九年级数学(上)期末调研试卷

2023学年第一学期初三数学教学质量调研试卷（考试时间：100分钟满分：150分）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本调研卷上答题一律无效2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸相应位置上写出证明或计算的主要步骤一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【每小题只有一个正确选项，在答题纸相应题号的选项上用2B 铅笔正确填涂】1.在Rt ABC △中，90C ∠=︒，如果,A BC a α∠==，那么AC 等于（）A.tan a α⋅ B.cot a α⋅ C.sin aαD.cos a α2.下列关于抛物线223y x x =+-的描述正确的是（）A.该抛物线是上升的B.该抛物线是下降的C.在对称轴的左侧该抛物线是上升的D.在对称轴的右侧该抛物线是上升的3.已知点C 在线段AB 上，且满足2AC BC AB =⋅，那么下列式子成立的是（）A.512AC BC -= B.12AC AB -= C.512BC AB -= D.352BC AC =4.已知a为非零向量，且3a b =-，那么下列说法错误的是（）A.13a b=-B.3b a = C.30b a += D.b a∥5.如果点D 、E 分别在△ABC 的两边AB 、AC 上，下列条件中可以推出DE ∥BC 的是()A.23AD BD =，23CE AE = B.23AD AB =，23DE BC =C.32AB AD =,12EC AE = D.43AB AD =，43AE EC =6.已知在ABC 与A B C ''' 中，点D D '、分别在边BC B C ''、上，（点D 不与点B C 、重合，点D ¢不与点B C ''、重合）．如果ADC △与'''A D C △相似，点A D 、分别对应点A ''、D ，那么添加下列条件可以证明ABC 与A B C ''' 相似的是（）①AD A D ''、分别是ABC 与A B C ''' 的角平分线；②AD A D ''、分别是ABC 与A B C ''' 的中线；③AD A D ''、分别是ABC 与A B C ''' 的高．A.①②B.②③C.①③D.①②③二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）【在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案】7.如果53(,x y x y =均不为零），那么():x x y +的值是____________．8.式子2cos30tan45︒-︒的值是______．9.已知线段a=3cm ，b=4cm ，那么线段a 、b 的比例中项等于_______cm ．10.若两个相似三角形的周长比为2：3，则它们的面积比是_________.11.如图，////AB CD EF ，如果:2:3,10AC CE BF ==，那么线段DF 的长是__________．12.二次函数()2f x ax bx c =++图像上部分点的坐标满足下表：那么()5f -=____________．x⋯3-2-1-01⋯()f x ⋯3-2-3-6-11-⋯13.已知向量a 与单位向量e 方向相反，且3a = ，那么a =____________________（用向量e 的式子表示）14.已知一条斜坡的长度为13米，高度为5米，那么该斜坡的坡度为____________．15.如图，在ABC 中，AD 是BC 上的高，且5,3BC AD ==，矩形EFGH 的顶点F G 、在边BC 上，顶点E H 、分别在边AB 和AC 上，如果2EH EF =，那么EH =____________．16.如图，在ABC 中，90BAC ∠=︒，点G 是ABC 的重心，联结GA GC 、，如果533AC AG ==，，那么GCA ∠的余切值为____________．17.我们把顶角互补的两个等腰三角形叫做友好三角形．在ABC 中，10AB AC ==，点D E 、都在边BC 上，5AD AE ==，如果ABC 与ADE V 是友好三角形，那么BC 的长为____________．18.如图，在矩形ABCD 中，8,4,AD AB AC ==是对角线，点P 在边BC 上，联结DP ，将DPC △沿着直线DP 翻折，点C 的对应点Q 恰好落在ADC △内，那么线段BP 的取值范围是____________．三、解答题（本大题共7题，满分78分）【将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上】19.已知抛物线2241y x x =++．（1）用配方法把2241y x x =++化为2()y a x m k =++的形式，并写出该抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；（2）如果将该抛物线上下平移，得到新的抛物线经过点()1,4，求平移后的抛物线的顶点坐标．20.在平行四边形ABCD 中，点E 是AD 的中点，BE AC 、相交于点F ．（1）设,AB a AD b == ，试用a b 、表示EF ；（2）先化简，再求作：()()3222a b a b +-+（直接作在图中）．21.如图，在四边形ABCD 中，90BAD AC BC DE AC ∠=⊥︒⊥，，，垂足为点43E AC DE ==，，．（1）求:AD AB 的值；（2）BD 交AC 于点F ，如果1tan 2BAC ∠=，求CF 的长．22.小明为测量河对岸大楼的高度，利用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪，如图1所示．测量方法：如图2，人眼在P 点观察所测物体最高点C ，量角器零刻度线上A B 、两点均在视线PC 上，将铅锤悬挂在量角器的中心点O ．当铅锤静止时，测得视线PC 与铅垂线OD 所夹的角为α，且此时的仰角为β．实践操作：如图3，小明利用上述工具测量河对岸垂直于水平地面的大楼EF 的高度．他先站在水平地面的点H 处，视线为GE ，此时测角仪上视线与铅垂线的夹角为60︒；然后他向前走10米靠近大楼站在水平地面的点R 处，视线为QE ，此时测角仪上视线与铅垂线的夹角为45︒．问题解决：（1）请用含α的代数式表示仰角β；（2）如果GH QR EF 、、在同一平面内，小明的眼晴到水平地面的距离为1.6米，求大楼EF 的高度．（结果保留根号）23.如图，在ABC 中，点,D E 分别是,BC AD 的中点，且AD AC =，连接CE 并延长交AB 于点F ．（1）证明：ABC ECD ∽；（2）证明：4BF EF =．24.已知抛物线212y x bx c =++与x 轴交于A B 、两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，直线6y x =--经过点A 与点C ．（1）求抛物线的表达式；（2）点P 在线段AC 下方的抛物线上，过点P 作BC 的平行线交线段AC 于点D ，交y 轴于点E ．①如果C F 、两点关于抛物线的对称轴对称，联结DF ，当DF CF ⊥时，求PDF ∠的正切值；②如果:3:5PD DE =，求点P 的坐标．25.已知ABC 中，2ABC C ∠=∠，BG 平分ABC ∠，8AB =，163AG =，点D ，E 分别是边BC ，AC 上的点（点D 不与点B ，C 重合），且ADE ABC =∠∠，AD ，BG 相交于点F ．（1）求BC 的长；（2）如图1，如果2BF CE =，求:BF GF 的值；（3）如果ADE V 是以AD 为腰的等腰三角形，求BD 长．2023学年第一学期初三数学教学质量调研试卷一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【每小题只有一个正确选项，在答题纸相应题号的选项上用2B 铅笔正确填涂】1.在Rt ABC △中，90C ∠=︒，如果,A BC a α∠==，那么AC 等于（）A.tan a α⋅ B.cot a α⋅ C.sin aαD.cos a α【答案】B【分析】本题考查了锐角三角函数的定义的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力．画出图形，根据锐角三角函数的定义求出即可．【详解】解：cot ACBCα=，∴cot cot AC BC a αα=⋅=⋅，故选：B ．2.下列关于抛物线223y x x =+-的描述正确的是（）A.该抛物线是上升的B.该抛物线是下降的C.在对称轴的左侧该抛物线是上升的D.在对称轴的右侧该抛物线是上升的【答案】D【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，根据抛物线的解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确．【详解】解：∵抛物线223y x x =+-，∴20a =>，在对称轴左侧，该抛物线下降，在对称轴右侧上升，故选项A 、B 、C 均错误，不符合题意，选项D 正确，符合题意；故选：D ．3.已知点C 在线段AB 上，且满足2AC BC AB =⋅，那么下列式子成立的是（）A.12AC BC -= B.12AC AB -= C.12BC AB -= D.32BC AC =【答案】B【分析】本题考查黄金分割、解一元二次方程，把AB 当作已知数求出AC ，求出BC ，再分别求出各个比值，根据结果判断即可．【详解】解：令AC x =，()0AB a a =>，则BC a x =-，2AC BC AB =⋅可变形为()2x a x a =-⋅，整理，得220x ax a +-=，()2224150a a a ∆=-⨯⨯-=>，解得22a a x -±-±==，边长为正数，∴)122a a x --+==，)(1322a a a x a -=-=，即512AC AB -=⋅，352BC AB =⋅，∴23525112A ABC BC -⋅=+==，故A选项错误；122ABACABAB -==，故B选项正确；3322BC B B ABA A -==⋅，故C选项错误；251B ABC AC =-==，故D 选项错误；故选B ．4.已知a 为非零向量，且3a b =- ，那么下列说法错误的是（）A.13a b=-B.3b a= C.30b a += D.b a∥【答案】C【分析】本题考查了实数与向量相乘，向量的相关定义，根据其运算法则进行计算即可求解．【详解】解：A ．∵a 为非零向量，且3a b =- ，∴13a b =- ，正确，故本选项不符合题意；B ．∵a 为非零向量，且3a b =-，∴3b a = ，正确，故本选项不符合题意；C ．∵a 为非零向量，且3a b =- ，∴30b a += ，原说法错误，故本选项符合题意；D ．∵a 为非零向量，且3a b =-，∴b a ∥，故本选项不符合题意；故选：C ．5.如果点D 、E 分别在△ABC 的两边AB 、AC 上，下列条件中可以推出DE ∥BC 的是()A.23AD BD =，23CE AE = B.23AD AB =，23DE BC =C.32AB AD =,12EC AE = D.43AB AD =，43AE EC =【答案】C【分析】根据各个选项的条件只要能推出AD AE AB AC =或AB ACAD AE=，即可得出△ADE ∽△ABC ，推出∠ADE=∠B ，根据平行线的判定推出即可．【详解】解：A 、根据23AD BD =和23CE AE =，不能推出DE ∥BC ，故本选项错误；B 、根据23AD AB =和23DE BC =，不能推出DE ∥BC ，故本选项错误；C 、∵12EC AE =，∴32AC AE =，∵32AB AD =，∴AB AD =ACAE∵∠A=∠A ，∴△ABC ∽△ADE ，∴∠ADE=∠B ，∴DE ∥BC ，故本选项正确；D 、根据AB AD =43和AE EC =43,不能推出DE ∥BC ，故本选项错误；故选C ．【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，平行线的判定的应用，解题的关键是推出△ABC ∽△ADE ．6.已知在ABC 与A B C ''' 中，点D D '、分别在边BC B C ''、上，（点D 不与点B C 、重合，点D ¢不与点B C ''、重合）．如果ADC △与'''A D C △相似，点A D 、分别对应点A ''、D ，那么添加下列条件可以证明ABC 与A B C ''' 相似的是（）①AD A D ''、分别是ABC 与A B C ''' 的角平分线；②AD A D ''、分别是ABC 与A B C ''' 的中线；③AD A D ''、分别是ABC 与A B C ''' 的高．A.①② B.②③C.①③D.①②③【答案】A【分析】本题考查添加条件证明三角形相似，根据ADC △与'''A D C △相似，可得C C '∠=∠，DAC D A C '''∠=∠，AC DCA C D C =''''，再根据相似三角形的判定方法逐项判断即可．【详解】解： ADC △与'''A D C △相似，点A D 、分别对应点A ''、D ，∴C C '∠=∠，DAC D A C '''∠=∠，AC DCA C D C =''''，①AD A D ''、分别是ABC 与A B C ''' 的角平分线时：2BAC DAC ∠=∠，2B A C D A C ''''''∠=∠，∴BAC B A C '''∠=∠，又∴C C '∠=∠，∴ABC A B C '''∽ ；故①正确；②AD A D ''、分别是ABC 与A B C ''' 的中线时，2BC DC =，2B C D C ''''=，∴BC DCB C D C=''''，∴AC BCA CBC =''''，又∴C C '∠=∠，∴ABC A B C '''∽ ；故②正确；③AD A D ''、分别是ABC 与A B C ''' 的高时，现有条件不足以证明ABC A B C '''∽ ，故③错误；综上可知，添加①或②时，可以证明ABC 与A B C ''' 相似故选A ．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）【在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案】7.如果53(,x y x y =均不为零），那么():x x y +的值是____________．【答案】38【分析】本题考查的是比例的基本性质，令3x a =，则5y a =，然后化简整理即可求得．令3x a =，则5y a =，，()():33538x x y +=+=：：，即可作答．【详解】解：根据题意，可令3x a =，则5y a =，因此，()():3353838x x y a a a a a +=+==：：：．故答案为：38．8.式子2cos30tan45︒-︒的值是______．【答案】1-##1-【分析】直接将特殊角的三角函数值代入计算即可解答．【详解】解：32cos30tan452112︒-︒=⨯-=．1．【点睛】本题主要考查了三角函数的混合运算，牢记特殊角的三角函数值成为解答本题的关键．9.已知线段a=3cm ，b=4cm ，那么线段a 、b 的比例中项等于_______cm ．【答案】【详解】试卷分析：根据线段的比例中项的定义列式计算即可得解．∵线段a=3cm ，b=4cm ，∴线段a 、b 的比例中项=cm ．故答案为考点：比例线段．10.若两个相似三角形的周长比为2：3，则它们的面积比是_________.【答案】4∶9【详解】解：∵两个相似三角形的周长比为2：3，∴这两个相似三角形的相似比为2：3，∴它们的面积比是4：9．故答案为：4：9．考点：相似三角形的性质．11.如图，////AB CD EF ，如果:2:3,10AC CE BF ==，那么线段DF 的长是__________．【答案】6【分析】根据平行线分线段成比例定理结合比例解答即可．【详解】解：∵////AB CD EF ，:2:3,AC CE =∴23BD AC DF CE ==∵10BF =∴31065DF =⨯=．故答案为6．【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，灵活应用平行线分线段成比例定理列出比例式是解答本题的关键．12.二次函数()2f x ax bx c =++图像上部分点的坐标满足下表：那么()5f -=____________．x ⋯3-2-1-01⋯()f x ⋯3-2-3-6-11-⋯【答案】11-【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了抛物线的对称性．利用表中数据确定抛物线的对称轴，然后根据抛物线的对称性求解．【详解】解：利用表中数据得抛物线的对称轴为直线2x =-，所以5x =-和1x =时的函数值相等，即当5x =-时，y 的值为11-．故答案为：11-．13.已知向量a 与单位向量e 方向相反，且3a = ，那么a = ____________________（用向量e 的式子表示）【答案】3e- 【分析】此题考查了平面向量的知识，由向量a 与单位向量e 方向相反，且3a = ，根据单位向量与相反向量的知识，即可求得答案．【详解】解：∵向量a 与单位向量e 方向相反，且3a = ，∴3a e =- ．故答案为：3e - ．14.已知一条斜坡的长度为13米，高度为5米，那么该斜坡的坡度为____________．【答案】1:2.4【分析】本题考查坡度，先利用勾勾股定理求出水平距离，然后利用公式计算是解题的关键．【详解】解：如图，13AB =，5AE =，∴12BE ===，∴斜坡的坡度为i :5:121:2.4AE BE ===，故答案为：1:2.4．15.如图，在ABC 中，AD 是BC 上的高，且5,3BC AD ==，矩形EFGH 的顶点F G 、在边BC 上，顶点E H 、分别在边AB 和AC 上，如果2EH EF =，那么EH =____________．【答案】3011【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质及矩形的性质，通过四边形EFGH 为矩形推出EH BC ，因此AEH 与ABC 两个三角形相似，将AM 视为AEH 的高，可得出::AM AD EH BC =，再将数据代入计算是本题的关键．【详解】解：设AD 与EH 交于点M ．∵四边形EFGH 是矩形，∴EH BC ，∴AEH ABC ∽，∵AM 和AD 分别是AEH 和ABC 的高，∴::AM AD EH BC =,DM EF =，∴3AM AD DM AD EF EF =-=-=-，∵2EH EF =，代入可得：3235EF EF -=，解得1511EF =，∴153021111EH =⨯=，故答案为：3011．16.如图，在ABC 中，90BAC ∠=︒，点G 是ABC 的重心，联结GA GC 、，如果533AC AG ==，，那么GCA ∠的余切值为____________．【答案】23【分析】延长CG 交AB 于F ，过G 作GD AC ⊥于G ，直线DG 交BC 于E ，证明DCE ACB ∽V V ，得CD DE AC AB =，同理可得DG CD CG GE AF AC CF BF ===，即有DE CG AB CF=，根据G 为ABC 的重心，3AC =，得2DE =，设tan ACG x ∠=，根据勾股定理列式计算53AG ===可得答案．【详解】解：过G 作GD AC ⊥于G ，延长CF 交AB 于点F ，如图：∵90GD AC BAC ⊥∠=︒，，∴DE AB ∥，90CDE BAC ==︒∠∠，∵DCE ACB ∠=∠，∴DCG ACF ∽，∴CD DG CG AC AF CF==，∵G 为ABC 的重心，∴23CD DG CG AC AF CF ===，∵3AC =，∴21CD AD ==，，∴2243DG AG AD =-=，则在直角三角形CDG 中，423tan 23DG ACG CD ∠===，故答案为：23【点睛】本题考查三角形的重心，涉及相似三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，难度较大，综合性较强，解题的关键是作辅助线，构造相似三角形．17.我们把顶角互补的两个等腰三角形叫做友好三角形．在ABC 中，10AB AC ==，点D E 、都在边BC 上，5AD AE ==，如果ABC 与ADE V 是友好三角形，那么BC 的长为____________．【答案】5【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程．如图，过过点A 作AF BC ⊥于点F ．证明FAD FBA ∽，推出51102AD AF DF AB FB AF ====，设DF EF x ==，这24AF x BF x ==，，构建方程求解．【详解】解：如图，过点A 作AF BC ⊥于点F ．∵AB AC AD AE AF BC ==⊥，，，∴DF EF BF FC BAF CAF DAF EAF ==∠=∠∠=∠，，，，∵180BAC DAE ∠+∠=︒，∴22180BAF DAF ∠+∠=︒，∴90BAF DAF ∠+∠=︒，∵90BAF B ∠+∠=︒，∴∠=∠DAF B ，∵90AFD AFB ∠=∠=︒，∴FAD FBA ∽，∴51102AD AF DF AB FB AF ====，设DF EF x ==，这24AF x BF x ==，，∵222AB AF BF =+，∴()()2221024x x =+，∴5x =，∴285BC BF x ===故答案为：85．18.如图，在矩形ABCD 中，8,4,AD AB AC ==是对角线，点P 在边BC 上，联结DP ，将DPC △沿着直线DP 翻折，点C 的对应点Q 恰好落在ADC △内，那么线段BP 的取值范围是____________．【答案】46BP <<【分析】本题考查矩形的折叠问题，相似三角形的判定和性质等，计算出点Q 恰好落在AD 边上，以及点Q 恰好落在AC 边上时BP 的值，即可得出线段BP 的取值范围．【详解】解：当点C 的对应点Q 恰好落在AD 边上时，如图：由折叠的性质知CD QD =，CP QP =，90PQD PCD ∠=∠=︒，又 矩形ABCD 中，90ADC ∠=︒，∴四边形QDCP 是正方形，∴4CP CD AB ===，∴844BP BC CP AD CP =-=-=-=；当点C 的对应点Q 恰好落在AC 边上时，如图，由折叠的性质知PD CQ ⊥，∴90PDC ACD ∠+∠=︒，又 矩形ABCD 中，90ADC ∠=︒，∴90CAD ACD ∠+∠=︒，∴PDC CAD ∠=∠，又 90PCD CDA ∠=∠=︒，∴PDC CAD ∽，∴PC CD CD AD =，即448PC =，∴2PC =，∴826BP BC PC =-=-=，∴线段BP 的取值范围是46BP <<．故答案为：46BP <<．三、解答题（本大题共7题，满分78分）【将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上】19.已知抛物线2241y x x =++．（1）用配方法把2241y x x =++化为2()y a x m k =++的形式，并写出该抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；（2）如果将该抛物线上下平移，得到新的抛物线经过点()1,4，求平移后的抛物线的顶点坐标．【答案】（1）该抛物线的开口向上，对称轴是直线=1x -，顶点坐标为(1,1)--（2）(1,4)--【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的性质是解题的关键．（1）利用配方法把一般式化为顶点式，根据二次函数的性质写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．（2）设平移后的抛物线解析式为22(1)y x =+1k -+，代入点(1,4)，求得k 的值即可求解．【小问1详解】解：2241y x x =++()222121x x =++-+22(1)1x =+-，∴该抛物线的开口向上，对称轴是直线=1x -，顶点坐标为(1,1)--；【小问2详解】设平移后的抛物线解析式为22(1)y x =+1k -+，∵新的抛物线经过点(1,4)，∴24221k =⨯-+，解得3k =-，∴平移后的抛物线解析式为22(1)4y x =+-，∴平移后的抛物线的顶点坐标是(1,4)--．20.在平行四边形ABCD 中，点E 是AD 的中点，BE AC 、相交于点F ．（1）设,AB a AD b == ，试用a b 、表示EF；（2）先化简，再求作：()()3222a b a b +-+ （直接作在图中）．【答案】（1）1136a b - （2）12a b -- ，见详解【分析】本题主要考查平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理和平面向量，()1根据题意得AD BC ∥和BC AD =，进一步得到AE EF BC FB =，则1132EF DA AB ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，代入向量即可．()2化解得12a b -- ，将对应线段代入得到()AB AE -+ ，过点E 作EG AB ∥，则AE BG = ，1=2a b GA -- ，连接GA 即可．【小问1详解】解：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AD BC ∥，BC AD =，∴AFE CFB ∽，则AE EF BC FB=，∵点E 是AD 的中点，∴12AE AD =，则12EF FB =，∴()1111123332EF FB EB EA AB DA AB ⎛⎫===+=+ ⎪⎝⎭ ，∵,AB a AD b == ，∴1111=3236EF b a a b ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭ ．【小问2详解】()()3312223222a b a b a b a b a b +-+=+--=-- ，∵,AB a AD b == ，∴()1122a b AB AD AB AE AB AE --=--=--=-+ ，过点E 作EG AB ∥，则AE BG = ，∴()()1===2a b AB AE AB BG AG GA --=-+-+- ，如图，GA即为所求．21.如图，在四边形ABCD 中，90BAD AC BC DE AC ∠=⊥︒⊥，，，垂足为点43E AC DE ==，，．（1）求:AD AB 的值；（2）BD 交AC 于点F ，如果1tan 2BAC ∠=，求CF 的长．【答案】（1）3:4（2）1CF =【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定、解直角三角形：（1）根据90BAD AC BC DE AC ∠=⊥︒⊥，，，得90AED ACB ∠=∠=︒，EAD ABC ∠=∠，证明AED BCA △∽△，结合相似三角形的性质，得:AD AB 的值；（2）根据相似三角形的性质且1tan 2BAC ∠=，得2BC =， 1.5AE =，再证明BCF DEF ∽，列式代数计算，即可作答．【小问1详解】解：∵90BAD AC BC DE AC∠=⊥︒⊥，，∴90AED ACB ∠=∠=︒，90BAC DAE BAC ABC∠+∠=︒=∠+∠∴EAD ABC ∠=∠，∴AED BCA△∽△则::3:4AD AB DE AC ==【小问2详解】解：如图：∵AED BCA △∽△，1tan 2BAC ∠=，∴11242BC BC BAC ADE AC ==∠=∠，，，∴2BC =，∴1tan 32AE AE ADE ED ∠===，得 1.5AE =，∴4 1.5 2.5EC AC AE =-=-=，∵AC BC DE AC ⊥⊥，，∴90BCF DEF ∠=∠=︒，∵BFC DFE ∠=∠，∴BCF DEF ∽，即BC CF DE EF=，∴23 2.5CF CF =-，解得1CF =．22.小明为测量河对岸大楼的高度，利用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪，如图1所示．测量方法：如图2，人眼在P 点观察所测物体最高点C ，量角器零刻度线上A B 、两点均在视线PC 上，将铅锤悬挂在量角器的中心点O ．当铅锤静止时，测得视线PC 与铅垂线OD 所夹的角为α，且此时的仰角为β．实践操作：如图3，小明利用上述工具测量河对岸垂直于水平地面的大楼EF 的高度．他先站在水平地面的点H 处，视线为GE ，此时测角仪上视线与铅垂线的夹角为60︒；然后他向前走10米靠近大楼站在水平地面的点R 处，视线为QE ，此时测角仪上视线与铅垂线的夹角为45︒．问题解决：（1）请用含α的代数式表示仰角β；（2）如果GH QR EF 、、在同一平面内，小明的眼晴到水平地面的距离为1.6米，求大楼EF 的高度．（结果保留根号）【答案】（1）90βα=︒-（2）()6.6米【分析】本题考查了解直角三角形−仰角俯角问题，列代数式，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．（1）延长OD 交PK 于L ，根据题意可得：OL PK ⊥，从而可得：90OLP ∠=︒，然后利用直角三角形的两个锐角互余进行计算，即可解答；（2）延长GQ 交EF 于点M ，根据题意可得： 1.6GM EF GH QR MF ⊥===，米，10GQ HR ==米，然后设EM x =米，分别在Rt EGM 和Rt EQM 中，利用锐角三角函数的定义求出GM 和QM 的长，从而列出关于x 的方程，进行计算即可解答．【小问1详解】解：如图：延长OD 交PK 于L ，由题意得：OL PK ⊥，∴90OLP ∠=︒，∵POD α∠=，∴9090OPL POD α∠=︒-∠=︒-，∴90βα=︒-；【小问2详解】解：延长GQ 交EF 于点M ，由题意得： 1.610GM EF GH QR MF GQ HR ⊥=====，m，m ，设EM x =米，在Rt EGM 中，60GEM ∠=︒，∴tan60GM EM =⋅︒=（米），在Rt EQM 中，45QEM ∠=︒，∴45QM EM tan x =⋅︒=（米），∵GM QM GQ -=，10x -=解得：5x =∴()5EM =米，∴()5 1.6 6.6EF EM FM =+=+=米，∴大楼EF 的高度为()6.6+米．23.如图，在ABC 中，点,D E 分别是,BC AD 的中点，且AD AC =，连接CE 并延长交AB 于点F ．（1）证明：ABC ECD ∽；（2）证明：4BF EF =．【答案】（1）见解析（2）见解析【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质：（1）根据等边对等角可得EDC ACB ∠=∠，再证这组夹角的两边成比例即可；（2）作DH CF ∥交AB 于点H ，可证BHD BFC ∽，AFE AHD ∽，推出12HD BD FC BC ==，12FE AE HD AD ==，进而可得4FC EF =，再根据ABC DCE ∽得出FBC FCB ∠=∠，推出CF BF =，等量代换可证4BF EF =．【小问1详解】证明： AD AC =，∴ADC ACD ∠=∠，即EDC ACB ∠=∠，又 点,D E 分别是,BC AD 的中点，∴12DC CB =，1122ED AD AC ==，∴12DC ED CB AC ==，∴AC ED CB DC=，∴ABC ECD ∽；【小问2详解】证明：如图，作DH CF ∥交AB 于点H ，DH CF ∥，∴BHD BFC ∠=∠，BDH BCF ∠=∠；AFE AHD ∠=∠，AEF ADH ∠=∠，∴BHD BFC ∽，AFE AHD ∽，又 点,D E 分别是,BC AD 的中点，∴12HD BD FC BC ==，12FE AE HD AD ==，∴2FC HD =，2HD FE =，∴4FC EF =，由（1）得ABC ECD ∽，∴ABC ECD ∠=∠，即FBC FCB ∠=∠，∴CF BF =，∴4BF EF =．24.已知抛物线212y x bx c =++与x 轴交于A B 、两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，直线6y x =--经过点A 与点C ．（1）求抛物线的表达式；（2）点P 在线段AC 下方的抛物线上，过点P 作BC 的平行线交线段AC 于点D ，交y 轴于点E ．①如果C F 、两点关于抛物线的对称轴对称，联结DF ，当DF CF ⊥时，求PDF ∠的正切值；②如果:3:5PD DE =，求点P 的坐标．【答案】（1）21262y x x =+-（2）①13②1532⎛⎫- ⎪⎝⎭，【分析】（1）先由一次函数求出()()6060A C --，，，，再运用待定系数法求二次函数解析式，即可作答．（2）①依题意，得DF CF ⊥，PE BC PDF ACB ∠=∠ ，，根据角的等量代换，即PDF OCB ∠=∠，先求出点B 的坐标．PDF ∠的正切值等于21tan 63OB OCB OC ∠===；②先表达出21062E p p ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，22111168484D p p p p ⎛⎫-+-- ⎪⎝⎭，，21262P p p p ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，，23438EN p p -=，3EM p =-再根据相似三角形的性质与判定，列式化简计算，即可作答．【小问1详解】解：∵直线6y x =--经过点A 与点C则当06x y ==-，；06y x ==-，∴()()6060A C --，，，∴60186c b c =-⎧⎨=-+⎩，，解得62c b =-⎧⎨=⎩21262y x x =+-；【小问2详解】解：①如图：∵()()6060A C --，，，，且C F 、两点关于抛物线21262y x x =+-的对称轴对称，∴6F c y y ==-，221222b x a =-=-=-⨯则4F x =-∵DF CF⊥∴DF y ∥轴则FDC OCA∠=∠∵过点P 作BC 的平行线交线段AC 于点D ，交y 轴于点E ．∴PE BC PDF ACB∠=∠ ，则PDF OCB∠=∠∵21262y x x =+-x 轴交于A B 、两点（点A 在点B 的左侧），∴210262x x =+-∴6x =-，2x =∴()20B ，∵PDF OCB∠=∠则PDF ∠的正切值等于21tan 63OB OCB OC ∠===；②设21262P p p p ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，，BC 的解析式为y mx n =+∴把()()0620C B -，，，代入y mx n =+得602n m n=-⎧⎨=+⎩解得63n m =-⎧⎨=⎩∵过点P 作BC 的平行线交线段AC 于点D ，交y 轴于点E∴设PE 的解析式为3y x b=+把21262P p p p ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，代入3y x b =+得2162p p b =--∴21623y x p p =--+令0x =，2162p p y =--即21062E p p ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，当261362y x y x p p =--⎧⎪⎨=+--⎪⎩解得21184x p p +=-则把21184x p p +=-代入21623y x p p =--+得211684y p p =--∴22111168484D p p p p ⎛⎫-+-- ⎪⎝⎭，∵过点P 作PM y ⊥轴，过点D 作DN y ⊥轴，∴EDN EPM∽∴EN DE EM EP=∵:3:5PD DE =∴58EN EM =∶∶∵21062E p p ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，22111168484D p p p p ⎛⎫-+-- ⎪⎝⎭，，21262P p p p ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，∴222111336628484EN p p p p p p ⎛⎫=-----=- ⎪⎝⎭，2211626322EM p p p p p ⎛⎫=---+-=- ⎪⎝⎭∴23358348p p p --=∶∶解得1103p p ==-，∵点P 在线段AC 下方的抛物线上，∴10p =（舍去）∴3p =-．把3p =-代入21262y p p =+-∴19241592362222y =⨯-⨯-=-=∴点P 的坐标1532⎛⎫- ⎪⎝⎭，【点睛】本题考查了二次函数的几何综合，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理等，综合性强，难度较大，正确掌握相关性质内容是解题的关键．25.已知ABC 中，2ABC C ∠=∠，BG 平分ABC ∠，8AB =，163AG =，点D ，E 分别是边BC ，AC 上的点（点D 不与点B ，C 重合），且ADE ABC =∠∠，AD ，BG 相交于点F ．（1）求BC 的长；（2）如图1，如果2BF CE =，求:BF GF 的值；（3）如果ADE V 是以AD 为腰的等腰三角形，求BD 长．【答案】（1）10（2）278（3）325【分析】（1）证明ABG CAB ∽ ，再根据相似三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，即可得到答案；（2）过点F 作FM AB ⊥于点M ，FN BD ⊥于点N ，先证明ABF DCE ∽ ，进一步求得6BD =，接着利用面积法证明4=3AF DF ，设4AF x =，证明FAG EAD ∽ ，求得3221FG =，即可进一步求得答案；（3）先证明CDE CBG ∽ ，可得32CD CE =，再利用等腰三角形的判定与性质以及平行线的性质逐步求得43FG =，最后证明AFG ADE ∽ ，进一步求出125CE =，即可得到答案．【小问1详解】BG 平分ABC ∠，22ABC ABG GBC ∴∠=∠=∠，2ABC C ∠=∠ ，ABG C GBC ∴∠=∠=∠，BAG CAB ∠=∠ ，ABG ACB ∴∽ ，AB AG BG AC AB CB ∴==，16838BG AC CB ∴==，12AC ∴=，32BC BG =，16201233CG AC AG ∴=-=-=，C GBC ∠=∠ ，203BG CG ∴==，3102BC BG ∴==；【小问2详解】过点F 作FM AB ⊥于点M ，FN BD ⊥于点N ，ADE ABC ∠=∠ ，ADE CDE ABC FAB ∠+∠=∠+∠，FAB EDC ∴∠=∠，又ABG C ∠=∠ ，ABF DCE ∴∽ ，AB AF BF CD DE CE∴==，2BF CE = ，142CD AB ∴==，2AF DE =，1046BD BC CD ∴=-=-=，BG 平分ABC ∠，FM FN ∴=，142132ABF DBF AB FM S AF S DF BD FN ⋅∴===⋅ ，设4AF x =，则3DF x =，7AD x =，2DE x =，2AGF GBC C C ABC ∠=∠+∠=∠=∠ ，ADE ABC =∠∠，AGF ADE ∴∠=∠，又FAG EAD ∠=∠ ，FAG EAD ∴∽ ，AG FG AD ED ∴=，16372FG x x ∴=，3221FG ∴=，367BF BG FG ∴=-=，3627732821BF GF ∴==；【小问3详解】ADE 是以AD 为腰的等腰三角形，AD AE ∴=，ADE AED ∴∠=∠，AGF ADE ∠=∠ ，AGF AED ∴∠=∠，BG DE ∴∥，CDE CBG ∴∽ ，CE CD CG CB ∴=，20103CE CD ∴=，32CD CE ∴=，BG DE ∥ ，AFG ADE ∴∠=∠，GBC EDC ∠=∠，AFG AGF ∴∠=∠，163AF AG ∴==，FAB EDC ∠=∠ ，ABG GBC C ∠=∠=∠，FAB ABG ∴∠=∠，EDC C ∠=∠，163BF AF ∴==，CE DE =，43FG BG BF ∴=-=，BG DE ∥ ，AFG ADE ∴∽ ，AG FG AE DE ∴=，1643312CE CE ∴=-，解得125CE =，3321225BD BC CD CE ∴=-=-=．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，利用面积比求线段比等知识与方法，灵活运用相关知识与方法是解答本题的关键．。

2023~2024学年第一学期期末调研试题卷九年级数学注意事项：1.本试卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟.2.本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上.答在试卷上的答案无效.一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的.1.已知a ，b ，c ，d 是成比例线段，且，，，则线段d 的长为（ ）A. B. C. D.2.左图为某几何体的三种视图，这个几何体可以是（）A.B. C. D.3.解方程时，小明进行了相关计算并整理如下：x0.511.525.2513则该方程必有一个根满足（）A. B. C. D.4.关于矩形的性质，下列说法不正确的是（）A.四个角都是直角B.对角线互相垂直C.对角线相等D.是轴对称图形5.已知反比例函数，下列说法中正确的是（）A.该函数的图象位于第一、三象限B.点在该函数图象上C.y 随x 的增大而增大D.该函数图象关于原点成中心对称6.柜子里有两双不同的鞋，如果从中随机取出2只，那么取出的鞋恰好是同一双的概率为（）3cm a =2cm b =6cm c =2cm 3cm 4cm 5cm212150x x +-=21215x x +-15-8.75-2-1.52x <<1 1.5x <<0.51x <<00.5x <<6y x=-()2,3A.B. C.D.7.如图，四边形为平行四边形，E ，F 为边的三等分点，连接，，交点为G ，则等于（）A. B. C. D.8.某商品原价为100元，连续两次降价后为81元，设平均每次降价的百分率为x ，则下列方程正确的是（ ）A. B.C. D.9.如图，矩形的四个顶点分别在直线，，，上，若直线且相邻两直线间距离相等.若，，则，之间的距离为（）A.5B.C. D.10.如图，一组等腰三角形的底边均在x 轴的正半轴上，两腰的交点在反比例函数的图象上，且它们的底边都相等.若记，，…的面积分别为则的值为（）13141516ABCD CD AF BE :EFG BAG S S △△1:91:41:31:2()2811100x +=()2100181x -=()1001281x -=()8112100x +=ABCD 1l 3l 4l 2l 1234l l l l ∥∥∥6AB =4BC =2l 3l 65125245()10y x x=>11OA B △122A A B △233A A B △101110121012A A B △1231012,,S S S S 1012SA.B. C. D.二、填空题：（每小题3分，共15分）11.如果，那么_______.12.已知关于x 的一元二次方程的一个根是1，则_______.13.一个口袋中装有红球和白球共10个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球摇匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中.不断重复这一过程，共摸了100次球，发现共有70次摸到红球，估计这个口袋中自球的个数为_______.14.如图，菱形中，对角线，相交于点O ，点E 为的中点，连接，若，则菱形的周长为_______.15.如图，已知点E ，F 分别为三角形纸片的边，上的点，将三角形纸片沿所在直线折叠，点B 的对应点恰好落在边上.已知，.若以，F ，C 为顶点的三角形与相似，则的长是______.三、解答题（本大题共8个小题，共75分）16.（10分）解方程：（1）（用因式分解法）（2）（用公式法）17.（9分）如图，一转盘被等分为三个区城，上面分别标有数字1，0，，转动转盘，指针停止后指向哪个区域，就得到该区域上的数字.（指针停在分界线上时，重新转动转盘，直到指向一个区域内部）（1）小明转动转盘一次，得到的数字是非负数的概率为_____；（2）小明和小红分别转动转盘一次，用树状图或列表的方法求两人得到相同数字的概率.1101211013120231202412a b =aa b=+22340x kx -+=k =ABCD AC BD AB OE 3.5OE =ABCD ABC AB BC ABC EF B 'AC 3AB AC ==4BC =B 'ABC △BF ()5454x x x +=+22980x x -+=1-18.（9分）已知点E 是边的中点，连接并延长交的延长线于点F ，连接，，且.（1）求证：四边形为矩形；（2）若，请直接写出的长.19.（9分）已知，关于x 的一元二次方程.（1）试说明：不论m 取何值时，该方程总有实数根；（2）若这个一元二次方程的一根大于2，另一根小于2，求m 的取值范围.20.（9分）如图，白鹭洲国家湿地公园广场有一灯柱，M 为光源.某兴趣小组为了测量灯柱的高度，在灯柱同侧竖立两根长度均为的标杆和.测得的影长等于，且点N ，B ，C 在同一条直线上.（1）请画出标杆的影子；（2）若，求灯柱的高度.21.（9分）据统计，摩托车、电动自行车、小汽车是导致交通事故死亡最多的车辆，摩托车、电动自行车驾乘人员死亡事故中约80%为颅脑损伤致死.为确保安全出行，交警提醒骑车出行必须佩戴头盔.某头盔品牌厂商在各大电商平台共有100个网店，一个网店平均每月销售1000个头盔.现准备多开一些网店以提高销售量，试验发现，每多开1个网店，每个网店头盔月销售量就会减少2个，但随着网店数量增加，运营成本也会增加，如果要使每月总销售量增加15.2%，且尽可能减少运营成本，那么应多开几个网店?22.（10分）已知一次函数与反比例函数的图象交于A ，B 两点，且点A 的坐标为.（1）求m 的值及反比例函数的解析式；（2）连接，，求的面积；（3）观察图象，请直接写出的解集.ABCD AD BE CD BD AF AD BF =ABDF 3CD ED ==BD ()2430x m x m -+++=MN MN 1.6m AB CD AB BC 3m CD CE 4m CE =MN 5y x =-+ky x=()4,m OA OB AOB △5kx x-+>23.（10分）如图1，四边形和四边形均为正方形，点E ，G 分则在，上，，分别为两正方形的对角线.（I ）猜想：图1中的值为_______；（2）探究：将正方形绕点A 旋转到图2位置，连接，，判断的值是否保持不变?并说明理由.（3）延伸：若将正方形绕点A 旋转到图3位置，其中G ，E ，B 三点在一条直线上，延长交边于点H ，若，请直接写出正方形与正方形的边长.2023~2024学年第一学期期末调研试题九年级数学参考答案一、选择题（每题3分，共30分）题号12345678910答案CDBBDAABCC二、填空题（每小题3分，共15分）题号1112131415答案2328或2三、解答题（本大题共8个小题，共75分）ABCD AEFG AB AD AC AF FCEBAEFG BE FC FCEBAEFG AF CD BE =FH =AEFG ABCD 1312716.（1）解：原方程可变形为或，.（2）解：这里，，即，17.（9分）解：（1）（2）第一次第二次110共9种等可能的结果，其中两次数字相同的结果有3个，所以二人得到相同数字的概率.18.（9分）（1）证明：四边形是平行四边形，，，点E 为的中点，，又，四边形是平行四边形，又是矩形.()()54540x x x +-+=()()5410x x +-=540x +=10x -=∴145x =-21x =2a =9b =-8c = ()2249428170b ac -=--⨯⨯=>∴x =1x =2x =231-()1,1()0,1()1,1-()1,0()0,0()1,0-1-()1,1-()0,1-()1,1--13ABCD ∴AB DC ∥AB DC =∴EAB EDF∠=∠ AD ∴AE DE = AEB DEF ∠=∠∴()AEB DEF ASA ≌△△∴BE FE= AE DE=∴ABDF BF AD=∴ABDF（2）19.（9分）解：（1）由题可知：，，.即不论m 取何值，原方程有两个实数根.（2）解方程得，因为，，即.所以m 的取值范围是.20.（9分）解：（1）如图所示的影子为；（2）由题意可知，，.即设灯柱的高度为x m ，根据题意，得由，得即代入数据，化简得由，得即BD =1a =()4b m =-+3c m =+()()224443b ac m m -=-+-⨯+⎡⎤⎣⎦()220m =+≥∴()2430x m x m -+++=()422m m x +±+=∴11x =23x m =+12<∴32m +>1m >-1m >-CD CE MN NE ⊥AB NE ⊥CD NE ⊥90MNE ABC DCE ∠=∠=∠=︒MN ABC MNE ∠=∠MCN MCN ∠=∠ABC MNC △∽△AB BCx BC BN=+331.6xBN =-DCE MNE ∠=∠MEN MEN ∠=∠DCE MNE △∽△CD ECx EC BC BN=++代入数据，化简得，（m ）答：灯柱的高度为.21.解：设应增加x 个网店，根据题意，得解得，，因为网店越多，运营成本增加越多，为减少运营成本x 取20 答：应增加20个网店.22.（10分）解：（1）点是直线与的交点，把，，代入得.，.（2）设一次函数的图象分别与x 轴，y 轴交于M ，N 两点由得，.由与得B 的坐标为（3）x 的取值范围为或.23.（10分）解：（1）；471.6x BN =-∴34371.6 1.6x x -=-∴ 6.4x =MN 6.4m ()()()100021001001000115.2%x x -+=⨯⨯+120x =2380x = ()4,A m 5y x =-+ky x=∴4x =y m =5y x =-+451m =-+=∴414k =⨯=∴1m =4y x=5y x =-+5OM =5ON =5y x =-+4y x=()1,4AOB MON AOM BONS S S S =--△△△△111555151222=⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯152=0x <14x <<FCEB=（2）①四边形与四边形是正方形，，即②正方形的边长为3，正方形的边长为.ABCD AEFG ∴45EAF BAC ∠=∠=︒FA ACAE AB==∴EAF CAE BAC CAE∠+∠=∠+∠CAF BAE∠=∠∴CAF BAE △∽△∴FC AC FAEB AB AE===AEFGABCD。

永城2023—2024学年上学期期末学业评价卷九年级数学（人教版）注意事项：1．本试卷共4页．三个大题．满分120分．考试时间100分钟．2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，中只有一个是正确的．1．下列关系式中，是x 的反比剑函数的是（）A ．B ．C ．D ．2．下面是4个有关航天领域的图标．中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．在一个不透明的袋子里装有红球．黄球共20个，其中红球有2个．这些球除颜色外其他都相同，随机摸出1个球．摸出的是红球的概率是（）A．B ．C ．D ．4．下列四条线段中．能与，，这三条线段组成比例线段的是（）A ．B ．C ．D ．5．下列图象中．有可能是函数的图象的是（）A ．B ．C ．D ．6．“绿色电力．与你同行”"，我国新能源汽车销售量逐年增加，据统计，2022年新能源汽车年销售量为690万辆．预计2024年新能源汽车手销售量将达到1166万辆，设这两年新能源汽车销售量年平均增长率为x ，则所列方程正确的是（）A ．B ．C ．D ．7．若关于x 的一元二次方程有实数根，则实数k 的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．1y x =-3y x =-35y x =22y x =-12151101202a =3b =c =11d =2d =36d =4d =2)0(y ax a a =+≠()269011166x +=()211661690x -=()269069011166x ++=()116612690x -=2420x x k -+=2k >2k ≥2k <2k ≤8．对于反比例函数，下列结论中错误的是（ ）A ．图象位于第二，四象限B ．图象关于y 轴对称C ．当时，y 随x 的增大而增大D ．若点在图象上，则点也一定在图象上9．如图，一个隧道的横截面是以O 为圆心的圆的一部分，点D 是中弦AB 的中点，CD 经过圆心O 交于点C ，若路面AB ＝6m ，此圆的半径OA 的长为5m ，则净高CD 的长为（ ）A ．5mB ．6m C．m D ．9m10．如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，AB ＝12，把△ABC 绕点A 逆时针旋转60°得到△ADE ，连接CD ，当时，AC 的长为（ ）A ．B ．10C ．D 二、填空题（每小题3分，共15分）11．“海日生残夜，江春入旧年”．如图所记录的日出美景中，太阳与海天交界处可看成圆与直线，它们的位置关系是______．12．图1是装满了液体的高脚杯（数据如图），用去部分液体后，放在水平的桌面上如图2所示，此时液体AB ＝______．13．抛物线的部分图象如图所示，当时，x 的取值范围是______．()0k y k x=≤0x >(),a b (),a b --O O 133CD =2y ax bx c =++5y >14．小诚和爸爸搭乘长途汽车回老家过年，在小程序上购票时，系统自动将两人分配到同一排（如图是长途汽车座位示意图），则小诚和爸爸分配的座位恰好是邻座（过道两侧也视为邻座）的概率是______．15．如图，已知反比例函数，．点A 在y 轴的正半轴上，过点A 作直线轴，且分别与两反比例函数的图象交于点C 和点B ，连接OC ，OB ．若△BOC 的面积为9，AC ：AB ＝4：5，则______．三、解答题（本大题共8个小题，共75分）16．（10分）用适当的方法解下列一元二次方程：（1）；（2）．17．（8分）如图．在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点均在正方形网络的格点上，已知点C 的坐标为．（1）以点O 为位似中心，在给出的网格内曲使与位似，并且点的坐标为；（2）与的相似比是______．18．（9分）如图．文文应用所学的三角形相关知识测量河南广播电视塔的高度，她站在距离塔底A 点120m 处的D 点．测得自己的影长DE 为0.4m ，此时该塔的影子为AC ，她测得点D 与点C 的距离为23m ，已知文文的身高DF 为1.6m ．求河南广播电视塔AB 的高．（图中各点都在同一平面内．点A ，C ，D ．E 在同一直线上）111(0)k y k x =≥222(0)k y k x=<BC x ∥12k k =()419x x x -=-26160x x --=()4,1-111A B C △111A B C △ABC △1C ()8,2-ABC △111A B C △19．（9分）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数在第一象限内的图象交于点．（1）求反比例函数的表达式；（2）直接写出当时，关于x的不等式的解集．20．（9分）掷实心球是2024年郑州巿高中阶段学校招生体育考试的抽考项目，如图1是一名男生投实心球，实心球的行进路线是—条抛物线，行进高度y （m ）与水平距离x （m ）之间的函数关系如图2所示，掷出时起点处高度为m ，当水平距离为5m 时，实心球行进至最高点4m 处．（1）求y 关于x 的函数表达式（不写x 的取值范围）；（2）根据郑州市高中阶段学校招生体育考试评分标准（男生）．在投掷过程中．实心球从起点到落地点的水平距离大于等于11.4m 时，此项考试得分为满分10分．请判断该男生在此项考试中是否能得满分，并说明理由．21．（10分）如图，AB 是的直径，点C ，D 是上位于直线AB 异侧的两点，，交CB 的延长线于点E ．且BD 评分．（1）求证：DE 为的切线；213y x =-()0k y k x=≠()6,A a 0x >213k x x >-9649O O DE BC ⊥ABE ∠O（2）若，，①求DE 的长；②图中阴影部分的面积为______．22．（10分）如图，抛物线交x 轴于，两点，与y 轴交干点C ．（1）求此抛物线的解析式；（2）已知P 为抛物线上一点（不与点B 重合），若点P 关于x 轴对称的点恰好在直线BC 上，求点P 的坐标．23．（10分）已知△ABC 与△DEC 都为等腰三角形，AB ＝AC ，DE ＝DC ，．（1）当n ＝60°时，①如图1，当点D 在AC 上时，BE 与AD 的数量关系是______；②如图2，当点D 不在AC 上时，BE 与AD 的数量关系是______．（2）如图3（点B 位于△CDE 的内部）．当n ＝90°时，①探究线段BE 与AD 的数量关系，并说明理由；②当，时．请直接写出CE 的长．永城2023—2024学年上学期期未学业评价卷九年级数学（人教版）参考答案一、选择题（每小题3分，共30分）1．B 2．C 3．C 4．D 5．A 6．A 7．D 8．B 9．D 10．C二、填空题（每小题3分，共15分）11．相交12.4cm 13． 14． 15．－80三、解答题（本大题共8个小题，共75分）16．解：（1）．60ABC ∠=︒4AB =2c y x bx =-++()1,0A -()2,0B 2y x b c =-++P 'BAC EDC n ∠=∠=AD BC ∥AB =7AD =04x <<12249x x x -=-，．，．（2）．，．由此可得，，．17．解：（1）如图所示．（2）1：2．18．解：太阳光是平行光线，因此．由题意得，．，．m ，m ，（m ）．m ，m ，，m ．河南广播电视塔的高度为388m ．19．解：（1）∵点在直线上，．249x =294x =132x =-232x =2616x x -=269169x x -+=+()2325x -=35x -=±18x =22x =-111A B C △BCA FED ∠=∠AB AC ⊥DF AC ⊥ABC DFE ∴△△∽AB DF AC DE∴=120AD = 23CD =97AC AD CD ∴=-=0.4DE = 1.6DF =1.6970.4AB ∴=388AB ∴=∴()6,A a 213y x =-26133a ∴=⨯-=即点A 的坐标为．点A 在反比例函数的图象上，．反比例函数的表达式为．（2）当时，关于x 的不等式的解集为．20．解：（1）设y 关于x 的函数表达式为．把代入表达式，得，解得．．（2）该男生在此项考试中能得满分．理由：令，即，解得，（舍去）．，该男生在此项考试中能得满分．21．（1）证明：连接OD ．∵BD 平分，．，．．．，．∵点D 在上，DE 为的切线．（2）解：①如图，过点O 作，垂足为F ．()6,3k y x=6318k =⨯=∴∴18y x=0x >213k x x >-06x <<()254y a x =-+960,49⎛⎫ ⎪⎝⎭()29605449a =-+449a =-24(5)449y x ∴=--+0y =()2454049x --+=112x =22x =-1211.4> ∴ABE ∠ABD DBE ∴∠=∠OD OB = ODB ABD ∴∠=∠ODB DBE ∴∠=∠OD BC ∴∥DE BC ⊥ OD DE ∴⊥O ∴O OF BC ⊥，．，．．在Rt △OBF 中，由（1）得，，．四边形OFED 为矩形．．②．22．解：（1）将，代入，得解得lc =2．抛物线的解析式为．（2）设直线BC 的解析式为．由（1）中得，点C 的坐标为．将，代入，得，解得，直线BC 的解析式为．设点的坐标为，∵点P 与点关于x 轴对称，点P 的坐标为．∵点P 在抛物线上，．解得，．又∵点P 不与点B 重合，．．点P 的坐标为．4AB = 122B OB A ==∴60ABC ∠=︒ 30BOF ∴∠=︒112BF OB ∴==OF ===OD DE ∥DE BC ⊥90ODE E OFE ∴∠=∠=∠=︒∴DE OF ∴==2π3()1,0A -()2,0B 2y x bx c =-++10,420.b c b c --+=⎧⎨-++=⎩12b c =⎧⎨=⎩∴22y x x =-++y kx m =+22y x x =-++()0,2()2,0B ()0,2C y kx m =+202h m m +=⎧⎨=⎩12k m =-⎧⎨=⎩∴2y x =-＋P '(),2a a -+P '∴(),2a a -222a a a -=-++∴12a =22a =-2a ∴=-2224a ∴-=--=-∴()2,4--23．解：（1）①，②（2）①．理由如下：当时，，∵，．△ABC 与△DEC 为等腰直角三角形．．则，．，，．．．．②CE 的长为．BE AD =BE AD=BE =90n =︒90BAC EDC ∠=∠=︒AB AC =DE DC =∴45ACB ABC DCE DEC ∴∠=∠=∠=∠=︒BC ==EC ==DC AC EC BC ∴==45DCE DCB ECB ∠=∠+∠=︒45ACB ACD DCB ∠=∠+∠=︒DCA ECB ∴∠=∠DCA ECB ∴△△∽AD DC BE EC ∴==BE ∴=。

2023-2024学年江苏省南京市秦淮区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上）1．（2分）下列函数中，y与x之间的关系是二次函数的是（ ）A．y＝1﹣3x3B．y＝x2﹣5xC．y＝x4+2x2﹣1D．2．（2分）若⊙O的半径为2，在同一平面内，点P与圆心O的距离为1，则点P与⊙O的位置关系是（ ）A．点P在⊙O外B．点P在⊙O上C．点P在⊙O内D．无法确定3．（2分）某班5名学生的体重（单位：kg）分别为：51，53，47，51，60，则这组数据的众数与中位数分别是（ ）A．60kg，51kg B．51kg，47kg C．60kg，47kg D．51kg，51kg 4．（2分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A．等边三角形B．平行四边形C．正五边形D．正八边形5．（2分）一元二次方程﹣2（2x+1）2+a2＝0（a是常数，a≠0）的根的情况是（ ）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法确定有没有实数根6．（2分）如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为（2，0），（0，2），二次函数y＝x2﹣2ax+b（a，b是常数）的图象的顶点在线段AB上，则b的最小值为（ ）A．0B．C．D．2二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请7．（2分）一元二次方程x2﹣x＝0的根是 ．8．（2分）若x1，x2是一元二次方程2x2﹣7x+5＝0的两根，则x1+x2的值是 ．9．（2分）若△ABC内接于⊙O，∠AOB＝120°，则圆周角∠ACB的度数 ．10．（2分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点，若∠A＝80°，则∠DCE ＝ °．11．（2分）某产品原来每件成本是36元，连续两次降低成本后，现在成本是25元．设平均每次降低成本的百分率为x，可得方程 ．12．（2分）圆锥的底面半径为3cm，母线长为5cm，则圆锥的表面积为 cm2．13．（2分）杭州亚运会射箭比赛中，某运动员6箭的成绩（单位：环）依次是x1，x2，x3，x1+1，x2+2，x3+3．若前3箭的平均成绩为7环，则这6箭的平均成绩为 环．14．（2分）如图，点B，C在⊙O上，D为的中点，直径AD交BC于点E，AD＝6，，则DE的长为 ．15．（2分）在平面直角坐标系中，函数y＝x2﹣2x﹣3的图象与x轴交于点A，B，将函数y ＝x2﹣2x﹣3的图象向上平移，平移后的图象与x轴交于点C，D．若AB＝2CD，则平移后的图象对应的函数表达式为 ．16．（2分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别在BC，AC上，DE与△ABC 的内切圆O相切．若△ABC的面积是30，△CDE的周长是4，则AB的长为 ．三、解答题（本大题共11小题，共88分.请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（8分）解下列方程：（1）x2+2x﹣4＝0；（2）x（x﹣3）＝3﹣x．18．（6分）已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表：x…0123…y…5212…（1）求该二次函数的表达式；（2）若点A（﹣1，y1），B（4，y2）在这个函数的图象上，则y1 y2．（填“＞”“＜”或“＝”）19．（8分）如图，用篱笆围成一块矩形花圃，该花圃一侧靠墙，而且有一道隔栏（隔栏也用篱笆制作），已知所用篱笆的总长为24m，花圃的面积为45m2，墙的最大可用长度为10m，求边AB的长．20．（8分）如图，已知△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径，连接BD，CD，BC平分∠ABD．（1）求证∠CAD＝∠ABC；（2）若AD＝6，则AC的长为 ．21．（8分）一只不透明的袋子中装有1个白球和a个红球，这些球除颜色外都相同．已知从袋中任意摸出1个球是白球的概率是．（1）a的值是 ；（2）先从袋中任意摸出1个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球，求2次摸到的球颜色不同的概率．22．（8分）已知P是⊙O上一点，在⊙O上作两点A，B，使得∠APB分别满足以下条件：（1）在图①中，∠APB＝90°；（2）在图②中，∠APB＝30°．（说明：第（1）题只用无刻度的直尺作图，第（2）题只用圆规作图；保留作图痕迹，不写作法．）23．（8分）已知关于x的方程x2﹣（2m+2）x+m2+2m＝0．（1）求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有一个根为1，求m的值．24．（7分）2023年12月14日，一股冷空气开始影响我市，我市连续7天的天气情况如下：上述天气情况包括了每天的天气状况（如阴转小雨，小雨转多云等）、气温（如“5/17℃”指当天最低和最高气温分别是5℃和17℃）、风向和风级．（1）计算这7天最低气温的平均数和方差．（2）阅读冷空气等级标准表：序号等级冷空气来临的48小时内日最低气温变化情况①弱冷空气降温幅度小于6℃②中等强度冷空气降温幅度大于或等于6℃，但小于8℃③较强冷空气降温幅度大于或等于8℃且日最低气温超过8℃④强冷空气降温幅度大于或等于8℃，且日最低气温不超过8℃⑤寒潮降温幅度大于或等于10℃且日最低气温不超过4℃本次来临的冷空气的等级是 ．（填序号）（3）本次冷空气来临后，除导致气温下降外，还带来哪些天气情况的变化？请写出一个结论．25．（8分）2023年12月18日晚，甘肃省积石山县发生6.2级地震．“一方有难，八方支援”，某商家决定将后续一个月销售某商品获得的利润全部捐赠给灾区．已知购进该商品的成本为10元/件，当售价为12元时，平均每天可以卖出1200件．调查发现，该商品每涨价1元，平均每天少售出100件．当每件商品的售价是多少元时，该商家捐赠的金额最大？最大捐赠金额是多少？（一个月按30天计算）26．（9分）阅读下列内容：如果点P（a，b）在一次函数y＝x+1的图象上，那么点（2a，2b）一定在哪个函数的图象上呢？下面是解决问题的一种途径．所以点（2a，2b）一定在函数y＝x+2的图象上．根据阅读内容解决下列问题：（1）如果点P（a，b）在反比例函数的图象上，那么点（2a，2b）一定在哪个函数的图象上呢？填写下面的空格．（2）如果点P（a，b）在一次函数y＝2x的图象上，判断点（a+b，ab）一定在哪个函数的图象上？说明理由．27．（10分）如图，已知A，B是⊙O的2个三等分点，C是优弧AB上的一个动点（点C不与A，B两点重合），连接AB，BC，AC．D，E分别是，的中点，连接DE，分别交AC，BC于点F，G．（1）当点C运动到优弧AB的中点时，直接写出DE与AB的关系．（2）求证FG+AB＝AF+BG．（说明：第（2）题共5分，如果你觉得困难，可以在（1）的条件下证明，证明正确得2分．）（3）若I是AE，BD的交点，点O与点I的距离记为d．当AB＝6时，d取值范围是 ．2023-2024学年江苏省南京市秦淮区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上）1．（2分）下列函数中，y与x之间的关系是二次函数的是（ ）A．y＝1﹣3x3B．y＝x2﹣5xC．y＝x4+2x2﹣1D．【分析】根据二次函数的定义判断即可．【解答】解：A、y＝1﹣3x3，x的最高次数是3，不是二次函数，不符合题意；B、y＝x2﹣5x，是二次函数，符合题意；C、y＝x4+2x2﹣1，x的最高次数是4，不是二次函数，不符合题意；D、y＝，不是二次函数，不符合题意．故选：B．2．（2分）若⊙O的半径为2，在同一平面内，点P与圆心O的距离为1，则点P与⊙O的位置关系是（ ）A．点P在⊙O外B．点P在⊙O上C．点P在⊙O内D．无法确定【分析】根据点P到圆心的距离与圆的半径比较大小即可得出结论．【解答】解：∵⊙O的半径为2，在同一平面内，点P与圆心O的距离为1，1＜2，∴点P与⊙O的位置关系是：点P在⊙O内，故选：C．3．（2分）某班5名学生的体重（单位：kg）分别为：51，53，47，51，60，则这组数据的众数与中位数分别是（ ）A．60kg，51kg B．51kg，47kg C．60kg，47kg D．51kg，51kg【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个；找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数．【解答】解：众数是一组数据中出现次数最多的数，在这一组数据中51出现了1次，次数最多，故众数是51kg；将这组数据从小到大的顺序排列为：47，51，51，53，60，处于中间位置的那个数是51，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是51kg．4．（2分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A．等边三角形B．平行四边形C．正五边形D．正八边形【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意．故选：D．5．（2分）一元二次方程﹣2（2x+1）2+a2＝0（a是常数，a≠0）的根的情况是（ ）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法确定有没有实数根【分析】根据一元二次方程根的判别式解答即可．【解答】解：一元二次方程﹣2（2x+1）2+a2＝0可化为﹣8x2﹣8x+a2﹣2＝0，∵a＝﹣8，b＝﹣8，c＝a2﹣2，a≠0，∴Δ＝（﹣8）2﹣4×（﹣8）×（a2﹣2）＝64+32a2﹣64＝32a2＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：A．6．（2分）如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为（2，0），（0，2），二次函数y＝x2﹣2ax+b（a，b是常数）的图象的顶点在线段AB上，则b的最小值为（ ）A．0B．C．D．2【分析】先用a，b表示出二次函数图象的顶点坐标，再结合该顶点在线段AB上即可解【解答】解：∵二次函数解析式为y＝x2﹣2ax+b（a，b是常数），∴顶点坐标为（a，﹣a2+b）．又∵A（2，0），B（0，2），∴直线AB的函数解析式为y＝﹣x+2．∵二次函数图象的顶点在线段AB上，∴﹣a2+b＝﹣a+2，且0≤a≤2，则b＝a2﹣a+2＝（）2+，∴当a＝时，b有最小值为．故选：C．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请7．（2分）一元二次方程x2﹣x＝0的根是　x1＝0，x2＝1　．【分析】方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．【解答】解：方程变形得：x（x﹣1）＝0，可得x＝0或x﹣1＝0，解得：x1＝0，x2＝1．故答案为：x1＝0，x2＝1．8．（2分）若x1，x2是一元二次方程2x2﹣7x+5＝0的两根，则x1+x2的值是 ．【分析】直接利用根与系数的关系求解．【解答】解：根据根与系数的关系得x1+x2＝﹣＝．故答案为：．9．（2分）若△ABC内接于⊙O，∠AOB＝120°，则圆周角∠ACB的度数　60°或120°　．【分析】分点C在优弧和劣弧上两种情况，当点C在优弧上时，可直接利用圆周角定理得到∠ACB是∠AOB的一半，当点C在劣弧上时，可以优弧上找点D，则可求得∠ADB 是∠AOB的一半，再利用圆内接四边形的性质可求得∠ACB【解答】解：如图1，当点C在优弧上时，则∠ACB＝∠AOB＝60°；如图2，当点C在劣弧上时，在优弧上找点D，连接DA、DB，则可得∠ADB＝∠AOB＝60°，又∵四边形ACBD为圆的内接四边形，∴∠ADB+∠ACB＝180°，∴∠ACB＝180°﹣60°＝120°，∴∠ACB的度数是60°或120°；故答案为：60°或120°．10．（2分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点，若∠A＝80°，则∠DCE ＝　80　°．【分析】利用圆内接四边形的对角互补和邻补角的性质求解．【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠A+∠DCB＝180°，又∵∠DCE+∠DCB＝180°∴∠DCE＝∠A＝80°故答案为：80．11．（2分）某产品原来每件成本是36元，连续两次降低成本后，现在成本是25元．设平均每次降低成本的百分率为x，可得方程　36（1﹣x）2＝25　．【分析】根据某产品原来每件成本是36元，连续两次降低成本后，现在成本是25元，可以列出相应的方程．【解答】解：由题意可得，36（1﹣x）2＝25，故答案为：36（1﹣x）2＝25．12．（2分）圆锥的底面半径为3cm，母线长为5cm，则圆锥的表面积为　15π　cm2．【分析】圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2．【解答】解：底面圆的半径为3cm，则底面周长＝6πcm，侧面面积＝×6π×5＝15π（cm2）．故答案为：15π．13．（2分）杭州亚运会射箭比赛中，某运动员6箭的成绩（单位：环）依次是x1，x2，x3，x1+1，x2+2，x3+3．若前3箭的平均成绩为7环，则这6箭的平均成绩为　8　环．【分析】根据前3箭的平均成绩为7环，可以得到前三箭的总环数，从而可以得到这六箭的总环数，从而可以得到平均成绩．【解答】解：由题意可得，x1+x2+x3＝3×7＝21，∴（x1+x2+x3+x1+1+x2+2+x3+3）÷6＝48÷6＝8（环），即这6箭的平均成绩为8环，故答案为：8．14．（2分）如图，点B，C在⊙O上，D为的中点，直径AD交BC于点E，AD＝6，，则DE的长为　3﹣　．【分析】连接OB，根据圆心角、弦、弧的关系推出AD⊥BC，根据垂径定理求出BE＝BC＝，再根据勾股定理求解即可．【解答】解：如图，连接OB，∵D为的中点，直径AD交BC于点E，∴AD⊥BC，∴BE＝BC＝，∵AD＝6，∴OB＝OD＝3，在Rt△BOE中，OB2＝OE2+BE2，∴32＝OE2+，∴OE＝或OE＝﹣（舍去），∴DE＝OD﹣OE＝3﹣，故答案为：3﹣．15．（2分）在平面直角坐标系中，函数y＝x2﹣2x﹣3的图象与x轴交于点A，B，将函数y ＝x2﹣2x﹣3的图象向上平移，平移后的图象与x轴交于点C，D．若AB＝2CD，则平移后的图象对应的函数表达式为　y＝x2﹣2x　．【分析】先解方程x2﹣2x﹣3＝0得到A（﹣1，0），B（3，0），则AB＝4，所以CD＝2，由于函数y＝x2﹣2x﹣3的图象向上平移时对称轴不变，对称轴为直线x＝1，而C、D关于直线x＝1对称，所以C（0，0），D（2，0），然后利用交点式写出平移后抛物线的解析式．【解答】解：当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝3，x2＝﹣1，∴A（﹣1，0），B（3，0），∴AB＝3﹣（﹣1）＝4，∵AB＝2CD，∴CD＝2，∵函数y＝x2﹣2x﹣3的图象向上平移时对称轴不变，仍然为直线x＝1，∴C（0，0），D（2，0），∴平移后抛物线的解析式为y＝x（x﹣2），即y＝x2﹣2x．故答案为：y＝x2﹣2x．16．（2分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别在BC，AC上，DE与△ABC 的内切圆O相切．若△ABC的面积是30，△CDE的周长是4，则AB的长为　13　．【分析】过点分别作OF⊥AB于点F，OG⊥BC于点G，OH⊥AC于点H，根据切线长定理得到AF＝AH，BF＝BG，CG＝CH，ME＝HE，MD＝GD，由△CDE的周长是4求出CG＝CH＝2，设BG＝BF＝x，AF＝AH＝y，则AB＝x+y，BC＝x+2，AC＝y+2，根据勾股定理得到xy＝2（x+y）+4①，根据三角形的面积公式得到xy＝60﹣2（x+y）②，①②求得x+y即可．【解答】解：过点分别作OF⊥AB于点F，OG⊥BC于点G，OH⊥AC于点H，∵⊙O是△ABC的内切圆，∴AF＝AH，BF＝BG，CG＝CH，∵DE与⊙O相切，设切点为M，∴ME＝HE，MD＝GD，∵△CDE的周长是4，CG+CH＝4，∴CG＝CH＝2，设BG＝BF＝x，AF＝AH＝y，则AB＝x+y，BC＝x+2，AC＝y+2，∵∠ACB＝90°，∴AB2＝BC2+AC2，∴（x+y）2＝（x+2）2+（y+2）2，化简得xy＝2（x+y）+4①，∵△ABC的面积是30，∴BC•AC＝30，∴（x+2）（y+2）＝60，∴xy＝60﹣2（x+y）②，由①②得x+y＝13，∴AB＝13．故答案为：13．三、解答题（本大题共11小题，共88分.请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（8分）解下列方程：（1）x2+2x﹣4＝0；（2）x（x﹣3）＝3﹣x．【分析】（1）利用配方法得到（x+1）2＝5，然后利用直接开平方法解方程；（2）先移项，再利用因式分解法把方程转化为x﹣3＝0或x+1＝0，然后解两个一次方程即可．【解答】解：（1）x2+2x﹣4＝0，x2+2x＝4，x2+2x+1＝5，（x+1）2＝5，x+1＝±，所以x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣；（2）x（x﹣3）＝3﹣x，x（x﹣3）+x﹣3＝0，（x﹣3）（x+1）＝0，x﹣3＝0或x+1＝0，所以x1＝3，x2＝﹣1．18．（6分）已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表：x…0123…y…5212…（1）求该二次函数的表达式；（2）若点A（﹣1，y1），B（4，y2）在这个函数的图象上，则y1　＞　y2．（填“＞”“＜”或“＝”）【分析】（1）用待定系数法即可解决问题．（2）分别求出y1和y2即可解决问题．【解答】解：（1）由题知，将点（0，5），（1，2），（2，1）分别代入函数表达式得，，解得，所以该二次函数表达式为y＝x2﹣4x+5．（2）当x＝﹣1时，；当x＝4时，；∴y1＞y2．故答案为：＞．19．（8分）如图，用篱笆围成一块矩形花圃，该花圃一侧靠墙，而且有一道隔栏（隔栏也用篱笆制作），已知所用篱笆的总长为24m，花圃的面积为45m2，墙的最大可用长度为10m，求边AB的长．【分析】设边AB边的长为x m，根据花圃的面积为45m2，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．【解答】解：设边AB边的长为x m，由题意得：x（24﹣3x）＝45，整理得：x2﹣8x+15＝0，解得：x1＝3（不符合题意，舍去），x2＝5，答：边AB的长为5m．20．（8分）如图，已知△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径，连接BD，CD，BC平分∠ABD．（1）求证∠CAD＝∠ABC；（2）若AD＝6，则AC的长为　3　．【分析】（1）由角平分线的性质和圆周角定理可得∠DBC＝∠ABC＝∠CAD；（2）由圆周角定理可得，由弧长公式可求解．【解答】（1）证明：∵BC平分∠ABD，∴∠DBC＝∠ABC，∵∠CAD＝∠DBC，∴∠CAD＝∠ABC；（2）解：∵∠CAD＝∠ABC，∴＝，∴AC＝CD，∵AD是⊙O的直径，AD＝6，∴∠ACD＝90°，在Rt△ACD中，2AC2＝AD2＝62，解得：AC＝3．故答案为：3．21．（8分）一只不透明的袋子中装有1个白球和a个红球，这些球除颜色外都相同．已知从袋中任意摸出1个球是白球的概率是．（1）a的值是　2　；（2）先从袋中任意摸出1个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球，求2次摸到的球颜色不同的概率．【分析】（1）直接利用概率公式可得答案．（2）列表可得出所有等可能的结果数以及2次摸到的球颜色不同的结果数，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：∵从袋中任意摸出1个球是白球的概率是，∴，解得a＝2，经检验，a＝2是原方程的解且符合题意．故答案为：2．（2）列表如下：白红红白（白，白）（白，红）（白，红）红（红，白）（红，红）（红，红）红（红，（红，（红，白）红）红）共有9种等可能的结果，其中2次摸到的球颜色不同的结果有4种，∴2次摸到的球颜色不同的概率为．22．（8分）已知P是⊙O上一点，在⊙O上作两点A，B，使得∠APB分别满足以下条件：（1）在图①中，∠APB＝90°；（2）在图②中，∠APB＝30°．（说明：第（1）题只用无刻度的直尺作图，第（2）题只用圆规作图；保留作图痕迹，不写作法．）【分析】（1）过O点画直线交⊙O于点A、B，则根据圆周角定理得到∠APB满足条件；（2）任取点A，以A为圆心，AO为半径画弧交⊙O于点B，则△AOB为等边三角形，所以∠AOB＝60°，然后根据圆周角定理得到∠APB满足条件．【解答】解：（1）如图①，∠APB为所作；（2）如图②，∠APB为所作；23．（8分）已知关于x的方程x2﹣（2m+2）x+m2+2m＝0．（1）求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有一个根为1，求m的值．【分析】（1）先求出Δ的值，再判断出其符号即可；（2）把x＝1代入方程，求出m的值即可．【解答】（1）证明：方程x2﹣（2m+2）x+m2+2m＝0中，∵a＝1，b＝﹣（2m+2），c＝m2+2m，∴Δ＝[﹣（2m+2）]2﹣4×1×（m2+2m）＝4＞0，∴无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）∵方程有一个根为1，∴12﹣（2m+2）×1+m2+2m＝0，即m2﹣1＝0，∴m＝±1．24．（7分）2023年12月14日，一股冷空气开始影响我市，我市连续7天的天气情况如下：上述天气情况包括了每天的天气状况（如阴转小雨，小雨转多云等）、气温（如“5/17℃”指当天最低和最高气温分别是5℃和17℃）、风向和风级．（1）计算这7天最低气温的平均数和方差．（2）阅读冷空气等级标准表：序号等级冷空气来临的48小时内日最低气温变化情况①弱冷空气降温幅度小于6℃②中等强度冷空气降温幅度大于或等于6℃，但小于8℃③较强冷空气降温幅度大于或等于8℃且日最低气温超过8℃④强冷空气降温幅度大于或等于8℃，且日最低气温不超过8℃⑤寒潮降温幅度大于或等于10℃且日最低气温不超过4℃本次来临的冷空气的等级是　⑤　．（填序号）（3）本次冷空气来临后，除导致气温下降外，还带来哪些天气情况的变化？请写出一个结论．【分析】（1）根据平均数和方差的定义列式计算即可；（2）对照表格可得答案；（3）参照天气情况图可得答案．【解答】解：（1）这7天最低气温的平均数＝4（℃），方差为×[（17﹣4）2+（5﹣4）2+（0﹣4）2+（0﹣4）2+（2﹣4）2+（6﹣4）2+（﹣2﹣4）2]＝；（2）由题意知，本次来临的冷空气的等级是⑤，故答案为：⑤；（3）本次冷空气来临后，除导致气温下降外，还带来雨雪．25．（8分）2023年12月18日晚，甘肃省积石山县发生6.2级地震．“一方有难，八方支援”，某商家决定将后续一个月销售某商品获得的利润全部捐赠给灾区．已知购进该商品的成本为10元/件，当售价为12元时，平均每天可以卖出1200件．调查发现，该商品每涨价1元，平均每天少售出100件．当每件商品的售价是多少元时，该商家捐赠的金额最大？最大捐赠金额是多少？（一个月按30天计算）【分析】依据题意，设每件商品的售价是x元，先求出每天的利润为w＝（x﹣10）[1200﹣100（x﹣12）]＝（x﹣10）（2400﹣100x）＝﹣100（x﹣17）2+4900，再由二次函数的性质进行判断可以得解．【解答】解：由题意，设每件商品的售价是x元，∴每天的利润为w＝（x﹣10）[1200﹣100（x﹣12）]＝（x﹣10）（2400﹣100x）＝﹣100x2+3400x﹣24000＝﹣100（x﹣17）2+4900．∴当每件商品的售价是17元时，利润最大为4900元．∴每月最大利润为147000元．答：当每件商品的售价是17元时，该商家捐赠的金额最大，最大捐赠金额是147000元．26．（9分）阅读下列内容：如果点P（a，b）在一次函数y＝x+1的图象上，那么点（2a，2b）一定在哪个函数的图象上呢？下面是解决问题的一种途径．所以点（2a，2b）一定在函数y＝x+2的图象上．根据阅读内容解决下列问题：（1）如果点P（a，b）在反比例函数的图象上，那么点（2a，2b）一定在哪个函数的图象上呢？填写下面的空格．（2）如果点P（a，b）在一次函数y＝2x的图象上，判断点（a+b，ab）一定在哪个函数的图象上？说明理由．【分析】（1）根据点P（a，b）在反比例函数的图象上，得ab＝2，对于点（2a，2b），则x＝2a，y＝2b，则xy＝4ab＝8，由此可得出答案；（2）根据点P（a，b）在一次函数y＝2x的图象上，得b＝2a，对于（a+b，ab），则x＝a+b＝3a，y＝ab＝2a2，进而得得，由此可得出结论．【解答】解：（1）∵点P（a，b）在反比例函数的图象上，∴ab＝2，对于点（2a，2b），则x＝2a，y＝2b，∴xy＝4ab，将ab＝2代入xy＝4ab，得xy＝8，即，∴点（2a，2b）一定在这个函数的图象上；如下图所示：（2）点（a+b，ab）一定在这个函数的图象上，理由如下：∵点P（a，b）在一次函数y＝2x的图象上，∴b＝2a，对于（a+b，ab），则x＝a+b＝3a，y＝ab＝2a2，∵x＝3a，∴，∴．∴点（a+b，ab）一定在这个函数的图象上．27．（10分）如图，已知A，B是⊙O的2个三等分点，C是优弧AB上的一个动点（点C不与A，B两点重合），连接AB，BC，AC．D，E分别是，的中点，连接DE，分别交AC，BC于点F，G．（1）当点C运动到优弧AB的中点时，直接写出DE与AB的关系．（2）求证FG+AB＝AF+BG．（说明：第（2）题共5分，如果你觉得困难，可以在（1）的条件下证明，证明正确得2分．）（3）若I是AE，BD的交点，点O与点I的距离记为d．当AB＝6时，d取值范围是　0≤d＜2　．【分析】（1）当点C运动到优弧AB的中点时，连接AD，AE，BE，利用同圆中等弧所对的圆周角相等可以推导出DE∥AB，再证明四边形ABED是矩形可以得出DE＝AB；（2）在条件（1）下，连接CE，根据圆周角相等和等腰三角形可以推导出BG＝2FG，最后推导出FG+AB＝AF+BG；（3）根据点C的运动轨迹就可以推导出d的取值范围．【解答】解：（1）当点C运动到优弧AB的中点时，DE∥AB且DE＝AB，连接AD，BE，AE，CE，∵A，B是⊙O的2个三等分点，∴＝＝，∴AB＝AC＝BC，∴△ABC是等边三角形，又∵D，E分别是，的中点，∴＝＝＝，∴∠DEA＝∠EAB＝∠DEC＝∠CBE＝∠DAC＝∠CED＝∠ECB＝30°，∴DE∥AB，∴∠DAB＝∠EBA＝90°，∴DA⊥AB，EB⊥AB，∴四边形ABED是矩形，∴AB＝DE；证明：（2）在（1）的条件下，∵∠ACB＝60°，FG∥AB，∴∠CFG＝∠CGF＝60°，∴△CFG为等边三角形，∴CF＝FG＝CG，又∵∠CED＝∠ECB＝30°，∴CG＝GE，∵在△GEB中，∠GBE＝30°，∠GEB＝90°，∴BG＝2GE＝2FG，∵AB＝AF+CF，∴AB+FG＝AF+CF+FG＝AF+BG；解：（3）连接OB，作OM⊥AB，∵当点C运动到优弧AB的中点时，此时AE，BD的交点I与圆心O重回，∴点O与点I的距离d为0，∵A，B是⊙O的2个三等分点，∴劣弧对的圆心角为120°，∴∠OBM＝30°，又∵AB＝6，∴OB＝2，∵OI≤OB+IB，∴当点C运动到点A或点B时，OI＝OB＝2，∵点C不与A，B两点重合，∴OI＜2，∴0≤d＜2，故答案为：0≤d＜2．。

2023/2024学年度第一学期期末学业质量检测九年级数学试卷注意事项：1.本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷.2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分。

3.答题前，务必将姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上.一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分）1.下列方程属于一元二次方程的是（）A. B. C. D.2.二次函数的顶点坐标是（ ）A. B. C. D.3.已知的半径为4，点到圆心的距离为4.5，则点与的位置关系是（ ）A.在圆内B.在圆上C.在圆外D.无法确定4.学校组织才艺表演比赛，前5名获奖.有11位同学参加比赛且他们所得的分数互不相同.某同学知道自己的比赛分数后，要判断自己能否获奖，在这11名同学成绩的统计量中只需知道一个量，它是（ ）A.众数B.方差C.中位数D.平均数5.已知与分别为方程的两根，则的值等于（ ）A. B.2C.D.6.如图，点、、在上，，则的度数是（ ）A. B. C. D.7.如图，下列条件中不能判定的是（）A.B. C. D.321x x+=210x x +-=30x -=140x x+-=2(2)3y x =+-(2,3)-(2,3)--(2,3)(2,3)-O P O P O P P P 1x 2x 2230x x +-=12x x +2-32-32A B C O 30ACB ︒∠=AOB ∠30︒40︒60︒65︒ACD ABC △∽△AB ADBC CD=ADC ACB ∠=∠ACD B ∠=∠2AC AD AB=⋅8.设，，是抛物线上的三点，，，的大小关系为（ ）A. B. C. D.二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）9.在比例尺为的扬州旅游地图上，某条道路的长为，则这条道路实际长________.10.转盘中6个扇形的面积相等，任意转动转盘一次，当转盘停止转动，指针落在扇形中的数小于5的概率是________.11.如图，四边形是的内接四边形，的半径为2，，则的长为________.12.如图，在中，中线、相交于点，，则的长为________.13.科学家发现，蝴蝶的身体长度与它展开的双翅的长度之比是黄金比，已知蝴蝶展开的双翅的长度是，则蝴蝶身体的长度为________（结果保留根号）。

张卡片，除所标注文字不同外无其他差别．其中，写有“珍稀濒危植．随机摸出一张卡片写有“珍的扇形作圆锥的侧面，记扇形的半径为R，所在一定范围内变化时，l与S都随R的变第12题图第14题图试题13．某科技公司开展技术研发，在相同条件下，对运用新技术生产的一批产品的合格率进行检测，下表是检测过程中的一组统计数据：估计这批产品合格的产品的概率为．14．如图，AB 是半圆O 的直径，将半圆O 绕点A 逆时针旋转30°，点B 的对应点为B '，连接A B '，若AB ＝8，则图中阴影部分的面积是_______.15．对于向上抛的物体，在没有空气阻力的条件下，上升高度h ，初速度v ，抛出后所经历的时间t ，这三个量之间有如下关系：221gt vt h -=（其中 g 是重力加速度，g 取10m/s 2）．将一物体以v=21m/s 的初速度v 向上抛，当物体处在离抛出点18m 高的地方时，t 的值为 ．16．已知函数y 1＝kx ＋4k －2（k 是常数，k ≠0），y 2＝ax 2＋4ax －5a （a 是常数，a ≠0），在同一平面直角坐标系中，若无论k 为何值，函数y 1和y 2的图象总有公共点，则a 的取值范围是_______.三、解答题（共68分，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．解方程x 2-1 =6x ．18．关于x 的一元二次方程x 2-(m +4)x +3(m +1)=0 ．（1）求证：该方程总有两个实数根；（2）若该方程有一根小于0，求m 的取值范围．抽取的产品数n 5001000150020002500300035004000合格的产品数m 476967143119262395288333673836合格的产品频率nm0.9520.9670.9540.9630.9580.9610.9620.959图2图3图1图1 图2试题北京市朝阳区2023～2024学年度第一学期期末检测九年级数学试卷参考答案及评分标准(选用)2024.1一、选择题（共16分，每题2分）题号12345678答案DABCACAC二、填空题（共16分，每题2分）三、解答题（共68分，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，27-28题，每题7分）17．解：方程化为x 2 -6x =1．x 2 -6x+9 =10．1032=-）（x ．103±=-x ．1031+=x ，1032-=x ．18．（1）证明:依题意，得=[-(m +4)]2-4×3(m +1) =(m -2)2．∵(m -2)2≥0，∴0≥∆∴该方程总有两个实数根．（2）解：解方程，得x =．∴x 1= m +1，x 2=3．依题意，得m +1<0．∴m <-1．19．解：（1）根据题意，设该二次函数的解析式为 y 2=a (x -1)2+4．当x =0时，y 2 =3∴a =-1．∴y 2=-x 2+2x +3．题号9101112答案x 1=3，x 2=-3相切（1，3）140题号13141516答案答案不唯一，如0.9593438+π1.2或3a ＜0或a ≥52线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.由题意可知，抛物线顶点C ），（9254．设抛物线对应的函数解析式)4(2+-=x a y试题26. 解：（1）由题意知，a +b +c = 9a +3b +c .∴b = -4a .∴22=-=a b t . （2）∵a >0，∴当x ≥t 时，y 随x 的增大而增大；当x ≤t 时，y 随x 的增大而减小.设抛物线上的四个点的坐标为A (t -1，m A ) ，B （t ，m B ），C （2，n C ），D （3，n D ）.点A 关于对称轴x =t 的对称点为A'（t +1，m A ）∵抛物线开口向上，点B 是抛物线顶点，∴m A ＞m B .ⅰ 当t ≤1时，n C < n D∴t +1≤2.∴m A ≤n C ，∴不存在m ＞n ，不符合题意.ⅱ 当1<t ≤2时，n C < n D∴2<t ＋1≤3.∴m A ＞n C .∴存在m ＞n ，符合题意.ⅲ当2<t ≤3时，∴n 的最小值为m B .∵m A ＞m B .. ∴存在m ＞n ，符合题意.ⅳ 当3<t <4时，n D <n C .∴2<t －1＜3.∴m A ＞n D .∴存在m ＞n ，符合题意.ⅴ 当t ≥4时，n D <n C .∴t -1≥3.∴m A ≤n D ，∴不存在m ＞n ，不符合题意.综上所述，t 的取值范围是1<t <4.）解：补全图1，如图.证明：延长AF到点G，使得GF=AF，连接，连接GE并延长，与AB的延长。

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题(每小题3分,共30分)1．帅帅收集了南街米粉店今年6月1日至6月5日每天的用水量(单位：吨)，整理并绘制成如下折线统计图．下列结论正确的是( )A ．极差是6B ．众数是7C ．中位数是5D ．方差是82．关于x 的一元二次方程x 2﹣mx ﹣3＝0的一个解为x ＝﹣1，则m 的值为（ ）A ．﹣2B ．2C ．5D ．﹣43．如图，点D 是△ABC 的边AB 上的一点，过点D 作BC 的平行线交AC 于点E ，连接BE ，过点D 作BE 的平行线交AC 于点F ，则下列结论错误的是（ ）A ．AD AE BD EC =B ．AF DF AE BE =C ．AE AF EC FE =D ．DE AF BC FE= 4．下面的图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．5．一件商品的原价是100元，经过两次降价后价格为81元，设每次降价的百分比都是x ，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ）A ．()21001x 81? +=B ．()21001x 81? -=C ．()1001x 81?+=D ．()1001x 81-=6．在平面直角坐标系中，点（-2，6）关于原点对称的点的坐标是（ ）A ．(2，-6)B ．(-2，6)C ．(-6，2)D ．(-6，2)7．下列四个三角形，与左图中的三角形相似的是（ ）．A ．B ．C ．D ．8．在ABC ∆中，90C ∠=︒，点D ，E 分别是边AC ，BC 的中点，点F 在ABC ∆内，连接DE ，EF ，FD ．以下图形符合上述描述的是（ ）A ．B ．C ．D ．9．下列函数，当0x >时，y 随着x 的增大而减小的是（ ）A ．21y x =+B ．6y x =-C ．23y x =+D ．22y x x =--10．在一个晴朗的上午，小丽拿着一块矩形木板在阳光下做投影实验，矩形木板在地面上形成的投影不可能是（ ） A ．B ．C ．D ．二、填空题(每小题3分,共24分)11．抛物线y ＝12（x ﹣2）2的顶点坐标是_____． 12．方程（x ﹣1）2=4的解为_____．13．某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，则这种植物每个支干长出______个小分支．14．如图，在Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，且3BA =，4AC =，点D 是斜边BC 上的一个动点，过点D 分别作DM AB ⊥于点M ，DN AC ⊥于点N ，连接MN ，则线段MN 的最小值为________．15．如图是由一些完全相同的小正方体组成的几何体的主视图、俯视图和左视图，则组成这个几何体的小正方体的个数是___________个.16．把一个小球以20米/秒的速度竖直向上弹出，它在空中的高度h （米）与时间t （秒），满足关系：h=20t-5t 2，当小球达到最高点时，小球的运动时间为第_________秒时．17．如图，二次函数()(202)y x x x =-≤≤的图象记为1C ，它与x 轴交于点O ，1A ；将1C 绕点1A 旋转180°得2C ，交x 轴于点2A ；将2C 绕点2A 旋转180°得3C ，交x 轴于点3A ；……如此进行下去，得到一条“波浪线”.若(2020,)P m 在这条“波浪线”上，则m =____.18．某服装店搞促销活动，将一种原价为56元的衬衣第一次降价后，销售量仍然不好，又进行第二次降价，两次降价的百分率相同，现售价为31.5元，设降价的百分率为x ，则列出方程是______________．三、解答题(共66分)19．（10分）为落实立德树人的根本任务，加强思改、历史学科教师的专业化队伍建设．某校计划从前来应聘的思政专业（一名研究生，一名本科生）、历史专业（一名研究生、一名本科生）的高校毕业生中选聘教师，在政治思想审核合格的条件下，假设每位毕业生被录用的机会相等（1）若从中只录用一人，恰好选到思政专业毕业生的概率是 ：（2）若从中录用两人，请用列表或画树状图的方法，求恰好选到的是一名思政研究生和一名历史本科生的概率．20．（6分）某小学为每个班级配备了一种可以加热的饮水机，该饮水机的工作程序是：放满水后，接通电源，则自动开始加热，每分钟水温上升10℃，待加热到100℃，饮水机自动停止加热，水温开始下降，水温y （℃）和通电时间x （min ）成反比例关系，直至水温降至室温，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温为20℃，接通电源后，水温和时间的关系如下图所示，回答下列问题：（1）分别求出当0≤x ≤8和8＜x ≤a 时，y 和x 之间的关系式；（2）求出图中a 的值；（3）李老师这天早上7：30将饮水机电源打开，若他想再8：10上课前能喝到不超过40℃的开水，问他需要在什么时间段内接水．21．（6分）解方程：（1）2410x x -=+（2）2(2)3(2)0x x x ---=22．（8分）如图，四边形ABCE 内接于O ，AB 是O 的直径，点D 在AB 的延长线上，延长AE 交BC 的延长线于点F ，点C 是BF 的中点，BCD CAE ∠=∠．（1）求证：CD 是O 的切线；（2）求证：CEF ∆是等腰三角形；（3）若1BD =，2CD =，求cos CBA ∠的值及EF 的长．23．（8分）已知，如图，点E 在平行四边形ABCD 的边CD 上，且12DECE =，设AB a =，AD b =．（1）用a 、b 表示AE ；（直接写出答案）（2）设AE c =，在答题卷中所给的图上画出3a c -的结果．24．（8分）如图，一次函数y kx b =+的图象与反比例函数m y x=图象交于A （-2，1），B （1，n ）两点． （1）求m ，n 的值； （2）当一次函数的值大于反比例函数的值时，请写出自变量x 的取值范围．25．（10分）（1）计算：1032sin 302020-+-；（2）解方程：x 2+3x —4=0.26．（10分）如图，二次函数y ＝x 2+bx+c 的图象与x 轴相交于点A 、B 两点，与y 轴相交于点C(0，﹣3)，抛物线的对称轴为直线x ＝1．（1）求此二次函数的解析式；（2）若抛物线的顶点为D ，点E 在抛物线上，且与点C 关于抛物线的对称轴对称，直线AE 交对称轴于点F ，试判断四边形CDEF 的形状，并证明你的结论．参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、D【分析】根据极差、众数、中位数及方差的定义，依次计算各选项即可作出判断．【详解】解：由图可知，6月1日至6月5日每天的用水量是：5，7，11，3，1．A ．极差1138=-=，结论错误，故A 不符合题意；B ．众数为5，7，11，3，1，结论错误，故B 不符合题意；C ．这5个数按从小到大的顺序排列为：3，5，7，1，11，中位数为7，结论错误，故C 不符合题意；D ．平均数是()57113957++++÷=，方差()()()()()2222221577711737975S ⎡⎤=-+-+-+-+-⎣⎦8=．结论正确，故D 符合题意．故选D ．【点睛】本题考查了折线统计图，重点考查了极差、众数、中位数及方差的定义，根据图表准确获取信息是解题的关键． 2、B【分析】把x ＝﹣1代入方程x 1﹣mx ﹣3＝0得1+m ﹣3＝0，然后解关于m 的方程即可．【详解】解：把x ＝﹣1代入方程x 1﹣mx ﹣3＝0得1+m ﹣3＝0，解得m ＝1．故选：B ．【点睛】本题主要考查对一元二次方程的解，解一元一次方程，等式的性质等知识点的理解和掌握3、D【分析】由平行线分线段成比例和相似三角形的性质进行判断.【详解】∵DE //BC ，∴AD AE BD EC= ，故A 正确； ∵DF //BE ，∴△ADF ∽△ABF , ∴AF DF AE BE=，故B 正确； ∵DF //BE ，∴ AD AF BD FE =，∵AD AE BD EC= ，∴AE AF EC FE =，故C 正确； ∵DE //BC ，∴△ADE ∽△ABC ,∴DE AD BC AB =，∵DF //BE ，∴AF AD AE AB =，∴DE AF BC AE =，故D 错误. 故选D.【点睛】本题考查平行线分线段成比例性质，相似三角形的性质，由平行线得出比例关系是关键.4、D【解析】分析：根据轴对称图形和中心对称图形的定义判断即可.详解：A. 不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；B. 不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；C. 是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误；D. 是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项正确．故选D.点睛：考查轴对称图形和中心对称图形的定义，熟记它们的概念是解题的关键.5、B【分析】原价为100，第一次降价后的价格是100×（1-x），第二次降价是在第一次降价后的价格的基础上降价的，第二次降价后的价格为：100×（1-x）×（1-x）=100（1-x）2，则可列出方程．【详解】设平均每次降价的百分比为x，根据题意可得：100（1-x）2=81故选：B．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的增长率问题，需注意第二次降价是在第一次降价后的价格的基础上降价的．6、A【分析】根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得答案．【详解】解：点A（-2，6）关于原点对称的点的坐标是（2，-6），故选：A．【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，利用关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数是解题关键．7、B【分析】本题主要应用两三角形相似的判定定理，三边对应成比例，做题即可．【详解】解：设单位正方形的边长为1，．A、三角形三边分别是2，，与给出的三角形的各边不成比例，故A选项错误；B、三角形三边2，4，B选项正确；C、三角形三边2，3C选项错误；D4，与给出的三角形的各边不成正比例，故D选项错误．故选：B．【点睛】此题考查了相似三角形的判定，注意三边对应成比例的两三角形相似．8、C【解析】依次在各图形上查看三点的位置来判断;或用排除法来排除错的，选择正确也可以．【详解】根据点F 在ABC ∆内，则A 、B 都不符合描述,排除A 、B ；又因为点D ，E 分别是边AC ，BC 的中点，选项D 中点D 在BC 上不符合描述，排除D 选项，只有选项C 符合描述．故选：C【点睛】本题考查了根据数学语言描述来判断图形.9、D【分析】根据各个选项中的函数解析式，可以判断出当x ＞0时，y 随x 的增大如何变化，从而可以解答本题．【详解】在y ＝2x ＋1中，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，故选项A 不符合题意； 在6y x=-中，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，故选项B 不符合题意； 在23y x =+中，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，故选项C 不符合题意；在y ＝−x 2−2x ＝−（x ＋1）2＋1中，当x ＞0时，y 随x 的增大而减小，故选项D 符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查一次函数的性质、反比例函数的性质、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，可以判断出当x ＞0时，y 随x 的增大如何变化．10、A【解析】解：将矩形木框立起与地面垂直放置时，形成B 选项的影子；将矩形木框与地面平行放置时，形成C 选项影子；将木框倾斜放置形成D 选项影子；根据同一时刻物高与影长成比例，又因矩形对边相等，因此投影不可能是A 选项中的梯形，因为梯形两底不相等． 故选A ．二、填空题(每小题3分,共24分)11、（2，0）．【分析】已知条件的解析式是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点，直接写出顶点坐标.【详解】解：∵抛物线解析式为y ＝12（x ﹣2）2， ∴二次函数图象的顶点坐标是（2，0）．故答案为（2，0）．【点睛】本题的考点是二次函数的性质.方法是根据顶点式的坐标特点写出答案.12、x 1=3，x 2=﹣1【解析】试题解析：（x ﹣1）2=4，即x ﹣1=±2， 所以x 1=3，x 2=﹣1．故答案为x 1=3，x 2=﹣1．13、6【分析】设这种植物每个支干长出x 个小分支，根据主干、支干和小分支的总数是43，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【详解】解：设这种植物每个支干长出x 个小分支，依题意，得：2143x x ++=，解得：17x =-（不合题意，舍去），26x =．故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．14、125． 【分析】由勾股定理求出BC 的长，再证明四边形DMAN 是矩形，可得MN AD =，根据垂线段最短和三角形面积即可解决问题．【详解】解：∵90BAC ∠=︒，且3BA =，4AC =，∴225BC BA AC =+=，∵DM AB ⊥，DN AC ⊥，∴90DMA DNA BAC ∠=∠=∠=︒，∴四边形DMAN 是矩形.如图，连接AD ，则MN AD =，∴当AD BC ⊥时，AD 的值最小，此时，ABC ∆的面积1122AB AC BC AD =⨯=⨯， ∴125AB AC AD BC ⨯==，∴MN 的最小值为125； 故答案为：125． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质、勾股定理、三角形面积、垂线段最短等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，本题属于中考常考题型．15、4【分析】根据几何体的三视图分析即可得出答案.【详解】通过主视图和左视图可知几何体有两层，由俯视图可知最底层有3个小正方体，结合主视图和左视图知第2层有1个小正方体，所以共4个小正方体.故答案为4【点睛】本题主要考查根据三视图判断组成几何体的小正方体的个数，掌握三视图的知识是解题的关键.16、1【解析】h=10t-5t1=-5（t-1）1+10，∵-5＜0，∴函数有最大值，则当t=1时，球的高度最高．故答案为1．17、1【分析】根据抛物线与x轴的交点问题，得到图象C1与x轴交点坐标为：（1，1），（2，1），再利用旋转的性质得到图象C2与x轴交点坐标为：（2，1），（4，1），则抛物线C2：y=（x-2）（x-4）（2≤x≤4），于是可推出横坐标x为偶数时，纵坐标为1，横坐标是奇数时，纵坐标为1或-1，由此即可解决问题．【详解】解：∵一段抛物线C1：y=-x（x-2）（1≤x≤2），∴图象C1与x轴交点坐标为：（1，1），（2，1），∵将C1绕点A1旋转181°得C2，交x轴于点A2；，∴抛物线C2：y=（x-2）（x-4）（2≤x≤4），将C2绕点A2旋转181°得C3，交x轴于点A3；…∴P（2121，m）在抛物线C1111上，∵2121是偶数，∴m=1，故答案为1．【点睛】本题考查了二次函数与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．18、()2561x -=31.1【分析】根据题意，第一次降价后的售价为()561x -，第二次降价后的售价为()2561x -，据此列方程得解． 【详解】根据题意，得：()2561x -=31.1故答案为：()2561x -=31.1．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，关键是理解第二次降价是以第一次降价后的售价为单位“1”的．三、解答题(共66分)19、（1）12；（2）恰好选到的是一名思政研究生和一名历史本科生的概率为16． 【解析】（1）由概率公式即可得出结果；（2）设思政专业的一名研究生为A 、一名本科生为B ，历史专业的一名研究生为C 、一名本科生为D ，画树状图可知：共有12个等可能的结果，恰好选到的是一名思政研究生和一名历史本科生的结果有2个，即可得出结果．【详解】（1）若从中只录用一人，恰好选到思政专业毕业生的概率是2142=； 故答案为：12； （2）设思政专业的一名研究生为A 、一名本科生为B ，历史专业的一名研究生为C 、一名本科生为D ，画树状图如图：共有12个等可能的结果，恰好选到的是一名思政研究生和一名历史本科生的结果有2个，∴恰好选到的是一名思政研究生和一名历史本科生的概率为21126=． 故答案为：16 【点睛】本题考查了列表法与树状图法以及概率公式；根据题意画出树状图是解题的关键．20、（1）当0≤x≤8时，y=10x+20；当8＜x≤a 时，y=800x；（2）40；（3）要在7：50～8：10时间段内接水． 【分析】（1）当0≤x ≤8时，设y ＝k 1x ＋b ，将(0，20)，(8，100)的坐标分别代入y ＝k 1x ＋b ，即可求得k 1、b 的值，从而得一次函数的解析式；当8＜x ≤a 时，设y ＝2k x ，将(8，100)的坐标代入y ＝2k x，求得k 2的值，即可得反比例函数的解析式；（2）把y ＝20代入反比例函数的解析式，即可求得a 值；（3）把y ＝40代入反比例函数的解析式，求得对应x 的值，根据想喝到不低于40 ℃的开水，结合函数图象求得x 的取值范围，从而求得李老师接水的时间范围．【详解】解： (1)当0≤x ≤8时，设y ＝k 1x ＋b ，将(0，20)，(8，100)的坐标分别代入y ＝k 1x ＋b ，可求得k 1＝10，b ＝20∴当0≤x ≤8时，y ＝10x ＋20.当8＜x ≤a 时，设y ＝2k x， 将(8，100)的坐标代入y ＝2k x ， 得k 2＝800∴当8<x ≤a 时，y ＝800x. 综上，当0≤x ≤8时，y ＝10x ＋20；当8＜x ≤a 时，y ＝800x(2)将y ＝20代入y ＝800x ， 解得x ＝40，即a ＝40.(3)当y ＝40时，x ＝80040＝20 ∴要想喝到不低于40 ℃的开水，x 需满足8≤x ≤20，即李老师要在7：38到7：50之间接水．【点睛】本题主要考查了一次函数及反比例函数的应用题，是一个分段函数问题，分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．21、（1）12x =-，22x =-（2）x 1=2，x 2=-1．【分析】（1）方程移项后，利用完全平方公式配方，开方即可求出解；（2）提取公因式化为积的形式，然后利用两因式相乘积为0，两因式中至少有一个为0，转化为两个一元一次方程来求解．【详解】解：（1）方程整理得：241x x +=，配方得：2445x x ++=，即2(2)5x +=，开方得：2x +=解得：12x =-22x =-（2）方程变形得：(2)[(2)3]0x x x ---=，即(2)(22)0x x ---=，即20x -=或220x --=，解得122,1x x ==-．【点睛】本题考查解一元二次方程．熟练掌握解一元二次方程的方法，并能结合实际情况选择合适的方法是解决此题的关键．22、（1）见解析；（2）见解析；（3）5cos 5CBA ∠=，65=EF 【分析】（1）根据圆的切线的定义来证明，证∠OCD=90°即可；（2）根据全等三角形的性质和四边形的内接圆的外角性质来证；（3）根据已知条件先证△CDB ∽△ADC ，由相似三角形的对应边成比例，求CB 的值,然后求求cos CBA ∠的值；连结BE,在Rt △FEB 和Rt △AEB 中，利用勾股定理来求EF 即可．【详解】解：（1）如图1，连结OC ，AB 是O 的直径，AC BF ∴⊥，又点C 是BF 的中点，AC AC =ACB ACF ∴∆≅∆．CAB CAE ∴∠=∠OC OA =，CAB OCA ∴∠=∠又BCD CAE ∠=∠BCD OCA ∴∠=∠OCD OCB BCD OCB OCA ∴∠=∠+∠=∠+∠90ACB =∠=︒CD ∴是O 的切线图1（2）四边形ABCE 内接于O ，FEC CBA ∴∠=∠ACB ACF ∆≅∆．∴F FBA =∠∠F FEC ∴∠=∠，FC EC ∴=即CEF ∆是等腰三角形（3）如图2，连结BE ，设OC x =，EF y =，在Rt OCD ∆中，222OC CD OD +=2222(1)x x ∴+=+1.5x ∴=，3AB ∴=由（1）可知BCD CAB ∠=∠，又D D ∠=∠DCB DAC ∴∆∆， 12BC BD AC CD ∴== 在Rt ACB ∆中，222AC CB AB +=355BC EC FC ∴===， 5cos 5BC CBA AB ∴∠==， AB 是O 的直径，BE AF ∴⊥，2222AB AE BF EF ∴-=-即222263(3)55y y ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭解得65EF y == 图2【点睛】本题考查了圆的切线、相似三角形的性质、勾股定理的应用，解本题关键是找对应的线段长．23、（1）13a b +；（2）见解析 【分析】（1）先表示出DE ，继而可表示出AE ；（2）延长AE 、BC 交与G 即可．【详解】解：（1）四边形ABCD 是平行四边形，∴CD AB a ==， ∵12DECE =，∴1331DE BC a ==， ∴1133AE AD DE b a a b =+=+=+； （2）如图，延长AE 、BC 交与G ，则GB 即为所求．四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴12DECE AE EG ==， ∴3AG AE =，又∵AE c =，∴3AG c =∴3GB AB AG a c -=-=.【点睛】本题考查了平面向量及平行四边形的性质，解答本题注意利用平行线分线段成比例的知识，难度一般．24、（1）m=-2，n=-2；（2）2x <-或01x <<．【解析】（1）把A （-2，1）代入反比例函数y=m x，求出m 的值即可；把B （1，n ）代入反比例函数的解析式可求出n ；（2）观察函数图象得到当x ＜-2或0＜x ＜1时，一次函数的图象都在反比例函数的图象的上方，即一次函数的值大于反比例函数的值．【详解】（1）解：∵点A （-2，1）在反比例函数m y x=的图象上， ∴212m =-⨯=-． ∴反比例函数的表达式为2y x=-． ∵点B （1，n ）在反比例函数2y x=-的图象上， ∴221n -==-． （2）观察函数图象可知，自变量取值范围是：2x <-或01x <<．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标同时满足两个函数解析式；利用待定系数法求函数的解析式．也考查了观察函数图象的能力．25、（1）13；（2）4x =-或1x =. 【分析】（1）利用零负指数幂法则计算以及利用特殊角的三角函数值计算即可；（2）利用因式分解法求出解即可．【详解】（1）1032sin 302020-+-=11121323+⨯-=； 2）解：x 2+3x —4=0 (4)(1)0x x +-=解得4x =-或1x =.【点睛】本题考查实数的运算，以及解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．26、（1）y ＝x 2﹣2x ﹣3；（2）四边形EFCD 是正方形，见解析【分析】(1)抛物线与y 轴相交于点C (0，﹣3)，对称轴为直线x =1知c =﹣3，12b -=，据此可得答案； (2)结论四边形EFCD 是正方形．如图1中，连接CE 与DF 交于点K ．求出E 、F 、D 、C 四点坐标，只要证明DF ⊥CE ，DF =CE ，KC =KE ，KF =KD 即可证明．【详解】(1)∵抛物线与y 轴相交于点C (0，﹣3)，对称轴为直线x =1∴c =﹣3，122b b a -=-=，即b =﹣2， ∴二次函数解析式为223y x x =﹣﹣； (2)四边形EFCD 是正方形．理由如下：如图，连接CE 与DF 交于点K ．∵2223(1)4y x x x ==﹣﹣﹣﹣， ∴顶点D (1，4)，∵C 、E 关于对称轴对称，C (0，﹣3)，∴E (2，﹣3)，∵A (﹣1，0)，设直线AE 的解析式为y kx b =+， 则023k b k b -+=⎧⎨+=-⎩， 解得：21k b =-⎧⎨=-⎩， ∴直线AE 的解析式为y =﹣x ﹣1．∴F (1，﹣2)，∴CK =EK =1，FK =DK =1，∴四边形EFCD 是平行四边形，又∵CE ⊥DF ，CE =DF ，∴四边形EFCD 是正方形．【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法、一次函数的应用、正方形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用待定系数法确定函数解析式．。

．．．．A．70°．（3分）下列计算正确的是（ ）A．C．a3⋅a2＝a6A．x＜﹣2B．（3分）如图，在△ABCF，AB＝8，则DF的长是（ ）A．2B．．（3分）已知按一定规律排列的单项式：﹣式是（ ）2cm4cmA．27πcm2．（3分）如图，正方形CD＝2，若反比例函数的图象与正方形是（ ）A．1＜k＜9二、填空题（本大题共4．（2分）函数y＝的自变量．（2分）如图，点A在反比例函数＝（分）如图，抛物线与三、解答题（本大题共．（6分）计算：（﹣+﹣﹣|．．（6分）已知反比例函数＝（（1）求反比例函数的解析式．．（7分）张老师为了解所教班级学生数学课后习题完成的具体情况，对本班部分学生进行了为期半个月的跟踪调查，他将调查结果分为四类：D．较差．并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图．请你根据统计图解答下列问题：（1）C类女生的人数为 ，D类所占的圆心角度数为　计图补充完整．（2）为了共同进步，张老师想从被调查的A类同学中，随机选取两位同学进行帮扶学习，请用列表法或画树状图的方法求出所选两位同学恰好是一男一女的概率．．（7分）网络销售已经成为一种热门的销售方式，某果园在网络平台上直播销售猕猴．（7分）如图，在△ABC于点E，连接AE，且AE（1）求证：BC是⊙O（2）连接DE，若∠B＝，求的值．．（8分）如图1，四边形ABCD重合），过点F作FE∥AB，交（1）求证：四边形EFGD是正方形．（2）如图2，将四边形EFGD求的值．．（8分）已知关于x的二次函数y＝ax2+4的顶点为M．（1）若此二次函数的图象与x轴只有一个交点，求（2）已知以坐标原点O为圆心，r为半径的圆是以圆．﹣．；）；（）的值为．；）＝．；。