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数学归纳法一、教学目标：理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，会用归纳、猜想、证明这种探索思想解决一些数学问题．二、教学重点：数学归纳法及其原理的理解，归纳、猜想、证明这一探索思想的应用．三、教学过程：（一）主要知识：数学归纳法是高考考查的重点内容之一.类比与猜想是应用数学归纳法所体现的比较突出的思想，抽象与概括，从特殊到一般是应用的一种主要思想方法.1．归纳法及其分类2．数学归纳法及其原理3．数学归纳法的基本步骤4．归纳、猜想、证明的探索思想（二）知识点详析1．归纳是一种有特殊事例导出一般原理的思维方法。
归纳推理分完全归纳推理与不完全归纳推理两种。
不完全归纳推理只根据一类事物中的部分对象具有的共同性质，推断该类事物全体都具有的性质，这种推理方法，在数学推理论证中是不允许的。
完全归纳推理是在考察了一类事物的全部对象后归纳得出结论来。
2．数学归纳法是用来证明某些与自然数有关的数学命题的一种推理方法，在解数学题中有着广泛的应用。
它是一个递推的数学论证方法，论证的第一步是证明命题在n＝1(或n0)时成立，这是递推的基础；第二步是假设在n＝k时命题成立，再证明n＝k＋1时命题也成立，这是无限递推下去的理论依据，它判断命题的正确性能否由特殊推广到一般，实际上它使命题的正确性突破了有限，达到无限。
这两个步骤密切相关，缺一不可，完成了这两步，就可以断定“对任何自然数（或n≥n0且n∈N）结论都正确”。
由这两步可以看出，数学归纳法是由递推实现归纳的，属于完全归纳。
运用数学归纳法证明问题时，关键是n＝k＋1时命题成立的推证，此步证明要具有目标意识，注意与最终要达到的解题目标进行分析比较，以此确定和调控解题的方向，使差异逐步减小，最终实现目标完成解题。
3．数学归纳法的基本形式：设P(n)是关于自然数n的命题，若1°P(n0)成立(奠基)2°假设P(k)成立(k≥n0)，可以推出P(k+1)成立(归纳)，则P(n)对一切大于等于n0的自然数n都成立.4．数学归纳法的应用：运用数学归纳法，可以证明下列问题：与自然数n有关的恒等式、代数不等式、三角不等式、整除性问题、几何中计算问题，数列的通项与和等等。
4.1 数学归纳法教学目标：1.了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的与正整数有关的数学命题；2. 进一步发展猜想归纳能力和创新能力，经历知识的构建过程, 体会类比的数学思想。
教学重点：数学归纳法产生过程的分析和对数学归纳法的证题步骤的掌握。
教学难点：数学归纳法中递推思想的理解。
教学过程：一、创设情境，引出课题（1）不完全归纳法：今天早上，我曾疑惑，怎么一中（永昌一中）只招男生吗？因为清晨我在学校门口看到第一个进校园的是男同学，第二个进校园的也是男同学，第三个进校园的还是男同学。
于是得出结论：学校里全部都是男同学，同学们说我的结论对吗？（这显然是一个错误的结论，说明不完全归纳的结论是不可靠的，进而引出第二个问题）（2）完全归纳法：一个火柴盒，里面共有五根火柴，抽出一根是红色的，抽出第二根也是红色的，请问怎样验证五根火柴都是红色的呢？（将火柴盒打开，取出剩下的火柴，逐一进行验证。
）注：对于以上二例的结果是非常明显的，教学中主要用以上二题引出数学归纳法。
结论：不完全归纳法→结论不可靠；完全归纳法→结论可靠。
问题：以上问题都是与正整数有关的问题，从上例可以看出，要想正确的解决一个与此有关的问题，就可靠性而言，应该选用第几种方法？（完全归纳法）情境一：（播放多米诺骨牌视频）问：怎样才能让多米诺骨牌全部倒下？二、讲授新课：探究一：让所有的多米诺骨牌全部倒下，必须具备什么条件？条件一：第一张骨牌倒下；条件二：任意相邻的两张骨牌，前一张倒下一定导致后一张倒下。
探究二：同学们在看完多米诺骨牌视频后，是否对怎样证明222(1)(21)1236n n n +++++=2…+n 有些启发？得出结论：证明222(1)(21)1236n n n +++++=2…+n 的两个步骤：（1）证明当1n =时，命题成立；（2）假设当*(1,)n k k k N =≥∈时命题成立，证明当1n k =+时命题也成立。
一般地，证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行： （1）（归纳奠基）证明当n 取第一个值*00()n n N ∈时命题成立；（2）（归纳递推）假设*0(,)n k k n k N =≥∈时命题成立，证明当1n k =+时，命题也成立。
数学归纳法教课目的1．认识归纳法的意义，培育学生察看、归纳、发现的能力．2．认识数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤．3．抽象思想和归纳能力进一步获取提升．教课要点与难点要点：归纳法意义的认识和数学归纳法产生过程的剖析．难点：数学归纳法中递推思想的理解．教课过程设计（一）引入师：从今日开始，我们来学习数学归纳法．什么是数学归纳法呢？应当从认识什么是归纳法开始．（板书课题：数学归纳法）（二）什么是归纳法（板书）师：请看下边几个问题，并由此思虑什么是归纳法，归纳法有什么特色．问题 1：这里有一袋球共十二个，我们要判断这一袋球是白球，仍是黑球，请问怎么办？（可准备一袋白球、问题用小黑板或投影幻灯片预先准备好）生：把它倒出来看一看就能够了．师：方法是正确的，但操作上缺少次序性．次序操作怎么做？生：一个一个拿，拿一个看一个．师：对．问题的结果是什么呢？（演示操作过程）第一个白球，第二个白球，第三个白球，⋯⋯，第十二个白球，由此获取：一袋球都是白球．a2，a3，a4。
的，再推通a n的公式．（由小黑板或投影幻灯片出）：同学解决以上两个用的都是法，你能什么是法，法有什么特色？生：法是由一些特别案例推出一般的推理方法．特色是由特别→一般（板）．：很好！其在中学数学中，法我早就接触到了．比如，出数列的前四，求它的一个通公式用的是法，确立等差数列、等比数列通公式用的也是法，此后的学会看到法的运用．在生活和生中，法也有宽泛用．比如气象工作者、水文工作者依照累的史料作气象，水文，用的就是法．指出， 1 和 2 运用的法是有区的． 1 中，一共12个球，全看了，由此而获取了．种把研究象一一都考到了而推出的法称完整法．于 2，因为自然数有无数个，用完整法去推出就不可以能，它是由前 4体的律，行推，得出的，种法称不完整法．（三）法的（板）法分完整法和不完整法（板）．：用不完整法既然要推，推是要有点勇气的，大家鼓起勇气研究 3．3：于随意自然数 n，比 7n-3与 6（7n+9）的大小．（由小黑板或投影幻灯片出）（学生必定的算、思虑）生：算，我的是：随意n∈N+， 7n-3＜ 6（ 7n+9）．：你算了几个数获取的？生：4个．：你算了 n=1，n=2，n=3，n=4 4 个数，而获取的，是吧？生：．：有没有不一样意？生：我了 n=8，有 7n-3＞6（7n+9），而不是 7n-3＜ 6（ 7n+9）．他的不吧！：那你的是什么呢？（大家思虑，正）生：我的是：当 n=1，2，3，4， 5 ， 7n-3＜6（7n+9）；当 n=6，7，8，⋯， 7n-3＞ 6（ 7n+9）．：由以上的研究程，我什么呢？第一要仔地据有正确的资料，不可以随意算几个数，就作推．把你算果填入下表内：：依照数据作推，决不是乱猜．要注意数据作出慎地剖析．由上表可看到，当 n 依 1， 2， 3， 4，⋯，相的 7n-3的此后一个是前一个的 7 倍的速度在增添，而6（7n+9）相的增速度不到2 倍．完整有原由确，当n 取大，7n-3＞6（ 7n+9）会建立的．： 3 推有的同学完整不用于自，接受教就能够了．其在数学史上，一些世界的数学大在运用法，也曾有失．料 1（预先准好，由学生）（ Fermat）是 17 世法国有名的数学家，他是分析几何的明者之一，是微分的立作出献最多的人之一，是概率的始者之一，他数也有多献．可是，曾，当 n∈N ，22n+1 必定都是数，是他 n=0，1，2，3，4 作了后获取的．18 世大的瑞士科学家欧拉（Euler）却了然 225+1=4 294 967 297=6 700：有的同学，什么不再多算一个数呢？今日我是没法回答的．可是要告同学，失的关不在于多算一个上！再看数学史上的另一个料（仍由学生）：料 2f（ n） =n2+n+41，当 n∈ N ， f（n）能否都数？f（ 0） =41，f（ 1） =43，f （2） =47，f （3）=53，f （4）=61，f（ 5） =71，f（ 6） =83，f （7） =97，f （8）=113，f（ 9） =131，f（ 10）=151，⋯f（39）=1 601．可是 f（ 40）=1 681=412是合数：算了39 个数不算少了吧，但不可以！我介以上两个料，不是世界大出，我有就能够原，也不是法不可以，不去学了，而是要找出运用法出的原由，并研究出策来．：法什么会出呢？生：完整法不会出．：！但运用不完整法是不可以防止的，它什么会出呢？生：因为用不完整法，一般的得出有猜的成份．：完整赞同．那么怎么呢？生：予以明．：大家赞同吧？于生活、生中的，得出的的正确性，接受践的，因践是真谛的独一准．于数学，求数学明．（四）与明（板）：怎么明呢？合以上 1 思虑．生： 1 共 12 个球，都看了，它的正确性不用了然．：也能够个角度看， 12 个球，一一看了，一一看就能够看作明．数学上称种法法．它体了分的思想．：假如里不是 12 个球，而是无数个球，我用不完整法获取，袋球全部是白球，那么怎么明呢？（稍作，使学生把注意力更集中起来）：的明确不是一个简单的，在数学史上也了多年的．第一个正式研究此的是意大利科学家莫利科．他运用推的思想予以明．合 1 来，他第一确立第一次取出来的是白球．而后再结构一个命予以明．命的条件是：“ 某一次取出来的是白球” ，是“下一次取出来的也是白球”．个命不是孤立地研究“某一次”，“下一次”取的究竟能否是白球，而是研究若某一次是白球个条件能保下一次也是白球的必然性．大家看，能否了然上述两条，就使获取解决了呢？生：是．第一次取出的是白球已确，频频运用上述结构的命，可得第二次、第三次、第四次、⋯⋯取出的都是白球．：．它使一个本来没法作出一一的命，用一个推一个的推思想获取了明．生活上，体种推思想的例子也是许多的，你能出例子来？生：一排排放很近的自行，只需碰倒一，就会倒下一排．生：再比如多米骨牌游．（有条件可放一段此种游戏的录相）师：多米诺骨牌游戏要获得成功，一定靠两条：（1）骨牌的摆列，保证前一张牌倒则后一张牌也必然倒；（2）第一张牌被推倒．用这类思想设计出来的，用于证明不完整归纳法推断所得命题的正确性的证明方法就是数学归纳法．（五）数学归纳法（板书）师：用数学归纳法证明以上问题 2 推断而得的命题，应当证明什么呢？生：先证 n=1 时，公式建立（第一步）；再证明：若对某个自然数（ n=k）公式建立，则对下一个自然数（ n=k+1）公式也建立（第二步）．师：这两步的证明自己会进行吗？请先证明第一步．（应追问各步计算推理的依照）师：再证明第二步．先明确要证明什么？：于是由上述两步，命获取了明．就是用数学法行明的基本要求．：小一下用数学法作明有的基本步．生：共两步（学生，教板）：（1）n=1 ，命建立；（2） n=k 命建立，当n=k+1 ，命也建立．：其第一步一般来，是明开者命建立．比如，于 3 推得的命：当 n=6，7， 8，⋯， 7n-3＞ 6（7n+9）．第一步明 n=6 ，不等式建立．（如有可此不等关系明的第二步，若无可部署学生下思考）（六）小：把本内容一下：（1）本的中心内容是法和数学法．（2）法是一种由特别到一般的推理方法．分完整法和不完整法二种．（3）因为不完整法中推所得可能不正确，因此必作出明，明可用数学法行．（4）数学法作一种明方法，它的基本思想是推（）思想，它的操作步必是二步．数学法在数学中有宽泛的用，将从下开始学．（七）外作（1）本 P112～ P115 的内容．（2）面作 P115 ： 1， 3．堂教课明1．数学法是一种用于明与自然数n 相关的命的正确性的明方法．它的操作步、明确，教课要点是方法的用．可是我不可以把教课程看作方法的灌，技术的操．方法作的灌，学生必然疑重重．为何一定是二步呢？于是教师频频举例，说明二步缺一不可以．你怎么知道 n=k 时命题建立呢？教师又不得不作出解说，可学生仍未完整接受．学完了数学归纳法的学生又常常有应当用时但想不起来的问题，等等．为此，我们假想增强数学归纳法产生过程的教课，把数学归纳法的产生寓于对归纳法的剖析、认识中间，把数学归纳法的产生与不完整归纳法的完美联合起来．这样不单使学生能够看到数学归纳法产生的背景，从一开始就注意它的功能，为使用它打下优秀的基础，并且能够增强归纳思想的教课，这不单是对中学数学中以演绎思想为主的教课的重要增补，也是指引学生发展创新能力的良机．数学归纳法产生的过程分二个阶段，第一阶段从对归纳法的认识开始，到对不完整归纳法的认识，再到不完整归纳法靠谱性的认识，直到怎么办结束．第二阶段是对策酝酿，从介绍递推思想开始，到认识递推思想，运用递推思想，直到归纳出二个步骤结束．把递推思想的介绍、理解、运用放在主要地点，必然对理解数学归纳法的本质带来指导意义，也是在教课过程中努力发掘、浸透隐含于教课内容中的数学思想的一种试试．2．在教课方法上，这里运用了在教师指导下的师生共同议论、探究的方法．目的是在于增强学生对教课过程的参加程度．为了使这类参加有必定的智能度，教师应做好发动、组织、指引和点拨．学生的思想参加常常是从问题开始的，赶快提出适合的问题，并提出思想要求，让学生赶快投入到思想活动中来，是十分重要的．这就要讨教师把每节课的课题作出有条有理的分解，并选择适合的问题，把课题的研究内容落于问题中，在渐渐睁开中，指引学生用已学的知识、方法予以解决，并获取新的发展．本节课的教课方案也想在这方面作些研究．3．理解数学归纳法中的递推思想，还要注意此中第二步，证明 n=k+1 命题建即刻一定用到 n=k 时命题建立这个条件．即 n=k+1 时等式也建立．这是不正确的．因为递推思想要求的不是n=k，n=k+1 时命题究竟建立不建立，而是 n=k 时命题建立作为条件可否保证 n=k+1 时命题建立这个结论正确，即要求的这类逻辑关系能否建立．证明的主要部分应改为以上理解不单是正确认识数学归纳法的需要，也为第二步证明过程的设计指了然正确的思想方向．。
