初中数学学业水平考试复习教程二次函数

待定系数法求二次函数解析式19．（2023•绍兴）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c．（1）当b＝4，c＝3时，①求该函数图象的顶点坐标；②当﹣1≤x≤3时，求y的取值范围；（2）当x≤0时，y的最大值为2；当x＞0时，y的最大值为3，求二次函数的表达式．【答案】（1）（2，7）；（2）﹣2≤y≤7；（3）y＝﹣x2+2x+2．【分析】（1）先把解析式进行配方，再求顶点；（2）根据函数的增减性求解；（3）根据函数的图象和系数的关系，结合图象求解．【解答】解：（1）①∵b＝4，c＝3 时，∴y＝﹣x2+4x+3＝﹣（x﹣2）2+7，∴顶点坐标为（2，7）．②∵﹣1≤x≤3中含有顶点（2，7），∴当x＝2 时，y有最大值7，∵2﹣（﹣1）＞3﹣2，∴当x＝﹣1 时，y有最小值为：﹣2，∴当﹣1≤x≤3时，﹣2≤y≤7．（2）∵x≤0时，y的最大值为2；x＞0时，y的最大值为3，∴抛物线的对称轴x=b2在y轴的右侧，∴b＞0，∵抛物线开口向下，x ≤0时，y 的最大值为2，∴c ＝2，又∵4×(−1)×c−b 24×(−1)=3，∴b ＝±2，∵b ＞0，∴b ＝2．∴二次函数的表达式为 y ＝﹣x 2+2x +2．【点评】本题考查了二次函数的性质，掌握数形结合思想是解题的关键．待定系数法求二次函数解析式33．（2023•宁波）如图，已知二次函数y ＝x 2+bx +c 图象经过点A （1，﹣2）和B （0，﹣5）．（1）求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标．（2）当y ≤﹣2时，请根据图象直接写出x 的取值范围．【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的图象；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．【分析】（1）用待定系数法求出函数表达式，配成顶点式即可得顶点坐标；（2）求出A 关于对称轴的对称点坐标，由图象直接可得答案．【解答】解：（1）把A （1，﹣2）和B （0，﹣5）代入y ＝x 2+bx +c 得：{1+b +c =−2c =−5， 解得{b =2c =−5，∴二次函数的表达式为y＝x2+2x﹣5，∵y＝x2+2x﹣5＝（x+1）2﹣6，∴顶点坐标为（﹣1，﹣6）；（2）如图：∵点A（1，﹣2）关于对称轴直线x＝﹣1的对称点C（﹣3，﹣2），∴当y≤﹣2时，x的范围是﹣3≤x≤1．【点评】本题考查二次函数图象及性质，解题的关键是掌握待定系数法，求出函数表达式．。

初中数学中考复习二次函数知识点总结归纳整理二次函数是中学数学中非常重要的一个内容，也是中考数学中的重点。

下面是对初中数学中考复习二次函数知识点的总结和归纳整理。

一、二次函数的定义1. 二次函数的一般形式：y = ax² + bx + c，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。

2.二次函数的图像为抛物线，开口方向与a的正负有关。

-当a>0时，抛物线开口向上。

-当a<0时，抛物线开口向下。

二、二次函数的性质1.对称轴：二次函数的对称轴与抛物线的开口方向垂直，其方程为x=-b/2a。

2.顶点：二次函数的顶点位于对称轴上，其坐标为（-b/2a,f(-b/2a)）。

-当a>0时，顶点是抛物线的最低点。

-当a<0时，顶点是抛物线的最高点。

3. 判别式：对于二次函数y = ax² + bx + c，其判别式Δ = b² -4ac表示方程ax² + bx + c = 0的根的情况。

-当Δ>0时，方程有两个不相等的实根。

-当Δ=0时，方程有两个相等的实根。

-当Δ<0时，方程没有实根。

4.单调性：-当a>0时，二次函数在对称轴左侧单调递增，右侧单调递减。

-当a<0时，二次函数在对称轴左侧单调递减，右侧单调递增。

三、二次函数的图像特征1.a的正负决定了抛物线的开口方向。

2.，a，的大小决定了抛物线的陡峭程度，a，越大抛物线越陡峭。

3.当b=0时，抛物线经过原点。

4.当c=0时，抛物线经过x轴。

5.当a>0时，函数值在顶点处取得最小值。

6.当a<0时，函数值在顶点处取得最大值。

四、二次函数的方程求解1. 解二次方程ax² + bx + c = 0的一般步骤：- 利用判别式Δ = b² - 4ac判断方程的根的情况。

-若Δ>0，方程有两个不相等的实根，可以用求根公式x₁=(-b+√Δ)/2a和x₂=(-b-√Δ)/2a求解。

二次函数中考复习专题教案第一章：二次函数的基本概念1.1 二次函数的定义解释二次函数的一般形式：y = ax^2 + bx + c强调a、b、c系数的含义和作用1.2 二次函数的图像介绍二次函数图像的特点：开口方向、顶点、对称轴、与y轴的交点等利用图形软件绘制几个典型二次函数的图像，让学生观察和分析1.3 二次函数的性质讨论二次函数的增减性、对称性、周期性等性质引导学生通过图像理解二次函数的性质第二章：二次函数的顶点式2.1 顶点式的定义解释顶点式：y = a(x h)^2 + k强调顶点(h, k)对二次函数图像的影响2.2 利用顶点式求解二次函数的图像和性质引导学生通过顶点式确定二次函数的图像和性质举例说明如何利用顶点式求解最值问题2.3 顶点式的应用讨论顶点式在实际问题中的应用，如抛物线运动、几何问题等给出几个实际问题，让学生运用顶点式解决第三章：二次函数的解析式3.1 解析式的定义解释二次函数的解析式：y = ax^2 + bx + c强调解析式与顶点式的关系3.2 利用解析式求解二次函数的图像和性质引导学生通过解析式确定二次函数的图像和性质举例说明如何利用解析式求解最值问题3.3 解析式的应用讨论解析式在实际问题中的应用，如物理、化学等领域的方程求解给出几个实际问题，让学生运用解析式解决第四章：二次函数的图像与性质4.1 图像与性质的关系讨论二次函数图像与性质之间的关系引导学生通过图像判断二次函数的性质4.2 开口方向与a的关系解释开口方向与a的关系：a > 0时开口向上，a < 0时开口向下举例说明如何通过开口方向判断二次函数的性质4.3 对称轴与顶点的关系解释对称轴与顶点的关系：对称轴为x = h举例说明如何通过对称轴判断二次函数的性质第五章：二次函数的实际应用5.1 实际应用的基本形式讨论二次函数在实际应用中的基本形式举例说明如何将实际问题转化为二次函数问题5.2 利用二次函数解决实际问题引导学生运用二次函数解决实际问题，如最值问题、优化问题等给出几个实际问题，让学生运用二次函数解决5.3 实际应用的拓展讨论二次函数在其他领域的应用，如经济学、生物学等引导学生思考如何将二次函数应用于解决其他实际问题第六章：二次函数的综合应用6.1 二次函数与线性函数的组合解释二次函数与线性函数组合的形式，如y = ax^2 + bx + c 与y = dx + e 的组合强调组合函数的图像和性质6.2 利用综合应用解决实际问题引导学生运用综合应用解决实际问题，如函数交点问题、不等式问题等给出几个实际问题，让学生运用综合应用解决6.3 综合应用的拓展讨论综合应用在其他领域的应用，如物理学、工程学等引导学生思考如何将综合应用应用于解决其他实际问题第七章：二次函数与不等式7.1 二次不等式的定义解释二次不等式的形式，如ax^2 + bx + c > 0强调解二次不等式的方法和步骤7.2 利用图像解决二次不等式问题引导学生通过图像解决二次不等式问题，如找出不等式的解集举例说明如何利用图像解决实际问题7.3 二次不等式的拓展讨论二次不等式在其他领域的应用，如经济学、工程学等引导学生思考如何将二次不等式应用于解决其他实际问题第八章：二次函数的最值问题8.1 二次函数最值的概念解释二次函数最值的概念，如最大值、最小值强调最值与对称轴、顶点的关系8.2 利用顶点式求解最值问题引导学生通过顶点式求解二次函数的最值问题举例说明如何利用顶点式求解实际问题中的最值8.3 最值问题的拓展讨论最值问题在其他领域的应用，如物理学、工程学等引导学生思考如何将最值问题应用于解决其他实际问题第九章：二次函数与几何问题9.1 二次函数与几何图形的关系解释二次函数与几何图形的关系，如圆、椭圆、抛物线等强调二次函数在几何问题中的应用9.2 利用二次函数解决几何问题引导学生运用二次函数解决几何问题，如求解三角形面积、距离问题等举例说明如何利用二次函数解决实际问题中的几何问题9.3 几何问题的拓展讨论几何问题在其他领域的应用，如物理学、工程学等引导学生思考如何将几何问题应用于解决其他实际问题第十章：二次函数的综合训练10.1 综合训练的目的强调综合训练的重要性，提高学生对二次函数知识的综合运用能力引导学生通过综合训练巩固所学知识10.2 综合训练的内容设计几个综合训练题目，包括不同类型的二次函数问题，如图像分析、性质判断、实际应用等让学生在规定时间内完成综合训练题目给予学生综合训练的反馈，指出错误和不足之处重点和难点解析1. 第一章中二次函数的基本概念：理解二次函数的一般形式和系数含义是学习二次函数的基础，对于图像的特点和性质的理解也是解决复杂问题的关键。

初中数学中考复习二次函数知识点总结归纳整理二次函数是指形如y=ax²+bx+c的函数，其中a、b、c为常数且a ≠ 0。

二次函数是初中数学中的重要内容，掌握了二次函数的知识，能够帮助我们理解函数的基本概念、图像和性质，同时也是后续学习函数、解析几何和微积分等内容的基础。

一、二次函数的定义和基本性质1.二次函数是一个以抛物线形状为特征的函数，其图像在平面直角坐标系中呈现出对称轴和顶点。

2.对于任意的a、b、c，二次函数的图像都存在对称轴，并且过对称轴的顶点。

3.当a>0时，二次函数的图像开口向上；当a<0时，二次函数的图像开口向下。

4. 当Δ=b²-4ac>0时，二次函数的图像与x轴有两个不同的交点，即该二次函数的解存在两个不同的实根；当Δ=0时，二次函数的图像与x轴有一个交点，即该二次函数的解存在一个实根；当Δ<0时，二次函数的图像与x轴没有交点，即该二次函数无实根。

5. 二次函数的顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))，其中f(x) =ax²+bx+c。

二、二次函数的图像与平移1. 对于y=ax²+bx+c，当a>0时，整个二次函数图像上移a个单位；当a<0时，整个二次函数图像下移a个单位。

2. 对于y=ax²+bx+c，当c>0时，整个二次函数图像上移c个单位；当c<0时，整个二次函数图像下移c个单位。

3. 对于y=ax²+bx+c，当b>0时，整个二次函数图像向左平移b个单位；当b<0时，整个二次函数图像向右平移b个单位。

三、二次函数的解和性质1.根据二次函数的定义，可以用求根公式计算二次函数的解，即x=(-b±√Δ)/(2a)。

2.根据二次函数的判别式Δ的大小，可以判断二次函数的解的情况，进而判断图像的开口方向和顶点的位置。

3.根据二次函数的顶点坐标和开口方向，可以确定二次函数的整个图像。

二次函数知识梳理1.二次函数的概念一般地，形如y=ax²+bx+c (a,b,c是常数，a≠0)的函数叫作二次函数，其中称a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项.2.确定二次函数的解析式确定二次函数解析式：首先把已知条件代入解析式，得到关于待定系数的方程组；然后解方程组，求出待定系数；最后将求得的未知系数的值代回原解析式即可.3.实际问题中有关二次函数的一般解题思想(1)审题：找出实际问题中已知量与未知量，并分析它们之间的关系；(2)列式：根据实际问题中的等量关系，建立二次函数解析式；(3)自变量取值确定：联系实际，确定自变量的范围.典型例题例1下列函数是二次函数的是( ).A.y=x²+1B.y=2x2+1x−5C.y=2x²+2x(1−x)D.y=2x²−x(1+2x−5x²)解析二次函数定义：一般地，形如y=ax²+bx+c (a,b,c是常数，a≠0)的函数叫作二次函数.A.y=x²+1是二次函数.B.y=2x2+1x −5中含有1x,不是二次函数.C.y=2x²+2x(1−x)经过化简后为y=2x，是一次函数.D.y=2x²−x(1+2x−5x²)经过化简后为y=5x³−x,含有x³,不是二次函数. 所以答案为 A.例 2已知函数关系式为y=(m2+m)x m2−2m+2,是二次函数,则 m= .解析若使得该函数为二次函数，则有{m2+m≠0m2−2m+2=2①②解①得:m≠1且m≠0.解②得:m=0或m=2.综合①②得:m=2.例 3已知二次函数y=4x²−2x+3,则其二次项系数和常数项的差为 .解析根据二次函数定义有，二次函数. y=4x²−2x+3的二次项系数为4，一次项系数为-2，常数项为3，二次项系数和常数项系数的差为4-3=1.例 4如图所示,在直角梯形ABCD 中,∠A=∠D=90°,截取AE=BF=DG=x(x>0).已知AB=6,CD=3,AD=4.求四边形CGE F的面积S与x 的函数关系式和x的取值范围.解析S四边形CGEF=S梯形ABCD−S DGE−S EFA−S CFbS梯形ABCD=12(AB+DC)×AD=12×(6+3)×4=18S DCE=12×DG×DE=12x(4−x)=x(4−x)2S EFA=12×EA×AE=12x(6−x)=x(6−x)2S CFB=12×FB×AD=12×4x=2x则有由题意得：{3−x>04−x>0,6−x>0解得:x<3.又因为x>0,所以0<x<3.综上，S=S四边形CGEF=x2−7x+18(0<x<3).双基训练1.下列函数为二次函数的是( ).A.y=1xB.y=(x−2)²−x²C.y=ax²+bxD.y=2x2−√2x+12.下列y 一定是x 的二次函数有( ).(1)y= 1x ²; (2)y=(m²-1)x²+1;(3)y+x²+1=0;( (4)y=(x2−3x+4)(x+2)x+1A.(1)(2)(3)(4)B.(3)(4)C.(2)(3)(4)D.(1)(3)(4)3.已知一元二次函数y=5+3x²−4x,它的二次项系数为a，一次项系数为b，常数项为c,那么a,b,c 分别为( ).A. a=5,b=3,c=-4B. a=3,b=-4,c=5C. a=3,b=4,c=5D. a=4,b=3,c=54.已知一元二次函数y=12x2+5x−2,它的一次项系数为b，常数项为c，那么c+b=( ).A.7B.3C. -3D. 112x2−3x+1的值是( ).5.当x=-2时,二次函数y=12A.9B.8C.6D.26.若函数y=(a−b)x²+ax+b是关于x 的一元二次函数，则( ).A. a,b为常数,且a≠0B. a,b为常数,且b≠0C. a,b为常数,且a≠bD. a，b可以为任意常数7.能使y=mx²+nx+p(其中m，n，p为常数)是二次函数的条件是( ).A. mnp=0B.m²+n²+p²=0C. m≠0D. n≠0 或p≠08.已知二次函数y=(m+2)x m2−2是 y 关于x 的二次函数,则 m 的值为( ).A.2B. -2C.2或-2D.不能确定9.已知二次函数. y=mx²,当x=-1时，函数值为2，则下列说法正确的是( ).A.当x=1时,y=2B.当x=-2时,y=-4C.当x=2时,y=1D.当x=-2时,y=-110.若y=(m2−m)x m+m2是二次函数，则m 的值为( ).A.1B. -2C.1或-2D.211.已知二次函数y=(m+3)x m2+m−4+(m+2)x+3是二次函数，则 m 的值为12.把函数y=(x-2)(x+3)化简成y=ax²+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)的形式是13.已知一台国外进口机器的价格为40万元，设两年后的价格为y，假设每年的折旧率为x，则y与x 之间的函数关系式为 .14.已知菱形的边长为a，已知菱形一个角为( 60°,，则菱形面积S 与a 的函数关系式为15.要想在长和宽分别为6m和5m的客厅铺一块地毯，四周留的宽度相同，则地毯面积S(m²)与留空宽度x (m)的函数关系式为 .16.已知二次函数y=x²−6x+3经过配方变成y=(x+ℎ)²+k的形式，则ℎ= ,k= .能力提升17.半径为r的圆，若半径增加x，则圆的面积增加S，则S与x之间的函数关系式为( ).A.S=π(r+x)²B.S=πr²+πx²C.S=πx²+2πrxD.S=πr²+2πrx18.已知函数y=x²+bx+c,当x=1时,y的值为4;当x=-1时,y的值为0,则函数解析式为 .19.已知一个矩形的长和宽分别为6cm和8cm，如果长和宽分别都增加xcm后，面积相应增加ycm²，那么y 与x之间的函数关系式为 .20.已知二次函数y=ax²+bx−1,当x=1时,y的值为6;当x=-1时,y的值为0.则当x=0时,y的值为 .21.已知二次函数y=ax²+bx+c,且当x=2时,y的值为0;当x=--1时,y的值为12;当x=1时,y的值为2,则函数解析式为 .22.将一块边长为10cm，宽为8cm的铁片的四个角各剪去一个边长为xcm的小正方形，折叠起来做成一个没有盖的盒子，则此盒子的表面积S(cm²)与小正方形的边长x(cm)之间的函数关系式为 .23.如图所示，已知鸡场饲养员为了便于喂养，打算把小鸡分到三个相同的场地喂养，靠墙用一定高度的木板围成大小相同的矩形场地从而把小鸡分开.若木板的总长为24m，设垂直于墙的一边长为xm，三个场地的总面积为S(m²),试写出 S 与x 之间的函数关系式及x的取值范围.24.某汽车的刹车距离 S(m)与开始刹车时的车速x(km/h)之间有如下关系：S=0.002x²+0.01x.现在该车在限速100km/h 的公路上发生了交通事故，事后测得刹车距离为30m，那么开始刹车时，该车是否超速?25.如图所示，已知AC⊥BC,CA⊥AD,AB=AD,AC=4BC,设BC 长度为 x,则四边形 ABCD 的面积 S 与 x 的函数关系式为26.如图所示，已知正方形 ABCD 与等腰三角形EFG，且正方形的边长与等腰三角形的腰均为 20cm,在 t =0 时,点 G 与点 C 重合, △EFG以2cm/s的速度向左运动.(1)重叠部分的面积S 与t 之间的函数关系式(包括自变量的取值范围).(2)当l=3时,求S.27.某商品的进价为每件30元，现在的售价为每件40元，每星期可卖出 150件，市场调查反映：如果每件的售价每涨1元(售价每件不能高于45 元)，那么每星期少卖 10件，设每件涨价x 元(x 为非负整数)，每星期的销量为 y件.(1)求y与x的函数关系式及自变量的取值范围.(2)如何定价才能使每星期的利润最大且每星期的销量最大?每星期的最大利润是多少?1-5 DBBBA 6-10 CCAABa211.2 12. y=x²+x-6 13. y=40(1-x)²14.S=√3215. S=4x²-22x+30 16.-3,-617. C 18. y=x²+2x+1 19. y=x²+14x 20.-121. y=x²-5x+6 22. S=80-4x²23.S=−4x²+24x(0<x<6)24. 由题意得0.002x²+0.01x=30,解得x₁=120,x₂=−125舍去).(因为 120>100，所以该车开始刹车时超速.25.S=2⋅(1+√17)x226.(1) S=2(10-l)²(0≤l≤10);(2)9827.(1) y=150-10x(0≤x≤5且x为正整数);(2)涨价2元，即售价为42元时，利润最大且销量最大；每星期的最大利润为1560元。