下载文档原格式
第七章人口【课标要求】运用资料,描述人口分布的特点及其影响因素,并结合实例,解释区域资源环境承载力、人口合理容量。
【考情分析】考点5年考情考察点核心素养命题趋势人口的分布2023海南卷、2023全国甲卷、2023浙江1月、2022上海卷、2021海南卷1.综合思维：能够描述人口的分布特征，分析人口分布的影响因素，描述人口的数量变化和空间变化的特征，解释变化产生的主导因素。
2.区域认知：能够说明人口分布、人口变化、以及人口迁移的特征，分析人口现象对区域发展的影响，从而制定与区域发展相适应的人口政策。
人口问题和人口迁移一直是高考的热点，且以图表题为主，尤其是2021年第七次人口普查数据公布以及2022年我国人口首次进入负增长的背景下，人口问题将依然成为考查热点。
人口的数量变化2022河北卷、2022上海卷、2022重庆卷、2022江苏卷、2022山东卷、2022全国乙卷、2022浙江1月、2021山东卷、人口的空间变化2023福建卷、2023山东卷、2023浙江6月、2023海南卷、2023全国甲卷、2022重庆卷、2022天津卷、2022江苏卷、2022广东卷、2022浙江6月、2022全国乙卷、人口合理容量2021北京卷、2021浙江6月：影响人口合理容量的因素；【考点点拨】一：影响人口分布的因素1．影响人口分布的自然因素自然因素是影响人口分布的基本因素。
自然因素对人口分布的影响案例地形平原低地工农业生产大多集中在平原地区，50%以上的人口居住在平原地区我国人口集中分布在地势第三级阶梯上高山高原土壤贫瘠，交通不便，气候寒冷、风力较大，人口较稀疏气候气温北半球温带地区适宜农业生产和人类居住，80%的人口分布于这一地带热带地区，人口集中分布在气候凉爽、降水较多的高原、山地地区降水主要通过植被间接影响人口分布，不同植被带的农业、人口分布不同。
一般来讲，降水多，人口密集；降水少，人口稀疏水源干旱地区的人类往往逐水而居，人口稠密区依水源多呈点状、线状和片状分布我国西北干旱地区，人口集中分布在水源充足的绿洲地区土壤多通过农业生产间接影响人口分布；土壤肥力、性状不同，人口分布状况不同我国东北肥沃黑土的分布地区，人口密度较高矿产资源产业革命时期，某些地区矿产资源的开发成为影响人口分布的决定性因素；煤矿、油田等工矿点也是居民密集点矿区人口密集形成城市，如攀枝花、克拉玛依、鹤岗等影响人口分布的社会经济因素主要包括经济发展水平、政治、文化、历史等。
初中数学七年级上册导学案及答案第一章有理数课题：1.1 正数和负数（1）【学习目标】：1、掌握正数和负数概念；2、会区分两种不同意义的量，会用符号表示正数和负数；3、体验数学发展是生活实际的需要，激发学生学习数学的兴趣。
【重点难点】：正数和负数概念【导学指导】：一、知识链接：1、小学里学过哪些数请写出来：、、。
2、阅读课本P1和P2三幅图（重点是三个例子，边阅读边思考）回答下面提出的问题：3、在生活中，仅有整数和分数够用了吗？有没有比0小的数？如果有，那叫做什么数？二、自主学习1、正数与负数的产生（1）、生活中具有相反意义的量如：运进5吨与运出3吨；上升7米与下降8米；向东50米与向西47米等都是生活中遇到的具有相反意义的量。
请你也举一个具有相反意义量的例子：。
（2）负数的产生同样是生活和生产的需要2、正数和负数的表示方法（1）一般地，我们把上升、运进、零上、收入、前进、高出等规定为正的，而与它相反的量，如：下降、运出、零下、支出、后退、低于等规定为负的。
正的量就用小学里学过的数表示，有时也在它前面放上一个“+”（读作正）号，如前面的5、7、50；负的量用小学学过的数前面放上“—”（读作负）号来表示，如上面的—3、—8、—47。
（2）活动两个同学为一组，一同学任意说意义相反的两个量，另一个同学用正负数表示.（3）阅读P3练习前的内容3、正数、负数的概念1）大于0的数叫做，小于0的数叫做。
2）正数是大于0的数，负数是的数，0既不是正数也不是负数。
【课堂练习】：1. P3第一题到第四题（直接做在课本上）。
2．小明的姐姐在银行工作，她把存入3万元记作+3万元，那么支取2万元应记作_______,-4万元表示________________。
3．已知下列各数：51-，432-，3.14，+3065，0，-239； 则正数有_____________________；负数有____________________。
综合一、B市甲因父母工作变动转入A市某小学就读,表现优秀;在小学毕业前夕申请参加本校保送生资格考试;但该校根据本市教育局某文件规定的“外地户籍生不享有保送资格”,取消其保送生考试资格；甲不服,向A市教育局申请复议,请求撤销该文件的规定和实验小学的决定,但教育局一直未作答复;1. 甲对教育局不予答复的行为能否向法院提起诉讼CA．不可以B．可以,在复议期限届满的七日内向法院提起诉讼C．可以,在复议期限届满的十五日内向法院提起诉讼D．可以,在复议期限届满的二十日内向法院提起诉讼2. 若甲就市教育局不答复的情况申请行政复议,下列说法正确的是BDA．不可以申请复议B．可以申请复议,以省教育局为复议机关C．可以申请复议,以市教育局为复议机关D．可以申请复议,以市人民政府为复议机关3. 甲能否对教育局该文件提起行政诉讼DA．可以;因为人民政府发布文件影响了甲的权利B．可以;通过诉讼可以促进监督C．不能;因为人民政府发布文件的行为属于具体行政行为D．不能;因为人民政府发布文件的行为属于抽象行政行为4. 下列说法,正确的是ACDA．甲可以委托其父亲代为申请行政复议B．甲必须亲自参加复议C．行政复议机构审理行政复议案件,应当由2名以上行政复议人员参加D．甲可以口头提出复议申请5. 行政复议程序中,行政机关作出复议决定的期间一般是DA．10日B．15日C．30日D．60日二、2006年6月的周日晚上,赵某驾车前往某饭店参加大学同学毕业十周年聚会;晚会结束,赵某开车回家途中,遇到交通警察进行专项检查;经交警用酒精测试议测试,赵某的血液精精含量为50mg/100ml国家标准：大于等于20mg/100ml为饮酒；大于等于80mg/100ml为醉酒;交警认定赵某为饮酒后驾车,根据道路交通安全法相关规定作出以下处罚：暂扣驾驶证1月,并处200元罚款;赵认为处罚太重,希望改为警告处罚,至多罚100元了结;但交警拒不同意,认为这是最轻的处罚;赵某不服处罚决定,准备直接向人民法院提起行政诉讼,请求变更原行政处罚决定;1. 交警于周日晚上的执法检查行为AA、属于公务行为B．属于以权谋私C．属于越权执法D．不属于公务行为2. 得出上题结论的理由是BCA．交警在周日晚的检查并非在行使职权时间内B．交警开展的是专项检查C．这是由交通管理部门组织的,因此交警的行为属于行政行为D．交警的行为具有擅断性3. 根据行政处罚法的规定,赵某依法享有哪些权利ABCDA．知情权B．确认执法人员身份的权利C．陈述、申辩权D．申请复议权或起诉权4. 赵某能否直接向法院提起行政诉讼下列说法正确的是CDA．赵某只可以选择行政诉讼或复议中的一项救济B．赵某可以先向法院提起行政诉讼后复议C．赵某可以直接向法院起诉D．赵某可以申请行政复议后向法院提起行政诉讼5. 法院是否有权变更公安交通管理机关的行政处罚,为什么BCA．有权B．无权C．交警处罚程序并没有违法,而且按照处罚标准进行了处罚D．公安交通管理机关的行政处罚确属违法三、2010年7月29日,某县工商局在执法检查时发现某饮食店无工商营业执照,即派一名执法人员对该饮食店店主王某进行调查询问,该执法人员未出示执法证件;王某发现这名执法人员是对面“笑笑饮食店”的亲戚,即向其提出理由不愿接受询问,该执法人员未予理睬,仍当场作出罚款2000元的决定;1. 本案中,王某哪些权利受到侵犯ACDA．申请回避权B．正常经营权C．陈述权D．申辩权2. 本案中,工商局调查时应该：ABCDA．执法人员不少于2人B．向当事人出示执法证件C．保障当事人申辩权D．接受当事人的回避申请3. 本案中,工商局不可以：ABCDA．由1名执法人员进行调查B．不听当事人陈述和申辩C．当场作出罚款2000元的决定D．不出示执法证件4. 当场作出行政处罚决定,需满足的条件有：ABCDA．违法事实确凿B．有法定依据C．对公民处以50元以下罚款或者警告D．对法人或者其他组织处以1000元以下罚款或者警告5. 王某不服处罚决定,可以：ABDA．向某市工商局申请行政复议B．向县人民法院提起行政诉讼C．向县监察局提起申诉D．向县政府提起行政复议四、王某经营一家饭店,某日从广州用汽车运回一批价值3万元的海参;在某次工商局检查时,该批海参被依法鉴定为“假货”予以扣押;后来,工商局吊销了王某的营业执照,并对其拘留5天;王某不服;1. 关于工商局吊销王某的营业执照,下列说法正确的是ABA工商局有权利吊销王某的营业执照B.工商局吊销其营业执照时,告诉他有要求听证的权利C.工商局没有权利吊销王某的营业执照D.只有王某提出申请时,工商局才会组织听证2. 关于工商局吊销王某的营业执照的性质,下列说法正确的是ACA.具体行政行为B.抽象行政行为C.行政处罚D.行政指导3. 关于工商局对王某拘留5天,下列说法正确的是CDA.正确,工商局有权利对王某拘留5天B.正确,工商局对王某拘留5天时,告诉他有要求听证的权利C.不正确,王某可以申请复议或者直接提起诉讼D.不正确,对人身自由的限制只能有公安机关行使4. 下列说法正确的是CDA.工商局可以电话通知王某吊销其营业执照的决定B.原则上工商局应书面通知王某吊销其营业执照的决定,必要时仅有电话通知也可以C.工商局作出吊销其营业执照的决定,应当制作处罚决定书D.吊销王某营业执照的处罚决定应当书面通知王某,该处罚决定书应当盖有工商局的印章5. 若王某有下列哪些情形的,应当依法从轻或者减轻行政处罚ABCDA.主动消除违法行为危害后果的B.主动减轻违法行为危害后果的C.受他人胁迫有违法行为的D.配合行政机关查处违法行为有立功表现的五、A市B区政府临时设立的“拆迁办公室”经本市人民政府的批准,在B区某地段进行城市房屋拆迁改造;B区“拆迁办”遂发布了名为“限期拆除违章建筑”的公告,认定该地段的36户居民的部分房屋属于违章建筑并限期30日内拆除,该36户居民不服,决定向人民法院起诉;1. 关于B区“拆迁办”发布公告的行为,说法正确的是ACA.是为了执行市政府的城市房屋拆迁改造而作出的具体行政行为B. “拆迁办”发布公告的行为属于抽象行政行为C.不是抽象行政行为D.属于抽象行政行为2. 关于本案的管辖,说法正确的是ABA.由 A市中级人民法院管辖,属于本辖区内社会影响重大的共同诉讼案件B.由 A市中级人民法院管辖,因被告系区人民政府C.由B区人民法院管辖,因其属于一般行政案件D.由B区人民法院管辖,因被告系该区“拆迁办公室”3. 行政复议申请符合下列哪些规定的,应当予以受理ABCDA.有明确的申请人和符合规定的被申请人B.申请人与具体行政行为有利害关系C.有具体的行政复议请求和理由D.在法定申请期限内提出4. 本案中的拆迁公告属于DA.地方性法规B.行政规定C.行政指导意见D.具体行政行为5. 若在诉讼期间,30日的拆除期限已到,则ABDA.被告可以决定停止执行相关具体行政行为B.原告可以向法院申请停止执行相关具体行政行为C.在原告提起诉讼后,原具体行政行为必须停止执行D.原告提起诉讼后,原具体行政行为一般情况下不停止执行六、张某系个体工商户,经营小食品店,两年来一直未向税务机关交足税款,此事被乡政府在一次对市场经营的食品质量大检查时发现;乡政府以自己的名义给张某下达两次补交税款1100元的通知,张某均未按通知补税;2005年5月24日乡政府扣押了张某的一台电冰箱与部分食品,当时未办理任何手续;张某对此不服,在同年7月2日向县人民法院提起诉讼;县人民法院受理此案;1. 若张某对乡政府的行为不服,有哪些救济途径ABDA.直接向县人民政府申请复议B.直接向县人民法院起诉C.同时向县人民法院起诉和向县人民政府申请复议D.先向县人民政府申请复议,若对复议结果不服,再向县人民法院起诉2. 若张某直接向县法院提起行政诉讼,应该在知道乡政府作出行政行为后D内提出A. 15日内B. 30日内C. 60日内D.三个月内3. 若向县人民政府提申请行政复议,应自知道乡政府作出行政行为后C日内提出A. 15B. 30C. 60D. 904. 人民法院应当如何判决AA.撤销乡政府的行政行为B.判决维持乡政府的处罚决定并将扣押的物品移交县税务局C.判决乡政府的行政行为违法,判决乡政府赔偿因此而给该个体户造成的经营损失D.维持乡政府的行政处罚决定并命令该个体户向有管辖权的税务机关补交税款5. 对张某不按规定纳税的违法行为,县人民法院将怎样处理AA.将此案移交有管辖权的税务机关B.判决该个体户直接补交税款C.对该个体户进行司法处罚D.不对该个体户进行处理七、2009年10月5日,拉某阿拉伯人和丁某中国人未经依法批准,在某市开办了一所阿拉伯学校,专门招收外国学生就学;2010年6月24日,某市教育局执法大队依据教育法第二十七条、七十五条规定和民办教育促进法第十一条规定对拉某、丁某作出行政处罚决定：1、撤销拉某和丁某非法举办阿拉伯学校；2、没收违法所得;现拉某和丁某不服行政处罚决定,认为应适用国家教委关于开办外籍人员子女学校的暂行管理办法的有关条款处罚,从而提出复议申请;1. 下列哪些规范性文件可以设定行政处罚ABA.地方性法规B.行政法规C.市政府文件D.省教育局文件2. 教育法可以设定的行政处罚ABCDA.吊销企业营业执照B.责令停产停业C.没收违法所得D.限制人身自由3. 就法律适用的一般原则,以下说法正确的是ABCDA.上位法优于下位法B.特别法优于普通法C.新法优于旧法D.不溯及既往4. 拉某、丁某对某市教育局执法大队作出的行政处罚不服申请复议的,可向下列什么机关提出ACA.市人民政府B.市人大常委会C.省教育厅D.市监察局5. 拉某、丁某在行政复议决定作出前,要求撤回行政复议申请,则DA.不可以撤回B.经征求被申请人意见后,由行政复议机关决定是否准许C.可以撤回行政复议申请,行政复议终止D.经说明理由可以撤回八、某市卫生局经调查取证,根据市卫生办关于采集血液等若干问题的意见,采血行为必须获得市卫生办的采血资格证书,从而认定某公司实施了未经许可擅自采集血液的行为,于2007年11月7日决定取缔该公司非法采集血液的行为,同时没收5只液氮生物容器;某公司不服,向法院起诉;1. 没收5只液氮生物容器属于BA.保全措施B.行政处罚C.先予执行D.行政强制措施2. 某公司起诉,管辖法院为AA.市卫生局所在地法院B.公司所在地法院C.省卫生厅所在地法院D.市政府所在地法院3. 市卫生办关于采集血液等若干问题的意见对采血需获得市卫生办的采血资格证书的规定,属于AA.行政许可B.行政处罚C.行政强制D.行政强制措施4. 关于市卫生办关于采集血液等若干问题的意见,下列说法正确的是ACA.市卫生办关于采集血液等若干问题的意见设定的资格证书违法B.市卫生办关于采集血液等若干问题的意见设定的资格证书合法C.该公司不能直接诉讼该文件D.该公司可以直接诉讼该文件违法5. 下列说法,正确的是ABCA.市卫生局在调查时,执法人员不得少于两人,并应当向当事人出示证件B.若市卫生局当场作出决定,某公司不服申请复议的期限应自决定作出之日起计算C.若某公司起诉,市卫生局向法院提供的现场笔录的效力,优于某公司的证人对现场的描述D.某公司只能先申请复议,对复议决定不服的,才能向法院起诉九、山东省某县一造纸厂未经批准擅自在淮河流域的一河流管理范围内设置排污口,向河流内排污,受到某县环保局的查处;国务院颁布的淮河流域水污染防治暂行条例规定：“县级人民政府环境保护行政主管部门决定的罚款额,以不超过1万元为限；超过1万元的,应当报上一级环境保护行政主管部门批准;”县环保局责令造纸厂纠正违法行为,并经其上一级环境保护行政主管部门批准,对该造纸厂处以4万元的罚款;造纸厂以罚款过重为由,申请行政复议,在行政复议期间,被申请人将原来的4万元罚款改为3万元,对此,造纸厂表示同意其撤回申请;事后造纸厂又认为3万元的罚款还是过重,又以此事由再次向复议机关申请复议;1. 关于行政复议机构的职责,下列说法正确的是ABCDA.按照职责权限,督促行政复议申请的受理B.按照职责权限,督促行政复议决定的履行C.办理行政复议、行政应诉案件统计和重大行政复议决定备案事项D.办理或者组织办理未经行政复议直接提起行政诉讼的行政应诉事项2. 造纸厂再次向复议机关申请复议,下列说法正确的是ACA.以同一事实和理由提出的,一般情况下复议机关不予受理B.一般情况下复议机关予以受理C.造纸厂能证明撤回复议申请违背其真实意思表示的,可以受理D.造纸厂能证明县环保局作出改变的行为错误的,可以受理3. 关于本案,下列说法正确的是BDA.造纸厂因县环保局改变罚款决定而申请撤回复议,不符合复议法的规定B.造纸厂因县环保局改变罚款决定而申请撤回复议,符合复议法的规定C.行政复议决定做出前,申请人不得要求撤回行政复议申请D.经复议机关同意撤回复议后,行政复议终止4. 根据我国行政复议法,下列不能成为复议机关CDA.设立派出工作机构的县级人民政府所属工作部门B.国务院C.乡人民政府D.省人民政府办公厅秘书处5. 下列说法,正确的是ABCA.对县级以上地方各级人民政府工作部门的具体行政行为不服的,申请人可以向该部门的本级人民政府申请行政复议B.对县级以上地方各级人民政府工作部门的具体行政行为不服的,申请人可以向上一级主管部门申请行政复议C.对海关、金融、国税、外汇管理等实行垂直领导的行政机关和国家安全机关的具体行政行为不服的,向上一级主管部门申请行政复议D.对海关、金融、国税、外汇管理等实行垂直领导的行政机关和国家安全机关的具体行政行为不服的,向本级人民政府申请行政复议十、省工商局认定某黄金饰品公司在2009年到2010年期间,先后两次从无黄金饰品经营权的某厂购买黄金20公斤,总金额120万元,其买卖行为,违反了相关的法律;省工商局依法对该公司作出10万元罚款的行政处罚;黄金饰品公司不服处罚,提起行政复议;复议机关维持原决定;黄金饰品公司遂提起行政诉讼;法院依法向被告送达起诉状副本;工商局在开庭审理后,庭审结束前提交自己掌握的确凿证据,证据非常充分有力;1. 法院应该作出何种判决DA.对工商局所作的行政处罚予以确认B.重新确定对该黄金饰品公司的处罚C.认定行政处罚证据充分,判决维持D.认定行政处罚证据不足,判决撤销2. 法院作出如上判决的法律依据是ACDA.在行政诉讼中,被告对其作出的具体行政行为承担举证责任B.在行政诉讼中,被告不提供或者无正当理由逾期提供证据、依据的,由法院主动调查C.被告应当在收到起诉状副本之日起10日内提交答辩状,并提供作出具体行政行为时的证据、依据D.被告不提供或者无正当理由逾期提供的,应当认定该具体行政行为没有证据、依据3. 本案中行政复议机关是BA.省工商局B.省人民政府C.国务院D.省人民法院4. 原告黄金饰品公司对下列哪些事项承担举证责任ADA.证明起诉符合法定条件B.省工商局不提供的原件或原物C.省工商局在作出具体行政行为时已经收集证据,但因不可抗力等正当事由不能提供的D.在一并提起的行政赔偿诉讼中,证明因受被诉行为侵害而造成损失的事实5. 若有下列哪些情形之一的,省工商局经法院准许可以补充相关证据BCA.省工商局不了解自己的举证责任和期限的B.省工商局在作出具体行政行为时已经收集证据,但因不可抗力等正当事由不能提供的C.黄金饰品公司在诉讼过程中,提出了其在之前作出行政处罚时没有提出的反驳理由或证据D.省工商局收集证据确实有困难的十一、县建设局接群众举报称,A开发公司的某房屋工程未办理工程质量监督手续和工程施工许可证擅自开工建设,该局即指派执法人员李某前往调查取证;经查实,A开发公司违法事实确凿,县建设局拟依法对其作出罚款35万元的行政处罚,并在作出处罚决定前,向A开发公司当面送达了听证告知书;A公司当即要求组织听证,县建设局通知其次日下午到局机关参加听证;听证由本案调查人员李某主持,A开发公司进行了申辩和质证,并在听证笔录上签字,同时A开发公司按照县建设局的要求交纳了听证费用300元;听证结束后,县建设局对A开发公司作出罚款35万元的行政处罚,制作了行政处罚决定书,并于10日后送达给A开发公司;1. 本案中县建设局违反法宝程序的有哪些ABCDA.派李某一人前往现场调查取证B.通知A开发公司次日参加听证会C.李某主持召开听证会D.作出行政处罚决定后10日后送达A开发公司2. 关于本案中的听证,下列说法正确的是：ABDA. A开发公司应在县建设局告知后三日内提出B. A开发公司可以委托代理人参加听证C. A开发公司无权申请李某回避D.县建设局应当在听证的七日前通知A开发公司听证的时间、地点3. 本案听证告知书内容应当包括ABCA.作出行政处罚决定的事实B.作出行政处罚的理由和依据C. A开发公司有要求举行听证的权利D.举行听证会的时间4. 关于本案中300元听证费,下列说法正确的是：CA.听证费根据拟处罚额度确定B. A开发公司可以适当承担听证费用C. A开发公司不承担听证费用D. A开发公司可以要求降低费用BD5. A开发公司不服县建设局行政处罚决定,可以A.自收到行政处罚决定书之日起90天内向市建设局申请行政复议B.自收到行政处罚决定书之日起60天内向市建设局申请行政复议C.自收到行政处罚决定书之日起60天内向区人民法院提出行政诉讼D.自收到行政处罚决定书之日起3个月内向区人民法院提出行政诉讼十二、1月23日,杭州市散装办派执法人员甲与乙前往市预制构件厂现场检查;在厂房附近发现临时搭建的袋装水泥存放棚,里面有袋装水泥,旁边有已拆封的水泥袋,工人正在进行现场搅拌,生产水泥预制品;初步了解：市预制构件厂法人代表张某,现场由林某负责日常生产;执法人员发出责令限期改正通知书,责令停止使用包装水泥;执法人员回来后上报办领导,按规范执法程序的要求,对该工厂进行立案调查;经过询问调查和进一步取证,确认该工厂正常生产时使用散装水泥,因近期水泥价格上涨,供货不及时,为了赶制一批水泥制品,从外地进了一批袋装水泥使用,市散装办对该工厂发出了行政处罚决定书,并要求今后安排好生产和库存,禁止使用袋装水泥;1. 在本案中,关于调查询问笔录制作说法正确的是：ABA.被调查询问人应为企业的法定代表人张某B.林某在获得张某的书面授权情况下,可以接受调查询问C.调查询问笔录制作完毕后,应加盖A企业的公章,方可有效D.张某在接受调查询问中拒绝在调查询问笔录上签字,则该笔录当然无效2. 在本案中 ,甲可以ADA.单独向林某了解企业生产袋装水泥情况B.单独制作调查询问笔录C.为提高效率,一人现场拍照,另外一人制作现场调查笔录D.单独调阅企业的生产货物进出文本3. 散装办依法作出行政处罚决定后,当事人到期不缴纳罚款的,散装办可以对当事人每日按罚款数额的C 加处罚款;散装办凭当事人的银行缴款回单,开具省财政厅制发的罚款单据;A.３‰B.５‰C. 3%D. 5%4. 听证程序中,当事人须在接受处罚事先告知书之日起D日内提出书面申请;听证会的D日前,散装水泥管理机构通知当事人举行听证的时间、地点;A. 5, 7B. 3, 5C. 7, 3D. 3, 75. 散装办实施行政处罚,有下列ABCD 情形的,对直接负责的主管人员和其他直接责任人员依法给予行政处分;A.擅自改变行政处罚种类、幅度B.违反法定的行政处罚程序C.违法委托其他组织实施处罚D.自行收缴罚款2006年12月1日,某县工商局张某到个体经商户李某的音像商店,在未出示证件的情况下称有人举报李某出售神秘园盗版光碟,并当场作出罚款300元决定,并当场填写了预定格式的行政处罚决定书和罚款收据,准备现场收缴罚款;李某拒绝,张某决定加重处罚400元,于是双方发生争执,张某将李某打伤,花费医疗费450元;李某决定申请行政赔偿;1.张某的哪些行为违法A. 未出示证件B. 告诉李某谁是举报人C. 对李某加重处罚D. 出具罚款决定书和收据2. 对于李某当场表示拒绝缴纳罚款,以下说法正确的有A. 李某必须当场缴纳罚款B. 本案不存在可以当场缴纳罚款的情形,不应当当场收缴C. 李某拒绝缴纳罚款,张某可以用商店内物品抵扣D. 李某不服张某现场缴纳罚款时,可以暴力抗法4. 如果李某对处罚决定申请救济时,发现所依据的地方性文件关于加强某市文化市场管理若干问题的通知以下简称通知不合法时,下列说法正确的是A. 如果李某提起行政复议,可以一并向行政复议机关申请审查通知的合法性B. 李某单独对通知合法性提起行政诉讼C. 李某单独对通知合法性提起行政复议D. 李某无权单就通知合法性提起行政诉讼或者行政复议。
期末考试实施方案期末考试实施方案(7篇)为了确保事情或工作有序有力开展，常常需要提前准备一份具体、详细、针对性强的方案，方案可以对一个行动明确一个大概的方向。
那么优秀的方案是什么样的呢？以下是小编收集整理的期末考试实施方案，欢迎阅读与收藏。
期末考试实施方案1一、成立期末考试疫情防控工作组长：校长副组长：副校长成员：各系部负责人工作小组办公室设在教务处，教务处处长任办公室主任，负责期末考试疫情防控工作的统筹、协调和组织实施。
二、工作职责负责制定期末考试疫情防控工作实施方案，并做好相关职能部门工作协调，做好疫情防控的相关工作，同时做好考试期间的违纪调查工作。
各系部负责向学生、监考教师做好宣传，同时做好疫情考试工作的组织实施。
三、实施工作（一）对参与组考、监考环节的工作人员和考生，在期间要求每天进行日常体温测量和身体健康状况监测，做好每天体温测量并记录，确保考试时身体状况良好。
（二）考试期间上午8：00，下午14：00，晚上19：00前考生必须配合班委进行体温测量，班主任通过班级QQ群督促检查考生是否按时如实上报体温，如考试前3天有发热症状不得参加考试，由系部办理缓考审批手续，如出现不提交体温或超过37.3℃，均不能进入考场。
各系设置体温异常者复检点，供待检和复检人员复核时使用。
（三）如体温不合格，可适当休息后使用其他设备或其他方式再次测量，仍不合格的，报分院疫情防控领导小组办公室评估，综合研判评估是否具备参加考试的条件，凡不具备相关条件的，须安排在备用隔离考场考试，不得与健康考生同考场考试，（四）原则上每个系设2个备用隔离考场并安排专人。
当考试过程中发现有发热、咳嗽等呼吸道症状的考生，由分院疫情防控工作小组进行个案研判，具备继续完成考试条件的考生，启用备用隔离考场。
原则上必须一人一间，备用隔离考场不够用时，可采取最前排、坐最后排或四角排位的方式多人共用一间考场（最多不超过四人）。
考生从普通考场转移至备用隔离考场所耽误的'时间，予以补齐。
⼀、基础知识（30分）1.下列加点字注⾳全对的⼀项是（ 3分）（）A、洗濯（zhuó）丰硕（shuò）地窖（gào）⼼旷神怡（kuànɡ）B、诅咒（zǔ）奢望（shē）呵责（kē）猝然长逝（cù）C、玷污（zhān）泯灭（mǐn）厄运（è）险象迭⽣（dié）D、贪婪（lán）落难（nàn）论语（lún）碌碌终⽣（lù）2．下列词语中有别字的⼀项是（ 3分）（）A、委屈嫩芽分歧各得其所花枝招展B、诀别淡雅烂漫喜出望外鸦雀⽆声C、脸颊抗拒祷告形影不离滚⽠烂熟D、烦闷阴蔽纠纷疲惫不堪恍然⼤悟3．下列句⼦中加点词语使⽤不正确的⼀项是（3分）（）A、任何⼈，不管职位多⾼，都不能触犯⼈民的利益。
B、中国政府⼀贯致⼒于维护世界的和平与稳定，主张通过政治⼿段解决国际争端。
C、这感⼈的事迹真是值得可歌可泣，让⼈难以忘怀。
D、他锋芒毕露，时⽽向名家开炮，时⽽向报刊挥剑，常常成为焦点⼈物。
4、下列关于⽂学常识的说法，有错误的⼀项是（3分）A、《⾦⾊花》选⾃《泰⼽尔诗选》，泰⼽尔是印度⽂学家，1913年获若贝尔⽂学奖。
著有诗集《新⽉集》《园丁集》等。
B、《咏雪》选⾃《世说新语》，《世说新语》是⼀部主要记述魏晋⼈物⾔谈逸事的志⼈⼩说。
是由刘义庆组织⼀批⽂⼈编写的。
C、《春》和《济南的冬天》的作者依次是⽼舍和朱⾃清，他们都是现代作家。
⽼舍著有⼩说《骆驼祥⼦》《四世同堂》，戏剧《茶馆》《龙须沟》等，朱⾃清著有散⽂集《背影》等。
D、《风⾬》的作者是贾平凹，他是我国当代⽂坛屈指可数的⽂学⼤家和⽂学奇才，是⼀位当代中国叛逆性、最富创造精神和⼴泛影响的具有世界意义的作家，被誉为“⿁才”。
5．下列句⼦修辞⼿法与其它句⼦不同的⼀项是（3分）（）A．放下饱⾷过稻⾹的镰⼑。
B．树林⼦像⼀个⾯团了。
C．那座桥，是我要拜访的第⼀个⽼朋友。
教师绩效考核工资实施方案（精选7篇）教师绩效考核工资实施方案（精选7篇）1根据上级有关文件精神，为落实教师绩效工资分配政策，维护广大教职工利益，稳定基层教师队伍，激发广大教育工作者教书育人的工作热情，特制定本方案（试行）。
一、指导思想以深入贯彻落实科学发展观为指导，以推动义务教育持续、均衡发展为目标，以增强教师爱岗敬业的积极性为导向，建立健全符合教育规律、有利于教师成长、设置科学、考核体系完善的学校及教职工考核评估制度，全面提高学校整体办学水平，努力办好让人民满意的义务教育。
二、成立组织成立__中心校教师绩效考核领导小组；组长：__。
副组长：__。
组员：__。
三、实施对象各中小学在编在岗的工作人员。
退休、退职、退养人员均执行生活补贴。
其中，退休人员生活补贴标准由县人事、财政部门确定，按月发放；退职人员按照同职级退休人员标准的70%确定；退养民师按照在职教职工绩效工资增加平均额的70%执行。
四、考核原则1、分类管理，区别对待。
因各中小学校情差异很大，不便于集中统一管理，把学校分成四个层次：两中学、三小学、五村小、五教学点。
同类学校之间通过协商一致的原则尽可能制定基本统一的标准。
2、效率优先，兼顾公平。
要切实体现多劳多得、优绩优酬，在此基础上，照顾到教师之间不宜拉得过大。
3、激励先进，注重实绩。
建立考核体系，完善考核内容，对于师德师风、安全工作、单位的农远管理与应用实行一票否决，特别注重教师履行岗位职责的实际表现和工作贡献。
4、导向驱动，杠杆调节。
绩效工资考核分配，要向一线倾斜，向学习反思型教师倾斜，向善管理会创新的班子成员倾斜，特别要向在魅力德育和高效课堂等办学特色方面做出突出贡献的班子成员、教研组长、班主任和任课教师倾斜。
5、客观公正，便于操作。
坚持实事求是，民主公开；程序规范，公平公正；简便易行，利于操作。
五、绩效工资的分配1、中心校奖励基金：每学期按__元左右设立奖励基金，用于在魅力德育、高效课堂和各种全乡性教育教学活动的奖励。
第08讲空间向量基本定理7种常见考法归类1.通过对空间向量基本定理的意义的掌握与了解，会用空间向量的基底表示空间任一向量，能用正交分解及坐标形式表示空间向量.2.结合平面向量与空间向量的基本定理，解决平面与立体几何的相关问题.知识点1空间向量基本定理1．定理如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对任意一个空间向量p ，存在唯一的有序实数组(x ，y ，z )，使得p =x a +y b +z c .其中{a ，b ，c }叫做空间的一个基底，a ，b ，c 都叫做基向量．如果p =x a +y b +z c ，则称x a +y b +z c 为p 在基底{a ，b ，c }下的分解式.注：（1）对于基底{a ，b ，c }应明确以下三点：①空间中任意三个不共面的向量都可以作为空间的一个基底．基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示；不同基底下，同一向量的表达式也有可能不同．②基底中的三个向量a ，b ，c 都不是0.这是因为0与任意向量共线，与任意两个向量共面．由于零向量与任意一个非零向量共线，与任意两个不共线的非零向量共面，所以若三个向量不共面，就说明它们都不是零向量．③空间中的一个基底是由不共面的三个向量构成的，是一个向量组，基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念．（2）空间向量基本定理的推论设O ，A ，B ，C 是不共面的四点，则对空间内任意一点P 都存在唯一的有序实数组(x ，y ，z )，使得OP ―→＝x OA ―→＋y OB ―→＋z OC ―→.推论表明：可以根据空间向量基本定理确定空间任一点的位置．2．空间向量的正交分解(1)单位正交基底：空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，常用{i ，j ，k }表示．(2)正交分解：由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量a ，均可以分解为三个向量x i ，y j ，z k ，使a ＝x i ＋y j ＋z k .像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量正交分解．易错辨析：（1）构成基底的三个向量中，可以有零向量吗？不可以．（2）在四棱锥O ABCD 中，OA ―→可表示为OA ―→＝x OB ―→＋y OC ―→＋z OD ―→且唯一，这种说法对吗？对．知识点2证明平行、共面问题1.对于空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使a ＝λb .2.如果两个向量a ，b 不共线，那么向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x ，y )，使p ＝x a ＋y b .3．直线平行和点共线都可以转化为向量共线问题；点线共面可以转化为向量共面问题．1、判断基底的方法(1)判断一组向量能否作为空间的一个基底，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，就可以作为一个基底．如果从正面难以入手，可用反证法或利用一些常见的几何图形进行判断．(2)判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断．2、用基底表示向量的策略(1)若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及向量数乘的运算律进行．(2)若没给定基底时，首先选择基底，选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角已知或易求．3、证明平行、共面问题的思路(1)利用向量共线的充要条件来证明点共线或直线平行．要证两直线平行，可构造与两直线分别平行的向量，只要证明这两个向量满足a ＝λb 即可．(2)利用空间向量基本定理证明点线共面或线面平行．考点一：空间向量基本定理基底的判断例1．【多选】（2023春·江苏连云港·高二统考期中）设{},,a b c构成空间的一个基底，下列说法正确的是（）A ．a ，b ，c两两不共线，但两两共面B ．对空间任一向量p ，总存在有序实数组(),,x y z ，使得p xa yb zc =++C ．a ，a c - ，a c +能构成空间另一个基底D ．若0xa yb zc ++=，则实数x ，y ，z 全为零【答案】ABD【分析】根据空间向量基本定理一一判断即可.【详解】因为{},,a b c 构成空间的一个基底，所以a ，b ，c两两不共线，但两两共面，故A 正确；对空间任一向量p ，总存在有序实数组(),,x y z ，使得p xa yb zc =++，故B 正确；因为()()2a c a c a -++= ，所以a ，a c - ，a c + 共面，故不能构成空间的一个基底，故C 错误；根据空间向量基本定理可知，若0xa yb zc ++=，则实数x ，y ，z 全为零，故D 正确；故选：ABD变式1．（2023·全国·高三对口高考）已知{},,a b c 为空间的一个基底，则下列各选项能构成基底的是（）A ．,2,a a b a b -+B ．,,a b a b c+- C ．22,,2a b a b c++D ．,,2a c b c a b c++++ 【答案】B【分析】利用基底的性质进行求解.【详解】因为()232a b a a b -=-+ ，所以,2,a a b a b -+是共面向量，不能构成基底，A 不正确；因为,,a b a b c +-不是共面向量，所以可以构成基底，B 正确；因为22a b +与a b + 平行，所以22,,2a b a b c ++ 不能构成基底，C 不正确；因为2a c b c a b c +++=++，所以,,2a c b c a b c ++++ 共面，不能构成基底，D 不正确.故选：B.变式2．【多选】（2022·高二课时练习）若{}a b c，，构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（）A ．b c + ，b ，b c-B ．a ，a b + ，a b- C ．a b +，a b - ，cD ．a b +，a b c ++ ，c【答案】ABD【分析】利用共面向量定理逐项分析判断作答.【详解】{},,a b c构成空间的一个基底，对于A ，()()2b c b c b ++-= ，因此b c + ，b ，b c -共面，A 正确；对于B ，)()(2a a b b a ++-=，因此a ，a b + ，a b - 共面，B 正确；对于C ，假定a b +，a b - ，c 共面，则存在,R λμ∈使得()()()()c a b a b a b λμλμλμ=+-++-=+ ，而,,a b c不共面，则00λμλμ+=⎧⎨-=⎩，解得0λμ==，于是0c = ，,,a b c 共面，与,,a b c 不共面矛盾，因此a b +，a b - ，c 不能共面，C 错误；对于D ，()a b c a b c ++=++ ，因此a b +，a b c ++ ，c 共面，D 正确．故选：ABD变式3．【多选】（2023秋·山西晋中·高二统考期末）{},,a b c 是空间的一个基底，与a b +、a c + 构成基底的一个向量可以是（）A ．b c+B ．b c-C ．bD ．c【答案】ACD【分析】根据空间向量基本定理判断即可.【详解】由于()b c a b a c -=+-+ ，故b c - 与a b +、a c + 共面，无法构成空间的一个基底，故B 错误；因为{},,a b c 是空间的一个基底，由于不存在实数对x 、y ，使得()()b c x a b y a c +=+++，若成立则011x y x y +=⎧⎪=⎨⎪=⎩，显然方程组无解，故a b +、a c + 与b c + 可以作为空间的一个基底，故A 正确，同理可得C 、D 正确；故选：ACD变式4．（2023秋·云南大理·高二统考期末）若{}123,,e e e是空间的一个基底，且向量{}123123123,22,32OA e e e OB e e e OC ke e e =++=-+=++不能构成空间的一个基底，则k =（）A ．83B ．52C ．14-D ．94【答案】D【分析】由题意可知，向量OA 、OB 、OC共面，则存在实数x 、y 使得OC xOA yOB =+ ，根据空间向量的基本定理可得出关于x 、y 、k 的方程组，即可解得k 的值.【详解】因为向量123OA e e e =++ ，12322OB e e e =-+ ，12332OC ke e e =++不能构成空间的一个基底，所以OA 、OB 、OC共面，故存在实数x 、y 使得OC xOA yOB =+ ，即()()()()()123123123123322222ke e e x e e e y e e e x y e x y e x y e ++=+++-+=++-++ ，因为{}123,,e e e 是空间的一个基底，则2322k x y x y x y =+⎧⎪-=⎨⎪+=⎩，解得521494x y k ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩.故选：D.变式5．（2023秋·河北邯郸·高二统考期末）已知SA ⊥平面ABC ，AB AC ⊥，1SA AB ==，BC ，则空间的一个单位正交基底可以为（）A ．1,,2AB AC AS ⎧⎫⎨⎬⎩⎭B ．{},,AB AC ASC ．11,,22AB AC AS ⎧⎫⎨⎬⎩⎭D．,AS AB ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭【答案】A【分析】根据正交基地的定义可知，三个向量两两互相垂直，且模长为1.【详解】因为SA ⊥平面ABC ，AB 、AC 都在面ABC 内，所以SA AB ⊥，SA AC ⊥.因为AB AC ⊥，1AB =，BC =2AC =，又SA =1，所以空间的一个单位正交基底可以为1,,2AB AC AS ⎧⎫⎨⎬⎩⎭.故选：A考点二：用基底表示空间向量例2．（2023秋·浙江丽水·高二统考期末）在平行六面体1111ABCD A B C D -中，AC ，BD 相交于O ，M为1OC 的中点，设AB a =，AD b =，1AA c = ，则CM = （）A ．111442a b c+- B ．111442a b c-+C ．111442a b c --+ D ．311442a b c -+- 【答案】C【分析】由空间向量的线性运算结合图形计算即可.【详解】如图所示，()1111111112242442CM CO CC CB CD CC a b c =+=++=--+，故选：C变式1．（2023春·高二单元测试）在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为11A C 与11B D 的交点，若AB a =，AD b=，1AA c = ，则下列向量中与BM相等的向量是（）A ．1122a b c++ B ．1122a b c -++C ．1122a b c --+D ．1122a b c-+【答案】B【分析】根据给定条件，利用空间向量基本定理结合空间向量运算求解作答.【详解】在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为11A C 与11B D 的交点，111111111111()22222BM BA AA A M AB AA A B A D a c a b a b c =++=-+++=-+++=-++.故选：B变式2．（2023春·江苏徐州·高二统考期中）在正四面体A PBC -中，过点A 作平面PBC 的垂线，垂足为Q点，点M 满足34AM AQ = ，则PM =（）A ．131444PA PB PC-+B ．111444PA PB PC++C ．131444PA PB PC ++ D ．113444PA PB PC -+ 【答案】B【分析】根据已知条件，结合空间向量的线性运算，即可求解.【详解】由题知，在正四面体A PBC -中，因为AQ ⊥平面PBC ，所以Q 是PBC 的中心，连接PQ ，则()2132PQ PB PC =⨯+，所以34PM PA AM PA AQ=+=+ ()333444PA AP PQ PA PA PQ=+⨯+=-+ ()13211114432444PA PB PC PA PB PC =+⨯⨯+=++.故选：B变式3．（2023春·江苏盐城·高二盐城中学校考期中）在四面体O ABC -中，2PA OP =，Q 是BC 的中点，且M 为PQ 的中点，若OA a = ，OB b = ，OC c = ，则OM =（）A ．111644a b c++ B ．111622a b c++C ．111322a b c++ D ．111344a b c++ 【答案】A【分析】利用基底,,a b c表示,OP OQ ，再利用向量线性运算求解即可.【详解】因为2OP PA =，所以13OP OA = ，因为Q 是BC 的中点，所以1()2OQ OB OC =+，因为M 为PQ 的中点，所以1()2OM OP OQ =+ 1122OP OQ =+ 11()64OA OB OC =++ 146114a b c =++，故选：A.变式4．（2023秋·高二课时练习）如图，M ，N 分别是四面体OABC 的边OA ，BC 的中点，E 是MN 的三等分点，且13NE NM =，用向量,,OA OB OC 表示OE 为（）A ．16OE OA OB OC =++ B ．111333OE OA OB OC =++C ．111663OE OA OB OC=++ D ．111633OE OA OB OC=++ 【答案】D【分析】根据空间向量的线性运算，结合图形可得.【详解】因为13NE NM =，所以3NM NE = ，所以3()OM ON OE ON -=-，即1233OE OM ON =+ ，又11,()22OM OA ON OB OC ==+ ，所以111633OE OA OB OC =++ .故选：D变式5．（2023春·江苏徐州·高二统考期中）如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，P 是1CA 的中点，点Q 在1CA 上，且1:4:1CQ OA =，设AB a=，AD b = ，1AA c = ．则（）A ．333101010QP a b c =++ B ．777101010QP a b c =+-C ．333101010QP a b c=+- D ．111101010QP a b c=++ 【答案】C【分析】利用空间向量的线性运算即可求解.【详解】因为P 是1CA 的中点，所以11111()()()222AP AA AC AA AB AD a b c =+=++=++，又因为点Q 在1CA 上，且1:4:1CQ OA =，所以11111111114()5555AQ AA A Q AA A C AA AC AA AC AA =+=+=+-=+114114()55555AB AD AA a b c =++=++，所以1114333()2555101010QP AP AQ a b c a b c a b c =-=++---=+- ，故选：C.变式6．（2023春·江苏连云港·高二统考期中）在正四面体ABCD 中，O 为BCD △的重心，记AB a =，AC b =，AD c = ．若23AP AO = ，2CM MD = ，则PM =______．（用a ，b ，c 表示）【答案】214999a b c-++【分析】根据空间向量的线性运算求得正确答案.【详解】依题意，O 为BCD △的重心，则()()211323BO BC BD BC BD =⨯⨯+=+，所以23PM AM AP AC CM AO=-=+- ()2233AC CD AB BO=+-+ 222333AC CD AB BO=+-- ()()13222333AC A B D D AB C AC B +⎡⎤=+---⎢⎥⎣⎦2222233399AC AD AC AB BC BD=+----()()2222233399AC AD AC AB AC AB AD AB=+------ 22222223339999AC AD AC AB AC AB AD AB=+---+-+ 214214999999AB AC AD a b c =-++=-++.故答案为：214999a b c-++变式7．（2023秋·高二课时练习）如图，空间四边形OABC 中，G 、H 分别是ABC 、OBC △的重心，D为BC 的中点，设OA a = ，OB b = ，OC c = ，试用试用基底{},,a b c 表示向量OG和GH .【答案】()11,33=++=-OG a b c GH a【分析】由已知得()12AD AB AC =+ ，23AG AD = ，可得OG OA AG =+；由23= OH OD 可得=++ GH GA AO OH 可得答案.【详解】由已知得=-- OB b O a A ，=--OC c O a A ，因为G 是ABC 的重心，D 为BC 的中点，所以()()22112=+=+- A b A AB c D a C ，()()2213331222=+=+-=-⨯b AG ADc a b c a ，所以()()11233=+=+-++=++ OG OA AG a a b c a b c ；又因为H 是OBC △的重心，所以()()22113323==⨯+=+OH OD OC OB b c ，()()3131123=++=-+--++=- GH GA AO OH b c a a b c a .考点三：利用空间向量基本定理求参数例3．（2022秋·广东阳江·高二阳江市阳东区第一中学校考期中）已知三棱锥O ABC -，点P 为平面ABC 上的一点，且12OP OA mOB nOC =++（m ，n ∈R ）则m ，n 的值可能为（）A ．11,2m n ==-B ．,112m ==C ．1,12m n =-=-D ．1,12m n ==-【答案】A【分析】根据给定条件，利用点位于平面内的充要条件，建立关系即可判断作答.【详解】因为点P 为平面ABC 上的一点，12OP OA mOB nOC =++ ，则12OP m n OA m AB n AC ⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭ ，于是112m n ++=，即12m n +=，显然选项BCD 都不满足，A 选项满足.故选：A变式1．（2023·全国·高三对口高考）已知正方体1111ABCD A B C D -中，侧面11CC D D 的中心是P ，若1AP AD mAB nAA =++，则m =_________，n =_________．【答案】12/0.512/0.5【分析】用1,AB AA 表示出DP，从而得出m ，n 的值．【详解】由于11111()222AP AD DP AD DC DD AD AB AA =+=++=++，所以12m =，12n =，故答案为：12；12．变式2．（2023秋·高二课时练习）已知1,,BA BC BB 为三条不共面的线段，若1123AC xAB yBC zC C =++，那么x y z ++=（）A ．1B ．76C ．56D ．116【答案】B【分析】直接利用共面向量的基本定理求出结果.【详解】根据向量加法法则可得：11AC AB BC CC =++，即11AC AB BC C C =+- ，因为1123AC xAB yBC zC C =++ ，所以1x =，21y =，31z =-，所以1x =，12y =，13z =-，所以1171236x y z ++=+-=.故选：B.变式3．（2023春·江苏常州·高二常州市北郊高级中学校考期中）已知矩形ABCD ，P 为平面ABCD 外一点，PA ⊥平面ABCD ，点M N ，满足12PM PC = ，23PN PD = ．若MN xAB y AD z AP =++，则x y z ++=（）A ．12-B ．12C ．56-D ．－1【答案】A【分析】利用空间向量基本定理表示出MN，即可求解.【详解】矩形ABCD 中，AC AB AD =+ ,所以PC PA AC PA AB AD AP AB AD =+=++=-++.因为12PM PC = ，所以()12PM AP AB AD =-++ .因为PD AD AP =- ,23PN PD =，所以()23PN AD AP =- .所以()()2111132266MN PN PM AD AP AP AB AD AB AP AD =-=---++=--+ .所以111,,266x y z =-=-=，所以11112662x y z ⎛⎫⎛⎫++=-+-+- ⎪ ⎝⎭⎝⎭.故选：A变式4．（2023秋·山东聊城·高二统考期末）已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是平行四边形，若PD xPA yPB zPC =++，则xyz =______．【答案】1-【分析】根据空间向量的运算及空间向量基本定理得答案.【详解】因为四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是平行四边形，所以PD PA AD PA BC PA PC PB =+=+=+-，又PD xPA yPB zPC =++，由空间向量基本定理可得，1,1,1x y z ==-=，故1xyz =-.故答案为：1-.变式5．（2022秋·吉林延边·高二校考期末）已知正方体1111ABCD A B C D -，点E 是上底面11A C 的中心，若1AE AA xAB y AD =++，则2x y -等于（）A ．2B ．1-C ．12-D ．13【答案】C【分析】利用空间向量基本定理，结合正方体的结构特征求解作答.【详解】正方体1111ABCD A B C D -，点E 是上底面11A C 的中心，如图，则111111111111111()2222AE AA A E AA A C AA A B A D AA AB AD =+=+=++=++ ，1,,AA AB AD 不共面，又1AE AA xAB y AD =++ ，于是得12x y ==，所以122x y -=-.故选：C例4．（2023春·安徽池州·高二池州市第一中学校联考阶段练习）已知{},,a b c 是空间的一组基底，其中23AB a b =- ，AC a c =- ，2AD b c λ=+.若A ，B ，C ，D 四点共面，则λ=（）A ．34-B ．34C ．43D ．43-【答案】D【分析】根据题意，设存在唯一的实数对(,)x y ，使得AB x AC y AD =+，结合向量的数乘运算和相等向量的概念计算，即可求解.【详解】由题意，设存在唯一的实数对(,)x y ，使得AB x AC y AD =+，即()()232a b x a c y b c λ-=-++ ，则()232a b xa yb y x c λ-=++-，则x =2，32y =-，0y x λ-=，解得43λ=-.故选：D.变式1．（2023秋·河北唐山·高二统考期末）正四面体ABCD 中，若M 是棱CD 的中点，AP AM λ=，1166AB BP AC AD +=+，则λ=______.【答案】13【分析】根据空间向量线性运算得到1166AC AM AD λλ+=，证明出共线定理的推论，由,,M C D 三点共线，得到11166λλ+=，求出13λ=.【详解】因为AB BP AP +=，所以1166AP AC AD =+ ，即1166AC A AM D λ+= ，1166AC AM AD λλ+=，下面证明：已知OB xOA yOC =+，若,,A B C 三点共线，则1x y +=，因为,,A B C 三点共线，所以存在非零实数t ，使得AB t AC =，即()OB OA t OC OA -=- ，整理得()1OB tOC t OA =+- ，故1x t =-，y t =，所以1x y +=，因为,,M C D 三点共线，故11166λλ+=，解得：13λ=.故答案为：13考点四：用向量法证明平行、共面问题例5．（2023秋·广西河池·高二统考期末）已知,,A B C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，下列条件中能确定点,,,M A B C 共面的是（）A ．123OM OA OB OC =+- B ．322OM OA OB OC=-- C ．111243OM OA OB OC=++ D ．221333OM OA OB OC=+- 【答案】D【分析】OM xOA yOB zOC =++，分析出当,,,M A B C 共面时，1x y z ++=，从而分析四个选项，得到正确答案.【详解】当,,,M A B C 共面时，不妨设AM AB AC λμ=+，变形得到()()OM OA OB OA OC OA λμ-=-+-，则()1OM OB OA OC λλμμ=-+-+，设OM xOA yOB zOC =++，若点M 与点,,A B C 共面，则11x y z λμλμ++=--+++=，只有选项D 中2211333⎛⎫++-= ⎪⎝⎭符合题意.故选：D .变式1．（2022·高二单元测试）对于任意空间四边形ABCD ，E ，F 分别是AB ，CD 的中点．(1)试证：EF 与BC，AD 共面；(2)AD a = ，AB b = ，AC c = ，试用基底{a ，b ，c}表示向量BF ．【答案】(1)证明见解析(2)()122BF a c b =+- ．【分析】（1）连接AC ，取AC 的中点P ，连接PE ，PF ，根据直线与平面平行的判定定理可得AD ∥平面PEF ，BC ∥平面PEF ，从而可得向量EF 与BC，AD 共面；（2）直接利用向量的加减法运算得答案．【详解】（1）证明：如图，连接AC ，取AC 的中点P ，连接PE ，PF ．∵P ，F 分别为AC ，CD 的中点，∴AD ∥PF ．又∵PF ⊂平面PEF ，AD ⊄平面PEF ．∴AD ∥平面PEF ．同理可证，BC ∥平面PEF ．∴向量EF 与BC，AD 共面.（2）解：()()1122BF BC BD AC AB AD AB=+=-+-()()112222AC AD AB a c b =+-=+-.变式2．（2023春·高二课时练习）如图，正方体1111ABCD A B C D -中，O 为1AC 上一点，且1123A O A C =，BD 与AC 交于点M .求证：1,,C O M 三点共线．【答案】证明见解析.【分析】取空间的基底，利用空间向量基本定理探求1,MC MO的关系，即可推理作答.【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，令1,,AB a AD b AA c ===，1123A O A C =，BD 与AC 交于点M ，即点M 是AC 的中点，于是111111111()232363MO MC CO AC CA AC AA AC AC AA =+=+=+-=+ 111111()63663AB AD AA a b c =++=++，11111111()2222MC MC CC AC AA AB AD AA a b c =+=+=++=++ ，因此13MC MO = ，即1//MC MO，而直线1MC 与直线MO 有公共点M ，所以1,,C O M 三点共线.变式3．（2023春·广东·高二统考阶段练习）如图，在四面体OABC 中，12BM BC = ，12MN NO = ，34AP AN = ，用向量,,OA OB OC 表示OP ，则OP =________．若OQ OB λ= ，且PQ //平面ABC ，则实数λ=________．【答案】111444OA OB OC ++34/0.75【分析】运用空间向量的线性运算法则，将OP用基底,,OA OB OC 表示出来，延长OP 与AM 交于D ，当//PQ BD 时，//PQ 平面ABC .【详解】由条件可知：()33134444OP OA AP OA AN OA ON OA OA ON=+=+=+-=+()132111111443422444OA OM OA OB OC OA OB OC =+⨯=+⨯+=++；延长OP 与AM 交于D ，连接BD ，则当//PQ BD 时，PQ ⊄Q 平面ABC ，BD ⊂平面ABC ，//PQ ∴平面ABC ；令,OD OP AD mAM μ== ，则有1111444AD OD OA OP OA OA OB OC μμμμ⎛⎫=-=-=-++ ⎪⎝⎭，()()11112222AD m AM m AB AC m OB OA OC OA mOA mOB mOC ==+=-+-=-++ ，根据向量基底表示法的唯一性，有：1141124m m μμ⎧-=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得24,33m μ==，//,,OQ OP PQ BD OPQ OBD OB OD∴= 34=，34λ∴=.故答案为：111444OA OB OC ++，34变式4．（2023·四川达州·统考二模）如图，E 、F 、G 分别是正方体1111ABCD A B C D -的棱AD 、AB 、CD 的中点，H 是1AC 上的点，1//GC 平面EFH .若AB =AH =___________.【答案】1【分析】设1AH AC λ= ，其中01λ≤≤，将EF 、EH 、1GC 用基底{}1,,AB AD AA 表示，分析可知1GC 、EF、EH共面，则存在m 、n ∈R ，使得1EH mEF nGC =+ ，根据空间向量的基本定理可得出关于m 、n 、λ的方程组，解出λ的值，即可得出AH 的长度.【详解】设1AH AC λ=，其中01λ≤≤，1122EF AF AE AB AD =-=- ，()111122EH AH AE AB AD AA AD AB AD AA λλλλ⎛⎫=-=++-=+-+ ⎪⎝⎭，11112GC GC CC AB AA =+=+ ，因为1//GC 平面EFH ，则1GC 、EF 、EH 共面，显然1GC 、EF不共线，所以，存在m 、n ∈R ，使得1EH mEF nGC =+，即1111112222AB AD AA m AB AD n AB AA λλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+=-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111222m n AB m AD n AA ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭ ，因为{}1,,AB AD AA 为空间中的一组基底，所以，11221122m n m n λλλ⎧+=⎪⎪⎪-=-⎨⎪=⎪⎪⎩，解得13λ=，因此，11133AH AC ===.故答案为：1.变式5．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知四棱柱1111ABCD A B C D -的底面1111D C B A 为平行四边形，E 为棱AB 的中点，13AF AD = ，12AG GA = ，1AC 与平面EFG 交于点M ，则1AMAC =________.【答案】213【分析】设1AM AC λ= ，其中01λ<<，用AB、AD 、1AA 表示向量GM 、GE 、GF ，利用共面向量的基本定理可知存在m 、n ∈R 使得GM mGE nGF =+，由空间向量基本定理可得出关于m 、n 、λ的方程组，即可解得实数λ的方程组，即可解得实数λ的值.【详解】设()111AM AC AB AD AA AB AD AA λλλλλ==++=++，其中01λ<<，1112233GM AM AG AB AD AA AA AB AD AA λλλλλλ⎛⎫=-=++-=++- ⎪⎝⎭ ，11223GE AE AG AB AA =-=- ，11233GF AF AG AD AA =-=- ，因为E 、F 、G 、M 四点共线，则向量GM 、GE、GF 共面，由共面向量定理可知，存在m 、n ∈R 使得GM mGE nGF =+，即1112121232333AB AD AA m AB AA n AD AA λλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()1112233m AB n AD m n AA =+-+，所以，()12132233m n m n λλλ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪-+=-⎪⎩，解得213λ=.故答案为：213.考点五：用基底法求空间向量的数量积例6．（2023春·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考期中）如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱11A D ，CD 的中点，记BC a = ，BA b = ，1BB c = ，满足11π3B BC B BA ∠=∠=，π2CBA ∠=，2AB BC ==，13BB =.(1)用a ，b ，c 表示FE ；(2)计算BC FE ⋅.【答案】(1)1122FE b c a=+-(2)1【分析】（1）根据空间向量对应线段的位置关系，用1,,BA BB BC 表示出FE；（2）应用向量数量积的运算律得BC FE ⋅ 11122BC BA BC BB BC BC =⋅+⋅-⋅，结合已知即可求数量积.【详解】（1）11FE FD DD D E =++ 11122BA BB BC =+-1122b c a =+- ；（2）11122BC FE BC BA BB BC ⎛⎫⋅=⋅+- ⎪⎝⎭ 11122BC BA BC BB BC BC =⋅+⋅-⋅ 11πcos 22BC BA BC BB =+ 2π1cos 32BC -0321=+-=.变式1．（2023春·福建漳州·高二漳州三中校考阶段练习）已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于1，点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则AE CF ⋅的值为____________．【答案】12-/0.5【分析】BC ，BD ，BA两两成60 角，模都为1，以这三个向量为基底，进行向量数量积运算.【详解】根据题意ABCD 为正四面体，BC ，BD ，BA 两两成60角，12BA BC BA BD BC BD ⋅=⋅=⋅= ,由12AE BE BA BC BA =-=- ，1122CF BF BC BA BD BC =-=+- ，所以111222AE CF BC BA BA BD BC ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11111111114242222222=⨯+⨯---⨯+=-．故答案为：12-变式2．（2023春·江苏淮安·高二校考阶段练习）如图，在空间四边形OABC 中，2BD DC =，点E 为AD 的中点，设OA a,OB b,OC c ===.(1)试用向量,,a b c 表示向量OE；(2)若4,3,60OA OC OB AOC BOC AOB ∠∠∠======，求OE AC ⋅ 的值.【答案】(1)111236OE a b c =++ ；(2)83-.【分析】（1）由点E 为AD 的中点，可得1()2OE OA OD =+ ，而11()33OD OB BC OB OC OB =+=+- ，代入前面的式子化简可得结果；（2）由（1）可知111236OE a b c =++ ，由于AC OC OA c a =-=-，再利用数量积的运算律结合已知条件可求得结果.【详解】（1）因为点E 为AD 的中点，所以111()222OE OA OD OA OD =+=+，因为2BD DC =，所以13BD BC = ，所以1121()3333OD OB BC OB OC OB OB OC =+=+-=+ ，所以11211111112233236236OE OA OB OC OA OB OC a b c ⎛⎫=++=++=++ ⎪⎝⎭；（2）由（1）得111236OE a b c =++，因为4,3,60OA OC OB AOC BOC AOB ∠∠∠======，AC OC OA c a =-=- ，所以()111236OE AC a b c c a ⎛⎫⋅=++⋅- ⎪⎝⎭22111111223366a c a b c a b c a c =⋅-+⋅-⋅+-⋅ 221111132336a c abc a b c =⋅-+⋅-⋅+221111144cos 60434cos 6034cos 60432336=⨯⨯︒-⨯+⨯⨯︒-⨯⨯︒+⨯11144816326=⨯⨯⨯-+⨯83=-.考点六：用向量法解决立体几何的垂直、夹角问题例7．（2023春·江苏镇江·高二江苏省镇江中学校考阶段练习）在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1AB AD AA ==，且1160BAD A AD A AB ∠=∠=∠=︒，则1C AB ∠的余弦值是________.【答案】3【分析】利用空间向量基本定理，得到11AC AB AD AA =++，求出1AC ，1AC AB ⋅ ，再由向量夹角公式求1C AB ∠的余弦值.【详解】由题设，可得如下示意图，∴111AC AD AB CC AD AB AA =++=++ ，设AB a = ，则1AD AA a ==，又1160BAD A AD A AB ∠=∠=∠=︒，所以212AB AD a ⋅= ，2112AB AA a ⋅= ，2112AD AA a ⋅= ，所以以11AC AB AD AA =++===.()22221111222AC AB AD AB AA AB a a a a ⋅=++⋅=++= ，所以21111cos cos,AC ABC AB AC ABAC AB⋅∠===.变式1．（2023春·甘肃金昌·高二永昌县第一高级中学校考期中）如图，在平行六面体1111ABCD A B C D-中，2AB=，2AD=，12AA=，1160BAA DAA∠=∠=︒，90BAD∠=︒，则1BC与1CA所成角的余弦值为（）A．6-BC．4-D．4【答案】B【分析】根据空间向量的基本定理和向量的数量积的定义即可求解.【详解】设AB a=，AD b=，1AA c=，因为,,a b c向量不共面，故{},,a b c可构成空间的一组基底，结合2a=，2b=，2c=，1160DAA∠=∠=︒，90BAD∠=︒，所以a b⋅=0，=a c⋅122=22⨯⨯，12=22=2b c⨯⨯⋅，则1BC b c=+，1CA a b c=--+，可得11BC CA⋅()()b c a b c=+⋅--+22a b a c b b c c b c=-⋅-⋅--⋅+⋅+0244=--+2=-，1BC===，1CA==2=，所以111111cos,BC CABC CABC CA⋅===又因为异面直线所成角的范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，所以1BC 与1CA.故选：B.变式2．【多选】（2023春·河南洛阳·高二洛宁县第一高级中学校联考阶段练习）在三棱锥A BCD 中，AB，AC ，AD 两两夹角均为π3，且112AB AC AD === ，若G ，M 分别为线段AD ，BC 的中点，则（）A．4MG =B．2MG =C ．异面直线AC 与DB所成角的正弦值为6D ．异面直线AC 与DB【答案】BC【分析】根据空间向量对应线段的位置及数量关系，用,,AB AC AD 表示出MG，应用数量积的运算律求向量的模长，根据向量夹角公式、数量积运算律求异面直线夹角.【详解】不妨设,,AB a AC b AD c ===，则||||1,||2a b c === ，且1,12a b b c a c ⋅=⋅=⋅= ，111()()222MG AG AM AD AB AC c a b =-=-+=-- ，所以||2MG = ，因为1()2AC BD b c a b c a b ⋅=⋅-=⋅-⋅=，且||BD = ，所以cos ,AC BD = 36AC BD AC BD ⋅=，则sin ,AC BD == 所以异面直线AC 与DB所成角的正弦值为故选：BC变式3．（2023·河北·统考模拟预测）点M 、N 分别是正四面体ABCD 棱BC 、AD 的中点，则cos ,AM CN =______．【答案】23-【分析】以,,AB AC AD为基底，()11,22AM AB AC CN AD AC =+=- ，即可求解.【详解】解：以,,AB AC AD为基底，它们两两之间均为60︒，设正四面体ABCD 棱长为2，则()11,22AM AB AC CN AD AC =+=- ,()1111122222⋅⎛⎫⎛⎫⋅=+-=+-- ⎪ ⎪⋅⋅⎝⎭⎭⋅⎝ AM CN AB AC AD AC AD AB AD AC AC AB AC AC ()1112422=+--=-所以()()222112324⎡⎤=+=+⋅+=⎢⎥⎣⎦，AM AB AC AB AB AC AC 22211324⎛⎫=-=-⋅+= ⎪⎝⎭CN AD AC AD AD AC AC ，所以2cos ,3AM CN AM CN AM CN⋅==-⋅ ,故答案为：23-变式4．（2023秋·浙江湖州·高二统考期末）在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为平行四边形，且4,2,60AB AD BAD ∠=== ，11190,60,47BAA DAA BD ∠∠=== .(1)用1,,AB AD AA 表示1BD，并求1AA 的长；(2)若E 为11B C 中点，求异面直线1BD 与CE 所成角的余弦值.【答案】(1)11BD AA AD AB =+-，15AA =【分析】（1）根据向量的线性运算法则求解；（2）用1,,AB AD AA 表示CE，计算1BD CE ⋅ ，由向量法求异面直线所成的角．【详解】（1）111BD AA A AD A D B B A =-=+- ，111122AA AD AA AA ⋅=⨯⨯=，110,4242AB AA AD AB ⋅=⋅=⨯⨯= ，222211147222BD AA AD AB AD AB AA AD AB ==+++⋅-⋅-⋅ ，即2114741628AA AA =+++-，解得15AA = ；（2）由（1）知111111,2BD AA AD AB CE CC C E AA AD=+-=+=-()2211111111112222BD CE AA AD AB AA AD AA AD AD AA AB AA AB AD⎛⎫⋅=+-⋅-=-+⋅-⋅+⋅ ⎪⎝⎭115525254222=-+⨯+⨯=1BD CE == 设异面直线1BD 与CE 所成角为θ，则111552cos cos ,BD CE BD CE BD CEθ⋅===⋅变式5．（2023春·广西南宁·高二统考开学考试）已知在平行六面体1111ABCD A B C D -中，2AB =，13AA =，1AD =且113DAB BAA DAA π∠=∠=∠=.(1)求1DB 的长；(2)求向量1DB 与AB夹角的余弦值.【答案】5.【分析】（1）用空间的一个基底1{,,}AB AD AA表示向量1DB ，再利用空间向量数量积的运算律求解作答.（2）利用（1）中信息，结合空间向量的夹角公式计算作答.【详解】（1）在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1{,,}AB AD AA为空间的一个基底，因为2AB =，13AA =，1AD =且113DAB BAA DAA π∠=∠=∠=，则11πππ321cos 1,23cos 3,13cos 3332AB AD AB AA AD AA ⋅=⨯⨯=⋅=⨯⨯=⋅=⨯⨯= ，111DB DA AB BB AB AD AA =++=-+ ，所以1||DB ==（2）由（1）知，11DB AB AD AA =-+ ，则22112136DB AB AB AB AD AB AA ⋅=-⋅+⋅=-+=，又1DB = ，所以向量1DB 与AB夹角的余弦值111cos ,5||||DB DB D B AB AB B A ⋅〈〉==.例8．（2022·全国·高二假期作业）如图，一个结晶体的形状为平行六面体1111ABCD A B C D -，其中以顶点A 为端点的三条棱长均为1，且它们彼此的夹角都是60︒.(1)求证：1AC DB ⊥；(2)求异面直线1BD 与AC 所成角的余弦值.【答案】(1)证明见解析【分析】（1）根据平面向量转化基底，以及加减运算和数量积的运算性质，得到10AC DB ⋅=，即可证得1AC DB ⊥；（2）根据平面向量转化基底，求出1BD 、AC 、1AC BD ⋅，再利用夹角公式即可求解.【详解】（1）证明：∵以顶点A 为端点的三条棱长均为1，且它们彼此的夹角都是60︒，∴11111cos602AA AB AA AD AD AB ⋅=⋅=⋅=⨯⨯︒= ，∴()()1111111()()AC DB AA A B B C AD AA AB AD AB AD ⋅=++⋅-=++⋅- 22110AA AB AA AD AB AB AD AD AB AD =⋅-⋅+-⋅+⋅-= ，∴1AC DB ⊥.（2）∵111BD AD DD AB AD AA AB ==+-+- ，AC AB BC AB AD =+=+ ，∴1BD ===||AC ==== ，()11()BD AC AD AA AB AB AD ⋅=+-⋅+12211111122AD AB AA AB AA AD =+⋅-++⋅=-+= ，∴111cos ,6BD AC BD AC BD AC⋅=⋅，∴异面直线1BD 与AC所成角的余弦值为6.变式1．【多选】（2023春·山东菏泽·高二统考期末）如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，AC 与BD 交于O 点，且1160BAD BAA DAA ∠=∠=∠=︒，4AB AD ==，15AA =.则下列结论正确的有（）A ．1AC BD ⊥B ．119BC AC ⋅=C．1BD =D ．111122OB AB AD AA =--【答案】AB【分析】由向量的分解和向量数量积公式、向量的求模公式即可判断.【详解】如图，由题意得，2216AB AD == ，2125AA = cos 44cos608AB AD AB AD BAD ⋅=⋅∠=⨯︒=，111cos 45cos6010AB AA AB AA BAA ⋅=⋅∠=⨯︒=，111cos 45cos6010AD AA AD AA DAA ⋅=⋅∠=⨯︒=，对于选项A ，()()11AC BD AB BC CC AD AB⋅=++⋅-11AB AD AB AB BC AD BC AB CC AD CC AB =⋅-⋅+⋅-⋅+⋅-⋅ 2211AB AD A D AA B A B A AD A A A D AB =⋅-+-⋅+⋅-⋅ 2211161610100A AA D AA AB A D AB =-++⋅-⋅=-++-=所以1AC BD ⊥，即1AC BD ⊥.故选项A 正确.对于选项B ，()()1111BC AC BC CC AC AA ⋅=+⋅-()()()()()11111AD AA AB AD AA AD AA AB AD AA AD AA =+⋅+-=+⋅++⋅-2211AD AB AA AB AD AA =⋅+⋅+- 81016259=++-=故选项B 正确.对于选项C ，()()222111B A AD ABAD A D A B=-=+-222111222AD AB AD AA AD AB AA A A A B=+++⋅-⋅-⋅ 16251620162041=+++--=所以1BD =1BD =故选项C 错误.对于选项D ，()1111111112222OB OB BB DB AA AB AD AA AB AD AA =+=+=-+=-+故选项D 错误.故选：AB变式2．【多选】（2023春·江苏连云港·高二校考期中）如图所示，平行六面体1111ABCD A B C D -，其中AB AD ==，11AA =，60DAB ∠=︒，1145DAA BAA ∠=∠=︒，下列说法中正确的是（）A ．1AC =B ．1AC DB⊥C ．直线AC 与直线1BD 是相交直线D ．1BD 与AC 所成角的余弦值为2【答案】AB【分析】A 选项，利用空间向量运算法则得到11AC AB AD AA =++，平方后，由向量数量积公式求出2111AC = ，求出1AC A 正确；B 选项，求出DB AB AD =- ，()()110A AB AD AA A C DB AB D ⋅⋅=++-=，得到B 正确；C 选项，作出辅助线，得到四边形11ABCD 为平行四边形，点A ∈平面11ABC D ，而点C ∉平面11ABC D ，从而得到C 错误；D 选项，先得到AC AB AD =+ ，11BD AD AB AA =-+，从而求出()()116A AB AD AD A C B B AA D ⋅⋅+=+-= ，1AC BD，利用空间向量余弦夹角公式求出答案.【详解】由空间向量运算法则得到：11AC AB AD AA =++，所以()2222211111222AC AB AD AA AB AD AA AB AD AB AA AD AA =++=+++⋅+⋅+⋅112212cos602cos 452cos 45AB AD AB AA AD AA =+++⋅︒+⋅︒+⋅︒122111222=+++++=，故1AC =A 正确；因为DB AB AD =-，所以()()11A A AB AD A AB ADC DB ++=⋅⋅- 2211AB AD AA AB AA AD-+⋅-⋅=112cos 45cos 4502AA AB AA AD -+⋅︒=-⋅︒=，故1AC DB ^，1AC DB ⊥，B 正确；连接11,A D BC，因为11//AB C D ，且11AB C D =，所以四边形11ABC D 为平行四边形，点A ∈平面11ABC D ，而点C ∉平面11ABC D ，故直线AC 与直线1BD 是异面直线，C 错误；AC AB AD =+ ，11BD AD AB AA =-+，()()11D A AB AD A AB A C BD A +⋅=-⋅+2211AB AD AB AB AA AD AD AB AD AA =⋅-+⋅+-⋅+⋅ 112cos 452cos 45112AB AA AD AA =-+⋅︒++⋅︒=+=，又()22222AC AB ADAB AB AD AD=+=+⋅+ 222cos60426AB AD =++⋅︒=+=，()2222211111222BD AD AB AA AD AB AA AD AB AD AA AB AA =-+=++-⋅+⋅-⋅ 112212cos602cos 452cos 45AD AB AD AA AB AA =++-⋅︒+⋅︒-⋅︒523=-=，故1AC BD == ，设1BD 与AC 所成角为θ，所以111cos cos 3AC BD AC BD AC BD θ⋅=⋅==⋅故1BD 与AC所成角的余弦值为3，D 错误.故选：AB考点七：用向量法解决立体几何的距离问题例9．（2023春·宁夏银川·高二银川一中校考期中）如图所示，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面为平行四边形，以顶点A 为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60︒，则1AC 的长为（）AB ．2CD【答案】D【分析】记AB a =，AD b =，1AA c =，由1AC a b c =++ ，利用向量法即可求出1AC 的长.【详解】解：记AB a =，AD b =，1AA c = ，由题意可知1a b c === ，,,,60a b b c c a ︒〈〉=〉=〈〉=，所以11cos601122a b b c c a a b ⋅=⋅=⋅=⋅⋅=⨯⨯=，222221111()2()11126222AC a b c a b c a b b c c a ⎛⎫=++=+++⋅+⋅+⋅=+++⨯++= ⎪⎝⎭，所以1AC =1AC故选：D.变式1．（2023春·安徽合肥·高二校考开学考试）在平行六面体1111ABCD A B C D -中，11AA =，AB AD ==，且1145A AD A AB ∠=∠=，60DAB ∠= ，则1BD =（）A ．1BCD ．2【答案】C【分析】根据图形，利用向量的加法法则得到11AB AD AA BD =-++，再利用空间向量的数量积及运算律求模长.【详解】以{}1,,AB AD AA 为基底向量，可得111BA AD DD AB AD AA BD =++=-++，则2222211111()222BD AB AD AA AB AD AA AB AD AB AA AD AA =++=++-⋅-⋅+-⋅uuu r uu u r uuu r uuu r uu u r uuu r uuu r uu u r uuu r uu u r uuu r uuu r uuu r 1222cos6021cos4521cos45=++-⨯-⨯⨯+⨯⨯15432=-⨯-，∴1BD =故选：C.变式2．（2022秋·新疆克拉玛依·高二克拉玛依市高级中学校考期中）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱PA 的长为2，且60PAB PAD ∠=∠= .若M 是PC 的中点，设,,AB a AD b AP c === .(1)将空间向量PC 与BM 用,,a b c表示出来；(2)求线段BM 的长.【答案】(1)111,222PC a b c BM a b c=+-=-++62【分析】（1）根据向量的线性运算用基底表示向量即可；（2）利用（1）的结论以及模长公式计算可求出结果.【详解】（1）。
