北京市丰台区2015届九年级上学期期末考试数学试卷

2013-2014 学年北京市丰台区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（每小题4 分，共32 分）1．（4 分）﹣5 的倒数是（）A．5 B．﹣5 C．D．﹣2．（4分）如果，那么下列等式成立的是（）A．B．C．5x=4y D．3．（4 分）2012 年“十一”黄金周期间，我区共接待游客482 600 人次．把482 600 用科学记数法表示为（）A．4.826×105 B．4.826×104 C．4.826×103 D．4.826×102 4．（4 分）如图，AB 是⊙O 的直径，C、D 是⊙O 上的点，若∠BAC=40°，则∠D 等于（）A．40°B．50°C．55°D．60°5．（4 分）在Rt△ABC 中，∠C=90°，若tanA=，则sinA 等于（）A．B．C．D．6．（4 分）如图，▱ABCD 中，对角线AC、BD 相交于点O，E 是AD 的中点，连接OE，如果AB=8，那么OE 为（）A．6 B．4 C．3 D．27．（4 分）在反比例函数y=（k＜0）的图象上有两点（1，y1），（﹣2，y2），则y1﹣y2 的值是（）A．负数B．非正数C．正数D．不能确定8．（4 分）如图，A 点在半径为2 的⊙O 上，过线段OA 上的一点P 作直线l，与⊙O 过A 点的切线交于点B，且∠APB=60°，设OP=x，则△PAB 的面积y 关于x 的函数图象大致是（）A．B．C．D．二、填空题（每题4 分，共16 分）9．（4 分）如图，⊙O 的直径CD 过弦AB 的中点E，∠BCD=15°，⊙O 的半径为10，则AB=．10．（4 分）将抛物线y=2x2 先沿x 轴方向向左平移2 个单位，再沿y 轴方向向下平移3 个单位，所得抛物线的解析式是．11．（4 分）为了测量校园水平地面上一棵不可攀的树的高度，学校数学兴趣小组做了如下的探索：根据光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如图所示的测量方案：把一面很小的镜子放在离树底（B）8.4 米的点 E 处，然后沿着直线BE 后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE=2.4 米，观察者目高CD=1.6 米，则树（AB）的高度为米．12．（4 分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，我们把由两条射线AE、BF 和以AB 为直径的半圆所组成的图形叫作图形C．已知A（﹣1，0），B（1，0），AE ∥BF，且半圆与y 轴的交点D 在射线AE 的反向延长线上，当一次函数y=x+b 的图象与图形C 恰好只有一个公共点时，b 的取值范围是．三、解答题13．（5 分）计算：tan45°﹣2sin30°+（π﹣3.14）0+（）﹣2．14．（5 分）已知x+y=时，求代数式x（x+2y）﹣（x+y）（x﹣y）+x2 的值．15．（5 分）如图，在△ABC 中，∠A=60°，AC=6，AB=8．求tanB 的值．16．（5 分）如图，平行四边形ABCD 中，E 是DC 的中点，连接BE 交对角线AC 于F．（1）求证：△ABF∽△CEF；（2）若AC=9，求AF 的长．17．（5 分）已知：如图，BC 是⊙O 的切线，C 是切点，AC 是⊙O 的弦，AO 的延长线交BC 于点B，设⊙O 的半径为，∠ACB=120°．求AB 的长．18．（5 分）已知一次函数与反比例函数y=﹣的图象交于点P（﹣3，m），Q（2，﹣3）．求一次函数的解析式．四、解答题（本题共10 分，每小题5 分）19．（5 分）已知：如图，在矩形ABCD 中，AB=4，AD=10，F 是AD 上一点，CF ⊥EF 于点F 交AB 于点E，．求AE 的长．20．（5 分）甲乙两人在玩转盘游戏时，把转盘A、B 分别分成4 等份、3 等份，并在每一份内标上数字，如图所示．游戏规定，转动两个转盘停止后，指针所指的两个数字之和为奇数时，甲获胜；为偶数时，乙获胜．（1）用列表法（或画树状图）求甲获胜的概率；（2）你认为这个游戏规则对双方公平吗？请简要说明理由．五、解答题（本题共17 分，其中第21 题5 分，22 题5 分，23 题7 分）21．（5 分）已知：如图，点A（m，3）与点B（n，2）关于直线y=x 对称，且都在反比例函数y=的图象上．（1）求反比例函数的解析式；（2）若点P 在x 轴上，且S△AOP=6，直接写出点P 的坐标．22．（5 分）如图1，数学课上，老师要求小明同学作△A′B′C′∽△ABC，且小明的作法是：（1）作B′C′=；（2）过点B′作B′D∥AB，过点C′作C′E∥AC，它们相交于点A′；图2△A′B′C′就是满足条件的三角形（如图1）．解答下列问题：①若△ABC 的周长为10，根据小明的作法，△A′B′C′的周长为；②已知四边形ABCD，请你在图2 的右侧作一个四边形A′B′C′D′，使四边形A′B′C′D′∽四边形ABCD，且满足（不写画法，保留作图痕迹）．﹣23．（7 分）如图，点D 是⊙O 的直径CA 延长线上一点，点B 在⊙O 上，且AB=AD=AO．（1）求证：BD 是⊙O 的切线；（2）若点E 是劣弧BC 上一点，AE 与BC 相交于点F，且△BEF 的面积为8，cos ∠BFA= ，求△ACF 的面积．六、解答题（本题7 分）24．（7 分）已知关于x 的方程x2﹣（m﹣3）+m﹣4=0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若m 是整数，方程有一个根大于﹣7 且小于﹣3，求反比例函数y=的解析式．七、解答题（本题8 分）25．（8 分）已知等腰三角形ABC 的两个顶点分别是A（0，1），B（0，3），第三个顶点C 在x 轴的正半轴上，关于y 轴对称的抛物线y=ax2+bx+c 经过点A，D（3，﹣2）．（1）求直线BC 的解析式；（2）求抛物线y=ax2+bx+c 的解析式并判断点C 是否在抛物线上；（3）设点P 在（2）中的抛物线上，且点P 关于直线AC 的对称点在x 轴上，求点P 的坐标．2013-2014 学年北京市丰台区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题4 分，共32 分）1．（4 分）﹣5 的倒数是（）A．5 B．﹣5 C．D．﹣【分析】根据倒数的定义可直接解答．【解答】解：﹣5 的倒数是﹣．故选：D．【点评】本题考查的是倒数的定义，即乘积是1 的两数互为倒数．2．（4分）如果，那么下列等式成立的是（）A．B．C．5x=4y D．【分析】根据两內项之积等于两外项之积分别进行计算即可得解．【解答】解：∵=，∴5x=4y，A、∵=，∴4x=5y，故本选项错误；B、∵=，∴5（x+y）=4y，整理得，5x=﹣y，故本选项错误；C、5x=4y 正确，故本选项正确；D、∵=，∴5（x+y）=9x，整理得，5y=4x，故本选项错误．故选：C．【点评】本题考查了比例的性质，主要利用了两內项之积等于两外项之积．3．（4 分）2012 年“十一”黄金周期间，我区共接待游客482 600 人次．把482 600 用科学记数法表示为（）A．4.826×105 B．4.826×104 C．4.826×103 D．4.826×102【分析】科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数．【解答】解：482 600=4.826×105，故选：A．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．4．（4 分）如图，AB 是⊙O 的直径，C、D 是⊙O 上的点，若∠BAC=40°，则∠D 等于（）A．40°B．50°C．55°D．60°【分析】由“直径所对的圆周角是直角”推知∠ACB=90°，则易求∠D=∠ B=90°﹣40°=50°．【解答】解：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB=90°．又∵∠BAC=40°，∠D=∠B，∴∠D=∠B=90°﹣∠BAC=50°．故选：B．【点评】本题考查了圆周角定理．同弧所对的圆周角相等．5．（4 分）在Rt△ABC 中，∠C=90°，若tanA=，则sinA 等于（）A．B．C．D．【分析】利用tanA=，进而表示出AC，BC，AB 的长，再利用锐角三角函数关系得出即可．【解答】解：如图所示：∵tanA= ，∴设BC=3x，则AC=4x，∴AB=5x，∴sinA= ==．故选：D．【点评】此题主要考查了锐角三角函数关系，正确掌握锐角三角函数关系是解题关键．6．（4 分）如图，▱ABCD 中，对角线AC、BD 相交于点O，E 是AD 的中点，连接OE，如果AB=8，那么OE 为（）A．6 B．4 C．3 D．2【分析】根据平行四边形性质得出OD=OB，根据三角形的中位线性质得出OE= AB，代入求出即可．【解答】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴DO=OB，∵E 是AD 的中点，∴OE= AB，∵AB=8，∴OE=4．故选：B．【点评】本题考查了平行四边形的性质和三角形的中位线定理的应用，关键是求出OE=AB．7．（4 分）在反比例函数y=（k＜0）的图象上有两点（1，y1），（﹣2，y2），则y1﹣y2 的值是（）A．负数B．非正数C．正数D．不能确定【分析】求出y1，y2 的值，求出其差是，根据k＜0 即可得出答案．【解答】解：点（1，y1），（﹣2，y2）在反比例函数y=（k＜0）的图象上，∴代入得：y1=k，y2=﹣，∴y1﹣y2=k+ =，∵k＜0，∴y1﹣y2 的值是负数，故选：A．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征的应用，主要考查学生的计算能力．8．（4 分）如图，A 点在半径为2 的⊙O 上，过线段OA 上的一点P 作直线l，与⊙O 过A 点的切线交于点B，且∠APB=60°，设OP=x，则△PAB 的面积y 关于x 的函数图象大致是（）A．B．C．D．【分析】根据已知得出S 与x 之间的函数关系式，进而得出函数是二次函数，当x=﹣=2 时，S 取到最小值为：=0，即可得出图象．【解答】解：∵A 点在半径为2 的⊙O 上，过线段OA 上的一点P 作直线l，与⊙O 过A 点的切线交于点B，且∠APB=60°，∴AO=2，OP=x，则AP=2﹣x，∴tan60°= = ，解得：AB=（2﹣x）=﹣x+2，∴S△ABP= ×PA×AB= （2﹣x）••（﹣x+2）= x2﹣2 x+2 ，故此函数为二次函数，∵a=＞0，∴当x=﹣=2 时，S 取到最小值为：=0，根据图象得出只有D 符合要求．故选：D．【点评】此题主要考查了动点函数的图象，根据已知得出S 与x 之间的函数解析式是解题关键．二、填空题（每题4 分，共16 分）9．（4 分）如图，⊙O 的直径CD 过弦AB 的中点E，∠BCD=15°，⊙O 的半径为10，则AB= 10 ．【分析】连接OB，根据圆周角定理求出∠BOD 的度数，再根据垂径定理得出∠ AOD 的度数，由等边三角形的性质即可得出结论．【解答】解：连接OB，∵∠BCD 与∠BOD 是同弧所对的圆周角与圆心角，∴∠BOD=2∠BCD=2×15°=30°，∵点E 是弦AB 的中点，∴AB⊥CD，=，∴AB=2AE，∠AOD=∠BOD=30°，∴∠AOB=60°，∵AO=BO，∴△AOB 是等边三角形，∵⊙O 的半径为10，∴OA=AB=BO=10．故答案为：10．【点评】本题考查的是垂径定理及圆周角定理、等边三角形的性质等知识，根据题意作出辅助线，构造出圆心角是解答此题的关键．10．（4 分）将抛物线y=2x2 先沿x 轴方向向左平移2 个单位，再沿y 轴方向向下平移3 个单位，所得抛物线的解析式是y=2x2+8x+5 ．【分析】变化规律：左加右减，上加下减．【解答】解：按照“左加右减，上加下减”的规律，向左平移2 个单位，将抛物线y=2x2 先变为y=2（x+2）2，再沿y 轴方向向下平移3 个单位抛物线y=2（x+2）2，即变为：y=2（x+2）2﹣3．故所得抛物线的解析式是：y=2x2+8x+5．【点评】考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的性质．11．（4 分）为了测量校园水平地面上一棵不可攀的树的高度，学校数学兴趣小组做了如下的探索：根据光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如图所示的测量方案：把一面很小的镜子放在离树底（B）8.4 米的点 E 处，然后沿着直线BE 后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE=2.4 米，观察者目高CD=1.6 米，则树（AB）的高度为 5.6 米．【分析】根据镜面反射的性质求出△ABE∽△CDE，再根据其相似比解答．【解答】解：根据题意，易得∠CDE=∠ABE=90°，∠CED=∠AEB，则△ABE∽△CDE，则，即，解得：AB=5.6 米．故答案为：5.6．【点评】应用反射的基本性质，得出三角形相似，运用相似比即可解答．12．（4 分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，我们把由两条射线AE、BF 和以AB 为直径的半圆所组成的图形叫作图形C．已知A（﹣1，0），B（1，0），AE ∥BF，且半圆与y 轴的交点D 在射线AE 的反向延长线上，当一次函数y=x+b 的图象与图形C 恰好只有一个公共点时，b 的取值范围是b= ．【分析】利用直径所对的圆周角是直角，从而判定三角形ADB 为等腰直角三角形，其直角边的长等于两直线间的距离，可利用数形结合的方法得到当直线与图形C 有一个交点时自变量x 的取值范围．【解答】解：如图，分别连接AD、DB，则点D 在直线AE 上，∵点D 在以AB 为直径的半圆上，∴∠ADB=90°，∴BD⊥AD，在Rt△DOB 中，由勾股定理得，BD=，∵AE∥BF，∴两条射线AE、BF 所在直线的距离为，则当一次函数y=x+b 的图象与图形C 恰好只有一个公共点时，b 的取值范围是b= 或﹣1≤b＜1．故答案为：b= 或﹣1＜b＜1．【点评】本题是一道一次函数的综合题，题目中还涉及到了勾股定理、等腰直角三角形的性质及圆周角定理的相关知识，题目中还渗透了数形结合思想．三、解答题13．（5 分）计算：tan45°﹣2sin30°+（π﹣3.14）0+（）﹣2．【分析】根据零指数幂、负整数指数幂和特殊角的三角函数值得到原式=1﹣2×+1+4，再计算乘法，然后进行加减运算．【解答】解：原式=1﹣2×+1+4=1﹣1+1+4=5．【点评】本题考查了实数的运算：先算乘方或开方，再算乘除，然后进行加减运算；有括号先算括号．也考查了零指数幂、负整数指数幂和特殊角的三角函数值．14．（5 分）已知x+y=时，求代数式x（x+2y）﹣（x+y）（x﹣y）+x2 的值．【分析】分别进行单项式乘多项式，平方差公式等运算，再合并同类项然后代入求值即可．【解答】解：原式=x2+2xy﹣（x2﹣y2）+x2=x2+2xy﹣x2+y2+x2=x2+2xy+y2=（x+y）2．∵x+y= +1，∴原式=（）2=3+2．【点评】本题主要考查单项式乘多项式和平方差的运算，巧妙运用化简结果与已知条件的形式相同是解题的关键．15．（5 分）如图，在△ABC 中，∠A=60°，AC=6，AB=8．求tanB 的值．【分析】过点C 作CD⊥AB 于点D．在Rt△ADC 中，根据三角函数求出AD、CD 的长，从而得到BD 的长，再在Rt△BDC 中，根据三角函数求出tanB 的值．【解答】解：过点C 作CD⊥AB 于点D．在Rt△ADC 中，∵∠A=60°，AC=6，∴AD=AC•cos60°=6×=3，CD=AC•sin60°=6×=3 ，∵AB=8，∴BD=5，∴tanB= = ．【点评】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，解题的关键是过 C 点作CD⊥AB 于D 点，构成直角三角形．16．（5 分）如图，平行四边形ABCD 中，E 是DC 的中点，连接BE 交对角线AC 于F．（1）求证：△ABF∽△CEF；（2）若AC=9，求AF 的长．【分析】（1）由四边形ABCD 是平行四边形，可得AB∥CD，即可证得：△ABF ∽△CEF；（2）由平行四边形ABCD 中，E 是DC 的中点，易得CE：AB=1：2，又由相似三角形的对应边成比例，即可得CF：AF=1：2，继而求得答案．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB∥DC．…..（1 分）∴△ABF∽△CEF．…（2 分）（2）解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB=DC．∵E 是DC 的中点，∴EC= DC，∴EC= AB，…（3 分）∵△ABF∽△CEF，∴．…..（4 分）设AF=x，则CF=9﹣x．∴=，解得：x=6．即AF=6．…..（5 分）【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．17．（5 分）已知：如图，BC 是⊙O 的切线，C 是切点，AC 是⊙O 的弦，AO 的延长线交BC 于点B，设⊙O 的半径为，∠ACB=120°．求AB 的长．【分析】如图，连接OC 构建直角△OCB，利用该直角三角形的性质求得∠B=30°；然后在直角△OCB 中利用“30度角所对的直角边是斜边的一半”求得OB 的长度；最后利用线段间的和差关系求得AB 的长度．【解答】解：连接OC．∵BC 是⊙O 的切线，∴OC⊥BC．∴∠BCO=90°．∵∠ACB=120°，∴∠ACO=30°∵OA=OC∴∠A=∠ACO=30°∴∠B=30°在Rt△OCB 中，∵OC=OA= ，∠B=30°，∴OB=2OC=2∴AB=OA+OB=3 ．【点评】本题考查了切线的性质、圆周角定理以及含30 度角的直角三角形．求得直角△BCO 的内角∠B 的度数是解题的关键．18．（5 分）已知一次函数与反比例函数y=﹣的图象交于点P（﹣3，m），Q（2，﹣3）．求一次函数的解析式．【分析】求出P 的坐标，设一次函数的关系式为y=kx+b，把Q 和P 的坐标代入得出方程组，求出方程组的解即可．【解答】解：∵把P（﹣3，m）代入反比例函数y=﹣得：m=2，∴点P 的坐标为（﹣3，2），设一次函数的关系式为y=kx+b，∴把Q 和P 的坐标代入得：，解得：k=﹣1，b=﹣1．故所求一次函数的关系式为y=﹣x﹣1．【点评】本题考查了用待定系数法求出一次函数的解析式，一次函数和反比例函数的交点问题的应用，关键是能得出关于k b 的方程组．四、解答题（本题共10 分，每小题5 分）19．（5 分）已知：如图，在矩形ABCD 中，AB=4，AD=10，F 是AD 上一点，CF ⊥EF 于点F 交AB 于点E，．求AE 的长．【分析】由在矩形ABCD 中，CF⊥EF，易证得△AEF∽△DFC；又由．根据相似三角形的对应边成比例，易得∠DFC=30°，由三角函数的性质，即可求得答案．【解答】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A=∠D=90°，DC=AB=4，∵CF⊥AE，∴∠EFC=90°．∴∠AFE+∠DFC=90°，∵∠AEF+∠AFE=90°，∴∠AEF=∠DFC，∴△AEF∽△DFC．∴，∵=，DC=4，∴∠DFC=30°，∴FD= ==4 ，∴AF=10﹣4 ，∴AE= =10 ﹣12．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质以及三角函数等知识．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．20．（5 分）甲乙两人在玩转盘游戏时，把转盘A、B 分别分成4 等份、3 等份，并在每一份内标上数字，如图所示．游戏规定，转动两个转盘停止后，指针所指的两个数字之和为奇数时，甲获胜；为偶数时，乙获胜．（1）用列表法（或画树状图）求甲获胜的概率；（2）你认为这个游戏规则对双方公平吗？请简要说明理由．【分析】本题考查概率问题中的公平性问题，解决本题的关键是计算出各种情况的概率，然后比较即可．【解答】解：方法一画树状图（5 分）由上图可知，所有等可能的结果共有12 种，指针所指的两个数字之和为奇数的结果有6 种．∴P（和为奇数）=0.5（7 分）方法二列表如下：1 2 3 45 1+5=6 2+5=7 3+5=8 4+5=96 1+6=7 2+6=8 3+6=9 4+6=107 1+7=8 2+7=9 3+7=10 4+7=11由上表可知，所有等可能的结果共有12 种，指针所指的两个数字之和为奇数的结果有6 种．∴P（和为奇数）=0.5（7 分）；（2）∵P（和为奇数）=0.5，∴P（和为偶数）=0.5（9 分），∴这个游戏规则对双方是公平的．（10 分）【点评】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个参与者取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．五、解答题（本题共17 分，其中第21 题5 分，22 题5 分，23 题7 分）21．（5 分）已知：如图，点A（m，3）与点B（n，2）关于直线y=x 对称，且都在反比例函数y=的图象上．（1）求反比例函数的解析式；（2）若点P 在x 轴上，且S△AOP=6，直接写出点P 的坐标．【分析】（1）直接根据关于直线y=x 对称的点的坐标特点求出mn 的值，再把A 点坐标代入反比例函数y=求出k 的值即可；（2）设P（x，0），再根据三角形的面积公式求出x 的值即可．【解答】解：（1）∵点A（m，3）与点B（n，2）关于直线y=x 对称，∴m=2，n=3，∴A（2，3），B（3，2），∴3= ，解得k=6．∴反比例函数的解析式为y=，（2）设P（x，0），∵A（2，3），∴|x|•3=6，解得x=4 或﹣4．∴点P 的坐标为（4，0）或（﹣4，0）．【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，即反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式．22．（5 分）如图1，数学课上，老师要求小明同学作△A′B′C′∽△ABC，且小明的作法是：（1）作B′C′=；（2）过点B′作B′D∥AB，过点C′作C′E∥AC，它们相交于点A′；图2△A′B′C′就是满足条件的三角形（如图1）．解答下列问题：①若△ABC 的周长为10，根据小明的作法，△A′B′C′的周长为 5 ；②已知四边形ABCD，请你在图2 的右侧作一个四边形A′B′C′D′，使四边形A′B′C′D′∽四边形ABCD，且满足（不写画法，保留作图痕迹）．﹣【分析】（1）根据相似三角形周长的比等于相似比列式计算即可得解；（2）①作B′C′=BC，再过点B′作B′E∥AB 截取A′B′=AB，过点C′作C′F∥CD，截取C′D′=CD，然后连接A′D′即可．【解答】解：（1）∵B′C′=BC，∴△A′B′C′和△ABC 的相似比为，∵△ABC 的周长为10，∴△A′B′C′的周长=10×=5；（2）四边形A′B′C′D′如图所示．【点评】本题考查了利用相似变换作图，相似三角形的周长的比等于相似比的性质，读懂题目信息，理解相似图形的画法是解题的关键．23．（7 分）如图，点D 是⊙O 的直径CA 延长线上一点，点B 在⊙O 上，且AB=AD=AO．（1）求证：BD 是⊙O 的切线；（2）若点E 是劣弧BC 上一点，AE 与BC 相交于点F，且△BEF 的面积为8，cos ∠BFA= ，求△ACF 的面积．【分析】（1）利用斜边上的中线等于斜边的一半，可判断△DOB 是直角三角形，则∠OBD=90°，BD 是⊙O 的切线；（2）同弧所对的圆周角相等，可证明△ACF∽△BEF，得出一相似比，再利用三角形的面积比等于相似比的平方即可求解．【解答】（1）证明：连接BO，方法一：∵AB=AD∴∠D=∠ABD∵AB=AO∴∠ABO=∠AOB又在△OBD 中，∠D+∠DOB+∠ABO+∠ABD=180°∴∠OBD=90°，即BD⊥BO∴BD 是⊙O 的切线；方法二：∵AB=AO，BO=AO∴AB=AO=BO∴△ABO 为等边三角形∴∠BAO=∠ABO=60°∵AB=AD∴∠D=∠ABD又∠D+∠ABD=∠BAO=60°∴∠ABD=30°∴∠OBD=∠ABD+∠ABO=90°，即BD⊥BO∴BD 是⊙O 的切线；方法三：∵AB=AD=AO∴点O、B、D 在以OD 为直径的⊙A 上∴∠OBD=90°，即BD⊥BO∴BD 是⊙O 的切线；（2）解：∵∠C=∠E，∠CAF=∠EBF∴△ACF∽△BEF∵AC 是⊙O 的直径∴∠ABC=90°在Rt△BFA 中，cos∠BFA=∴ 又∵S△BEF=8∴S△ACF=18．【点评】本题综合考查了圆的切线的性质、圆的性质、相似三角形的判定及性质等内容，是一个综合较强的题目，难度较大．六、解答题（本题7 分）24．（7 分）已知关于x 的方程x2﹣（m﹣3）+m﹣4=0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若m 是整数，方程有一个根大于﹣7 且小于﹣3，求反比例函数y= 的解析式．【分析】（1）先计算△得到△=（m﹣3）2﹣4（m﹣4）=m2﹣10m+25，配方得到（m﹣5）2，根据负非数的性质有（m﹣5）2，≥0，即△≥0，根据根的判别式的意义得到方程总有两个实数根；（2）利用求根公式可解得x1=1，x2=m﹣4，由方程有一个根大于﹣7 且小于﹣3，得到﹣7＜m﹣4＜﹣3，解得﹣3＜m＜1，而m≠0，则满足条件的整数为m=﹣2，即可确定反比例函数的解析式．【解答】（1）证明：△=（m﹣3）2﹣4（m﹣4）=m2﹣10m+25=（m﹣5）2，∵（m﹣5）2≥0，∴△≥0，∴方程总有两个实数根；（2）解：x= ，∴x1=1，x2=m﹣4，∵方程有一个根大于﹣7 且小于﹣3，∴﹣7＜m﹣4＜﹣3，解得﹣3＜m＜1∵m 是整数，∴m 的值为0，﹣2，﹣1，∵m≠0，∴m=﹣2 或﹣1，∴反比例函数的解析式为：y=﹣或y=﹣．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．七、解答题（本题8 分）25．（8 分）已知等腰三角形ABC 的两个顶点分别是A（0，1），B（0，3），第三个顶点C 在x 轴的正半轴上，关于y 轴对称的抛物线y=ax2+bx+c 经过点A，D（3，﹣2）．（1）求直线BC 的解析式；（2）求抛物线y=ax2+bx+c 的解析式并判断点C 是否在抛物线上；（3）设点P 在（2）中的抛物线上，且点P 关于直线AC 的对称点在x 轴上，求点P 的坐标．【分析】（1）先根据A、B 两点的坐标求出AB 的长，再根据勾股定理得出OC 的长，故可得出C 点坐标，利用待定系数法求出直线BC 的解析式即可；（2）由于抛物线y=ax2+bx+c 关于y 轴对称，所以b=0．再由抛物线y=ax2+bx+c 经过A（0，1），D（3，﹣2），两点可得出抛物线的解析式，把C 点横坐标代入即可检验出C 点是否在抛物线上；（3）先根据锐角三角函数的定义求出∠ACO 及∠BCO 的度数，故可得出CA 是∠BCO 的角平分线，即直线BC 与x 轴关于直线AC 对称．因为点P 关于直线AC 的对称点在x 轴上，则符合条件的点P 就是直线BC 与抛物线y=﹣x2+1 的交点，设出点P 的坐标代入抛物线的解析式即可得出结论．【解答】解：（1）∵A（0，1），B（0，3），∴AB=2，∵△ABC 是等腰三角形，且点C 在x 轴的正半轴上，∴AC=AB=2，∴OC= =．∴C（，0），设直线BC 的解析式为y=kx+3，∴k+3=0，∴k=﹣．∴直线BC 的解析式为y=﹣x+3；（2）∵抛物线y=ax2+bx+c 关于y 轴对称，∴b=0．又∵抛物线y=ax2+bx+c 经过A（0，1），D（3，﹣2），两点．∴解得∴抛物线的解析式是y=﹣x2+1．∵C（，0），∴当x=时，y=0，∴点C 在抛物线上；（3）在Rt△AOC 中，∵OA=1，AC=2，∴∠ACO=30°．在Rt△BOC 中，∵OB=3，OC= ，∴∠BCO=60°．∴CA 是∠BCO 的角平分线．∴直线BC 与x 轴关于直线AC 对称．点P 关于直线AC 的对称点在x 轴上，则符合条件的点P 就是直线BC 与抛物线y=﹣x2+1 的交点．Q 点P 在直线BC：y=﹣x+3 上，故设点P 的坐标是（x，﹣x+3）．又∵点P（x，﹣x+3）在抛物线y=﹣x2+1 上，∴﹣+3=﹣x2+1．解得x1= ，x2=2 ．故所求的点P 的坐标是P1（，0），P2（2，﹣3）．【点评】本题考查的是二次函数综合题，涉及到勾股定理、用待定系数法求一次函数的解析式及用待定系数法求二次函数的解析式等知识，难度适中．。

九年级期末质量监测一、选择题（本题有12小题，每小题4分，共48分）每小题只有一个答案是准确，请将准确答案的代号填入下面的表格里1.一元二次方程240x -=的解为（ ） A ．12x =，22x =-B ．2x =-C ． 2x =D ．12x =，20x =2.抛物线1)3(22+-=x y 的顶点坐标是（ ）A.（3, 1）B.（3，-1)C.(-3, 1)D.(-3, -1) 3.点M （2，-3）关于原点对称的点N 的坐标是： ( ) A.（-2，-3） B.（-2, 3） C.（2, 3） D.（-3， 2） 4.已知圆的半径为3，一点到圆心的距离是5，则这点在( )A ．圆内B ．圆上C ．圆外D ．都有可能 5.用配方法解方程2420x x -+=，下列配方准确的是（ ） A ．2(2)6x -= B ．2(2)2x +=C ．2(2)2x -=-D ．2(2)2x -=6.下列平面图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是 （ ）7.抛物线23y x =向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是( )A. 23(1)2y x =++ B. 23(1)2y x =+- C. 23(1)2y x =-- D. 23(1)2y x =-+8.某品牌服装原价173元，连续两次降价x%后售价为127元，下面所列方程中准确的是( )A ． 173(1＋x%)2＝127 B ．173(1－2x%)＝127C ． 127(1＋x%)2＝173D ．173(1－x%)2＝127 9.一个布袋里装有6个只有颜色不同的球,其中2个红球,4个白球.从布袋里任意摸出1个球,则摸出的球是白球的概率为( )A.21B.51 C. 31 D.3210.一个圆锥的母线长为10，侧面展开图是半圆，则圆锥的侧面积是（ ）A ．10πB ．20πC ．50πD ．100π11.三角形两边长分别为2和4，第三边是方程x 2－6x+8=0的解，•则这个三角形的周长是（ ） A ．10 B ．8或10 C ．8 D ．8和1012.如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分，图象过点A （－3，0），对称轴为x ＝－1．给出四个结论：①b 2＞ 4ac ；②2a＋b=0；③a－b ＋c=0；④5a ＜ b ．其中准确结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共分24分）13.二次函数2)1(2+-=x y 的最小值是 ．14.已知关于x 方程x 2－3x ＋m ＝0的一个根是1，则它的另一个根是______.15.如图，A 、B 、C 为⊙O 上三点，且∠OAB=55°，则∠ACB 的度数是_______度.16.⊙O 的直径为10，弦AB=6，P 是弦AB 上一动点，则OP 的取值范围是 . 17.现有6张正面分别标有数字—1，0，1，2，3，4的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数字记为a ，则使得关于x 的一元二次方程2220x x a -+-=有实数根，且关于x 的分式方程11222ax x x-+=--有解的概率为 .18.如图，△ABC 绕点A 顺时针旋转45°得到△AB′C′，若∠BAC=90°，AB=AC=22，则图中阴影部分的面积等于 . 三、解答题：19．解方程：02632=--x xBO AC15题图18题图20题图OPCBA20．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，ABC △的顶点都在格点上，点C 的坐标为(41)-，． (1)把ABC △向上平移5个单位后得到对应的111A B C △， 画出111A B C △，并写出1C 的坐标；(2)以原点O 为对称中心，再画出ABC △关于原点O 对称的222A B C △，并写出点2C 的坐标．21．先化简，再求值：)211(1222x x xx x ++÷--，其中3-=x22．如图，AC 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的弦，点P 是⊙O 外一点，连接PB 、AB ，PBA C ∠=∠. 求证：PB 是O ⊙的切线；23．已知点A (3,3)在抛物线21433y x x =-+的图象上，设点A 关于抛物线对称轴对称的点为B .（1）求点B 的坐标； （2）求AOB ∠度数.24．某商场服装部销售一种名牌衬衫，平均每天可售出40件，每件盈利50元．为了扩大销售，减少库存，商场决定降价销售，经调查，每件降价1元时，平均每天可多卖出2件． （1）若商场要求该服装部每天盈利2400元，尽量减少库存，每件衬衫应降价多少元？ （2）试说明每件衬衫降价多少元时，商场服装部每天盈利最多．25.如图，抛物线y=-x 2+bx+c 与x 轴交于A （2，0），B （-4，0）两点. （1） 求该抛物线的解析式；（2） 若抛物线交y 轴于C 点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使得△QAC 的周长最小？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由．（3） 在抛物线的第二象限图像上是否存在一点P ，使得△PBC 的面积最大？，若存在，求出点P 的坐标及△PBC 的面积最大值；若不存，请说明理由．备用图九年级期末质量监测数 学 试 卷参考答案一、选择题（本题有12小题，每小题4分，共48分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案AABCDBCDDCAB二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共分24分）13、2 14、x=2 15、35 16、54≤≤OP 17、2118、424—三、解答题：（本大题共2个小题，每小题7分，共14分） 19、解： 3224366⨯+±=x -----------------------------3分61526±=3151±=----------------------------------7分 20、（1）图略，C 1（4， 4）------------------------------3分 （2）图略，C 2（-4，1）------------------------------7分四、解答题：（本大题共个4小题，每小题10分，共40分）21、解：原式=xx x x x x x 212)1()1)(1(2++÷--+-----------------3分=2)1(2)1()1)(1(+⋅--+x xx x x x --------------------5分=12+x ----------------------------------8分当3-=x 时，原式=—1------------------------10分22、（1） 20 ，图略----------------------------------2分（2） 126 ---------------------------------------4分（3）树状图或列表法略 ----------------------------8分21=p ------------------------------------10分 23、解：（1）设每件衬衫应降价x 元,由题意得：（50-x ）(40+2x)=2400 解得：x 1=10 ，x 2=20因为尽量减少库存，x 1=10舍去答：每件衬衫应降价20元。

丰台区2014-2015学年度第一学期初三数学期末练习一、选择题（共8个小题，每小题4分，共32分） 1. 如果45(0)x y y =≠，那么下列比例式成立的是A ．45x y= B ．54x y = C ．45x y =D ．54x y= 2．二次函数2(3)1y x =--+的最大值为A ．1B ．－1C ．3D ．－33．⊙O 1和⊙O 2的半径分别为2cm 和3cm ，如果O 1O 2=5cm ，那么⊙O 1和⊙O 2的位置关系是 A ．内含 B ．内切 C ．相交 D ．外切4. 如图，A ，B ，C 是⊙O 上的三个点，如果∠BAC =30°，那么∠BOC 的度数是 A ．60○ B ．45○ C ．30○ D ．15○5. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB 于点D ，如果AC =3， AB =6， 那么AD 的值为 A.32 B. 92 C. 33 D. 336．如图，扇形折扇完全打开后，如果张开的角度（∠BAC ）为120°，骨柄AB 的长为30cm ，扇面的宽度BD 的长为20cm ，那么这把折扇的扇面面积为 A ．2400πcm 3 B ．2500πcm 3 C ．2800πcm 3D ．2300πcm7. 如果点A ()11y -,，B ()22y ,，C ()33y ,都在反比例函数3y x=的图象上，那么 A ．123y y y << B ．132y y y << C ．213y y y << D ．321y y y << 8．如图，在平面直角坐标系中，点C 的坐标为（0，2），动点A 以每秒1个单位长的速度从点O 出发沿x 轴的正方向运动，M 是线段AC 的中点，将线段AM 以点A 为中心，沿顺时针方向旋转︒90得到线段AB ．联结CB ．设△ABC 的面积为S ，运动时间为t 秒，则下列图象中，能表示S 与t 的函数关系的图象大致是EDCBD CA ABCO M CBAOy xBCAA BC D二、填空题（共6个小题，每小题4分，共24分）9．如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在AB ，AC 边上，且 DE ∥BC ，如果 AD ∶DB =3∶2， EC =4，那么AE 的长等于 ．10．如图，AB 是⊙O 的弦，OC ⊥AB 于点C ，如果 AB=8，OC=3，那么⊙O 的半径等于 ．11．在某一时刻，测得一身高为1.80m 的人的影长为3m ，同时测得一根旗杆的影长为25m ，那么这根旗杆的高度为 m ．12．在正方形网格中，ABC △的位置如图所示，则tan B 的值为__________． 13．关于x 的二次函数22y x kx k =-+-的图象与y 轴的交点在x 轴的上方，请写出一．个．满足条件的二次函数的表达式： ． 14．在平面直角坐标系xOy 中，对于点(),P x y ，其中0≠y ，我们把点)11,1(y x P -+-'叫做点P 的衍生点.已知点1A 的衍生点为2A ，点2A 的衍生点为3A ，点3A 的衍生点为4A ，…，这样依次得到点1A ，2A ，3A ，…，n A ，…，如果点1A 的坐标为)1,2(-，那么点3A 的坐标为________；如果点1A 的坐标为()b a ,，且点2015A 在双曲线xy 1=上， 那么=+ba 11________． 三、解答题（本题共20分，每小题5分） 15．计算：2tan45sin60cos30︒+︒-︒. 16．已知二次函数y = x 2－4x ＋3.（1）把这个二次函数化成2()y a x h k =-+的形式； （2）画出这个二次函数的图象，并利用图象写出当x 为何值时，y>0．E A CBD17．如图，矩形ABCD 中，AP 平分∠DAB ，且AP ⊥DP 于点P ，联结CP ，如果AB ﹦8， AD ﹦4，求sin ∠DCP 的值.18．如图，正比例函数12y x =-的图象与反比例函数k y x =的图象分别交于M ，N 两点，已知点M （-2，m ）. （1）求反比例函数的表达式；（2）点P 为y 轴上的一点，当∠MPN 为直角时，直接写出点P 的坐标．四、解答题（本题共22分，第19，22题每小题5分，第20， 21题每小题6分）19．某工厂设计了一款产品，成本为每件20元．投放市场进行试销，经调查发现，该种产品每天的销售量y （件）与销售单价x （元）之间满足280y x =-+ （20≤x ≤40），设销售这种产品每天的利润为W （元）.（1）求销售这种产品每天的利润W （元）与销售单价x （元）之间的函数表达式； （2）当销售单价定为多少元时, 每天的利润最大？最大利润是多少元？20. 如图，一艘渔船正自西向东航行追赶鱼群，在A 处望见岛C 在船的北偏东60°方向，前进20海里到达B 处，此时望见岛C 在船的北偏东30°方向，以岛C 为中心的12海里内为军事演习的危险区.请通过计算说明:如果这艘渔船继续向东追赶鱼群是否有进入危险区的可能. （参考数据:1.4 1.7≈≈）21．如图，PB 切O e 于点B ，联结PO 并延长交O e 于点E ，过点B 作BA ⊥PE 交O e 于点A ，联结AP ，AE ． （1）求证：P A 是O e 的切线； （2）如果OD ＝3，tan ∠AEP ＝12，求O e 的半径．ABCD P22．对于两个相似三角形，如果对应顶点沿边界按相同方向顺序环绕，那么称这两个三角形互为同相似，如图1，111A B C ∆∽ABC ∆，则称111A B C ∆与ABC ∆互为同相似；如果对应顶点沿边界按相反方向顺序环绕，那么称这两个三角形互为异相似，如图2，222A B C ∆∽ABC ∆，则称222A B C ∆与ABC ∆互为异相似.11BC 22图1 图2（1）在图3、图4和图5中，△ADE ∽△ABC ， △HXG ∽△HGF ，△OPQ ∽△OMN ，其中△ADE 与△ABC 互为 相似，△HXG 与△HGF 互为 相似，，△OPQ 与△OMN 互为 相似；BEA DCG XHFNQOPM图3 图4 图5（2）在锐角△ABC 中，∠A <∠B <∠C ，点P 为AC 边上一定点（不与点A ，C 重合），过这个定点P 画直线截△ABC ，使截得的一个三角形与△ABC 互为异相似．．．，符合条件的直线有_____条. 五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23. 已知抛物线22y x x m =--与x 轴有两个不同的交点． （1）求m 的取值范围；（2）如果A 2(1,)n n -、B 2(3,)n n +是抛物线上的两个不同点，求n 的值和抛物线的表达式； （3） 如果反比例函数ky x=的图象与（2）中的抛物线在第一象限内的交点的横坐标为0x ， 且满足4<0x <5，请直接写出k 的取值范围. 24. 已知：如图，矩形ABCD 中，AB >AD .BC（1）以点A 为圆心，AB 为半径作弧，交DC 于点E ，且AE ＝AB ，联结AE ，BE ，请补全图形，并判断∠AEB 与∠CEB 的数量关系； （2）在（1）的条件下，设EC a BE =，BEb AB=，试用等式表示a 与b 间的数量关系并加以 证明.25．我们规定：线段外一点和这条线段两个端点连线所构成的角叫做这个点对这条线段的视角.如图1，对于线段AB 及线段AB 外一点C ，我们称∠ACB 为点C 对线段AB 的视角. 如图2，在平面直角坐标系xOy 中，已知点D （0，4），E （0，1）. （1）⊙P 为过D ，E 两点的圆， F 为⊙P 上异于点D ，E 的一点.①如果DE 为⊙P 的直径，那么点F 对线段DE 的视角∠DFE 为______度；②如果⊙P，那么点F 对线段DE 的视角∠DFE 为_________度；（2）点G 为x 轴正半轴上的一个动点，当点G 对线段DE 的视角∠DGE 最大时，求点G 的坐标.丰台区2014—2015学年度第一学期期末练习初三数学试题答案及评分参考一、选择题（本题共8个小题，每小题4分，共32分）DCBAx+3二、填空题（本题共6个小题，每小题4分，共24分）三、解答题（共20分，每小题5分） 15．解：原式＝21⨯ ------3分 2= ------5分16．解：（1）∵224+3(2)1y x x x =-=--．------2分（2）二次函数图象如右图，当13x x <>或时，0y >．------5分17．解：过点P 作PE ⊥CD 于点E ， ------1分∵四边形ABCD 是矩形，∴CD ＝AB ＝8，∠DAB ＝∠ADC ＝90°． ∵AP 是∠DAB 的角平分线，∴∠DAP ＝12∠DAB ＝45°． ∵DP ⊥AP ，∴∠APD ＝90°．∴∠ADP ＝45°．∴∠CDP ＝45°．在Rt △APD 中，AD ＝4，∴DP ＝AD ·sin ∠DAP ＝． ------2分在Rt △DEP中，∠DEP ＝90°，∴PE ＝DP ·sin ∠CDP ＝2，DE ＝DP ·cos ∠CDP ＝2． ∴CE ＝CD —DE ＝6． ------3分在Rt △DEP 中，∠CEP ＝90°，PC =分 ∴sin ∠DCP ＝PE PC =. ------5分 18．解：（1）∵点M （-2，m ）在正比例函数12y x =-的图象上，∴()1=212m -⨯-= ． ------1分 ∴M （-2，1）．------2分∵反比例函数ky x=的图象经过点M （-2，1），∴k ＝-2×1＝-2． ∴反比例函数的解析式为2y x=-． ------ 3分（2）点P 的坐标为（00， -------5分四、解答题（本题共22分，第19，22题每小题5分，第20， 21题每小题6分） 19．解：（1）(20)(20)(280)W y x x x =-=--+ ------- 1分 221201600x x =-+-． ------- 3分PDCBAE（2） ()2230200W x =--+． ------4分∴当销售单价定为30元时，工厂每天获得的利润最大，最大利润是200元．------5分20．解：过点C 作CD ⊥AB ，交AB 延长线于点D ．由题意可知，------- 1分在△ABC 中，∠CAB ＝30°，∠ABC ＝90°＋30°＝120°， ∴∠ACB ＝30°，BC ＝AB ＝20 ． ------- 3分 在Rt △CBD 中，∠CBD ＝60°，∴CD ＝CB ·sin ∠CBD＝． ------- 5分∵12，∴这艘渔船继续向东航行追赶鱼群不会进入危险区． ------- 6分21．（1）证明：如图，联结OA ，OB ．∵PB 是⊙O 的切线，∴ ∠PBO ＝90°． ------- 1分 ∵ OA ＝OB ，BA ⊥PE 于点D ， ∴ ∠POA ＝∠POB ． ------- 2分 又∵ PO ＝PO ，∴ △PAO ≌△PBO ．∴ ∠PAO ＝∠PBO ＝90°． ∴PA ⊥OA ．∴ 直线PA 为⊙O 的切线． ------- 3分 （2）在Rt △ADE 中，∠ADE ＝90°，∵tan ∠AEP ＝AD DE ＝12，∴设AD ＝x ，DE ＝2x ．----- 4分 ∴OE ＝2x —3．在Rt △AOD 中，由勾股定理 ，得 (2x －3)2＝x 2＋32． ------5分 解得，x 1＝4，x 2＝0（不合题意，舍去）．∴ AD ＝4，OA ＝OE ＝2x －3＝5．即⊙O 的半径的长5． ------ 6分 22．解：（1）同，异，同． ------3分（2） 1或2． ------5分五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．解：（1）根据题意得，Δ440m =+>， ------1分解得 1.m >- ------2分（2）由题意知，抛物线对称轴为直线x ＝1，点A 和点B 是抛物线上的两个对称点，则()311(1)n n +-=--，解得0.n = ------3分 ∴点A （-1，0），∴22 3.y x x =-- ------5分（3）2060.k << ------7分24．解：（1）如图1， ------1分∠AEB ＝∠CEB ． ------2分 （2）b a 21=. ------3分 证明：如图2，作过点A 作AF ⊥BE 于点F ， ------4分∵ AB ＝AE ，∴1.2BF BE =∵∠AFB ＝∠C =90°，∠ABE ＝∠CEB ， ∴△ABF ∽△BEC . ------5分∴ABBFBE EC =． ------6分 ∴ABBEBE EC 21=， 即12a b =． ------7分25.解：（1）①90°； ------1分②60°或120°． ------3分（2）如图，当⊙P与x轴相切，G为切点时，∠DGE最大．------4分由题意知，点P在线段ED的垂直平分线上，∴PG＝2.5. ---5分过点P作PH⊥DE于点H，∴11.5.2EH DE==------6分∵PG⊥x轴，∴四边形PHOG为矩形.联结PE，在Rt△PEH中，PE＝PG＝2.5，EH＝1.5，∴PH＝2．所以点G（2，0）．------8分2018-2019北师大版五年级数学上册期中试卷（A ）（北师大版）一、我会填（共27分，每空1分） 1、最小的自然数是（ ），最小的质数是（ ）， 最小的合数是（ ），最小的偶数（ ），最小的奇数是（ ）。

丰台区2015-2016学年度第一学期期末练习初三数学学校姓名考号一、选择题（本题共30分，每小题3分，）下列各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，BC ＝3，AB =4，则cos B 的值是A ．37B ．47C ．43D ．342．如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 边上，且DE ∥BC ，如果AD ∶DB =3∶2， 那么AE ∶AC 等于A ．3∶2B ．3∶1C ．2∶3D ．3∶53．⊙O 的半径为3cm ，如果圆心O 到直线l 的距离为d ，且d =5cm ，那么⊙O 和直线l 的位置关系是A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定 4．抛物线3)2(2+-=x y 的顶点坐标是（）A ．（2，3）B ．（－2，3）C ．（2，－3）D ．（－2，－3）5．如果ABC DEF △∽△，相似比为2∶1，且△DEF 的面积为4，那么△ABC 的面积为A ．1B ．4C ．8D ．166.如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，∠BCD =120°，则∠BAD 的度数是A ．30°B ．60°C ．80°D ．120° 7．对于反比例函数2y x=，下列说法正确的是 A ．图象经过点（2，-1） B ．图象位于第二、四象限C ．当x <0时，y 随x 的增大而减小D ．当x >0时，y 随x 的增大而增大E D CBA8．如图，为了测量某棵树的高度，小明用长为2m 的竹竿作测量工具，移动竹竿，使竹竿顶端的影子与树的顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时竹竿与这一点相距5m ，与树相距10m ，则树的高度为A. 5mB. 6mC. 7mD.8m9．小宏用直角三角板检查某些工件的弧形凹面是否是半圆，下列工件的弧形凹面一定是半圆的是ABCD二、填空题（本题共22分，第11题3分，第12题3分，第13-16题，每小题4分） 11．如果A ∠是锐角，且sin A =21，那么=∠A __________゜． 12．已知y x 5=2，则=yx__________． 13．圆心角是60°的扇形的半径为6，则这个扇形的面积是.14．排水管的截面为如图所示的⊙O ，半径为5m ，如果圆心O 到水面的距离是3m ，那么水面宽AB =__________m ．15．请写出一个符合以下三个条件的二次函数的解析式：． ①过点（1，1）；②当0x 时，y 随x 的增大而减小； ③当自变量的值为3时，函数值小于0． 16．阅读下面材料：在数学课上，老师请同学思考如下问题：小亮的作法如下：老师说：“小亮的作法正确．”请你回答：小亮的作图依据是_________________________．三、解答题（本题共24分，每小题6分） 17．计算：2cos30°－tan 45°＋sin 60°． 18．函数5-4+=1-3x mxy m 是二次函数．（1）求m 的值；（2）写出这个二次函数图象的对称轴：；将解析式化成y=a (x -h )2+k 的形式为：.19．如图，在ABC △中，D 是AB 上一点，连接CD ，且∠ACD =∠ABC . （1）求证：△ACD ∽△ABC ；（2）若AD =6，AB =10，求AC 的长.20．如图，直线2+=1x y 与双曲线xky =2相交于A ，B 两点ABCD其中点A 的纵坐标为3，点B 的纵坐标为-1. （1）求k 的值；（2）若21<y y ，请你根据图象确定x 的取值范围．四、解答题（本题共28分，每小题7分）21．如图，某小区在规划改造期间，欲拆除小区广场边的一根电线杆AB ，已知距电线杆AB 水平距离14米处是观景台，即BD ＝14米，该观景台的坡面CD 的坡角∠CDF 的正切值为2，观景台的高CF 为2米，在坡顶C 处测得电线杆顶端A 的仰角为30°，D 、E 之间是宽2米的人行道，如果以点B 为圆心，以AB 长为半径的圆形区域为危险区域．请你通过计算说明在拆除电线杆AB 时，人行道是否在危险区域内？(73.13,41.12≈≈)22．如图，D 为O ⊙上一点，点C 在直径BA 的延长线上，CDA CBD ∠=∠． （1）求证：CD 是O ⊙的切线；（2）过点B 作O ⊙的切线交CD 的延长线于点E ，若AB =6，tan 23CDA ∠=， 依题意补全图形并求DE 的长A23．某乒乓球馆使用发球机进行辅助训练，出球口在桌面中线端点A 处的正上方，如果每次发出的乒乓球的运动路线固定不变，且落在中线上，在乒乓球从发射出到第一次落在桌面的运行过程中，设乒乓球与端点A 的水平距离为x （米），距桌面的高度为y （米），运行时间为t （秒），经多次测试后，得到如下部分数据：（1） 如果y 是t 的函数，① 如下图，在平面直角坐标系tOy 中，描出了上表中y 与t 各对对应值为坐标的点.请你根据描出的点，画出该函数的图象；②当t 为何值时，乒乓球达到最大高度？（2）如果y 是关于x 的二次函数，那么乒乓球第一次落在桌面时，与端点A 的水平距离是多少？24．如图，⊙O 为△ABC 的外接圆，直线l 与⊙O 相切与点P ，且l ∥B C ．(1)请仅用无刻度的直尺．．．．．．．．，在⊙O 中画出一条弦．，使这条弦将△ABC 分成面积相等的两部分(保留作图痕迹，不写作法)；(2)请写出证明△ABC 被所作弦分成的两部分面积相等的思路．l五、解答题（本题共16分，每小题8分）25．已知抛物线G 1：y =ax 2+b x +c 的顶点为（2，-3)，且经过点（4，1)． （1）求抛物线G 1的解析式；（2）将抛物线G 1先向左平移3个单位，再向下平移1个单位后得到抛物线G 2，且抛物线G 2与x 轴的负半轴相交于A 点，求A 点的坐标；（3）如果直线m 的解析式为3+21=x y ，点B 是（2）中抛物线G 2上的一个点，且在对称轴右侧部分（含顶点）上运动，直线n 过点A 和点B ．问：是否存在点B ，使直线m 、n 、x 轴围成的三角形和直线m 、n 、y 轴围成的三角形相似？若存在，求出点B 的坐标；若不存在，请说明理由．备用图1备用图226．在平面直角坐标系xOy中，定义点P（x,y）的变换点为P′(x+y, x-y)．(1)如图1，如果⊙O的半径为①请你判断M(2,0)，N(-2,-1)两个点的变换点与⊙O的位置关系；②若点P在直线y=x+2上，点P的变换点P′在⊙O的内，求点P横坐标的取值范围.(2)如图2，如果⊙O的半径为1,且P的变换点P’在直线y=-2x+6上，求点P与⊙O上任意一点距离的最小值．图1图2。

x+3丰台区2014—2015学年度第一学期期末练习初三数学试题答案及评分参考一、选择题（本题共8个小题，每小题4分，共32分）二、填空题（本题共6个小题，每小题4分，共24分）三、解答题（共20分，每小题5分） 15．解：原式＝21⨯ ------3分 2= ------5分16．解：（1）∵224+3(2)1y x x x =-=--．------2分（2）二次函数图象如右图，当13x x <>或时，0y >．------5分17．解：过点P 作PE ⊥CD 于点E ， ------1分∵四边形ABCD 是矩形，∴CD ＝AB ＝8，∠DAB ＝∠ADC ＝90°． ∵AP 是∠DAB 的角平分线，∴∠DAP ＝12∠DAB ＝45°． ∵DP ⊥AP ，∴∠APD ＝90°．∴∠ADP ＝45°．∴∠CDP ＝45°．在Rt △APD 中，AD ＝4，∴DP ＝AD ·sin ∠DAP ＝ ------2分在Rt △DEP中，∠DEP ＝90°，∴PE ＝DP ·sin ∠CDP ＝2，DE ＝DP ·cos ∠CDP ＝2． ∴CE ＝CD —DE ＝6． ------3分在Rt △DEP 中，∠CEP ＝90°，PC 分 ∴sin ∠DCP ＝PE PC =. ------5分 18．解：（1）∵点M （-2，m ）在正比例函数12y x =-的图象上，∴()1=212m -⨯-= ． ------1分 ∴M （-2，1）．------2分∵反比例函数ky x=的图象经过点M （-2，1），∴k ＝-2×1＝-2． ∴反比例函数的解析式为2y x=-． ------ 3分（2）点P 的坐标为（00， -------5分PDCBAE四、解答题（本题共22分，第19，22题每小题5分，第20， 21题每小题6分） 19．解：（1）(20)(20)(280)W y x x x =-=--+ ------- 1分 221201600x x =-+-． ------- 3分（2） ()2230200W x =--+． ------4分∴当销售单价定为30元时，工厂每天获得的利润最大，最大利润是200元．------5分20．解：过点C 作CD ⊥AB ，交AB 延长线于点D ．由题意可知，------- 1分在△ABC 中，∠CAB ＝30°，∠ABC ＝90°＋30°＝120°， ∴∠ACB ＝30°，BC ＝AB ＝20 ． ------- 3分 在Rt △CBD 中，∠CBD ＝60°，∴CD ＝CB ·sin ∠CBD＝． ------- 5分∵12，∴这艘渔船继续向东航行追赶鱼群不会进入危险区． ------- 6分21．（1）证明：如图，联结OA ，OB ．∵PB 是⊙O 的切线，∴ ∠PBO ＝90°． ------- 1分 ∵ OA ＝OB ，BA ⊥PE 于点D ， ∴ ∠POA ＝∠POB ． ------- 2分 又∵ PO ＝PO ，∴ △P AO ≌△PBO ．∴ ∠P AO ＝∠PBO ＝90°． ∴P A ⊥OA ．∴ 直线P A 为⊙O 的切线． ------- 3分 （2）在Rt △ADE 中，∠ADE ＝90°，∵tan ∠AEP ＝AD DE ＝12，∴设AD ＝x ，DE ＝2x ．----- 4分 ∴OE ＝2x —3．在Rt △AOD 中，由勾股定理 ，得(2x －3)2＝x 2＋32． ------5分解得，x 1＝4，x 2＝0（不合题意，舍去）．∴ AD ＝4，OA ＝OE ＝2x －3＝5．即⊙O 的半径的长5． ------ 6分 22．解：（1）同，异，同． ------3分（2） 1或2． ------5分五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．解：（1）根据题意得，Δ440m =+>， ------1分解得 1.m >- ------2分（2）由题意知，抛物线对称轴为直线x ＝1，点A 和点B 是抛物线上的两个对称点，则()311(1)n n +-=--，解得0.n = ------3分 ∴点A （-1，0），∴22 3.y x x =-- ------5分（3）2060.k << ------7分24．解：（1）如图1， ------1分∠AEB ＝∠CEB ． ------2分 （2）b a 21=. ------3分 证明：如图2，作过点A 作AF ⊥BE 于点F ， ------4分∵ AB ＝AE ，∴1.2BF BE =∵∠AFB ＝∠C =90°，∠ABE ＝∠CEB ， ∴△ABF ∽△BEC . ------5分∴ABBFBE EC =． ------6分 ∴ABBEBE EC 21=， 即12a b =． ------7分 25.解：（1）①90°； ------1分②60°或120°． ------3分（2）如图，当⊙P 与x 轴相切，G 为切点时，∠DGE 最大．------4分由题意知，点P 在线段ED 的垂直平分线上，∴PG ＝2.5. ------5分过点P 作PH ⊥DE 于点H ， ∴11.5.2EH DE == ------6分∵PG ⊥x 轴，∴四边形PHOG 为矩形.联结PE ，在Rt △PEH 中， PE ＝PG ＝2.5，EH ＝1.5，∴PH ＝2． 所以点G （2，0）． ------8分。

2015-2016 学年北京市丰台区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题共 30 分，每小题 3 分，）下列各题均有四个选项，其中只有 一个是符合题意的．1．（ 3 分 ） 如 图 ， 在 Rt △ ABC 中 ， ∠ C=90°， BC=3， AB=4， 则 cosB 的 值 是 （）B ．C ．D ．2．（3 分）如图，在△ABC 中，D 、E 分别是 AB 、AC 上的点，且 DE ∥BC ，若 AD ：DB=3：2，则 AE ：AC 等于（）A ．3：2B ．3：1C ．2：3D ．3：53．（3 分）⊙O 的半径为 3cm ，如果圆心 O 到直线 l 的距离为 d ，且 d=5cm ，那 么⊙O 和直线 l 的位置关系是（ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定4．（3 分）抛物线 y=（x ﹣2）2+3 的顶点坐标是（ ）A ．（2，3）B ．（﹣2，3）C ．（2，﹣3）D ．（﹣2，﹣3）5．（3 分）如果△ABC ∽△DEF ，相似比为 2：1，且△DEF 的面积为 4，那么△ ABC 的面积为（ ） A ．1B ．4C ．8D ．166．（3 分）如图，四边形 ABCD 内接于⊙O ，∠BCD=120°，则∠BAD 的度数是 （）A ．A．30°B．60°C．80°D．120°7．（3 分）对于反比例函数，下列说法正确的是（）A．图象经过点（2，﹣1）B．图象位于第二、四象限C．当x＜0 时，y 随x 的增大而减小D．当x＞0 时，y 随x 的增大而增大8．（3分）如图，为了测量某棵树的高度，小明用长为2m 的竹竿作测量工具，移动竹竿，使竹竿顶端的影子与树的顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时竹竿与这一点相距5m，与树相距10m，则树的高度为（）A．5m B．6m C．7m D．8m9．（3 分）小宏用直角三角板检查某些工件的弧形凹面是否是半圆，下列工件的弧形凹面一定是半圆的是（）A．B．C．D．10．（3 分）如图，点A、B、C、D、E、F 为⊙O 的六等分点，动点P 从圆心O出发，沿OE 弧EFFO 的路线做匀速运动，设运动的时间为t，∠BPD 的度数为y，则下列图象中表示y 与t 之间函数关系最恰当的是（）A．B．C．D．二、填空题（本题共22 分，第11 题3 分，第12 题3 分，第13-16 题，每小题3 分）11．（3 分）如果∠A 是锐角，且sinA=，那么∠A= °．12．（3 分）若2x=5y，则=．13．（4 分）圆心角是60°的扇形的半径为6，则这个扇形的面积是．14．（4 分）排水管的截面为如图所示的⊙O，半径为5m，如果圆心O 到水面的距离是3m，那么水面宽AB= m．15．（4 分）请写出一个符合以下三个条件的二次函数的解析式：．①过点（1，1）；②当x＞0 时，y 随x 的增大而减小；③当自变量的值为3 时，函数值小于0．16．（4 分）阅读下面材料：在数学课上，老师请同学思考如下问题：小亮的作法如下：老师说：“小亮的作法正确．” 请你回答：小亮的作图依据是．三、解答题（本题共24 分，每小题6 分）17．（6 分）计算：2cos30°﹣tan45°+sin60°．18．（6 分）函数y=mx3m﹣1+4x﹣5 是二次函数．（1）求m 的值；（2）写出这个二次函数图象的对称轴：；将解析式化成y=a（x﹣h）2+k 的形式为：．19．（6 分）如图，在△ABC 中，D 是AB 上一点，连接CD，且∠ACD=∠ABC．（1）求证：△ACD∽△ABC；（2）若AD=6，AB=10，求AC 的长．20．（6 分）如图，直线y1=x+2 与双曲线相交于A，B 两点其中点A 的纵坐标为3，点B 的纵坐标为﹣1．（1）求k 的值；（2）若y1＜y2，请你根据图象确定x 的取值范围．四、解答题（本题共28 分，每小题7 分）21．（7 分）如图，某小区在规划改造期间，欲拆除小区广场边的一根电线杆AB，已知距电线杆AB 水平距离14 米处是观景台，即BD=14 米，该观景台的坡面CD 的坡角∠CDF 的正切值为2，观景台的高CF 为2 米，在坡顶C 处测得电线杆顶端A 的仰角为30°，D、E 之间是宽2 米的人行道，如果以点B 为圆心，以AB 长为半径的圆形区域为危险区域．请你通过计算说明在拆除电线杆AB 时，人行道是否在危险区域内？（≈1.73）22．（7 分）如图，D 为⊙O 上一点，点C 在直径BA 的延长线上，∠CDA=∠CBD．（1）求证：CD 是⊙O 的切线；（2）过点B 作⊙O 的切线交CD 的延长线于点E，若AB=6，tan∠CDA=，依题意补全图形并求DE 的长．23．（7 分）某乒乓球馆使用发球机进行辅助训练，出球口在桌面中线端点A 处的正上方，如果每次发出的乒乓球的运动路线固定不变，且落在中线上，在乒乓球从发射出到第一次落在桌面的运行过程中，设乒乓球与端点 A 的水平距离为x（米），距桌面的高度为y（米），运行时间为t（秒），经多次测试后，得到如下部分数据：（1）如果y 是t 的函数，①如图，在平面直角坐标系tOy 中，描出了上表中y 与t 各对对应值为坐标的点．请你根据描出的点，画出该函数的图象；②当t 为何值时，乒乓球达到最大高度？（2）如果y 是关于x 的二次函数，那么乒乓球第一次落在桌面时，与端点A 的水平距离是多少？24．（7 分）如图，⊙O 为△ABC 的外接圆，直线l 与⊙O 相切与点P，且l∥ BC．（1）请仅用无刻度的直尺，在⊙O 中画出一条弦，使这条弦将△ABC 分成面积相等的两部分（保留作图痕迹，不写作法）；（2）请写出证明△ABC 被所作弦分成的两部分面积相等的思路．五、解答题（本题共16 分，每小题8 分）25．（8 分）已知抛物线G1：y=ax2+bx+c 的顶点为（2，﹣3），且经过点（4，1）．（1）求抛物线G1 的解析式；（2）将抛物线G1 先向左平移3 个单位，再向下平移1 个单位后得到抛物线G2，且抛物线G2 与x 轴的负半轴相交于A 点，求A 点的坐标；（3）如果直线m 的解析式为，点B 是（2）中抛物线G2 上的一个点，且在对称轴右侧部分（含顶点）上运动，直线n 过点A 和点B．问：是否存在点B，使直线m、n、x 轴围成的三角形和直线m、n、y 轴围成的三角形相似？若存在，求出点B 的坐标；若不存在，请说明理由．26．（8 分）在平面直角坐标系xOy 中，定义点P（x，y）的变换点为P′（x+y，x﹣y）．（1）如图1，如果⊙O 的半径为，①请你判断M（2，0），N（﹣2，﹣1）两个点的变换点与⊙O 的位置关系；②若点P 在直线y=x+2 上，点P 的变换点P′在⊙O 的内，求点P 横坐标的取值范围．（2）如图2，如果⊙O 的半径为1，且P 的变换点P′在直线y=﹣2x+6 上，求点P 与⊙O 上任意一点距离的最小值．2015-2016 学年北京市丰台区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共 30 分，每小题 3 分，）下列各题均有四个选项，其中只有 一个是符合题意的．1．（ 3 分 ） 如 图 ， 在 Rt △ ABC 中 ， ∠ C=90°， BC=3， AB=4， 则 cosB 的 值 是 （）B ．C ．D ．【分析】根据在直角三角形中，锐角的余弦为邻边比斜边，可得答案． 【解答】解：cosB= =，故选：C ．【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦 为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．2．（3 分）如图，在△ABC 中，D 、E 分别是 AB 、AC 上的点，且 DE ∥BC ，若 AD ：DB=3：2，则 AE ：AC 等于（）A ．3：2B ．3：1C ．2：3D ．3：5【分析】由 DE ∥CB ，根据平行线分线段成比例定理，可求得 AE 、AC 的比例关系．【解答】解：∵DE ∥BC ，AD ：DB=3：2， ∴AE ：EC=3：2， ∴AE ：AC=3：5．A ．故选：D．【点评】此题主要考查了平行线分线段成比例定理，根据已知得出AE 与EC 的关系是解题关键．3．（3 分）⊙O 的半径为3cm，如果圆心O 到直线l 的距离为d，且d=5cm，那么⊙O 和直线l 的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．不确定【分析】根据直线和圆的位置关系的判定方法判断即可．【解答】解：∵⊙O 的半径为3cm，圆心O 到直线l 的距离为d=5cm，∴r＜d，∴直线l 与⊙O 的位置关系是相离，故选：C．【点评】本题考查了直线和圆的位置关系的应用，注意：已知⊙O 的半径为r，如果圆心O 到直线l 的距离是d，当d＞r 时，直线和圆相离，当d=r 时，直线和圆相切，当d＜r 时，直线和圆相交．4．（3 分）抛物线y=（x﹣2）2+3 的顶点坐标是（）A．（2，3）B．（﹣2，3）C．（2，﹣3）D．（﹣2，﹣3）【分析】已知解析式为顶点式，可直接根据顶点式的坐标特点，求顶点坐标，从而得出对称轴．【解答】解：y=（x﹣2）2+3 是抛物线的顶点式方程，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（2，3）．故选：A．【点评】此题主要考查了二次函数的性质，关键是熟记：顶点式y=a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是x=h．5．（3 分）如果△ABC∽△DEF，相似比为2：1，且△DEF 的面积为4，那么△ABC 的面积为（）A．1 B．4 C．8 D．16【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答即可．【解答】解：∵△ABC∽△DEF，相似比为2：1，∴△ABC 和△DEF 的面积比为4：1，又△DEF 的面积为4，∴△ABC 的面积为16．故选：D．【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键．6．（3 分）如图，四边形ABCD 内接于⊙O，∠BCD=120°，则∠BAD 的度数是（）A．30°B．60°C．80°D．120°【分析】直接根据圆内接四边形的性质即可得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD 内接于⊙O，∠BCD=120°，∴∠BAD=180°﹣120°=60°．故选：B．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键．7．（3 分）对于反比例函数，下列说法正确的是（）A．图象经过点（2，﹣1）B．图象位于第二、四象限C．当x＜0 时，y 随x 的增大而减小D．当x＞0 时，y 随x 的增大而增大【分析】根据反比例函数的性质即可直接作出判断．【解答】解：A、把x=2 代入y=得，y=1，则（2，﹣1）不在图象上，选项错误；B、图象位于第一、三象限，选项错误；C、当x＜0 时，y 随x 的增大而减小，选项正确；D、当x＞0 时，y 随x 的增大而减小，选项错误．故选：C．【点评】本题考查了反比例函数的性质：（1）反比例函数y=（k≠0）的图象是双曲线；（2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y 随x 的增大而减小；（3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y 随x 的增大而增大．8．（3分）如图，为了测量某棵树的高度，小明用长为2m 的竹竿作测量工具，移动竹竿，使竹竿顶端的影子与树的顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时竹竿与这一点相距5m，与树相距10m，则树的高度为（）A．5m B．6m C．7m D．8m【分析】先判定△OAB 和△OCD 相似，再根据相似三角形对应边成比例列式求解即可．【解答】解：如图所示：∵AB⊥OD，CD⊥OD，∴AB∥CD，∴△OAB∽△OCD，∴，即，解得：CD=6（米）；即树的高度为6m；故选：B．【点评】本题考查了相似三角形的应用，判断出三角形相似并根据相似三角形对应边成比例得出比例式是解题的关键．9．（3 分）小宏用直角三角板检查某些工件的弧形凹面是否是半圆，下列工件的弧形凹面一定是半圆的是（）A．B．C．D．【分析】根据90°的圆周角所对的弧是半圆，从而得到答案．【解答】解：根据90°的圆周角所对的弧是半圆，显然A 正确，故选：A．【点评】本题考查了圆周角定理、圆周角的概念；理解圆周角的概念，掌握圆周角定理的推论，把数学知识运用到实际生活中去．10．（3 分）如图，点A、B、C、D、E、F 为⊙O 的六等分点，动点P 从圆心O 出发，沿OE 弧EFFO 的路线做匀速运动，设运动的时间为t，∠BPD 的度数为y，则下列图象中表示y 与t 之间函数关系最恰当的是（）A．B．C．D．【分析】利用点A、B、C、D、E、F 为⊙O 的六等分点可得到∠BOC=∠ COD=60°，所以P 在O 点时，∠BPD=120°，P 在弧EF 上时，∠BPD=∠BOD=60°，然后分类讨论：当点P 从O 点运动到E 点时，易得y 由120°逐渐减小到60°；当点P 在弧EF 上运动时，y=60°；当点P 从F 点运动到O 点时，易得y 由60°逐渐增大到120°，根据此特征可对四个选项进行判断．【解答】解：因为点A、B、C、D、E、F 为⊙O 的六等分点，所以∠BOC=∠COD=60°，当P 在O 点时，∠BPD=120°，当P 在弧EF 上时，∠BPD=∠BOD=60°，当点P 从O 点运动到E 点时，y 由120°逐渐减小到60°；当点P 在弧EF 上运动时，y 的值不变，为60°；当点P 从F 点运动到O 点时，y 由60°逐渐增大到120°．故选：C．【点评】本题考查了动点问题的函数图象：函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．解决本题的关键是圆周角定理的应用．二、填空题（本题共22 分，第11 题3 分，第12 题3 分，第13-16 题，每小题3 分）11．（3 分）如果∠A 是锐角，且sinA=，那么∠A= 30 °．【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出答案．【解答】解：∵∠A 是锐角，且sinA=，∴∠A=30°．故答案为：30．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．12．（3 分）若2x=5y，则= ．【分析】根据内项之积等于外项之积即可求解．【解答】解：∵2x=5y，∴=．故答案为：．【点评】考查了比例的性质，是基础题型，比较简单．13．（4 分）圆心角是60°的扇形的半径为6，则这个扇形的面积是6π．【分析】根据扇形的面积公式S= 计算，即可得出结果．【解答】解：该扇形的面积S==6π．故答案为：6π．【点评】本题考查了扇形面积的计算，属于基础题．熟记公式是解题的关键．14．（4 分）排水管的截面为如图所示的⊙O，半径为5m，如果圆心O 到水面的距离是3m，那么水面宽AB= 8 m．【分析】过O 点作OC⊥AB，连接OB，由垂径定理可得出AB=2BC，在Rt△OBC 中利用勾股定理即可得出BC 的长，进而可得出AB 的长．【解答】解：过O 点作OC⊥AB，连接OB，如图所示：x 2+ ∴AB=2BC ，在 Rt △OBC 中，BC 2+OC 2=OB 2，∵OB=5m ，OC=3m ，∴BC= =4m ，∴AB=2BC=8m ．即水面宽 AB 为 8m ；故答案为：8．【点评】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．15．（4 分）请写出一个符合以下三个条件的二次函数的解析式： y=﹣．①过点（1，1）；②当 x ＞0 时，y 随 x 的增大而减小；③当自变量的值为 3 时，函数值小于 0．【分析】设解析式为：y=ax 2+b ，根据该函数的增减性确定其与 x 轴交点的取值，然后代入已知点后即可求得其解析式．【解答】解：∵当 x ＜0 时，y 随 x 的增大而增大，∴设解析式为：y=ax 2+b ，∵函数过点（1，1），∴a +b=1…①，∵当自变量的值为 3 时，函数值小于 0．∴设当 x=2 时，y=0，∴4a +b=0…②， 由①②知可 a=﹣，b= ，∴函数的解析式为：y=﹣x2+ ．答案为y=﹣x2+．【点评】此题是一道开放性题，主要考查二次函数的基本性质，函数的增减性及用待定系数法来确定函数的解析式．16．（4 分）阅读下面材料：在数学课上，老师请同学思考如下问题：小亮的作法如下：老师说：“小亮的作法正确．” 请你回答：小亮的作图依据是垂径定理．【分析】利用垂径定理得出任意两弦的垂直平分线交点即可．【解答】解：根据小亮作图的过程得到：小亮的作图依据是垂径定理．故答案是：垂径定理．【点评】此题主要考查了复杂作图以及垂径定理，熟练利用垂径定理的性质是解题关键．三、解答题（本题共24 分，每小题6 分）17．（6 分）计算：2cos30°﹣tan45°+sin60°．【分析】根据特殊角三角函数值，可得实数的运算，根据实数的运算，可得答案．【解答】解：原式=2×﹣1+= ﹣1．【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数知识解题关键．18．（6 分）函数y=mx3m﹣1+4x﹣5 是二次函数．（1）求m 的值；（2）写出这个二次函数图象的对称轴：直线x=2 ；将解析式化成y=a （x﹣h）2+k 的形式为：y=﹣（x﹣2）2﹣1 ．【分析】（1）直接利用二次函数的定义得出m 的值；（2）利用配方法求出二次函数顶点坐标与对称轴即可．【解答】解：（1）∵函数y=mx3m﹣1+4x﹣5 是二次函数，∴3m﹣1=2，解得：m=1；（2）由（1）得：y=x2+4x﹣5=（x+2）2﹣9故这个二次函数图象的对称轴为：直线x=﹣2；将解析式化成y=a（x﹣h）2+k 的形式为：y=（x+2）2﹣9．故答案为：（1）m=1；（2）直线x=﹣2；y=﹣（x+2）2﹣9．【点评】此题主要考查了二次函数的定义以及配方法求二次函数的顶点坐标与对称轴，正确掌握配方法求二次函数顶点坐标是解题关键．19．（6 分）如图，在△ABC 中，D 是AB 上一点，连接CD，且∠ACD=∠ABC．（1）求证：△ACD∽△ABC；（2）若AD=6，AB=10，求AC 的长．【分析】（1）根据相似三角形的判定得出即可；（2）根据相似得出比例式，代入求出即可．【解答】（1）证明：∵∠A=∠A，∠ACD=∠B，∴△ACD∽△ABC；（2）解：∵△ACD∽△ABC，∴=，∴AC2=AD×AB，∵AD=6，AB=10，∴AC=2 ．【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定的应用，能求出△ACD∽△ABC 是解此题的关键．20．（6 分）如图，直线y1=x+2 与双曲线相交于A，B 两点其中点A 的纵坐标为3，点B 的纵坐标为﹣1．（1）求k 的值；（2）若y1＜y2，请你根据图象确定x 的取值范围．【分析】（1）将A，B 的纵坐标代入直线y1=x+2 求出横坐标，确定出A，B 的坐标，将A 坐标代入反比例函数的解析式即可求出k 的值；（2）根据图象即可得到结论．【解答】解：（1）把y=3 代入y1=x+2 得x=1，把y=﹣1 代入y1=x+2 得x=﹣3，∴A（1，3），B（﹣3，﹣1），把A（1，3）代入得k=3；（2）由图象知：当x＜﹣3，或0＜x＜1 时，y1＜y2，即若y1＜y2，x 的取值范围为：x＜﹣3，或0＜x＜1．【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．四、解答题（本题共28 分，每小题7 分）21．（7 分）如图，某小区在规划改造期间，欲拆除小区广场边的一根电线杆AB，已知距电线杆AB 水平距离14 米处是观景台，即BD=14 米，该观景台的坡面CD 的坡角∠CDF 的正切值为2，观景台的高CF 为2 米，在坡顶C 处测得电线杆顶端A 的仰角为30°，D、E 之间是宽2 米的人行道，如果以点B 为圆心，以AB 长为半径的圆形区域为危险区域．请你通过计算说明在拆除电线杆AB 时，人行道是否在危险区域内？（≈1.73）【分析】根据已知条件得到DF=1 米，BG=2 米；得到BF=GC=15 米；在Rt△AGC 中，由tan30°=，得到AG=15×=5 ≈5×1.732=8.660 米；于是得到结论．【解答】解：由tan∠CDF==2，CF=2 米，∴DF=1 米，BG=2 米；∵BD=14 米，∴BF=GC=15 米；在Rt△AGC 中，由tan30°= ，∴AG=15×=5≈5×1.732=8.660 米；∴AB=8.660+2=10.66 米；而BE=BD﹣ED=12 米，∴BE＞AB；因此不需要封人行道．【点评】本题考查了解直角三角形﹣俯角、仰角的定义，要求学生能借助俯角、仰角构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形．22．（7 分）如图，D 为⊙O 上一点，点C 在直径BA 的延长线上，∠CDA=∠CBD．（1）求证：CD 是⊙O 的切线；（2）过点B 作⊙O 的切线交CD 的延长线于点E，若AB=6，tan∠CDA=，依题意补全图形并求DE 的长．【分析】（1）连OD，OE，根据圆周角定理得到∠ADO+∠1=90°，而∠CDA=∠CBD，∠CBD=∠1，于是∠CDA+∠ADO=90°；（2）根据切线的性质得到ED=EB，OE⊥BD，推出AD∥OE，∠OEB=∠ADC，即可解决问题；【解答】（1）证明：连OD，OE，如图1 所示，∵AB 为直径，∴∠ADB=90°，即∠ADO+∠BDO=90°，又∵∠CDA=∠CBD，而∠CBD=∠BDO，∴∠BDO=∠CDA，∴∠CDA+∠ADO=90°，即∠CDO=90°，∴CD⊥OD，∴CD 是⊙O 的切线；（2）解：如图2 所示，连接EO．∵EB 为⊙O 的切线，ED 为切线，∴∠OED=∠OEB，∵AD⊥BD，OE⊥BD，∴AD∥OE，∴∠ADC=∠OED=∠OEB，∴tan∠OEB= =，∵OB=3，∴BE= ．【点评】本题考查了切线的判定与性质、圆周角定理的推论、三角形相似的判定与性质、勾股定理；熟练掌握切线的判定与性质，由三角函数和证明三角形相似是解决问题（2）的关键．23．（7 分）某乒乓球馆使用发球机进行辅助训练，出球口在桌面中线端点A 处的正上方，如果每次发出的乒乓球的运动路线固定不变，且落在中线上，在乒乓球从发射出到第一次落在桌面的运行过程中，设乒乓球与端点A 的水平距离为x（米），距桌面的高度为y（米），运行时间为t（秒），经多次测试后，得到如下部分数据：（1）如果y 是t 的函数，①如图，在平面直角坐标系tOy 中，描出了上表中y 与t 各对对应值为坐标的点．请你根据描出的点，画出该函数的图象；②当t 为何值时，乒乓球达到最大高度？（2）如果y 是关于x 的二次函数，那么乒乓球第一次落在桌面时，与端点A 的水平距离是多少？【分析】（1）①根据描出了上表中y 与t 各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象即可；②利用网格中数据直接得出乒乓球达到最大高度时的时间；（2）首先求出函数解析式，进而求出乒乓球落在桌面时，与端点A 的水平距离．【解答】解：（1）①如图所示，②由表格中数据可得，t=0.4（秒），乒乓球达到最大高度；（2）由表格中数据，可设y=a（x﹣1）2+0.45，将（0，0.25）代入，可得：a=﹣，则y=﹣（x﹣1）2+0.45，当y=0 时，0=﹣（x﹣1）2+0.45，解得：x1=，x2=﹣（舍去），即乒乓球与端点A 的水平距离是m．【点评】此题主要考查了二次函数对应用以及根的判别式和一元二次方程的解法等知识，利用图表中数据得出函数解析式是解题关键．24．（7 分）如图，⊙O 为△ABC 的外接圆，直线l 与⊙O 相切与点P，且l∥ BC．（1）请仅用无刻度的直尺，在⊙O 中画出一条弦，使这条弦将△ABC 分成面积相等的两部分（保留作图痕迹，不写作法）；（2）请写出证明△ABC 被所作弦分成的两部分面积相等的思路．【分析】（1）连结PO 并延长交BC 于E，过点A、E 作弦AD 即可；（2）由于直线l 与⊙O 相切于点P，根据切线的性质得OP⊥l，而l∥BC，则PE ⊥BC，根据垂径定理得BE=CE，所以弦AE 将△ABC 分成面积相等的两部分．【解答】解：（1）如图所示：（2）∵直线l 与⊙O 相切与点P，∴OP⊥l，∵l∥BC，∴PE⊥BC，∴BE=CE，∴弦AE 将△ABC 分成面积相等的两部分．【点评】此题主要考查了复杂作图，以及切线的性质，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图．五、解答题（本题共16 分，每小题8 分）25．（8 分）已知抛物线G1：y=ax2+bx+c 的顶点为（2，﹣3），且经过点（4，1）．（1）求抛物线G1 的解析式；（2）将抛物线G1 先向左平移3 个单位，再向下平移1 个单位后得到抛物线G2，且抛物线G2 与x 轴的负半轴相交于A 点，求A 点的坐标；（3）如果直线m 的解析式为，点B 是（2）中抛物线G2 上的一个点，且在对称轴右侧部分（含顶点）上运动，直线n 过点A 和点B．问：是否存在点B，使直线m、n、x 轴围成的三角形和直线m、n、y 轴围成的三角形相似？若存在，求出点B 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）先设为顶点式，再把顶点坐标和经过的点（4，1）代入即可解决，（2）根据平移规则直接写出抛物线G2 的解析式，令y=0，即可求出点A 的坐标，（3）分为交点咋x 轴上方，与下方进行分析，根据相似确定角的大小，进一步得到直线n 的斜率，求出与y 轴的交点坐标，由点A（﹣3，0），运用待定系数法，确定直线n 的解析式，联立抛物线G2，解方程组即可求解．【解答】解：由抛物线G1：y=ax2+bx+c 的顶点为（2，﹣3），且经过点（4，1），可设抛物线G1：y=a（x﹣2）2﹣3，把（4，1）代入得：1=4a﹣3，解得：a=1，所以抛物线G1：y=（x﹣2）2﹣3=x2﹣4x+1，（2）抛物线G1：y=（x﹣2）2﹣3 先向左平移3 个单位，再向下平移1 个单位后得到抛物线G2：y=（x+1）2﹣4，令y=0，得：0=（x+1）2﹣4，解得：x=﹣3，或x=1（舍去），所以点A（﹣3，0）．（3）直线m 与x 轴，y 轴的交点分别为F，E，当直线n 与G2 交点在x 轴上方时，直线n 与x 轴，y 轴的交点为A，D，与抛物线交点B，与直线m 交与点C，当直线n 与G2 交点在x 轴下方时，直线n1 与x 轴，y 轴的交点为A，H，与抛物线交点B1，与直线m 交与点L，当直线n 与G2 交点在x 轴上方时，如图1：由题意△CDE∽△CFA，此时有：∠CDE=∠CFA，直线m 的解析式为，当x=0 时，y=3，当y=0 时，x=﹣6，∴点E（0，3），点F（﹣6，0），∴OF=6，OE=3，∴tan∠CDE=tan∠CFA= ，∴=，∵OA=3，∴OD=6，点D（0，6），设直线n：y=mx+n，把D（0，6），点A（﹣3，0）代入得：，解得：，∴直线n：y=2x+6，联立直线n 和抛物线G2 得：，解得：x=3，或x=﹣3（舍去）此时y=12，所以：点B（3，12），当直线n 与G2 交点在x 轴下方时，如图2：由题意△HLE∽△FLA，此时有：∠ELH=∠FLA=90°，∠EHA=∠LFA，直线m 的解析式为，当x=0 时，y=3，当y=0 时，x=﹣6，∴点E（0，3），点F（﹣6，0），∴OF=6，OE=3，∴tan∠EHA=tan∠LFA= ，∴=，∵OA=3，∴OH=6，点H（0，﹣6），设直线n：y=mx+n，把D（0，﹣6），点A（﹣3，0）代入得：解得：，∴直线n：y=﹣2x﹣6，联立直线n 和抛物线G2 得：，解得：x=﹣1，或x=﹣3（舍去）此时y=﹣4，所以：点B1（﹣1，﹣4），综上所述：存在点B，使直线m、n、x 轴围成的三角形和直线m、n、y 轴围成的三角形相似，点B 的坐标为（3，12）和（﹣1，﹣4）．【点评】此题主要考查二次函数的综合问题，会运用待定系数法求函数解析式，会根据相似判断出相等的对应角，并会根据三角函数求出线段的值进一步表示点的坐标，是解题的关键．26．（8 分）在平面直角坐标系xOy 中，定义点P（x，y）的变换点为P′（x+y，x﹣y）．（1）如图1，如果⊙O 的半径为，①请你判断M（2，0），N（﹣2，﹣1）两个点的变换点与⊙O 的位置关系；②若点P 在直线y=x+2 上，点P 的变换点P′在⊙O 的内，求点P 横坐标的取值范围．（2）如图2，如果⊙O 的半径为1，且P 的变换点P′在直线y=﹣2x+6 上，求点P 与⊙O 上任意一点距离的最小值．【分析】（1）①根据新定义得到点M 的变换点M′的坐标为（2，2），于是根据勾股定理计算出OM′=2，则根据点与圆的位置关系的判定方法可判断点M 的变换点在⊙O 上；同样方法可判断点N（﹣2，﹣1）的变换点在⊙O 外②利用一次函数图象上点的坐标特征，设P 点坐标为（x，x+2），利用新定义得到P 点的变换点为P′的坐标为（2x+2，﹣2），则根据勾股定理计算出OP′=，然后利用点与圆的位置关系得到＜2 ，解不等式得﹣2＜x＜0；（2）设点P′的坐标为（x，﹣2x+6），P（m，n），根据新定义得到m+n=x，m﹣n=﹣2x+6，消去x 得3m+n=6，则n=﹣3m+6，于是得到P 点坐标为（m，﹣3m+6），则可判断点P 在直线y=﹣3x+6 上，设直线y=﹣3x+6 与x 轴相交于点A，与y 轴相交于点B，过O 点作OH⊥AB 于H，交⊙O 于C，如图2，易得A（2，0），B（0，6），利用勾股定理计算出AB=2，再利用面积法计算出OH= ，所以CH=﹣1，当点P 在H 点时，PC 为点P 与⊙O 上任意一点距离的最小值．【解答】解：（1）①M（2，0）的变换点M′的坐标为（2，2），则OM′= =2，所以点M（2，0）的变换点在⊙O 上；N（﹣2，﹣1）的变换点N′的坐标为（﹣3，﹣1），则ON′= =＞2，所以点N（﹣2，﹣1）的变换点在⊙O 外；②设P 点坐标为（x，x+2），则P 点的变换点为P′的坐标为（2x+2，﹣2），则OP′=，∵点P′在⊙O 的内，∴＜2，∴（2x+2）2＜4，即（x+1）2＜1，∴﹣1＜x+1＜1，解得﹣2＜x＜0，即点P 横坐标的取值范围为﹣2＜x＜0；（2）设点P′的坐标为（x，﹣2x+6），P（m，n），根据题意得m+n=x，m﹣n=﹣2x+6，∴3m+n=6，即n=﹣3m+6，∴P 点坐标为（m，﹣3m+6），∴点P 在直线y=﹣3x+6 上，设直线y=﹣3x+6 与x 轴相交于点A，与y 轴相交于点B，过O 点作OH⊥AB 于H，交⊙O 于C，如图2，则A（2，0），B（0，6），∴AB= =2，∵OH•AB= OA•OB，∴OH= = ，∴CH= ﹣1，即点P 与⊙O 上任意一点距离的最小值为﹣1．【点评】本题考查了圆的综合题：熟练掌握点与圆的位置关系和一次函数图象上点的坐标特征；会运用勾股定理定理和面积法计算线段的长；提高阅读理解能力．。

年北京丰台初三上学期期末数学试题及答案丰台区2015~2016学年度第一学期期末练习初三数学2016.1一、选择题（本题共30分，每小题3分，）下列各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，BC ＝3，AB =4， 则cos B 的值是A ．37B ．47C ．43D ．342．如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 边上，且 DE ∥BC ，如果AD ∶DB =3∶2， 那么AE ∶AC 等于A ．3∶2B ．3∶1C ．2∶3D ．3∶53．⊙O 的半径为3cm ，如果圆心O 到直线l 的距离为d ， 且d =5cm ，那么⊙O 和直线l 的位置关系是A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定4．抛物线3)2(2+-=x y 的顶点坐标是（ ）A ．（2，3）B ．（－2，3）C ．（2，－3）D ．（－2，－3）5．如果，相似比为2∶1，且△DEF 的面积为4，那么△ABC 的面积为A ．1B ．4C ．8D ．166. 如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，∠BCD =120°，则∠BAD 的度数是A ．30°B ．60°C ．80°D ．120°7．对于反比例函数2y x，下列说法正确的是 A ．图象经过点（2，-1） B ．图象位于第二、四象限C ．当x < 0时，y 随x 的增大而减小D ．当x > 0时，y 随x 的增大而增大8．如图，为了测量某棵树的高度，小明用长为2m 的竹竿作测量工具，移动竹竿，使竹竿顶端的影子与树的顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时竹竿与这一点相距5m ，与树相距10m ，则树的高度为A. 5mB. 6mC. 7mD. 8m9．小宏用直角三角板检查某些工件的弧形凹面是否是半圆，下列工件的弧形凹面一定是半圆的是ABC DEF △∽△A BC D10．如图，点A 、B 、C 、D 、E 、F 为⊙O 的六等分点，动点P 从圆心O 出发，沿OE 弧EF FO 的路线做匀速运动，设运动的时间为t ， ∠BPD 的度数为y ，则下列图象中表示y 与t 之间函数关系最恰当的是ABC D二、填空题（本题共22分，第11题3分，第12题3分，第13-16题，每小题4分）11．如果A ∠是锐角，且sin A =21，那么=∠A __________゜． 12．已知y x 5=2，则=yx__________．13．圆心角是60°的扇形的半径为6，则这个扇形的面积是 .14．排水管的截面为如图所示的⊙O ，半径为5m ， 如果圆心到水面 的距离是3m ，那么水面宽AB =__________ m ．15．请写出一个符合以下三个条件的二次函数的解析式： ． ①过点（1，1）；②当0x 时，y 随x 的增大而减小； ③当自变量的值为3时，函数值小于0．16．阅读下面材料：在数学课上，老师请同学思考如下问题：小亮的作法如下：O老师说：“小亮的作法正确．”请你回答：小亮的作图依据是_________________________．三、解答题（本题共24分，每小题6分） 17．计算：2cos30°－tan 45°＋sin 60°．18．函数5-4+=1-3x mx y m 是二次函数．（1）求m 的值；（2）写出这个二次函数图象的对称轴： ；将解析式化成y=a (x -h )2+k 的形式为： .19．如图，在ABC △中，D 是AB 上一点，连接 CD ，且∠ACD =∠ABC . （1）求证：△ACD ∽△ABC ； （2）若AD =6，AB =10，求AC 的长.20．如图，直线2+=1x y 与双曲线xky =2相交于A ，B 两点CABO其中点A 的纵坐标为3，点B 的纵坐标为-1. （1）求k 的值；（2）若21<y y ，请你根据图象确定x 的取值范围．四、解答题（本题共28分，每小题7分）21．如图，某小区在规划改造期间，欲拆除小区广场边的一根电线杆AB ，已知距电线杆AB 水平距离14米处是观景台，即BD ＝14米，该观景台的坡面CD 的坡角∠CDF 的正切值为2，观景台的高CF 为2米，在坡顶C 处测得电线杆顶端A 的仰角为30°，D 、E 之间是宽2米的人行道，如果以点B 为圆心，以AB 长为半径的圆形区域为危险区域．请你通过计算说明在拆除电线杆AB 时，人行道是否在危险区域内？(73.13,41.12≈≈)22．如图，为上一点，点在直径BA 的延长线上，． （1）求证：是的切线；（2）过点B 作的切线交的延长线于点E ，若AB =6，tan 23CDA ∠=， 依题意补全图形并求DE 的长23．某乒乓球馆使用发球机进行辅助训练，出球口在桌面中线端点A 处的正上方，如果每次发出的乒乓球的运动路线固定不变，且落在中线上，在乒乓球从发射出到第一次落在桌面的运行过程中，设乒乓球与端点A 的水平距离为x （米），距桌面的高度为y （米），运行时间为t （秒），经多次测试后，得到如下部分数据：（1） 如果y 是t 的函数，D O ⊙C CDA CBD ∠=∠CD O ⊙O ⊙CD①如下图，在平面直角坐标系tOy中，描出了上表中y与t各对对应值为坐标的点.请你根据描出的点，画出该函数的图象；②当t为何值时，乒乓球达到最大高度？（2）如果y是关于x的二次函数，那么乒乓球第一次落在桌面时，与端点A的水平距离是多少？24．如图，⊙O为△ABC的外接圆，直线l与⊙O相切与点P，且l∥B C．(1) 请仅用无刻度的直尺．．．．．．．．，在⊙O中画出一条弦．，使这条弦将△ABC分成面积相等的两部分(保留作图痕迹，不写作法)；(2) 请写出证明△ABC被所作弦分成的两部分面积相等的思路．五、解答题（本题共16分，每小题8分）25．已知抛物线G 1：y =ax 2+b x +c 的顶点为（2，-3)，且经过点（4， 1)． （1）求抛物线G 1的解析式；（2）将抛物线G 1先向左平移3个单位，再向下平移1个单位后得到抛物线G 2，且抛物线G 2与x 轴的负半轴相交于A 点，求A 点的坐标； （3）如果直线m 的解析式为3+21=x y ，点B 是（2）中抛物线G 2上的一个点，且在对称轴右侧部分（含顶点）上运动，直线n 过点A 和点B ．问：是否存在点B ，使直线m 、n 、x 轴围成的三角形和直线m 、n 、y 轴围成的三角形相似？若存在，求出点B 的坐标；若不存在，请说明理由．26．在平面直角坐标系xOy中，定义点P（x,y）的变换点为P′(x+y, x-y) ．(1)如图1，如果⊙O的半径为①请你判断M (2,0)，N (-2,-1)两个点的变换点与⊙O的位置关系；②若点P在直线y=x+2上，点P的变换点P′在⊙O的内，求点P横坐标的取值范围.(2)如图2，如果⊙O的半径为1,且P的变换点P’在直线y=-2x+6上，求点P与⊙O上任意一点距离的最小值．丰台区2015~2016学年度第一学期期末练习初三数学参考答案2016.1一、选择题（本题共30分，每小题3分）二、填空题（本题共22分，10、11每小题3分,13-16每小题4分） 11. 30； 12.52； 13.π6； 14. 8； 15.如：y = -x 2+2； 16.不在同一条直线上的三个点确定一个圆；线段垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等；两条直线交于一点.三、解答题（本题共24分，每小题6分）17．解：原式=21-----3-分1-----4分1-----6-分18．解：（1）由题意得：312m -=，解得1m =. -----2分（2）二次函数的对称轴为 2x =-; -----4分 顶点式为：2(2)9y x =+-. -----6分19.（1）证明：∵∠A =∠A , ∠ACD =∠ABC , ∴ΔACD ∽ΔABC . -----2分 （2）解：∵ΔACD ∽ΔABC , .AC AD AB AC ∴=-----4分2AC AD AB ∴=⋅，AC ∴= -----6分20.解：（1）∵点A 的纵坐标为3, ∴x +2=3. ∴x =1.∴点A 坐标是（1，3）. -----1分 ∵点A 在反比例函数2ky x=的图象上， ∴ k =xy =3. -----3分 (2) ∵点B 的纵坐标为-1,∴x +2= -1. ∴x = -3. ∴点B 坐标是（-3，-1）. -----4分 由图象知：当-3<x 或当1<<0x 时，y 1< y 2 . -----6分 四、解答题（本题共28分，每小题7分） 21.解：由题意可知，∠CGB =∠B =∠CFD = 90°.在Rt △CDF 中，tan ∠CDF ＝＝2，CF ＝2. ∴DF ＝1，BG ＝2. -----2分 ∵BD ＝14,∴BF ＝GC ＝15.在Rt △AGC 中，由tan30°∴AG ＝＝-----4分 ∴AB ＝ 2 ≈ 10.65 . -----5分 ∵BE ＝BD －ED ＝12 , -----6分CFDF∴AB < BE ,∴人行道不在危险区域内. -----7分22．（1）证明：连接OD .∵OB=OD ，∴∠OBD=∠ODB ． -----1分 ∵∠CDA =∠CBD ，∴∠CDA =∠ODB .∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADO +∠ODB =90°. -----2分 ∴∠ADO +∠CDA=90°， 即CD ⊥OD .又∵为上一点,∴CD 是⊙O 的切线. -----3分（2）解：如图补全图形并连接OE . ∵CE 、BE 是⊙O 的切线，∴BE =DE ，∠DEO =∠BEO ，BE ⊥BC . -----5分 ∴OE ⊥BD ．可得∠BEO =∠CBD =∠CDA ． -----6分 ∴tan ∠BEO = tan ∠CDA .∵AB =6，∴OB =3.-----7分 23.（1）①如图所示：D O ⊙-----2分②答：当t =0.4秒时，乒乓球达到最大高度. -----3分（2）设二次函数的解析式为y =a (x -1)2+0.45且经过点（0，0.25)，∴a (0-1)2+0.45=0.25，解得 a∴解析式为y -1)2+0.45． -----5分当0y =x -1)2+0.45=0，解得10.5x =-（舍），2 2.5x =. ∴乒乓球第一次落在桌面时与端点A 的水平距离是2.5米. -----7分 24.（1）解：如图所示.-----3分（2）思路：a ．由切线性质可得PO ⊥l ；b ．由l ∥BC 可得PD ⊥BC ；c ．由垂径定理知，点E 是BC 的中点；d ．由三角形面积公式可证S △ABE = S △AEC . -----7分五、解答题（本题共16分，每题8分）25. 解：（1）∵抛物线G 1：y =ax 2+b x +c 的顶点为（2，-3），∴y =a (x -2)2﹣3．∵抛物线y =a (x -2)2﹣3且经过点（4，1）， ∴a (4-2)2﹣3=1．解得 a =1．∴抛物线G 1的解析式为y=(x -2)2﹣3=x 2-4x +1． -----2分（2）由题意得，抛物线G 2的解析式为y =(x -2+3)2﹣3﹣1=(x +1)2﹣4．∴当y =0时，x = -3或1.∴A (﹣3，0) -----5分（3）由题意得，直线m 交x 轴于点C （-6，0），交y 轴于点D （0，3）.设直线n 交y 轴于点E （0，t ），与直线m 交于点F . 当m ∥n 时，t =32，不能构成三角形． ∵t =0时，直线n 与x 轴重合， ∴直线n ，m 与x 轴不能构成三角形． ∴0t ≠且t 32≠． ① 当t ＜0时，如图所示，当∠CF A =∠EFD =90°时, ∵∠COE =90°， ∴∠FCA =∠FED ． ∴△FCA ∽△FED ．∵tan ∠FCA =tan ∠FED ，∴OE =6. ∴点E 的坐标为（0，﹣6）. ∴直线n 的解析式为y =﹣2x ﹣6.此时符合条件的B 点坐标为（-1，-4）．② 当0< t<32时，符合条件的点B 不存在．③ 当t >32时，如图所示,∵∠EFD =∠CF A ，∴当∠FED =∠FCA 时，△EFD ∽△CF A ． 解得OE =6．∴点E 的坐标为（0，6）．∴直线n 的解析式为y=2x +6． 此时符合条件的B 点坐标为（3，12）. 综上所述：存在满足条件的B 点坐标为（-1，-4），（3，12）. -----8分 26.解：（1）①由题意得，'(2,2),'(3,1).M N --∴''OM ON =>∴'M 在⊙O 上，'N 在⊙O 外. ----2分 ②设点(,2)P x x +,则'(22,2)P x +-. ∵点'P 在⊙O 内，∴2<2+2<2-x ,解得0<<2-x .∴点P 横坐标的取值范围是0<<2-x . （2）设点(,)P a b ,则'(,)P a b a b +-.由题意，得2()6.a b a b -++=- 整理，得3 6.b a =-+ ∴36P y x =-+点在直线上.3∴点O到直线y= -3x+6的距离是105∴点P1. -----8分。

丰台区2015年度初三毕业及统一练习参考答案17．证明：∵BF ＝CE ，∴BC ＝EF ．……1分 ∵AC ∥DF ，∴∠ACB ＝∠DFE ．……2分 ∵AC ＝DF ，∴ △ACB ≌△DFE ．……4分 ∴∠B =∠E ．……5分18．解：原式=212-…4分 =3-....5分19．解：去分母得：2(2) 2.x x x x --=-…1分222 2.x x x x -+=-……2分2.x =-…….3分经检验，2x =-是原方程的解.…….4分所以，原方程的解是 2.x =-…….5分20. 解：原式=222112015m m m -++-+…1分=2222015m m -+……2分=22()2015m m -+…….3分∵21m m -=， ∴原式=2017. …….5分21．（1）一次函数122y x =+的图象经过点A （2，m ）， ∴3m =．∴点A 的坐标为(2，3). ………1分反比例函数ky x=的图象经过点A (2，3)， ∴6k =………2分∴反比例函数的表达式为6.y x=……3分（2）(3,2)(3,2).P P --，………………5分22. 解：设新馆的展厅总面积为x 万平方米，原两馆大楼的展览面积为y 万平方米，根据题意列方程得：…1分4.2,30.4.x y x y =+=-⎧⎨⎩………3分 解得： 6.5,2.3.x y ==⎧⎨⎩………4分答：新馆的展厅总面积为6.5万平方米，原两馆大楼的展览面积为2.3万平方米. ………5分 23．（1）证明： ∵CE ＝CD ，CF ＝CB ，∴四边形DBEF 是平行四边形．.…….1分 ∵四边形ABCD 是菱形， ∴CD ＝CB ．.…….2分 ∴CE ＝CF ，∴BF ＝DE ，∴四边形DBEF 是矩形．.…….3分23.（2）过点D 作DG ⊥BC 于点G ，∴∠DGC ＝90°． ∵四边形ABCD 是菱形，∠A ＝60︒，∴∠BCD ＝60°．在Rt △CDG 中，cos ∠BCD ＝12CG CD =， ∴设CG ＝x ，则CD ＝BC ＝2x ，DGx . ∵菱形ABCD 的面积为38，∴BC DG ⋅=∴2x =2x =±（舍负），∴DG＝.……. 4分 ∵CF ＝CD ，∠BCD ＝60°，∴∠DFC ＝30°. ∴DF ＝2DG＝.…….5分24．（1）15；…1分（2）483；…2分（3）1593.9．…2分25．（1）PD 与⊙O 相切于点D ．.……. 1分 证明：联结OD∵在⊙O 中，OD OC =，AB CD ⊥于点E ， ∴12∠=∠． 又∵OP OP =，∴OCP ∆≌ODP ∆． ∴OCP ODP ∠=∠．又∵PC 切⊙O 于点C ，OC 为⊙O 半径， ∴OC PC ⊥．.……. 2分∴090OCP ∠=．∴090ODP ∠=．∴OD PD ⊥于点D ． ∴PD 与⊙O 相切于点D ．.……. 3分 （2）作FM AB ⊥于点M ．∵090OCP ∠=，CE OP ⊥于点E ，∴03490∠+∠=,0490APC ∠+∠=．∴3APC ∠=∠．∵4cos 5APC ∠=，∴Rt △OCE 中，4cos 35CE OC =∠=．∵10CF =，∴152OF OC CF ===．∴4CE =，3OE =．.……. 4分 ABCDEFG M3421FE D CBAPO G5y =2又∵FM AB ⊥，AB CD ⊥，∴090FMO CEO ∠=∠=．∵51∠=∠,OF OC =，∴OFM ∆≌OCE ∆．∴4FM CE ==,3OM OE ==．∵在Rt △OCE 中，4cos 5PC OP APC =∠=，设4,5PC k OP k ==，∴3OC k =． ∴35k=,53k =．∴253OP =．∴163PE OP OE =-=,343PM OP OM =+=． 又∵090FMO GEP ∠=∠=，∴FM ∥GE ．∴PGE ∆∽PFM ∆．∴GE PEFM PM =，即1633443GE =． ∴3217GE =．.……. 5分26.22142ab b a c ⨯+-=（），.…….3分 22222ab b ab a c +-+=，.……. 4分 222a b c +=．.……. 5分五、解答题27 . 解：（1）∵抛物线过点 （-1，a ），（3，a ）， ∴抛物线的对称轴x =1．.……. 1分 ∵抛物线最低点的纵坐标为-4 ， ∴抛物线的顶点是（1，-4）．.……. 2分 ∴抛物线的表达式是22(1)4y x =--， 即2242y x x =--．.…3分把（-1，a ）代入抛物线表达式，求出4a =．.……. 4分（2）∵抛物线顶点(1,4)C -关于y 轴的对称点为点D ，∴(1,4)D --．求出直线CD 的表达式为4y =-. .……. 5分求出直线BD 的表达式为22y x =-，当1x =时，0y =．.……. 6分22y x mx n =++A B A所以40t -<≤．.……. 7分28.（1）①作图.……. 1分ADE ∆（或PDE ∆）.…….2分②过点P 作PN ∥AG 交CG 于点N ，交CD 于点M ，.…….3分∴CPM CAB ∠=∠．∵∠CPE =12∠CAB ，∴∠CPE =12∠CPN ．∴∠CPE =∠FPN ．∵PF CG ⊥，∴∠PFC =∠PFN =90°．∵PF =PF ，∴PFC ∆≌PFN ∆．∴CF FN =．.…….4分 由①得：PME ∆≌CMN ∆．∴PE CN =．∴12CF CF PE CN ==．.…….5分 （2）1tan 2α．.…….7分29. （1）4；.…….2分（2）①直线21y x =+记为l ，过点M 作MH l ⊥，垂足为点H ，.…….3分 ∵EOF MHE ∆∆∽∴MH MEOF EF =，即712MH =MH =．.…….4分.…….6分.…….8分 F ECF EC AP N M。

丰台区2014-2015学年度第一学期初三数学期末练习一、选择题（共8个小题，每小题4分，共32分） 1. 如果45(0)x y y =≠，那么下列比例式成立的是A ．45x y= B ．54x y = C ．45x y =D ．54x y= 2．二次函数2(3)1y x =--+的最大值为A ．1B ．－1C ．3D ．－33．⊙O 1和⊙O 2的半径分别为2cm 和3cm ，如果O 1O 2=5cm ，那么⊙O 1和⊙O 2的位置关系是 A ．内含 B ．内切 C ．相交 D ．外切4. 如图，A ，B ，C 是⊙O 上的三个点，如果∠BAC =30°，那么∠BOC 的度数是 A ．60○ B ．45○ C ．30○ D ．15○5. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB 于点D ，如果AC =3， AB =6， 那么AD 的值为 A.32 B. 92 C.2D. 6．如图，扇形折扇完全打开后，如果张开的角度（∠BAC ）为120°，骨柄AB 的长为30cm ，扇面的宽度BD 的长为20cm ，那么这把折扇的扇面面积为 A ．2400πcm 3 B ．2500πcm 3 C ．2800πcm 3D ．2300πcm7. 如果点A ()11y -,，B ()22y ,，C ()33y ,都在反比例函数3y x=的图象上，那么 A ．123y y y << B ．132y y y << C ．213y y y << D ．321y y y << 8．如图，在平面直角坐标系中，点C 的坐标为（0，2），动点A 以每秒1个单位长的速度从点O 出发沿x 轴的正方向运动，M 是线段AC 的中点，将线段AM 以点A 为中心，沿顺时针方向旋转︒90得到线段AB ．联结CB ．设△ABC 的面积为S ，运动时间为t 秒，则下列图象中，能表示S 与t 的函数关系的图象大致是D CA ABCOBCAA BC D二、填空题（共6个小题，每小题4分，共24分）9．如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在AB ，AC 边上，且 DE ∥BC ，如果 AD ∶DB =3∶2， EC =4，那么AE 的长等于 ．10．如图，AB 是⊙O 的弦，OC ⊥AB 于点C ，如果 AB=8，OC=3，那么⊙O 的半径等于 ．11．在某一时刻，测得一身高为1.80m 的人的影长为3m ，同时测得一根旗杆的影长为25m ，那么这根旗杆的高度为 m ．12．在正方形网格中，ABC △的位置如图所示，则tan B 的值为__________． 13．关于x 的二次函数22y x kx k =-+-的图象与y 轴的交点在x 轴的上方，请写出一．个．满足条件的二次函数的表达式： ． 14．在平面直角坐标系xOy 中，对于点(),P x y ，其中0≠y ，我们把点)11,1(y x P -+-'叫做点P 的衍生点.已知点1A 的衍生点为2A ，点2A 的衍生点为3A ，点3A 的衍生点为4A ，…，这样依次得到点1A ，2A ，3A ，…，n A ，…，如果点1A 的坐标为)1,2(-，那么点3A 的坐标为________；如果点1A 的坐标为()b a ,，且点2015A 在双曲线xy 1=上， 那么=+ba 11________． 三、解答题（本题共20分，每小题5分） 15．计算：2tan45sin60cos30︒+︒-︒. 16．已知二次函数y = x 2－4x ＋3.（1）把这个二次函数化成2()y a x h k =-+的形式； （2）画出这个二次函数的图象，并利用图象写出当x 为何值时，y>0．E A CBD17．如图，矩形ABCD 中，AP 平分∠DAB ，且AP ⊥DP 于点P ，联结CP ，如果AB ﹦8， AD ﹦4，求sin ∠DCP 的值.18．如图，正比例函数12y x =-的图象与反比例函数k y x =的图象分别交于M ，N 两点，已知点M （-2，m ）. （1）求反比例函数的表达式；（2）点P 为y 轴上的一点，当∠MPN 为直角时，直接写出点P 的坐标．四、解答题（本题共22分，第19，22题每小题5分，第20， 21题每小题6分）19．某工厂设计了一款产品，成本为每件20元．投放市场进行试销，经调查发现，该种产品每天的销售量y （件）与销售单价x （元）之间满足280y x =-+ （20≤x ≤40），设销售这种产品每天的利润为W （元）.（1）求销售这种产品每天的利润W （元）与销售单价x （元）之间的函数表达式； （2）当销售单价定为多少元时, 每天的利润最大？最大利润是多少元？20. 如图，一艘渔船正自西向东航行追赶鱼群，在A 处望见岛C 在船的北偏东60°方向，前进20海里到达B 处，此时望见岛C 在船的北偏东30°方向，以岛C 为中心的12海里内为军事演习的危险区.请通过计算说明:如果这艘渔船继续向东追赶鱼群是否有进入危险区的可能. （参考数据:1.4 1.7≈≈）21．如图，PB 切O 于点B ，联结PO 并延长交O 于点E ，过点B 作BA ⊥PE 交O 于点A ，联结AP ，AE ． （1）求证：P A 是O 的切线； （2）如果OD ＝3，tan ∠AEP ＝12，求O 的半径．ABCD P22．对于两个相似三角形，如果对应顶点沿边界按相同方向顺序环绕，那么称这两个三角形互为同相似，如图1，111A B C ∆∽ABC ∆，则称111A B C ∆与ABC ∆互为同相似；如果对应顶点沿边界按相反方向顺序环绕，那么称这两个三角形互为异相似，如图2，222A B C ∆∽ABC ∆，则称222A B C ∆与ABC ∆互为异相似.11BC 22图1 图2（1）在图3、图4和图5中，△ADE ∽△ABC ， △HXG ∽△HGF ，△OPQ ∽△OMN ，其中△ADE 与△ABC 互为 相似，△HXG 与△HGF 互为 相似，，△OPQ 与△OMN 互为 相似；BEA DCG XHFNQOPM图3 图4 图5（2）在锐角△ABC 中，∠A <∠B <∠C ，点P 为AC 边上一定点（不与点A ，C 重合），过这个定点P 画直线截△ABC ，使截得的一个三角形与△ABC 互为异相似．．．，符合条件的直线有_____条. 五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23. 已知抛物线22y x x m =--与x 轴有两个不同的交点． （1）求m 的取值范围；（2）如果A 2(1,)n n -、B 2(3,)n n +是抛物线上的两个不同点，求n 的值和抛物线的表达式； （3） 如果反比例函数ky x=的图象与（2）中的抛物线在第一象限内的交点的横坐标为0x ， 且满足4<0x <5，请直接写出k 的取值范围. 24. 已知：如图，矩形ABCD 中，AB >AD .BC（1）以点A 为圆心，AB 为半径作弧，交DC 于点E ，且AE ＝AB ，联结AE ，BE ，请补全图形，并判断∠AEB 与∠CEB 的数量关系； （2）在（1）的条件下，设EC a BE =，BEb AB=，试用等式表示a 与b 间的数量关系并加以 证明.25．我们规定：线段外一点和这条线段两个端点连线所构成的角叫做这个点对这条线段的视角.如图1，对于线段AB 及线段AB 外一点C ，我们称∠ACB 为点C 对线段AB 的视角. 如图2，在平面直角坐标系xOy 中，已知点D （0，4），E （0，1）. （1）⊙P 为过D ，E 两点的圆， F 为⊙P 上异于点D ，E 的一点.①如果DE 为⊙P 的直径，那么点F 对线段DE 的视角∠DFE 为______度；②如果⊙P，那么点F 对线段DE 的视角∠DFE 为_________度；（2）点G 为x 轴正半轴上的一个动点，当点G 对线段DE 的视角∠DGE 最大时，求点G 的坐标.丰台区2014—2015学年度第一学期期末练习初三数学试题答案及评分参考一、选择题（本题共8个小题，每小题4分，共32分）DCBAx+3二、填空题（本题共6个小题，每小题4分，共24分）三、解答题（共20分，每小题5分） 15．解：原式＝21⨯ ------3分 2= ------5分16．解：（1）∵224+3(2)1y x x x =-=--．------2分（2）二次函数图象如右图，当13x x <>或时，0y >．------5分17．解：过点P 作PE⊥CD 于点E ， ------1分∵四边形ABCD 是矩形，∴CD ＝AB ＝8，∠DAB ＝∠ADC ＝90°． ∵AP 是∠DAB 的角平分线，∴∠DAP ＝12∠DAB ＝45°． ∵DP ⊥AP ，∴∠APD ＝90°．∴∠ADP ＝45°．∴∠CDP ＝45°．在Rt △APD 中，AD ＝4，∴DP ＝AD ·sin ∠DAP ＝． ------2分在Rt △DEP中，∠DEP ＝90°，∴PE ＝DP ·sin ∠CDP ＝2，DE ＝DP ·cos ∠CDP ＝2． ∴CE ＝CD —DE ＝6． ------3分在Rt △DEP 中，∠CEP ＝90°，PC =分 ∴sin ∠DCP ＝PE PC =. ------5分 18．解：（1）∵点M （-2，m ）在正比例函数12y x =-的图象上，∴()1=212m -⨯-= ． ------1分 ∴M （-2，1）．------2分∵反比例函数ky x=的图象经过点M （-2，1），∴k ＝-2×1＝-2． ∴反比例函数的解析式为2y x=-． ------ 3分（2）点P 的坐标为（00， -------5分四、解答题（本题共22分，第19，22题每小题5分，第20， 21题每小题6分） 19．解：（1）(20)(20)(280)W y x x x =-=--+ ------- 1分221201600x x =-+-． ------- 3分PDCBAE（2） ()2230200W x =--+． ------4分∴当销售单价定为30元时，工厂每天获得的利润最大，最大利润是200元．------5分20．解：过点C 作CD ⊥AB ，交AB 延长线于点D ．由题意可知，------- 1分在△ABC 中，∠CAB ＝30°，∠ABC ＝90°＋30°＝120°， ∴∠ACB ＝30°，BC ＝AB ＝20 ． ------- 3分 在Rt △CBD 中，∠CBD ＝60°，∴CD ＝CB ·sin ∠CBD＝． ------- 5分∵12，∴这艘渔船继续向东航行追赶鱼群不会进入危险区． ------- 6分21．（1）证明：如图，联结OA ，OB ．∵PB 是⊙O 的切线，∴ ∠PBO ＝90°． ------- 1分 ∵ OA ＝OB ，BA ⊥PE 于点D ， ∴ ∠POA ＝∠POB ． ------- 2分 又∵ PO ＝PO ，∴ △PAO ≌△PBO ．∴ ∠PAO ＝∠PBO ＝90°． ∴PA ⊥OA ．∴ 直线PA 为⊙O 的切线． ------- 3分 （2）在Rt △ADE 中，∠ADE ＝90°，∵tan ∠AEP ＝AD DE ＝12，∴设AD ＝x ，DE ＝2x ．----- 4分 ∴OE ＝2x —3．在Rt △AOD 中，由勾股定理 ，得 (2x －3)2＝x 2＋32． ------5分 解得，x 1＝4，x 2＝0（不合题意，舍去）．∴ AD ＝4，OA ＝OE ＝2x －3＝5．即⊙O 的半径的长5． ------ 6分 22．解：（1）同，异，同． ------3分（2） 1或2． ------5分五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．解：（1）根据题意得，Δ440m =+>， ------1分解得 1.m >- ------2分（2）由题意知，抛物线对称轴为直线x ＝1，点A 和点B 是抛物线上的两个对称点，则()311(1)n n +-=--，解得0.n = ------3分 ∴点A （-1，0），∴22 3.y x x =-- ------5分（3）2060.k << ------7分24．解：（1）如图1， ------1分∠AEB ＝∠CEB ． ------2分 （2）b a 21=. ------3分 证明：如图2，作过点A 作AF ⊥BE 于点F ， ------4分∵ AB ＝AE ，∴1.2BF BE =∵∠AFB ＝∠C =90°，∠ABE ＝∠CEB ， ∴△ABF ∽△BEC . ------5分∴ABBFBE EC =． ------6分 ∴ABBEBE EC 21=， 即12a b =． ------7分25.解：（1）①90°； ------1分②60°或120°． ------3分（2）如图，当⊙P与x轴相切，G为切点时，∠DGE最大．------4分由题意知，点P在线段ED的垂直平分线上，∴PG＝2.5. ---5分过点P作PH⊥DE于点H，∴11.5.2EH DE==------6分∵PG⊥x轴，∴四边形PHOG为矩形.联结PE，在Rt△PEH中，PE＝PG＝2.5，EH＝1.5，∴PH＝2．所以点G（2，0）．------8分小学四年级数学上学期期末评价试题（北师大版）同学们，一个学期又快结束了。