函数的概念

函数的概念

【教学目标】

一、知识目标

1、了解构成函数的要素；能够正确使用“区间”的符号表示某些集合。

2、会求一些简单函数的定义域与值域，并能用“区间”的符号表示；掌握判别两个函数是否相同的方法

3、了解分段函数，能用分段函数来解决一些简单的数学问题。

4、理解函数的最大（小）值及其几何意义；会求简单的函数值域

．

二、能力目标

在实践中通过观察、尝试、分析、类比的方法，培养学生类比思维能力。通过对公式的应用，提高学生分析问题和解决问题的能力。通过归纳总结，促进学生自主学习和归纳的能力。

三、情感目标

通过实例和图象的直观，让学生体会建立和研究一个函数模型的基本过程和方法，学会运用具体的函数模型解决一些实际问题。

【教学重点】

1、会求一些简单函数的定义域与值域；

【教学难点】

1、会求一些简单函数的定义域与值域；

【考点分析】

函数是高考数学的重点内容之一，函数的观点和思想方法贯穿整个高中数学的全过程，包括解决几何问题.在近几年的高考试卷中，选择题、填空题、解答题三种题型中每年都有函数试题，而且常考常新.以基本函数为模型的应用题和综合题是高考命题的新趋势.考试热点：①考查函数的表示法、定义域、值域和函数的图象.②函数与方程、不等式、数列是相互关联的概念，通过对实际问题的抽象分析，建立相应的函数模型并用来解决问题，是考试的热点.③考查运用函数的思想来观察问题、分析问题和解决问题，渗透数形结合和分类讨论的基本数学思想.

【知识点梳理】

1、函数的定义：

设A、B是非空数集．．．．，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定．．．．的数()fx和它对应，那么称:fAB为从集合A到集合B的一个

函数，记作：(),yfxxA.

其中，x叫自变量，x的取值范围A叫作定义域，与x的值对应的y值叫函数值，函数值的集合{()|}fxxA叫值域.

※从定义看，定义域、值域、对应法则是函数的三要素，两个函数相同必须三项均相同。事实上，只要定义域和对应法则相同，则值域必相同。函数关系式是对应法则的一种形式；

※f(x)的含义，按定义f(x)即为自变量为x时，函数值y的值，即y=f(x)；

2、映射：设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的__每__一个元素，在集合B中总有 唯一的一个元素y

与它对应，这样的对应叫做从集合A到集合B的 映射

，记为f：BA。

3、函数的表示法： _列表法 、 图像法 、 解析法 。

4、分段函数：

① 在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数叫分段函数；

② 分段函数的定义域是各段定义域的 并 集，其值域是各段值域的 并 集；

③ 分段函数表示的是一个函数，而不是几个函数；

④ 分段函数问题的一般方法：分类讨论（注意各段定义域）.

【典型例题】

题型一、函数的定义

例1：设集合M10xx，N10yy．下列四个图象中，可以作为函数()yfx的图像的是( )．

)(A )(B )(C )(D

变式1.1：下列各组函数中表示同一函数吗？

（1）)1()(;1)(xxxgxxxf

（2）22)()(;)(xxgxxf

(3) (3)(5)(),()53xxfxgxxx

变式1.2设数集A＝{a，b，c}，B＝{x，y，z}，从集合A到B的四种对应方式如图，其中是从A到B的函数的序号是________．

题型二：求函数定义域问题

例2：求下列函数的定义域：

（1）；

（2）；

（3）；

（4）；

例3：如图，用长为的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架，若矩形的底边长为，求此框架围成的面积与的函数关系式，并指出定义域.

变式3.1：求下列函数的定义域： （1）121yx；（2）3312xyx

例4、复合函数的定义域

（1）已知函数()fx的定义域为1,1，则函数12fxfxfx的定义域为

（2） 已知函数32fx的定义域是,3，求函数()fx的定义域。

变式4.1已知函数12fx的定义域是1,52，求函数2fx的定义域。

变式4.2已知f(x)=333322xxxx (,1)(1,)xx，求f[f(0)]的值.

变式4.2设函数.)().0(1),0(121)(aafxxxxxf若则实数a的取值范围是 。

题型三 解析式问题

例5、如果为二次函数，，并且当时，取得最小值，求的解析式；

例6、已知，求的值；

例7、已知2211()11xxfxx，则()fx的解析式为( ）

A．21xx B．212xx C．212xx D．21xx

变式7.1（2012安徽理）（2）下列函数中，不满足：(2)2()fxfx的是（ ）

()A()fxx ()B()fxxx ()C()fxx ()D()fxx

例8、图中的图象所表示的函数的解析式为

(A)|1|23xy (0≤x≤2)

(B) |1|2323xy (0≤x≤2)

(C) |1|23xy (0≤x≤2)

(D) |1|1xy (0≤x≤2)

题型四：求值域

【方法点拨】求函数值域的常用方法：

1. 直接法；

2. 配方法：可求二次函数或形如2()()()Fxafxbfxc函数的值域；

3. 分离常数法（分子、分母是一次函数得有理函数，可用分离常数法，此类问题一般也可以利用反函数法）

4. 换元法

5. 函数的单调性法

例9、求函数的值域：y=-3x2+2;

例10、求函数求函数y＝x2x2＋1(x∈R)的值域．

例11、求函数的值域：112xxy

例12、求2sin2sin3yxx的值域

变式12.1求1yxx的值域

例13、已知函数22()lg[(1)(1)1],fxaxax若()fx的值域为(,)，求实数a的取值范围。

变式13.1、 求函数f(x)=|x－1|＋|x＋2|的值域.

变式13.2（2012福建文）

9、设0,10,00,1)(xxxxf，为无理数为有理数xxxg,0,1)(，则))((gf值为（ ）

A．1 B．0 C．1 D．

【方法与技巧总结】

1、函数的定义域：

①分式的分母不为零；即xfy1中，0)(xf。

②偶次方根的被开方数大于或等于零；即nxfy2*Nn中，0)(xf。

③0xfy中，0)(xf。

④如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，那么它的定义域是各基本函数定义域的交集；

⑤如果函数是由实际问题得出的函数，其定义域不仅受解析式本身的限制，而且还受实际问题的约束。

⑥已知函数()fx的定义域是D，则函数[()]yfgx的定义域，只需满足()gxD；

⑦已知函数[()]yfgx的定义域是D，则函数()fx的定义域，只需满足{(),}xyygxxD，即求)(xg的在D上的值域。

2、求函数解析式的几种常用方法：

（1）根据某实际问题建立一种函数关系式，确定合适的变量是关键；

（2）给定函数特征，可利用待定系数法，求函数解析式；

（3）换元法求函数解析式，如已知[()]()fgxhx，求()yfx，可令()gxt，解出x，代入()hx进行换元来解；

（4）解方程组法：已知()fx满足某个等式，除()fx外还有()fx或1()fx等，必须根据已知再构造等式组成方程组，解出。

【巩固练习】

1．判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（ ）

⑴3)5)(3(1xxxy，52xy；

⑵111xxy，)1)(1(2xxy；

⑶xxf)(，2)(xxg；

⑷343()fxxx，3()1Fxxx；

⑸21)52()(xxf，52)(2xxf。

A．⑴、⑵ B．⑵、⑶ C．⑷ D．⑶、⑸

2．函数()yfx的图象与直线1x的公共点数目是（ ）

A．1 B．0 C．0或1 D．1或2

3．已知集合421,2,3,,4,7,,3AkBaaa，且*,,aNxAyB

使B中元素31yx和A中的元素x对应，则,ak的值分别为（ ）

A．2,3 B．3,4 C．3,5 D．2,5

4．已知22(1)()(12)2(2)xxfxxxxx，若()3fx，则x的值是（ ）

A．1 B．1或32 C．1，32或3 D．3

5．设)10()],6([)10(,2)(xxffxxxf则)5(f的值为（ ）

A．10 B．11 C．12 D．13

6、已知函数3()(1).1axfxaa,求()fx的定义域。

7、若函数2743kxykxkx的定义域为R，则k_______；

8.已知函数2()23fxxx在[0,]a(0)a上的最大值为3，最小值为2，求实数a的取值范围．