2012北京海淀一模数学理(word版+答案+免费免点数)

十七、几何证明选讲
13.（2012年海淀一模理13）如图，以的边为直径的半圆交于点，交于点，于点，，，那么=，=.
答案：60°
11.（2012年西城一模理11） 如图，为⊙的直径，，弦交于点．若，，则_____．
。

12．（2012年东城一模理12）如图，是⊙的直径，直线切⊙于点，且与
延长线交于点，若，，则=．
答案：。

12．Rt△ABC内接于圆，，PA是圆的切线，A为切点， PB
交AC于E，交圆于D．若PA=AE，PD=，BD=，则AP=，AC=．
答案：，.
10.（2012年东城11校联考理10）如图，已知是⊙的切线，是切点，直线交⊙于两点，是的中点，连结并延长交⊙于点，若，则=.
答案：。

11.（2012年石景山一模理11）如图，已知圆中两条弦与相交于点，与圆相切交延长线上于点，若，，则线段的长为 ．
答案：。

3．是圆的切线，切点为，交圆于两点，，则=( B )
A. B. C. D.
12．与是的直径，，是
延长线上一点，连交于点，连交于点，若，则
．
答案：3。

12．是直径延长线上一点， 是
的切线，是切点，，，则 ．
答案：。

2,4,6
F
B
E
O
C
P
D
A
C
F
D
E
A
B。

2012年北京海淀中考一模数学一、选择题（共8小题；共40分）1. 的相反数是______A. B. C. D.2. 2012 年第七届原创新春祝福短信微博大赛作品充满了对龙年浓浓的祝福，主办方共收到原创祝福短信作品条，将用科学记数法表示应为______A. B. C. D.3. 如图，点，，在上，若，则的度数为______A. B. C. D.4. 掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有到的点数，掷得朝上一面的点数为偶数的概率为______A. B. C. D.5. 如图，在中，，点在上，于，若，，则的值为______A. B. C. D.6. 将代数式化为的形式，正确的是______A. B. C. D.7. 北京市环保检测中心网站公布的2012 年3 月31 日的研究性检测部分数据如下表：时间则该日这个时刻的的众数和中位数分别是______A. ，B. ，C. ，D. ，8. 下列图形中，能通过折叠围成一个三棱柱的是______A. B.C. D.二、填空题（共3小题；共15分）9. 函数的自变量的取值范围是______．10. 如图是某超市一层到二层滚梯示意图．其中，分别表示超市一层、二层滚梯口处地面的水平线，，的长约为米，则乘滚梯从点到点上升的高度约为______米．11. 在平面直角坐标系中，正方形，，，，按如图所示的方式放置．点，，，和，，，分别在直线和轴上．已知，，则点的坐标是______；点的坐标是______．三、解答题（共13小题；共169分）12. 计算：．13. 解不等式组：14. 如图，，点，在上，，．求证：．15. 已知是方程组的解，求代数式的值．16. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象的一个交点为．（1）求一次函数的解析式；（2）若点在直线上，且满足，直接写出点的坐标．17. 三月植树节期间，某园林公司增加了人力进行园林绿化，现在平均每天比原计划多植树棵，现在植树棵所需的时间与原计划植树棵所需的时间相同，问现在平均每天植树多少棵?18. 如图，在四边形中，，，于，且，若，，求四边形的周长．19. 如图，内接于，是的直径，是延长线上一点，且．（1）求证：直线是的切线；（2）若，，，求的长及的半径．20. 以下是根据某手机店销售的相关数据绘制的统计图的一部分．请根据图1，图2解答下列问题：（1）来自该店财务部的数据报告表明，该手机店1 4 月的手机销售总额一共是万元，请将图1中的统计图补充完整；（2）该店1月份音乐手机的销售额约为多少万元（结果保留三个有效数字）?（3）小刚观察图2后认为，4月份音乐手机的销售额比3月份减少了，你同意他的看法吗?请你说明理由．21. 阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，和均为等腰直角三角形，．若的面积为，试求以，，的长度为三边长的三角形的面积．小明是这样思考的：要解决这个问题，首先应想办法移动这些分散的线段，构造一个三角形，再计算其面积即可．他利用图形变换解决了这个问题，其解题思路是延长到，使得，连接，可证，从而得到的即是以，，的长度为三边长的三角形（如图2）．（1）请你回答：图2 中的面积等于______．（2）请你尝试用平移、旋转、翻折的方法，解决下列问题：如图3，已知，分别以，，为边向外作正方形，，，连接，，．（1）在图3中利用图形变换画出并指明以，，的长度为三边长的一个三角形（保留画图痕迹）；（2）若的面积为，则以，，的长度为三边长的三角形的面积等于______．22. 已知关于的方程．（1）求证：不论为任何实数，此方程总有实数根；（2）若抛物线与轴交于两个不同的整数点，且为正整数，试确定此抛物线的解析式；（3）若点与点在（2）中抛物线上（点，不重合），且，求代数式的值．23. 在平行四边形中，，过点作，且，连接，，，分别为，的中点，连接．（1）如图1，若点在上，与交于点，试探究线段与线段的数量关系及与满足的等量关系，请直接写出你的结论；（2）如图2，若点在线段上，当点在何位置时，你在（1）中得到的结论仍然成立，写出你确定的点的位置，并证明（1）中的结论．24. 已知抛物线的顶点为，与轴交于点，与直线交于点．（1）如图1，若点的横坐标为，点的坐标为，试确定抛物线的解析式；（2）在（1）的条件下，若点是直线下方抛物线上的一点，且，求点的坐标；（3）如图2，若点在第一象限，且，过点作轴于点．将抛物线平移，平移后的抛物线经过点，，该抛物线与轴的另一个交点为，请探究四边形的形状，并说明理由．答案第一部分1. B2. B3. C4. D5. C6. B7. A8. C第二部分9.10.11. ；第三部分原式12.13. 解不等式得解不等式得因此不等式组的解集为．14. ，．在和中．．15. 是方程组的解，原式将，代入上式，得原式．16. （1）点在反比例函数的图象上，．．点．点在一次函数的图象上，．一次函数的解析式为．（2）点的坐标为或．17. 设现在平均每天植树棵．依题意，得解得经检验，是原方程的解，且符合题意．答：现在平均每天植树棵．18. ，，，．．在中，，，．，，．在中，由勾股定理得．．四边形的周长为．19. （1）连接．是的直径，．．，，．，即．是的直径，直线是的切线．（2）作于点，则．，，．，，．．由（1），又，．，．设，则．在中，由勾股定理得，可求得．，的半径为．20. （1）（万元）．统计图如图所示，（2）（万元）．所以该店1月份音乐手机的销售额约为万元．（3）不同意，理由如下：3月份音乐手机的销售额是（万元），4月份音乐手机的销售额是（万元）．而，因此4月份音乐手机的销售额比3月份的销售额增多了．21. （1）（2）（1）如图，以，，的长度为三边长的一个三角形是．（答案不唯一），，的长度为三边长的三角形的面积等于．22. （1）当时，原方程化为，此时方程有实数根．当时，原方程为一元二次方程．．此时方程有两个实数根．综上，不论为任何实数时，方程总有实数根．（2）令，则，解得，．抛物线与轴交于两个不同的整数点，且为正整数，．抛物线的解析式为．（3），抛物线的对称轴为直线．点与在抛物线上，点，不重合，且，点，关于直线对称．．．23. （1），．（2）点是线段的中点（或其他等价写法）．证明如下：如图，分别连接，．四边形是平行四边形，，，，．，．，．．即又由得．，．，分别为，的中点，，．同理可得，．．，．．，．．24. （1）依题意，得，解得．将及点的坐标代入抛物线解析，得，解得．所以抛物线的解析式为．（2）抛物线与轴交于点，．直线的解析式为．设直线下方抛物线上的点坐标为，过点作轴的平行线交直线于点，则，如图所示．．，解得，．点的坐标为或．（3）如图，由，，可得．抛物线的顶点坐标为，．．抛物线，，，．可得直线的解析式为．点是抛物线与直线的图象的交点，令，解得，．可得点的坐标为．由平移后的抛物线经过点，可设平移后的抛物线解析式为．将点的坐标代入，得．平移后的抛物线解析式为．令，即，解得，．依题意，点的坐标为．．．，四边形是平行四边形．，四边形是矩形．。

2012年普通高等学校招生全国统一考试 数学 （理）（北京卷）第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1.已知集合{}320A x R x =∈+>，{}(1)(3)0B x R x x =∈+->，则A B = ( ) A ．(,1)-∞- B ．2(1,)3-- C ．2(,3)3- D ．(3,)+∞2.设不等式组0202x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩表示的平面区域为D.在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（ ） A ．4π B ．22π- C ．6π D ．44π- 3.设,a b R ∈, “0a =”是“复数a bi +是纯虚数”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件4. 执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ） A ． 2 B ． 4 C ． 8 D ． 165.如图，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于点D,以BD 为直径的圆与BC 交于点E ，则（） A ．CE ·CB=AD ·DB B ．CE ·CB=AD ·AB C ．AD ·AB= 2CD D ．CE ·EB= 2CD6.从0,2 中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数， 其中奇数的个数为（ ）A ． 24B ． 18C ． 12D ． 67. 某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（ ） A．28+ B．30+ C．56+．60+8. 某棵果树前n 年得总产量n S 与n 之间的关系如图所示，从目前记录的结果看，前m 年的年平均产量最高，m 的值为（ ）A ．5B ． 7C ． 9D ．11（第4题图）B第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9. 直线2,1x t y t =+⎧⎨=--⎩（t 为参数）与曲线3cos 3sin x y =α⎧⎨=α⎩（α为参数）的交点个数为 .10.已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和.若112a =，23S a =，则2a = ；n S = . 11.在△ABC 中，若2a =，7bc +=，1cos 4B =-，则b = . 12.在直角坐标系xoy 中，直线l 过抛物线24y x =的焦点F,且与该抛物线相较于A 、B 两点，其中点A 在x 轴上方，若直线l 的倾斜角为60°，则△OAF 的面积为 .13.已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE CB ⋅的值为 ； DE DC ⋅的最大值为 .14.已知()(2)(3)f x m x m x m =-++，()22x g x =-.若同时满足条件：①,()0x R f x ∀∈<或()0g x <；②(,4)x ∃∈-∞- ，()()0f x g x <. 则m 的取值范围是 . 三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15.（本小题13分） 已知函数(sin cos )sin 2()sin x x xf x x-=.（1）求()f x 的定义域及最小正周期； （2）求()f x 的单调递增区间.16. （本小题14分）如图1，在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D,E 分别是AC ，AB 上的点， 且DE ∥BC ，DE=2，将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1C ⊥CD ，如图2. （1）求证：A 1C ⊥平面BCDE;（2）若M 是A 1D 的中点，求CM 与平面A 1BE 所成角的大小；（3）线段BC 上是否存在点P,使平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直？说明理由. 17.（本小题13分）近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾，数（1）试估计厨余垃圾投放正确的概率； （2）试估计生活垃圾投放错误的概率；（3）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为,,a b c ，其中0a >，600a b c ++=.当数据,,a b c 的方差2S 最大时，写出,,a b c 的值（结论不要求证明），并求此时2S 的值. （注：方差2222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-++- ，其中x 为12,,n x x x 的平均数） 18.（本小题13分）已知函数2()1f x ax =+（0a >），3()g x x bx =+.（1）若曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点（1，c ）处具有公共切线，求,a b 的值； （2）当24a b =时，求函数()()f x g x +的单调区间，并求其在区间(,1]-∞-上的最大值.19.（本小题14分）已知曲线C: 22(5)(2)8()m x m y m R -+-=∈ (1)若曲线C 是焦点在x 轴的椭圆，求m 的范围；(2)设4m =，曲线C 与y 轴的交点为A,B （点A 位于点B 的上方），直线4y kx =+与曲线C 交于不同的两点M,N,直线1y =与直线BM 交于点G 求证：A,G,N 三点共线. 20.（本小题13分）设A 是由m n ⨯个实数组成的m 行n 列的数表，满足：每个数的绝对值不大于1，且所有数的和为零.记(,)S m n 为所有这样的数表构成的集合.对于(,)A S m n ∈，记()i r A 为A 的第i 行各数之和1i m ≤≤，()j c A 为A 的第j 列各数之和1j n ≤≤； 记()k A 为1|()|r A ，2|()|r A ，…，|()|m r A ，1|()|c A ，2|()|c A ，…，|()|n c A 中的最小值. （1）对如下数表A,求()k A 的值；（2）设数表A=(2,3)S 形如求()k A 的最大值；（3）给定正整数t ，对于所有的A ∈S(2，21t +),求()k A 的最大值.（李国波录入2012-6-8）参考答案 一、选择题1、D2、D3、B4、C5、A6、B7、B8、C 二、填空题9、2；10、1，1(1)4n n +；11、4；1213、1,1；14、(4,2)--； 三、解答题15、解：（1）由sin 0x ≠得,()x k k Z π≠∈，故()f x 的定义域为{|,}x R x k k Z π∈≠∈.因为(sin cos )sin 2()sin x x x f x x -==2cos (sin cos )x x x -=sin 2cos 21x x --)14x π--,所以()f x 的最小正周期22T ππ==. （2）函数sin y x =的单调递减区间为3[2,2]()22k k k Z ππππ++∈. 由222,()242k x k x k k Z ππππππ-≤-≤+≠∈得3,()88k x k x k k Z πππππ-≤≤+≠∈ 所以函数()f x 的单调递增区间为[,)8k k k Z πππ-∈，和3(,]()8k k k Z πππ+∈. 16．解：（1） ,AC BC DE BC ⊥∥∴DE AC ⊥∴1DE A D ⊥,DE CD ⊥(1A D CD D = )又 DE ⊥平面1A DC ，∴DE 1AC ⊥ 又∵1A C CD ⊥，(DE CD D = ) ∴1AC ⊥平面BCDE （2）如图，以C 为坐标原点，建立空间直角坐标系C xyz -，则(100A ，，，()020D ，，，M ,()300B ，，，()220E ，，，设平面1A BE 法向量为()n x y z = ，，，则10,0A B n BE n ⋅=⋅=∴(130A B =- ，，,()120BE =- ，，，∴3020x x y ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩令1y =，则2,x z ==∴(21n = 设CM 与平面1A BE 所成的角为θ∵(0CM =∴sin |cos ,|||||||CM n n CM CM n θ⋅=====⋅CM 与平面1A BE 所成角的大小45︒（3）线段BC 上不存在点P,使平面1A DP 与平面1ABE 垂直。

三、导数及其应用12.（2012年海淀一模理12）设某商品的需求函数为1005Q P =-，其中,Q P 分别表示需求量和价格，如果商品需求弹性EQEP大于1（其中'EQ Q P EP Q =-，'Q 是Q 的导数），则商品价格P 的取值范围是 . 答案：(10,20)。

18.（2012年海淀一模理18）已知函数21()e()(0)kxf x x x k k-=+-<.（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）是否存在实数k ，使得函数()f x 的极大值等于23e -？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由. 解：（Ⅰ）()f x 的定义域为R . 221'()e()e (21)e [(2)2]kxkx kx f x k x x x kx k x k---=-+-++=-+-+，即 '()e(2)(1)(0)kxf x kx x k -=--+<.令'()0f x =，解得：1x =-或2x k=. 当2k =-时，22'()2e (1)0xf x x =+≥，故()f x 的单调递增区间是(,)-??. 当20k -<<时，()f x ，'()f x 随x 的变化情况如下：所以，函数()f x 的单调递增区间是2(,)k -∞和(1,)-+∞，单调递减区间是2(,1)k-. 当2k <-时，()f x ，'()f x 随x 的变化情况如下：所以，函数()f x 的单调递增区间是(,1)-∞-和(,)k +∞，单调递减区间是(1,)k-. （Ⅱ）当1k =-时，()f x 的极大值等于23e -. 理由如下：当2k =-时，()f x 无极大值.当20k -<<时，()f x 的极大值为22241()e ()f kk k-=+， 令22241e ()3e k k--+=，即2413,k k += 解得 1k =-或43k =（舍）.当2k <-时，()f x 的极大值为e (1)kf k-=-.因为 2e e k-<，1102k <-<， 所以 2e 1e 2k k --<. 因为221e 3e 2--<，所以 ()f x 的极大值不可能等于23e -. 综上所述，当1k =-时，()f x 的极大值等于23e -.18.（2012年西城一模理18）已知函数()e (1)axaf x a x=⋅++，其中1-≥a .（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）求)(x f 的单调区间.解：（Ⅰ）当1a =时，1()e (2)x f x x =⋅+，211()e (2)xf x x x '=⋅+-．由于(1)3e f =，(1)2e f '=，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是2e e 0x y -+=． （Ⅱ）2(1)[(1)1]()eaxx a x f x a x++-'=，0x ≠． ① 当1-=a 时，令()0f x '=，解得 1x =-．)(x f 的单调递减区间为(,1)-∞-；单调递增区间为(1,0)-，(0,)+∞．当1a ≠-时，令()0f x '=，解得 1x =-，或11x a =+． ② 当01<<-a 时，)(x f 的单调递减区间为(,1)-∞-，1(,)1a +∞+；单调递增区间为(1,0)-，1(0,)1a +． ③ 当0=a 时，()f x 为常值函数，不存在单调区间． ④ 当0a >时，)(x f 的单调递减区间为(1,0)-，1(0,)1a +；单调递增区间为(,1)-∞-，1(,)1a +∞+．18．（2012年东城一模理18）已知函数221()2e 3e ln 2f x x x x b =+--在0(,0)x 处的切线斜率为零．（Ⅰ）求0x 和b 的值；（Ⅱ）求证：在定义域内()0f x ≥恒成立；(Ⅲ) 若函数()()aF x f x x'=+有最小值m ，且2e m >，求实数a 的取值范围. 解：（Ⅰ）23e ()2e f x x x'=+-.由题意有0()0f x '=即2003e 2e 0x x +-=，解得0e x =或03e x =-（舍去）． 得(e)0f =即2221e 2e 3e ln e 02b +--=，解得21e 2b =-． 证明：（Ⅱ）由（Ⅰ）知2221e ()2e 3e ln (0)22f x x x x x =+-+>，()f x '23e (e)(3e)2e (0)x x x x x x-+=+-=>． 在区间(0,e)上，有()0f x '<；在区间(e,)+∞上，有()0f x '>． 故()f x 在(0,e)单调递减，在(e,)+∞单调递增， 于是函数()f x 在(0,)+∞上的最小值是(e)0f =． 故当0x >时，有()0f x ≥恒成立．解：(Ⅲ) 23e ()()2e a a F x f x x x x-'=+=++(0)x >．当23e a >时，则23e ()2e 2e a F x x x-=++≥，当且仅当x 时等号成立，故()F x 的最小值2e m =2e >，符合题意；当23e a =时，函数()2e F x x =+在区间(0,)+∞上是增函数，不存在最小值，不合题意；当23e a <时，函数23e ()2e a F x x x-=++在区间(0,)+∞上是增函数，不存在最小值，不合题意．综上，实数a 的取值范围2(3e ,)+∞．18. （2012年丰台一模理18）已知函数2()(2)ln f x ax a x x =-++．（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；（Ⅱ）当a>0时，函数f(x)在区间[1，e]上的最小值为-2，求a 的取值范围；（Ⅲ）若对任意12,(0,)x x ∈+∞，12x x <，且1122()+2()+2f x x f x x <恒成立，求a 的取值范围．解：（Ⅰ）当1a =时，2()3ln f x x x x =-+，1()23f x x x'=-+． …1分 因为(1)0f '=，(1)2f =-， …2分 所以切线方程为 2y =-． ……3分（Ⅱ）函数2()(2)ln f x ax a x x =-++的定义域为(0,)+∞．当a>0时，212(2)1()2(2)ax a x f x ax a x x -++'=-++=(0)x >，4分令()0f x '=，即22(2)1(21)(1)()0ax a x x ax f x x x-++--'===， 所以12x =或1x a=． …5分 当101a<≤，即1a ≥时，()f x 在[1,]e 上单调递增， 所以()f x 在[1,e]上的最小值是(1)2f =-； …6分 当11e a <<时，()f x 在[1,e]上的最小值是1()(1)2f f a<=-，不合题意； 当1e a≥时，()f x 在(1,)e 上单调递减， 所以()f x 在[1,e]上的最小值是()(1)2f e f <=-，不合题意． …7分 综上可得 1a ≥． ……8分（Ⅲ）设()()2g x f x x =+，则2()ln g x ax ax x =-+， ……9分只要()g x 在(0,)+∞上单调递增即可．而2121()2ax ax g x ax a x x-+'=-+=， ……10分当0a =时，1()0g x x'=>，此时()g x 在(0,)+∞单调递增； …11分 当0a ≠时，只需()0g x '≥在(0,)+∞恒成立，因为(0,)x ∈+∞，只要22+10ax ax -≥， 则需要0a >，对于函数22+1y ax ax =-，过定点(0,1)，对称轴104x =>，只需280a a ∆=-≤， 即08a <≤． …12分综上可得 08a ≤≤． …13分18.（2012年朝阳一模理18）设函数2e (),1axf x a x R =∈+.（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（Ⅱ）求函数)(x f 单调区间.解：因为2e (),1ax f x x =+所以222e (2)()(1)ax ax x a f x x -+'=+. （Ⅰ）当1a =时, 2e ()1xf x x =+,222e (21)()(1)x x x f x x -+'=+,所以(0)1,f = (0)1f '=.所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为10x y -+=. ……4分（Ⅱ）因为222222e (2)e ()(2)(1)(1)ax ax ax x a f x ax x a x x -+'==-+++， …5分 （1）当0a =时,由()0f x '>得0x <；由()0f x '<得0x >.所以函数()f x 在区间(,0)-∞单调递增, 在区间(0,)+∞单调递减.…6分 （2）当0a ≠时, 设2()2g x ax x a =-+，方程2()20g x ax x a =-+=的判别式2444(1)(1),a a a ∆=-=-+ ……7分①当01a <<时，此时0∆>.由()0f x '>得1x a <,或1x a +>；由()0f x '<得11x a a-+<<.所以函数()f x 单调递增区间是1(,a -∞和1()a ++∞,单调递减区间. ……9分②当1a ≥时，此时0∆≤.所以()0f x '≥，所以函数()f x 单调递增区间是(,)-∞+∞. …10分 ③当10a -<<时，此时0∆>.由()0f x '>x <<；由()0f x '<得x <,或x >.所以当10a -<<时,函数()f x 单调递减区间是1(,a +-∞和1()a +∞,单调递增区间11(a a +-.……12分④当1a ≤-时, 此时0∆≤，()0f x '≤，所以函数()f x 单调递减区间是(,)-∞+∞.18.（2012年东城11校联考理18）已知函数：)(ln )1()(R a x ax a x x f ∈-+-= ,x x xe e x x g -+=221)(（1） 当[]e x ,1∈时，求)(x f 的最小值；（2）当1<a 时，若存在[]21,e e x ∈,使得对任意的[]()()212,0,2x g x f x <-∈恒成立，求a 的取值范围.解 ：（1）)(x f 的定义域为),0(+∞, )())(1()(2'R a x a x x x f ∈--=当1≤a 时，[]()()x f x f e x .0,,1'≥∈为增函数，()()a f x f -==11min当e a <<1时，[]()()x f x fa x .0,,1'≤∈为减函数，[]()()x f x f e a x .0,,'≥∈为增函数，()()()1ln 1min -+-==a a a a f x f当e a ≥时，[]()()x f x fe x .0,,1'≤∈为减函数，()()()eaa e e f x f -+-==1min ∴综上 当1≤a 时，()=min x f a -1当e a <<1 时 ，()()1ln 1min -+-=a a a x f 当e a ≥时，()()eaa e x f -+-=1min ……6分(2) 若存在[]21,e e x ∈,使得对任意的[]()()212,0,2x g x f x <-∈恒成立，即 min2min 1)()(x g x f <当1<a 时，由（1）可知，[]21,e e x ∈, ()x f 为增函数，∴()()()ea a e e f x f -+-==1min1，()x x x x e x e xe e x x g -=--+=1)(',当[]0,22-∈x 时()x g x g ,0)('≤为减函数，(),10)(min 2==g x g∴,1)1(<-+-eaa e 122+->e e e a∴)1,12(2+-∈e ee a ………13分18.（2012年石景山一模理18）已知函数2()2ln f x x a x =+.（Ⅰ）若函数()f x 的图象在(2,(2))f 处的切线斜率为1，求实数a 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）若函数2()()g x f x x=+在[1,2]上是减函数，求实数a 的取值范围. 解：（Ⅰ）2222'()2a x a f x x x x+=+= …1分 由已知'(2)1f =，解得3a =-. ……3分（II ）函数()f x 的定义域为(0,)+∞.（1）当0a ≥时, '()0f x >，()f x 的单调递增区间为(0,)+∞； 5分（2）当0a <时2('()x x f x x=.当x 变化时，'(),()f x f x 的变化情况如下：由上表可知，函数()f x 的单调递减区间是；单调递增区间是)+∞. ……8分 （II ）由22()2ln g x x a x x =++得222'()2ag x x x x=-++，……9分 由已知函数()g x 为[1,2]上的单调减函数，则'()0g x ≤在[1,2]上恒成立，即22220ax x x -++≤在[1,2]上恒成立. 即21a x x≤-在[1,2]上恒成立. …11分令21()h x x x =-，在[1,2]上2211'()2(2)0h x x x x x=--=-+<，所以()h x 在[1,2]为减函数. min 7()(2)2h x h ==-,所以72a ≤-. …14分18.（2012年房山一模18）已知函数mx x x f -+=)1ln()(．（I ）当1m =时，求函数)(x f 的单调递减区间；（II ）求函数)(x f 的极值；（III ）若函数()f x 在区间20,1e ⎡⎤-⎣⎦上恰有两个零点，求m 的取值范围．解：（I ）依题意，函数()f x 的定义域为()+∞-,1， 当1m =时，()ln(1)f x x x =+-，∴1()11f x x'=-+ ………2分 由()0f x '<得1101x -<+，即01x x-<+ 解得0x >或1x <-， 又1x >-，0x ∴>∴()f x 的单调递减区间为(0,)+∞． ………4分（II ）m xx f -+='11)(，)1(->x （1）0≤m 时，0)(≥'x f 恒成立)(x f 在),1(∞+-上单调递增，无极值. ……6分（2）0>m 时，由于111->-m所以)(x f 在⎥⎦⎤ ⎝⎛--11,1m 上单调递增，在⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+-,11m 上单调递减， 从而1ln )11()(--=-=m m mf x f 极大值． …9分 （III ）由（II ）问显然可知，当0≤m 时，()f x 在区间20,1e ⎡⎤-⎣⎦上为增函数，∴在区间20,1e ⎡⎤-⎣⎦不可能恰有两个零点． ………10分当0>m 时，由（II ）问知()=f x 极大值1(1)f m-， 又(0)0f =，0∴为()f x 的一个零点． ……11分∴若()f x 在20,1e ⎡⎤-⎣⎦恰有两个零点，只需22(1)01011f e e m ⎧-≤⎪⎨<-<-⎪⎩ 即222(1)011m e m e⎧--≤⎪⎨<<⎪⎩2211m e ∴≤<- ………13分 （注明：如有其它解法，酌情给分）18．（2012年密云一模理18）已知函数()2axf x x e =．（I ）当1a =时，求()f x 在()(1,1)f 处的切线方程；（II ）求函数()f x 的单调区间；（III ）若()f x 在(1,)+∞单调递增，求a 范围.解：（I ）当 1a =时，()2xf x x e =，()2222'()'()'2(2)x x x x x f x x e x e xe x e x x e =+=+=+()'13f e =，()1f e =，故切线方程为3(1)y e e x -=-，即320ex y e --= …4分 （II ）()222'()'()'2(2)ax ax ax ax ax f x x e x e xe ax e x ax e =+=+=+ …5分（1）当0a =时，()'2f x x =，当0x >时，()'0f x >，当0x <时，()'0f x <， 单调增区间为(0,)+∞，单调减区间为(,0)-∞ …6分当0a ≠时，令()'0f x =，得10x =或22x a =-…7分 （2）当0a >时，20a >-， 当2x a <-时，()'0f x >，当20x a-<<时，()'0f x <，当0x >时，()'0f x >， 单调增区间为2(,)a -∞-，(0,)+∞，单调减区间为2(,0)a- …9分 （3）当a<0时，0<a 2-，当x>a 2-时，f '(x)<0，当0<x<a 2-时，f '(x)>0，当x<0时，f '(x)<0， ∴f(x)的单调增区间是(0, a 2-)，单调减区间是(-∞,0)，(a 2-,+∞) …11分 综上：当0a =时，单调增区间为(0,)+∞，单调减区间为(,0)-∞当0a >时，单调增区间为2(,)a -∞-，(0,)+∞，单调减区间为2(,0)a -当0a <时，f(x)的单调增区间是(0, a 2-)，单调减区间是(-∞,0)，(a 2-,+∞) （III ）由（II ）知，当0a ≥时，()f x 在(0,)+∞单调递增，满足条件； 12分 当0a <时，单调增区间为(0, a2-)与f(x)在(1,+∞)单调递增不符…13分 综上：a ≥0 …14分18．（2012年门头沟一模理18）已知函数1()ln 1a f x x ax x -=-+-．（Ⅰ）当102a <≤时，讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）设2()24g x x bx =-+，当14a =时，若对任意1(0,2)x ∈，当2[1,2]x ∈时，12()()f x g x ≥恒成立，求实数b 的取值范围．解：（Ⅰ）2/2211(1)()a ax x a f x a x x x --+--=--= …2分 2[(1)](1)(0)ax a x x x ---=->令/()0f x = 得121,1a x x a-== ………3分 当12a =时，()0f x '≤，函数()f x 在(0,)+∞上单减 ……4分 当102a <<时，11a a->， 在(0,1)和1(,)a a-+∞上，有()0f x '<，函数()f x 单减， 在1(1,)a a-上， ()0f x '>，函数()f x 单增 ……6分 （Ⅱ）当14a =时，13a a -=，13()ln 144f x x x x =-+- 由（Ⅰ）知，函数()f x 在(0,1)上是单减，在(1,2)上单增 所以函数()f x 在(0,2)的最小值为1(1)2f =-…………8分 若对任意1(0,2)x ∈，当2[1,2]x ∈时，12()()f xg x ≥恒成立， 只需当[1,2]x ∈时，max 1()2g x ≤-即可 所以1(1)21(2)2g g ⎧≤-⎪⎪⎨⎪≤-⎪⎩，…………11分 代入解得 114b ≥ 所以实数b 的取值范围是11[,)4+∞． ……13分。

十五、算法初步
5.（2012年海淀一模理5）执行如图所示的程序框图，输出的k 值是（ B ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7
2.（2012年西城一模理2）执行如图所示的程序框图，若输入2x =，则输出y 的值为（ D ） A ．2 B ．5 C ．11 D ．23
4．（2012年东城一模理4）右图给出的是计算100
1
...81614121+
++++的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是（ B ）
A ．50>i
B ．25>i
C ．50<i
D ．25<i
13．（2012年丰台一模理13）执行如下图所示的程序框图，则输出的i 值为______．
答案：6.
11.（2012年朝阳一模理11）执行如图所示的程序框图，若输入k的值是4，则输出S的值是 .
答案：3 4
5.（2012年东城11校联考理5）执行如图所示的程序框图，若输出的结果是8，则判断框内m的取值范围是（ B）
A.（30，42］
B.（42，56］
C.（56，72］
D.（30，72）
5.（2012年石景山一模理5）执行右面的框图，若输入的N是6，则输出p的值是（ B ）
A.120
B.720
C.1440
D.5040
5．（2012年房山一模理5）执行如图所示的程序框图，则输出的n的值为（ C ）
A.5
B.6
C.7
D.8 否是
4．（2012年密云一模理4）阅读右图所示的程序框图．若输入a＝6，b＝1，则输出的结果
是（ B ）
A．1 B．2
C．3 D．4。

第 页123．已知关于x 的方程 03)13(2=+++x m mx . （1）求证: 不论m 为任何实数, 此方程总有实数根；（2）若抛物线()2313y m x m x =+++与x 轴交于两个不同的整数点，且m 为正整数，试确定此抛物线的解析式；（3）若点P ),(11y x 与Q ),(21y n x +在（2）中抛物线上 (点P 、Q 不重合), 且y 1=y 2, 求代数式81651242121++++n n n x x 的值.24． 在□ABCD 中，∠A =∠DBC , 过点D 作DE =DF , 且∠EDF=∠ABD , 连接EF 、 EC ,N 、P 分别为EC 、BC 的中点，连接NP ．（1）如图1，若点E 在DP 上, EF 与DC 交于点M , 试探究线段NP 与线段NM 的数量关系及∠ABD 与∠MNP 满足的等量关系，请直接写出你的结论；（2）如图2，若点M 在线段EF 上, 当点M 在何位置时，你在（1）中得到的结论仍然成立，写出你确定的点M 的位置，并证明（1）中的结论.图1 图225. 已知抛物线2y x bx c =++的顶点为P ，与y 轴交于点A ，与直线OP 交于点B . （1）如图1，若点P 的横坐标为1，点B 的坐标为（3，6），试确定抛物线的解析式； （2）在（1）的条件下，若点M 是直线AB 下方抛物线上的一点，且3ABM S ∆=, 求点M 的坐标；（3）如图2，若点P 在第一象限，且PA =PO ，过点P 作PD ⊥x 轴于点D . 将抛物线2y x bx c =++平移，平移后的抛物线经过点A 、D ，该抛物线与x 轴的另一个交点为C ，请探究四边形OABC 的形状，并说明理由.MBDCEANPNA E FCD2数学试卷第页（共6页）3海淀区九年级第二学期期中练习数学试卷答案及评分参考 2012.05说明: 与参考答案不同, 但解答正确相应给分. 一、选择题（本题共32分，每小题4分）1. A2. B3. C4. D5. C6. B7. A8. C 二、填空题（本题共16分，每小题4分）9.3x ≠ 10.)2)(2(-+x x x 11. 6 12．()1129933(,);5()4,()4422n n --⨯- （每空2分）三、解答题（本题共30分, 每小题5分） 13．解：10)31(45sin 28π)14.3(-+︒-+-=1232+⨯+ ……………………………………………………………4分=4+ ……………………………………………………………5分14．解：由不等式①解得 2x >, …………………………………………………………2分 由不等式②解得 3x ≤. …………………………………………………4分因此不等式组的解集为23x <≤. ………………………………………………5分15．证明：∵ AC //EF ，∴ A C B D F E ∠=∠． ……………………………………………………… 1分在△ABC 和△DEF 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=,,,EF BC DFE ACB DF AC∴ △ABC ≌△DEF ． ………………………………………………… 4分∴ AB=DE ． ………………………………………………… 5分 16. 解: 法一：∵ ⎩⎨⎧==by a x ,是方程组 ⎩⎨⎧=-=+12,32y x y x 的解,∴ ⎩⎨⎧=-=+.12,32b a b a …………………………………………………2分解得 1,1.a b =⎧⎨=⎩ ………………………………………………… 4分∴ ()4()(4)541(11)141158a a b b a b -+-+=⨯⨯-+⨯⨯-+=. ……………… 5分法二：∵ ⎩⎨⎧==by a x ,是方程组 ⎩⎨⎧=-=+12,32y x y x 的解,ABCDEF4∴ ⎩⎨⎧=-=+.12,32b a b a ………………………………………2分2222444545(2)(2)5a a b a b b a b a b a b =-+-+=-+=+-+原式. …4分123,2=-=+b a b a 将代入上式,得.85135)2)(2(=+⨯=+-+=b a b a 原式 ……………………………5分 17．解：（1）∵ 点A （,3m -）在反比例函数xy 3=的图象上，∴ m33=-.∴ 1m =-． …………………………………………… 1分 ∴ 点A 的坐标为A （-1, -3）. …………………………………… 2分 ∵ 点A 在一次函数y kx =的图象上，∴ 3k =.∴ 一次函数的解析式为y =3x . ……………………………………… 3分 （2）点P 的坐标为P (1, 3) 或P (-3, -9). （每解各1分） ……………5分18．解：设现在平均每天植树x 棵. ……………………………………………… 1分 依题意, 得60045050xx =-. …………………………………………………… 2分解得：200x =. ………………………………………………… 3分 经检验，200x =是原方程的解，且符合题意. …………………………………4分 答：现在平均每天植树200棵. ……………………………………………… 5分 四、解答题（本题共20分, 每小题5分）19．解: ∵∠ABC =90︒，AE=CE ，EB =12，∴ EB=AE=CE =12. ……………………1分∴ AC =AE+CE =24. ∵在Rt △ABC 中，∠CAB =30︒, ∴ BC=12, cos 30A B A C =⋅︒= ……………………2分∵ D E A C ⊥，AE=CE ，∴ AD=DC ． ………………………………………………3分 在Rt △ADE 中，由勾股定理得 AD=13==． …………4分 ∴DC =13.∴ 四边形ABCD 的周长=AB +BC +CD +DA=38+ …………………… 5分20.（1）证明：连结BD .∵ AD 是⊙O 的直径， ∴∠ABD =90°.∴∠1+∠D =90°. ∵∠C =∠D ，∠C =∠BAE ，∴∠D =∠BAE . …………………………1分ED CB A5∴∠1+∠BAE =90°. 即 ∠DAE =90°.∵AD 是⊙O 的直径， ∴直线AE 是⊙O 的切线. ………………………………………2分（2）解: 过点B 作BF ⊥AE 于点F , 则∠BFE =90︒. ∵ EB =AB , ∴∠E =∠BAE , EF =12AE =12×24=12.∵∠BFE =90︒, 4cos 5E =,∴512cos 4EF EB E==⨯=15. ………………………………………3分∴ AB =15.由（1）∠D =∠BAE ，又∠E =∠BAE ,∴∠D=∠E .∵∠ABD =90︒,∴ 54cos ==ADBD D . ……………………………………………4分设BD =4k ，则AD ＝5k .在Rt △ABD 中, 由勾股定理得AB=3k , 可求得k =5. ∴.25=AD∴⊙O 的半径为252. ……………………………………………………………5分21.解：（1）290-(85+80+65)=60 (万元) . 补图(略) ………………………………1分（2）85⨯23%=19.55≈19.6 (万元).所以该店1月份音乐手机的销售额约为19.6万元. …………………………3分 （3）不同意，理由如下：3月份音乐手机的销售额是 6018%10.8⨯=（万元）,4月份音乐手机的销售额是 6517%11.05⨯=（万元）. …………………4分而 10.8<11.05,因此4月份音乐手机的销售额比3月份的销售额增多了. ………5分22. 解：△BCE 的面积等于 2 . …………1分 （1）如图（答案不唯一）： ……2分以EG 、FH 、ID 的长度为三边长的一个三角形是△EGM . …………3分 （2） 以EG 、FH 、ID 的长度为三边长的三角形的面积等于 3 ． …………5分五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23. 解：（1）当m =0时，原方程化为,03=+x 此时方程有实数根 x = -3. …………1分当m ≠0时，原方程为一元二次方程.∵()()222311296131m m m m m ∆=+-=-+=-≥0.∴ 此时方程有两个实数根. ………………………2分综上, 不论m 为任何实数时, 方程 03)13(2=+++x m mx 总有实数根.EDCBAG6（2）∵令y =0, 则 mx 2+(3m +1)x +3=0. 解得 13x =-，21x m=-. ……………………………………3分∵ 抛物线()2313y m x m x =+++与x 轴交于两个不同的整数点，且m 为正整数， ∴1m =.∴抛物线的解析式为243y x x =++. …………………………4分（3）法一：∵点P ),(11y x 与Q ),(21y n x +在抛物线上, ∴2211121143,()4()3y x x y x n x n =++=++++.∵,21y y =∴22111143()4()3x x x n x n ++=++++.可得 04221=++n n n x .即 0)42(1=++n x n . ∵ 点P , Q 不重合, ∴ n ≠0.∴ 124x n =--. …………………………………5分 ∴ 222211114125168(2)265168x x n n n x x n n n ++++=+⋅+++22(4)6(4)516824.n n n n n =++--+++= …………………………7分法二：∵ 243y x x =++=(x +2)2-1， ∴ 抛物线的对称轴为直线 x =-2.∵ 点P ),(11y x 与Q ),(21y n x +在抛物线上, 点P , Q 不重合, 且,21y y = ∴ 点 P , Q 关于直线 x =-2对称. ∴11 2.2x x n++=-∴ 124x n =--. ……………………………………5分下同法一.24. 解:（1） NP =MN , ∠ABD +∠MNP =180︒ (或其它变式及文字叙述,各1分). …2分 （2）点M 是线段EF 的中点(或其它等价写法). 证明：如图, 分别连接BE 、CF .∵ 四边形ABCD 是平行四边形， ∴ AD ∥BC ，AB ∥DC ，∠A =∠DCB ， ∴∠ABD =∠BDC . ∵ ∠A =∠DBC ，M 1 3 24PN A EFCDB7∴ ∠DBC =∠DCB .∴ DB =DC . ① ………………………3分 ∵∠EDF =∠ABD ,∴∠EDF =∠BDC .∴∠BDC -∠EDC =∠EDF -∠EDC .即∠BDE =∠CDF . ②又 DE =DF ， ③由①②③得△BDE ≌△CDF . …………………………………………4分 ∴ EB =FC , ∠1=∠2.∵ N 、P 分别为EC 、BC 的中点， ∴NP ∥EB , NP =EB 21.同理可得 MN ∥FC ，MN =FC21.∴ NP = NM . ………………………………………………5分∵ NP ∥EB , ∴∠NPC =∠4.∴∠ENP =∠NCP +∠NPC =∠NCP +∠4. ∵MN ∥FC ，∴∠MNE =∠FCE =∠3+∠2=∠3+∠1.∴ ∠MNP =∠MNE +∠ENP =∠3+∠1+∠NCP +∠4=∠DBC +∠DCB =180︒-∠BDC =180︒-∠ABD .∴ ∠ABD +∠MNP =180︒. …………………………………7分 25.解：（1）依题意, 112=⨯-b ,解得b =-2.将b =-2及点B (3, 6)的坐标代入抛物线解析式2y x bx c =++得26323c =-⨯+. 解得 c =3.所以抛物线的解析式为322+-=x x y . ………………………1分（2）∵抛物线 322+-=x x y 与y 轴交于点A ，∴ A (0, 3). ∵ B (3, 6),可得直线AB 的解析式为3y x =+.设直线AB 下方抛物线上的点M 坐标为（x ，322+-x x ），过M 点作y 轴的平行线交直线AB 于点N , 则N (x , x +3). (如图1)∴ 132ABM AM N BM N B A S S S M N x x ∆∆∆=+=⋅-=. …………2分∴()21323332x x x ⎡⎤+--+⨯=⎣⎦.解得 121,2x x ==∴点M 的坐标为(1, 2) 或 (2, 3). …………4分8（3）如图2，由 PA =PO , OA =c , 可得2c P D =.∵抛物线c bx x y ++=2的顶点坐标为 )44,2(2b c bP --, 图1∴2442c b c =-.∴ 22b c =. ………………………………………………………5分 ∴ 抛物线2221b bx x y ++=, A （0，212b ），P （12b -，214b ）, D （12b -，0）.可得直线OP 的解析式为12y bx =-.∵ 点B 是抛物线2212y x bx b =++与直线12y bx =-的图象的交点，令 221122bx x bx b -=++.解得12,2b x b x =-=-.可得点B 的坐标为（-b ，212b ）. ………………………6分由平移后的抛物线经过点A , 可设平移后的抛物线解析式为2212y x m x b =++.将点D (12b -，0)的坐标代入2212y x m x b =++，得32m b =.∴ 平移后的抛物线解析式为223122y x bx b =++.令y =0, 即2231022x bx b ++=.解得121,2x b x b =-=-.依题意, 点C 的坐标为（-b ，0）. ………………7分 ∴ BC =212b .∴ BC = OA .又BC ∥OA ，∴ 四边形OABC 是平行四边形. ∵ ∠AOC =90︒，∴ 四边形OABC 是矩形. …………………………………8分。

北京市海淀区2012届高三上学期期末考试试题数 学（理）2012.01一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）复数52i=+ ( ) （A ）2i - （B ）21i 55+ （C ）105i - （D ）105i 33- （2）如图，正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 的一个三等分点.那么=EF（A ）1123AB AD-（B ）1142AB AD+（C ）1132AB DA+（D ）1223AB AD-（3）若数列{}n a 满足：119a =，13(*)n n a a n +=-∈N ，则数列{}n a 的前n 项和数值最大时，n 的值是（A ）6 （B ）7 （C ）8 （D ）9（4）已知平面α，β，直线l ，若αβ^，l αβ= ，则（A ）垂直于平面β的平面一定平行于平面α （B ）垂直于直线l 的直线一定垂直于平面α （C ）垂直于平面β的平面一定平行于直线l （D ）垂直于直线l 的平面一定与平面α,β都垂直（5）函数()sin(2)(,)f x A x A ϕϕ=+ R 的部分图象如图所示，那么(0)f = （ ）（A ）12-（B）2-（C ）1- （D）-（6）执行如图所示的程序框图，输出的i 值为（ ）（A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）8（7）已知函数2()cos sin f x x x =+，那么下列命题中假命题．．．是 （ ） （A ）()f x 既不是奇函数也不是偶函数 （B ）()f x 在[,0]π-上恰有一个零点（C ）()f x 是周期函数 （D ）()f x 在(,2π5π)6上是增函数（8）点P 到图形C 上每一个点的距离的最小值称为点P 到图形C 的距离，那么平面内到定圆C 的距离与到定点A 的距离相等的点的轨迹不可能．．．是 （ ）（A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线的一支 （D ）直线 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上.（9）51)的展开式中2x 的系数是 . （用数字作答）（10）若实数,x y 满足40,20,250,x y x y x y ì+- ïïï-- íïï+- ïïî则2z x y =+的最大值为 .（11）抛物线2x ay =过点1(1,)4A ，则点A 到此抛物线的焦点的距离为 .甲城市 乙城市（12）甲和乙两个城市去年上半年每月的平均气温（单位：C °）用茎叶图记录如下，根据茎叶图可知，两城市中平均温度较高的城市是____________，气温波动较大的城市是____________.（13）已知圆C ：22(1)2x y -+=，过点(1,0)A -的直线l 将圆C 分成弧长之比为1:3的两段圆弧，则直线l 的方程为 . （14）已知正三棱柱'''ABC A B C -的正（主）视图和侧（左）视图如图所示. 设,'''ABC A B C ∆∆的中心分别是,'O O ，现将此三棱柱绕直线'OO 旋转，射线OA 旋转所成的角为x 弧度（x 可以取到任意一个实数），对应的俯视图的面积为()S x ，则函数()S x 的最大值为 ；最小正周期为 .8,3π说明：“三棱柱绕直线'OO 旋转”包括逆时针方向和顺时针方向，逆时针方向旋转时，OA 旋转所成的角为正角，顺时针方向旋转时，OA 旋转所成的角为负角.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题满分13分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ， 2A B =，sin 3B =. （Ⅰ）求cos A 及sinC 的值； （Ⅱ）若2b =，求ABC ∆的面积.9 0 8 7 7 3 1 2 4 72 2 0 4 7侧（左）视图正（主）视图(16)（本小题满分13分）为加强大学生实践、创新能力和团队精神的培养，促进高等教育教学改革，教育部门主办了全国大学生智能汽车竞赛. 该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，参加决赛的队伍按照抽签方式决定出场顺序.通过预赛，选拔出甲、乙等五支队伍参加决赛. （Ⅰ）求决赛中甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率；（Ⅱ）若决赛中甲队和乙队之间间隔的队伍数记为X ，求X 的分布列和数学期望.(17)（本小题满分14分）在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，AB ∥CD ，90ABC ? ，2AB PB PC BC CD ====，平面PBC ^平面ABCD .（Ⅰ）求证：AB ^平面PBC ；（Ⅱ）求平面PAD 和平面BCP 所成二面角（小于90°）的大小； （Ⅲ）在棱PB 上是否存在点M 使得CM ∥平面PAD ？若存在，求PMPB的值；若不存在，请说明理由.(18)（本小题满分13分）已知函数2()e ()xf x x ax a =+-，其中a 是常数.PABC D(Ⅰ)当1a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）若存在实数k ，使得关于x 的方程()f x k =在[0,)+∞上有两个不相等的实数根，求k 的取值范围.(19)（本小题满分14分）已知焦点在x 轴上的椭圆C 过点(0,1),Q 为椭圆C 的左顶点. （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程； （Ⅱ）已知过点6(,0)5-的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点. （ⅰ）若直线l 垂直于x 轴，求AQB ∠的大小;（ⅱ）若直线l 与x 轴不垂直，是否存在直线l 使得QAB ∆为等腰三角形？如果存在，求出直线l 的方程；如果不存在，请说明理由.(20)（本小题满分14分）已知集合{1,2,3,,}(*)M n n = N ，若集合12{,,,}(*)m A a a a M m =臀N ，且对任意的b M Î，存在,(1)i j a a A i jm 危＃，使得12i j b a a λλ=+（其中12,{1,0,1}λλ?），则称集合A 为集合M 的一个m 元基底.（Ⅰ）分别判断下列集合A 是否为集合M 的一个二元基底，并说明理由； ①{1,5}A =，{1,2,3,4,5}M =；②{2,3}A =，{1,2,3,4,5,6}M =.（Ⅱ）若集合A 是集合M 的一个m 元基底，证明：(1)m m n + ；（Ⅲ）若集合A 为集合{1,2,3,,19}M = 的一个m 元基底，求出m 的最小可能值，并写出当m 取最小值时M 的一个基底A .参考答案及评分标准 2012．01一. 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 题号 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） 答案ADBDCABD二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. （9）5 （10）7 （11）54（12）乙，乙（13）(1)3y x =+或(1)3y x =-+ （14）8；3π注：（13）题正确答出一种情况给3分，全对给5分；（12）、（14）题第一空3分；第二空2分.三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为2A B =，所以2cos cos 212sin A B B ==-. ………………………………………2分因为sin B =， 所以11cos 1233A =-?. ………………………………………3分 由题意可知，(0,)2B πÎ.所以cos B =………………………………………5分因为sin sin 22sin cos A B B B ===.………………………………………6分 所以sin sin[()]sin()C A B A B π=-+=+sin cos cos sin A B A B =+=. ………………………………………8分 （Ⅱ）因为sin sin b aB A=，2b =， ………………………………………10分=.所以3a =. ………………………………………11分所以1sin 29ABC S ab C ∆==. ………………………………………13分 (16)（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设“甲、乙两支队伍恰好排在前两位”为事件A ，则()23!15!10P A ⨯==. ………………………………………4分 所以 甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率为110.………………………………………5分（Ⅱ）随机变量X 的可能取值为0, 1, 2, 3. ………………………………………6分()24!205!5P X ⨯===， ()323!315!10P X ⨯⨯===，()22!32!125!5P X ⨯⨯⨯===，()23!135!10P X ⨯===. ………………………………………10分随机变量X 的分布列为：因为 01231510510EX =⨯+⨯+⨯+⨯=，所以 随机变量X 的数学期望为1. ………………………………………13分(17)（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为 90ABC? ，所以 AB BC ⊥. ………………………………………1分 因为 平面PBC ^平面ABCD ，平面PBC 平面ABCD BC =，AB Ì平面ABCD ，所以 AB ^平面PBC . ………………………………………3分 （Ⅱ）解：取BC 的中点O ，连接PO . 因为PB PC =， 所以 PO BC ⊥.因为 平面PBC ^平面ABCD ，平面PBC 平面ABCD BC =，PO Ì平面PBC ， 所以 PO ^平面ABCD . ………………………………………4分 如图，以O 为原点，OB 所在的直线为x 轴，在平面ABCD 内过O 垂直于BC 的直线为y 轴，OP 所在的直线为z 轴建立空间直角坐标系O xyz -．不妨设2BC =.由 直角梯形ABCD 中2AB PB PC BC CD ====可得P ，(1,1,0)D -，(1,2,0)A .所以(1,DP =- ，(2,1,0)DA =.设平面PAD 的法向量(,,)=x y z m .因为 0,0.DP DAìï?ïíï?ïî m m所以(,,)(1,0,(,,)(2,1,0)0,x y z x y z ìï?=ïíï?ïî即0,20.x y x y ìï-+=ïíï+=ïî 令1x =，则2, y z =-=-所以(1,2,=--m . ………………………………………7分取平面BCP 的一个法向量n ()0,1,0=. 所以cos ,⋅==m n m n m n . 所以 平面ADP 和平面BCP 所成的二面角（小于90°）的大小为4π. ………………………………………9分 （Ⅲ）解：在棱PB 上存在点M 使得CM ∥平面PAD ，此时12PM PB =. 理由如 下： ………………………………………10分 取AB 的中点N ，连接CM ，CN ，MN . 则 MN ∥PA ，12AN AB =. 因为 2AB CD =，NMPABCD所以 AN CD =. 因为 AB ∥CD ，所以 四边形ANCD 是平行四边形. 所以 CN ∥AD .因为 , MN CN N PA AD A == ，所以 平面MNC ∥平面PAD . ………………………………………13分 因为 CM Ì平面MNC ，所以 CM ∥平面PAD . ………………………………………14分(18)（本小题满分13分）解：(Ⅰ)由2()e ()xf x x ax a =+-可得2'()e [(2)]xf x x a x =++. ………………………………………2分 当1a =时,(1)e f = ,'(1)4e f =. ………………………………………4分 所以 曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为()e 4e 1y x -=-，即4e 3e y x =-. ………………………………………5分 （Ⅱ） 令2'()e ((2))0xf x x a x =++=，解得(2)x a =-+或0x =. ………………………………………6分 当(2)0a -+≤，即2a ≥-时，在区间[0,)+∞上，'()0f x ≥，所以()f x 是[0,)+∞上的增函数.所以 方程()f x k =在[0,)+∞上不可能有两个不相等的实数根.………………………………………8分当(2)0a -+>，即2a <-时，()'(),f x f x 随x 的变化情况如下表由上表可知函数()f x 在[0,)+∞上的最小值为2((2))ea f a +-+=. ………………………………………10分 因为 函数()f x 是(0,(2))a -+上的减函数，是((2),)a -++∞上的增函数， 且当x a ≥-时，有()f x e ()aa a -≥->-. ………………………………………11分所以 要使方程()f x k =在[0,)+∞上有两个不相等的实数根，k 的取值范围必须是24(,]e a a a ++-. ……………………………………13分 (19)（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设椭圆C 的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>，且222a b c =+.由题意可知：1b =，2c a =. ………………………………………2分 所以24a =.所以，椭圆C 的标准方程为2214x y +=. ……………………………………3分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得(2,0)Q -.设1122(,),(,)A x y B x y . （ⅰ）当直线l 垂直于x 轴时，直线l 的方程为65x =-. 由226,514x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 解得：6,545x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或6,54.5x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩即6464(,), (,)5555A B ---（不妨设点A 在x 轴上方）.………………………………………5分则直线AQ 的斜率1AQ k =，直线BQ 的斜率1BQ k =-. 因为 1AQ BQ k k ⋅=-， 所以 AQ BQ ^.所以 2AQB π∠=. ………………………………………6分 （ⅱ）当直线l 与x 轴不垂直时，由题意可设直线AB 的方程为6()(0)5y k x k =+≠.由226(),514y k x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去y 得：2222(25100)2401441000k x k x k +++-=. 因为 点6(,0)5-在椭圆C 的内部，显然0∆>. 21222122240,25100144100.25100k x x k k x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩………………………………………8分 因为 1122(2,), (2,)QA x y QB x y =+=+ ，116()5y k x =+，226()5y k x =+，所以 1212(2)(2)QA QB x x y y ⋅=+++121266(2)(2)()()55x x k x k x =++++⋅+ 2221212636(1)(2)()4525k x x k x x k =++++++ 2222222144100624036(1)(2)()402510052510025k k k k k k k -=+++-++=++. 所以 QA QB ⊥.所以 QAB ∆为直角三角形. ………………………………………11分 假设存在直线l 使得QAB ∆为等腰三角形，则QA QB =取AB 的中点M ，连接QM ，则QM AB ^.记点6(,0)5-为N . 另一方面，点M 的横坐标22122212024225100520M x x k k x k k+==-=-++， 所以 点M 的纵坐标266()5520M M ky k x k=+=+. 所以 222221016666(,)(,)520520520520k k k QM NMk k k k+? ++++222601320(520)k k += +. 所以 QM 与NM不垂直，矛盾.所以 当直线l 与x 轴不垂直时，不存在直线l 使得QAB ∆为等腰三角形.………………………………………13分(20)（本小题满分14分）解：（Ⅰ）①{1,5}A =不是{1,2,3,4,5}M =的一个二元基底.理由是 1212315(,{1,0,1})λλλλ棺+孜-；②{2,3}A =是{1,2,3,4,5,6}M =的一个二元基底. 理由是 11213,21203,30213=-????? ， 41212,51213,61313=????? .………………………………………3分 （Ⅱ）不妨设12m a a a <<< ，则 形如10i j a a ? (1)ij m ＃ 的正整数共有m 个； 形如11ii a a ? (1)im ＃的正整数共有m 个；形如11i j a a ? (1)ij m ? 的正整数至多有2mC 个； 形如(1)1i j a a -? (1)ij m ? 的正整数至多有2mC 个. 又集合{1,2,3,,}M n = 含n 个不同的正整数，A 为集合M 的一个m 元基底. 故22m m m m C C n +++ ，即(1)m m n + . ………………………………………8分 （Ⅲ）由（Ⅱ）可知(1)19m m + ，所以4m ³.当4m =时，(1)191m m +-=，即用基底中元素表示出的数最多重复一个. * 假设1234{,,,}A a a a a =为{1,2,3,,19}M = 的一个4元基底， 不妨设1234a a a a <<<，则410a ³. 当410a =时，有39a =，这时28a =或7.如果28a =，则由1109,198,1899,18108=-=-=+=+，与结论*矛盾. 如果27a =，则16a =或5.易知{6,7,9,10A =和{5,7,9,10}A =都不是{1,2,3,,19M = 的4元基底，矛盾. 当411a =时，有38a =，这时27a =，16a =，易知{6,7,8,11}A =不是{1,2,3,,19M = 的4元基底，矛盾.当412a =时，有37a =，这时26a =，15a =，易知{5,6,7,12}A =不是{1,2,3,,19M = 的4元基底，矛盾.当413a =时，有36a =，25a =，14a =，易知{4,5,6,1A =不是{1,2,3,,1M = 的4元基底，矛盾. 当414a =时，有35a =，24a =，13a =，易知{3,4,5,1A =不是{1,2,3,,M = 的4元基底，矛盾.当415a =时，有34a =，23a =，12a =，易知{2,3,4,1A =不是{1,2,3,,1M = 的4元基底，矛盾. 当416a =时，有33a =，22a =，11a =，易知{1,2,3,16}A =不是{1,2,3,,M = 的4元基底，矛盾.当417a ³时，A 均不可能是M 的4元基底.当5m =时，M 的一个基底{1,3,5,9,16}A =；或{3,7,8,9,10}；或{4,7,8,9,10}等，只要写出一个即可.综上，m 的最小可能值为5. ………………………………………14分。

2012北京海淀高考一模试卷深度解析:数学2012年的海淀一模刚刚结束，这份试卷质量很高，题目总体难度不小，其中很多题目是情理之外，意料之中的好题。

对于高三学生的复习，查漏补缺起到了很好的作用。

一、第一感觉拿到试卷的第一感觉是亲切，大部分试题均注重考查基础知识、基本技能和基本方法,试题的起点低，入手容易，最重要的是试题非常的亲切，可以说和学生在平时练习的题目还是比较接近的，在关注考试选拔功能的同时，更关注发展功能，考查出学生会什么，让所有学生尽可能多表现出数学学习的成果；但是有几个题目设计比较巧妙，试题给笔者留下了较深的印象。

二、亮点分析（以理科试卷为例）：此题考查排列组合，虽然难度不大，但是充满了智慧，此题可以直接分类解答，但是采用“间接法”解答更妙，可以先数总数，减去甲在首位的，则立刻出答案D。

这与2011年北京高考数学的用“1,2”排四位数包含“1,2”的有几种很相似，也是数出总数，减去都是“1”和都是“2”的两种，一步出答案。

历年考题，无论是京内还是京外，都青睐考察“间接”不无联系，间接的思想不管是在排列组合还是概率中都有较多的考察，概率中最典型的提问就是“至多至少”，本质上这就是间接法，考查思维非常巧妙。

此题本身难度不小，利用数形结合思想可以得出结论，但是从小题小做的角度，采用“特值排除法”更妙，带入a=0满足条件很容易排除掉B，D两个选项，再令a= ，也满足条件则排除C选项。

在新东方的课堂上讲解过很多这样的例子，考试结束后很多学生反馈虽然题目很难，但是还是很顺利的解答了此题。

其实2011年海淀的一模中选择8也是类似的题目，同学们可以尝试一下，题目如下：(2011海淀一模理8)已知抛物线：，圆：（其中为常数，）.过点（1，0）的直线交圆于、D两点，交抛物线于、两点，且满足的直线只有三条的必要条件是A．B．C．D．（答案D）这道选择的压轴题目思路非常巧妙，整体和北京2009年的选择8非常相似，表面看是计算45°角的个数，但是本质是计算出B点与其他各7个顶点连线与AC'的夹角，除B点外，7个顶点连线中，第一组BA，BC，BB'。

8A Unit2 School life 第五课时Grammar（2）（新授课） 主备人：陈伯云 审核人： 何文静 班级：_________姓名：___________ 【学习目标】 学习副词的比较级 学习副词的最高级 【学习过程】 一、课前预习·导学 1.预习P28-30,试翻译下列短语。

(1)在比赛中得了第三名 come ________ in the _________ (2画得比其他任何学生好 draw ________ ________ other student (3)在我们班跳得最高 ________ ___________ in our class (4)游得快 _________ __________ (5在所有人中写字最快 write ______ _________ __________ 2.自主探究：请带着下面这个问题阅读教材。

“more…than” “fewer…than”和 “less…than”分别用来修饰什么词？ 二、课堂学习研讨 Explain 1. 和形容词一样，副词也有原级、比较级. 规则变化： 1. 单音节词， 加er （1）副词和形容词同形，单音节，在词尾加er fast ____________ hard ____________ loud—________________ （2）以字母“e”结尾的副词，加”r” late --- _____________ （3以辅音字母y结尾的副词，先变i,再加er early ______________ 2.双音节和多音节词，前面加more wonderfully more wonderfully most wonderfully politely more politely most politely slowly more slowly most slowly loudly more loudly softly more softly quickly? more quickly? most quickly strongly more strongly? ?most strongly ? carefully more carefully most carefully 3.不规则变化 well better badly- worse late later far---farther high—higher 2.同理，最高级也是一样。

海淀区九年级第二学期期中练习(一模)数学试卷答案及评分参考 2012.05说明: 与参考答案不同, 但解答正确相应给分. 一、选择题（本题共32分，每小题4分）1. A2. B3. C4. D5. C6. B7. A8. C二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9.3x ≠ 10.)2)(2(-+x x x 11. 6 12．()1129933(,);5()4,()4422n n --⨯- （每空2分）三、解答题（本题共30分, 每小题5分） 13．解：10)31(45sin 28π)14.3(-+︒-+-=1232+⨯+ ……………………………………………………………4分=4+ ……………………………………………………………5分14．解：由不等式①解得 2x >, …………………………………………………………2分 由不等式②解得 3x ≤. …………………………………………………4分因此不等式组的解集为23x <≤. ………………………………………………5分15．证明：∵ AC //EF ，∴ A C B D F E ∠=∠． ……………………………………………………… 1分在△ABC 和△DEF 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=,,,EF BC DFE ACB DF AC∴ △ABC ≌△DEF ． ………………………………………………… 4分∴ AB=DE ． ………………………………………………… 5分 16. 解: 法一：∵ ⎩⎨⎧==by a x ,是方程组 ⎩⎨⎧=-=+12,32y x y x 的解,∴ ⎩⎨⎧=-=+.12,32b a b a …………………………………………………2分解得 1,1.a b =⎧⎨=⎩ ………………………………………………… 4分∴ ()4()(4)541(11)141158a a b b a b -+-+=⨯⨯-+⨯⨯-+=. ……………… 5分ABCDEF法二：∵ ⎩⎨⎧==by a x ,是方程组 ⎩⎨⎧=-=+12,32y x y x 的解,∴ ⎩⎨⎧=-=+.12,32b a b a …………………………………………………2分2222444545(2)(2)5a a b a b b a b a b a b =-+-+=-+=+-+原式. ………4分123,2=-=+b a b a 将代入上式,得.85135)2)(2(=+⨯=+-+=b a b a 原式 ……………………………………………5分 17．解：（1）∵ 点A （,3m -）在反比例函数xy 3=的图象上，∴ m33=-.∴ 1m =-． ……………………………………………………… 1分 ∴ 点A 的坐标为A （-1, -3）. …………………………………………………… 2分 ∵ 点A 在一次函数y kx =的图象上，∴ 3k =.∴ 一次函数的解析式为y =3x . ……………………………………… 3分 （2）点P 的坐标为P (1, 3) 或P (-3, -9). （每解各1分） …………………… 5分18．解：设现在平均每天植树x 棵. ……………………………………………… 1分 依题意, 得60045050xx =-. …………………………………………………… 2分解得：200x =. ………………………………………………… 3分 经检验，200x =是原方程的解，且符合题意. …………………………………4分 答：现在平均每天植树200棵. ……………………………………………… 5分四、解答题（本题共20分, 每小题5分） 19．解: ∵∠ABC =90︒，AE=CE ，EB =12，∴ EB=AE=CE =12. ……………………1分∴ AC =AE+CE =24. ∵在Rt △ABC 中，∠CAB =30︒,∴ BC=12, cos 3012AB AC =⋅︒= ……………………2分 ∵ D EA C⊥，AE=CE ，∴ AD=DC ． ………………………………………………3分在Rt △ADE 中，由勾股定理得 AD13==． …………4分∴DC =13.∴ 四边形ABCD 的周长=AB +BC +CD +DA=38+ …………………… 5分20.（1）证明：连结BD .∵ AD 是⊙O 的直径，ED CBA∴∠ABD =90°. ∴∠1+∠D =90°. ∵∠C =∠D ，∠C =∠BAE ， ∴∠D =∠BAE . …………………………1分∴∠1+∠BAE =90°. 即 ∠DAE =90°. ∵AD 是⊙O 的直径， ∴直线AE 是⊙O 的切线. …………………………………………………2分（2）解: 过点B 作BF ⊥AE 于点F , 则∠BFE =90︒.∵ EB =AB ,∴∠E =∠BAE , EF =12AE =12×24=12.∵∠BFE =90︒, 4c os 5E =,∴512cos 4EF EB E==⨯=15. ……………………………………………………3分∴ AB =15.由（1）∠D =∠BAE ，又∠E =∠BAE , ∴∠D=∠E .∵∠ABD =90︒,∴ 54cos ==ADBD D . ………………………………………………………4分设BD =4k ，则AD ＝5k .在Rt △ABD 中, 由勾股定理得AB=3k , 可求得k =5. ∴.25=AD∴⊙O 的半径为252. ……………………………………………………………5分21.解：（1）290-(85+80+65)=60 (万元) . 补图(略) ………………………………1分（2）85⨯23%=19.55≈19.6 (万元).所以该店1月份音乐手机的销售额约为19.6万元. …………………………3分 （3）不同意，理由如下：3月份音乐手机的销售额是 6018%10.8⨯=（万元）,4月份音乐手机的销售额是 6517%11.05⨯=（万元）. …………………4分而 10.8<11.05, 因此4月份音乐手机的销售额比3月份的销售额增多了. ………5分22. 解：△BCE 的面积等于 2 . …………1分（1）如图（答案不唯一）： ……2分以EG 、FH 、ID 的长度为三边长的一个三角形是△EGM . …………3分 （2） 以EG 、FH 、ID 的长度为三边长的三角形的面积等于 3 ． …………5分五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23. 解：（1）当m =0时，原方程化为,03=+x 此时方程有实数根 x = -3. …………1分当m ≠0时，原方程为一元二次方程.EDCBAGHI∵()()222311296131m m m m m ∆=+-=-+=-≥0.∴ 此时方程有两个实数根. ………………………………………………2分 综上, 不论m 为任何实数时, 方程 03)13(2=+++x m mx 总有实数根.（2）∵令y =0, 则 mx 2+(3m +1)x +3=0. 解得 13x =-，21x m=-. ………………………………………………3分∵ 抛物线()2313y m x m x =+++与x 轴交于两个不同的整数点，且m 为正整数， ∴1m =.∴抛物线的解析式为243y x x =++. ………………………………………4分（3）法一：∵点P ),(11y x 与Q ),(21y n x +在抛物线上, ∴2211121143,()4()3y x x y x n x n =++=++++.∵,21y y =∴22111143()4()3x x x n x n ++=++++.可得 04221=++n n n x .即 0)42(1=++n x n . ∵ 点P , Q 不重合, ∴ n ≠0.∴ 124x n =--. ……………………………………………………5分 ∴ 222211114125168(2)265168x x n n n x x n n n ++++=+⋅+++22(4)6(4)516824.n n n n n =++--+++= …………………………………7分法二：∵ 243y x x =++=(x +2)2-1， ∴ 抛物线的对称轴为直线 x =-2.∵ 点P ),(11y x 与Q ),(21y n x +在抛物线上, 点P , Q 不重合, 且,21y y = ∴ 点 P , Q 关于直线 x =-2对称. ∴11 2.2x x n++=-∴ 124x n =--. …………………………………………………5分 下同法一.24. 解:（1） NP =MN , ∠ABD +∠MNP =180︒ (或其它变式及文字叙述,各1分). ………2分 （2）点M 是线段EF 的中点(或其它等价写法).证明：如图, 分别连接BE 、CF .∵ 四边形ABCD 是平行四边形， ∴ AD ∥BC ，AB ∥DC ，∠A =∠DCB ， ∴∠ABD =∠BDC . ∵ ∠A =∠DBC ， ∴ ∠DBC =∠DCB .∴ DB =DC . ① ………………………3分∵∠EDF =∠ABD ,∴∠EDF =∠BDC .∴∠BDC -∠EDC =∠EDF -∠EDC . 即∠BDE =∠CDF . ②又 DE =DF ， ③由①②③得△BDE ≌△CDF . …………………………………………………4分 ∴ EB =FC , ∠1=∠2.∵ N 、P 分别为EC 、BC 的中点， ∴NP ∥EB , NP =EB 21.同理可得 MN ∥FC ，MN =FC 21.∴ NP = NM . ………………………………………………………5分∵ NP ∥EB , ∴∠NPC =∠4.∴∠ENP =∠NCP +∠NPC =∠NCP +∠4. ∵MN ∥FC ，∴∠MNE =∠FCE =∠3+∠2=∠3+∠1.∴ ∠MNP =∠MNE +∠ENP =∠3+∠1+∠NCP +∠4=∠DBC +∠DCB =180︒-∠BDC =180︒-∠ABD .∴ ∠ABD +∠MNP =180︒. ……………………………………………7分 25.解：（1）依题意, 112=⨯-b ,解得b =-2.将b =-2及点B (3, 6)的坐标代入抛物线解析式2y x bx c =++得26323c =-⨯+. 解得 c =3.所以抛物线的解析式为322+-=x x y . ………………………………………1分（2）∵抛物线 322+-=x x y 与y 轴交于点A ，∴ A (0, 3). ∵ B (3, 6),可得直线AB 的解析式为3y x =+.设直线AB 下方抛物线上的点M 坐标为（x ，322+-x x ），过M 点作y 轴的平行线交直线AB 于点N , 则N (x , x +3). (如图1)∴ 132ABM AM N BM N B A S S S M N x x ∆∆∆=+=⋅-=. ……………………2分M1 3 24 P N AEFCDB∴()21323332x x x ⎡⎤+--+⨯=⎣⎦.解得 121,2x x ==∴点M 的坐标为(1, 2) 或 (2, 3). ……………………4分 （3）如图2，由 PA =PO , OA =c , 可得2c P D =.∵抛物线c bx x y ++=2的顶点坐标为 )44,2(2b c bP --, ∴2442c b c =-.∴ 22b c =. …………………………………………………………………5分 ∴ 抛物线2221b bx x y ++=, A （0，212b ），P （12b -，214b ）, D （12b -，0）.可得直线OP 的解析式为12y bx =-. ∵ 点B 是抛物线2212y x bx b =++与直线12y bx =-的图象的交点，令 221122bx x bx b -=++.解得12,2b x b x =-=-. 可得点B 的坐标为（-b ，212b ）. ……………………………………6分由平移后的抛物线经过点A , 可设平移后的抛物线解析式为2212y x m x b =++.将点D (12b -，0)的坐标代入2212y x m x b =++，得32m b =.∴ 平移后的抛物线解析式为223122y x bx b =++.令y =0, 即2231022x bx b ++=.解得121,2x b x b =-=-.依题意, 点C 的坐标为（-b ，0）. …………………………7分 ∴ BC =212b .∴ BC = OA .又BC ∥OA ，∴ 四边形OABC 是平行四边形.∵ ∠AOC =90︒，∴ 四边形OABC 是矩形. ……………………………………………………8分。