部编版2020届高考数学专题十三三视图与体积、表面积精准培优专练理

空间几何体的三视图、表面积及体积(40分钟)一、选择题1.(2020·成都模拟)已知正四面体的俯视图如图所示,其中四边形ABCD是边长为2cm的正方形,则这个四面体的主视图的面积为( )A.cm2B.2cm2C.4cm2D.8cm22.(2020·新课标全国卷Ⅰ)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A.16+8πB.8+8πC.16+16πD.8+16π3.(2020·广州模拟)一个几何体的三视图如图所示,其中正(主)视图是一个正三角形,则该几何体的外接球的表面积为( )A.πB.πC.πD.π4.(2020·大同模拟)如图1,边长为2的正方形ABCD中,E,F分别是AB,BC的中点,将△ADE,△CDF,△BEF折起,使A,C,B三点重合于G,所得三棱锥G-DEF的俯视图如图2,则该三棱锥正视图的面积为( )A. B.C. D.5.(2020·广东高考)某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是( )A.4B.C.D.6二、填空题6.某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥的体积是.7.(2020·江苏高考)如图,在三棱柱A1B1C1-ABC中,D,E,F分别是AB,AC,AA1的中点,设三棱锥F-ADE的体积为V1,三棱柱A1B1C1-ABC的体积为V2,则V1∶V2= .8.(2020·重庆模拟)一个棱锥的三视图如图(尺寸的长度单位为m),则该棱锥的体积是m3.三、解答题9.下列三个图中,左边是一个正方体截去一个角后所得多面体的直观图.右边两个是其正(主)视图和侧(左)视图.(1)请在正(主)视图的下方,按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图(不要求叙述作图过程).(2)求该多面体的体积(尺寸如图).10.已知四面体ABCD(图1),将其沿AB,AC,AD剪开,展成的平面图形正好是图2所示的直角梯形A1A2A3D(梯形的顶点A1,A2,A3重合于四面体的顶点A).(1)证明:AB⊥CD.(2)当A1D=10,A1A2=8时,求四面体ABCD的体积.11.如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,AC⊥BC,D为侧棱PC的中点,它的正(主)视图和侧(左)视图如图所示.(1)证明:AD⊥平面PBC.(2)求三棱锥D-ABC的体积.(3)在∠ACB的平分线上确定一点Q,使得PQ∥平面ABD,并求此时PQ的长.答案解析1.【解析】选B.由俯视图可知,该四面体可看作如图所示的正方体中的一个几何体AMNC,该正方体的棱长为2,故四面体的主视图为三角形,其面积为×2×2=2(cm2).2.【解题提示】观察三视图,根据三视图确定几何体的构成,利用圆柱及长方体的体积公式求解.【解析】选A.由三视图可知,该几何体是一个长方体和一个半圆柱组成的几何体,所以体积为×π×22×4+2×2×4=16+8π.3.【解析】选B.由题意知,外接球球心在侧视图的高上,设为O,半径为r,则r2=(-r)2+1,解得r=,从而S=4πr2=.4.【解析】选B.设正视图的高为h,V G-DEF=V D-GEF=××××h=××1×1×2,得h=,所以正视图S=××=.5.【解析】选B.四棱台的上下底面均为正方形,两底面边长和高分别为1,2,2,V棱台=(S上+S下+)h=(1+4+)×2=.6.【解析】由三视图可知,四棱锥的高为2,底面为直角梯形ABCD.其中DC=2,AB=3,BC=,所以四棱锥的体积为××2=.答案:【误区警示】解答本题时易因不能确定四棱锥的底面边长而无法求解.7.【解析】设三棱柱的底面ABC的面积为S,三棱柱的高为h,则其体积为V2=Sh.因为D,E分别为AB,AC的中点,所以△ADE的面积等于S,又因为F为AA1的中点,所以三棱锥F-ADE的高等于h,于是三棱锥F-ADE 的体积V1=×S·h=Sh=V2,故V1∶V2=1∶24.答案:1∶248.【解析】由三视图可知,该几何体是一个三棱锥,高为2m,底面积为×2×2=2(m2).所以其体积为×2×2=(m3).答案:9.【解析】(1)作出俯视图如图所示.(2)依题意,该多面体是由一个正方体(ABCD-A1B1C1D1)截去一个三棱锥(E-A1B1D1)得到的,所以截去的三棱锥体积=··A1E=××1=,正方体体积=23=8,所以所求多面体的体积V=8-=.【变式备选】如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,AP=AB,BP=BC=2,E,F分别是PB,PC 的中点.(1)证明:EF∥平面PAD.(2)求三棱锥E-ABC的体积V.【解析】(1)在△PBC中,E,F分别是PB,PC的中点,所以EF∥BC.又BC∥AD,所以EF∥AD,又因为A D⊂平面PAD,EF⊄平面PAD,所以EF∥平面PAD.(2)过E作EG∥PA交AB于点G,则EG⊥平面ABCD,且EG=PA.在△PAB中,AP=AB,∠PAB=90°,BP=2,所以AP=AB=,EG=.所以S△ABC=AB·BC=××2=,所以V=S△ABC·EG=××=.10.【解析】(1)在四面体ABCD中,⇒AB⊥平面A CD⇒AB⊥CD.(2)在题图2中作DE⊥A2A3于E.因为A1A2=8,所以DE=8.又因为A1D=A3D=10,所以EA3=6,A2A3=10+6=16.又A2C=A3C,所以A3C=8,即题图1中AC=8,AD=10,由A1A2=8,A1B=A2B得题图1中AB=4,所以S△ACD==DE·A3C=×8×8=32. 又因为AB⊥平面ACD,所以V B-ACD=×32×4=.11.【解析】(1)因为PA⊥平面ABC,所以PA⊥BC,又AC⊥BC,PA∩AC=C,所以BC⊥平面PAC,所以BC⊥AD.由三视图可得,在△PAC中,PA=AC=4,且D为PC中点,所以AD⊥PC,又BC∩PC=C,所以AD⊥平面PBC.(2)由三视图可得BC=4,由(1)知∠ADC=90°,BC⊥平面PAC,又三棱锥D-ABC的体积即为三棱锥B-ADC的体积,所以,所求三棱锥的体积V=××2×2×4=.(3)取AB的中点O,连接CO并延长至Q,使得CQ=2CO,点Q即为所求.连接OD,PQ,AQ,BQ,因为O为CQ中点,所以PQ∥OD,因为PQ⊄平面ABD,OD⊂平面ABD,所以PQ∥平面ABD,四边形ACBQ的对角线互相平分,所以ACBQ为平行四边形,所以AQ=4,又PA⊥平面ABC,所以在直角△PAQ中,PQ==4.。

专题八立体几何【真题典例】8.1 空间几何体的三视图、表面积和体积挖命题【考情探究】分析解读从近5年高考情况来看,空间几何体的三视图、表面积和体积等问题一直是高考的重点和热点,主要考查由三视图还原几何体的直观图,求几何体的表面积、体积,有时也以三视图为背景,考查几何体与球的切接问题,一般为选择题、填空题.正确还原几何体三视图所对应的直观图,对复杂几何体进行巧妙的分割转化是解决本节题目的关键.破考点【考点集训】考点一三视图与直观图1.(2018山东胶州质检,5)铜钱:古代铜质辅币,俗称铜钱,是指秦汉以后的各类方孔圆钱,方孔圆钱的铸期一直延伸到清末民国初年.请问铜钱形成的几何体的三视图中不可能有下列哪种图形( )A.正方形B.圆C.三角形D.矩形答案C2.(2017湖南益阳调研,8)在一个几何体的三视图中,正视图与俯视图如图所示,则该几何体相应的侧视图可以为( )答案D3.(2018河南百校联盟4月联考,9)如图,网格纸上小正方形的边长为1,图中粗线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的各条棱中,最长的棱的长度为( )A.2B.3C.D.答案B考点二空间几何体的表面积和体积1.(2018云南玉溪模拟,5)若一个底面是正三角形的三棱柱的主视图如图所示,则其表面积为( )A.6+2B.6+C.6+4D.10答案A2.(2018广东茂名模拟,7)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是( )A.7B.C.D.答案D3.(2018安徽皖南八校二联,8)榫卯(sǔn mǎo)是我国古代工匠极为精巧的发明,它是在两个构件上采用凹凸部位相结合的一种连接方式.我国的北京紫禁城,山西悬空寺,福建宁德的廊桥等建筑都用到了榫卯结构.图中网格小正方形的边长为1,粗实线画出的是一种榫卯构件中榫的三视图,则其体积与表面积分别为( )A.24+52π,34+52πB.24+52π,36+54πC.24+54π,36+54πD.24+54π,34+52π答案C炼技法【方法集训】方法1 空间几何体的三视图与直观图1.(2018四川南充模拟,6)已知一个棱长为2的正方体被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示,则该截面的面积为( )A. B.4 C.3 D.答案A2.(2018安徽合肥二模,8)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别为棱CD,CC1,A1B1的中点,用过点E,F,G的平面截正方体,则位于截面以下部分的几何体的侧(左)视图为( )答案C方法2 空间几何体表面积和体积的求解方法1.已知多面体MN-ABCD的底面ABCD是矩形,其直观图和正(主)视图、侧(左)视图如图,其中正(主)视图为等腰梯形,侧(左)视图为等腰三角形,则该多面体的表面积为( )A.24B.8+8C.40D.32答案B2.(2018河北衡水中学、河南郑州一中联考,9)榫卯是中国传统建筑中极为精巧的发明,这种构件连接方式,超越了当代建筑排架、框架或者钢架的特殊柔性结构体.榫卯结构中凸出部分叫榫(或叫榫头),某“榫头”的三视图如图所示,则该“榫头”的体积是( )A.36B.45C.54D.63答案C方法3 与球有关的切、接问题的求解方法1.(2018四川南充模拟,9)已知A,B,C,D是同一球面上的四个点,其中△ABC是正三角形,AD⊥平面ABC,AD=2AB=6,则该球的体积为( )A.32πB.48πC.24πD.16π答案A2.(2018湖南师大附中模拟,16)在体积为的三棱锥S-ABC中,AB=BC=2,∠ABC=90°,SA=SC,且平面SAC⊥平面ABC,若该三棱锥的四个顶点都在同一球面上,则该球的体积是.答案π过专题【五年高考】A组统一命题·课标卷题组考点一三视图与直观图1.(2017课标Ⅰ,7,5分)某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为( )A.10B.12C.14D.16答案B2.(2014课标Ⅰ,12,5分)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的各条棱中,最长的棱的长度为( )A.6B.6C.4D.4答案B考点二空间几何体的表面积和体积1.(2016课标Ⅰ,6,5分)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是,则它的表面积是( )A.17πB.18πC.20πD.28π答案A2.(2015课标Ⅰ,11,5分)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16+20π,则r=( )A.1B.2C.4D.8答案B3.(2017课标Ⅱ,4,5分)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得,则该几何体的体积为( )A.90πB.63πC.42πD.36π答案B4.(2018课标Ⅲ,10,5分)设A,B,C,D是同一个半径为4的球的球面上四点,△ABC为等边三角形且其面积为9,则三棱锥D-ABC体积的最大值为( )A.12B.18C.24D.54答案B5.(2017课标Ⅲ,8,5分)已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为( )A.πB.C.D.答案B6.(2016课标Ⅲ,10,5分)在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球.若AB⊥BC,AB=6,BC=8,AA1=3,则V的最大值是( )A.4πB.C.6πD.答案B7.(2015课标Ⅱ,9,5分)已知A,B是球O的球面上两点,∠AOB=90°,C为该球面上的动点.若三棱锥O-ABC体积的最大值为36,则球O的表面积为( )A.36πB.64πC.144πD.256π答案C8.(2018课标Ⅱ,16,5分)已知圆锥的顶点为S,母线SA,SB所成角的余弦值为,SA与圆锥底面所成角为45°.若△SAB的面积为5,则该圆锥的侧面积为.答案40π9.(2017课标Ⅰ,16,5分)如图,圆形纸片的圆心为O,半径为5cm,该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D,E,F为圆O上的点,△DBC,△ECA,△FAB分别是以BC,CA,AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后,分别以BC,CA,AB为折痕折起△DBC,△ECA,△FAB,使得D,E,F重合,得到三棱锥.当△ABC的边长变化时,所得三棱锥体积(单位:cm3)的最大值为.答案4B组自主命题·省(区、市)卷题组考点一三视图与直观图1.(2018北京,5,5分)某四棱锥的三视图如图所示,在此四棱锥的侧面中,直角三角形的个数为( )A.1B.2C.3D.4答案C2.(2014江西,5,5分)一几何体的直观图如图,下列给出的四个俯视图中正确的是( )答案B考点二空间几何体的表面积和体积1.(2018浙江,3,4分)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位:cm3)是( )A.2B.4C.6D.8答案C2.(2016课标Ⅲ,9,5分)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的表面积为( )A.18+36B.54+18C.90D.81解析B3.(2018天津,11,5分)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,除面ABCD外,该正方体其余各面的中心分别为点E,F,G,H,M(如图),则四棱锥M-EFGH的体积为.答案4.(2018江苏,10,5分)如图所示,正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为.答案5.(2017江苏,6,5分)如图,在圆柱O1O2内有一个球O,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记圆柱O1O2的体积为V1,球O的体积为V2,则的值是.答案6.(2017天津,10,5分)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若这个正方体的表面积为18,则这个球的体积为.答案π7.(2016浙江,11,6分)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的表面积是cm2,体积是cm3.答案72;32C组教师专用题组考点一三视图与直观图1.(2017北京,7,5分)某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的最长棱的长度为( )A.3B.2C.2D.2答案B2.(2014湖北,5,5分)在如图所示的空间直角坐标系O-xyz中,一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2),(2,2,0),(1,2,1),(2,2,2).给出编号为①、②、③、④的四个图,则该四面体的正视图和俯视图分别为( )A.①和②B.③和①C.④和③D.④和②答案D3.(2014北京,7,5分)在空间直角坐标系Oxyz中,已知A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),D(1,1,).若S1,S2,S3分别是三棱锥D-ABC在xOy,yOz,zOx坐标平面上的正投影图形的面积,则( )A.S1=S2=S3B.S2=S1且S2≠S3C.S3=S1且S3≠S2D.S3=S2且S3≠S1答案D4.(2014福建,2,5分)某空间几何体的正视图是三角形,则该几何体不可能是( )A.圆柱B.圆锥C.四面体D.三棱柱答案A5.(2014湖南,7,5分)一块石材表示的几何体的三视图如图所示,将该石材切削、打磨,加工成球,则能得到的最大球的半径等于( )A.1B.2C.3D.4答案B考点二空间几何体的表面积和体积1.(2017浙江,3,5分)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位:cm3)是( )A.+1B.+3C.+1D.+3答案A2.(2016北京,6,5分)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为( )A. B. C. D.1答案A3.(2016课标Ⅱ,6,5分)下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为( )A.20πB.24πC.28πD.32π答案C4.(2015安徽,7,5分)一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面积是( )A.1+B.2+C.1+2D.2答案B5.(2015陕西,5,5分)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( )A.3πB.4πC.2π+4D.3π+4答案D6.(2015课标Ⅰ,6,5分,0.682)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有( )A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛答案B7.(2015课标Ⅱ,6,5分)一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如图所示,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )A. B. C. D.答案D8.(2014课标Ⅱ,6,5分)如图,网格纸上正方形小格的边长为1(表示1cm),图中粗线画出的是某零件的三视图,该零件由一个底面半径为3cm,高为6cm的圆柱体毛坯切削得到,则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( )A. B. C. D.答案C9.(2016天津,11,5分)已知一个四棱锥的底面是平行四边形,该四棱锥的三视图如图所示(单位:m),则该四棱锥的体积为m3.答案210.(2016四川,13,5分)已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形,该三棱锥的正视图如图所示,则该三棱锥的体积是.答案11.(2015天津,10,5分)一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为m3.答案π12.(2014山东,13,5分)三棱锥P-ABC中,D,E分别为PB,PC的中点,记三棱锥D-ABE的体积为V1,P-ABC的体积为V2,则= .答案【三年模拟】一、选择题(每小题5分,共50分)1.(2019届河北衡水中学9月月考,8)某几何体的三视图如图所示,则此几何体( )A.有四个两两全等的面B.有两对相互全等的面C.只有一对相互全等的面D.所有面均不全等答案B2.(2019届湖南师范大学附中月考,9)已知某几何体的三视图如图,则该几何体的表面积是( )A.+3B.+3C.D.答案A3.(2019届广东化州第一次模拟,7)如图是某几何体的三视图,其中正视图和侧视图为正方形,俯视图是腰长为的等腰直角三角形,则该几何体的体积是( )A. B. C. D.答案B4.(2018江西南昌二中3月月考,9)一个几何体的三视图如图所示,在该几何体的各个面中,面积最小的面的面积为( )A.8B.4C.4D.4答案D5.(2018广东揭阳一模,9)某几何体的三视图如图所示,则此几何体的表面积为( )A.4π+16B.2(+2)π+16C.4π+8D.2(+2)π+8答案B6.(2018江西南昌NCS项目4月联考,7)已知圆台和正三棱锥的组合体的正视图和俯视图如图所示,图中小方格是单位正方形,那么组合体的侧视图的面积为( )A.6+B.C.6+D.8答案B7.(2018福建4月质检,8)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,俯视图中的两条曲线均为圆弧,则该几何体的体积为( )A.64-B.64-8πC.64-D.64-答案C8.(2018广东惠州二模,10)已知三棱锥S-ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形,AB=2,SA=SB=SC=2,则三棱锥S-ABC的外接球的球心到平面ABC的距离是( )A. B.1 C. D.答案A9.(2017河北衡水中学三调,10)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的外接球的体积为π,将正方体割去部分后,剩余几何体的三视图如图所示,则剩余几何体的表面积为( )A.+B.3+或+C.2+D.+或2+答案B10.(2018中原名校4月联考,10)已知A,B,C,D是球O表面上四点,点E为BC的中点,若AE⊥BC,DE⊥BC,∠AED=120°,AE=DE=,BC=2,则球O的表面积为( )A.πB.C.4πD.16π答案B二、填空题(共5分)11.(2019届广东汕头第三次联考,15)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体外接球的表面积为.答案。

第1讲空间几何体的三视图、表面积与体积一、选择题1.如图是一个正方体，A，B，C为三个顶点，D是棱的中点,则三棱锥A­BCD的正视图和俯视图是（注：选项中的上图为正视图，下图为俯视图）( ）解析：选A．正视图和俯视图中棱AD和BD均看不见,故为虚线，易知选A．2．(2019·武汉市调研测试)如图，在棱长为1的正方体ABCD.A1B1C1D1中，M为CD的中点，则三棱锥A。

BC1M的体积VA。

BC1M＝（)A．错误!B．错误!C．16D．错误!解析：选C．V错误!＝V错误!＝错误!S△ABM·C1C＝错误!×错误! AB×AD×C1C＝错误!。

故选C．3．（2019·昆明市质量检测)一个三棱柱的三视图如图所示，则该三棱柱的侧面积为( )A．12错误!B．24C．12＋错误!D．24＋2错误!解析:选B．根据三视图可知该三棱柱的直观图如图所示，所以该三棱柱的侧面积S＝[2错误!＋2]×4＝(2×2＋2）×4＝24.4．(2019·蓉城名校第一次联考）已知一个几何体的正视图和侧视图如图1所示,其俯视图用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个直角边长为1的等腰直角三角形(如图2所示)，则此几何体的体积为（)A．1 B．错误!C．2 D．22解析：选B．根据直观图可得该几何体的俯视图是一个直角边长分别是2和错误!的直角三角形(如图所示)，根据三视图可知该几何体是一个三棱锥,且三棱锥的高为3，所以体积V＝错误!×(错误!×2×错误!）×3＝错误!.故选B．5．(2019·昆明市质量检测）一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A．4＋错误!B．4＋错误!C．12＋错误!D．12＋错误!解析：选C ．三视图对应的几何体是一个半球与一个长方体的组合体，半球的半径为1,体积为错误!，长方体的长、宽、高分别为2、2、3，体积为12。

知能专练（十三） 空间几何体的三视图、表面积及体积一、选择题1．一个锥体的正视图和侧视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是( )解析：选C 注意到在三视图中，俯视图的宽度应与侧视图的宽度相等，而在选项C 中，其宽度为32，与题中所给的侧视图的宽度1不相等，因此选C. 2．一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B 该几何体为直三棱柱，底面是边长分别为6,8,10的直角三角形，侧棱长为12，故能得到的最大球的半径等于底面直角三角形内切圆的半径，其半径为r ＝2Sa ＋b ＋c ＝2×12×6×86＋8＋10＝2，故选B.3．将边长为1的正方形以其一边所在的直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积为( )A ．4πB ．3πC ．2πD ．π解析：选C 由几何体的形成过程知所得几何体为圆柱，底面半径为1，高为1，其侧面积S ＝2πrh ＝2π×1×1＝2π.4．一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正视图如图所示，则该四棱锥侧面积和体积分别是( )A ．45，8B ．45，83C ．4(5＋1)，83D ．8,8解析：选B 由题意可知该四棱锥为正四棱锥，底面边长为2，高为2，侧面上的斜高为 22＋12＝5，所以S 侧＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×5＝45，V ＝13×22×2＝83.5.(2017·全国卷Ⅰ)某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形．该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为( )A ．10B ．12C ．14D ．16解析：选B 由三视图可知该多面体是一个组合体，如图所示，其下面是一个底面为等腰直角三角形的直三棱柱，上面是一个底面为等腰直角三角形的三棱锥，等腰直角三角形的腰长为2，直三棱柱的高为2，三棱锥的高为2，易知该多面体有2个面是梯形，这些梯形的面积之和为2＋4×22×2＝12，故选B.6．如图，三棱锥V ­ABC 的底面为正三角形，侧面VAC 与底面垂直且VA ＝VC ，已知其正视图的面积为23，则其侧视图的面积为( )A.32B.33C.34D.36解析：选B 由题意知，该三棱锥的正视图为△VAC ，作VO ⊥AC 于O ，连接OB (图略)，设底面边长为2a ，高VO ＝h ，则△VAC 的面积为12×2a ×h ＝ah ＝23.又三棱锥的侧视图为Rt △VOB ，在正三角形ABC 中，高OB ＝3a ，所以侧视图的面积为12OB ·VO ＝12×3a ×h ＝32ah ＝32×23＝33.7．《九章算术》的商功章中有一道题：一圆柱形谷仓，高1丈3尺313寸，容纳米2 000斛(1丈＝10尺，1尺＝10寸，斛为容积单位，1斛≈1.62立方尺，π≈3)，则圆柱底圆周长约为( )A ．1丈3尺B ．5丈4尺C ．9丈2尺D ．48丈6尺解析：选B 设圆柱底面圆的半径为r ，若以尺为单位，则2 000×1.62＝3r 2⎝ ⎛⎭⎪⎫10＋3＋13，解得r ＝9(尺)，∴底面圆周长约为2×3×9＝54(尺)，换算单位后为5丈4尺，故选B.8．(2017·丽水模拟)已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是正三角形，则该几何体的体积为( )A. 3 B ．2 3 C ．3 3D ．4 3解析：选 B 分析题意可知，该几何体是由如图所示的三棱柱ABC ­A 1B 1C 1截去四棱锥A ­BEDC 得到的，故其体积V ＝34×22×3－13×1＋22×2×3＝23，故选B.9．(2017·贵阳质检)三棱锥P ­ABC 的四个顶点都在体积为500π3的球的表面上，底面ABC 所在的小圆面积为16π，则该三棱锥的高的最大值为( )A ．4B ．6C ．8D ．10解析：选C 依题意，设题中球的球心为O ，半径为R ，△ABC 的外接圆半径为r ，则4πR33＝500π3，解得R ＝5，由πr 2＝16π，解得r ＝4，又球心O 到平面ABC 的距离为R 2－r 2＝3，因此三棱锥P ­ABC 的高的最大值为5＋3＝8，故选C.10．(2017·洛阳模拟)已知三棱锥P ­ABC 的四个顶点均在某球面上，PC 为该球的直径，△ABC 是边长为4的等边三角形，三棱锥P ­ABC 的体积为163，则此三棱锥的外接球的表面积为( )A.16π3B.40π3C.64π3D.80π3解析：选D 依题意，记三棱锥P ­ABC 的外接球的球心为O ，半径为R ，点P 到平面ABC 的距离为h ，则由V P ­ABC ＝13S △ABC h ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫34×42×h ＝163得h ＝433.又PC 为球O 的直径，因此球心O 到平面ABC 的距离等于12h ＝233.又正△ABC 的外接圆半径为r ＝AB 2sin 60°＝433，因此R 2＝r 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2332＝203，所以三棱锥P ­ABC 的外接球的表面积为4πR 2＝80π3，故选D. 二、填空题11．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________，体积为________．解析：由三视图得该几何体为如图所示的三棱锥，其中底面ABC 为直角三角形，∠B ＝90°，AB ＝1，BC ＝2，PA ⊥底面ABC ，PA ＝2，所以AC ＝PB ＝5，PC ＝3，PC 2＝PB 2＋BC 2，∴∠PBC ＝90°，则该三棱锥的表面积为12×1×2＋12×1×2＋12×2×5＋12×2×5＝2＋25，体积为13×12×1×2×2＝23.答案：2＋2 5 2312．(2017·诸暨质检)某几何体的三视图如图所示，则该几何体最长的一条棱的长度为________，体积为________．解析：根据三视图，可以看出该几何体是一个底面为正三角形，一条侧棱垂直底面的三棱锥，如图所示，其中底面△BCD 是正三角形，各边长为2，侧棱AD ⊥底面BCD ，且AD ＝2，底面△BCD 的中垂线长DE ＝3，∴AC ＝AB ＝22，V 三棱锥A ­BCD ＝13×S △BCD ×AD ＝13×12×2×3×2＝233，即该几何体最长的棱长为22，体积为233.答案：2 223313．一个直棱柱(侧棱与底面垂直的棱柱)被一个平面截去一部分后，所剩几何体的三视图如图所示，则截去的几何体为________(从备选项中选择一个填上：三棱锥、四棱锥、三棱柱、四棱柱)，截去的几何体的体积为________．解析：作出直观图可得截去的几何体为底面为直角边长分别为1和2的直角三角形，高为4的三棱锥，其体积V ＝13×1×22×4＝43.答案：三棱锥 4314．(2018届高三·浙江名校联考)某简单几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________，其外接球的表面积为________．解析：由三视图得该几何体是一个底面为对角线为4的正方形，高为3的直四棱柱，则其体积为4×4×12×3＝24.又直四棱柱的外接球的半径R ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋22＝52，所以四棱柱的外接球的表面积为4πR 2＝25π.答案：24 25π15．(2017·洛阳模拟)一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图与侧视图均为半径是2的圆，则该几何体的表面积为________．解析：由三视图可知该几何体为一个球体的34，故该几何体的表面积等于球的表面积的34，加上以球的半径为半径的圆的面积，即S ＝34×4πR 2＋πR 2＝16π.答案：16π16．(2016·四川高考)已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是________．解析：由正视图知三棱锥的形状如图所示，且AB ＝AD ＝BC ＝CD ＝2，BD＝23，设O 为BD 的中点，连接OA ，OC ，则OA ⊥BD ，OC ⊥BD ，结合正视图可知AO ⊥平面BCD .又OC ＝CD 2－OD 2＝1，∴V 三棱锥A ­BCD ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×23×1×1＝33. 答案：3317．如图是某三棱柱被削去一个底面后的直观图、侧视图与俯视图．已知CF ＝2AD ，侧视图是边长为2的等边三角形，俯视图是直角梯形，有关数据如图所示，则该几何体的体积为________．解析：取CF 中点P ，过P 作PQ ∥CB 交BE 于Q ，连接PD ，QD ，则AD∥CP ，且AD ＝CP .所以四边形ACPD 为平行四边形，所以AC ∥PD .所以平面PDQ ∥平面ABC .该几何体可分割成三棱柱PDQ ­CAB 和四棱锥D ­PQEF ， 所以V ＝V PDQ ­CAB ＋V D ­PQEF ＝12×22sin 60°×2＋13×1＋2×22×3＝3 3. 答案：3 3 [选做题]1．(2017·石家庄质检)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A ．16B ．20C ．52D ．60解析：选B 由三视图知，该几何体由一个底面为直角三角形(直角边分别为3,4)，高为6的三棱柱截去两个等体积的四棱锥所得，且四棱锥的底面是矩形(边长分别为2,4)，高为3，如图所示，所以该几何体的体积V ＝12×3×4×6－2×13×2×4×3＝20，故选B.2．四棱锥P ­ABCD 的底面ABCD 是边长为6的正方形，且PA ＝PB ＝PC ＝PD ，若一个半径为1的球与此四棱锥所有面都相切，则该四棱锥的高为( )A ．6B ．5 C.92 D.94解析：选D 过点P 作PH ⊥平面ABCD 于点H .由题知，四棱锥P ­ABCD是正四棱锥，内切球的球心O 应在四棱锥的高PH 上．过正四棱锥的高作组合体的轴截面如图，其中PE ，PF 是斜高，M 为球面与侧面的一个切点．设PH ＝h ，易知Rt △PMO ∽Rt △PHF ，所以OM FH＝PO PF ，即13＝h －1h 2＋32，解得h ＝94，故选D. 3．(2017·兰州模拟)已知球O 的半径为13，其球面上有三点A ，B ，C ，若AB ＝123，AC ＝BC ＝12，则四面体OABC 的体积为________．解析：如图，过点A ，B 分别作BC ，AC 的平行线，两线相交于点D ，连接CD ，∵AC ＝BC ＝12，AB ＝123，在△ABC 中，cos ∠ACB ＝AC 2＋BC 2－AB 22AC ·BC ＝－12，∴∠ACB ＝120°，∴在菱形ACBD 中，DA ＝DB ＝DC ＝12， ∴点D 是△ABC 的外接圆圆心， 连接DO ，在△ODA 中，OA 2＝DA 2＋DO 2， 即DO 2＝OA 2－DA 2＝132－122＝25，∴DO ＝5， 又DO ⊥平面ABC ，∴V O ­ABC ＝13×12×12×12×32×5＝60 3.答案：60 3。

三视图与体积表面积培优点十三一、三视图与体积的结合1 1：某几何体的三视图如图所示（图中小正方形网格的边长为，则该几何体的体积是（））例8624 C． D．BA．．B【答案】【解析】由三视图可得该几何体为底面是直角梯形的直四棱柱（如图所示），2212其中底面直角梯形的上、下底边分别为，，，高为，直四棱柱的高为2?(12)?6??2．，故选所以该几何体的体积为B2二、三视图与表面积的结合1，粗线画出的是某几何体的三视图，其中俯视图由两个半圆和例2：如图，网格纸上小正方形的边长为两个线段组成，则该几何体的表面积为（）12π?20π?1216?12π17π?1212 D．． CBA．．C【答案】由三视图知，该几何体是一个大半圆柱挖去一个小半圆柱得到的，【解析】331，高均为，两个半圆柱的底面半径分别为和11112212π?202)?2??3?1π?(231?π?33π?2???2???π3??所以该几何体的表面积为．2222对点增分集训一、选择题．某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）1．ππ4π4π2)8?16(116??16? B． A．D． C．3333C【答案】根据三视图知，该几何体是一个直四棱柱内挖去一个圆锥后剩余的部分，【解析】画出直观图如图所示，VV设四棱柱的体积为，结合图中数据，，圆锥的体积为21π1422??16π?12?V?VV??4??4 C 得该几何体的体积．，故选21331 2．如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线条画出的是一个三棱锥的三视图，则该三棱锥中最长棱的长度为（）32252．D ．C ．B ．A．【答案】DA?BCD即为所求几何体，【解析】如图，三棱锥2?2BD1CD?3?AC?2AB5?5BC?AD2，，，，，，根据题设条件，知辅助的正方体棱长为，3AB，长度为则最长棱为．．古人采取“用臼舂米”的方法脱去稻谷的外壳，获得可供食用的大米，用于舂米的“臼”多用石头或木3 头制成．一个“臼”的三视图如图所示，则凿去部分（看成一个简单的组合体）的体积为（）π99π72π7963π．B．．A C ．DA【答案】【解析】由三视图得凿去部分是圆柱与半球的组合体，335，其中圆柱的高为，底面圆的半径为，半球的半径为4132ππ36353π??????A，故选所以组合体的体积为．32．4．某几何体的三视图如图所示，在该几何体的各个面中，面积最小的面与底面的面积的比值为（）4212．C ． A． B．D5335C【答案】ABCDP?4．的四棱锥，如图所示，记为【解析】由三视图可知，该几何体是高为14??1易知面积最小的面为左侧面，其面积为．2115?12??2???(24)?ABCDABCDBCDE的面积为将底面，，则底面补为梯形222所以面积最小的面与底面的面积的比值为C，故选．52的正方形，则该几何体的表5．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和俯视图中的四边形是边长为面积为（）π1513ππ87π．A．．． B D C22B【答案】由三视图可知该几何体是一个圆柱体和一个球体的四分之一的组合体，【解析】1222π?7?1??π?12?2?4π?1??π1π B则所求的几何体的表面积为．，故选41，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积6．如图，网格纸上小正方形的边长为为（）π6π?58?48?8?3ππ8． CB．A．．DD【答案】114【解析】由三视图可知，该几何体是由底面半径为的半球得到的，，高为的半圆柱挖去一个半径为111222π6?1?8???????2????2S??π14?π142π1π?4则该几何体的表面积．222．故选B ．某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是（）7．16151314 D C．．A．B ．C 【答案】【解析】所求几何体可看作将长方体截去两个三棱柱得到的几何体，在长方体中还原该几何体，????3CABCD?ABD24如图中，所示，长方体的长、宽、高分别为，，1.532两个三棱柱的高为，底面是两直角边长分别为的直角三角形，和31153???2??????V4232C．故该几何体的体积，故选22 8．某装饰品的三视图如图所示，则该装饰品的表面积为（）π16?20?(5?1)ππ5?1)16?(5?1)π16?( BC．A． D．．C【答案】2的正方体，【解析】由装饰品的三视图可知，该装饰品是由一个棱长为12，切去四个四分之一的圆锥所得的几何体，其中圆锥的底面半径为，高为111222?4??2?2?4?π?1?22?4??5?16π?1?(5?1)π，故选则该装饰品的表面积为C．4241，粗线画出的是某几何体的三视图，俯视图中的两条曲线均为圆弧，．如图，网格纸上小正方形的边长为9则该几何体的体积为（）π8π16π32?64?64?64π864? CB．．．A． D 333C【答案】1424圆锥和一个底、高为的【解析】由三视图知，该几何体是由棱长为的正方体截去一个底面半径为4142的面半径为圆柱而得到的，、高为4π1611322?464??V?2π4?(π2????4)所以该几何体的体积，故选．C334．10．我国古代数学名著《九章算术·商功》中阐述：“斜解立方，得两堑堵．斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣”若称为“阳马”的1，则对该几何体描述：某几何体的三视图如图所示，图中网格纸上小正方形的边长为①四个侧面都是直角三角形；26；②最长的侧棱长为③四个侧面中有三个侧面是全等的直角三角形；24π．④外接球的表面积为其中正确的个数是（）3021．．．AB ．D CD【答案】【解析】ABCDABCDSA??S所示，其中对于①，由三视图知“阳马”的直观图如图中四棱锥平面，SAD△?BC△SABADABSA?SA?SA，，所以为直角三角形，，所以，SBC△?BCSABBCABBC??SB为直角三角形，，故，所以平面，知结合．△SCD为直角三角形，所以“阳马”的四个侧面均为直角三角形，正确；同理可知22222?SA?25??ABSA??AD22SASB?SD，，，对于②，由三视图及直观图得AC连接，22222?26??AC?SACD?SC?SAAD，则26，正确；所以“阳马”的最长的侧棱长为对于③，由②的侧棱长知，侧面四个直角三角形的斜边均不相等，所以不存在全等的直角三角形，错误；422的长方体，易知长方体的外接球即“阳、、对于④，考虑将“阳马”补形为一个长、宽、高分别为222?24?26?2R?2，马”的外接球其直径22π24(2R)?4πR?π所以“阳马”的外接球的表面积为，正确．3，故选D．综上可知，正确的个数为．某工人现欲用车床将一正方体铁块进行加工处理，加工后成品的三视图如图所示．网格纸上小正方形111的边长为，则加工后成品与去除部分几何体的体积比为（）π48?16?64?32?πππ．．．AB C D ．ππππC 【答案】．4，圆柱的底面【解析】由三视图可知，该几何体为正方体中间挖去一个圆柱后所得，且正方体的棱长为14，，高为半径为VV，，圆柱的体积为设正方体的体积为2132V?V?V?4?π?1?4?64?4π．所以加工后成品的体积2164?4π16?π?．故选C加工后成品与去除部分的体积比为．4ππMA1，其中小正方形的边长均为在俯视图上的对应点为．三棱锥上的点12．某三棱锥的三视图如图所示，NMN B长度的最大值为（）在左视图上的对应点为，则线段点923633．B ．DC ．．AA 【答案】【解析】3根据三视图，在棱长为的正方体中还原该几何体的直观图，N?CNEPB在左视图上对应的点，即点，则点为如图所示的三棱锥．PCCNE MA上的投影，上任意一点点为线段在底面MNPNPCN33M．的长，故线段因为长度的最大值为上的点到点距离的最大值为二、填空题13．已知某几何体的三视图如图所示（侧视图中曲线为四分之一圆弧），则该几何体的体积为．π?1【答案】4111的【解析】由已知三视图得到几何体是棱长为圆柱，的正方体挖去底面半径为4ππ1121π1??1???1．正方体的棱长为，圆柱的体积为，所以几何体体积为44441．如图是某几何体的三视图，图中方格的单位长度为14，则该几何体的表面积为．8?45【答案】【解析】由三视图还原几何体如下图所示，22BD?2?BCDA?BC?2CD52AB??25AD，，，，计算可得，，可得三棱锥111 5225??25S?2?2???2?2S2??2?5?S，，，ABCADC△△BCD△22212262?2?32S??22)3?(25)?(ABD△，为等腰三角形，高为，ABD△25?4825?6?22?5?则该几何体表面积为． 15．一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示．则该几何体的体积为．21π?【答案】63211，，高为，正四棱锥的底面边长为由已知，半球的直径为【解析】．1142123???11?ππ?()??．所以其体积为23323612π?．故答案为3616．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．π3【答案】【解析】由题意可知几何体的直观图如图：32π4??3π1??．所以几何体的体积为，故选C4。

培优点十三 三视图与体积、表面积1．由三视图求面积例1：一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为_________．【答案】33π【解析】由三视图可得该几何体由一个半球和一个圆锥组成， 其表面积为半球面积和圆锥侧面积的和．球的半径为3， ∴半球的面积21143182S =⋅π⋅=π，圆锥的底面半径为3，母线长为5， ∴圆锥的侧面积为23515S rl =π=π⋅⋅=π，∴表面积为1233S S S =+=π．2．由三视图求体积例2：某个长方体被一个平面所截，得到的几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ）A ．4B ．22C ．42D ．8【答案】D【解析】由于长方体被平面所截，∴很难直接求出几何体的体积，可以考虑沿着截面再接上一个一模一样的几何体，从而拼成了一个长方体，∵长方体由两个完全一样的几何体拼成，∴所求体积为长方体体积的一半。

从图上可得长方体的底面为正方形， 且边长为2，长方体的高为314+=，∴22416V =⋅=长方体，∴182V V ==长方体，故选D ．一、单选题1．某几何体的三视图如图所示，若该几何体的表面积为，则俯视图中圆的半径为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A【解析】由三视图可知该几何体为一个长方体挖去了一个半球，设圆半径为r ， ∴该几何体的表面积2222242216S r r r r r r =⨯⋅+⨯⋅-π⋅+π⋅=+π，得1r =，故选A ． 2．正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1AA 的中点（如图）用过点1B E D 、、的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的左视图为（ ）对点增分集训A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】由题意可知：过点B 、E 、1D 的平面截去该正方体的上半部分，如图直观图， 则几何体的左视图为D ，故选D ．3．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．236B ．72C ．76D ．4【答案】A【解析】由三视图可得，该几何体是如图所示的三棱柱11ABB DCC -挖去一个三棱锥E FCG -，故所求几何体的体积为()111232221112326⎛⎫⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，故选A ．4．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是半径为1的半圆，则该几何体的表面积为（ ）A ．()251++πB ．5212⎛⎫++π ⎪ ⎪⎝⎭C ．51222⎛⎫++π ⎪ ⎪⎝⎭D ．5122⎛⎫+π ⎪ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】由三视图可知，其对应的几何体是半个圆锥，圆锥的底面半径为1r =， 圆锥的高2h =，其母线长22125l =+=，则该几何体的表面积为：21115111522222222S ⎛⎫=⨯π⨯+⨯π⨯⨯+⨯⨯=++π ⎪ ⎪⎝⎭，本题选择C 选项． 5．若某三棱柱截去一个三棱锥后所剩几何体的三视图如图所示，则所截去的三棱锥．．．．．．的外接球的表面积等于（ ）A ．34πB ．32πC ．17πD ．172π 【答案】A【解析】由三视图知几何体是底面为边长为3，4，5的三角形， 高为5的三棱柱被平面截得的，如图所示，截去的是一个三棱锥，底面是边长为3，4，5的直角三角形，高为3的棱锥， 如图蓝色线条的图像是该棱锥，三棱锥上底面外接圆半径52圆心设为M 半径为r ，球心到底面距离为32，设球心为O ， 由勾股定理得到2222253342224h R r ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，2434S R =π=π，故选A ．6．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的外接球的表面积为（ ）A ．32πB ．16πC ．36πD ．72π【答案】C【解析】还原几何体如图所示三棱锥由1B BCD -（如下左图），将此三棱锥补形为直三棱柱111B C D BCD -（如上右图），在直三棱柱111B C D BCD -中取1BC B C 、的中点12O O 、，取12O O 中点O ，()()()22222523R O A OO =+=+=，2244336S R =π=⨯=π表，故答案为C ．7．一个四棱锥的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．642+B ．842+C ．643+D ．843+【答案】B【解析】根据三视图，画出原空间结构图如下图所示：∴表面积为111111111111DA D DA B DB C DC D A B C D S S S S S S =++++11112222222222228422222=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯=+，∴故选B ． 8．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三视图的长、宽、高分别为2，a ，b ，且()520,02a b a b +=>>，则此三棱锥外接球表面积的最小值为（ ）A ．174π B ．214π C ．4π D ．5π【答案】B【解析】由已知条件及三视图得，此三棱锥的四个顶点位于长方体1111ABCD A B C D -的四个顶点，即为三棱锥11A CB D -，且长方体1111ABCD A B C D -的长、宽、高分别为2，a ，b ，∴此三棱锥的外接球即为长方体1111ABCD A B C D -的外接球，且球半径为222222422a b a b R ++++==， ∴三棱锥外接球表面积为()()222222421445124a b a b a ⎛⎫++ππ=π++=π-+⎪ ⎪⎝⎭， ∴当且仅当1a =，12b =时，三棱锥外接球的表面积取得最小值为214π．故选B ． 9．在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PA AB =，该四棱锥被一平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ）A ．12 B ．13C ．14 D ．15【答案】B【解析】由三视图知，剩余部分的几何体是四棱锥P ABCD -被平面QBD 截去三棱锥Q BCD -（Q 为PC 中点）后的部分，连接AC 交BD 于O ，连楼OQ ，则OQ PA ∥，且12OQ PA =，设PA AB a ==，则313P ABCD V a -=，23111132212Q BCD V a a a -=⨯⨯=， 剩余部分的体积为：3311312a a -，则所求的体积比值为：3331112113312aa a =-．本题选择B 选项．10．如图，画出的是某四棱锥的三视图，网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的体积为（ ）A ．15B ．16C ．503D ．533【答案】C【解析】由题得几何体原图是下图中的四棱锥A BCDE -，底面四边形BCDE 的面积为114442221022⨯-⨯⨯-⨯⨯=，∴四棱锥的体积为15010533⨯⨯=，故答案为C ．11．某几何体的三视图如图（虚线刻画的小正方形边长为1）所示，则这个几何体的体积为（ ）A ．94B ．823C ．12D ．83【答案】D【解析】几何体为如图多面体PABCDE ，∴体积为()11118221222132323D PABE A BCD V V --+=⨯⨯⨯⨯++⨯⨯⨯⨯=，故选D ．12．如图为一个多面体的三视图，则该多面体的体积为（ ）A ．203B ．7C ．223D ．233【答案】B【解析】如图所示，该几何体为正方体去掉两个倒置的三棱锥，∴该多面体的体积为32111121212273232V =-⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=；故选B ．二、填空题13．网格纸上小正方形的边长为1，粗虚、实线画出的是某个长方体挖去一个几何体得到的几何图形的三视图，则该被挖去的几何体的体积为__________．【答案】12【解析】根据三视图知长方体挖去部分是一个底面为等腰梯形（上底为2，下底为4，高为2）高为2的直四棱柱，∴()12422122V Sh ==+⨯⨯=． 14．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积和体积分别为_______与_______．【答案】404+π，4163π+ 【解析】由三视图可知，其对应的几何体是一个组合体，上半部分是一个直径为2的球，下半部分是一个直棱柱，棱柱的底面是边长为2的正方形，高为4，则该几何体的表面积224122424404S =π⨯+⨯+⨯⨯=+π， 几何体的体积：32441241633V =π⨯+⨯=+π． 15．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为_________．【答案】1【解析】根据题中所给的三视图，还原几何体，可知其为有一条侧棱垂直于底面的一个四棱锥，该四棱锥的底面就是其俯视图中的直角梯形，根据图中所给的数据，结合椎体的体积公式， 可得其体积11212132V +=⨯⨯⨯=，故答案是1． 16．已知某几何体的三视图如图所示，三视图的轮廓均为正方形，则该几何体的体积为__________．【答案】23【解析】由三视图知，该几何体由正方体沿面11AB D 与面11CB D 截去两个角所得，其体积为33112121233-⨯⨯⨯=，故答案为23．。

第1讲 空间几何体的三视图、表面积及体积A 级 基础通关一、选择题1．半径为R 的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为( ) A.525πR 3B.324πR 3C.58πR 3D.38πR 3 解析：设圆锥的底面圆的半径为r ，高为h ， 由2πr ＝πR ，得r ＝R2，因此h ＝R 2－r 2＝32R . 所以V 圆锥＝13πr 2·h ＝13π·⎝ ⎛⎭⎪⎫R 22·32R ＝324πR 3.答案：B2．(2018·北京卷)某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：由三视图得到空间几何体，如图所示，则PA ⊥平面ABCD ，平面ABCD 为直角梯形，PA ＝AB ＝AD ＝2，BC ＝1，所以PA ⊥AD ，PA ⊥AB ，PA ⊥BC .又BC ⊥AB ，AB ∩PA ＝A ，所以BC ⊥平面PAB ，所以BC ⊥PB .在△PCD 中，PD ＝22，PC ＝3，CD ＝5，所以△PCD 为锐角三角形．所以侧面中的直角三角形为△PAB ，△PAD ，△PBC ，共3个．答案：C3．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A ．8＋3πB ．8＋4πC ．8＋5πD ．8＋6π解析：由题图可知，几何体为半圆柱挖去半球体，几何体的表面积为2×π2×4＋π＋2×4－π＋4π2＝8＋6π.答案：D4．中国古代数学名著《九章算术》中，将底面是直角三角形的直棱柱称为“堑堵”．已知“堑堵”的正视图和俯视图如图所示，则该“堑堵”的侧视图的面积为( )A ．18 6B ．18 3C ．18 2D.2722解析：在俯视图Rt △ABC 中，作AH ⊥BC 交于点H .由三视图的意义，则BH ＝6，HC ＝3，根据射影定理，AH 2＝BH ·HC ，所以AH ＝3 2.易知该“堑堵”的侧视图是矩形，长为6，宽为AH ＝32，故侧视图的面积S ＝6×32＝18 2.答案：C5．(2019·青岛二中检测)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．6B ．4C.223D.203解析：由三视图知该几何体是边长为2的正方体挖去一个三棱柱(如图)，且挖去的三棱柱的高为1，底面是等腰直角三角形，等腰直角三角形的直角边长为2，故几何体体积V ＝23－12×2×2×1＝6.答案：A6．(2017·全国卷Ⅲ)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( )A ．πB.3π4C.π2D.π4解析：设圆柱的底面半径为r ，球的半径为R ，且R ＝1， 由圆柱两个底面的圆周在同一个球的球面上可知，r ，R 及圆柱的高的一半构成直角三角形．所以r ＝12－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝32.所以圆柱的体积为V ＝πr 2h ＝34π×1＝3π4.故选B.答案：B 二、填空题7．(2019·江苏卷)如图，长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的体积是120，E 为CC 1的中点，则三棱锥E-BCD 的体积是________．解析：设长方体中BC ＝a ，CD ＝b ，CC 1＝c ，则abc ＝120，所以V EBCD ＝13×12ab ×12c ＝112abc ＝10.答案：108．(2018·浙江卷改编)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm 3)为________．解析：由三视图可知，该几何体是一个底面为直角梯形的直四棱柱，所以该几何体的体积V ＝12×(1＋2)×2×2＝6.答案：69．(2017·北京卷改编)某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为________．解析：根据三视图可得该四棱锥的直观图(四棱锥P-ABCD)如图所示，将该四棱锥放入棱长为2的正方体中．由图可知该四棱锥的最长棱为PD，PD＝22＋22＋22＝2 3.答案：2 310．(2019·惠州调研)已知一张矩形白纸ABCD，AB＝10，AD＝102，E，F分别为AD，BC的中点，现分别将△ABE，△CDF沿BE，DF折起，使A，C重合于点P，则三棱锥PDEF的外接球的表面积为________．解析：三棱锥P-DEF中，PD2＋PF2＝CD2＋CF2＝DF2，所以∠DPF＝90°，且DF2＝102＋(52)2＝150.又∠DEF＝90°，所以DF的中点为三棱锥PDEF的外接球的球心，则2R＝DF，故球的表面积S＝4πR2＝150π.答案：150πB级能力提升11．(2019·雅礼中学质检)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.5π3B ．5C.2π3D ．π解析：由三视图可知，该几何体是一个组合体，它由半个圆锥与四分之一球体组成，其中圆锥的底面半径为1，高为2，体积为12×13×π×12×2＝π3；球的半径为1，体积为14×43π×13＝π3.所以该几何体的体积V ＝π3＋π3＝2π3.答案：C12．我国齐梁时代的数学家祖暅提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．椭球体是椭圆绕其轴旋转所成的旋转体．如图，将底面直径都为2b ，高皆为a 的椭半球体和已被挖去了圆锥体的圆柱放置于同一平面β上，用平行于平面β且与平面β任意距离d 处的平面截这两个几何体，可横截得到S 圆及S 环两截面．可以证明S 圆＝S 环总成立．据此，半短轴长为1，半长轴长为3的椭球体的体积是________．解析：因为S 圆＝S 环总成立，则半椭球体的体积为πb 2a －13πb 2a ＝23πb 2a .所以椭球体的体积V ＝43πb 2a .因为椭球体半短轴长为1，半长轴长为3即b ＝1，a ＝3. 故椭球体的体积V ＝43πb 2a ＝4π.答案：4π13.在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．如图，若四棱锥P-ABCD 为阳马，侧棱PA ⊥底面ABCD ，且PA ＝3，BC ＝AB ＝4，设该阳马的外接球半径为R ，内切球半径为r ，则R ＝________，内切球的体积V ＝________．解析：在四棱锥P-ABCD 中，侧棱PA ⊥底面ABCD ，且底面为矩形，将该“阳马”补成长方体，则(2R )2＝AB 2＋AD 2＋AP 2＝16＋16＋9＝41. 因此R ＝412. 依题意Rt △PAB ≌Rt △PAD ，则内切球O 在侧面PAD 内的正视图是△PAD 的内切圆，且该内切圆与△PAB 的内切圆全等．故内切球的半径r ＝12(3＋4－5)＝1，则V ＝43πr 3＝43π.答案：412 43π 14．(2017·全国卷Ⅰ)已知三棱锥S ­ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面SCA ⊥平面SCB ，SA ＝AC ，SB ＝BC ，三棱锥S ­ABC 的体积为9，则球O 的表面积为________．解析：如图，连接OA ，OB .由SA ＝AC ，SB ＝BC ，SC 为球O 的直径，知OA ⊥SC ，OB ⊥SC . 由平面SCA ⊥平面SCB ， 平面SCA ∩平面SCB ＝SC ， 所以OA ⊥平面SCB . 设球O 的半径为r ，则OA ＝OB ＝r ，SC ＝2r ，所以三棱锥S ­ABC 的体积V ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12SC ·OB ·OA ＝r 33， 即r 33＝9，所以r ＝3，所以S 球表＝4πr 2＝36π. 答案：36π。

求几何体的表面积的方法(1)求表面积问题的基本思路是将立体几何问题转化为平面几何问题，即空间图形平面化，这是解决立体几何的主要出发点．(2)求不规则几何体的表面积时，通常将所给几何体分割成基本的柱、锥、台体，先求这些柱、锥、台体的表面积，再通过求和或作差得不规则几何体的表面积．命题角度二 空间几何体的体积(1)(20xx·河北衡水中学四调)如图所示，某几何体由底面半径和高均为5的圆柱与半径为5的半球对接而成，在该封闭几何体内部放入一个小圆柱体，且小圆柱体的上下底面均与外层圆柱的底面平行，则小圆柱体积的最大值为( )A ．2 000π9B ．4 000π27C ．81πD ．128π(2)(一题多解)如图，在直角梯形ABCD 中，AD ＝AB ＝4，BC ＝2，沿中位线EF 折起，使得∠AEB 为直角，连接AB ，CD ，则所得的几何体的表面积为________，体积为________．【解析】 (1)小圆柱的高分为上下两部分，上部分的高同大圆柱的高相等，为5，下部分深入底部半球内．设小圆柱下部分的高为h (0＜h ＜5)，底面半径为r (0＜r ＜5)．由于r ，h 和球的半径构成直角三角形，即r 2＋h 2＝52，所以小圆柱体积V ＝πr 2(h ＋5)＝π(25－h 2)(h ＋5)(0＜h ＜5)，求导得V ′＝－π(3h －5)(h ＋5)．当0＜h ＜53时，V ′＞0，体积V 单调递增；当53＜h＜5时，V ′＜0，体积V 单调递减．所以当h ＝53时，小圆柱的体积取得最大值，即V max ＝π⎝⎛⎭⎫25－259×⎝⎛⎭⎫53＋5＝4 000π27，故选B. (2)如图，过点C 作CM 平行于AB ，交AD 于点M ，作CN 平行于BE ，交EF 于点N ，连接MN .由题意可知ABCM ，BENC 都是矩形，AM ＝DM ＝2，CN ＝2，FN ＝1，AB ＝CM ＝22，所以S △AEB ＝12×2×2＝2，S 梯形ABCD ＝12×(2＋4)×22＝62，S 梯形BEFC ＝12×(2＋3)×2＝5，S 梯形AEFD ＝12×(3＋4)×2＝7，在直角三角形CMD 中，CM ＝22，MD ＝2， 所以CD ＝23.又因为DF ＝FC ＝5，所以S △DFC ＝12×23×2＝6，所以这个几何体的表面积为2＋62＋5＋7＋6＝14＋62＋6.所以AS 为三棱锥S -ABC 的高，所以V S ­ABC ＝13×6×2×12×23＝43，故选C.2．(20xx·江苏南通联考)已知正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的各棱长均为2，点D 在棱AA 1上，则三棱锥D -BB 1C 1的体积为________．解析：如图，取BC 中点O ，连接AO .因为正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的各棱长均为2，所以AC ＝2，OC ＝1，则AO ＝3.因为AA 1∥平面BCC 1B 1，所以点D 到平面BCC 1B 1的距离为3. 又S △BB 1C 1＝12×2×2＝2，所以VD ­BB 1C 1＝13×2×3＝233.答案：233与球有关的切、接问题[典型例题]A.12B.14C.16D.112解析：选C.V A ­BC 1M ＝V C 1­ABM ＝13S △ABM ·C 1C ＝13×12AB ×AD ×C 1C ＝16.故选C.3．把一个半径为20的半圆卷成圆锥的侧面，则这个圆锥的高为( ) A ．10 B ．103 C ．102D ．53解析：选B.设圆锥的底面半径为r ，高为h .因为半圆的弧长等于圆锥的底面周长，半圆的半径等于圆锥的母线，所以2πr ＝20π，所以r ＝10，所以h ＝202－102＝103.4．已知圆柱的高为2，底面半径为3，若该圆柱的两个底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的表面积等于( )A ．4π B.163π C.323π D ．16π解析：选D.如图，由题意知圆柱的中心O 为这个球的球心，于是，球的半径r ＝OB ＝OA2＋AB2＝12＋（3）2＝2.故这个球的表面积S ＝4πr 2＝16π.故选D.5．在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝2，AA 1＝1，则点B 到平面D 1AC 的距离等于( )A.33B.63C ．1 D.2解析：选B.如图，连接BD 1，易知D 1D 就是三棱锥D 1­ABC 的高，AD 1＝CD 1＝5，取AC 的中点O ，连接D 1O ，则D 1O ⊥AC ，所以D 1O ＝AD21－AO 2＝3.设点B 到平面D 1AC 的距离为h ，则由V B ­D 1AC ＝V D 1­ABC ，即13S △D 1AC ·h ＝13S △ABC ·D 1D ，又S △D 1AC ＝12D 1O ·AC ＝12×3×22＝6，S △ABC ＝12AB ·BC ＝12×2×2＝2，所以h ＝63.故选B. 6．在三棱锥S -ABC 中，SB ⊥BC ，SA ⊥AC ，SB ＝BC ，SA ＝AC ，AB ＝12SC ，且三棱锥S -ABC 的体积为932，则该三棱锥的外接球半径是( ) A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C.取SC 的中点O ，连接OA ，OB ，则OA ＝OB ＝OC ＝OS ，即O 为三棱锥的外接球球心，设半径为r ，则13×2r ×34r 2＝932，所以r ＝3. 7．(20xx·安徽省江南十校3月检测)我国南北朝时期的科学家祖暅提出了计算体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异．”意思是：如果两个等高的几何体在等高处的水平截面的面积恒等，那么这两个几何体的体积相等．利用此原理求以下几何体的体积：如图，曲线y ＝x 2(0≤y ≤L )和直线y ＝L 围成的封闭图形绕y 轴旋转一周得几何体Z ，将Z 放在与y 轴垂直的水平面α上，用平行于平面α，且与Z 的顶点O 距离为l 的平面截几何体Z ，得截面圆的面积为π(l )2＝πl .由此构造右边的几何体Z 1(三棱柱ABC -A 1B 1C 1)，其中AC ⊥平面α，BB 1C 1C ∥α，EFPQ ∥α，AC ＝L ，AA 1⊂α，AA 1＝π，Z 1与Z 在等高处的截面面积都相等，图中EFPQ 和BB 1C 1C 为矩形，且PQ ＝π，FP ＝l ，则几何体Z 1的体积为( )A ．πL 2B ．πL 3C.12πL 2D.12πL 3 解析：选C.由题意可知，在高为L 处，几何体Z 和Z 1的水平截面面积相等，为πL ，所以S 矩形BB 1C 1C ＝πL ，所以BC ＝L ，所以V 三棱柱ABC -A 1B 1C 1＝S △ABC ·π＝12πL 2，故选C. 8．(20xx·××市七校联合考试)已知正三棱锥的高为6，内切球(与四个面都相切)的表面积为16π，则其底面边长为( )A ．18B ．12C ．63D ．43解析：选B.由题意知，球心在三棱锥的高PE 上，设内切球的半径为R ，则S 球＝4πR 2＝16π，所以R ＝2，所以OE ＝OF ＝2，OP ＝4.在Rt △OPF 中，PF ＝OP2－OF2＝23.因为△OPF ∽△DPE ，所以OF DE ＝PF PE，得DE ＝23，AD ＝3DE ＝63，AB ＝23AD ＝12.故选B. 9．(多选)下列说法正确的是( )A ．用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆面B ．圆台的任意两条母线延长后一定交于一点C ．有一个面为多边形，其余各面都是三角形的几何体叫作棱锥D ．若棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥不可能是正六棱锥解析：选ABD.在A 中，用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆面，故A 正确；在B 中，由圆台的概念知圆台的任意两条母线延长后一定交于一点，故B 正确；在C 中，依照棱锥的定义，其余各面的三角形必须有公共的顶点，故C 错误；在D 中，若六棱锥的底面边长都相等，则底面为正六边形，由过底面中心和顶点的截面知，若以正六边形为底面，侧棱长一定大于底面边长，故D 正确．10．(多选)在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下几种几何图形的4个顶点，这些几何图形可以是( )A ．矩形B ．有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体C ．每个面都是直角三角形的四面体D ．每个面都是等边三角形的四面体解析：选ABCD.4个顶点连成矩形的情形显然成立；图(1)中四面体A 1­D 1B 1A 是B 中描述的情形；图(2)中四面体D -A 1C 1B 是D 中描述的情形；图(3)中四面体A 1­D 1B 1D 是C 中描述的情形．正三棱锥的高为18－12＝6.答案：614．(20xx·高考天津卷)已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱长均为5.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为________．解析：由题可得，四棱锥底面对角线的长为2，则圆柱底面的半径为12，易知四棱锥的高为5－1＝2，故圆柱的高为1，所以圆柱的体积为π×⎝⎛⎭⎫122×1＝π4. 答案：π415．(20xx·高考全国卷Ⅰ)已知∠ACB ＝90°，P 为平面ABC 外一点，PC ＝2，点P 到∠ACB 两边AC ，BC 的距离均为3，那么P 到平面ABC 的距离为____________．解析：如图，过点P 分别作PE ⊥BC 交BC 于点E ，作PF ⊥AC 交AC于点F .由题意知PE ＝PF ＝3.过P 作PH ⊥平面ABC 于点H ，连接HE ，HF ，HC ，易知HE ＝HF ，则点H 在∠ACB 的平分线上，又∠ACB ＝90°，故△CEH 为等腰直角三角形．在Rt △PCE 中，PC ＝2，PE ＝3，则CE ＝1，故CH ＝2，在Rt △PCH 中，可得PH ＝2，即点P 到平面ABC 的距离为2.答案：216．(20xx·河南八市重点高中联盟测评改编)已知一个高为1的三棱锥，各侧棱长都相等，底面是边长为2的等边三角形，则三棱锥的表面积为________，若三棱锥内有一个体积为V 的球，则V 的最大值为________．解析：该三棱锥侧面的斜高为⎝⎛⎭⎫13×32＋12＝233，则S 侧＝3×12×2×233＝23，S 底＝12×3×2＝3，所以三棱锥的表面积S 表＝23＋3＝33.由题意知，当球与三棱锥的四个面都相切时，其体积最大．设三棱锥的内切球的半径为r ，则三棱锥的体积V 锥＝13S 表·r ＝13S 底·1，所以33r ＝3，所以r ＝13，所以三棱锥的内切球的体积最大为V max ＝43πr 3＝4π81. 答案：334π81。

专题八立体几何33空间几何体的表面积和体积1．若圆锥的高扩大为原来的3倍，底面半径缩短为原来的12，则圆锥的体积A．缩小为原来的34B．缩小为原来的23C．扩大为原来的2倍D．不变2．球的体积是32π3，则此球的表面积是A．12πB．16πC．16π3D．64π33．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A．43B．53C．73D．524．将边长为2的正沿高折成直二面角，则三棱锥的外接球的表面积是A．B．C．D．5．某几何体的三视图如图所示，则它的表面积为A ．28(31)π++B ．32π＋C ．32(31)π+-D ．283π＋6．如图，在三棱锥 中，平面 平面 为等边三角形， ，其中 分别为 的中点，则三棱锥 的体积为A ．33 B ．34 C ．36D ．3127．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为8，则这个球的表面积为________.8．如图，网络纸上小正方形的边长为1．粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为__________．9．如图，直角梯形ABCD 中，AD DC ⊥，∥AD BC ，222BC CD AD ===，若将直角梯形绕BC 边旋转一周，则所得几何体的表面积为__________．10．中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅制造的一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图(单位：寸)如图所示，若 取3，其体积为12.6(立方寸)，则图中的 为__________.11．一个三棱锥的正视图和侧视图如图所示(均为真角三角形)，则该三棱锥的体积为A ．4B ．8C ．16D ．2412．已知A ，B 是球O 的球面上两点，90AOB ∠=︒，C 为该球面上的动点.若三棱锥O ABC -的体积的最大值为36，则球O 的表面积为A ．36πB ．64πC ．144πD ．256π13．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”.已知某“堑堵”的三视图如下图所示，俯视图中间的实线平分矩形的面积，则该“堑堵”的表面积为A ．B ．C ．D ．14．如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm,如果不计容器的厚度，则球的体积为A ．3500πcm 3 B ．3866πcm 3 C ．31372πcm 3D ．32048πcm 315．如图画出的是某几何体的三视图，网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的体积为A ．25π3 B ．26π3 C ．22π3D ．23π316．某几何体的正视图和侧视图均为如图所示的等腰三角形，则该几何体的体积不可能是A ．B ．2C ．4D ．617．如图，网格纸上小正方形的边长为a ，粗实线画出的是某几何体的三视图，若该几何体的表面积为32+，则a 的值为A ．14 B ．13C ．12D ．118．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三视图的长、宽、高分别为2，a ，b ，且()520,02a b a b +=>>，则此三棱锥外接球表面积的最小值为A ．17π4B ．21π4C ．4πD ．5π19．如图①，矩形ABCD 的边7BC =，直角三角形BCM 的边2BM =，3CM =，沿BC 把三角形BCM 折起，构成四棱锥M ABCD -，使得M 在平面ABCD 内的射影落在线段AD 上，如图②，则这个四棱锥的体积的最大值为__________．20．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知三棱锥P −ABC 的四个顶点在球O 的球面上，P A =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是P A ，AB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为 A ．68π B ．64π C ．62πD ．6π21．【2019年高考浙江卷】祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V 柱体=Sh ，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高．若某柱体的三视图如图所示（单位：cm ），则该柱体的体积（单位：cm 3）是A ．158B ．162C ．182D ．32422．【2018年高考浙江卷】某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：cm 3）是A ．2B ．4C ．6D ．823．【2018年高考全国Ⅲ卷理数】设A B C D ，，，是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC △为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D ABC -体积的最大值为 A ．123 B ．183 C ．243D ．54324．【2017年高考全国Ⅱ卷理数】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为A ．90πB ．63πC ．42πD ．36π25．【2017年高考全国Ⅲ卷理数】已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为 A ．πB ．3π4 C ．π2D ．π426．【2017年高考浙江卷】某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：cm 3）是侧视图俯视图正视图2211A ．12π+ B ．32π+ C ．312π+D ．332π+ 27．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型.如图，该模型为长方体1111ABCD A B C D -挖去四棱锥O —EFGH 后所得的几何体，其中O 为长方体的中心，E ，F ，G ，H 分别为所在棱的中点，16cm 4cm AB =BC =, AA =，3D 打印所用原料密度为0.9 g/cm 3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为___________g.28．【2019年高考北京卷理数】某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为__________．29．【2019年高考天津卷理数】已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱长均为5．若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为_____________．30．【2019年高考江苏卷】如图，长方体1111ABCD A B C D -的体积是120，E 为1CC 的中点，则三棱锥E −BCD的体积是 ▲ .31．【2018年高考江苏卷】如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________．32．【2018年高考天津卷理数】已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，除面ABCD 外，该正方体其余各面的中心分别为点E ，F ，G ，H ，M (如图)，则四棱锥M EFGH -的体积为 .33．【2018年高考全国II 卷理数】已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的余弦值为78，SA 与圆锥底面所成角为45°，若SAB △的面积为515，则该圆锥的侧面积为__________．34．【2017年高考全国I 卷理数】如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为5 cm ，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O .D ，E ，F 为圆O 上的点，△DBC ，△ECA ，△F AB 分别是以BC ，CA ，AB 为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以BC ，CA ，AB 为折痕折起△DBC ，△ECA ，△F AB ，使得D ，E ，F 重合，得到三棱锥.当△ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm 3）的最大值为 .35．【2017年高考山东卷理数】由一个长方体和两个圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为 .36．【2017年高考天津卷理数】已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为___________．37．【2017年高考江苏卷】如图，在圆柱12O O 内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱12O O 的体积为1V ，球O 的体积为2V ，则12V V 的值是 .14。

培优点十三 三视图与体积、表面积例1：中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由题意可知带卯眼的木构件的直观图如图所示，由直观图可知其俯视图，应选A ．例2：如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，点P 是棱CD 上一点，则三棱锥11P A B A -的侧视图是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】在长方体1111ABCD A B C D -中，从左侧看三棱锥11P A B A -，一、根据几何体的结构特征确认其三视图1B 、1A 、A 的射影分别是1C 、1D 、D ，1AB 的射影为1C D ，且为实线，1PA 的射影为1PD ，且为虚线．故选D ．例3：如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体 是（）A ．三棱锥B ．三棱柱C ．四棱锥D ．四棱柱【答案】B【解析】由题三视图得直观图如图所示，为三棱柱．故选B ．例4：若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是（）二、根据三视图还原几何体的直观图A．B．C．D．【答案】D【解析】由三视图知该几何体的上半部分是一个三棱柱，下半部分是一个四棱柱．故选D．三、已知几何体的三视图中某两个视图，确定另外一种视图例5：如图是一个空间几何体的正视图和俯视图，则它的侧视图为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由正视图和俯视图可知，该几何体是一个圆柱挖去一个圆锥构成的，结合正视图的宽及俯视图的直径知其侧视图应为A ．故选A ．例6：一个几何体的三视图中，正视图和侧视图如图所示，则俯视图不可以为（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】A 中，该几何体是直三棱柱，所以A 有可能； B 中，该几何体是直四棱柱，所以B 有可能； C 中，由题干中正视图的中间为虚线知，C 不可能； D 中，该几何体是直四棱柱，所以D 有可能． 综上，故选C ．例7：如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积 为（）A ．5π18+B ．6π18+C ．8π6+D ．10π6+四、根据几何体的三视图计算表面积【答案】C【解析】由三视图可知该几何体是由一个半圆柱和两个半球构成的，故该几何体的表面积为2211124π12π1232π138π6222⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯+⨯⨯⨯=+． 故选C ．例8：如图所示，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是（）A ．17πB ．18πC ．20πD ．28π【答案】A【解析】由几何体的三视图可知，该几何体是一个球体去掉上半球的14，得到的几何体如图． 设球的半径为R ，则3341428πππ3833R R -⨯=，解得2R =． 因此它的表面积为22734ππ17π84R R ⨯+=．故选A ．例9：某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：3cm)是（）A．π12+B．π32+C．3π12+D．3π32+【答案】A【解析】由几何体的三视图可知，该几何体是一个底面半径为1，高为3的圆锥的一半与一个底面为直角边的等腰直角三角形，高为3的三棱锥的组合体，∴该几何体的体积21111ππ323221331⨯⨯⨯⨯+=+．故选A．例10：如图所示，已知多面体ABCDEFG中，AB、AC、AD两两互相垂直，平面ABC∥平面DEFG，平面BEF∥平面ADGC，2AB AD DG===，1AC EF==，则该多面体的体积为________．【答案】4【解析】法一：(分割法)因为几何体有两对相对面互相平行，如图所示，五、根据几何体的三视图计算体积过点C 作CH DG ⊥于H ，连接EH ，即把多面体分割成一个直三棱柱DEH ABC -和一个斜三棱柱BEF CHG -．由题意，知三棱柱DEH ABC -的体积11(2221)2DEH V S AD =⨯⨯⨯=⨯=△，三棱柱BEF CHG -的体积21(2221)2BEF V S DE =⨯⨯⨯=⨯=△， 故所求多面体ABCDEFG 的体积为12224V V V =+=+=．法二：(补形法)因为几何体有两对相对面互相平行，如图所示，将多面体补成棱长为2的正方体，显然所求多面体的体积即该正方体体积的一半．又正方体ABHI DEKG -的体积328V '==，故所求多面体ABCDEFG 的体积为118422V V '==⨯=．一、选择题1．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的各个面中是直角三角形的个数为（）对点增分集训A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】三视图还原为如图所示三棱锥A BCD -，由正方体的性质得ABC △、BCD △、ACD △为直角三角形，ABD △为正三角形，故选C ．2．某几何体的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的表面积（）A ．5πB ．6πC ．6π2+D ．5π2+【答案】D【解析】由三视图可知，该几何体为两个半圆柱构成，其表面积为22π1π12π11215π2⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯=+，故选D ． 3．已知一个几何体的三视图如图所示，则其体积为（）A ．12πB ．16πC ．32π3D ．403π【答案】D【解析】由三视图可知，该几何体为圆柱挖去其16后的剩余部分，该圆柱的底面半径为2，高为4，故其体积为圆柱体积的56，25540ππ16π663V R h ==⨯=．故选D ．4．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为（）A ．23B ．43C ．83D【答案】C【解析】该三视图还原成直观图后的几何体是如图所示的四棱锥A BCDE -，CBA △和ACD △是两个全等的直角三角形，且2AC CD BC ===，故几何体的体积为1822233⨯⨯⨯=，故选C ．5．我国古代《九章算术》将上下两个平行平面为矩形的六面体称为刍童．如图是一个刍童的三视图， 其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的长分别为2和6，高为2，则该刍童的体积为（）A ．1003B ．1043C ．27D ．18【答案】B【解析】由题意几何体原图为正四棱台，底面的边长分别为2和6，高为2，所以几何体体积1104(436233V =+⨯=．故选B ． 6．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各棱中， 最长的棱的长度为（）A ．B ．6C ．D ．4【答案】B【解析】三视图还原成如图所示的几何体，三棱锥S ABC -，则4SB BC ==，SC =AC AB ==6SA =．故选B ．7．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 、G 分别为棱CD 、1CC 、11A B 的中点，用过点E 、F 、G 的平面截正方体，则位于截面以下部分的几何体的侧视图为（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】过点E ，F ，G 截正方体的平面为如图所示的平面EFKGHI ， 由图知位于截面以下部分的几何体的侧视图为C 选项，故选C ．8．如图所示的网格是由边长为1的小正方形构成，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A ．40B ．103C ．163D ．803【答案】D【解析】根据几何体三视图可得，该几何体是三棱柱BCE AGF -割去一个三棱锥A BCD -所得的几何体，如图所示，所以其体积为111180444(44)423223V =⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=．故选D ．9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积是（）A ．π3B C ．3π D ．【答案】B【解析】根据几何体的三视图知，该几何体是由一个正方体切去正方体的一角得到的，故该几何体的外接球为正方体的外接球，所以球的半径22r ==，则34π3V =⋅⋅=⎝⎭B ． 10．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球半径为（）ABCD．【答案】C【解析】由三视图可知三棱锥的直观图如图，由三视图可知底面三角形是边长为2，顶角120︒的三角形， 所以其外接圆半径结合正弦定理可得，224sin30r ==︒，由侧面为两等腰直角三角形，可确定出外接圆圆心，利用球的几何性质可确定出球心，且球心到底面的距离1d =，所以球半径R ==，故选C ．11．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的体积为（）A ．6B ．8C．D．【答案】B【解析】由三视图可得四棱锥为如图所示的长方体1111ABCD A B C D -中的四棱锥11C DEE D -，其中在长方体1111ABCD A B C D -中，4AB =，2AD =，13AA =，点E 、1E 分别为AB 、11A B 的中点，由题意得CE DE ==CE DE ⊥，又1CE EE ⊥，所以CE ⊥平面11DEE D ，即线段CE 即为四棱锥11C DEE D -的高，所以四棱锥11C DEE D -的体积1111(3833DEE D V S CE =⋅⋅=⨯⨯⨯=．故选B ．12．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为线段CD 和11A B 上的动点，且满足1CE A F =，则四边形1D FBE 所围成的图形（如图所示阴影部分）分别在该正方体有公共顶点的三个面上的正投影的面积之和（）A ．有最小值32B ．有最大值52C ．为定值3D ．为定值2【答案】D【解析】依题意，设四边形1D FBE 的四个顶点在后面、上面、左面的投影点分别为'D 、F '、B '、E '，则四边形1D FBE 在上面、后面、左面的投影分别如下图， 所以在后面的投影的面积为1111S =⨯=， 在上面的投影面积211S D E DE DE ''=⨯=⨯=， 在左面的投影面积311S B E CE CE ''=⨯=⨯=，所以四边形1D FBE 所围成的图形分别在该正方体有公共顶点的三个面上的正投影的面积之和为123112S S S S DE CE CD =++=++=+=．故选D ．二、填空题13．某几何体的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的表面积是．【答案】6485+【解析】由三视图可知，该几何体的直观图为如图所示的四棱柱，则11111(24)4122ABCD A B C D S S ==⨯+⨯=，11114416BCC B CC D D S S ==⨯=， 11428ABB A S =⨯=，1142585AA D D S =⨯=，所以该四棱柱的表面积为24328856485S =+++=+．14．《九章算术》是我国古代数学名著，在《九章算术》中将底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”．若某“阳马”的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该“阳马”的表面积为．【答案】22【解析】由三视图可得该“阳马”的底面是边长为1的正方形，且高为1， 故该“阳马”的表面积为1121121221222+⨯⨯⨯+⨯=+15．已知圆锥的高为33体积等于．【答案】32π3【解析】设该圆锥的外接球的半径为R ，依题意得，222()3R R +-=，解得2R =，故所求球的体积334432ππ2π333V R ==⨯=． 16．已知点P 、A 、B 、C 是半径为2的球面上的点，2PA PB PC ===，90ABC ∠=︒，点B 在AC 上的射影为D ，则三棱锥P ABD -体积的最大值是．【解析】设点P 在平面ABC 上的射影为G ，如图， 由2PA PB PC ===，90ABC ∠=︒知，点P 在平面ABC 上的射影G 为ABC △的外心，即AC 的中点， 设球的球心为O ，连接PG ，则O 在PG 的延长线上， 连接OB 、BG ，设PG h =，则2OG h =-，所以2222OB OG PB PG -=-，即22()424h h --=-，解得1h =，则AG CG ==设AD x =，则GD x AG x =-=-BG =所以BD ==12ABD S AD BD ==⋅△令43()f x x =-+，则32()4f x x '=-+，由()0f x '=，得0x =或2x =，易知当2x =时，函数()f x 取得最大值24316，所以max 1()248ABD S =⨯=△．又1PG =，所以三棱锥P ABD -体积的最大值为193331388⨯⨯=．。