2020届高考数学复习 第81课时 第九章 直线、平面、简单几何体-棱柱、棱锥名师精品教案

2020版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何 §9.1 直线的方程1.平面直角坐标系中的基本公式 (1)两点的距离公式：已知平面直角坐标系中的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则d (A ，B )＝|AB |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. (2)中点公式：已知平面直角坐标系中的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，点M (x ，y )是线段AB 的中点，则x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y 22.2.直线的倾斜角(1)定义：x 轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角，我们规定，与x 轴平行或重合的直线的倾斜角为零度角. (2)倾斜角的范围：[0°，180°). 3.直线的斜率(1)定义：通常，我们把直线y ＝kx ＋b 中的系数k 叫做这条直线的斜率，垂直于x 轴的直线，人们常说它的斜率不存在；(2)计算公式：若由A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)确定的直线不垂直于x 轴，则k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2).若直线的倾斜角为θ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ≠π2，则k ＝tan θ. 4.直线方程的五种形式概念方法微思考1.直线都有倾斜角，是不是都有斜率？倾斜角越大，斜率k 就越大吗？ 提示 倾斜角α∈[0，π)，当α＝π2时，斜率k 不存在；因为k ＝tan α⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠π2.当α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，α越大，斜率k 就越大，同样α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时也是如此，但当α∈(0，π)且α≠π2时就不是了.2.“截距”与“距离”有何区别？当截距相等时应注意什么？提示 “截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数.应注意过原点的特殊情况是否满足题意.题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置.( √ ) (2)若直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.( × ) (3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等.( × )(4)经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示.( √ ) 题组二 教材改编2.若过点M (－2，m )，N (m,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为( ) A.1B.4C.1或3D.1或4 答案 A解析 由题意得m －4－2－m＝1，解得m ＝1.3.过点P (2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为. 答案 3x －2y ＝0或x ＋y －5＝0解析 当截距为0时，直线方程为3x －2y ＝0； 当截距不为0时，设直线方程为x a ＋y a＝1，则2a ＋3a＝1，解得a ＝5.所以直线方程为x ＋y －5＝0.题组三 易错自纠4.直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，πC.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π 答案 B解析 由直线方程可得该直线的斜率为－1a 2＋1， 又－1≤－1a 2＋1<0，所以倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π. 5.如果A ·C <0且B ·C <0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不通过( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案 C解析 由已知得直线Ax ＋By ＋C ＝0在x 轴上的截距－CA >0，在y 轴上的截距－C B>0，故直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限.6.过直线l ：y ＝x 上的点P (2,2)作直线m ，若直线l ，m 与x 轴围成的三角形的面积为2，则直线m 的方程为.答案 x －2y ＋2＝0或x ＝2解析 ①若直线m 的斜率不存在，则直线m 的方程为x ＝2，直线m ，直线l 和x 轴围成的三角形的面积为2，符合题意；②若直线m 的斜率k ＝0，则直线m 与x 轴没有交点，不符合题意；③若直线m 的斜率k ≠0，设其方程为y －2＝k (x －2)，令y ＝0，得x ＝2－2k ，依题意有12×⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－2k ×2＝2，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－1k ＝1，解得k ＝12，所以直线m 的方程为y －2＝12(x －2)，即x －2y ＋2＝0.综上可知，直线m 的方程为x －2y ＋2＝0或x ＝2.题型一 直线的倾斜角与斜率例1(1)直线2x cos α－y －3＝0⎝ ⎛⎭⎪⎫α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3的倾斜角的取值范围是 ( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，2π3答案 B解析 直线2x cos α－y －3＝0的斜率k ＝2cos α， 因为α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3，所以12≤cos α≤32，因此k ＝2cos α∈[1， 3 ].设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1， 3 ].又θ∈[0，π)，所以θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3， 即倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3. (2)(2018·抚顺调研)直线l 过点P (1,0)，且与以A (2,1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围为. 答案 (－∞，－3]∪[1，＋∞) 解析 如图，∵k AP ＝1－02－1＝1，k BP ＝3－00－1＝－3， ∴k ∈(－∞，－ 3 ]∪[1，＋∞). 引申探究1.若将本例(2)中P (1,0)改为P (－1,0)，其他条件不变，求直线l 斜率的取值范围. 解 ∵P (－1,0)，A (2,1)，B (0，3)， ∴k AP ＝1－02－(－1)＝13，k BP ＝3－00－(－1)＝ 3.如图可知，直线l 斜率的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3. 2.若将本例(2)中的B 点坐标改为(2，－1)，其他条件不变，求直线l 倾斜角的取值范围. 解 如图，直线PA 的倾斜角为45°，直线PB 的倾斜角为135°，由图象知l 的倾斜角的范围为[0°，45°]∪[135°，180°). 思维升华 (1)倾斜角α与斜率k 的关系①当α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2时，k ∈[0，＋∞).②当α＝π2时，斜率k 不存在.③当α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，k ∈(－∞，0). (2)斜率的两种求法①定义法：若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据k ＝tan α求斜率. ②公式法：若已知直线上两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，一般根据斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2)求斜率. (3)倾斜角α范围与直线斜率范围互求时，要充分利用y ＝tan α的单调性. 跟踪训练1(1)若平面内三点A (1，－a )，B (2，a 2)，C (3，a 3)共线，则a 等于( ) A.1±2或0 B.2－52或0 C.2±52D.2＋52或0 答案 A解析 ∵平面内三点A (1，－a )，B (2，a 2)，C (3，a 3)共线，∴k AB ＝k AC ， 即a 2＋a 2－1＝a 3＋a3－1，即a (a 2－2a －1)＝0，解得a ＝0或a ＝1± 2.故选A.(2)直线l 经过A (3,1)，B (2，－m 2)(m ∈R )两点，则直线l 的倾斜角α的取值范围是.答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2 解析 直线l 的斜率k ＝1＋m 23－2＝1＋m 2≥1，所以k ＝tan α≥1.又y ＝tan α在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上是增函数，因此π4≤α<π2.题型二 求直线的方程例2求适合下列条件的直线方程：(1)经过点P (3,2)，且在两坐标轴上的截距相等； (2)过点A (－1，－3)，斜率是直线y ＝3x 的斜率的－14；(3)过点A (1，－1)与已知直线l 1：2x ＋y －6＝0相交于B 点且|AB |＝5.解 (1)方法一 设直线l 在x ，y 轴上的截距均为a ，若a ＝0，即l 过点(0,0)和(3,2)， ∴l 的方程为y ＝23x ，即2x －3y ＝0.若a ≠0，则设l 的方程为x a ＋y a＝1， ∵l 过点(3,2)，∴3a ＋2a＝1，∴a ＝5，∴l 的方程为x ＋y －5＝0，方法二 由题意，所求直线的斜率k 存在且k ≠0， 设直线方程为y －2＝k (x －3)，令y ＝0，得x ＝3－2k，令x ＝0，得y ＝2－3k ，由已知3－2k ＝2－3k ，解得k ＝－1或k ＝23，∴直线l 的方程为y －2＝－(x －3)或y －2＝23(x －3)，即x ＋y －5＝0或2x －3y ＝0. (2)设所求直线的斜率为k ，依题意k ＝－14×3＝－34.又直线经过点A (－1，－3)，因此所求直线方程为y ＋3＝－34(x ＋1)，即3x ＋4y ＋15＝0.(3)过点A (1，－1)与y 轴平行的直线为x ＝1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，2x ＋y －6＝0，求得B 点坐标为(1,4)，此时|AB |＝5，即x ＝1为所求. 设过A (1，－1)且与y 轴不平行的直线为y ＋1＝k (x －1)，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －6＝0，y ＋1＝k (x －1)，得两直线交点为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k ＋7k ＋2，y ＝4k －2k ＋2.(k ≠－2，否则与已知直线平行). 则B 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋7k ＋2，4k －2k ＋2.由已知⎝⎛⎭⎪⎫k ＋7k ＋2－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4k －2k ＋2＋12＝52，解得k ＝－34，∴y ＋1＝－34(x －1)，即3x ＋4y ＋1＝0.思维升华在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件.若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况.跟踪训练2求适合下列条件的直线方程：(1)过点P (2,3)，并且在两坐标轴上的截距互为相反数； (2)过点A (－1，－3)，倾斜角等于直线y ＝3x 的倾斜角的2倍； (3)直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12. 解 (1)当直线过原点时，方程为y ＝32x ，即3x －2y ＝0.当直线l 不过原点时，设直线方程为x a －y a＝1. 将P (2,3)代入方程，得a ＝－1， 所以直线l 的方程为x －y ＋1＝0.综上，所求直线l 的方程为3x －2y ＝0或x －y ＋1＝0. (2)设直线y ＝3x 的倾斜角为α， 则所求直线的倾斜角为2α.因为tan α＝3，所以tan2α＝2tan α1－tan 2α＝－34. 又直线经过点A (－1，－3)，因此所求直线方程为y ＋3＝－34(x ＋1)，即3x ＋4y ＋15＝0.(3)由题设知纵横截距不为0，设直线方程为x a ＋y12－a＝1，又直线过点(－3,4)，从而－3a ＋412－a ＝1，解得a ＝－4或a ＝9.故所求直线方程为4x －y ＋16＝0或x ＋3y －9＝0.题型三 直线方程的综合应用命题点1 与基本不等式相结合求最值问题例3(2018·包头模拟)已知直线l 过点M (2,1)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，求当|MA →|·|MB →|取得最小值时直线l 的方程. 解 设A (a,0)，B (0，b )，则a >0，b >0，直线l 的方程为x a ＋y b＝1，所以2a ＋1b＝1.|MA →|·|MB →|＝－MA →·MB →＝－(a －2，－1)·(－2，b －1) ＝2(a －2)＋b －1＝2a ＋b －5 ＝(2a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b －5＝2b a ＋2a b≥4，当且仅当a ＝b ＝3时取等号，此时直线l 的方程为x ＋y －3＝0. 命题点2 由直线方程解决参数问题例4已知直线l 1：ax －2y ＝2a －4，l 2：2x ＋a 2y ＝2a 2＋4，当0<a <2时，直线l 1，l 2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，求实数a 的值.解 由题意知直线l 1，l 2恒过定点P (2,2)，直线l 1在y 轴上的截距为2－a ，直线l 2在x 轴上的截距为a 2＋2，所以四边形的面积S ＝12×2×(2－a )＋12×2×(a 2＋2)＝a 2－a ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋154，当a ＝12时，四边形的面积最小. 思维升华与直线方程有关问题的常见类型及解题策略(1)求解与直线方程有关的最值问题.先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值.(2)求直线方程.弄清确定直线的两个条件，由直线方程的几种特殊形式直接写出方程. (3)求参数值或范围.注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解.跟踪训练3过点P (4,1)作直线l 分别交x 轴，y 轴正半轴于A ，B 两点，O 为坐标原点. (1)当△AOB 面积最小时，求直线l 的方程； (2)当|OA |＋|OB |取最小值时，求直线l 的方程. 解 设直线l ：x a ＋y b＝1(a >0，b >0)， 因为直线l 经过点P (4,1)， 所以4a ＋1b＝1.(1)4a ＋1b＝1≥24a ·1b＝4ab，所以ab ≥16，当且仅当a ＝8，b ＝2时等号成立，所以当a ＝8，b ＝2时，△AOB 的面积最小，此时直线l 的方程为x 8＋y2＝1，即x ＋4y －8＝0.(2)因为4a ＋1b＝1，a >0，b >0，所以|OA |＋|OB |＝a ＋b ＝(a ＋b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋1b ＝5＋a b ＋4b a ≥5＋2a b ·4ba ＝9，当且仅当a ＝6，b＝3时等号成立，所以当|OA |＋|OB |取最小值时，直线l 的方程为x 6＋y3＝1，即x ＋2y －6＝0.一、选择题1.直线3x －y ＋a ＝0(a 为常数)的倾斜角为( ) A.30° B.60° C.150° D.120°答案 B解析 设直线的倾斜角为α，斜率为k ， 化直线方程为y ＝3x ＋a ，∴k ＝tan α＝ 3. ∵0°≤α<180°，∴α＝60°.2.(2018·大连模拟)过点(2,1)且倾斜角比直线y ＝－x －1的倾斜角小π4的直线方程是( ) A.x ＝2 B.y ＝1 C.x ＝1 D.y ＝2答案 A解析 ∵直线y ＝－x －1的斜率为－1， 则倾斜角为3π4，依题意，所求直线的倾斜角为3π4－π4＝π2，∴斜率不存在，∴过点(2,1)的直线方程为x ＝2.3.已知过定点P (2,0)的直线l 与曲线y ＝2－x 2相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取到最大值时，直线l 的倾斜角为( )A.150°B.135°C.120°D.不存在答案 A解析 由y ＝2－x 2，得x 2＋y 2＝2(y ≥0)，它表示以原点O 为圆心，以2为半径的圆的一部分，其图象如图所示.显然直线l 的斜率存在，设过点P (2,0)的直线l 为y ＝k (x －2)， 则圆心到此直线的距离d ＝|－2k |1＋k2， 弦长|AB |＝22－⎝ ⎛⎭⎪⎫|－2k |1＋k 22＝22－2k21＋k2， 所以S △AOB ＝12×|－2k |1＋k 2×22－2k21＋k2 ≤(2k )2＋2－2k22(1＋k 2)＝1， 当且仅当(2k )2＝2－2k 2，即k 2＝13时等号成立，由图可得k ＝－33⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＝33舍去， 故直线l 的倾斜角为150°.4.如图中的直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则 ( )A.k 1<k 2<k 3B.k 3<k 1<k 2C.k 3<k 2<k 1D.k 1<k 3<k 2 答案 D解析 直线l 1的倾斜角α1是钝角，故k 1<0，直线l 2与l 3的倾斜角α2与α3均为锐角且α2>α3，所以0<k 3<k 2， 因此k 1<k 3<k 2，故选D.5.直线MN 的斜率为2，其中点N (1，－1)，点M 在直线y ＝x ＋1上，则( ) A.M (5,7) B.M (4,5) C.M (2,1) D.M (2,3) 答案 B解析 设M 的坐标为(a ，b )，若点M 在直线y ＝x ＋1上， 则有b ＝a ＋1.①若直线MN 的斜率为2，则有b ＋1a －1＝2.② 联立①②可得a ＝4，b ＝5， 即M 的坐标为(4,5).故选B.6.已知两点M (2，－3)，N (－3，－2)，直线l 过点P (1,1)且与线段MN 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是( ) A.k ≥34或k ≤－4B.－4≤k ≤34C.34≤k ≤4 D.－34≤k ≤4答案 A解析 如图所示，∵k PN ＝1－(－2)1－(－3)＝34，k PM ＝1－(－3)1－2＝－4， ∴要使直线l 与线段MN 相交， 当l 的倾斜角小于90°时，k ≥k PN ；当l 的倾斜角大于90°时，k ≤k PM ，∴k ≥34或k ≤－4.7.(2018·焦作期中)过点A (3，－1)且在两坐标轴上截距相等的直线有( ) A.1条 B.2条 C.3条 D.4条答案 B解析 ①当所求的直线与两坐标轴的截距都不为0时， 设该直线的方程为x ＋y ＝a ， 把(3，－1)代入所设的方程得a ＝2，则所求直线的方程为x ＋y ＝2，即x ＋y －2＝0； ②当所求的直线与两坐标轴的截距为0时， 设该直线的方程为y ＝kx ，把(3，－1)代入所设的方程得k ＝－13，则所求直线的方程为y ＝－13x ，即x ＋3y ＝0.综上，所求直线的方程为x ＋y －2＝0或x ＋3y ＝0， 故选B.8.已知函数f (x )＝a sin x －b cos x (a ≠0，b ≠0)，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x ，则直线ax －by ＋c＝0的倾斜角为( ) A.π4 B.π3 C.2π3D.3π4答案 C解析 由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x 知函数f (x )的图象关于x ＝π3对称，所以f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，所以a＝－3b ，由直线ax －by ＋c ＝0知其斜率k ＝a b ＝－3，所以直线的倾斜角为2π3，故选C.二、填空题9.一条直线经过点A (2，－3)，并且它的倾斜角等于直线y ＝13x 的倾斜角的2倍，则这条直线的一般式方程是. 答案3x －y －33＝0解析 因为直线y ＝13x 的倾斜角为π6，所以所求直线的倾斜角为π3，即斜率k ＝tan π3＝ 3.又该直线过点A (2，－3)，故所求直线为y －(－3)＝3(x －2)， 即3x －y －33＝0.10.直线kx ＋y ＋2＝－k ，当k 变化时，所有的直线都过定点. 答案 (－1，－2)解析 kx ＋y ＋2＝－k 可化为y ＋2＝－k (x ＋1)，根据直线方程的点斜式可知，此类直线恒过定点(－1，－2).11.已知三角形的三个顶点A (－5,0)，B (3，－3)，C (0,2)，则BC 边上中线所在的直线方程为.答案 x ＋13y ＋5＝0解析 BC 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12，∴BC 边上中线所在的直线方程为y －0－12－0＝x ＋532＋5，即x ＋13y＋5＝0.12.经过点A (4,2)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的3倍的直线l 的方程的一般式为.答案 x ＋3y －10＝0或x －2y ＝0解析 当截距为0时，设直线方程为y ＝kx ，则4k ＝2， ∴k ＝12，∴直线方程为x －2y ＝0.当截距不为0时，设直线方程为x 3a ＋ya ＝1，由题意得，43a ＋2a ＝1，∴a ＝103.∴x ＋3y －10＝0.综上，直线l 的一般式方程为x ＋3y －10＝0或x －2y ＝0.13.设点A (－1,0)，B (1,0)，直线2x ＋y －b ＝0与线段AB 相交，则b 的取值范围是. 答案 [－2,2]解析 b 为直线y ＝－2x ＋b 在y 轴上的截距，如图，当直线y ＝－2x ＋b 过点A (－1,0)和点B (1,0)时，b 分别取得最小值－2和最大值2. ∴b 的取值范围是[－2,2].14.已知动直线l 0：ax ＋by ＋c －3＝0(a >0，c >0)恒过点P (1，m )，且Q (4,0)到动直线l 0的最大距离为3，则12a ＋2c 的最小值为.答案 32解析 ∵动直线l 0：ax ＋by ＋c －3＝0(a >0，c >0)恒过点P (1，m )， ∴a ＋bm ＋c －3＝0.又Q (4,0)到动直线l 0的最大距离为3，∴(4－1)2＋m 2＝3，解得m ＝0.∴a ＋c ＝3. 则12a ＋2c ＝13(a ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋2c ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫52＋c 2a ＋2a c ≥13⎝ ⎛⎭⎪⎫52＋2 c 2a ·2a c ＝32， 当且仅当c ＝2a ＝2时取等号. 三、解答题15.过点P (3,0)作一条直线，使它夹在两直线l 1：2x －y －2＝0与l 2：x ＋y ＋3＝0之间的线段AB 恰好被点P 平分，求此直线的方程. 解 设点A (x ，y )在l 1上，点B (x B ，y B )在l 2上.由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋x B 2＝3，y ＋yB2＝0，则点B (6－x ，－y )，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2＝0，(6－x )＋(－y )＋3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝113，y ＝163，则所求直线的斜率k ＝163－0113－3＝8，故所求的直线方程为y ＝8(x －3)，即8x －y －24＝0. 16.已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R ). (1)证明：直线l 过定点；(2)若直线l 不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，O 为坐标原点，设△AOB 的面积为S ，求S 的最小值及此时直线l 的方程.(1)证明 直线l 的方程可化为y ＝k (x ＋2)＋1， 故无论k 取何值，直线l 总过定点(－2,1). (2)解 直线l 的方程可化为y ＝kx ＋2k ＋1， 则直线l 在y 轴上的截距为2k ＋1，要使直线l 不经过第四象限，则⎩⎪⎨⎪⎧k ≥0，1＋2k ≥0，故k 的取值范围是k ≥0.(3)解 依题意，直线l 在x 轴上的截距为－1＋2kk，在y 轴上的截距为1＋2k ，且k >0，所以A ⎝⎛⎭⎪⎫－1＋2k k，0，B (0,1＋2k )， 故S ＝12|OA ||OB |＝12×1＋2k k ×(1＋2k )＝12⎝⎛⎭⎪⎫4k ＋1k ＋4≥12×(4＋4)＝4，当且仅当4k ＝1k ，即k ＝12时取等号，故S 的最小值为4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.2020版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何 §9.2 两条直线的位置关系1.两条直线的位置关系 (1)两条直线平行与垂直 ①两条直线平行：(ⅰ)对于两条不重合的直线l 1，l 2，若其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2.(ⅱ)当直线l 1，l 2不重合且斜率都不存在时，l 1∥l 2. ②两条直线垂直：(ⅰ)如果两条直线l 1，l 2的斜率存在，设为k 1，k 2， 则有l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.(ⅱ)当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l 1⊥l 2. (2)两条直线的交点直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1与l 2的交点坐标就是方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解.2.几种距离(1)两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)之间的距离 |P 1P 2|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.(2)点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.(3)两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0(其中C 1≠C 2)间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.概念方法微思考1.若两条直线l 1与l 2垂直，则它们的斜率有什么关系？提示 当两条直线l 1与l 2的斜率都存在时，1l k ·2l k ＝－1；当两条直线中一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在时，l 1与l 2也垂直.2.应用点到直线的距离公式和两平行线间的距离公式时应注意什么？ 提示 (1)将方程化为最简的一般形式.(2)利用两平行线之间的距离公式时，应使两平行线方程中x ，y 的系数分别对应相等.题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)当直线l 1和l 2斜率都存在时，一定有k 1＝k 2⇒l 1∥l2.( × )(2)已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 1，B 1，C 1，A 2，B 2，C 2为常数)，若直线l 1⊥l 2，则A 1A 2＋B 1B 2＝0.( √ )(3)点P (x 0，y 0)到直线y ＝kx ＋b 的距离为|kx 0＋b |1＋k2.( × ) (4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.( √ )(5)若点A ，B 关于直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0)对称，则直线AB 的斜率等于－1k，且线段AB 的中点在直线l 上.( √ ) 题组二 教材改编2.已知点(a,2)(a >0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a 等于( ) A.2B.2－2C.2－1D.2＋1 答案 C解析 由题意得|a －2＋3|1＋1＝1.解得a ＝－1＋2或a ＝－1－ 2. ∵a >0，∴a ＝－1＋ 2.3.已知P (－2，m )，Q (m,4)，且直线PQ 垂直于直线x ＋y ＋1＝0，则m ＝________. 答案 1解析 由题意知m －4－2－m＝1，所以m －4＝－2－m ，所以m ＝1.4.若三条直线y ＝2x ，x ＋y ＝3，mx ＋2y ＋5＝0相交于同一点，则m 的值为________. 答案 －9解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，x ＋y ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.所以点(1,2)满足方程mx ＋2y ＋5＝0， 即m ×1＋2×2＋5＝0，所以m ＝－9. 题组三 易错自纠5.直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx ＋3y －2＝0平行，则m 等于( ) A.2 B.－3 C.2或－3 D.－2或－3答案 C解析 直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx ＋3y －2＝0平行，则有2m ＝m ＋13≠4－2，故m ＝2或－3.故选C.6.直线2x ＋2y ＋1＝0，x ＋y ＋2＝0之间的距离是______. 答案324解析 先将2x ＋2y ＋1＝0化为x ＋y ＋12＝0，则两平行线间的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－122＝324.7.若直线(3a ＋2)x ＋(1－4a )y ＋8＝0与(5a －2)x ＋(a ＋4)y －7＝0垂直，则a ＝________. 答案 0或1解析 由两直线垂直的充要条件，得(3a ＋2)(5a －2)＋(1－4a )(a ＋4)＝0，解得a ＝0或a ＝1.题型一 两条直线的平行与垂直例1(2018·满洲里调研)已知直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0和直线l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0. (1)试判断l 1与l 2是否平行； (2)当l 1⊥l 2时，求a 的值.解 (1)方法一 当a ＝1时，l 1：x ＋2y ＋6＝0，l 2：x ＝0，l 1不平行于l 2；当a ＝0时，l 1：y ＝－3，l 2：x －y －1＝0，l 1不平行于l 2；当a ≠1且a ≠0时，两直线可化为l 1：y ＝－a2x －3，l 2：y ＝11－ax －(a ＋1)， l 1∥l 2⇔⎩⎪⎨⎪⎧－a 2＝11－a，－3≠－(a ＋1)，解得a ＝－1，综上可知，当a ＝－1时，l 1∥l 2，a ≠－1时，l 1与l 2不平行. 方法二 由A 1B 2－A 2B 1＝0，得a (a －1)－1×2＝0， 由A 1C 2－A 2C 1≠0， 得a (a 2－1)－1×6≠0，∴l 1∥l 2⇔⎩⎪⎨⎪⎧a (a －1)－1×2＝0，a (a 2－1)－1×6≠0，⇔⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －2＝0，a (a 2－1)≠6，可得a ＝－1，故当a ＝－1时，l 1∥l 2.当a ≠－1时，l 1与l 2不平行. (2)方法一 当a ＝1时，l 1：x ＋2y ＋6＝0，l 2：x ＝0，l 1与l 2不垂直，故a ＝1不成立；当a ＝0时，l 1：y ＝－3，l 2：x －y －1＝0，l 1不垂直于l 2， 故a ＝0不成立； 当a ≠1且a ≠0时，l 1：y ＝－a 2x －3，l 2：y ＝11－ax －(a ＋1)，由⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2·11－a＝－1，得a ＝23.方法二 由A 1A 2＋B 1B 2＝0，得a ＋2(a －1)＝0， 可得a ＝23.思维升华(1)当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况.同时还要注意x ，y 的系数不能同时为零这一隐含条件. (2)在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论. 跟踪训练1(1)已知直线l 1：x ＋2ay －1＝0，l 2：(a ＋1)x －ay ＝0，若l 1∥l 2，则实数a 的值为( ) A.－32B.0C.－32或0D.2答案 C解析 若a ≠0，则由l 1∥l 2⇒a ＋11＝－a 2a ，故2a ＋2＝－1，即a ＝－32；若a ＝0，l 1∥l 2，故选C. (2)已知直线l 1：2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线l 2：mx ＋3y －2＝0垂直，则m 的值为( ) A.2或－3 B.2 C.－35D.35答案 C解析 由l 1⊥l 2得2×m ＋(m ＋1)×3＝0， 整理得5m ＋3＝0.解得m ＝－35.题型二 两直线的交点与距离问题1.(2018·葫芦岛调研)若直线l 与两直线y ＝1，x －y －7＝0分别交于M ，N 两点，且MN 的中点是P (1，－1)，则直线l 的斜率是( ) A.－23B.23C.－32D.32答案 A解析 由题意，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)－1，分别与y ＝1，x －y －7＝0联立解得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k ＋1，1，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫k －6k －1，－6k ＋1k －1.又因为MN 的中点是P (1，－1)，所以由中点坐标公式得k ＝－23. 2.若P ，Q 分别为直线3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋5＝0上任意一点，则|PQ |的最小值为( ) A.95B.185C.2910D.295 答案 C解析 因为36＝48≠－125，所以两直线平行，将直线3x ＋4y －12＝0化为6x ＋8y －24＝0，由题意可知|PQ |的最小值为这两条平行直线间的距离，即|－24－5|62＋82＝2910，所以|PQ |的最小值为2910. 3.已知直线y ＝kx ＋2k ＋1与直线y ＝－12x ＋2的交点位于第一象限，则实数k 的取值范围是________.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－16，12 解析 方法一 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2k ＋1，y ＝－12x ＋2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－4k2k ＋1，y ＝6k ＋12k ＋1.(若2k ＋1＝0，即k ＝－12，则两直线平行)∴交点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2－4k 2k ＋1，6k ＋12k ＋1.又∵交点位于第一象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧2－4k 2k ＋1>0，6k ＋12k ＋1>0，解得－16<k <12.方法二 如图，已知直线y ＝－12x ＋2与x 轴、y 轴分别交于点A (4,0)，B (0,2).而直线方程y ＝kx ＋2k ＋1可变形为y －1＝k (x ＋2)，表示这是一条过定点P (－2,1)，斜率为k 的动直线.∵两直线的交点在第一象限，∴两直线的交点必在线段AB 上(不包括端点)， ∴动直线的斜率k 需满足k PA <k <k PB . ∵k PA ＝－16，k PB ＝12.∴－16<k <12.4.已知A (4，－3)，B (2，－1)和直线l ：4x ＋3y －2＝0，若在坐标平面内存在一点P ，使|PA |＝|PB |，且点P 到直线l 的距离为2，则P 点坐标为________________. 答案()1，－4或⎝⎛⎭⎪⎫277，－87解析 设点P 的坐标为(a ，b ). ∵A (4，－3)，B (2，－1)，∴线段AB 的中点M 的坐标为(3，－2). 而AB 的斜率k AB ＝－3＋14－2＝－1，∴线段AB 的垂直平分线方程为y ＋2＝x －3， 即x －y －5＝0.∵点P (a ，b )在直线x －y －5＝0上，∴a －b －5＝0.① 又点P (a ，b )到直线l ：4x ＋3y －2＝0的距离为2， ∴|4a ＋3b －2|42＋32＝2，即4a ＋3b －2＝±10，② 由①②联立解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝277，b ＝－87.∴所求点P 的坐标为(1，－4)或⎝ ⎛⎭⎪⎫277，－87.思维升华 (1)求过两直线交点的直线方程的方法先求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程.(2)利用距离公式应注意：①点P (x 0，y 0)到直线x ＝a 的距离d ＝|x 0－a |，到直线y ＝b 的距离d＝|y0－b|；②两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数化为相等.题型三对称问题命题点1 点关于点中心对称例2过点P(0,1)作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为________________.答案x＋4y－4＝0解析设l1与l的交点为A(a,8－2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a,2a－6)在l2上，代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即点A(4,0)在直线l上，所以直线l的方程为x＋4y－4＝0.命题点2 点关于直线对称例3 如图，已知A(4,0)，B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是( )A.3 3B.6C.210D.2 5答案 C解析直线AB的方程为x＋y＝4，点P(2,0)关于直线AB的对称点为D(4,2)，关于y轴的对称点为C(－2,0)，则光线经过的路程为|CD|＝62＋22＝210.命题点3 直线关于直线的对称问题例4 直线2x－y＋3＝0关于直线x－y＋2＝0对称的直线方程是______________.答案x－2y＋3＝0解析设所求直线上任意一点P(x，y)，则P关于x－y＋2＝0的对称点为P′(x0，y0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋x 02－y ＋y 02＋2＝0，x －x 0＝－(y －y 0)，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝y －2，y 0＝x ＋2，由点P ′(x 0，y 0)在直线2x －y ＋3＝0上， ∴2(y －2)－(x ＋2)＋3＝0， 即x －2y ＋3＝0.思维升华解决对称问题的方法 (1)中心对称①点P (x ，y )关于Q (a ，b )的对称点P ′(x ′，y ′)满足⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2a －x ，y ′＝2b －y .②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决. (2)轴对称①点A (a ，b )关于直线Ax ＋By ＋C ＝0(B ≠0)的对称点A ′(m ，n )，则有⎩⎪⎨⎪⎧n －b m －a ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－A B ＝－1，A ·a ＋m 2＋B ·b ＋n2＋C ＝0.②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决. 跟踪训练2已知直线l ：3x －y ＋3＝0，求： (1)点P (4,5)关于l 的对称点；(2)直线x －y －2＝0关于直线l 对称的直线方程； (3)直线l 关于(1,2)的对称直线.解 (1)设P (x ，y )关于直线l ：3x －y ＋3＝0的对称点为P ′(x ′，y ′)，∵k PP ′·k l ＝－1，即y ′－yx ′－x×3＝－1.① 又PP ′的中点在直线3x －y ＋3＝0上， ∴3×x ′＋x 2－y ′＋y2＋3＝0.②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝－4x ＋3y －95， ③y ′＝3x ＋4y ＋35.④把x ＝4，y ＝5代入③④得x ′＝－2，y ′＝7， ∴点P (4,5)关于直线l 的对称点P ′的坐标为(－2,7).(2)用③④分别代换x －y －2＝0中的x ，y ， 得关于l 对称的直线方程为 －4x ＋3y －95－3x ＋4y ＋35－2＝0， 化简得7x ＋y ＋22＝0.(3)在直线l ：3x －y ＋3＝0上取点M (0,3)， 关于(1,2)的对称点M ′(x ′，y ′)， ∴x ′＋02＝1，x ′＝2，y ′＋32＝2，y ′＝1，∴M ′(2,1).l 关于(1,2)的对称直线平行于l ，∴k ＝3，∴对称直线方程为y －1＝3×(x －2)， 即3x －y －5＝0.妙用直线系求直线方程在求解直线方程的题目中，可采用设直线系方程的方式简化运算，常见的直线系有平行直线系，垂直直线系和过直线交点的直线系. 一、平行直线系例1求与直线3x ＋4y ＋1＝0平行且过点(1,2)的直线l 的方程. 解 由题意，设所求直线方程为3x ＋4y ＋c ＝0(c ≠1)， 又因为直线过点(1,2)，所以3×1＋4×2＋c ＝0，解得c ＝－11. 因此，所求直线方程为3x ＋4y －11＝0. 二、垂直直线系例2求经过A (2,1)，且与直线2x ＋y －10＝0垂直的直线l 的方程. 解 因为所求直线与直线2x ＋y －10＝0垂直， 所以设该直线方程为x －2y ＋C ＝0， 又直线过点A (2,1)，所以有2－2×1＋C ＝0，解得C ＝0， 即所求直线方程为x －2y ＝0. 三、过直线交点的直线系例3求经过两直线l 1：x －2y ＋4＝0和l 2：x ＋y －2＝0的交点P ，且与直线l 3：3x －4y ＋5＝0垂直的直线l 的方程.解 方法一 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4＝0，x ＋y －2＝0，得P (0,2).∵l 3的斜率为34，且l ⊥l 3，∴直线l 的斜率为－43，由斜截式可知l 的方程为y ＝－43x ＋2，即4x ＋3y －6＝0.方法二 设直线l 的方程为x －2y ＋4＋λ(x ＋y －2)＝0， 即(1＋λ)x ＋(λ－2)y ＋4－2λ＝0.又∵l ⊥l 3，∴3×(1＋λ)＋(－4)×(λ－2)＝0， 解得λ＝11.∴直线l 的方程为4x ＋3y －6＝0.1.直线2x ＋y ＋m ＝0和x ＋2y ＋n ＝0的位置关系是( ) A.平行 B.垂直 C.相交但不垂直 D.不能确定答案 C解析 直线2x ＋y ＋m ＝0的斜率k 1＝－2，直线x ＋2y ＋n ＝0的斜率k 2＝－12，则k 1≠k 2，且k 1k 2≠－1.故选C.2.已知直线l 1：x ＋my ＋7＝0和l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0互相平行，则实数m 等于( ) A.－1或3 B.－1 C.－3 D.1或－3答案 A解析 当m ＝0时，显然不符合题意； 当m ≠0时，由题意得，m －21＝3m ≠2m7， 解得m ＝－1或m ＝3，故选A.3.已知过点A (－2，m )和B (m,4)的直线为l 1，直线2x ＋y －1＝0为l 2，直线x ＋ny ＋1＝0为l 3.若l 1∥l 2，l 2⊥l 3，则实数m ＋n 的值为( )A.－10B.－2C.0D.8答案 A解析 因为l 1∥l 2，所以k AB ＝4－mm ＋2＝－2.解得m ＝－8.又因为l 2⊥l 3，所以－1n×(－2)＝－1，解得n ＝－2，所以m ＋n ＝－10.4.过点M (－3,2)，且与直线x ＋2y －9＝0平行的直线方程是( ) A.2x －y ＋8＝0 B.x －2y ＋7＝0 C.x ＋2y ＋4＝0 D.x ＋2y －1＝0答案 D解析 方法一 因为直线x ＋2y －9＝0的斜率为－12，所以与直线x ＋2y －9＝0平行的直线的斜率为－12，又所求直线过M (－3,2)，所以所求直线的点斜式方程为y －2＝－12(x ＋3)，化为一般式得x ＋2y －1＝0.故选D.方法二 由题意，设所求直线方程为x ＋2y ＋c ＝0，将M (－3，2)代入，解得c ＝－1，所以所求直线为x ＋2y －1＝0.故选D.5.(2018·盘锦模拟)若直线l 1：x ＋ay ＋6＝0与l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0平行，则l 1与l 2之间的距离为( ) A.423 B.4 2 C.823D.2 2答案 C解析 ∵l 1∥l 2，∴a ≠2且a ≠0， ∴1a －2＝a 3≠62a，解得a ＝－1， ∴l 1与l 2的方程分别为l 1：x －y ＋6＝0，l 2：x －y ＋23＝0，∴l 1与l 2的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪6－232＝823.6.已知直线l 1：y ＝2x ＋3，直线l 2与l 1关于直线y ＝－x 对称，则直线l 2的斜率为( )A.12B.－12C.2D.－2答案 A解析 直线y ＝2x ＋3与y ＝－x 的交点为A (－1,1)，而直线y ＝2x ＋3上的点(0,3)关于y ＝－x 的对称点为B (－3，0)，而A ，B 两点都在l 2上，所以2l k ＝1－0－1－(－3)＝12.7.已知直线l 1：ax ＋y －1＝0，直线l 2：x －y －3＝0，若直线l 1的倾斜角为π4，则a ＝______；若l 1⊥l 2，则a ＝______；若l 1∥l 2，则两平行直线间的距离为________. 答案 －1 1 2 2 解析 若直线l 1的倾斜角为π4，则－a ＝k ＝tan π4＝1，故a ＝－1；若l 1⊥l 2，则a ×1＋1×(－1)＝0，故a ＝1；若l 1∥l 2，则a ＝－1，l 1：x －y ＋1＝0，两平行直线间的距离d ＝|1－(－3)|1＋1＝2 2.8.将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m ，n )重合，则m ＋n ＝____. 答案345解析 由题意可知，纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y ＝2x －3，它也是点(7,3)与点(m ，n )连线的中垂线， 于是⎩⎪⎨⎪⎧3＋n 2＝2×7＋m2－3，n －3m －7＝－12， 解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝35，n ＝315，故m ＋n ＝345.9.直线l 1：y ＝2x ＋3关于直线l ：y ＝x ＋1对称的直线l 2的方程为______________. 答案 x －2y ＝0解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋3，y ＝x ＋1，解得直线l 1与l 的交点坐标为(－2，－1)， 所以可设直线l 2的方程为y ＋1＝k (x ＋2)， 即kx －y ＋2k －1＝0.在直线l 上任取一点(1,2)，由题设知点(1,2)到直线l 1，l 2的距离相等，由点到直线的距离公式得|k －2＋2k －1|k 2＋1＝|2－2＋3|22＋1， 解得k ＝12(k ＝2舍去)，所以直线l 2的方程为x －2y ＝0.10.已知入射光线经过点M (－3,4)，被直线l ：x －y ＋3＝0反射，反射光线经过点N (2,6)，则反射光线所在直线的方程为______________. 答案 6x －y －6＝0解析 设点M (－3,4)关于直线l ：x －y ＋3＝0的对称点为M ′(a ，b )，则反射光线所在直线过点M ′，所以⎩⎪⎨⎪⎧b －4a －(－3)·1＝－1，－3＋a 2－b ＋42＋3＝0，解得a ＝1，b ＝0.又反射光线经过点N (2,6)，所以所求直线的方程为y －06－0＝x －12－1，即6x －y －6＝0.11.已知方程(2＋λ)x －(1＋λ)y －2(3＋2λ)＝0与点P (－2,2).(1)证明：对任意的实数λ，该方程都表示直线，且这些直线都经过同一定点，并求出这一定点的坐标；(2)证明：该方程表示的直线与点P 的距离d 小于4 2.(1)解 显然2＋λ与－(1＋λ)不可能同时为零，故对任意的实数λ，该方程都表示直线. ∵方程可变形为2x －y －6＋λ(x －y －4)＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －6＝0，x －y －4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2，故直线经过的定点为M (2，－2).(2)证明 过P 作直线的垂线段PQ ，由垂线段小于斜线段知|PQ |≤|PM |，当且仅当Q 与M 重合时，|PQ |＝|PM |，此时对应的直线方程是y ＋2＝x －2，即x －y －4＝0. 但直线系方程唯独不能表示直线x －y －4＝0， ∴M 与Q 不可能重合，而|PM |＝42， ∴|PQ |<42，故所证成立.12.已知三条直线：l 1：2x －y ＋a ＝0(a >0)；l 2：－4x ＋2y ＋1＝0；l 3：x ＋y －1＝0，且l 1与l 2间的距离是7510.(1)求a 的值；(2)能否找到一点P ，使P 同时满足下列三个条件： ①点P 在第一象限；②点P 到l 1的距离是点P 到l 2的距离的12；③点P 到l 1的距离与点P 到l 3的距离之比是2∶ 5.若能，求点P 的坐标；若不能，说明理由.解 (1)直线l 2：2x －y －12＝0，所以两条平行线l 1与l 2间的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －⎝ ⎛⎭⎪⎫－1222＋(－1)2＝7510， 所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋125＝7510，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋12＝72， 又a >0，解得a ＝3.(2)假设存在点P ，设点P (x 0，y 0).若P 点满足条件②，则P 点在与l 1，l 2平行的直线l ′：2x －y ＋c ＝0上，且|c －3|5＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪c ＋125，即c ＝132或116，所以2x 0－y 0＋132＝0或2x 0－y 0＋116＝0；若P 点满足条件③，由点到直线的距离公式， 有|2x 0－y 0＋3|5＝25|x 0＋y 0－1|2， 即|2x 0－y 0＋3|＝|x 0＋y 0－1|， 所以x 0－2y 0＋4＝0或3x 0＋2＝0；由于点P 在第一象限，所以3x 0＋2＝0不可能. 联立方程2x 0－y 0＋132＝0和x 0－2y 0＋4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－3，y 0＝12，(舍去)联立方程2x 0－y 0＋116＝0和x 0－2y 0＋4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝19，y 0＝3718.所以存在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫19，3718同时满足三个条件.13.已知直线y ＝2x 是△ABC 中∠C 的平分线所在的直线，若点A ，B 的坐标分别是(－4，2)，(3,1)，则点C 的坐标为( ) A.(－2,4) B.(－2，－4) C.(2,4) D.(2，－4)答案 C解析 设A (－4,2)关于直线y ＝2x 的对称点为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧y －2x ＋4×2＝－1，y ＋22＝2×－4＋x2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－2，∴BC 所在直线方程为y －1＝－2－14－3(x －3)， 即3x ＋y －10＝0.同理可得点B (3,1)关于直线y ＝2x 的对称点为(－1,3)， ∴AC 所在直线方程为y －2＝3－2－1－(－4)(x ＋4)，即x －3y ＋10＝0.联立⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －10＝0，x －3y ＋10＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，则C (2,4).故选C.14.(2018·赤峰质检)若三条直线y ＝2x ，x ＋y ＝3，mx ＋ny ＋5＝0相交于同一点，则点(m ，n )到原点的距离的最小值为( )A.5B.6C.23D.2 5 答案 A解析 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，x ＋y ＝3，解得x ＝1，y ＝2.把(1,2)代入mx ＋ny ＋5＝0可得，m ＋2n ＋5＝0. ∴m ＝－5－2n .∴点(m ，n )到原点的距离d ＝m 2＋n 2＝(5＋2n )2＋n 2＝5(n ＋2)2＋5≥5， 当n ＝－2，m ＝－1时取等号.∴点(m ，n )到原点的距离的最小值为 5.15.数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人称为三角形的欧拉线.已知△ABC 的顶点A (1,0)，B (0,2)，且AC ＝BC ，则△ABC 的欧拉线的方程为( ) A.4x ＋2y ＋3＝0 B.2x －4y ＋3＝0 C.x －2y ＋3＝0 D.2x －y ＋3＝0答案 B解析 因为AC ＝BC ，所以欧拉线为AB 的中垂线， 又A (1，0)，B (0,2)，故AB 的中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，k AB ＝－2， 故AB 的中垂线方程为y －1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，即2x －4y ＋3＝0.16.在平面直角坐标系xOy 中，将直线l 沿x 轴正方向平移3个单位长度，沿y 轴正方向平移5个单位长度，得到直线l 1.再将直线l 1沿x 轴正方向平移1个单位长度，沿y 轴负方向平移2个单位长度，又与直线l 重合.若直线l 与直线l 1关于点(2,4)对称，求直线l 的方程. 解 由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b ，将直线l 沿x 轴正方向平移3个单位长度，沿y 轴正方向平移5个单位长度，得到直线l 1：y ＝k (x －3)＋5＋b ，将直线l 1沿x 轴正方向平移1个单位长度，沿y 轴负方向平移2个单位长度，则平移后的直线方程为y ＝k (x －3－1)＋b ＋5－2，即y ＝kx ＋3－4k ＋b ，∴b ＝3－4k ＋b ，解得k ＝34，∴直线l的方程为y ＝34x ＋b ，直线l 1为y ＝34x ＋114＋b ，取直线l 上的一点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，b ＋3m 4，则点P 关于点(2,4)的对称点为⎝ ⎛⎭⎪⎫4－m ，8－b －3m 4，∴8－b －3m 4＝34(4－m )＋b ＋114，解得b ＝98.∴直线l的方程是y ＝34x ＋98，即6x －8y ＋9＝0.。

第81课时：第九章 直线、平面、简单几何体——棱柱、棱锥课题：棱柱、棱锥一．复习目标：了解棱柱和棱锥的概念，周围棱柱、正棱锥的有关性质，能进行有关角和距离的运算。

二．知识要点：1． 叫棱柱 2．正棱柱的性质有 3． 叫正棱锥 4．正棱锥的性质有P ={四棱柱}，Q ={平行六面体}，R ={长方体}，M ={正方体}，N ={正四棱柱},S ={直平行六面体}，这六个集合之间的关系是 三．课前预习： 1．给出下列命题：①底面是正多边形的棱锥是正棱锥； ②侧棱都相等的棱锥是正棱锥；③侧棱和底面成等角的棱锥是正棱锥；④侧面和底面所成二面角都相等的棱锥是正棱锥， 其中正确命题的个数是( A )()A 0 ()B 1 ()C 2 ()D 32．如果三棱锥S ABC -的底面是不等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等，且顶点S 在底面的射影O 在ABC ∆内，那么O 是ABC ∆的(D )()A 垂心 ()B 重心 ()C 外心 ()D 内心3．已知三棱锥D ABC -的三个侧面与底面全等，且AB AC ==，2BC =，则以BC为棱，以面BCD 与面BCA 为面的二面角的大小是( C )()A 4π ()B 3π ()C 2π ()D 32π4．已知长方体ABCD A B C D ''''-中，棱5AA '=，12AB =，那么直线B C ''和平面A BCD ''的距离是 6013.5．三棱柱111ABC A B C -，侧棱1BB 在下底面上的射影平行于AC ，如果侧棱1BB 与底面G F E D C 1B 1A 1CBA 所成的角为030，160B BC ∠=，则ACB ∠的余弦为四．例题分析：例1．正四棱锥S ABCD -中，高SO =γ，tan 2γ=(1)求侧棱与底面所成的角。

(2)求侧棱 长、底面边长和斜高(见图)。

高三数学概念、方法、题型总结（九）九、直线、平面、简单多面体第一部分：数学高考基础知识详解1.平面的基本性质：掌握三个公理及推论，会说明共点、共线、共面问题。

能够用斜二测法作图．．．．．．．。

2.空间两条直线的位置关系：平行、相交、异面的概念；会求异面直线所成的角和异面直线间的距离；证明两条直线是异面直线一般用反证法。

3.直线与平面①位置关系：平行、直线在平面内、直线与平面相交。

②直线与平面平行的判断方法及性质,判定定理是证明平行问题的依据。

③直线与平面垂直的证明方法有哪些？④直线与平面所成的角：关键是找它在平面内的射影，范围是{00.900}⑤三垂线定理及其逆定理：每年高考试题都要考查这个定理. 三垂线定理及其逆定理主要用于证明垂直关系与空间图形的度量.如：证明异面直线垂直，确定二面角的平面角，确定点到直线的垂线.4.平面与平面(1)位置关系：平行、相交，（垂直是相交的一种特殊情况）(2)掌握平面与平面平行的证明方法和性质。

(3)掌握平面与平面垂直的证明方法和性质定理。

尤其是已知两平面垂直，一般是依据性质定理，可以证明线面垂直。

(4)两平面间的距离问题→点到面的距离问题→⎩⎨⎧体积法直接法 (5)二面角。

二面角的平面交的作法及求法：①定义法，一般要利用图形的对称性；一般在计算时要解斜三角形；②垂线、斜线、射影法，一般要求平面的垂线好找，一般在计算时要解一个直角三角形。

③射影面积法，一般是二面交的两个面只有一个公共点，两个面的交线不容易找到时用此法。

5．棱柱（1）掌握棱柱的定义、分类，理解直棱柱、正棱柱的性质。

（2）掌握长方体的对角线的性质。

（3）平行六面体→直平行六面体→长方体→正四棱柱→正方体这些几何体之间的联系和区别，以及它们的特有性质。

（4）S 侧＝各侧面的面积和。

思考：对于特殊的棱柱，又如何计算？（5）V=Sh 特殊的棱柱的体积如何计算？6．棱锥①棱锥的定义、正棱锥的定义（底面是正多边形，顶点在底面上的射影是底面的中心）,性质②相关计算：S侧＝各侧面的面积和，V=31Sh7．球的相关概念：S球=4πR2V球＝34πR3经纬度,球面距离的概念8．正多面体：掌握定义和正多面体的种数（是哪几个？）。

第九章直线、平面、简单几何体和空间向量知识体系【p120】理解以下判定定理：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行．如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行．如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直．如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直．理解以下性质定理，并能够证明之：如果一条直线与一个平面平行，经过该直线的任一个平面与此平面相交，那么这条直线就和交线平行．如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线互相平行．垂直于同一个平面的两条直线平行．如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直．第53讲空间几何体的结构，三视图和直观图夯实基础【p121】【学习目标】1．认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，掌握柱、锥等简单几何体的性质．2．了解空间图形的两种不同表示形式(三视图和直观图)，了解三视图、直观图与它们所表示的立体模型之间的内在联系．3．能画出简单空间图形的三视图与直观图，能识别三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图．4．会用平行投影方法画出简单空间图形的三视图与直观图．【基础检测】1．以下命题：①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；④一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．其中正确命题的个数为( )A．0 B．1 C．2 D．3【解析】①以直角三角形的一条直角边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥，题中的命题错误；②以直角梯形的直角边所在的腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台，题中的命题错误；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆，题中的命题正确；④一个平行于底面的平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台，题中的命题错误．综上可得：正确命题的个数为1.【答案】B2．下列命题中正确的个数是( )①由五个面围成的多面体只能是三棱柱；②用一个平面去截棱锥便可得到棱台；③仅有一组对面平行的五面体是棱台；④有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥．A．0个B．1个C．2个D．3个【解析】①中，由五个面围成的多面体可以是四棱锥，所以不正确；②中，用一个平行于底面的平面截棱锥才能得到一个棱台；③中，仅有一组对面平行的五面体，可以是三棱柱；④中，有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形的几何体才是棱锥，所以选A.【答案】A3．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M为DD1的中点，则图中阴影部分BC1M在平面BCC1B1上的正投影是( )【解析】由题意知，点M在平面BCC1B1上的正投影是CC1的中点，点B和点C的投影是本身，连接三个投影点．【答案】D4．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为( )A．32B．23C．22D．2【解析】由三视图还原为如图所示的四棱锥A－BCC1B1，从图中易得最长的棱为AC1＝AC2＋CC21＝（22＋22）＋22＝2 3.【答案】B5．如图，正方形O′A′B′C′的边长为a cm，它是一个水平放置的平面图形的直观图，则它的原图形OABC的周长是____cm.【解析】由斜二测画法的规则知与x′轴平行的线段其长度不变以及与x轴平行的性质不变，正方形的对角线在y′轴上，因为O′A′＝a，所以原图形中OA＝O′A′＝a，对角线O′B′＝2a，则原图形中OB＝2O′B′＝22a，且△OBC为直角三角形，则OC＝a2＋（22a）2＝3a，则原图形的周长是2(3a＋a)＝8a.【答案】8a【知识要点】1．空间几何体的结构特征空间几何体的三视图由平行投影得到，这种投影下，与投影面平行的平面图形留下的影子，与平面图形的形状和大小是全等和相等的，三视图包括__正视图__、__侧视图__、__俯视图__．3．空间几何体的直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，基本步骤是：(1)画几何体的底面在已知图形中取互相垂直的x轴、y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴、y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°，已知图形中平行于x轴、y轴的线段在直观图中平行于x′轴、y′轴；已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中长度__不变__，平行于y轴的线段，长度变为__原来的一半__．(2)画几何体的高在已知图形中过O点作z轴垂直于平面xOy，在直观图中对应的z′轴，也垂直于平面x′O′y′，已知图形中平行于z轴的线段，在直观图中仍平行于z′轴且长度__不变__．典例剖析【p122】考点1 空间几何体的结构特征例1(1)给定下列四个命题：①圆锥是由正方形绕对角线旋转所形成的曲面围成的几何体；②圆锥是由三角形绕其一边上的高旋转所形成曲面围成的几何体；③圆锥是角AOB绕其角平分线旋转一周所形成曲面围成的几何体；④底面在水平平面上的圆锥用平行于底面的平面所截得的位于截面上方的部分是圆锥．其中正确的命题为__________．(只填正确命题的序号)【解析】正方形绕对角线旋转所形成的曲面围成的几何体为两个圆锥，①错误；圆锥是由直角三角形绕其一条直角边旋转所形成曲面围成的几何体，②③错误；④正确；故答案为④.【答案】④(2)给出下列命题：①在正方体上任意选择4个不共面的顶点，它们可能是正四面体的4个顶点； ②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥； ③若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱． 其中正确命题的序号是________．【解析】①正确，正四面体是每个面都是等边三角形的四面体，如正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中的四面体A －CB 1D 1；②错误，反例如图所示，底面△ABC 为等边三角形，可令AB ＝VB ＝VC ＝BC ＝AC ，则△VBC 为等边三角形，△VAB 和△VCA 均为等腰三角形，但不能判定其为正三棱锥；③错误，必须是相邻的两个侧面．【答案】①(3)已知正三棱锥P －ABC ，点P ，A ，B ，C 都在半径为3的球面上，若PA ，PB ，PC 两两互相垂直，则球心到截面ABC 的距离为________．【解析】因为在正三棱锥P －ABC 中，PA ，PB ，PC 两两互相垂直，所以可以把该正三棱锥看作为一个正方体的一部分(如图所示)，此正方体内接于球，正方体的体对角线为球的直径，球心为正方体体对角线的中点．球心到截面ABC 的距离为球的半径减去正三棱锥P －ABC 在面ABC 上的高．已知球的半径为3，所以正方体的棱长为2，可求得正三棱锥P －ABC 在面ABC 上的高为233，所以球心到截面ABC 的距离为3－233＝33. 【答案】33【点评】熟记柱、锥、台、球的简单几何性质，以便在以柱、锥、台、球为载体的综合问题中灵活准确地应用其性质进行推理与计算．考点2 空间几何体的三视图例2(1)如图所示，四面体ABCD 的四个顶点是长方体的四个顶点(长方体是虚拟图形，起辅助作用)，则四面体ABCD的三视图是(用①②③④⑤⑥代表图形)A．①②⑥ B．①②③C．④⑤⑥ D．③④⑤【解析】正视图为①，侧视图为②，俯视图为③.【答案】B(2)已知某几何体的正视图和侧视图均如图所示，给出下列5个图形，其中可以作为该几何体的俯视图的图形个数是( )A．5 B．4 C．3 D．2【解析】①②③⑤均可能．【答案】B(3)在正方体中，M，N，P分别为棱DD1，D1A1，A1B1的中点(如图)，用过点M，N，P的平面截去该正方体的顶点C1所在的部分，则剩余几何体的正视图为( )【解析】过点M，N，P的平面截去该正方体的顶点C1所在的部分，直观图如图：则该几何体的正视图为B. 【答案】B(4)已知四棱锥S －ABCD 的三视图如图所示，则围成四棱锥S －ABCD 的五个面中的最大面积是( )A ．3B ．6C ．8D ．10【解析】由三视图可知，空间结构体如图所示．S △PAB ＝12×3×2＝3，S △PAD ＝12×4×32－22＝25，S △PCD ＝12×3×2＝3，S △PBC ＝12×4×25＋4＝6，S ABCD ＝4×2＝8，所以底面的面积最大为S ABCD ＝4×2＝8. 【答案】C【点评】观察利用三视图时，一定要准确把握“长对正，高平齐，宽相等”的原理．考点3 空间几何体的直观图例3(1)利用斜二测画法得到的： ①三角形的直观图一定是三角形； ②正方形的直观图一定是菱形； ③等腰梯形的直观图可以是平行四边形； ④菱形的直观图一定是菱形． 以上正确结论的序号是________．【解析】由斜二测画法的规则可知①正确；②错误，是一般的平行四边形；③错误，等腰梯形的直观图不可能是平行四边形；而菱形的直观图也不一定是菱形，④也错误．【答案】①(2)已知正△ABC 的边长为a ，那么它的平面直观图△A′B′C′的面积为__________． 【解析】如图所示是实际图形和直观图，由图可知，A ′B ′＝AB ＝a ，O ′C ′＝12OC ＝34a ，在图中作C′D′⊥A′B′，垂足为D′，则C ′D ′＝22O′C′＝68a. ∴S △A ′B ′C ′＝12A′B′×C′D′＝12×a×68a ＝616a 2.【答案】616a 2(3)若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是( )【解析】A ，B 的正视图不符合要求，C 的俯视图显然不符合要求，答案选D.【答案】D方法总结 【p 123】1．斜二测画法中的“三变”与“三不变” “三变”⎩⎪⎨⎪⎧坐标轴的夹角改变，与y 轴平行的线段的长度改变（减半），图形改变.“三不变”⎩⎪⎨⎪⎧平行性不变，与x 轴平行的线段长度不变，相对位置不变.2．有关斜二测画法的常用结论与方法(1)用斜二测画法画出的平面图形的直观图的面积S′与原平面图形的面积S 之间的关系是S′＝24S. (2)对于图形中与x 轴、y 轴、z 轴都不平行的线段，可通过确定端点的办法来解决，即过端点作坐标轴的平行线段，再借助所作的平行线段确定端点在直观图中的位置．3．有关三视图的基本规律(1)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．画三视图的基本要求是：正俯一样长，俯侧一样宽，正侧一样高．(2)由三视图想象几何体特征时要根据“长对正、宽相等、高平齐”的基本原则． 4．特殊多面体的结构特征(1)直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱．特别地，当底面是正多边形时，叫正棱柱(如正三棱柱，正四棱柱)．(2)正棱锥：指的是底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面中心的棱锥．特别地，各条棱均相等的正三棱锥又叫正四面体．(3)平行六面体：指的是底面为平行四边形的四棱柱．走进高考 【p 123】1．(2018·全国卷Ⅰ)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在侧视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为( )A．217B．2 5C．3 D．2【解析】由三视图可知，该几何体为如图①所示的圆柱，该圆柱的高为2，底面周长为16.画出该圆柱的侧面展开图，如图②所示，连接MN，则MS＝2，SN＝4，则从M到N的路径中，最短路径的长度为MS2＋SN2＝22＋42＝2 5.【答案】B2．(2018·全国卷Ⅲ)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木结构右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( )【解析】由题意知，在咬合时带卯眼的木构件中，从俯视方向看，榫头看不见，所以是虚线，结合榫头的位置知选A.【答案】A3．(2017·全国卷Ⅱ)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为( )A．90π B．63π C．42π D．36π【解析】法一：由题意知，该几何体由底面半径为3，高为10的圆柱截去底面半径为3，高为6的圆柱的一半所得，故其体积V＝π×32×10－12×π×32×6＝63π.法二：依题意，该几何体由底面半径为3，高为10的圆柱截去底面半径为3，高为6的圆柱的一半所得，其体积等价于底面半径为3，高为7的圆柱的体积，所以它的体积V＝π×32×7＝63π.【答案】B考点集训【p240】A组题1．下列命题正确的是( )A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱C．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台D．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱【解析】棱柱的定义：有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱．棱台必须是用平行于底面的平面去截棱锥才能得到棱台，所以选项C错，选项D正确．【答案】D2．正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱AA1的中点(如图)用过点B，E，D1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的左视图为( )【解析】由题意可知：过点B、E、D1的平面截去该正方体的上半部分，如图直观图，则几何体的左视图为D.【答案】D3．一个四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】满足条件的四棱锥的底面为矩形，且一条侧棱与底面垂直，如图所示，易知该四棱锥四个侧面均为直角三角形．【答案】D4．若一个三角形采用斜二测画法作直观图，则其直观图的面积与原来三角形面积的比值是( )A.24B.22C.12D ．2 【解析】以三角形的一边为x 轴，高所在的直线为y 轴，由斜二测画法知， 三角形的底长度不变，高所在的直线为y ′轴，长度减半， 故三角形的高变为原来的12sin 45°＝24，故直观图中三角形面积与原三角形面积的比值是24. 【答案】A5．一个锥体的正视图和侧视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是( )【解析】选项C 不符合三视图中“宽相等”的要求． 【答案】C6．“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖)．其直观图如图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．当其正视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是( )【答案】B7．已知某组合体的正视图与侧视图相同，如图所示，其中AB＝AC，四边形BCDE为矩形，则该组合体的俯视图可以是________．【解析】①是正四棱锥与正四棱柱组合；②是正四棱锥与圆柱组合；③是圆锥与圆柱组合；④是圆锥与正四棱柱组合．【答案】①②③④8．有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a的直铁条，使这六根直铁条端点处相连能够焊接出一个三棱锥形的铁架，则a的取值范围是________．【解析】根据三棱锥的相对位置，将底面三角形的三边长分成两种情况：(1)当底面边长为2的正三角形，三条侧棱长为2，a，a，如图①此时a取最大值，可知AD＝3，SD＝a2－1，由于SD<SA＋AD，则由a2－1<2＋3，解得a<6＋2；(2)当底面三角形的边长分别为a，2，2，其他各边长为2，a，a，如图②，此时a可取最大值为22任意正数，综上则a的取值范围是(0，6＋2)．【答案】(0，6＋2)B 组题1．中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅监制的一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示(单位：寸)，若π取3，其体积为12.6(立方寸)，则图中的x 为________．【解析】几何体为一个圆柱和一个长方体的组合体，其体积为π⎝ ⎛⎭⎪⎫122x ＋3(5.4－x )≈16.2－94x ＝12.6，解得：x ＝1.6.【答案】1.62．如图①，在四棱锥P －ABCD 中，底面为正方形，PC 与底面ABCD 垂直，图②为该四棱锥的正视图和侧视图，它们是腰长为6 cm 的全等的等腰直角三角形．(1)根据图所给的正视图、侧视图，画出相应的俯视图，并求出该俯视图的面积； (2)在四棱锥P －ABCD 中，求PA 的长．【解析】(1)该四棱锥的俯视图为边长为6 cm 的正方形(内含对角线)，如图，其面积为36 cm 2.(2)由侧视图可求得PD ＝PC 2＋CD 2＝62＋62＝6 2. 由正视图可知AD ＝6且AD ⊥PD ，所以在Rt△APD中，PA＝PD2＋AD2＝（62）2＋62＝63cm.3．已知圆锥的底面半径为r，高为h，且正方体ABCD－A1B1C1D1内接于圆锥，求这个正方体的棱长．【解析】如图所示，过内接正方体的一组对棱作圆锥的轴截面，设圆锥内接正方体的棱长为x，则在轴截面中，正方体的对角面A1ACC1的一组邻边的长分别为x和2x.∵△VA1C1∽△VMN，∴2x2r＝h－xh，∴x＝2rh2r＋2h.即圆锥内接正方体的棱长为2rh2r＋2h.4．(1)如图1所示的三棱锥的三条侧棱OA、OB、OC两两垂直，那么该三棱锥的侧视图是图2还是图3?(2)某几何体的三视图如图4，问该几何体的面中有几个直角三角形？(3)某几何体的三视图如图5，问该几何体的面中有几个直角三角形？【解析】(1)该三棱锥在侧(右)投影面上的投影是一直角三角形，该三棱锥的侧视图应是图2.(2)该几何体是三棱锥，其直观图如图所示，其中OA、OB、OC两两垂直，∴△OAB、△OAC、△OBC都是直角三角形，但△ABC是锐角三角形．设AO＝a，OC＝c，OB＝b，则AC＝a2＋c2，BC＝c2＋b2，AB＝a2＋b2，∴cos∠BAC＝a2a2＋b2·c2＋a2>0，∴∠BAC为锐角．同理，∠ABC、∠ACB也是锐角．综上所述，该几何体的面中共有3个直角三角形．(3)该几何体是三棱锥，其直观图如图所示，其中，AB⊥BC，AB⊥BD，BD⊥CD，AB⊥面BCD，∴DC⊥面ABD，∴DC⊥AD，∴△ACD也是直角三角形．∴该几何体的面中共有4个直角三角形.。

第九章 直线平面与简单几何体1、已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，有下列四个命题：①α∥β⇒l ⊥m ；②α⊥β⇒ l ∥m ；③l ∥m ⇒α⊥β；④l ⊥m ⇒α∥β.其中正确的两个命题是 （ ）A 、①与②B 、①与③C 、②与④D 、③与④1、B【命题分析】考查空间平行与垂直关系的判别.2、在正三棱锥中，相邻两侧面所成二面角的取值范围是（ ）A 、3ππ（，） B 、23ππ（，） C 、（0，2π） D 、23ππ（，）3 2、A【思路分析】法一：考察正三棱锥P –ABC ，O 为底面中心，不妨将底面正△ABC 固定，顶点P 运动，相邻两侧面所成二面角为∠AHC.当PO →0时，面PAB →△OAB ，面PBC →△OBC ，∠AHC →π当PO →+∞时，∠AHC →∠ABC=3π. 故3π<∠AHC <π，选A. 法二：不妨设AB=2，PC= x ，则x > OC =332. 等腰△PBC 中，S △PBC =21x ·CH =21·2·⇒-1x 2CH =2x112- 等腰△AHC 中，sin 2x1121CH2AC 2AHC-==∠由x>332得2AHC sin 21∠<<1，∴322AHC 6π⇒π<∠<π＜∠AHC ＜π. 【命题分析】主要考查多面体、二面角等基础知识，分析问题与解决问题的能力，注重考查考生对算法算理的理解.3、如图，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点M 在A 上，且AM=31AB ，点P 在平面ABCD 上，且动点P 到直线A 1D 1的距离的平方与P 到点M 的距离的平方差为 1，在平面直角坐标系xAy 中，动点P 的轨 迹方程是 . 3、91322-=x y【思路分析】过P 点作PQ ⊥AD 于Q ，再过Q 作QH ⊥A 1D 1于H ，连PH ，利用三垂线定理可证PH ⊥A 1D 1. 设P （x ，y ）， P ABCHOB A xM∵|PH|2- |PH|2= 1，∴x 2+1- [(x 13-)2+y 2] =1，化简得91322-=x y .【命题分析】以空间图形为载体，考查直线与平面的位置关系以及轨迹方程的求法.4．命题①空间直线a ，b ，c ，若a∥b，b∥c 则a∥c②非零向量、，若∥，∥则∥ ③平面α、β、γ若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ ④空间直线a 、b 、c 若有a⊥b，b⊥c，则a∥c ⑤直线a 、b 与平面β，若a⊥β，c⊥β，则a∥c 其中所有真命题的序号是（ ）A ．①②③ B．①③⑤ C．①②⑤ D．②③⑤ 4．解答：由传递性知①②正确由线面垂直性质知⑤正确由空间直角坐标系中三坐标平面关系否定③ 三坐标轴关系否定④ 选C评析：考察传递性适用范围，空间与平面的区别。

2019-2020年高考数学复习 第79课时第九章直线、平面、简单几何体- 平面所成的角名师精品教案 一•复习目标：掌握二面角及二面角的平面角的概念；熟练掌握作二面角平面角的一般方法. 二. 知识要点： 1•二面角的概念： _______________________________________________________________ . 2•二面角的平面角： ____________________________________________________________ . 3•求二面角平面角大小的一般方法： ______________________________________________ . 三. 课前预习： 1•二面角内有一点，若到平面的距离分别是，且在平面的内的射影的距离为，则二面角的 度数是() 2 •已知分别是正方体的棱的中点，则截面与底面所成二面角的正弦值是 3. 对于平面几何中的命题："如果两个角的两边分别对应垂直, 在立体几何中，类比上述的命题，可以得到命题： _____________ ，这个命题的真假性是 ______________________• 4 .在四面体中，两两垂直，且，是中点，异面直线所成的 角为，则二面角的大小为 ____________________________________________•四•例题分析：例1.如图，点为斜三棱柱的侧棱上一点，交于点， 交于点，(1 )求证：； (2 )在任意中有余弦定理： DE 2 =DF 2 EF 2 三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系 式，并予以证明. 例 2 .如图，已知四棱锥的底AB 二 BC 二 PB 二 PC 二 2CD ，侧面底面.(1 )与是否相互垂直，请证明你的结论；A i2i ()C iFB ED A BEB CMA il EFcos/DFE .拓展到空间，类比..................................... C i . -A B(2)求二面角的大小；(3)求证：平面丄平面.解：(1)与相互垂直•证明如下: 取的中点，连结，交于点；连结.又•••平面丄平面，平面门平面，•丄平面.在梯形中，可得，• / BEO ZOAB ZDBA Z DBC Z DBA即，•.C(2)连结，由丄平面，，可得，•••为二面角的平面角，设AB =BC =PB =PC =2CD =2a，则在中，•••二面角为.(3 )取的中点，连结，由题意知：平面丄平面，则同“(1)”可得平面.取的中点，连结，则由，，得四边形为平行四边形••，•丄平面.•平面丄平面.解答二：取的中点，由侧面丄底面，是等边三角形，得丄底面.以为原点，以所在直线为轴，过点与平行的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则在直角梯形中，，在等边三角形中，.• A(1,—2,0), B(1,0,0), D(-1,-1,0), P(0,0,、、3)BD =(—2,—1,0),PA =(1,-2,- 3).(1)与相互垂直•证明如下：••• BD PA=(-2) 1 (-1) (-2) 0 (- 3)=0,(2)连结，设与相交于点；连结.由OA BD =1 (-2) (-2) (T) 0 0=0,得.又•••为在平面内的射影, •••,为二面角的平面角. 在中， •二面角为. ____ （3 ）取的中点，连结，则的坐标为. 又，， • DM PA =- 10 （一2） 3 3）=0 2 2 •••丄平面. •平面丄平面.小结：三垂线定理是求二面角的平面角的又一常用方法.五•课后作业：1. 过正方形的顶点，引丄平面，若，则平面和平面所成的二面角的大小是（ ）2•已知正三棱锥两个相邻侧面所成二面角为，那么的取值范围（ ）或3. 已知正方形，交于点，若将正方形沿折成的二面角，并给出四个结论：（ 1）;（ 2）;（3）为正三角形；（4），则其中正确命题的序号为 ________________________________ .4. 平行六面体的底面是矩形，侧棱长为，点在底面上的射影是的中点，与底面成的角，二 面角的平面角等于，求此平行六面体的表面积.5. 在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面， ，是 ^中点，作交于. 在中, OE =OBsin . OBE 5 5 DM PB (-•3)=0.DM _ P A , DM _ PB,即 DM _ PA, DM _ PB2019-2020年高考数学复习 第79课时第九章直线、平面、简单几何体- 平面所成的角名师精品教案 新人教A 版•复习目标：掌握二面角及二面角的平面角的概念；熟练掌握作二面角平面角的一般方法..知识要点：1. 二面角的概念： _______________________________________________________________ .2. 二面角的平面角： ____________________________________________________________ .3. 求二面角平面角大小的一般方法： ______________________________________________ .三.课前预习：1.二面角内有一点，若到平面的距离分别是，且在平面的内的射影的距离为，则二面角的 度数是（）2.已知分别是正方体的棱的中点，则截面与底面所成二面角的正弦值是（） D 1 C i/：:|F3.对于平面几何中的命题："如果两个角的两边分别对应垂直,在立体几何中，类比上述的命题，可以得到命题: 扣C 等：相、不例2 .如图，______________ ，这个命题的真假性是 ____________________4 .在四面体中，两两垂直，且，是中点，异面直线所成的 角为，则二面角的大小为 ___________________________________ .四•例题分析：例1如图，点为斜三棱柱的侧棱上一点，交于点，交于点，（1 ）求（2）在任意中有余弦定理： DE 2二DF 2 EF 2 -2EF cos DFE . 拓展到空间，类比B 1C 1三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系 式，并予以证明.CA BAB = BC = PB = PC = 2CD ，侧面底面.(1 )与是否相互垂直，请证明你的结论；(2) 求二面角的大小；(3) 求证：平面丄平面.解：(1)与相互垂直•证明如下:取的中点，连结，交于点；连结.•••,•••.又•••平面丄平面，即,(2)连结， 由丄平面，，可得， •••为二面角的平面角， 设 AB 二 BC 二 PB 二 PC 二 2CD 二 2a ，则在中，•••二面角为.(3 )取的中点，连结，由题意知：平面丄平面， 则同“(1)”可得平面.取的中点，连结，则由，，得四边形为平行四边形••，•丄平面.•平面丄平面.解答二： 平面门平面，•丄平面. 在梯形中，可得，BEO /OAB /DBA / DBC /DBAC取的中点，由侧面丄底面，是等边三角形，得丄底面.以为原点，以所在直线为轴，过点与平行的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则在直角梯形中，，在等边三角形中，.• A(1,—2,0), B(1,0,0), D(-1,-1,0), P(0,0,、、3) BD =(-2,-1,0),PA=(1,-2,-3).(1)与相互垂直•证明如下：••• BD PA=(-2) 1 (-1) (-2) 0 (- .3)=0,（2）连结，设与相交于点；连结.由 OA BD =1 (-2) (-2) (-1) 0 0=0,得.又•••为在平面内的射影,为二面角的平面角.在中，•二面角为. _（3 ）取的中点，连结，则的坐标为.又，，_ PA, DM _ PB,即卩DM _ PA, DM•••丄平面. •平面丄平面.小结：三垂线定理是求二面角的平面角的又一常用方法.五•课后作业：1.过正方形的顶点，引丄平面，若，则平面和平面所成的二面角的大小是（ ）2•已知正三棱锥两个相邻侧面所成二面角为，那么的取值范围（） 或3.已知正方形，交于点，若将正方形沿折成的二面角，并给出四个结论：（ 1）;（ 2）;（3）为正三角形；（4），则其中正确命题的序号为 ________________________________ .4. 平行六面体的底面是矩形，侧棱长为，点在底面上的射影是的中点，与底面成的角，二 面角的平面角等于，求此平行六面体的表面积.5. 在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面， ，是 ^中点，作交于.（1 ）证明平面：（2）证明平面；（3）求二面角的大小.• D M PA 1 0 (-2) 2 (-.3) =0DM PB(-.3)=0. 在中,OE =OBsin . OBE 5 56•在三棱锥中，是边长为的正三角形，平面平面，，分别是的中点.（1）证明；（2）求二面角的大小；（3）求点到平面的距离.。

十年高考分类解析与应试策略数学 第九章 直线、平面、简单几何体（A ）●考点阐释高考试卷中，立体几何考查的立足点放在空间图形上，突出对空间观念和空间想象能力的考查.立体几何的基础是对点、线、面的各种位置关系的讨论和研究，进而讨论几何体，而且采用了公理化体系的方法，在中学数学教育中，通过这部分内容培养学生空间观念和公理化体系处理数学问题的思想方法，这又是考生进入高校所必须具备的一项重要的数学基础，因此高考命题时，突出空间图形的特点，侧重于直线与直线、直线与平面、平面与平面的各种位置关系的考查，以便审核考生立体几何的知识水平和能力.多面体和旋转体是在空间直线与平面的理论基础上，研究以柱、锥、台、球为代表的最基本的几何体的概念、性质、各主要元素间的关系、直观图画法、侧面展开图以及表面和体积的求法等问题.它是“直线和平面”问题的延续和深化.在高考中不仅有直接求多面体、旋转体的面积和体积问题，也有已知面积或体积求某些元素的量或元素间的位置关系问题.近些年来即使考查空间线面的位置关系问题，也常以几何体为依托.因而要熟练掌握多面体与旋转体的概念、性质以及它们的求积公式.同时也要学会运用等价转化思想，会把组合体求积问题转化为基本几何体的求积问题，会等体积转化求解问题，会把立体问题转化为平面问题求解，会运用“割补法”等求解.本章主要考查平面的性质、空间两直线、直线和平面、两个平面的位置关系以及空间角和距离面积及体积.●试题类编一、选择题1.（2003京春文11，理8）如图9—1，在正三角形ABC 中，D ，E ，F 分别为各边的中点，G ，H ，I ，J 分别为AF ，AD ，BE ，DE 的中点.将△ABC 沿DE ，EF ，DF 折成三棱锥以后，GH 与IJ 所成角的度数为（ ）A.90° B .60° C.45° D.0°2.（2003上海春，13）关于直线a 、b 、l 及平面M 、N ，下列命题中正确的是（ ）A.若a ∥M ，b ∥M ，则a ∥bB.若a ∥M ，b ⊥a ，则b ⊥MC.若a M ，b M ，且l ⊥a ，l ⊥b ，则l ⊥MD.若a ⊥M ，a ∥N ，则M ⊥N3.（2002北京春，2）已知三条直线m 、n 、l ，三个平面α、β、γ.下面四个命题中，正确的是（ ）A.⇒⎭⎬⎫⊥⊥γβγαα∥βB.⇒⎭⎬⎫⊥m l m β//l ⊥β C.⇒⎭⎬⎫γγ////n m m ∥n D.⇒⎭⎬⎫⊥⊥γγn m m ∥n 4.（2002北京文，4）在下列四个正方体中，能得出AB ⊥CD 的是（ ）图9—15.（2002上海，14）已知直线l 、m ，平面α、β，且l ⊥α，m β，给出下列四个命题：（1）若α∥β，则l ⊥m （2）若l ⊥m ，则α∥β （3）若α⊥β，则l ∥m（4）若l ∥m ，则α⊥β其中正确命题的个数是（ ）A.1B.2C.3D.46.（2002京皖春，7）在△ABC 中，AB =2，BC =1.5，∠ABC =120°（如图9—2），若将△ABC 绕直线BC 旋转一周，则所形成的旋转体的体积是（ ）A.29πB.27πC.25πD.23π 7.（2002京、皖、春，12）用一张钢板制作一个容积为4 m 3的无盖长方体水箱.可用的长方形钢板有四种不同的规格（长×宽的尺寸如选项所示，单位均为m ）若既要够用，又要所剩最少，则应选择钢板的规格是（ ）A.2×5B.2×5.5C.2×6.1D.3×58.（2002全国文8，理7）一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等，那么，这个圆锥轴截面顶角的余弦值是（ ）A.43B.54C.53D.－53 9.（2002北京文5，理4）64个直径都为4a 的球，记它们的体积之和为V 甲，表面积之和为S 甲；一个直径为a 的球，记其体积为V 乙，表面积为S 乙，则（ ）A.V 甲＞V 乙且S 甲＞S 乙B.V 甲＜V 乙且S 甲＜S 乙C.V 甲=V 乙且S 甲＞S 乙D.V 甲=V 乙且S 甲=S 乙10.（2002北京理，10）设命题甲：“直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，平面ACB 1与对角面BB 1D 1D 垂直”；命题乙：“直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1是正方体”.那么，甲是乙的（ ）A.充分必要条件B.充分非必要条件C.必要非充分条件D.既非充分又非必要条件11.（2002全国理，8）正六棱柱ABCDEF —A 1B 1C 1D 1E 1F 1的底面边长为1，侧棱长为2，则这个棱柱的侧面对角线E 1D 与BC 1所成的角是（ ）A.90°B.60°C.45°D.30°12.（2001上海，15）已知a 、b 为两条不同的直线,α、β为两个不同的平面，且a ⊥α,图9—2b⊥β，则下列命题中的假命题．．．是（）A.若a∥b，则α∥βB.若α⊥β，则a⊥bC.若a、b相交，则α、β相交D.若α、β相交，则a、b相交13.（2001京皖春，11）图9—3是正方体的平面展开图．在这个正方体．．．中，①BM与ED平行②CN与BE是异面直线③CN与BM成60°角④DM与BN垂直以上四个命题中，正确命题的序号是（）A.①②③B.②④C.③④D.②③④14.（2001全国文，3）若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的全面积是（）A.3πB.33πC.6πD.9π15.（2001全国，11）一间民房的屋顶有如图9—4三种不同的盖法：①单向倾斜；②双向倾斜；③四向倾斜.记三种盖法屋顶面积分别为P1、P2、P3.图9—4若屋顶斜面与水平面所成的角都是α，则（）A.P3＞P2＞P1B.P3＞P2＝P1C.P3＝P2＞P1D.P3＝P2＝P116.（2001全国，9）在正三棱柱ABC—A1B1C1中，若AB＝2BB1，则AB1与C1B所成的角的大小为（）A.60°B.90°C.105°D.75°17.（2001京皖春，9）如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥的顶角（圆锥轴截面中两条母线的夹角）是（）A.30°B.45°C.60°D.90°18.（2000上海，14）设有不同的直线a、b和不同的平面α、β、γ，给出下列三个命题：（1）若a∥α，b∥α，则a∥b．（2）若a∥α，a∥β，则α∥β．（3）若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β．其中正确的个数是（）A.0 B．1 C．2 D．319.（2000京皖春，5）一个圆锥的底面直径和高都同一个球的直径相等，那么圆锥与球图9—3的体积之比是（ ） A.1∶3 B.2∶3 C.1∶2 D.2∶920.（2000全国，3）一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是6,3,2，这个长方体对角线的长是（ ）A.23B.32C.6D.621.（2000全国文，12）如图9—5，OA 是圆锥底面中心O 到母线的垂线，OA 绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成相等的两部分，则母线与轴的夹角的余弦值为（ ）A.321 B.21 C.21 D.421 22.（2000全国理，9）一个圆柱的侧面积展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是（ ）A.ππ221+ B.ππ441+ C.ππ21+ D.ππ241+ 23.（1999全国，7）若干毫升水倒入底面半径为2 cm 的圆柱形器皿中，量得水面的高度为6 cm.若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是（ ）A.63cm B ．6 cm C.2318cm D.3312cm24.（1999全国，12）如果圆台的上底面半径为5，下底面半径为R ，中截面把圆台分为上、下两个圆台，它们的侧面积的比为1∶2，那么R 等于（ ）A.10B.15C.20D.2525.（1999全国理，10）如图9—6，在多面体ABCDEF 中，已知面ABCD 是边长为3的正方形，EF ∥AB ，EF =23，EF 与面AC 的距离为2，则该多面体的体积是（ ）A.29B.5C.6D.215 图9—5 图9—626.（1998全国，7）已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为（ ）A.120°B.150°C.180°D.240°27.（1998全国，9）如果棱台的两底面积分别是S 、S ′，中截面的面积是S 0，那么（ ）A.S S S '+=02B.S S S '=0C.2S 0＝S ＋S ′D.S 02＝2S ′S 28.（1998全国，13）球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的61，经过这3个点的小圆的周长为4π，那么这个球的半径为（ ） A.43 B.23 C.2 D. 329.（1998上海）在下列命题中，假命题是（ ）A.若平面α内的一条直线垂直于平面β内的任一直线，则α⊥βB.若平面α内任一直线平行于平面β，则α∥βC.若平面α⊥平面β，任取直线l α，则必有l ⊥βD.若平面α∥平面β，任取直线l α，则必有l ∥β30.（1997全国，8）长方体一个顶点上三条棱的长分别是3、4、5，且它的八个顶点都在同一个球面上，这个球的表面积是（ ）A.202πB.252πC.50πD.200π31.（1997全国，12）圆台上、下底面积分别为π、4π，侧面积为6π，这个圆台的体积是（ ）A.332πB.23πC.637πD.337π 32.（1996全国理，14）母线长为1的圆锥体积最大时，其侧面展开图圆心角ϕ等于（ ）A.322πB.332πC.2πD.362π 33.（1996全国文12，理9）将边长为a 的正方体ABCD 沿对角线AC 折起，使得BD ＝a ，则三棱锥D —ABC 的体积为（ ）A.63a B.123a C.3123a D.3122a 34.（1996全国文7，理5）如果直线l 、m 与平面α、β、γ满足：l ＝β∩γ，l ∥α，m ⊂α和m ⊥γ，那么必有（ ）A.α⊥γ且l ⊥mB.α⊥γ且m ∥βC.m ∥β且l ⊥mD.α∥β且α⊥γ35.（1996上海，4）在下列命题中，真命题是（ ）A.若直线m 、n 都平行于平面α，则m ∥nB.设α—l —β是直二面角，若直线m ⊥l ，则m ⊥βC.若直线m 、n 在平面α内的射影依次是一个点和一条直线，且m ⊥n ，则n 在α内或n与α平行 D.设m 、n 是异面直线，若m 与平面α平行，则n 与α相交 36.（1996全国文，10）圆锥母线长为1，侧面展开图的圆心角为240°，该圆锥的体积等于（ ）A.8122π B.818π C.8154π D.8110π 37.（1995全国文，10）如图9—7，ABCD —A 1B 1C 1D 1是正方体，B 1E 1＝D 1F 1＝411B A ，则BE 1与DF 1所成角的余弦值是（ ） A.1715 B.21 C.178 D.23 38.（1995全国，4）正方体的全面积是a 2，它的顶点都在球面上，这个球的表面积是（ ）A.32a π B.22a π C.2πa 2 D.3πa 239.（1995上海，4）设棱锥的底面面积为8 cm 2，那么这个棱锥的中截面（过棱锥高的中点且平行于底面的截面）的面积是（ ）A.4 cm 2B.22 cm 2C.2 cm 2D. 2 cm 240.（1995全国理，10）已知直线l ⊥平面α，直线m 平面β，有下面四个命题： ①α∥β⇒l ⊥m ； ②α⊥β⇒l ∥m ； ③l ∥m ⇒α⊥β；④l ⊥m ⇒α∥β 其中正确的两个命题是（ ）A.①②B.③④C.②④D.①③41.（1995全国理，15）如图9—8，A 1B 1C 1—ABC 是直三棱柱，∠BCA =90°，点D 1、F 1分别是A 1B 1、A 1C 1的中点，若BC =CA =CC 1，则BD 1与AF 1所成角的余弦值是（ ）A.1030 B.21 C.1530 D.1015 42.（1994全国，11）对于直线m 、n 和平面α、β，α⊥β的一个充分条件是（ ）A.m ⊥n ，m ∥α，n ∥βB.m ⊥n ，α∩β＝m ，n ⊂α图9—7 图9—8C.m ∥n ，n ⊥β，m ⊂α D.m ∥n ，m ⊥α，n ⊥β43.（1994上海，14）已知a 、b 是异面直线，直线c 平行于直线a ，那么c 与b （ ）A.一定是异面直线B.一定是相交直线C.不可能是平行直线D.不可能是相交直线44.（1994全国，7）已知正六棱台的上、下底面边长分别为2和4，高为2，则其体积为（ ）A.323B.283C.243D.20345.（1994全国，13）已知过球面上A 、B 、C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB ＝BC ＝CA ＝2，则球面面积是（ ）A.916πB.38πC.4πD.964π 二、填空题46.（2003京春理13，文14）如图9—9，一个底面半径为R 的圆柱形量杯中装有适量的水.若放入一个半径为r 的实心铁球，水面高度恰好升高r ，则rR = .图9—947.（2003上海春，10）若正三棱锥底面边长为4，体积为1，则侧面和底面所成二面角的大小等于 （结果用反三角函数值表示）.48.（2002上海春，12）如图9—10，若从点O 所作的两条射线OM 、ON 上分别有点 M 1、M 2与点N 1、N 2，则三角形面积之比21212211ON ON OM OM S S N OM N OM ⋅=∆∆.若从点O 所作的不在同一平面内的三条射线OP 、OQ 和OR 上，分别有点P 1、P 2，点Q 1、Q 2和点R 1、R 2，则类似的结论为 .图9—10 图9—1149.（2002京皖春，15）正方形ABCD 的边长是2，E 、F 分别是AB 和CD 的中点，将正方形沿EF 折成直二面角（如图9—11所示）.M 为矩形AEFD 内一点，如果∠MBE =∠MBC ，MB和平面BCF所成角的正切值为21，那么点M 到直线EF的距离为.50.（2002北京，15）关于直角AOB在定平面α内的射影有如下判断：①可能是0°的角；②可能是锐角；③可能是直角；④可能是钝角；⑤可能是180°的角.其中正确判断的序号是（注：把你认为是正确判断的序号都填上）.51.（2002上海春，10）图9—12表示一个正方体表面的一种展开图，图中的四条线段AB、CD、EF和GH在原正方体中相互异面的有对.图9—1252.（2002上海，4）若正四棱锥的底面边长为23cm，体积为4 cm3，则它的侧面与底面所成的二面角的大小是.53.（2001京皖春，16）已知m、n是直线，α、β、γ是平面，给出下列命题：①若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n⊥α或n⊥β；②若α∥β，α∩γ＝m，β∩γ＝n，则m∥n；③若m不垂直于α，则m不可能垂直于α内的无数条直线；④若α∩β＝m，n∥m且n⊄α，n⊄β，则n∥α且n∥β.其中正确的命题序号是（注：把你认为正确的命题的序号都．填上）.54.（2001春季北京、安徽，13）已知球内接正方体的表面积为S，那么球体积等于．55.（2001全国理，13）若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的侧面积是.56.（2000上海春，9）若两个长方体的长、宽、高分别为5 cm、4 cm、3 cm，把它们两个全等的面重合在一起组成大长方体，则大长方体的对角线最长为_____cm.57.（2000上海春，8）如图9—13，∠BAD＝90°的等腰直角三角形ABD与正三角形CBD所在平面互相垂直，E是BC的中点，则AE与平面BCD所成角的大小为_____.58.（2000年春季北京、安微，18）在空间，下列命题正确的是_____（注：把你认为正确的命题的序号都填上）.①如果两直线a、b分别与直线l平行，那么a∥b.②如果直线a与平面β内的一条直线b平行，那么a∥β.③如果直线a与平面β内的两条直线b、c都垂直，那么a⊥β.④如果平面β内的一条直线a垂直平面γ，那么β⊥γ.59.（2000春季北京、安徽，16）如图9—14是一体积为72的正四面体，连结两个面的重心E、F，则线段EF的长是_____.60.（2000全国，16）如图9—15（1），E、F分别为正方体的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可能是图9—15（2）的（要求：图9—13把可能的图的序号都．填上）.图9—14 图9—15（1）图9—15（2）61.（2000上海，7）命题A：底面为正三角形，且顶点在底面的射影为底面中心的三棱锥是正三棱锥．命题A的等价命题B可以是：底面为正三角形，且的三棱锥是正三棱锥．62.（1999全国，18）α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及β之外的两条不同直线.给出四个论断：①m⊥n②α⊥β③n⊥β④m⊥α以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个．．命题：.63.（1998全国，18）如图9—16，在直四棱柱A1B1C1D1—ABCD中，当底面四边形ABCD满足条件（或任何能推导出这个条件的其他条件，例如ABCD是正方形、菱形等）时，有A1C⊥B1D1（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形）.64.（1998上海）棱长为2的正四面体的体积为.65.（1997全国，19）已知m、l是直线，α、β是平面，给出下列命题①若l垂直于α内的两条相交直线，则l⊥α②若l平行于α，则l平行于α内的所有直线③若m⊂α，l⊂β，且l⊥m，则α⊥β④若l⊂β，且l⊥α，则α⊥β⑤若m⊂α，l⊂β，且α∥β，则m∥l其中正确的命题的序号是_____（注：把你认为正确的命题的序号都填上）.66.（1997上海）圆柱形容器的内壁底半径为5 cm，两个直径为5 cm的玻璃小球都浸没于容器的水中，若取出这两个小球，则容器的水面将下降_____ cm.67.（1996上海，18）把半径为3 cm、中心角为32π的扇形卷成一个圆锥形容器，这个容器的容积为cm3（结果保留π）.68.（1996上海，18）如图9—17，在正三角形ABC中，E、F依次是AB、AC的中点，AD⊥BC，EH⊥BC，FＧ⊥BC，D、H、G为垂足，若将正三角形ABC绕AD旋转一周所得的圆锥的体积为V，则其中由阴影部分所产生的旋转体的体积与V的比值是.图9—16图9—17 图9—1869.（1996全国，19）如图9—18，正方形ABCD 所在平面与正方形ABEF 所在平面成60°的二面角，则异面直线AD 与BF 所成角的余弦值是_____.70.（1995全国，17）已知圆台上、下底面圆周都在球面上，且下底面过球心，母线与底面所成的角为3 ，则圆台的体积与球体积之比为_____.71.（1995上海理）把圆心角为216°，半径为5分米的扇形铁皮焊成一个圆锥形容器（不计焊缝），那么容器的容积是_____.72.（1994全国，19）设圆锥底面圆周上两点A 、B 间的距离为2，圆锥顶点到直线AB 的距离为3，AB 和圆锥的轴的距离为1，则该圆锥的体积为_____.73.（1994上海）有一个实心圆锥体的零部件，它的轴截面是边长为10 cm 的等边三角形，现在要在其整个表面上镀一层防腐材料，已知每平方厘米的工料价为0.10元，则需要的费用为_____元（π取3.2）.三、解答题74.（2003京春文，19）如图9—19，ABCD —A 1B 1C 1D 1是正四棱柱，侧棱长为1，底面边长为2，E 是棱BC 的中点.（Ⅰ）求三棱锥D 1—DBC 的体积；（Ⅱ）证明BD 1∥平面C 1DE ；（Ⅲ）求面C 1DE 与面CDE 所成二面角的正切值.图9—19 图9—2075.（2003京春理，19）如图9—20，正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，底面边长为22，侧棱长为4.E ，F 分别为棱AB ，BC 的中点，EF ∩BD =G .（Ⅰ）求证：平面B 1EF ⊥平面BDD 1B 1；（Ⅱ）求点D 1到平面B 1EF 的距离d ；（Ⅲ）求三棱锥B 1—EFD 1的体积V .76.（2002京皖春文，19）在三棱锥S —ABC 中，∠SAB =∠SAC =∠ACB =90°，且AC =BC =5，SB =55.（如图9—21） （Ⅰ）证明：SC ⊥BC ； 图9—21（Ⅱ）求侧面SBC与底面ABC所成二面角的大小；（Ⅲ）求三棱锥的体积V S－AB C.77.（2002京皖春理，19）在三棱锥S—ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，AC=2，BC=13，SB=29.（Ⅰ）证明：SC⊥BC；（Ⅱ）求侧面SBC与底面ABC所成二面角的大小；（Ⅲ）求异面直线SC与AB所成的角的大小（用反三角函数表示）.图9—22 图9—2378.（2002全国文，19）四棱锥P—ABCD的底面是边长为a的正方形，PB⊥面ABCD，如图9—22所示.（Ⅰ）若面P AD与面ABCD所成的二面角为60°，求这个四棱锥的体积；（Ⅱ）证明无论四棱锥的高怎样变化，面P AD与面PCD所成的二面角恒大于90°.79.（2002北京文，18）如图9—23，在多面体ABCD—A1B1C1D1中，上、下底面平行且均为矩形，相对的侧面与同一底面所成的二面角大小相等，上、下底面矩形的长、宽分别为c，d与a，b，且a＞c，b＞d，两底面间的距离为h.（Ⅰ）求侧面ABB1A1与底面ABCD所成二面角的正切值；（Ⅱ）在估测该多面体的体积时，经常运用近似公式V估=S中截面·h来计算.已知它的体积公式是V=6h（S上底面+4S中截面+S下底面），试判断V估与V的大小关系，并加以证明.（注：与两个底面平行，且到两个底面距离相等的截面称为该多面体的中截面）80.（2002北京理，18）如图9—24，在多面体ABCD—A1B1C1D1中，上、下底面平行且均为矩形，相对的侧面与同一底面所成的二面角大小相等，侧棱延长后相交于E，F两点，上、下底面矩形的长、宽分别为c，d与a，b，且a＞c，b＞d，两底面间的距离为h.（Ⅰ）求侧面ABB1A1与底面ABCD所成二面角的大小；（Ⅱ）证明：EF∥面ABCD；（Ⅲ）在估测该多面体的体积时，经常运用近似公式V估=S中截面·h来计算.已知它的体积公式是V=6h（S上底面+4S中截面+S下底面），试判断V估与V的大小关系，并加以证明.（注：与两个底面平行，且到两个底面距离相等的截面称为该多面体的中截面）81.（2002全国文，22）（Ⅰ）给出两块相同的正三角形纸片（如图（1），图（2）），要求用其中一块剪拼成一个正三棱锥模型，另一块剪拼成一个正三棱柱模型，使它们的全面积都与原三角形的面积相等，请设计一种剪拼方法，分别用虚线标示在图（1）、图（2），并作简要说明；图9—24（Ⅱ）试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小；图9—2582.（2002全国理，18）如图9—26，正方形ABCD、ABEF的边长都是1，而且平面ABCD、ABEF互相垂直.点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM=BN=a（0＜a＜2）.（Ⅰ）求MN的长；（Ⅱ）当a为何值时，MN的长最小；（Ⅲ）当MN长最小时，求面MNA与面MNB所成的二面角α的大小.图9—26 图9—2783.（2001春季北京、安徽，19）如图9—27，已知VC是△ABC所在平面的一条斜线，点N是V在平面ABC上的射影，且在△ABC的高CD上.AB＝a，VC与AB之间的距离为h，点M∈V C.（Ⅰ）证明∠MDC是二面角M—AB—C的平面角；（Ⅱ）当∠MDC＝∠CVN时，证明VC⊥平面AMB；（Ⅲ）若∠MDC＝∠CVN＝θ（0＜θ＜2），求四面体MABC的体积.84.（2001上海，19）在棱长为a的正方体OABC—O′A′B′C′中，E、F分别是棱AB、BC上的动点，且AE＝BF．（Ⅰ）求证：A′F⊥C′E；（Ⅱ）当三棱锥B′—BEF的体积取得最大值时，求二面角B′—EF—B的大小（结果用反三角函数表示）．85.（2001全国理17，文18）如图9—28，在底面是直角梯形的四棱锥S—ABCD中，∠ABC＝90°，SA⊥面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝21.（Ⅰ）求四棱锥S—ABCD的体积；（Ⅱ）求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值.86.（2000京皖春理20,文21）在直角梯形ABCD中，如图9—29，∠D＝∠BAD＝90°，AD＝21AB＝a（如图（1）），将△ADC沿AC折起，使D到D′，记面ACD′为α，面ABC图9—28为β，面BCD ′为γ．图9—29（Ⅰ）若二面角α—AC —β为直二面角（如图（2）），求二面角β—BC —γ的大小； （Ⅱ）若二面角α—AB —β为60°（如图（3）），求三棱锥D ′—ABC 的体积．87.（2000全国理，18）如图9—30，已知平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形，且∠C 1CB ＝∠C 1CD ＝∠BCD ＝60°．（Ⅰ）证明：C 1C ⊥BD ；（Ⅱ）假定CD ＝2，CC 1＝23，记面C 1BD 为α，面CBD 为β，求二面角α—BD —β的平面角的余弦值；（Ⅲ）当1CC CD的值为多少时，能使A 1C ⊥平面C 1BD ？请给出证明．图9—30 图9—3188.（2000全国文，19）如图9—31，已知平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形，且∠C 1CB ＝∠C 1CD ＝∠BCD ．（Ⅰ）证明：C 1C ⊥BD ；（Ⅱ）当1CC CD的值为多少时，能使A 1C ⊥平面C 1BD ?请给出证明． 89.（2000上海，18）如图9—32所示四面体ABCD 中，AB 、BC 、BD 两两互相垂直，且AB ＝BC ＝2，E 是AC 中点，异面直线AD 与BE 所成的角大小为arccos 1010，求四面体ABCD 的体积．图9—32图9—3390.（1999全国文22，理21）如图9—33，已知正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1，点E 在棱D 1D 上，截面EAC ∥D 1B ，且面EAC 与底面ABCD 所成的角为45°，AB ＝a .（Ⅰ）求截面EAC 的面积；（Ⅱ）求异面直线A 1B 1与AC 之间的距离； （Ⅲ）求三棱锥B 1－EAC 的体积.91.（1998全国理，23）已知如图9—34，斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧面A 1ACC 1与底面ABC 垂直，∠ABC ＝90°，BC ＝2，AC ＝23，且AA 1⊥A 1C ，AA 1＝A 1C.（Ⅰ）求侧棱A 1A 与底面ABC 所成角的大小；（Ⅱ）求侧面A 1ABB 1与底面ABC 所成二面角的大小； （Ⅲ）求顶点C 到侧面A 1ABB 1的距离.图9—34 图9—3592.（1998全国文，23）已知如图9—35，斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧面A 1ACC 1与底面ABC 垂直，∠ABC ＝90°，BC ＝2，AC ＝23，且AA 1⊥A 1C ，AA 1＝A 1C.（Ⅰ）求侧棱A 1A 与底面ABC 所成角的大小；（Ⅱ）求侧面A 1ABB 1与底面ABC 所成二面角的大小； （Ⅲ）求侧棱B 1B 和侧面A 1ACC 1的距离.93.（1997全国，23）如图9—36，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是BB 1、CD 的中点.（Ⅰ）证明：AD ⊥D 1F ；（Ⅱ）求AE 与D 1F 所成的角； （Ⅲ）证明：面AED ⊥面A 1FD 1；（Ⅳ）（理）设AA 1＝2，求三棱锥F —A 1ED 1的体积11ED A F V -. （文）设AA 1＝2，求三棱锥E —AA 1F 的体积F AA E V 1-.图9—36 图9—3794.（1997上海理）如图9—37在三棱柱ABC —A ′B ′C ′中，四边形A ′ABB ′是菱形，四边形BCC ′B ′是矩形，C ′B ′⊥A B.（1）求证：平面CA ′B ⊥平面A ′AB ；（2）若C ′B ′=3，AB =4，∠ABB ′=60°，求AC ′与平面BCC ′所成的角的大小（用反三角函数表示）.95.（1996上海，21）如图9—38，在二面角α—l —β中，A 、B ∈α，C 、D ∈l ，ABCD 为矩形，P ∈β，P A ⊥α，且P A ＝AD ，M 、N 依次是AB 、PC 的中点.（1）求二面角α—l —β的大小； （2）求证：MN ⊥AB ；（3）求异面直线P A 与MN 所成角的大小.图9—38 图9—3996.（1995全国文24，理23）如图9—39，圆柱的轴截面ABCD 是正方形，点E 在底面的圆周上，AF ⊥DE ，F 是垂足.（Ⅰ）求证：AF ⊥DB ； （Ⅱ）（理）如果圆柱与三棱锥D —ABE 的体积比等于3π，求直线DE 与平面ABCD 所成的角.（文）求点E 到截面ABCD 的距离.97.（1995上海，23）如图9—40，四棱锥P —ABCD 中，底面是一个矩形，AB ＝3，AD ＝1，又P A ⊥AB ，P A ＝4，∠P AD ＝60°.（Ⅰ）求四棱锥P —ABCD 的体积；（Ⅱ）求二面角P —BC —D 的大小（用反三角函数表示）.图9—40 图9—4198.（1994全国，23）如图9—41，已知A 1B 1C 1—ABC 是正三棱柱，D 是AC 中点. （Ⅰ）证明：AB 1∥平面DBC 1； （Ⅱ）（理）假设AB 1⊥BC 1，求以BC 1为棱的DBC 1与CBC 1为面的二面角α的度数. （文）假设AB 1⊥BC 1，BC ＝2，求线段AB 1在侧面B 1BCC 1上的射影长. 99.（1994上海，23）如图9—42在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝2，AB ＝a ，AD ＝3a ，且∠ADC ＝arcsin55，又P A ⊥平面ABCD ，P A =a .求（1）二面角P —CD —A 的大小（用反三角函数表示）. （2）点A 到平面PBC 的距离.图9—42●答案解析 1.答案：B解析：将三角形折成三棱锥如图9—43所示.HG 与IJ 为一对异面直线.过点D 分别作HG 与IJ 的平行线，即DF 与AD .所以∠ADF 即为所求.因此，HG 与IJ 所成角为60°.评述：本题通过对折叠问题处理考查空间直线与直线的位置关系，在画图过程中正确理解已知图形的关系是关键.通过识图、想图、画图的角度考查了空间想象能力.而对空间图形的处理能力是空间想象力深化的标志，是高考从深层上考查空间想象能力的主要方向.2.答案：D解析：A 选项中，若a ∥M ，b ∥M ，则有a ∥b 或a 与b 相交或a 与b 异面.B 选项中，b 可能在M 内，b 可能与M 平行，b 可能与M 相交.C 选项中须增加a 与b 相交，则l ⊥M . D 选项证明如下：∵a ∥N ，过a 作平面α与N 交于c ，则c ∥a ，∴c ⊥M .故M ⊥N .评述：本题考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的基本性质. 3.答案：D解析：垂直于同一平面的两直线必平行，因此选D.评述：判断元素之间的位置关系问题，也可以从元素之间所有关系分析入手，再否定若干选项.如A ，因为α、β有两种位置关系，在α与β相交情况下，仍有α⊥r ，β⊥r .因此，α∥β是错误的.4.答案：A解析：∵CD 在平面BCD 内，AB 是平面BCD 的斜线，由三垂线定理可得A. 5.答案：B 解析：（1）、（4）是正确命题.因为α∥β，l ⊥α，∴l ⊥β. 又m ⊂β，∴l ⊥m .因为l ∥m ，l ⊥α，∴m ⊥α，∴β⊥α. 6.答案：D解析：如图9—44，该旋转体的体积为圆锥C —ADE 与圆锥B —ADE 体积之差又∵求得AB =1∴23133125331πππ=⋅⋅⋅-⋅⋅⋅=-=--ADEB ADEC V V V7.答案：C解析：设该长方体水箱的长、宽、高分别为x 、y 、z ，∴x ·y ·z =4 ∴原长方形中用于制作水箱的部分的长、宽应分别为x +2z ，y +2z （如图9—45中（2）所示）从而通过对各选项的考查，确定C 答案.图9—458.答案：C图9—43图9—44解析：如图9—46，作出轴截面，设公共底面圆的半径为R ，圆锥的高为h∴V 锥=31πR 2h ，V 半球=21·43πR 3 ∵V 锥=V 半球，∴h =2R ∴tan α=21∴cos θ=53411411tan 1tan 122=+-=+-αα 9.答案：C解析：V 甲=64·34π·（4a ·21）3=61πa 3，S 甲=64·4π·（4a ·21）2=4πa 2 V 乙=34π（a ·21）3=61πa 3，S 乙=4π（a ·21）2=πa 2 ∴V 甲=V 乙，S 甲＞S 乙. 10.答案：C解析：若命题甲成立，命题乙不一定成立，如底面为菱形时. 若命题乙成立，命题甲一定成立. 11.答案：B解析：连结FE 1、FD ，则由正六棱柱相关性质得FE 1∥BC 1. 在△EFD 中，EF =ED =1，∠FED =120°，∴FD =3.在Rt △EFE 1和Rt △EE 1D 中，易得E 1F =E 1D =3.∴△E 1FD 是等边三角形.∴∠FE 1D =60°. ∴BC 1与DE 1所成的角为60°.评述：本题主要考查正六棱柱的性质及异面直线所成的角的求法. 12.答案：D解析：①∵a ∥b ，a ⊥α，∴b ⊥α，又∵b ⊥β，∴α∥β ②∵a ⊥α，α⊥β ∴a ∥β或a ∈β 又∵b ⊥β ∴b ⊥a ③若α∥β，则a ∥b④若α、β相交，则a 、b 可能相交也可能异面，显然D 不对. 13.答案：C解析:展开图可以折成如图9—47的正方体,由图可知①②不正确.图9—47图9—47∴③④正确. 14.答案：A 解析：∵S ＝21ab sin θ ∴21a 2sin60°＝3 ∴a 2＝4，a ＝2，a =2r ∴r ＝1 S 全＝2πr ＋πr 2＝2π＋π＝3π 15.答案：D解析：由S 底＝S 侧cos θ可得P 1＝P 2 而P 3＝θθθcos )(2)cos sin (22121S S S S +=+ 又∵2（S 1＋S 2）＝S 底 ∴P 1＝P 2＝P 316.答案：B解析：如图9—48，D 1、D 分别为B 1C 1、BC 中点，连结AD 、D 1C ，设BB 1＝1，则AB ＝2，则AD 为AB 1在平面BC 1上的射影，又32cos ,22,3311====BC BC BC C BD BE∴DE 2＝BE 2＋BD 2－2BE ·BD ·cos C 1BC ＝6132223322131=⋅⋅⋅-+ 而BE 2＋DE 2＝216131=+＝BD 2 ∴∠BED ＝90° ∴AB 1与C 1B 垂直 17.答案：C解析：设圆锥底面半径为r ，母线长为l ，依条件则有2πr ＝πl ，如图9—49∴21=l r ，即∠ASO ＝30°，因此圆锥顶角为60°. 18.答案：A解析：（1）如果a ，b 是平面M 中的两条相交直线，面M ∥α， ∴有a ∥α，b ∥α，但a b ，所以（1）错．（2）如果α∩β＝b ，而a ∥b ，∴有a ∥α，a ∥β，但αβ，所以（2）错． （3）如果α∩β＝b ，而b ⊥γ，∴有β⊥γ，α⊥γ，但αβ，（3）错． 19.答案：C解析：设圆锥的底面半径为R ，则V 圆锥＝32πR 3，V 球＝34πR 3， 图9—48图9—49∴V 圆锥∶V 球＝1∶2． 20.答案：D解析：设长方体共一顶点的三边长分别为a =1，b ＝2，c ＝3，则对角线l 的长为l =6222=++c b a ．21.答案：D解析：如图9—50，由题意知，31πr 2h ＝61πR 2h ， ∴r ＝2R． 又△ABO ∽△CAO ， ∴R OA OA r =，∴OA 2＝r ·R ＝422,2R OA R =， ∴cos θ＝421=R OA ． 22.答案：A解析：设圆柱的底面半径为r ，高为h ，则由题设知h =2πr . ∴S 全=2πr 2+（2πr ）2=2πr 2（1+2π）.S 侧=h 2=4π2r 2，∴ππ221+=侧全S S . 评述：本题考查圆柱的侧面展开图、侧面积和全面积等知识.23.答案：B解析：设水面半径为x cm ， 则水面高度为3x cm则由已知得：π·22·6＝31πx 2·3x （3x ）3＝63，3x ＝6.评述：本题重点考查柱体、锥体的体积公式及灵活的运算能力. 24.答案：D解析：由已知得中截面圆的半径r ′＝25+R . 设圆台的母线长为l ，则中截面截圆台所得上面小圆台的母线长l ′＝2l，且上面小圆台的侧面积S ′与圆台侧面积S 之比为1∶3，由圆台侧面积公式得：图9—5031)5(21)255(=+⋅++='l R R S S ππ，解得R =25 评述：本题主要考查圆台及其侧面积公式，立足课本，属送分题. 25.答案：D解析：连EB 、E C.四棱锥E —ABCD 的体积V E —ABCD =31·32·2=6.由于AB =2EF ，EF ∥AB ，所以S △EAB =2S △BEF∴V F —EBC =V C —EFB =21V C —ABE =21V E —ABC =21·21V E —ABCD =23 ∴多面体EF —ABCD 的体积V EF —ABCD =V E —ABCD +V F —EBC =6+21523=. 此题也可利用V EF —ABCD ＞V E —ABCD =6.故选D.评述：本题考查多面体体积的计算以及空间想象能力和运算能力. 26.答案：C解析：设圆锥底面半径为r ，母线长为l ，由已知得：πr 2＋πrl ＝3πr 221=⇒l r ， ∴θ＝lr×2π＝π. 评述：本小题考查圆锥的概念、性质及侧面积公式.侧面展开是立体问题平面化的重要手段应引起广大考生的注意. 27.答案：A解析：设该棱台为正棱台来解即可.评述：本题考查棱台的中截面问题.根据选择题的特点本题选用“特例法”来解，此种解法在解选择题时很普遍，如选用特殊值、特殊点、特殊曲线、特殊图形等等.28.答案：B 解析：设球心为O ，由题设知三棱锥O —ABC 是正四面体，且△ABC 的外接圆半径是2，设球半径为R ，则33R ＝2，∴R ＝23. 29.答案：C解析：A 中直线l ⊥β，l α，所以α⊥β，A 为真命题.B 中，在α内取两相交直线，则此二直线平行于β，则α∥β，B 为真命题.D 为两平面平行的性质，为真命题.C 为假命题，l 只有在垂直交线时才有l ⊥β，否则l 不垂直β.故选C.评述：本题考查平面与平面垂直、直线与平面平行的判定和性质. 30.答案：C解析：长方体的对角线长等于球的直径，于是（2R ）2＝32＋42＋52，R 2＝225，则S 球＝4πR 2＝4π·225＝50π. 评述：本题考查长方体、球的有关概念和性质. 31.答案：D解析：由已知圆台的上、下底面的半径分别为1、2.由π（1＋2）l ＝6π，得母线l =2，高h ＝3122=-，其体积V ＝31·3（π＋4π＋2π）＝337π. 32.答案：D解析：设圆锥底面半径为r ，高为h ， 则2πr ＝ϕ，h ＝21r -，V ＝31πr 2h ＝31πr 221r -，于是)22(29)1(9222222222r r r r r r V-⋅⋅⋅⋅=-⋅⋅⋅=ππ2788)322(2922222⋅=-++⋅⋅≤ππr r r ， 当r 2＝2－2r 2，即r ＝32时，圆锥体积最大，此时ϕ＝2πr ＝2π36232π=. 33.答案：D解析：设AC 与BD 交点为E ，先可判断出△BDE 是直角三角形，于是V D －ABC ＝32122222131a a =⋅⋅. 34.答案：A 解析：由已知有⇒⎭⎬⎫⊥⊂γαm m α⊥γ， 又⇒⎭⎬⎫⊂⊥γγl m m ⊥l ，所以选A.评述：本题考查两个定理，即面面垂直的判定定理及线面垂直的性质定理.要求对这些定理有较深理解，需学生有比较好的构图能力及空间想象力.才能很快地从4个选项中选出答案来，此题属于考查基础知识、基本定理的题.35.答案：C解析：A 显然错误，此时m 与n 可能平行，也可能相交或异面； B 也是错误的，当m ⊥l ，且m ⊂α时，才有m ⊥β；D 也错误，因m 与n 异面，m 与α平行，n 与α可能相交，也可能平行，也可能在平面α内；故应选C.36.答案：C解析：设圆锥的底面半径为r ,圆锥母线长为1.又侧面展开图圆心角为240°,240°=34π,。