数集A中的每一个时刻t都对应t时刻时曲线在该点的纵坐标。

学生观察图像，得出空洞面积S是时间t的函数，发现图像也可以来刻画函数。通过教师引导，发现在数集B中都有唯一确定的臭氧层空洞面积s与之对应。

提问：按照图中曲线，对于数集B中的每一个S，有一个或若干个t和它对应，应该怎么解释呢？

虽然是同一条曲线，但对应方向不同，涉及的对应关系也不同，像这种从B到A的对应就不是函数。

提问：它是一个函数吗？为什么？你能仿照前两个例子来用集合和对应语言来刻画它吗？

学生观察表格，思考问题，经过交流发现，对于表格中的任意一个时间t都有唯一确定的恩格尔系数与之对应，满足函数定义，应为函数。发现表格也可以用来刻画函数。学生尝试用集合和对英语言来刻画函数。

【设计意图】为学生创设问题情境，为接下来的综合归纳做准备。选自运动、自然界、经济生活中用三种不同方法表示的函数，既可以让学生感受函数在许多领域的广泛应用，又可以使学生意识到对应关系不仅仅可以是明确的表达式，也可以是曲线和表格。三个例子中涉及到的其他学科的知识，可以简要介绍些相关知识，如活动三，介绍我国经济发展，增加民族自豪感。

2.综合归纳 提炼概念 活动3 国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高。表中恩格尔系数随时间（年）变化的情况表明，“八五”计划以来，我国城镇居民的生活质量发生了显著变化。（教师解释恩格尔系数的含义）

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问题1 你凭借什么说你举出的例子表示一个函数呢？请说给我们大家听听。

【设计意图】让举例的同学分别解释他们所举例子的含义，为什么用这个例子来说明函数。挖掘背后的思维过程，暴露学生对函数本质的理解状况。

问题2 以上老师所列的三个实例的不同点和相同点是什么？

【设计意图】比较分析三个例子，归纳相同点，锻炼从特殊到一般的思维能力，并为提炼函数概念提供基础。

学生认真比较、分析、归纳，在教师的引导下发现：

不同点：实例（1）用解析式刻画变量之间的对应关系

实例（2）同图像刻画变量之间的对应关系

实例（2）同表格刻画变量之间的对应关系

共同点：①都有两个非空数集

②两个数集间都有一种确定的对应关系，即按照这种对应关系对于集合A中任意一个数，在集合B中都有唯一确定的数与之对应。

此时，教师可以引出符号“f”来统一表示函数中的对应关系（配合介绍相应的数学史知识，课本第26页）。再启发学生进行综合归纳，用集合和对应语言来刻画函数的概念。

一般地，设A、B是非空数集,如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数ｆ（ｘ）和它对应,那么就称 f:A→B为从集合A到集合B的一个函数。记作：ｙ﹦ｆ（ｘ），x∈A。

强调：

① 函数首先是两个数集之间建立的对应；

② 对于x的每一个值，按照某种确定的对应关系f，都有“唯一”“确定”的y值与它对应，这种对应为数与数之间的一一对应或多对一。

③ 认真理解ｙ﹦ｆ（ｘ）的含义：ｙ﹦ｆ（ｘ）是一个整体，它是一种符号，它可以是解析式，也可以是图像，也可以是表格，f如同一个加工厂，把把输入的数x，按照某种加工过程f（x），如解析式，图像，表格，加工成另外一个数值y。

问题3 在函数新的定义下，定义域和值域分别是什么？

预设与方案：自变量是A集合的任意一个数x，即x的取值范围为A，所以A为定义域。函数的概念 教学设计

在值域的确定上，学生可能会产生分歧（集合B或集合B的子集等），此时，引导学生举例说明为什么值域是集合B的子集。

问题4 既然函数是一个整体，那构成函数定义有几个要素分别是什么？

预设与方案：学生可以马上给出答案：定义域、值域和对应关系。教师要强调三者缺一不可，但值域可由定义域和对应法则唯一确定。如同加工厂中，原料确定，加工过程确定，最后加工后的产品也得以确定。

（三）深刻体会 知识补充

1.理解概念

学生填写下表：

函 数 一次函数 二次函数

反比例函数

a＞0 a＜0

对应关系

定义域

值域

2.运用新知

例1 已知函数，

（1） 求函数的定义域；

（2） 求f（-3），的值；

（3） 当a＞0时，求f（a），f（a-1）的值。（书上例题）

函数的定义域通常有问题的实际背景确定，如前所述的三个实例。如果只给出解析式y=f（x），而没有指明它的定义域，那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数的集合。

【设计意图】学会求简单函数的定义域；计算函数值；进一步体会函数记号的含义，区别f（-3），f（a）和f（x）。

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3．知识补充

在研究函数时，常常需要表示它的定义域、值域这些实数的集合．我们把集合写成[a，b），即＝[a，b）。 [a，b）称为左闭右开的区间．学生仿照例子写出区间，体会区间符号含义。

定义 名称 符号 数轴表示

闭区间 [a，b]

开区间 （a，b）

半开半闭区间 [a，b）

半开半闭区间 (a，b]

强调：

① 区间是集合；

② 间的右端点必须小于左端点；

③ 区间中的元素都是点，可以用数字表示；

④ 任何区间均可在数轴上表示出来；

⑤ 以“-”或“+”为区间一端时，这一端必须使用小括号。

（四）课堂练习 巩固加深

例2 下列函数中哪个函数与函数y=x相等？

（1） ；

（2） ；

（3） ；