2015-2016学年人教B版高中数学课件 选修2-2：第一章 导数及其应用 3.3《函数的最大(小)值与导数》

出f(x3)是最小值，而f(b)是最大值呢？
1 3 例如:已知函数 f ( x) x 4 x 4 ，求f(x)在 3 区间[0,3]上的最大值和最小值．
1 3 例如:已知函数 f ( x) x 4 x 4 ，求f(x)在 3 区间[0,3]上的最大值和最小值．
问题1：你能否自己画出这个函数的图象，再通过画 出的图象确定函数的最值呢？ 问题2：你的作图是否准确无误呢？如果作图出现较 大的误差，会不会影响到你的判断？ 问题3：假设你的作图准确度很高，你觉得每次都这 么去作图是否很方便？ 问题4：有没有更好的办法，使我们不用作图就能准 确的求出任意一个函数的最值呢？
世界上最长的荡秋 千线最高、最低点
通过观看视频，大家一起讨论一下荡秋千线最 高、最低点问题.
问题1：函数单调性与导数关系 设函数y=f(x) 在 某个区间 内可导，
f(x)为增函数
f(x)为减函数 y
y=f(x) f '(x)>0
y
y=f(x)
f '(x)<0
o
o a x 如果在某个区间内恒有
a b
问题3:求函数的极值的方法与步骤
（1）确定函数的定义域 （2）求函数的导数f’(x) （3）求方程f’(x)=0的根,找到临界点 （4）解不等式并列成表格 （5）求出极值
左正右负极大值，左负右正极小值
问题4: 观察下列图形,你能找出函数的极值吗？
y
y=f(x)
a
x1 x2 x3
,则
x 为常数.
b
问题2：函数的极大（小）值的概念
y y
使函数取得极值的 点x0称为极值点
o
x
o
x
设函数f(x)在点x0附近有定义， •如果对X0附近的所有点，都有f(x)<f(x0), 则f(x0) 是函数f(x)的一个极大值， 记作y极大值= f(x0)； •如果对X0附近的所有点，都有f(x)>f(x0), 则f(x0) 是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值= f(x0)； ◆函数的极大值与极小值统称 为极值.
函数f ( x) 6 12 x x3在 3， 3 上的最大值为22， 最小值为 10.
3.比较确定最值。
求函数y=x4-2x2+5在区间[-2,2]上的最大值与最小值. 解: y 4 x 3 4 x .
令 y 0 ,解得x=-1,0,1. 当x变化时, y, y 的变化情况如下表: x -2 (-2,-1) -1 (-1,0) 0 (0,1) 1 (1,2) 2 y’ 0 + 0 0 + y 13 ↘ 4 ↗ 5 ↘ 4 ↗ 13 从上表可知,最大值是13,最小值是4.

单调递减
1 m
g (t )在(0, 2)内有最大值g (1) 1 m
h(t ) 2t m在(0, 2)内恒成立等价于g (t ) 0 在(0, 2)内恒成立,即等价于1 m 0
m的取值范围是(1, )
设函数f ( x) 2 x3 3ax 2 3bx 8c 在x 1及 x 2时取得极值. (1)求a, b的值; (2)若对于任意的x 0,3 , 都有f ( x) c 2 成立, 求c 的取值范围.
教师提问：
本节课我们学习了哪些知识，涉及到哪些数学思想方法？ 学生作答： 1．知识： （1）极值与最值的区别与联系： （2）利用导数求函数的最值的步骤： 2．思想：归纳概括思想、数形结合思想． 教师总结：在学习新知时也用到了前面所学过的知识，提醒 学生: 在学习新知时，也要经常复习前面学过的内容,“温故而 知新”．在应用中增强对知识的理解，及时查缺补漏，从而 更好地运用知识，解题要有目的性，加强对数学知识、思想 方法的认识与自觉运用．
1.3.3
函数的最大（小） 值与导数
函数的最大（小）值与导数 内容：利用导数研究函数的最大（小）值
应用: 1.求函数的最大值和最小值
2.已知函数的最值求函数的解析式 3.利用导数和不等式恒成立问题求参数的取 值范围.
本课主要学习利用导数研究函数的最大（小）值。以 视频世界上最长的荡秋千线最高、最低点引入新课。通 过合作交流，使学生发现并掌握极值与最值的区别与联 系，感受领会从数到形的探究过程。接着讲述某函数在 一个确定的闭区间上存在最值的条件。针对定理所解决 的三类问题给出 4个例题和变式，通过解决问题巩固新 知，强调利用导数研究函数最值问题的重要性。 在讲述利用导数研究函数最值时，采用例题与变式结 合的方法，通过例1、例2和变式巩固掌握求已知函数在 闭区间的最值的方法。例 3及变式，既注重了与原问题 的联系，又在不知不觉中提高了难度，提高了学生的解 题能力；而例 4是与函数最值有关的恒成立问题，说明 思路的由来过程，开阔了学生的思路．
求f(x)在闭区间[a,b]上的最值的步骤： (1) 求f(x)在区间(a,b)内极值(极大值或极小值)； (2) 将y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)(端点处)
比较,其中最大的一个为最大值，最小的
一个最小值. 注意: 1.在定义域内, 最值唯一;极值不唯一 2.最大值一定比最小值大.
求函数的最大值和最小值
o
x4 x5
x6
b
x
f ( x1 ), f ( x3 ), f ( x5 ) 是函数 观察图象，我们发现，
f ( x2 ), f ( x4 ), f ( x6 )是函数y=f(x)的 y=f(x)的极小值，
极大值.
极值是一个局部概念，极值只是某个点的函数值与它附 近点的函数值比较是最大或最小,并不意味着它在函数的
答案 : (1)a 3, b 4; (2)(, 1) (9, )
有关恒成立问题，一般是转化为求函数的最值问 题．求解时首先要确定函数，看哪一个变量的范
围已知，以已知范围的变量为自变量确定函数．
一般地, f ( x)恒成立 [ f ( x)]max ;
f ( x)恒成立 [ f ( x)]min
必做题:
1．下列说法正确的是( D ) (A)函数的极大值就是函数的最大值 (B)函数的极小值就是函数的最小值 (C)函数的最值一定是极值 (D)若函数的最值在区间内部取得,则一定是极值. 2.函数 y= f( x)在区间［ a, b］上的最大值是 M，最小值是 m, 若 M=m, 则 f ( x ) ( A ) (A)等于 0 (B)大于 0 (C)小于 0 (D)以上都有可能 1 4 1 3 1 2 3.函数 y= x x x ,在 ［－1,1］ 上的最小值为( A ) 4 3 2 13 (A)0 (B)－2 (C)－1 (D) 12
和最小值。 由上面函数f(x)的图象可以看出,只要把连续 函数所有的极值与定义区间端点的函数值进 行比较，就可以得出函数的最值了.
1 3 例1.已知函数 f ( x) x 4 x 4 ,求f(x)在区间[0,3]上的 3
最大值和最小值．
解：f ' x x2 4
x y′ y (0.2) 递减
由已知得 40 a 37解得a 3
(2)由(1)知f ( x)在[2, 2]上的最大值为3.
已知函数f(x)=ax3-6ax2+b，问是否存在实数a、b， 使f(x)在[-1,2]上取得最大值3，最小值-29？若存 在，求出a、b的值；若不存在，请说明理由．
答案 : a 2, b 3或a 2, b 29
唯一的；而极值不唯一，也可能没有． (3)若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值．
(4)极值只能在定义域内部取得，而最值可以在区间
的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未
必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端
点必定是极值．
一般的如果在区间 [a,b] 上函数 y=f(x) 的图象
是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值
3
即h(t ) t 3 t 1
(2)令g (t ) h(t ) ( 2t m) t 3 3t 1 m, 由g (t ) 3t 2 3 0得t =1或t 1(舍)
x
g (t ) g (t )
(0,1)
1
0
极大值
(1, 2)

单调递增
上的函数y=f(x)的图象：
y
y=f(x)
a
x1
o
X2
X3
b
x
f(x1)、f(x3) 是极小值，_________ f(x2) 发现图中___________ 是极 f(b) ，最小值 大值，在区间上的函数的最大值是______ f(x3) 。 是_______
如果在没有给出函数图象的情况下，怎样才能判断
求函数的最值时,应注意以下几点:
(1)函数的极值是在局部范围内讨论问题,是一个局部概念 ,而函数的最值是对整个定义域而言 ,是在整体范围内讨论
问题,是一个整体性的概念.
(2)闭区间[a,b]上的连续函数一定有最值.开区间(a,b)内 的可导函数不一定有最值,但若有唯一的极值,则此极值必 是函数的最值. (3) 函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个 , 而函数的极值则可能不止一个,也可能没有极值,并且极大
值(极小值)不一定就是最大值(最小值).
例3.已知函数f(x)=2x3-6x2+a在[-2,2]上有最小值-37, (1)求a的值； （2）求f(x)在[-2,2]上的最大值．
解 : (1) f ( x) 6 x 2 12 x, 令f ( x) 0, 解得x 2或x 0
又f (2) 40 a, f (0) a, f (2) 8 a
整个的定义域内最大或最小.
在社会生活实践中，为了发挥最大的经济效益，常常遇 到如何能使用料最省、产量最高，效益最大等问题，这 些问题的解决常常可转化为求一个函数的最大值和最小 值问题. 函数在什么条件下一定有最大、最小值？他们与函数极 值关系如何？