湖北省武汉市三校联合体17中,15中,常青一中2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题)

湖北省武汉市（第十五中学、十七中学、常青一中）2019-2020学年高二上学期期末数学试题学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________一、单选题1. 直线的倾斜角为（）A．B．C．D．2. 椭圆的离心率为（）A．B．C．D．3. 已知命题“,”的否定是（）A．,B．,C．,D．,4. 在新高考改革中,一名高一学生在确定选修物理的情况下,想从政治,地理,生物,化学中再选两科学习,则所选两科中一定有地理的概率是（）A．B．C．D．5. 国家教育部规定高中学校每周至少开设两节体育选修课,在一次篮球选修课上,体育老师让同学们练习投篮,其中小化连续投篮两次,事件“两次投篮至少有一次投篮命中”与事件“两次投篮都命中”是（）A．对立事件B．互斥但不对立事件C．不可能事件D．既不互斥也不对立事件6. 已知两条不同的直线和两个不同的平面，有如下命题：①若，，，，则；②若，，，则；③若，，则．其中正确的命题个数为A．B．C．D．7. 抛物线的焦点坐标是（）A．B．C．D．8. “”是“，使得是真命题”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件9. 已知为抛物线上一个动点,到其准线的距离为,为圆上一个动点,的最小值是（）A．5 B．4 C．D．10. 已知方程,下列说法正确的是（）A．当时,此方程表示椭圆B．此方程不可能表示圆C．若此方程表示双曲线,则D．当时,此方程表示双曲线11. 已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，且与直线交于两点，若中点的横坐标为，则此双曲线的标准方程是A．B．C．D．12. 已知点,,若直线上至少存在三个点,使得是直角三角形,则实数的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题13. 双曲线上一点到它的一个焦点的距离等于3,那么点到另一个焦点的距离等于__________．14. 求过点，并且在两轴上的截距相等的直线方程_____．15. 水痘是一种传染性很强的病毒性疾病，容易在春天爆发，武汉疾控中心为了调查某高校高一年级学生注射水痘疫苗的人数，在高一年级随机抽取了5个班级，每个班级的人数互不相同，若把每个班抽取的人数作为样本数据，已知样本平均数为5，样本方差为4，则样本数据中最大值为__________．16. 点、、分别是正方体的棱,,的中点,则下列命题中的真命题是__________（写出所有真命题的序号）.①以正方体的顶点为顶点的三棱锥的四个面中最多可以四个面都是直角三角形;②点在直线上运动时,总有;③点在直线上运动时,三棱锥的体积是定值;④若是正方体的面,（含边界）内一动点,且点到点和的距离相等,则点的轨迹是一条线段.三、解答题17. 求适合下列条件的椭圆标准方程：（1）经过点,；（2）长轴长等于20,焦距等于12.18. 随着人们经济收入的不断增加,个人购买家庭轿车已不再是一种时尚,车的使用费用,尤其是随着使用年限的增多,所支出的费用到底会增长多少,一直是购车一族非常关心的问题,某汽车销售公司做了一次抽样调查,并统计得出2009年出售的某款车的使用年限（2009年记）与所支出的总费用（万元）有如表的数据资料:使用年限2 3 4 5 6总费用 2.5 3.5 5.5 6.5 7.0（1）求线性回归方程;（2）若这款车一直使用到2020年,估计使用该款车的总费用是多少元？线性回归方程中斜率和截距用最小二乘法估计计算公式如下:,19. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，，侧棱底面，，点为的中点，作，交于点.（1）求证：平面；（2）求证：；（3）求二面角的余弦值.20. 2019年12月,全国各中小学全体学生都参与了《禁毒知识》的答题竞赛,现从某校高一年级参加考试的学生中抽出60名学生,将其成绩（单位:分）整理后,得到如下频率分布直方图（其中分组区间为,,…）.（1）求成绩在的频率,并补全此频率分布直方图;（2）求这次考试成绩的中位数的估计值;（3）若从抽出的成绩在和的学生中任选两人,求他们的成绩在同一分组区间的概率.21. 如图所示,直角梯形中,,,,四边形为矩形,.（1）求证:平面平面;（2）在线段上是否存在点,使得直线与平面所成角的正弦值为,若存在,求出线段的长,若不存在,请说明理由.22. 设点,的坐标分别为,,直线,相交于点,且它们的斜率之积为-2,设点的轨迹是曲线.（1）求曲线的方程;（2）已知直线与曲线相交于不同两点、（均不在坐标轴上的点）,设曲线与轴的正半轴交于点,若,垂足为且,求证：直线恒过定点.。

参考答案一、 选择题1-12、ACBCA DBDDC C A二、填空题：13．锐角；14. 13-6√2；15. 5,162,2n n n =⎧⎨-≥⎩；16.3 三、解答题:17.解：解：设(,)c x y =，则cos ,cos ,,a c b c <>=<>得22221x y x y x y +=+⎧⎨+=⎩，………………………………………4分即22x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或22x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩2(,22c=或(22-- ………………………………………10分18．解：(1)(方法一)由题设知，2sin B cos A ＝sin(A ＋C )＝sin B .因为sin B ≠0，所以cos A ＝12. 由于0<A <π，故A ＝π3. ………………………………………6分 (方法二)由题设可知，2b ·b 2＋c 2－a 22bc ＝a ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·b 2＋c 2－a 22bc.于是b 2＋c 2－a 2＝bc . 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12. 由于0<A <π，故A ＝π3. ………………………………………6分 (2)(方法一)因为AD 2→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋AC →22＝14(AB →2＋AC →2＋2AB →·AC →) ＝14(1＋4＋2×1×2×cos π3)＝74， 所以|AD →|＝72.从而AD ＝72. ………………………………………12分 (方法二)因为a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝4＋1－2×2×112＝3，所以a 2＋c 2＝b 2，B ＝π2.因为BD ＝32，AB ＝1， 所以AD ＝1＋34＝72. ………………………………………12分 19．（1）设数列{}n a 的公差为d ，依题意，2，2d +，24d +成等比数列，故有2(2)2(24)d d +=+，化简得240d d -=，解得0d =或d =4.当0d =时，2n a =；当d =4时，2(1)442n a n n =+-⋅=-， ∴数列{}n a 的通项公式为2n a =或42n a n =-……………………………………6分.（2）当2n a =时，2n S n =. 显然260800n n <+，此时不存在正整数n ，使得60800n S n >+成立.当42n a n =-时，2[2(42)]22n n n S n +-==. 令2260800n n >+，即2304000n n -->，解得40n >或10n <-（舍去），此时存在正整数n ，使得60800n S n >+成立，n 的最小值为41.综上，当2n a =时，不存在满足题意的n ；当42n a n =-时，存在满足题意的n ，其最小值为41. ………………………………………12分.20．解：（1）因为221+=+n n n a a a ，所以21111+=+n n a a ，即21111=-+n n a a . 所以}1{na 是以111=a 为首项，21为公差的等差数列. ………………………………………6分所以21)1(11⨯-+=n a n ，即12+=n a n . （2 ）由（1）得21)1(11⨯-+=n a n ，即12+=n a n . )2111(422121+-+=+⨯+==+n n n n a a b n n n ， 所以数列{n b }前n 项和)]2111()4131()3121[(4+-+++-+-=n n T n 22)2121(4+=+-=n n n . ………………………………………12分 21.解： (1)由0sin )()sin )(sin (=-++-B a b C A c a 及正弦定理，得0)())((=-+-+a b b c a c a ，化简，得ab c b a =-+222. 由余弦定理，得212cos 222=-+=ab c b a C . 因为π<<C 0，所以3π=C . ………………………………4分（2）因为C C B A sin )2sin(2sin 2=++，所以)sin()sin(cos sin 4B A B A A A +=-+， 所以B A B A B A B A A A sin cos cos sin sin cos cos sin cos sin 4+=-+， 即B A A A sin cos cos sin 2=，所以0cos =A ，或B A sin sin 2=. （ⅰ）当0cos =A 时，ABC ∆为直角三角形，2π=A ，6π=B ，3π=C . 由2=c 得，332=b ，所以33221==∆bc S ABC （ⅱ）当B A sin sin 2=时，a b 2=，此时22223a ab b a c =-+=. 因为2=c ，所以342=a ，所以332sin 21==∆C ab S ABC . 所以，ABC ∆的面积为332. ………………………………12分 22. （1）∵a n+12﹣a n+1a n ﹣2a n 2＝0，∴（a n+1+a n ）（a n+1﹣2a n ）＝0，∵数列{a n }的各项均为正数，∴a n+1+a n ＞0，∴a n+1﹣2a n ＝0，即a n+1＝2a n ，所以数列{a n }是以2为公比的等比数列． ∵a 3+2是a 2，a 4的等差中项，∴a 2+a 4＝2a 3+4，∴2a 1+8a 1＝8a 1+4，∴a 1＝2，∴数列{a n }的通项公式a n ＝2n ．......................................4分（2）由（1）及b n ＝12log n n a a ，得，b n ＝﹣n•2n ，∵S n ＝b 1+b 2++b n ， ∴S n ＝﹣2﹣2•22﹣3•23﹣4•24﹣﹣n•2n ①∴2S n ＝﹣22﹣2•23﹣3•24﹣4•25﹣﹣（n ﹣1）•2n ﹣n•2n+1②①﹣②得，S n ＝2+22+23+24+25++2n ﹣n•2n+1＝， 要使S n +n•2n+1＞50成立，只需2n+1﹣2＞50成立，即2n+1＞52， ∴使S n +n•2n+1＞50成立的正整数n 的最小值为5．......................................12分。

2019-2020学年湖北省武汉市（第十五中学、十七中学、常青）高一上学期期末联考数学试题一、单选题1．已知全集{|08,}U x x x Z =<<∈，{2,4,5}A =，{1,3,5,7}B =，则()U A C B ⋂=（ ） A ．{2,4} B ．{2,4,6}C ．{5}D ．{6}【答案】A【解析】由题意可得：{}246U C B =，， {}245A =Q ，， (){}24U A C B ∴⋂=，故选A2．已知幂函数()y f x =得图像过点(2,2，则1()4f =（ ）A ．12B ．2CD ．2【答案】D【解析】设幂函数()ay f x x ==Q 图象过点2⎛ ⎝⎭，则2a =a ∴=-１２124f ⎛⎫= ⎪⎝⎭故选D3．已知3(0,)2πα∈，sin()πα+=3cos()2πα-=（ ）A ．BC ．2或 D【答案】B【解析】()sin πα+=Q sin α∴= 302πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭Q ，则3 2，παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭3sin 22cos παα⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭故选B4．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是（ ） A ．2 B ．2sin1C ．2sin1D ．sin 2【答案】B【解析】先由已知条件求出扇形的半径为1sin1，再结合弧长公式求解即可. 【详解】解：设扇形的半径为R ，由弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，可得1sin1R =， 由弧长公式可得：这个圆心角所对的弧长是22sin1R =，故选：B. 【点睛】本题考查了扇形的弧长公式，重点考查了运算能力，属基础题. 5．函数1ln 22y x x =+-的零点所在的区间是（ ） A ．11e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．()12，C ．()e 3，D ．()2e ，【答案】B【解析】应用函数零点存在性定理判断. 【详解】 易知函数f （x ）=1ln 22x x +-在定义域上连续， 且f(1e )=1 e -52<0 , f （1）= -1<0 , f(2)=1ln 2>02 ,()13f e =+e-2=e-022> ,根据函数零点存在性定理，可知零点所在区间为()1,2，故选B. 【点睛】本题考查了函数零点的判定定理的应用，判断函数零点所在区间有三种常用方法，①直接法，解方程判断，②定理法，③图象法.6．已知5,6()(2),6x x f x f x x -≥⎧=⎨+<⎩，则(3)f 为（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】A【解析】根据自变量范围代入对应解析式，解得结果. 【详解】(3)(32)(52)752f f f =+=+=-=故选：A 【点睛】本题考查分段函数求值，考查基本分析求解能力，属基础题.7．设()3sin sin 3f x a x b x =+-，若12f π⎛⎫=⎪⎝⎭，则2f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A ．-2 B ．-5C ．-7D ．4【答案】C【解析】令()()33sin g x f x asin x b x =+=+()()3sin g x asin x b x g x -=--=- ()g x ∴为奇函数3302222g g f f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=++-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭又12f π⎛⎫=⎪⎝⎭72f π⎛⎫∴-=- ⎪⎝⎭故选C8．函数cos tan y x x =⋅ ()22x ππ-<<的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】去掉绝对值将函数化为分段函数的形式后可得其图象的大体形状． 【详解】由题意得sin ,02sin ,02x x y cosx tanx x x ππ⎧≤<⎪⎪=⋅=⎨⎪--<<⎪⎩，所以其图象的大体形状如选项C 所示． 故选C ． 【点睛】解答本题的关键是去掉函数中的绝对值，将函数化为基本函数后再求解，属于基础题．9．若146()7a -=，157()6b =，27log 8c =，定义在R 上的奇函数()f x 满足:对任意的12,[0,)x x ∈+∞且12x x ≠都有1212()()0f x f x x x -<-，则()()(),,f a f b f c 的大小顺序为（ ）A ．()()()f b f a f c <<B ．()()()f c f b f a >>C ．()()()f c f a f b >>D ．()()()f b f c f a >>【答案】B【解析】由题意，()f x 在R 上单调递减， 又111445267771,log 17668a b c -⎛⎫⎛⎫⎛⎫==>=>=< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以a b c >>，所以()()()f c f b f a >>，故选B ．10．要得到函数()cos(2)6f x x π=-的图像，只需将函数()sin 2g x x =的图像（ ）A ．向左平移6π个单位 B ．向右平移6π个单位 C ．向左平移3π个单位 D ．向右平移3π个单位 【答案】A 【解析】【详解】解：将函数g （x ）＝sin2x ＝cos （2x 2π-）的图象向左平移6π个单位，可得函数()26f x cos x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，故选A ．11．已知20191,0()2log ,0xx f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩，若存在三个不同实数,,a b c 使得()()()f a f b f c ==，则abc 的取值范围是（ ）A ．(]0,1B ．[)2,0-C ．(]2,0-D ．（0，1）【答案】C【解析】先画出分段函数f （x ）的图象，然后根据图象分析a 、b 、c 的取值范围，再根据对数函数以及绝对值函数的性质得出bc ＝1，即可得到abc 的取值范围． 【详解】由题意，画出函数f （x ）的图象大致如图所示：∵存在三个不同实数a ，b ，c ，使得f （a ）＝f （b ）＝f （c ），可假设a ＜b ＜c ， ∴根据函数图象，可知：﹣2＜a ≤0，0＜b ＜1，c ＞1．又∵f （b ）＝f （c ）， ∴|log 2019b |＝|log 2019c |，即：﹣log 2019b ＝log 2019c ．∴log 2019b +log 2019c ＝0． ∴log 2019bc ＝0，即bc ＝1．∴abc ＝a ．∵﹣2＜a ≤0，∴﹣2＜abc ≤0． 故选C ．【点睛】本题主要考查分段函数的图象画法，数形结合法的应用，绝对值函数以及对数函数的应用，不等式的性质，属于中档题． 12．已知函数()211sinsin (0)222xf x x ωωω=+->，若()f x 在区间()π,2π内没有零点，则ω的取值范围是 A ．10,8⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．][1150,,848⎛⎤⋃ ⎥⎝⎦ C ．50,8⎛⎤⎥⎝⎦D ．][150,,148⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】函数()2()4f x x πω=-，，由0f x =（），可得 42k x ππππω+=∉（，），，因此115590115()()()()()848484848，，，，，，ω∴∉⋃⋃⋃⋯=⋃+∞即可得出．【详解】 函数()2111112sin sin ()22222224xcos x f x x f x sin x sin x ωωπωωω-=+-=+-=-（），由0fx =（），可得()04sin x ，πω-=解得42k x ππππω+=∉（，），115590115()()()()()848484848，，，，，，ω∴∉⋃⋃⋃⋯=⋃+∞ ∵f x （） 在区间()π,2π内没有零点，][1150,,848ω⎛⎤∴∈⋃ ⎥⎝⎦.故选B ． 【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题13．00sin 50(1)+的值 【答案】1【解析】原式＝sin50°1⎛ ⎝⎭＝＝2sin50°·3010301010sin cos cos sin cos ︒︒︒︒︒＋＝2sin50°·402404080101010sin cos sin sin cos cos cos ︒︒︒︒︒︒︒＝＝＝1.14．设当x θ=时，函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值，则cos θ=______.【答案】5-；【解析】f(x)＝sin x －2cos x x x ⎫⎪⎪⎝⎭sin(x －φ)，其中sin φ，cos φ，当x －φ＝2kπ＋2π(k ∈Z)时，函数f(x)取得最大值，即θ＝2kπ＋2π＋φ时，函数f(x)取到最大值，所以cos θ＝－sin φ.15．函数()213log 23y x mx =-+在(),1-∞上为增函数，则实数m 的取值范围为______． 【答案】12m ≤≤【解析】根据复合函数单调性之间的关系以及对数函数的定义域，列不等式组即可得到结论.【详解】设223t x mx =-+则函数13log y t =为减函数，要使函数()213log 23y x mx =-+在(),1-∞上为増函数，则等价为函数()223t g x x mx ==-+在(),1-∞上为减函数，且()10g ≥，即 420212m m m -≥⎧⎪⎨--=≥⎪⎩，解得21m m ≤⎧⎨≥⎩，即12m ≤≤，故答案为12m ≤≤. 【点睛】在区间对于函数()y f g x ⎡⎤=⎣⎦，可设内层函数为()u g x =，外层函数为()y f u =，可以利用复合函数法来进行求解，遵循“同增异减”，即内层函数与外层函数在区间D 上的单调性相同，则函数()y f g x ⎡⎤=⎣⎦在区间D 上单调递增；内层函数与外层函数在区间D 上的单调性相反，则函数()y f g x ⎡⎤=⎣⎦D 上单调递减．16．已知函数()sin f x x x =+，则下列命题正确的是_____.（填上你认为正确的所有命题序号） ①函数()0,2f x x π⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的单调递增区间是06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦； ②函数()f x 的图像关于点,06π⎛⎫-⎪⎝⎭对称； ③函数()f x 的图像向左平移(0)m m >个单位长度后，所得的图像关于y 轴对称，则m 的最小值是6π； ④若实数m 使得方程()f x m =在[0,2]π上恰好有三个实数解123,,x x x ，则12373x x x π++=. 【答案】①③④【解析】首先利用辅助角公式将函数化简为()2sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再根据正弦函数的性质一一验证即可. 【详解】解：13()sin 3cos 2sin cos 2sin 23f x x x x x x π⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()f x ∴的单调增区间为52,2()66k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦， 当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，增区间为06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，∴①正确； 2sin 2sin 106636f ππππ⎛⎫⎛⎫-=-+==≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴②不正确；函数()f x 的图像向左平移(0)m m >个单位长度后得()2sin 3f x x m π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，由题意得32m k πππ+=+，6m k ππ=+，则m 的最小值是6π，∴③正确；若实数m 使得方程()f x m =在[0,2]π上恰好有三个实数解123,,x x x ，结合这两个函数图像可知，必有10x =，32x π=，此时()2sin 33f x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，另一个解为23x π=，12373x x x π∴++=，∴④正确. 故答案为：①③④【点睛】本题考查辅助角公式的应用，正弦函数的性质的综合应用，属于中档题.三、解答题17．若角()0,απ∈，且7sin cos 13αα+=. （1）求sin cos αα-的值； （2）求tan α的值. 【答案】（1）1713；（2）125-. 【解析】（1）由()0,απ∈得知sin 0α>，将等式7sin cos 13αα+=两边平方，可求出2sin cos αα的值，并可得出cos 0α<，可推出sin cos 0αα->，并将代数式sin cos αα-平方，可求出sin cos αα-的值；（2）根据题中条件和（1）的结果建立方程组求出sin α和cos α的值，再利用同角三角函数的商数关系可求出tan α的值. 【详解】（1）将7sin cos 13αα+=平方得2249sin 2sin cos cos 169αααα++=， 1202sin cos 0169αα∴=-<. ()0,απ∈Q ，sin 0α∴>，cos 0α<，sin cos 0αα∴->.而()2120289sin cos 12sin cos 1169169αααα⎛⎫-=-=--= ⎪⎝⎭，因此，17sin cos 13αα-=； （2）由（1）得7sin cos 1317sin cos 13αααα⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得12sin 135cos 13αα⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，因此，sin 12tan cos 5ααα==-. 【点睛】本题考查同角三角函数的平方关系和商数关系求值，在处理有关sin cos αα±的值，一般利用平方关系，即()2sin cos 12sin cos αααα±=±，同时不要忽略对角的取值范围的判断，考查运算求解能力，属于中等题.18．已知cos 410x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，3,24x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.（1）求sin x 的值； （2）求sin 26x 骣琪+琪桫p的值. 【答案】（1）45；（2）. 【解析】（1）利用同角三角函数的基本关系计算出sin 4x π⎛⎫-⎪⎝⎭的值，再利用两角和的正弦公式计算出sin sin 44x x ππ⎡⎤⎛⎫=-+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值； （2）利用同角三角函数的基本关系求出cos x 的值，利用二倍角公式求出sin 2x 和cos2x 的值，然后利用两角和的正弦公式计算出sin 26x 骣琪+琪桫p的值. 【详解】（1）因为3,24x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭，所以,442x πππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，sin 410x π⎛⎫∴-==⎪⎝⎭，sin sin sin cos cos sin 444444x x x x ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦45=； （2）因为3,24x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3cos 5x ===-， 所以24sin 22sin cos 25x x x ==-，27cos 22cos 125x x =-=-，因此，7sin 2sin 2cos cos 2sin 66650x x x πππ+⎛⎫+=+=- ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查两角和的正弦公式求值，同时也考查了同角三角函数、二倍角公式的应用，考查运算求解能力，属于中等题.19．已知函数()2cos sin f x x x x =⋅.（1）若0tan 2x =，求0()f x ； （2）求()f x 的周期，单调递增区间. 【答案】（1；（2）见解析 【解析】（1）分子分母同除1，利用221cos sin x x =+，把分母变形，然后分子分母同除0cos x ，利用齐次式求0tan x ，（2）利用辅助角公式把f （x ）化为sin()y A wx ϕ=+的形式，再利用正余弦函数的单调性求单调区间. 【详解】（1）()20000cos sin f x x x x =20000222000cos sin tan sin cos tan 1x x x x x x x ===++ 0tan 2x =，()025f x ∴=（2）()2sin cos f x x x x =)1cos21sin222x x +=-sin 232x π⎛⎫=--⎪⎝⎭ ∴周期为T π=由222232k x k πππππ-+≤-≤+可得1212k x k π5ππ-≤≤π+ 所以递增区间5,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查三角函数齐次式的应用，三角函数辅助角公式以及求单调区间，解题关键是转化为齐次式，属于基础题. 20．已知函数1()22xx f x =-. （1）若()2f x =，求x 的值；（2）存在[1,2]t ∈使得不等式2(2)()0tf t mf t +≥成立，求m 的取值范围.【答案】（1）2log 1)x =；（2）17m ≥-【解析】（1）解关于2x 的二次方程，然后再解指数方程即可；（2）恒成立问题转化为分离参数后再求函数的最值. 【详解】 （1）由1222xx -=得22 2.210x x --=解得21x =)2log 1x ∴=（2）由()()220t f t mf t +≥得221122222t t ttt m ⎛⎫⎛⎫-≥-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭当[]1,2t ∈时，1202tt -> 2122212t t ttm ⎛⎫∴≥-+=-- ⎪⎝⎭由题意知17m ≥- 【点睛】本题考查含指数函数的二次方程的求解，恒成立问题分离参数最值，转化的思想，考查一定的运算能力，属于中档题.21．若函数()sin()f x A x ωϕ=+，(0,0,)22A ππωϕ>>-<<的部分图象如下图所示．（1）求函数()f x 的解析式及其对称中心；（2）若将函数()f x 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，求函数()g x 在区间[0,]π上的单调区间．【答案】（1）()2sin(2)6f x x π=-，对称中心为,0)().212k k Z ππ+∈（；（2）增区间2[0,]3π：减区间：2[,]3ππ.【解析】【详解】试题分析：（1）观察图象，利用周期、最值、特殊点，求得，并求对称中心；（2）将图象进行变换，得到()g x ，利用整体思想求单调区间． 试题解析： （1）由图得，．，解得，于是由T =，得．∵，即，∴ ，k ∈Z ，即，k ∈Z ，又，所以，即．()()2,,,0).6212212k k x k x k Z k Z ππππππ-==+∈∴+∈令函数对称中心为（ (2) 由已知条件得()2sin 6g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭， 50,.666x x Q ππππ≤≤∴-≤-≤()252-,0,66232663x x g x x x πππππππππ≤-≤≤≤≤-≤≤≤当即时是增函数，当即时 ()()220,,,33g x g x 是减函数，的增区间为减区间为πππ⎡⎤∴⎤⎡⎦⎣⎢⎥⎣⎦22．已知()f x 为奇函数，()g x 为偶函数，且2()()2log (1)f x g x x +=-． （1）求()f x 及()g x 的解析式及定义域；（2）若关于x 的不等式(2)0xf m -<恒成立，求实数m 的取值范围．（3）如果函数()()2g x F x =，若函数(21)3212x xy F k k =--⋅-+有两个零点，求实数k 的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）[0,).m ∈+∞；（3）1(,)(0,).2k ∈-∞-⋃+∞. 【解析】试题分析：（1）()()21log 111xf x x x-=-<<+，()()()22log 111g x x x =--<<；（2）()2xf －0m <恒成立，则()()x maxm f 2>，利用换元，解得[)m 0,∞∈+；（3）要使()XX y F 213k 212k =--⋅-+函数有两个零点，即使得()2y t 3kt 2k 1,t 0,1=--++∈函数在有一个零点，即()2t 3kt 2k 100,1+--=方程在内只有一个实根，所以()1,0,.2k ⎛⎫∈-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭试题解析：（1）因为()f x 是奇函数，()g x 是偶函数， 所以，，，①令取代入上式得，即，②联立①②可得，，（2）因为，所以，设，则，因为()f x 的定义域为， ，所以，，即， ，因为关于的不等式()2xf －0m <恒成立，则()()max2xm f >，()200x f m <∴≥Q 又，故的取值范围为[)0,.m ∈+∞.(3)()()()()221,1,1,1211,,11213212,,1x xxF x x x x y k k x =-∈-∴-<-<∈-∞∴=---⋅-+∈-∞[)210,1x t 设=-∈ [)2321,0,1y t kt k t ∴=--++∈()0,121x t y t y ∈==-Q 当时，与有两个交点，要使()213212XXy F k k 函数=--⋅-+有两个零点，即使得()2321,0,1y t kt k t =--++∈函数在有一个零点，（t =0时x =0，y 只有一个零点）即()232100,1t kt k +--=方程在内只有一个实根 0∆>Q()()()21321,0100.2u t t kt k u u k k =+--⋅<∴-令则使即可或()1,0,.2k k ⎛⎫∴∈-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭的取值范围。

2019～2020学年度上学期十五中联考体期末考试高二数学试卷解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.1.直线10x -+=的倾斜角为（ ） A.3π B.6π C.23π D.56π 【答案】B 【解析】直线10x -+=互为斜截式,得y x =+∴直线10x -+=θ则tan θ∴θ=6π故选B.2.椭圆22143x y +=的离心率为（ ）A. 14B.C.12D.【答案】C 【解析】 【分析】根据椭圆的标准方程得出224,3a b ==,代入离心率公式e =即可得出结果.【详解】解: 因为椭圆22143x y +=所以224,3a b ==,所以离心率12e ==. 故选:C【点睛】本题考查根据椭圆的标准方程求离心率,是基础题. 3.已知命题“:p x R ∀∈,211x +≥”的否定是（ ）A. 0x R ∃∈,2011x +≤B. 0x R ∃∈,2011x +<C. x R ∀∈,211x +<D. x R ∀∈,211x +≤【答案】B 【解析】 【分析】根据全称命题与特称命题的关系,直接写出命题的否定即可. 【详解】解::p x R ∀∈,211x +≥所以0:p x R ⌝∃∈,2011x +<.故选:B【点睛】本题考查全称命题与特称命题的否定,属于基础题.4.在新高考改革中,一名高一学生在确定选修物理的情况下,想从政治,地理,生物,化学中再选两科学习,则所选两科中一定有地理的概率是（ ） A.16B.14C.13D.12【答案】D 【解析】 分析】根据题意列举出所有情况,再求一定有地理情况,最后求概率即可. 【详解】解:四科中间选两科一共有: 政地,政生,政化,地生,地化,生化6种选择,其中有地理的是3种, 所以概率是3162P ==. 故选:D【点睛】本题考查随机事件的概率,可一一列举了再计算.5.国家教育部规定高中学校每周至少开设两节体育选修课,在一次篮球选修课上,体育老师让同学们练习投篮,其中小化连续投篮两次,事件A “两次投篮至少有一次投篮命中”与事件B “两次投篮都命中”是（ ） A. 对立事件 B. 互斥但不对立事件 C. 不可能事件 D. 既不互斥也不对立事件【答案】D 【解析】 【分析】根据互斥事件与对立事件的概念进行判断.【详解】解:根据题意, A “两次投篮至少有一次投篮命中”与事件B “两次投篮都命中”可以同时发生, 所以两个事件既不互斥也不对立. 故选:D【点睛】本题考查互斥事件与对立事件的概念,要注意对立一定互斥,但互斥不一定对立. 6.已知两条不同的直线,l m 和两个不同的平面,αβ，有如下命题： ①若l α⊂，m α⊂，l β∥，m βP ，则αβ∥， ②若l α⊂，l β∥，m αβ=I ，则l m P ，③若αβ⊥，l β⊥，则l α⊂．其中正确的命题个数为 A. 0 B. 1C. 2D. 3【答案】B 【解析】 分析】利用线面平行的性质定理和判定定理对三个命题分别分析解答．【详解】对于①，若l α⊂，m α⊂，l β//，//m β，则α与β可能相交；故①错误； 对于②，若l α⊂，l β//，m αβ⋂=，满足线面平行的性质定理，故//l m ；故②正确； 对于③，若αβ⊥，l β⊥，如果l α⊂，则l α⊥；故③错误；故选B ．【点睛】本题考查了线面平行的性质定理和判定定理的运用，关键是正确运用定理进行分析解答． 7.抛物线2y ax =的焦点坐标是（ ） A. ,04a ⎛⎫±⎪⎝⎭B. ,04a ⎛⎫⎪⎝⎭C. 10,4a ⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 10,4a ⎛⎫±⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】先将抛物线化为标准方程形式2y x a=,在由12p a =,得出124p a =,即可得焦点坐标.【详解】解:因为抛物线2y ax =, 化为标准方程的形式2yx a=, 12p a =,124p a\=所以焦点坐标为10,4a ⎛⎫⎪⎝⎭.故选:C【点睛】本题考查根据抛物线的方程求焦点坐标,熟悉抛物线的四种形式是解题的关键. 8.“12m ≤-”是“0x ∀>，使得13222x m x +->是真命题”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】的由“0x ∀>，使得13222x m x +->是真命题”，又131********x x x x ⎛⎫+-=+-≥- ⎪⎝⎭，则12m <-,所以“12m ≤-”是“0x ∀>，使得13222x m x +->是真命题”的必要不充分条件，故选B. 9.已知P 为抛物线24y x =上一个动点,P 到其准线的距离为d ,Q 为圆()()2241x y ++-=上一个动点,d PQ +的最小值是（ ）A. 5B. 4C. 1+1【答案】B 【解析】 【分析】根据题意,将P 到其准线的最小距离为d PQ +转为圆心C 到焦点F 的距离减圆的半径,即()mind PQ FC CQ +=-.【详解】解:由抛物线定义知:点P 到准线的距离等于P 到焦点F 的距离, 如图所示,连结圆心C 与F ,交圆于Q . FC 交抛物线的点即为使d PQ +的最小时P 的位置;∴()min1d PQ PF PC +=+-∵()2,4C -,()1,0F ,∴FC =5=,1CQ =,∴()min514d PQ +=-=.故选:B .,【点睛】本题考查抛物线的焦半径,抛物线上的点P 到准线的距离等于P 到焦点F 的距离.10.已知方程22121x y m m -=++,下列说法正确的是（ ）A. 当21m -<<-时,此方程表示椭圆B. 此方程不可能表示圆C. 若此方程表示双曲线,则2m <-D. 当2m <-时,此方程表示双曲线【答案】D 【解析】 【分析】本题考查椭圆的定义与性质,根据椭圆的性质逐一判断即可.【详解】解:①若该方程表示是椭圆,则()201021m m m m ⎧+>⎪+<⎨⎪+≠-+⎩∴332,,122m ⎛⎫⎛⎫∈---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U 故A 不正确; ②若该方程表示是圆,则()21m m +=-+,∴32m =-,故B 不正确; ③若该方程表示是双曲线,则()()210m m +⋅+>,∴1m >-或2m <-,故C 错D 正确. 故选:D .【点睛】本题考查椭圆、双曲线、圆的定义与性质,属于基础题.11.已知双曲线的一个焦点与抛物线2y =的焦点重合，且与直线1y x =-交于,M N 两点，若MN 中点的横坐标为23-，则此双曲线的标准方程是 A. 22134x y -= B. 22143x y -= C. 22125x y -=D. 22152x y -=【答案】C 【解析】 【分析】先求出双曲线的方程，然后与直线方程联立方程组，经消元得二元一次方程，再根据韦达定理及MN 中点的横坐标可得a 、b 的一个方程，又双曲线中有222c a b =+，则另得a 、b 的一个方程，最后解a 、b 的方程组即得双曲线方程．【详解】设双曲线方程为22221x y a b-=．将1y x =-代入22221x y a b -=，整理得2222222()20b a x a x a a b -+--=．由韦达定理得212222a x x a b +=-，则21222223x x a a b +==--．又抛物线2y =的焦点)，所以2227c a b =+=，解得22a =，25b =，所以双曲线的方程是22125x y -=．故选C ．【点睛】本题主要考查代数方法解决几何问题，同时考查双曲线的标准方程与性质等．12.已知点()2,0A -,()0,0O ,若直线()1y k x =-上至少存在三个点P ,使得AOP ∆是直角三角形,则实数k 的取值范围是（ ）A. 11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B. 11,,22⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭C. ,23⎡-⎢⎣⎦D. ,00,33⎡⎫⎛-⎪ ⎢⎪ ⎣⎭⎝⎦U 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可从三方面分类讨论:①直线与y 轴有交点1P ,1AOP ∆为直角三角形;②过点A 作2AP x ⊥轴,且与l 相交于2P 点,2AOP △为直角三角形;③直线l 与以AO 为直径的圆有交点,则圆心()1,0-,半径1r =,由直径所对的圆周角是直角,知直线和以AO 为直径的圆有公共点.则圆心到直线的距离公式小于半径,即可解得. 【详解】若直线()1y k x =-上至少存在三个点P ,使得AOP ∆是直角三角形,则0k ≠,有以下三种情况:①该直线与y 轴有交点1P ,则1AOP ∆为直角三角形;②过点A 作2AP x ⊥轴,且与l 相交于2P 点,则2AOP △为直角三角形; ③直线l 与以AO 为直径的圆有交点,则圆心()1,0-,半径1r =, 由直径所对的圆周角是直角,知直线和以AO 为直径的圆有公共点. 则圆心到直线的距离公式小于半径,1,解得k ≤≤,又因为0k ≠,则k ⎡⎫⎛∈⎪ ⎢⎪ ⎣⎭⎝⎦U . 故选:D【点睛】本题考查直线与圆的位置关系,考查分类讨论的思想方法,是中档题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.双曲线22440x y -+=上一点P 到它的一个焦点的距离等于3,那么点P 到另一个焦点的距离等于__________． 【答案】1或5 【解析】 【分析】先将双曲线化简成标准形式2214y x -=,得出1a =,设点P 到另一个焦点的距离为2PF ,则根据双曲线的定义2322PF a -==,20PF >,即可解得2PF 得值.【详解】解:因为双曲线22440x y -+=,化简成标准形式2214y x -=,得出21a =,即1a =,设点P 到另一个焦点的距离为2PF ,则根据双曲线的定义2322PF a -==,20PF > ∴21PF =或25PF =. 故答案为:1或5【点睛】本题考查双曲线的定义122PF PF a -=,根据定义解方程即可得出答案. 14.求过点()2,3P ，并且在两轴上的截距相等的直线方程_____． 【答案】320x y -=或50x y +-= 【解析】 【分析】当直线经过原点时，直线的方程可直接求出；当直线不经过原点时，设直线的截距式为x y a +=，把点P 的坐标代入即可得出．【详解】当直线经过原点时，设直线的方程为y kx =，将点P 的坐标代入得23k =，解得32k =，此时，直线的方程为32y x =，即320x y -=； 当直线不经过原点时，设直线的截距式方程为x y a +=，把点P 的坐标代入得235a =+=，此时，直线的方程为50x y +-=.综上所述，所求直线的方程为320x y -=或50x y +-=. 故答案为：320x y -=或50x y +-=.【点睛】本题考查了直线的截距式方程、分类讨论的思想方法，属于基础题．15.水痘是一种传染性很强的病毒性疾病，容易在春天爆发，武汉疾控中心为了调查某高校高一年级学生注射水痘疫苗的人数，在高一年级随机抽取了5个班级，每个班级的人数互不相同，若把每个班抽取的人数作为样本数据，已知样本平均数为5，样本方差为4，则样本数据中最大值为__________． 【答案】8 【解析】 【分析】先设五个班的人数分别为1a ,2a ,3a ,4a ,5a ,样本平均数为5,1234525a a a a a ++++=,又因样本方差为4,则()()()()()22222123455555520a a a a a -+-+-+-+-=,代入大于0且不相等的整数,可得1a ,2a ,3a ,4a ,5a 的值依次为2,4,5,6,8,即可得最大值.【详解】解:设五个班的人数分别为1a ,2a ,3a ,4a ,5a , 则()12345155a a a a a ++++=, 15()()()()()2222212345555554a a a a a ⎡⎤-+-+-+-+-=⎣⎦, 则1234525a a a a a ++++=,()()()()()22222123455555520a a a a a -+-+-+-+-=,所以1a ,2a ,3a ,4a ,5a 的值依次为2,4,5,6,8, 即有最大值为8. 故答案为: 8【点睛】本题考查利用平均数公式和方差公式求样本数据中的最大值,是基础题.合理应用公式是关键. 16.点E 、F 、G 分别是正方体1111ABCD A B C D -的棱AB ,BC ,11B C 的中点,则下列命题中的真命题是__________（写出所有真命题的序号）.①以正方体的顶点为顶点的三棱锥的四个面中最多可以四个面都是直角三角形; ②点P 在直线FG 上运动时,总有AP DE ⊥;③点Q 在直线11B C 上运动时,三棱锥1A D QC -的体积是定值;④若M 是正方体的面1111D C B A ,（含边界）内一动点,且点M 到点D 和1C 的距离相等,则点M 的轨迹是一条线段. 【答案】①②④ 【解析】 【分析】根据题意画出正方体1111ABCD A B C D -.根据图像可知1B ABD -四个面都是直角三角形,①对;根据图象易证DE ⊥面11AAC F ,所以不论点P 在直线FG 上如何运动,总有AP DE ⊥,②对;根据等体积关系有11A D QC Q AD C V V --=,面1AD C 不变,但高在变,所以三棱锥1A D QC -的体积不是定值,③错;④以11D C 为x 轴,以11D A 为y 轴建平面直角坐标系,设(),M x y ,棱长为1.根据距离公式可得DM =1D C =1DM D C =, M 的轨迹是线段11A D .④对.【详解】解:画出正方体1111ABCD A B C D -.①四面体及1B ABD -四个面都是直角三角形,①对;②在平面ABCD 中有DE AF ⊥,又正方体中1DE AA ⊥,从而可以得到DE ⊥面11AAC F ,所以不论点P 在直线FG 上如何运动,总有AP DE ⊥,②对;③因为11A D QC Q AD C V V --=,面1AD C 不变,底面面积不变,点Q 在直线11B C 上运动时,点Q 到平面1AD C 的距离在变,即高在变,所以三棱锥1A D QC -的体积不是定值,③错;④以11D C 为x 轴,以11D A 为y 轴在平面1111D C B A 所在平面建平面直角坐标系,设(),M x y ,棱长为1.则DM ==,1D C ==因为1DM D C =,所以0x =,即M 的轨迹是线段11A D .④对.故答案为: ①②④【点睛】本题考查空间线面位置关系的判断,考查椎体体积等基础知识,考查空间想象力、推理论证能力.三、解答题：本大题共6小题，共70分.17.求适合下列条件的椭圆标准方程：（1）经过点()30A -,,()0,2B -；（2）长轴长等于20,焦距等于12.【答案】（1）22194x y +=；（2）22110064x y +=或22110064y x += 【解析】 【分析】（1）设椭圆方程,根据椭圆经过点()30A -,,()0,2B -,得出32a b =⎧⎨=⎩,代入方程即可. （2）椭圆的长轴长等于20,焦距等于12,，220212a c =⎧⎨=⎩,则可得1068a cb =⎧⎪=⎨⎪=⎩,根据焦点所在的轴代入对应的标准方程即可.【详解】解:（1）设椭圆方程为:22221x y a b+=,因为椭圆经过点()30A -,,()0,2B -, ()30A -,,()0,2B -分别为左顶点和下顶点, 所以得32a b =⎧⎨=⎩,所以椭圆标准方程为22194x y +=.（2）椭圆的长轴长等于20,焦距等于12依题意:220212a c =⎧⎨=⎩,所以1068a cb =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆标准方程为:22110064x y +=或22110064y x +=. 【点睛】本题考查椭圆标准方程的求法,需要注意焦点所在的轴的情况,是基础题.18.随着人们经济收入的不断增加,个人购买家庭轿车已不再是一种时尚,车的使用费用,尤其是随着使用年限的增多,所支出的费用到底会增长多少,一直是购车一族非常关心的问题,某汽车销售公司做了一次抽样调查,并统计得出2009年出售的某款车的使用年限x （2009年记1x =）与所支出的总费用y （万元）有如表的数据资料:（1）求线性回归方程y bx a =+$$$;（2）若这款车一直使用到2020年,估计使用该款车的总费用是多少元？ 线性回归方程y bx a =+$$$中斜率和截距用最小二乘法估计计算公式如下:()()()121nii i nii xx y ybxx==--=-∑∑$1221i niii ni x y nx yx nx==⋅-⋅=-∑∑,$ay bx =-$ 【答案】（1）$1.20.2y x =+；（2）14.6万元 【解析】 【分析】（1）由表计算求出4x =,5y =,51112i i i x y =⋅=∑,52190ii x ==∑,代入51522155iii ii x y x ybxx$==⋅-⋅=-∑∑,再根据$ay bx =-$,求出$a ,代入回归方程即可. （2）将12x =时,代入（1）得回归方程,即可估计出这款车一直使用到2020年时的总费用. 【详解】解:（1）由表可得()12345645x =++++=, ()12.53.5 5.5 6.57.055y =++++=, 512 2.53 3.54 5.55 6.567.0112iii x y=⋅=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑,522222212345690ii x==++++=∑,所以51522151125451.2905165iii i i x y x ybx x==⋅-⋅-⨯⨯===-⨯-∑∑$,$5 1.240.2ay bx =-=-⨯=$, 所求线性回归方程为:$1.20.2y x =+ （2）当12x =时,$1.2120.214.6y =⨯+=,即当这款车一直使用到2020年时,车的总费用大概为14.6万元.【点睛】本题考查求线性回归方程,以及利用回归方程预测数据,熟记公式是解题的关键.19.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，60DAB ∠=︒，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD CD =，点E 为PC 的中点，作EF PC ⊥，交PB 于点F .（1）求证：PA P 平面BDE ； （2）求证：PC DF ⊥；（3）求二面角B PC D --的余弦值. 【答案】（1）见解析（2）见解析 （3）7【解析】 【分析】（1）连接AC 交BD 于O ,连接EO ,，，中位线定理证明EO PA P ,即可证得PA P 平面BDE . （2）先证PC ⊥平面EFD .又∵DF ⊂平面EFD ,则PC DF ⊥.（3）建立空间直角坐标系,列出各点的坐标表示,求出平面PBC 的法向量为(),,n x y z =r,又因DH ⊥平面PCD ,所以DH u u u u r为平面PCD 的一条法向量,利用余弦公式求解即可得出二面角B PC D --的余弦值.【详解】解:（1）证明:连接AC 交BD 于O ,连接EO . 因为E ,O 分别为PC ,AC 的中点,所以EO 为PCA ∆的中位线 ∴EO PA P ,又EO ⊂平面BDE ,PA ⊄平面BDE ,∴PA P 平面BDE （2）在PBC ∆中,PD CD =,点E 为PC 的中点,∴,,EF PCEF DE E PC DE DE EF EFD ⊥⎧⎪⋂=⎪⎩⊂⎨⊥平面,则PC ⊥平面EFD . 又∵DF ⊂平面EFD ,则PC DF ⊥. （3）取AB 中点H ,连接DH .依题意可得ABD ∆为等边三角形,∴DH AB ⊥,DH CD ⊥ 又因为PD ⊥底面ABCD ,DH ,CD ⊂平面ABCD 则DH PD ⊥,CD PD ⊥建立以D 为坐标原点,如图所示坐标系,则有:()0,0,0D ,()2,0,0A,)H,)B,()0,2,0C ,()0,0,2P ,()0,1,1E()0,2,2PC =-u u u r,)BC =u u u r ,设平面PBC 的法向量为(),,n x y z =r,则2200y z y -=⎧⎪⎨+=⎪⎩1x y z =⎧⎪⇒=⎨⎪=⎩,∴(n =r ∵DH ⊥平面PCD ,所以DH u u u u r为平面PCD 的一条法向量,且)DH =u u u u r∴cos 7n DH n DHθ⋅===r u u u u r r u u u u r【点睛】本题考查直线与平面平行判定定理的应用,直线与平面垂直的判定定理的应用,求二面角的余弦值,熟练掌握定理是证明的关键.20.2019年12月,全国各中小学全体学生都参与了《禁毒知识》的答题竞赛,现从某校高一年级参加考试的学生中抽出60名学生,将其成绩（单位:分）整理后,得到如下频率分布直方图（其中分组区间为[)40,50,[)50,60,…[]90,100）.（1）求成绩在[)70,80的频率,并补全此频率分布直方图; （2）求这次考试成绩的中位数的估计值;（3）若从抽出的成绩在[)40,50和[]90,100的学生中任选两人,求他们的成绩在同一分组区间的概率. 【答案】（1）0.25；频率分布直方图见解析（2）74；（3）0.4P =. 【解析】 【分析】（1）根据频率之和等于1公式即可求出成绩在[)70,80的频率.（2）先求前三组的频率之和为0.4,前四组的频率之和为0.65,则中位数落在第四组,设中位数为70x +,根据公式0.050.150.20.0250.5x +++⋅=即可求出中位数.（3）先算出成绩在[)40,50和成绩在[)90,100的人数,分别设为a ,b ,c 和A ,B ,C ,再列举从中任选两人的结果和成绩在同一分组区间的结果,最后求概率即可.【详解】解:（1）第四小组的频率()10.0050.0150.0200.0300.005100.25=-++++⨯=.（2）第一组[)40,50的频率0.05=, 第二组[)50,60频率0.15=,第三组[)60,70的频率0.2=,第四组[)70,80的频率0.25=前三组的频率之和为0.4,前四组的频率之和为0.65, 所以中位数落在第四组,设中位数为70x +,则有:0.050.150.20.0250.5x +++⋅=,∴4x =, 所以这次考试成绩的中位数的估计值为74.（3）由题意可知,成绩在[)40,50的人数为600.053⋅=,记他们分别为a ,b ,c ,成绩在[)90,100的人数为600.053⋅=, 记他们分别为A ,B ,C ,则从成绩在[)40,50和[)90,100的学生中任选两人的结果分别是:(),A B ,(),A C ,(),A a ,(),A b ,(),A c ,(),B C ,(),B a ,(),B b , (),B c ,(),C a ,(),C b ,(),C c ,(),a c ,(),b c ,(),a b 共15种,事件他们的成绩在同一分组区间的结果是:(),A B ,(),A C ,(),B C ,(),a c ,(),b c ,(),a b ,共6种,所以所求事件的概率为60.415P ==. 【点睛】(1)在频率分布直方图中,小矩形的高表示频率/组距,而不是频率.(2) 二是利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时，应注意三点：①最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；②中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；③平均数是频率分布直方图的"重心"，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.21.如图所示,直角梯形ABCD 中,AD BC ∥,AD AB ⊥,22AE AB BC AD ====,四边形EDCF 为矩形,CF =的（1）求证:平面ECF ⊥平面ABCD ;（2）在线段DF 上是否存在点P ,使得直线BP 与平面ABE,若存在,求出线段BP 的长,若不存在,请说明理由.【答案】（1）见解析；（2【解析】 【分析】（1）先证CF ⊥面ABCD ,又因为CF ⊂面BCF ,所以平面ECF ⊥平面ABCD .（2）根据题意建立空间直角坐标系. 列出各点的坐标表示,设DP DF u u u r u u u rλ=,则可得出向量()1,2BP λλ=---u u u r ,求出平面ABE 的法向量为(),,n x y z =r ,利用直线与平面所成角的正弦公式sin cos ,BP n BP n BP nu u u r ru u u r r u u u r r θ⋅==⨯列方程求出0λ=或34λ=,从而求出线段BP 的长. 【详解】解:（1）证明:因为四边形EDCF 为矩形,∴DE CF ==∵222AD DE AE +=∴DE AD ⊥ ∴DE CD ⊥∴DE ⊥面ABCD ∴CF ⊥面ABCD 又∵CF ⊂面BCF ∴平面ECF ⊥平面ABCD（2）取D 为原点,DA 所在直线为x 轴,DE 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系. 如图所示:则()1,0,0A ,()1,2,0B ,()1,2,0C -,(E,(F -,设(DP DF λλ==-u u u r u u ur(),2λλ=-,[]0,1λ∈;∴(),2P λλ-,()1,2BP λλ=---u u u r,设平面ABE 的法向量为(),,n x y z =r,∴2020x y y ⎧--+=⎪⎨=⎪⎩,不防设)n =r .∴sin cos ,BP n θ==u u u r r BP nBP n⋅=⨯u u u r ru u u r r10=, 化简得2860λλ-=,解得0λ=或34λ=; 当0λ=时,()1,2,0BP =--u u u r,∴BP =u u u r 当34λ=时,71,,424BP ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ,∴BP =u u u r 综上存在这样的P 点,线段BP【点睛】本题考查平面与平面垂直的判定定理的应用,考查利用线面所成角求参数问题,是几何综合题,考查空间想象力以及计算能力.22.设点A ,B 的坐标分别为()1,0-,()1,0,直线AP ,BP 相交于点P ,且它们的斜率之积为-2,设点P 的轨迹是曲线E .（1）求曲线E 的方程;（2）已知直线:l y x m =+与曲线E 相交于不同两点M 、N （均不在坐标轴上的点）,设曲线E 与y 轴的正半轴交于点C ,若CH MN ⊥,垂足为H且2CH MH HN =⋅u u u r u u u u r u u u r,求证：直线l 恒过定点.【答案】（1）()22112y x x +=≠±（2）见解析【解析】 【分析】（1）建立平面直角坐标系,设(),P x y ,根据直线AP ,BP 的斜率之积为-2,列方程,整理即可得出曲线E 的轨迹方程.（2）联立直线与曲线方程得()2222220kxkmx m +++-=,根据有两个不相同的交点,有根的判别式>0∆得222k m +>①,再利用韦达定理得12222km x x k -+=+,212222m x x k -=+. 根据2CH MH HN =⋅u u u r u u u u r u u u r列等式方程,整理即可求出3m =或m =,分别与讨论得出直线l恒过定点0,3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. 【详解】解:（1）建立平面直角坐标系,设(),P x y , 因为直线AP ,BP 的斜率之积为-2 所以211PA PB y yk k x x ⋅=⋅=-+-, 整理得曲线E 的方程为:()22112y x x +=≠±（2）由题意:联立2212y kx m y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得,()2222220kxkmx m +++-=由()()()22224220km km∆=-⨯+->得222k m +>①设()11,M x y ,()22,N x y ,则12222km x x k -+=+,212222m x x k-=+. CM CN ⋅=u u u u r u u u r ()()CH HM CH HN ++u u u r u u u u r u u u r u u u r 2CH CH HN CH HM HM HN =+⋅+⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u r0=,所以(12120x x y y+-=即()()2121k x x km ++()21220x x m ++-+=,2320m -+=,所以3m =或m =均适合①.当m =,直线l 过点⎛ ⎝⎭,当m =时,直线l 过点C ,舍.所以直线l 恒过定点0,3⎛ ⎝⎭.【点睛】本题考查轨迹方程的求解,考查圆锥曲线的定点定值问题,是比较综合的类型题.。

湖北省武汉市三校联合体2019-2020学年高一物理下学期期中试题（含解析）一、选择题（本题共12小题，每小题4分，共48分。

在每小题给出的四个选项中，第1～8题只有一项符合题目要求，第9～12题有多项符合题目要求。

全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分。

）1.关于万有引力，下列说法正确的是( )A. 万有引力只有在天体与天体之间才能明显表现出来B. 一个苹果由于其质量很小，所以它受的万有引力几乎可以忽略C. 地球对人造卫星的万有引力远大于卫星对地球的万有引力D. 地球表面的大气层是因为万有引力的约束而存在于地球表面附近 【答案】D 【解析】【详解】自然界中任何两个物体间都有相同的引力作用，故A 错；苹果质量虽小，但由于地球质量很大，故引力不可忽略，B 错；物体间的万有引力是相互的，由牛顿第三定律知应等大，故C 错．地球表面的大气层是因为万有引力的约束而存在于地球表面附近，D 选项正确． 2.两个分别带有电荷量Q -和+3Q 的相同金属小球（均可视为点电荷），固定在相距为r 的两处，它们间库仑力的大小为F ．两小球相互接触后将其固定距离变为2r，则两球间库仑力的大小为 A.112F B.34F C.43F D. 12F【答案】C 【解析】【详解】本题考查库仑定律及带电体电量的转移问题．接触前两个点电荷之间的库仑力大小为23Q QF kr⋅=，两个相同的金属球各自带电，接触后再分开，其所带电量先中和后均分，所以两球分开后各自带点为+Q ，距离又变为原来的12，库仑力为224432Q Q Q Q F kkF r r ⋅⋅===⎛⎫ ⎪'⎝⎭，所以两球间库仑力的大小为43F ，C 项正确．3.如图所示，两个不带电的导体A和B，用一对绝缘柱支持使它们彼此接触．把一带正电荷的物体C置于A附近，贴在A、B下部的金属箔都张开A. 此时A带正电，B带负电B. 此时A、B带负电C. 移去C，贴在A、B下部的金属箔都闭合D. 先把A和B分开，然后移去C，贴在A、B下部的金属箔都闭合【答案】C【解析】【详解】带正电的物体C靠近A附近时，由于静电感应，A端带上负电，B端带上正电，故AB 错误；移去C后，由于电荷间相互作用，重新中和，达电中性状态，两金属箔均闭合，故C 正确；先把AB分开，则A带负电，B带正电，移去C后，电荷不能再进行中和，故两金属箔仍然张开，故D错误．4.如图所示，ACB是一个半径为R的半圆柱面的横截面，直径AB水平，C为截面上的最低点，AC间有一斜面，从A点以大小不同的初速度v1、v2沿AB方向水平抛出两个小球，a和b，分别落在斜面AC和圆弧面CB上，不计空气阻力，下列判断正确的是（）A. 初速度v1可能大于v2B. a球的飞行时间可能比b球长C. 若v2大小合适，可使b球垂直撞击到圆弧面CB上D. a球接触斜面前的瞬间，速度与水平方向的夹角为45°【答案】B【解析】【详解】A、两个小球都做平抛运动，水平方向做匀速直线运动，由x=v0t得知t相同时，水平位移越大，对应的初速度越大，则知初速度v1一定小于v2．故A错误.B、竖直方向上做自由落体运动，由212h gt=，得2htg=，若a球下落的高度大于b球的高度，则a球的飞行时间比b球长;故B正确.C、根据平抛运动的推论：平抛运动瞬时速度的反向延长线交水平位移的中点，作出b球垂直撞击到圆弧面CB上速度的反向延长线，与AB的交点一定在O点的左侧，速度的反向延长线不可能通过O点，所以b球不可能与CB面垂直，即b球不可能垂直撞击到圆弧面CB上，故C 错误.D、由几何知识得知AC面的倾角为45°，运用与C项同样的分析方法：作出a球接触斜面前的瞬间速度反向延长线，可知此瞬时速度与水平方向的夹角大于45°．故D错误.故选B.5.如图所示，汽车在炎热的夏天沿不平的曲面行驶，其中最容易发生爆胎的点是（假定汽车运动速率a cv v=，b dv v=）（）A. a点B. b点C. c点D. d点【答案】D【解析】【详解】在坡顶有2Nvmg F mr-=得2N v F mg m mg r=-<在坡谷有2N v F mg m r-=得2N v F mg m mg r=+>由于在a 、c 两点有N F mg <在b 、d 两点有N F mg >则在b 、d 两点比a 、c 两点容易发生爆胎，而d 点所在曲线半径比b 点小，则d 点最容易发生爆胎，故D 正确，ABC 错误。

高一下期中生物试题
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
B C A B C D C C A B
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
B D
C B C
D D A C C
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
C D D B C D C D B B
答案
一、选择题：(共30题，1-10题每题1分，11-30题每题2分，共50分）
二、简答题（本题共4小题，共50分）。

31.（每空1分，共8分）
（1）紫②③
（2）①Bb×bb②BB×bb③Bb×Bb
(3) ①③
(4) 50%（或答1/2）
32.（每空1分，共10分）
(1) 有丝染色体
(2)e b（顺序不能变）
(3) a、d、e (4) 0 4
(5) DNA分子复制（或染色体复制）着丝点分裂（顺序不能变）
(6) bc
33.（每空2分，共16分）
(1)磷酸（或磷酸基团）脱氧核糖
(2)腺嘌呤
(3) 解旋酶和DNA聚合酶脱氧核苷酸
(4)半保留复制
(5) 100% 1/8(12.5%)
34.（每空2分，共16分）
形成配子时，每对遗传因子彼此分离，不同对的遗传因子自由组（1）F
1
合同源染色体上
（2）基因和染色体行为存在着明显的平行关系一个DNA上有许多基因（3）控制眼色（或白眼）性状的基因位于X染色体上，Y染色体上没有它的等位基因基因在染色体上成线性排列
（4）4 （5）非同源染色体上的非等位基因自由组合
11。

2019-2020学年武汉市三校联合体2019级高一下学期期中考试数学试卷★祝考试顺利★一、选择题（共12小题）1．已知a→=（x，3），b→=（3，1），且a→∥b→，则x＝（）A．9 B．﹣9 C．1 D．﹣12．若|a→|=4，|b→|=2，a→和b→的夹角为30°，则a→在b→方向上的投影为（）A．2 B．√3C．2√3D．43．在△ABC中，a＝3，b＝5，sin A=13，则sin B＝（）A．15B．59C．√53D．14．在各项都为正数的等比数列{a n}中，首项a1＝3，前三项和为21，则a3+a4+a5＝（）A．33 B．72 C．84 D．1895．在△ABC中，∠A＝90°，AB→=(2−k，2)，AC→=(2，3)，则k的值是（）A．5 B．﹣5 C．32D．−326．△ABC的三内角A，B，C所对边长分别是a，b，c，若sinB−sinAsinC =√3a+ca+b，则角B的大小为（）A．π6B．5π6C．π3D．2π37．下列命题正确的是（）A ．若a →⋅b →=b →⋅c →，则a →=c →B ．|a →+b →|=|a →−b →|，则a →⋅b →=0C ．若a →与b →是共线向量，b →与c →是共线向量，则a →与c →是共线向量D ．若a →0与b →0是单位向量，则a →0⋅b →0=1 8．如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点，OP →=x OA →+y OB →，且BP →=3PA →，则（ ）A ．x =23，y =13B ．x =13，y =23C ．x =14，y =34D ．x =34，y =149．已知△ABC 中，a =√5，A =π3，b +c =√2bc ，则△ABC 的面积为（ ） A ．58B ．√34C ．√3D ．5√3810．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈（1匹＝40尺，一丈＝10尺），问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织5尺，一月织了九匹三丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按30天算，则每天增加量为（ ）。

湖北省武汉市三校联合体2019-2020学年高一下学期期中考试试题一、选择题（本题共12小题，每小题4分，共48分。

在每小题给出的四个选项中，第1～8题只有一项符合题目要求，第9～12题有多项符合题目要求。

全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分。

） 1.关于万有引力，下列说法正确的是( )A. 万有引力只有在天体与天体之间才能明显表现出来B. 一个苹果由于其质量很小，所以它受的万有引力几乎可以忽略C. 地球对人造卫星的万有引力远大于卫星对地球的万有引力D. 地球表面的大气层是因为万有引力的约束而存在于地球表面附近『答案』D 『解析』【详解】自然界中任何两个物体间都有相同的引力作用，故A 错；苹果质量虽小，但由于地球质量很大，故引力不可忽略，B 错；物体间的万有引力是相互的，由牛顿第三定律知应等大，故C 错．地球表面的大气层是因为万有引力的约束而存在于地球表面附近，D 选项正确．2.两个分别带有电荷量Q -和+3Q 的相同金属小球（均可视为点电荷），固定在相距为r 的两处，它们间库仑力的大小为F ．两小球相互接触后将其固定距离变为2r，则两球间库仑力的大小为 A.112F B.34F C.43F D. 12F『答案』C 『解析』【详解】本题考查库仑定律及带电体电量的转移问题．接触前两个点电荷之间的库仑力大小为23Q QF kr ⋅=，两个相同的金属球各自带电，接触后再分开，其所带电量先中和后均分，所以两球分开后各自带点为+Q ，距离又变为原来的12，库仑力为224432Q Q Q Q F kkF r r ⋅⋅===⎛⎫ ⎪'⎝⎭，所以两球间库仑力的大小为43F ，C 项正确．3.如图所示，两个不带电的导体A 和B ，用一对绝缘柱支持使它们彼此接触．把一带正电荷的物体C 置于A 附近，贴在A 、B 下部的金属箔都张开A. 此时A 带正电，B 带负电B. 此时A 、B 带负电C. 移去C ，贴在A 、B 下部的金属箔都闭合D. 先把A 和B 分开，然后移去C ，贴在A 、B 下部的金属箔都闭合『答案』C 『解析』【详解】带正电的物体C 靠近A 附近时，由于静电感应，A 端带上负电，B 端带上正电，故AB 错误；移去C 后，由于电荷间相互作用，重新中和，达电中性状态，两金属箔均闭合，故C 正确；先把AB 分开，则A 带负电，B 带正电，移去C 后，电荷不能再进行中和，故两金属箔仍然张开，故D 错误．4.如图所示，ACB 是一个半径为R 的半圆柱面的横截面，直径AB 水平，C 为截面上的最低点，AC 间有一斜面，从A 点以大小不同的初速度v 1、v 2沿AB 方向水平抛出两个小球，a 和b ，分别落在斜面AC 和圆弧面CB 上，不计空气阻力，下列判断正确的是（ ）A. 初速度v 1可能大于v 2B. a 球的飞行时间可能比b 球长C. 若v 2大小合适，可使b 球垂直撞击到圆弧面CB 上D. a 球接触斜面前的瞬间，速度与水平方向的夹角为45°『答案』B『解析』【详解】A 、两个小球都做平抛运动，水平方向做匀速直线运动，由x =v 0t 得知t 相同时，水平位移越大，对应的初速度越大，则知初速度v 1一定小于v 2．故A 错误. B 、竖直方向上做自由落体运动，由212h gt =，得2h t g =，若a 球下落的高度大于b 球的高度，则a 球的飞行时间比b 球长;故B 正确.C 、根据平抛运动的推论：平抛运动瞬时速度的反向延长线交水平位移的中点，作出b 球垂直撞击到圆弧面CB 上速度的反向延长线，与AB 的交点一定在O 点的左侧，速度的反向延长线不可能通过O 点，所以b 球不可能与CB 面垂直，即b 球不可能垂直撞击到圆弧面CB 上，故C 错误.D 、由几何知识得知AC 面的倾角为45°，运用与C 项同样的分析方法：作出a 球接触斜面前的瞬间速度反向延长线，可知此瞬时速度与水平方向的夹角大于45°．故D 错误. 故选B.5.如图所示，汽车在炎热的夏天沿不平的曲面行驶，其中最容易发生爆胎的点是（假定汽车运动速率a c v v =，b d v v =）（ ）A. a 点B. b 点C. c 点D. d 点『答案』D 『解析』【详解】在坡顶有2N v mg F m r -=，得2N v F mg m mg r =-<，在坡谷有2N v F mg m r-=，得2NvF mg m mgr=+>，由于在a、c两点有N F mg<，在b、d两点有NF mg>，则在b、d两点比a、c两点容易发生爆胎，而d点所在曲线半径比b点小，则d点最容易发生爆胎，故D正确，ABC错误。

2019-2020学年武汉十五中等三校联考高一下学期期中数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 已知a >b ，则下列不等式成立的是( )A. a 2>b 2B. a 3>b 3C. 1a <1bD. ac 2>bc 22. 在中，，则等于( )A.B.C.D.3. 已知△ABC ，角A 、B 、C 所对应的边分别为a ，b ，c ，且sinA +sinB =cosA +cosB ，则△ABC 是( )A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰或直角三角形4. 已知向量a ⃗ =(2,1)，b ⃗ =(1,3)，则b ⃗ −a ⃗ =( )A. (−2,1)B. (2,−1)C. (−1,2)D. (1,2)5. 在△ABC 中，∠A =30°，AB =√3，BC =1，则cos C 等于( )A. 12B. √32C. 12或−12D. √32或−√326. 已知△ABC 中，tanA +tanB +√3=√3tanAtanB 且，sinBcosB =√34，则△ABC 是( )A. 正三角形B. 直角三角形C. 正三角形或直角三角形D. 直角三角形或等腰三角形7. 正项等比数列{a n }满足a 7=a 6+2a 5，若存在两项a m ，a n 使得√a m a n =2a 1，则1m +9n 的最小值是( )A. 1B. 2C. 3D. 48. 已知P 是△ABC 内的一点(不含边界)，且AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =2√3，∠BAC =30°，若△PBC ，△PAB ，△PCA 的面积分别为x ，y ，z ，记ℎ(x,y ，z)=1x +4y +9z ，则ℎ(x,y ，z)的最小值为( )A. 26B. 32C. 36D. 489. 在△ABC 中，若(b −bcosB)sinA =a(sinB −sinCcosC)，则这个三角形是( )．A. 等腰直角三角形B. 底角不等于45°的等腰三角形C. 等腰三角形或直角三角形D. 锐角不等于45°的直角三角形10. 若M 为△ABC 的边AB 上一点，且AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =3AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则CB⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 3CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −2CA⃗⃗⃗⃗⃗ B. 3CA ⃗⃗⃗⃗⃗ −2CM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C. 3CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2CA⃗⃗⃗⃗⃗ D. 3CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗11. 如图所示，在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，F 为CE 的中点，则A. B.C.D.12. 若函数f(x)=2e x −ax 2+(a −2e)x 有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是( )A. (e,+∞)B. (0,e)C. [1,e)D. (0,+∞)二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 若不等式a 2+10b 2+c 2≥tb(a +3c)对一切正实数a ，b ，c 恒成立，则实数t 的取值范围是______． 14. 已知x >−3，则x +8x+3的最小值为______ ．15. 已知向量a ⃗ =(cos36°,sin36°)，b ⃗ =(cos24°,sin(−24°))，则a ⃗ ⋅b ⃗ = ______ ．16. 设平面向量a ⃗ =(1,1)，b ⃗ =(sinx,√cos 2x −34)，则a ⃗ ⋅b ⃗ 的取值范围是______ ．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知向量a⃗ =(cosωx −sinωx,sinωx)，向量b ⃗ =(−cosωx −sinωx,2√3cosωx)，设函数f(x)=a ⃗ ⋅b ⃗ ，(x ∈R)的图象关于直线x =π对称，其中ω为常数，且ω∈[12,1]．(1)求函数f(x)的最小正周期； (2)求函数f(x)在区间[0,3π5]上的取值范围．18.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(a+b+c)(a−b+c)=3ac．(I)求B(Ⅱ)若f(x)=√3−sinωx−2√3sin2ωx的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π，求2f(A)的值域．19.如图所示的是自动通风设施．该设施的下部ABCD是等腰梯形，其中AB=1米，高0.5米，CD=2米．上部CmD是个半圆，固定点E为CD的中点．△EMN是由电脑控制其形状变化的三角通风窗(阴影部分均不通风)，MN是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和CD平行的伸缩横杆．(1)设MN与AB之间的距离为x米，试将三角通风窗△EMN的通风面积S(平方米)表示成关于x的函数S=f(x)；(2)当MN与AB之间的距离为多少米时，三角通风窗△EMN的通风面积最大？求出这个最大面积．20.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知acosB−bsinB=c，且cosA=−1．3 (Ⅰ)求sin B；(Ⅱ)若c=7，求△ABC的面积．21.在平面直角坐标系xOy中，曲线y=x2−6x+1与坐标轴的交点都在圆C上．(1)求圆C的方程；(2)若圆C与直线x−y+a=0交于A，B两点且CA⊥CB，求a的值．22.如图某河段的两岸可视为平行，为了测量该河段的宽度，在河段的一岸边选取两点A、B，观察对岸的点C，测得∠CAB=75°，∠CBA=45°，且AB=100米．(1)求sin75°；(2)求该河段的宽度．【答案与解析】1.答案：B解析：解：当0>a>b时，a2<b2，故A错；a>b，a3>b3成立，故B正确；若a>0>b时，1a >1b，故C错；当c=0时，ac2=bc2，故D错．故选：B．分别根据不等式的性质及特殊值法逐一判断即可得结论．本题主要考查了不等式的基本性质，属于基础题．2.答案：C解析：试题分析：，，，则，因此，，因此，故选C．考点：1.三角形的内角和定理；2.正弦定理3.答案：B解析：解：∵sinA+sinB=cosA+cosB，∴sinA−cosA=cosB−sinB，两边平方得sin2A−2sinAcosA+cos2A=sin2B−2sinBcosB+cos2B，∴1−2sinAcosA=1−2sinBcosB，∴sin2A=sin2B，则2A=2B或2A=π−2B，即A=B或A+B=π2，当A=B时，sinA+sinB=cosA+cosB等价为2sinA=2cosA，∴tanA=1，即A=B=π4，此时C=π2，综上恒有C=π2，∴△ABC直角三角形，故选：B．由条件sinA+sinB=cosA+cosB转化为sinA−cosA=cosB−sinB，然后两边平方即可得到结论．本题主要考查同角的三角关系式的计算，利用平方法得到sin2A=sin2B是解决本题的关键，本题容易选错答案D．4.答案：C解析：本题主要考查平面向量的坐标运算，属于基础题．解：b⃗ −a⃗=(1,3)−(2,1)=(−1,2)，故选C．5.答案：C解析：利用正弦定理求得sin C，进而求得C，则cos C可得．本题主要考查了正弦定理的应用．考查了学生对基础知识的运用．解：由正弦定理知BCsinA =ABsinC，，，或，或−12．故选C6.答案：A解析：解：∵由tanA+tanB+√3=√3tanAtanB，得：tanA+tanB1−tanAtanB=−√3，即tan(A+B)=−√3，∴A +B =120°，C =60°， 又sinBcosB =√34，∴sin2B =√32， 则2B =60°或2B =120°，即B =30°或B =60°， 若B =30°，则A =90°，tan A 不存在，不合题意； 若B =60°，则A =C =60°，△ABC 为正三角形． 故选：A ．利用两角和的正切求得A +B ，再由倍角公式求得B ，则答案可求．本题考查三角形形状的判定，考查了两角和的正切及倍角公式的应用，是基础题．7.答案：D解析：解：∵正项等比数列{a n }满足a 7=a 6+2a 5， ∴q 6=q 5+2q 4， q =2，q =−1(舍去)，∵存在两项a m ，a n 使得√a m a n =2a 1， ∴(a 1)2⋅2m−1⋅2n−1=4(a 1)2， 即m +n =4， ∴1m+9n=14(m +n)(1m+9n)=14(10+9m n+n m)≥14×(10+6)=4，(n =3m 等号成立)故选：D根据数列的性质得出m +n =4，运用基本不等式1m +9n =14(m +n)(1m +9n )=14(10+9m n+nm )≥14×(10+6)=4，(n =3m 等号成立)求解即可．本题考查数列的性质，基本不等式的运用，属于中档题，难度不大．8.答案：C解析：本题主要考查两个向量的数量积的定义，利用基本不等式求最值，涉及三角形的面积公式，属于中档题．由向量的数量积公式求得|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |，结合三角形的面积公式可得，进而x +y +z =1，将乘以(x +y +z)后得到，展开后利用基本不等式即可求出ℎ(x,y ，z)的最小值． 解：∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2√3，∠BAC =30°， ∴|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅cos30°=2√3， ∴|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=4． ．=1+4+9+4x y +y x +9x z +z x +4z y +9yz≥14+2√4x y ×y x +2√9x z ×z x +2√4z y ×9yz=14+4+6+12=36， 当且仅当4xy =y x ,9xz=z x,4zy=9yz，{y =2xz =3x 3y =2z，即x:y:z =1:2:3时，取等号． ∴ℎ(x,y,z)的最小值为36， 故选C ．9.答案：C解析：由正弦定理化简已知等式可得：bcosB =ccosC ，利用余弦定理化简可得b ⋅a 2+c 2−b 22ac=c ⋅a 2+b 2−c 22ab，整理解得：b =c 或a 2=b 2+c 2，即可得解．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，勾股定理的综合应用，考查了分类讨论思想，属于基本知识的考查．解：∵(b −bcosB)sinA =a(sinB −sinCcosC)， ⇒(b −bcosB)a =a(b −ccosC)， ⇒b −bcosB =b −ccosC ， ⇒bcosB =ccosC ， ∵由余弦定理可得：cosB =a 2+c 2−b 22ac，cosC =a 2+b 2−c 22ab，∴b ⋅a 2+c 2−b 22ac=c ⋅a 2+b 2−c 22ab，整理可得：a 2(b 2−c 2)=(b 2+c 2)(b 2−c 2)，∴解得：b =c 或a 2=b 2+c 2，即这个三角形是等腰三角形或直角三角形．故选：C ．10.答案：A解析：解：∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =3AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴CB⃗⃗⃗⃗⃗ −CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =3(CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −CA ⃗⃗⃗⃗⃗ )， ∴CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =3CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −2CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ． 故选：A ．根据AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =3AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 即可得出CB ⃗⃗⃗⃗⃗ −CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =3(CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −CA ⃗⃗⃗⃗⃗ )，然后进行向量的数乘运算求出向量CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 即可． 本题考查了向量减法的几何意义，向量的数乘运算，考查了计算能力，属于基础题．11.答案：D解析：根据题意得：AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AE ⃗⃗⃗⃗⃗ )，又AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=34AB⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 故选D ．12.答案：D解析：本题考查函数零点个数问题的解法，注意运用转化思想和数形结合的思想方法，构造函数和运用导数判断单调性，画出图象是解题的关键，属于难题． 由题意可得f(1)=0，则方程转化为a =2(e x −ex)x 2−x有两个不同的实数根．设g(x)=2(e x −ex)x 2−x，求出导数，判断函数值的符号和对x 讨论，x <0，0<x <1，x >1三种情况，判断单调性，画出图象，即可得到所求a 的范围．解：函数f(x)=2e x −ax 2+(a −2e)x ， 可得f(1)=2e −a +a −2e =0， 即有x =1为f(x)的一个零点，当x ≠1时，由2e x −ax 2+(a −2e)x =0，得a=2(e x−ex)x2−x有两个不同的实数根．设g(x)=2(e x−ex)x2−x，由y=e x−ex的导数为y′=e x−e，当x>1时，y′>0，y=e x−ex递增；当x<1时，y′<0，y=e x−ex递减．即有x=1处，y=e x−ex取得最小值，且为0，即e x−ex≥0，当x<0时，x2−x>0，g(x)>0；当0<x<1时，g(x)<0；当x>1时，g(x)>0．由g′(x)=2(x 2e x−3x⋅e x+ex2)(x2−x)2，可设ℎ(x)=x2e x−3xe x+e x+ex2，显然当x<0时，ℎ(x)>0，即g′(x)>0，g(x)在(−∞,0)递增；又ℎ(x)=xe x(x+1x −3+exe x)，再令m(x)=x+1x −3+exe x，m′(x)=1−1x2+e(1−x)e x=(x−1)(1x2+e x−exx⋅e x)，即0<x<1时，m(x)递减；x>1时，m(x)递增．则m(x)>m(1)=0，ℎ(x)>0在(0,1)∪(1,+∞)恒成立，即有g′(x)>0在(0,1)∪(1,+∞)恒成立，则g(x)在(0,1)，(1,+∞)递增，画出函数y=g(x)的图象，可得a>0时，函数y=g(x)的图象和直线y=a有两个交点．综上可得，a>0时，f(x)=e x−ax2+(a−e)x有三个不同的零点．故选：D．13.答案：(−∞,2]解析：解：不等式a2+10b2+c2≥tb(a+3c)对一切正实数a，b，c恒成立，∴t≤a2+10b2+c2b(a+3c)；设ℎ=a 2+10b2+c2b(a+3c)，a、b、c是正实数，则ℎ=(a2+b2)+(9b2+c2)ab+3bc ≥2ab+2⋅3bcab+3bc=2，∴t≤2；∴实数t的取值范围是(−∞,2]．故答案为：(−∞,2]．根据不等式对一切正实数恒成立，得出t≤a 2+10b2+c2b(a+3c)，求出ℎ=a2+10b2+c2b(a+3c)的最小值即可．本题考查了不等式的解法与应用问题，也考查了基本不等式的应用问题，是基础题．14.答案：4√2−3解析：解：∵x>−3，∴x+3>0，∴x+8x+3=x+3+8x+3−3≥2√(x+3)8x+3−3=4√2−3，当且仅当x+3=8x+3即x=2√2−3时取等号，故答案为：4√2−3．由题意可得x+3>0，可得x+8x+3=x+3+8x+3−3，由基本不等式可得．本题考查基本不等式求最值，凑出可用基本不等式的形式是解决问题的关键，属基础题．15.答案：12解析：解：由题意可得，a⃗⋅b⃗ =cos36°cos24°+sin36°sin(−24°)=cos36°cos24°−sin36°sin24°=cos(36°+24°)=cos60°=12故答案为：12直接利用向量的数量积的坐标表示，然后结合两角和的余弦公式进行化简即可求解本题主要考查了向量的数量积的坐标表示及两角和的余弦公式的简单应用，属于基础试题16.答案：[−12,√2 2]解析：解：a⃗⋅b⃗ =sinx+√cos2x−34=sinx+√14−sin2x，要使√14−sin2x有意义，必需14−sin2x≥0，化为sin2x≤14，∴−12≤sinx≤12．令sinx=t∈[−12,12 ]．则f(t)=a⃗⋅b⃗ =t+√14−t2．f′(t)=1−√4−t2=√1−4t2−2t√1−4t2，令f′(t)=0，解得t=√24．当−12≤t<√24时，f′(t)>0，函数f(t)单调递增；当√24<t≤12时，f′(t)≤0，函数f(t)单调递减．∴当t=√24时，f(t)取得最大值，且f(√24)=√24+√14(√24)=√22．又f(−12)=−12，f(12)=12，∴f(t)的最小值为−12．∴f(t)即a⃗⋅b⃗ 的取值范围是[−12,√22]．故答案为：[−12,√22]．由数量积的坐标运算可得a⃗⋅b⃗ =sinx+√cos2x−34=sinx+√14−sin2x.要使√14−sin2x有意义，必需14−sin2x≥0，可得−12≤sinx≤12.令sinx=t∈[−12,12]，f(t)=a⃗⋅b⃗ =t+√14−t2.利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．本题综合考查了数量积运算、三角函数的基本关系式、三角函数的性质、利用导数研究函数的单调性极值与最值等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力、换元法，属于难题．17.答案：解：(1)向量a⃗=(cosωx−sinωx,sinωx)，向量b⃗ =(−cosωx−sinωx,2√3cosωx)，函数f(x)=a⃗⋅b⃗ ，所以f(x)=sin2ωx−cos2ωx+2√3sinωx⋅cosωx=−cos2ωx+√3sin2ωx=2sin(2ωx−π6)，由直线x=π是y=f(x)图象的一条对称轴，可得sin(2ωπ−π6)=±1，所以2ωπ−π6=kπ+π2(k∈Z)，即ω=k2+13(k∈Z)．又ω∈[12,1]，k∈Z，所以k=1，故ω=56．所以f(x)的最小正周期是6π5．(2)因为f(x)=2sin(53x−π6)，由0≤x≤3π5，得−π6≤53x−π6≤5π6，所以−12≤sin(53x−π6)≤1，得−1≤2sin(53x−π6)≤2故函数f(x)在[0,3π5]上的取值范围为[−1,2]．解析：(1)通过两角和与差的三角函数以及二倍角公式化简函数的解析式为：y=2sin(2ωx−π6)，然后求解函数的周期．(2)通过x的范围求出相位的范围，利用三角函数的有界性求解函数的最值即可．本题考查向量的数量积的应用，三角函数的简单性质以及两角和与差的三角函数的应用，是基本知识的考查．18.答案：解：(1)(a+b+c)(a−b+c)=3ac．∴a2+c2−b22ac =12，∴cosB=12，B=π3．(2)f(x)=√3−sinωx−2√3sin2ωx2=√3−sinωx−2√3⋅1−cosωx2=2cos(ωx+π6)，由题意知函数f(x)的周期为4π，∴ω=2πT =12，∴f(x)=2cos(π2+π6)，∴f(A)=2cos(A2+π6)，∵0<A<2π3，∴π6<A2+π6<π2，∴0<cos(A2+π6)<√32，∴0<f(A)<√3，∴f(A)的值域为(0,√3).解析：(1)根据已知等式求得cos B ，进而求得B ．(2)利用二倍角公式对函数解析式进行化简，根据函数的周期求得ω，得到函数解析式，根据A 的范围确定f(A)的范围．本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数图象与性质．考查了学生综合运用三角函数知识的能力．19.答案：解：(1)①当0≤x <0.5时，△EMN 的高是0.5−x ，底是1+2x(可以由三角形相似得到)，∴f(x)=12(0.5−x)(1+2x)=12(0.5−2x 2)，②当1.5≥x ≥0.5时，△EMN 的高是x −0.5，底是2√1−(0.5−x)2， ∴f(x)=(x −0.5)√3+4x−4x 24， ∴f(x)={12(12−2x 2)0≤x <12(x −12)√3+4x−4x 2412≤x ≤32，(2)当0≤x <0.5时，f(x)是单调递减的，f(x)的最大值为f(0)=14， 当1.5≥x ≥0.5时，f(x)是在(12,1+√22)上单调递增，在(1+√22,32)上单调递减，∴f(x)的最大值为f(1+√22)=12，∴当x =1+√22时，三角形面积最大，最大面积为12．解析：(1)三角形的面积与x 的关系是分段函数，所以分类讨论即可． (2)求出每一段上的最大值．再找到最大的一个即可．本题考查分段函数求解析式，所以分类讨论即可．求最大值时，只需求出每一段上的最大值，再找到最大的一个即可．20.答案：解：(Ⅰ)由题意得∵cosA =−13，由acosB −bsinB =c ，∴sinAcosB −sinBsinB =sin(A +B)， ∴−sinBsinB =cosAsinB ⇒sinB =−cosA ， ∵cosA =−13，∴sinB =−cosA =13；(Ⅱ)∵cosA=−13，sinB=13，，，∴sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=2√23×2√23−13×13=79，又由正弦定理得：bsinB =csinC⇒b=3，SΔABC=12bcsinA=12×7×3×2√23=7√2．解析：(Ⅰ)利用已知条件结合正弦定理以及三角形的内角和化简表达式，然后求sin B的值；(Ⅱ)通过sinC=sin(A+B)，结合两角和的三角函数，求出sin C的值，利用正弦定理求出b，即可求△ABC的面积．本题考查正弦定理的应用两角和与差的三角函数以及三角形的内角和公式的应用，考查分析问题解决问题的能力．21.答案：解：(1)曲线y=x2−6x+1与y轴交点为(0,1)，与x轴交点为(3+2√2,0)，(3−2√2,0)设该圆圆心C(3,t)，则32+(t−1)2=(2√2)2+t2，解得：t=1，∴圆C的半径为r=√32+(t−1)2=3，故得圆C的方程为(x−3)2+(y−1)2=9．(2)由题意∵CA⊥CB，∴|AB|=3√2∴|AB|×d=9，∴点C到AB的距离d=√2即d=2=2，即|a+2|=3∴a=1或−5．解析：(1)求解曲线y=x2−6x+1与坐标轴的交点坐标，设圆心，求解方程；(2)根据CA⊥CB，即可求解|AB|的长度，结合弦长公式即可求解．本题考查了直线与圆的位置的关系，点到直线的距离，圆的方程求法．属于基础题．22.答案：解：(1)sin75°=sin(30°+45°)=sin30°cos45°+cos30°sin45°=12×√22+√32×√22=√6+√24；(2)∵∠CAB=75°，∠CBA=45°∴∠ACB=180°−∠CAB−∠CBA=60°，由正弦定理得：ABsin∠ACB =BCsin∠CAB∴BC=ABsin75°sin60∘，如图过点B作BD垂直于对岸，垂足为D，则BD的长就是该河段的宽度．在Rt△BDC中，∵∠BCD=∠CBA=45°，sin∠BCD=BDBC，∴BD=BCsin45°=ABsin75°sin60∘⋅sin45°=100×√6+√24√32×√22=25(6+2√3)3=50(3+√3)3(米)．解析：(1)由题意利用两角和公式即可；(2)由题意画出简图，在三角形中利用正弦定理先求出BC的长度，然后过点B作BD垂直于对岸，垂足为D，由题意可得BD的长就是该河段的宽度，在三角形中解出即可．此题考查了学生的题意理解，还考查了正弦定理解三角形，两角和公式，还考查了学生的计算能力，属于基本题型．。