【河北省唐山市】2017届高三上学期期末文科数学试卷 (1)

唐山市2016—2017学年度高三年级第一次模拟考试文科数学参考答案一、选择题：A 卷：DCABA BCBCA DAB 卷：DBACA BCACB DA 二、填空题： （13）－2 （14） 12（15） 32（16）2或6三、解答题： （17）解：（Ⅰ）由已知B ＝π6，a 2－ab －2b 2＝0结合正弦定理得：2sin 2A －sin A －1＝0，于是sin A ＝1或sin A ＝－ 12（舍）．…4分因为0＜A ＜π，所以，A ＝ π 2，C ＝ π3．…6分 （Ⅱ）由题意及余弦定理可知a 2＋b 2＋ab ＝196， 由（Ⅰ）a 2－ab －2b 2＝0得（a ＋b ）（a －2b ）＝0即a ＝2b ，…8分联立解得b ＝27，a ＝47．所以，S △ABC ＝ 12ab sin C ＝143.…12分（18）解：（Ⅰ）bˆ＝ni ＝1∑x i y i －n ·x -y-ni ＝1∑x 2i －nx-2＝2794－7×8×42708－7×82＝1.7…3分a ˆ＝y -－b ˆx -＝28.4所以，y 关于x 的线性回归方程是yˆ＝1.7x ＋28.4 …6分 （Ⅱ）∵0.75＜0.93，∴二次函数回归模型更合适． …9分 当x ＝3万元时，预测A 超市销售额为33.47万元．…12分（19）解：（Ⅰ）由A 1A ⊥平面ABC ，CM ⊂平面ABC ，则A 1A ⊥CM ． 由AC ＝CB ，M 是AB 的中点，则AB ⊥CM ． 又A 1A ∩AB ＝A ，则CM ⊥平面ABB 1A 1，又CM ⊂平面A 1CM ，所以平面A 1CM ⊥平面ABB 1A 1．…6分（Ⅱ）设点M 到平面A 1CB 1的距离为h ， 由题意可知A 1C ＝CB 1＝A 1B 1＝2MC ＝22， S △A 1CB 1＝23，S △A 1MB 1＝22．由（Ⅰ）可知CM ⊥平面ABB 1A 1，得，V C －A 1MB 1＝ 13MC ·S △A 1MB 1＝V M －A 1CB 1＝ 13h ·S △A 1CB 1，所以，点M 到平面A 1CB 1的距离 h ＝MC ·S △A 1MB 1S △A 1CB 1＝233． …12分（20）解：（Ⅰ）由e ＝ca ＝22，a ＝2得c ＝b ＝2，故椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1．…4分（Ⅱ）设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，OC ：y ＝kx ，则AB ：y ＝k (x ＋2)，将y ＝k (x ＋2)代入x 24＋y 22＝1，整理得(1＋2k 2)x 2＋8k 2x ＋8k 2－4＝0，…5分 －2x 1＝8k 2－41＋2k 2，得x 1＝2－4k21＋2k 2，…6分|AB |＝1＋k 2|x 1＋2|＝41＋k 21＋2k 2，|AD |＝1＋k 2|0＋2|＝21＋k 2，|AB |·|AD |＝8(1＋k 2)1＋2k 2．…9分将y ＝kx 代入x 24＋y 22＝1，整理得(1＋2k 2)x 2－4＝0，得x 22＝41＋2k 2，|OC |2＝(1＋k 2)x 22＝4(1＋k 2)1＋2k 2．故|AB |·|AD |＝2|OC |2，所以，|AB |，2|OC |，|AD |成等比数列． …12分 （21）解：（Ⅰ）f '(x )＝2cos x ＋1cos 2x－a ，…3分 由f '(0)＝0得a ＝3．…4分（Ⅱ）x ∈[0， π2)，cos x ∈(0，1]．令t ＝cos x ，则f '(x )＝g (t )＝2t ＋ 1t2－a ，t ∈(0，1]，g '(t )＝2－ 2t3≤0，当且仅当t ＝1时取等号，故t ∈(0，1]时，g (t )单调递减，g (t )≥g (1)＝3－a ． …7分 （ⅰ）若a ≤3，则f '(x )≥0，仅当x ＝0时取等号， f (x )单调递增，f (x )≥f (0)＝0．…8分（ⅱ）若a ＞3，令h (x )＝3tan x －ax ，h '(x )＝3cos 2x －a ，存在x 0∈[0， π2)，使得h '(x 0)＝0，且当x ∈(0，x 0)时，h '(x )＜0，h (x )单调递减， h (x )＜h (0)＝0，因为x ∈[0， π2)，sin x ≤tan x ，所以f (x )≤3tan x －ax ，故存在β∈(0，x 0)，f (β)＜0，即f (x )≥0不能恒成立，所以a ＞3不合题意． 综上所述，a 的取值范围是（－∞，3]． …12分 （22）解：（Ⅰ）曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝1，将⎩⎨⎧x ＝t cos φ，y ＝－2＋t sin φ代入x 2＋y 2＝1得t 2－4t sin φ＋3＝0（*） 由16sin 2φ－12＞0，得|sin φ|＞32，又0≤φ＜π，所以，φ的取值范围是(π3，2π3)； …5分（Ⅱ）由（*）可知，t 1＋t 22＝2sin φ，代入⎩⎨⎧x ＝t cos φ，y ＝－2＋t sin φ中，整理得P 1P 2的中点的轨迹方程为⎩⎨⎧x ＝sin 2φ，y ＝－1－cos 2φ(φ为参数， π 3＜φ＜2π3)…10分（23）解：（Ⅰ） 1 x ＋ 1 y ＝x ＋y xy ＝x 2＋y2xy ≥2xyxy ＝2，当且仅当x ＝y ＝1时，等号成立．所以 1 x ＋ 1y的最小值为2． …5分（Ⅱ）不存在． 因为x 2＋y 2≥2xy ，所以(x ＋y )2≤2(x 2＋y 2)＝2(x ＋y )， 又x ，y ∈(0，＋∞)，所以x ＋y ≤2．从而有(x ＋1)(y ＋1)≤[(x ＋1)＋(y ＋1)2]2＝4，因此不存在x ，y ，满足(x ＋1)(y ＋1)＝5． …10分。

河北省唐山市2017届高三（上）期末理科数学试卷答 案一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1~5．BCADB 6~10．ACDBA 11~12．AD二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．51214．115．221812x y +=16 三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（本题满分为12分）解：（1）由正弦定理得：2sin cos sin cos cos sin sin2sin cos B B A A B B A C A =--sin cos()sin cos A A B C A =+-sin cos sin cos A C C A =--()sin A C =-+sin B =-，∵sin 0B ≠， ∴1cos 2B =-，2π3B =．（2）由2222cos b a c ac B =+-，b =，1cos 2B =-，得：2260c ac a +-=，解得2c a =，由21sin 22ABC S ac B ===△2a =． 18．解：（1）文科生 理科生 合计获奖 5 35 40 不获奖 45 115 160合计 50 150 2002200(51153545)25 4.167 3.84150150401606k ⨯-⨯==≈⨯⨯⨯＞， 所以有超过95%的把握认为“获奖与学生的文理科有关”．（2）由表中数据可知，抽到获奖同学的概率为15，将频率视为概率，所以X 可取0，1，2，3，且X ～B 1(3,)5．X0 1 2 3 P 64125 48125 12125 1125 13()355E X =⨯=． 19．证明：（1）连接AC ，则ABC △和ACD △都是正三角形．取BC 中点E ，连接AE ，PE ，因为E 为BC 的中点，所以在ABC △中，BC AE ⊥，因为PB PC =，所以BC PE ⊥，又因为PE AE E =I ，所以BC ⊥平面PAE ，又PA ⊂平面PAE ，所以BC PA ⊥．同理CD PA ⊥，又因为BC CD C =I ，所以PA ⊥平面ABCD ．解：（2）如图，以A 为原点，建立空间直角坐标系A ﹣xyz ，则B 1,0)-，D (0,2,0)，P (0,0,2)，(0,2,2)PD =-u u u r，(BD =u u u r ，设平面PBD 的法向量为π(,,)x y z r ，则22030PD m y z BD m y ⎧=-=⎪⎨=+=⎪⎩u u u r u r g u u u r u r g，取x =π=r ， 取平面P AD 的法向量(1,0,0)n =r ，则cos ||||m n m n m n u r r u r r g u r r g ＜,＞=， 所以二面角A ﹣PD ﹣B．20．解：（1）由题意得(1,0)F ，从而有C ：24x y =．解方程组22241x y x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，得2A y =-，所以||1AF =． （2）设00(,)M x y ，则切线l ：000()x y x x y p=-+， 整理得000x x py py --= 由||1ON =得0||py ==， 所以02021y p y =-且2010y -＞， 所以222220000||||1121MN OM x y py y =-=+-=+-22200022004414(1)811y y y y y =+-=++-≥--，当且仅当0y = 所以||MN的最小值为p =．21．解：（1）21ln ()x f x x -'=（0x ＞）， 当(0,e)x ∈时，()0f x '＞，()f x 单调递增； 当(e,)x ∈+∞时，()0f x '＜，()f x 单调递减，所以当e x =时，()f x 取得最大值1(e)e f =．（2）ln ()ln ()x g x x ax x a x '=-=-，由（1）及(0,e]x ∈得： ①当1ea =时，ln 0x a x -≤，()0g x '≤，()g x 单调递减， 当x e =时，()g x 取得最小值e (e)()2g h a ==-． ②当1[0,)ea ∈，(1)0a f =≤，1(e)e f a =＞， 所以存在[1,e)t ∈，()0g t '=且ln t at =，当(0,)x t ∈时，()0g x '＜，()g x 单调递减，当(,e]x t ∈时，()0g x '＞，()g x 单调递增，所以()g x 的最小值为()()g t h a =． 令ln ()()2t t h a G x t ==-， 因为ln 1()02t G x -'=＜，所以()G t 在[0,e)单调递减，此时e ()(,1]2G t ∈--．综上，e ()[,1]2h a ∈--．22．解：（1）∵在直角坐标系xOy 中，曲线1C ：4x y +=，曲线1C 的极坐标方程为：(cos sin )4ρθθ+=， 2C 的普通方程为22(1)1x y -+=，所以曲线2C 的极坐标方程为：2cos ρθ=．（2）设1(,)A ρα，2(,)B ρα，ππ42α-＜＜， 则14cos sin ραα=+，22cos ρα=， 21||12cos (cos sin )||4OB OA ραααρ==⨯+11π(cos2sin21))1]444ααα=++=-+， 当π8α=时，||||OB OA取得最大值11)4． 23．解：（1）34,1()2|1||2|,1234,2x x f x x x x x x x -+⎧⎪=-+-=≤≤⎨⎪-⎩＜＞ 所以，()f x 在(,1]-∞上递减，在[1,)+∞上递增， 又8(0)()43f f ==，故()4f x ≤的解集为8{|0}3x x ≤≤．（2）①若1a ＞，()(1)|1||1|||1f x a x x x a a =--+++-≥-， 当且仅当1x =时，取等号，故只需11a -≥，得2a ≥．②若1a =，()2|1|f x x =-，(1)01f =＜，不合题意． ③若01a ＜＜，()|1|||(1)||(1)f x a x a x a a x a a a =-+-+--≥-， 当且仅当x a =时，取等号，故只需(1)1a a -≥，这与01a ＜＜矛盾． 综上所述，a 的取值范围是[2,)+∞．河北省唐山市2017届高三（上）期末理科数学试卷解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【考点】交集及其运算．【分析】先分别求出集体合A和B，由此以求出A∩B中元素的个数．【解答】解：∵集合A={﹣2，﹣1，0，2，3}，B={y|y=x2﹣1，x∈A}={﹣1，0，3，8}，∴A∩B={﹣1，0，3}，∴A∩B中元素的个数是3．故选：B．2．【考点】复数求模．【分析】把复数z代入z2+z化简，再由复数相等的充要条件列出方程组，求解得到a的值，然后由复数求模公式计算得答案．【解答】解：∵复数z=a+i，∴z2+z=（a+i）2+a+i=（a2+a﹣1）+（2a+1）i=1﹣3i，∴，解得a=﹣2．复数z=a+i=﹣2+i．则|z|=．故选：C．3．【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】由条件求得，=的坐标，再根据cosθ=计算求得它的值．【解答】解：∵向量与的夹角为θ，且，∴==（2，1），则cosθ===﹣，故选：A．4．【考点】两角和与差的正切函数．【分析】由题意和二倍角的正切公式求出tan2θ的值，由两角差的正切公式求出的值．【解答】解：由得，==，所以===，故选D．5．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的三棱柱，代入棱柱表面积公式，可得答案．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的三棱柱，底面面积为：×2×1=1，底面周长为：2+2×=2+2，故棱柱的表面积S=2×1+2×（2+2）=6+4，故选：B．6．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据等差数列的定义结合充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．【解答】解：若数列{an}为等差数列，设公差为d，则当n≥2时，bn﹣bn﹣1=an+an+1﹣an﹣1﹣an=an+1﹣an+an﹣an﹣1=2d为常数，则数列{bn}为等差数列，即充分性成立，若数列{bn}为等差数列，设公差为b，则n≥2时，bn﹣bn﹣1=an+an+1﹣an﹣1﹣an=an+1﹣an﹣1=d为常数，则无法推出an﹣an﹣1为常数，即无法判断数列{an}为等差数列，即必要性不成立，即“数列{an}为等差数列”是“数列{bn}为等差数列”充分不必要条件，故选：A7．【考点】程序框图．【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的b，a，i的值，观察a的取值规律，可得当i=40时不满足条件i＜40，退出循环，输出a的值为﹣4．【解答】解：模拟程序的运行，可得i=1，a=﹣4满足条件i＜40，执行循环体，b=﹣1，a=﹣1，i=2满足条件i＜40，执行循环体，b=﹣，a=﹣，i=3满足条件i＜40，执行循环体，b=﹣4，a=﹣4，i=4满足条件i＜40，执行循环体，b=﹣1，a=﹣1，i=5…观察规律可知，a的取值周期为3，由于40=3×13+1，可得：满足条件i＜40，执行循环体，b=﹣4，a=﹣4，i=40不满足条件i＜40，退出循环，输出a的值为﹣4．故选：C．8．【考点】二项式定理的应用．【分析】由题意，a==252，含x7项的系数为b==﹣960，即可得出结论．【解答】解：由题意，a==252，含x7项的系数为b==﹣960，∴=﹣，故选D．9．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，即可得到结论．【解答】解：实数x，y满足约束条件的可行域为：z=x2+y2的几何意义是可行域的点到坐标原点距离的平方，显然A到原点距离的平方最小，由，可得A（3，1），则z=x2+y2的最小值为：10．故选：B．10．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】设球半径为R，正方体边长为a，由题意得当正方体体积最大时：=R2，由此能求出所得工件体积与原料体积之比的最大值．【解答】解：设球半径为R，正方体边长为a，由题意得当正方体体积最大时：=R2，∴R=，∴所得工件体积与原料体积之比的最大值为：==．故选：A．11．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据条件分别求出直线AE和BN的方程，求出N，E的坐标，利用|OE|=2|ON|的关系建立方程进行求解即可．【解答】解：∵PF⊥x轴，∴设M（﹣c，0），则A（﹣a，0），B（a，0），AE的斜率k=，则AE的方程为y=（x+a），令x=0，则y=，即E（0，），BN的斜率k=﹣，则AE的方程为y=﹣（x﹣a），令x=0，则y=，即N（0，），∵|OE|=2|ON|，∴2||=||，即=，则2（c﹣a）=a+c，即c=3a，则离心率e==3，故选：A12．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】先求出+2x，再由f（x）为偶函数，且在（0，+∞）上单调递增，故f（2x）＞f（x+3）等价于|2x|＞|x+3|，解之即可求出使得f（2x）＞f（x+3）成立的x的取值范围．【解答】解：∵函数f（x）=ln（ex+e﹣x）+x2，∴+2x，当x=0时，f′（x）=0，f（x）取最小值，当x＞0时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x＜0时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，∵f（x）=ln（ex+e﹣x）+x2是偶函数，且在（0，+∞）上单调递增，∴f（2x）＞f（x+3）等价于|2x|＞|x+3|，整理，得x2﹣2x﹣3＞0，解得x＞3或x＜﹣1，∴使得f（2x）＞f（x+3）成立的x的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）．故选：D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．【考点】定积分在求面积中的应用．【分析】作出两个曲线的图象，求出它们的交点，由此可得所求面积为函数y=x3与在区间[0，1]上的定积分的值，再用定积分计算公式加以运算即可得．【解答】解：如图在同一平面直角坐标系内作出y=x3与的图象，则封闭图形的面积．故答案为：．14．【考点】等比数列的通项公式．【分析】利用等比数列通项公式列出方程组，求出首项和公比，由此能求出a7的值．【解答】解：∵{an}是等比数列，，∴，解得，a7==1．故答案为：1．15．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题设条件知列出a，b，c的方程，结合三角形的面积，求出a，b求出椭圆的方程．【解答】解：F1，F2为椭圆的左、右焦点，经过F1的直线交椭圆C于A，B两点，若△F2AB是面积为的等边三角形，可得：，×=4，a2=b2+c2，解得a2=18，b2=12，c2=6．所求的椭圆方程为：．故答案为：．16．【考点】函数零点的判定定理．【分析】由题意可得m=2sin2x1+cos2x1=2sin2x2+cos2x2，运用和差化积公式和同角的基本关系式，计算即可得到所求值．【解答】解：x1，x2是函数f（x）=2sin2x+cos2x﹣m在[0，]内的两个零点，可得m=2sin2x1+cos2x1=2sin2x2+cos2x2，即为2（sin2x1﹣sin2x2）=﹣cos2x1+cos2x2，即有4cos（x1+x2）sin（x1﹣x2）=﹣2sin（x2+x1）sin（x2﹣x1），由x1≠x2，可得sin（x1﹣x2）≠0，可得sin（x2+x1）=2cos（x1+x2），由sin2（x2+x1）+cos2（x1+x2）=1，可得sin（x2+x1）=±，由x1+x2∈[0，π]，即有sin（x2+x1）=．故答案为：．17．【考点】正弦定理．【分析】（1）由正弦定理，三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得2sinBcosB=﹣sinB，结合sinB≠0，可求cosB=﹣，进而可求B的值．（2）由已知及余弦定理可求c2+ac﹣6a2=0，解得c=2a，进而利用三角形面积公式可求a的值．18．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）列出表格根据公式计算出K2，参考表格即可得出结论．（2）由表中数据可知，抽到获奖同学的概率为，将频率视为概率，所以X可取0，1，2，3，且X～B（3，）．即可得出．19．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）连接AC，取BC中点E，连接AE，PE，推导出BC⊥AE，BC⊥PE，从而BC⊥PA．同理CD ⊥PA，由此能证明PA⊥平面ABCD．（2）以A为原点，建立空间直角坐标系A﹣xyz，利用向量法能求出二面角A﹣PD﹣B的余弦值．20.【考点】直线与抛物线的位置关系；圆与圆锥曲线的综合．【分析】（1）求出F（1，0），得到抛物线方程，联立圆的方程与抛物线方程，求出A的纵坐标，然后求解|AF|．（2）设M（x0，y0），求出切线l：y=（x﹣x0）+y0，通过|ON|=1，求出p=且﹣1＞0，求出|MN|2的表达式，利用基本不等式求解最小值以及p的值即可．21．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）求出f′（x）=（x＞0），通过判断函数的单调性，求解函数的最大值即可．（2）求出g′（x）=lnx﹣ax=x（﹣a），由（1）及x∈（0，e]：通过①当a=时，②当a∈[0，），分别求解函数的单调性与最值即可．22．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）由曲线C1：x+y=4可得曲线C1的极坐标方程；先将曲线C2化为普通方程，进而可得曲线C2的极坐标方程；（2）设A（ρ1，α），B（ρ2，α），﹣＜α＜，则ρ1=，ρ2=2cosα，则=，进而得到答案．23．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（1）当a=2时，f（x）在（﹣∞，1]上递减，在[1，+∞）上递增，f（0）=f（）=4利用解不等式f（x）≤4；（2）若f（x）≥1，分类讨论，即可求a的取值范围．。

唐山市2016-2017学年度高三年级第三次模拟考试文科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（ ）{}02A x x =<<{}21B x x =<A B = A. B. C. D.()0,1()1,2-()1,1-(][),12,-∞-+∞ 2.已知为虚数单位，，则复数的共轭复数为（ ）i ()11z i i -=+z A. B. C. D.i-i2i2i-3.某校有高级教师90人，一级教师120人，二级教师75人，现按职称用分层抽样的方法抽取38人参加一项调查，则抽取的一级教师人数为（ ）A.10B.12C.16D.184.若变量满足约束条件，则目标函数的最小值为（ ）,x y 1021010x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪++≥⎩2z x y =+A.4 B. C. D.1-2-3-5.执行下图程序框图，若输出，则输入的为（ ）2y =x A.或 B. C.1或 D.1-21±21-26.已知平面平面，则“直线平面”是“直线平面”的（ ）α⊥βm ⊥αm ∥βA.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.等差数列的前11项和，则（ ）{}n a 1188S =369a a a ++=A.18B.24C.30D.328.函数（）的最小正周期为，则满足（ ）()cos 6f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭0ω>π()f xA.在上单调递增B.图象关于直线对称0,3π⎛⎫⎪⎝⎭6x π=C. D.当时有最小值33f π⎛⎫=⎪⎝⎭512x π=1-9.函数的图象大致为（ ）()2ln f x x x =A B C D10.某三棱锥的三视图如图所示，则其体积为（ ）A.4B.8C.D.438311.在平面直角坐标系中，圆的方程为，直线的方程为，若在圆上至少存xOy O 224x y +=l ()2y k x =+O 在三点到直线的距离为1，则实数的取值范围是（ ）l kA. B. C. D.⎡⎢⎣33⎡⎢⎣11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦10,2⎡⎤⎢⎣⎦12.已知函数有两个极值点，且，若，函数，()32f x x ax bx =++12,x x 12x x <1022x x x +=()()()0g x f x f x =-则（ ）()g x A.仅有一个零点 B.恰有两个零点C.恰有三个零点D.至少两个零点第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量，，若，则 ．()4,x =-a ()1,2=b ⊥a b x =14.已知双曲线过点，且与双曲线有相同的渐近线，则双曲线的标准方程为Γ(32214x y -=Γ．15.直线的三个顶点都在球的球面上，，若球的表面积为，则球心到平面ABC △O 2AB AC ==O 12πO 的距离等于 ．ABC16.是公差不为0的等差数列，是公比为正数的等比数列，，，，则数列{}n a {}n b 111a b ==43a b =84a b =的前项和等于 ．{}n n a b n 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在中，角，，所对应的边分别为，，，.ABC △A B C a b c cos a b b C -=（1）求证：；sin tan C B =（2）若，，求.1a =2b =c 18.某学校用简单随机抽样方法抽取了30名同学，对其每月平均课外阅读时间（单位：小时）进行调查，茎叶图如图：若将月均课外阅读时间不低于30小时的学生称为“读书迷”.（1）将频率视为概率，估计该校900名学生中“读书迷”有多少人？（2）从已抽取的7名“读书迷”中随机抽取男、女“读书迷”各1人，参加读书日宣传活动.（i ）共有多少种不同的抽取方法？（ii ）求抽取的男、女两位“读书迷”月均读书时间相差不超过2小时的概率.19.如图，平行四边形中，，，平面，，，分别为ABCD 24BC AB ==60ABC ∠=︒PA ⊥ABCD 2PA =E F ，的中点.BC PE（1）求证：平面；AF ⊥PED （2）求点到平面的距离.C PED 20.已知椭圆经过点.()2222:10x y a b a b Γ+=>>13,2M ⎫⎪⎭3（1）求椭圆的方程；Γ（2）设点在轴上的射影为点，过点的直线与椭圆相交于，两点，且，求直M x N N l ΓA B 30NB NA +=线的方程.l 21.已知函数，.()x f x e =()ln g x x a =+（1）设，求的最小值；()()h x xf x =()h x （2）若曲线与仅有一个交点，证明：曲线与在点处有相同的切线，()y f x =()y g x =P ()y f x =()y g x =P 且.52,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭22.点是曲线上的动点，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以P ()221:24C x y -+=O x极点为中心，将点逆时针旋转得到点，设点的轨迹方程为曲线.O P 90︒Q Q 2C （1）求曲线，的极坐标方程；1C 2C （2）射线与曲线，分别交于，两点，定点，求的面积.()03πθρ=>1C 2C A B ()2,0M MAB △23.已知函数.()21f x x a x =++-（1）若，解不等式；1a =()5f x ≤（2）当时，，求满足的的取值范围.0a ≠()1g a f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭()4g a ≤a唐山市2016—2017学年度高三年级第三次模拟考试文科数学参考答案一．选择题：A 卷：ABBDC DCADD CB B 卷：ADBBC DDACD CB 二．填空题：（13）2（14）（15）1（16）22128y x -=()121n n -+三．解答题：（17）解：（Ⅰ）由根据正弦定理得，cos a b b C -=sin sin sin cos A B B C -=即，()sin sin sin cos B C B B C +=+，sin cos cos sin sin sin cos B C B C B B C +=+，sin cos sin C B B =得．sin tan C B =（Ⅱ）由，且，，得，cos a b b C -=1a =2b =1cos 2C =-由余弦定理，，22212cos 1421272c a b ab C ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭所以 c =（18）解：（Ⅰ）设该校900名学生中“读书迷”有人，则，解得.x 730900x=210x =所以该校900名学生中“读书迷”约有210人.（Ⅱ）（ⅰ）设抽取的男“读书迷”为，，，抽取的女“读书迷”为35a 38a 41a ，，， (其中下角标表示该生月平均课外阅读时间)，34b 36b 38b 40b 则从7名“读书迷”中随机抽取男、女读书迷各1人的所有基本事件为：，，，，，，，，()3534,a b ()3536,a b ()3538,a b ()3540,a b ()3834,a b ()3836,a b ()3838,a b ()3840,a b ，，，，()4134,a b ()4136,a b ()4138,a b ()4140,a b 所以共有12种不同的抽取方法．（ⅱ）设A 表示事件“抽取的男、女两位读书迷月均读书时间相差不超过2小时”，则事件A 包含，，，，，()3534,a b ()3536,a b ()3836,a b ()3838,a b ()3840,a b ()4140,a b 6个基本事件， 所以所求概率．()61122P A ==（19）解：（Ⅰ）连接，在平行四边形中，AE ABCD PF DCBA，，24BC AB ==60ABC ∠=︒∴，，从而有，2AE =23ED =222AE ED AD +=∴．AE ED ⊥∵平面，平面，∴，PA ⊥ABCD ED ⊂ABCD PA ED ⊥又∵，∴平面，平面PA AE A = ED ⊥PAE AF ⊂PAE 从而有．ED AF ⊥又∵，为的中点，2PA AE ==F PE ∴，又∵，AF PE ⊥PE ED E = ∴平面．AF ⊥PED （Ⅱ）设点到平面的距离为，C PED d 在中，，，∴．Rt PED △2PE =23ED =26PED S =△在中，，，∴ECD △2EC CD ==120ECD ∠∠=︒3ECD S =△由得，，C PED P ECD V V --=1133PEDECDS d S PA ⋅=⋅△△∴．2ECD PED S PA d S ⋅==△△所以点到平面．C PED 2（20）解：（Ⅰ）由已知可得，解得，，223114a b+=223a b -=2a =1b =所以椭圆Γ的方程为．2214x y +=（Ⅱ）由已知N 的坐标为，()3,0当直线斜率为0时，直线为轴，易知不成立．l l x 30NB NA +=当直线斜率不为0时，设直线的方程为，l l 3x my =+代入，整理得，2214x y +=，()2242310m ymy ++-=设，则，①，②()11,A x y ()22,B x y 1223my y -+=12214y y m -=+由，得，③30NB NA +=213y y =-由①②③解得．2m =所以直线的方程为，即．l 23x y =+23y x =±-（21）解：（Ⅰ），()()'1x h x x e =+当时，，单调递减；1x <-()'0h x <()h x 当时，，单调递增，1x >-()'0h x >()h x 故时，取得最小值．1x =-()h x 1e-（Ⅱ）设，则，()()()ln xt x f x g x e x a =-=--()()11'0x xxe t x e x x x-=-=>由（Ⅰ）得在单调递增，又，，()1x T x xe =-()0,+∞102T ⎛⎫< ⎪⎝⎭()10T >所以存在使得，01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()00T x =所以当时，，单调递减；()00,x x ∈()'0t x <()t x 当时，，单调递增，()0,x x ∈+∞()'0t x >()t x 所以)的最小值为，()t x ()000ln 0x t x e x a =--=由得，所以曲线与在点处有相同的切线，()00T x =001x e x =()y f x =()y g x =P 又，所以，00ln x a e x =-001a x x =+因为，所以．01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭52,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭（22）解：（Ⅰ）曲线的极坐标方程为．1C 4cos ρθ=设，则，则有．(),Q ρθ,2P πρθ⎛⎫- ⎪⎝⎭4cos 4sin 2πρθθ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭所以，曲线的极坐标方程为． 2C 4sin ρθ=（Ⅱ）到射线的距离为M 3πθ=2sin33d π==，()4sin cos 23133B A AB ππρρ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭则1332S AB d =⨯=（23）解：（Ⅰ）,()21f x x x =++-所以表示数轴上的点到和1的距离之和，x 2-因为或2时，3x =-()5f x =依据绝对值的几何意义可得的解集为． ()5f x ≤{}32x x -≤≤（Ⅱ），()1121g a a a a=++-当时，，等号当且仅当时成立，所以无解；0a <()2215g a a a=--+≥1a =-()4g a ≤当时，，01a <≤()221g a a a=+-由得，解得，又因为，所以；()4g a ≤22520a a -+≤122a ≤≤01a <≤112a ≤≤当时，，解得，1a >()214g a a =+≤312a <≤综上，的取值范围是．a 13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦。

2017年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知集合A={x|x＜2}，B={x|3﹣2x＞0}，则（）A．A∩B={x|x＜}B．A∩B=∅C．A∪B={x|x＜}D．A∪B=R2．（5分）为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田．这n块地的亩产量（单位：kg）分别是x1，x2，…，x n，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是（）A．x1，x2，…，x n的平均数B．x1，x2，…，x n的标准差C．x1，x2，…，x n的最大值D．x1，x2，…，x n的中位数3．（5分）下列各式的运算结果为纯虚数的是（）A．i（1+i）2B．i2（1﹣i）C．（1+i）2D．i（1+i）4．（5分）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）A．B．C．D．5．（5分）已知F是双曲线C：x2﹣=1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是（1，3），则△APF的面积为（）A．B．C．D．6．（5分）如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是（）A．B．C．D．7．（5分）设x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为（）A．0B．1C．2D．3 8．（5分）函数y=的部分图象大致为（）A．B．C．D．9．（5分）已知函数f（x）=lnx+ln（2﹣x），则（）A．f（x）在（0，2）单调递增B．f（x）在（0，2）单调递减C．y=f（x）的图象关于直线x=1对称D．y=f（x）的图象关于点（1，0）对称10．（5分）如图程序框图是为了求出满足3n﹣2n＞1000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入（）A．A＞1000和n=n+1B．A＞1000和n=n+2C．A≤1000和n=n+1D．A≤1000和n=n+211．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinB+sinA（sinC ﹣cosC）=0，a=2，c=，则C=（）A．B．C．D．12．（5分）设A，B是椭圆C：+=1长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB=120°，则m的取值范围是（）A．（0，1]∪[9，+∞）B．（0，]∪[9，+∞）C．（0，1]∪[4，+∞）D．（0，]∪[4，+∞）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

高三年级文科数学试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.复数z 满足(1)2z i i +=，则复数z 的实部与虚部之差为（ ） A ．0 B ．-1 C ．-3 D ．32.已知集合{0,1,}A m =，{|02}B x x =<<，若{1,}A B m ⋂=，则m 的取值范围是（ ）A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(0,1)(1,2) D ．(0,2)3.已知命题:(0,)p x ∀∈+∞，32xx>，命题:(,0)q x ∃∈-∞，||2x x >-，则下列命题为真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．()p q ⌝∧C ．()()p q ⌝∧⌝D ．()p q ∧⌝ 4.已知向量(cos ,sin )a θθ=，(3,1)b =，则||a b -最大值为（ ）A ．1B C.3 D ．95.等比数列{}n a 中，12a =，84a =，函数128()()()()f x x x a x a x a =---，则'(0)f =（ ）A ．62 B ．92 C. 122 D ．1526.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且(2)()f x f x +=-，若(1)1f =，则(3)(4)f f -=（ ）A ．-1B ．1 C. -2 D ．2 7.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若811132a a =+，则9S 的值等于（ ） A ．54 B ．45 C.36 D ．278.已知向量(sin(),1)6a πα=+，(4,4cos b α=，若a b ⊥，则4s i n ()3πα+=（ ）A．-．14- C.D ．149.已知,,a b c 为ABC ∆的三个角,,A B C 所对的边，若3cos (1cos )b C c B =-，则sin :sin C A =（ ）A ．2:3B ．4:3 C. 3:1 D ．3:210.设函数1||41()1x f x ex+=-+，则使得(2)(1)f x f x <-成立的x 的取值范围是（ ） A ．1(1,)3- B ．1(,)3-∞ C. (,1)-∞- D ．1(,1)3-11.直线(0)x t t =>与函数2()1f x x =+，()ln g x x =的图象分别交于A B 、两点，当||AB 最小时，t 值是（ ）A ．1 B．2 C. 12D．3 12.若函数()2sin (0)f x x ϖϖ=>的图象在(0,2)π上恰有一个极大值和一个极小值，则ϖ的取值范围是（ ）A ．3(,1]4 B ．5(1,]4 C. 34(,]45 D ．35(,]44第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.不等式(12)0x x ->的解集为_____. 14.若数列{}n a23n a n n +=+，则12231na a a n +++=+________. 15.在ABC∆中，60A ∠=，BC =D 是AB 边上的一点，CD =CBD ∆的面积为1，则AC 边的长为________.16.已知直线()y mx m R =∈与函数312(),02()11,02x x f x x x ⎧-≤⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩的图象恰有三个不同的公共点，则实数m 的取值范围是_______.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本题满分10分）已知函数2()ln 1f x a x x bx =+++在点(1,(1))f 处的切线方程为4120x y --=. （1）求函数()f x 的解析式； （2）求()f x 的单调区间和极值. 18. （本题满分12分）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知110a =，2a 为整数，且4n S S ≤. （1）求{}n a 的通项公式； （2）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 19. （本题满分12分） 如图，在平面四边形ABCD 中，AB AD ⊥，1AB =，AC =，23ABC π∠=，3ACD π∠=.（1）求sin BAC ∠； （2）求DC 长.20. （本题满分12分）在ABC ∆中，222a cb +=. （1）求B ∠的大小；（2cos A C +的取值范围. 21. （本题满分12分）已知函数()ln (0)f x a x a =>，e 为自然对数的底数.（1）当0x >时，求证：1()(1)f x a x≥-； （2）在区间(1,)e 上()11f x x >-恒成立，求实数a 的取值范围. 22.（本题满分12分）设数列{}n a 的各项均为正数，它的前n 项的和为n S ，点(,)n n a S 在函数2111822y x x =++的图象上；数列{}n b 满足11b a =，11()n n n n b a a b ++-=，其中*n N ∈.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）设n n n a c b =，求证：数列{}n c 的前n 项的和*5()9n T n N >∈.唐山一中2016-2017学年度第一学期10月调研考试高三年级文科数学答案一、选择题1-5:ACDCC 6-10:AABCA 11、12：BD 二、填空题13. 1{|0}2x x << 14. 226n n +15.316. 3(,)2+∞ 三、解答题令'()0f x >，解得2x <或3x >，所以()f x 在区间(0,2)和(3,)+∞单调递增， 在区间(2,3)单调递减.故(2)12ln 215f f ==-极大值，(3)12ln 320f f ==-极小值.………………10分18.解：（1）由110a =，2a 为整数知，等差数列{}n a 的公差d 为整数.又4n S S ≤，故40a ≥，50a ≤，于是1030d +≥，1040d +≥，解得10532d -≤≤-，因此3d =-. 数列{}n a 的通项公式为133n a n =-.………………6分 （2）1111()(133)(103)3103133n b n n n n==-----，1111111[()()()]37104710313310(103)n n T n n n =-+-++-=---.………………12分 19.解：（1）在ABC ∆中，由余弦定理得: 2222cos AC BC BA BC BA B =+-， 即260BC BC +-=，解得2BC =，或3BC =-（舍），…………3分由正弦定理得：sin sin sin sin BC AC BC B BAC BAC B AC =⇒∠==∠………………6分（2）由（1）有：cos sin 7CAD BAC∠=∠=，sin CAD ∠==，所以1sin sin()3727214D CAD π=∠+=⨯+=，………………9分 由正弦定理得：sinsin sin sin 5DC AC AC CADDC CAD D D∠=⇒===∠.………………12分20.（1）∵222a cb +=+，∴222a cb +-=，∴222cos 222a c b B ac ac +-===，∴4B π∠=.………………4分（2）∵A B C π++=，∴34A C π+=， cos A C +()A A A =+，sin()4A A A π==+.………………8分 ∵34A C π+=，∴3(0,)4A π∈，∴(,)44A πππ+∈， ∴sin()4A π+最大值为1，上式最大值为1.………………12分21.（1）令11()()(1)(ln 1)g x f x a a x xx=--=-+；则函数的导数211'()()g x a x x =-. 令'()0g x >，即211()0a x x->，解得1x >，∴()g x 在(0,1)上递减，在(1,)+∞上递增.∴()g x 最小值为(1)0g =，故1()(1)f x a x≥-成立.………………5分 （2）令()ln 1h x a x x =+-，则2'()1h x x=-， 令'()0h x >，解得x a <.………………8分当a e >时，()h x 在(1,)e 是增函数，所以()(1)0h x h >=. 当1a e <≤时，()h x 在(1,)a 上递增，(,)a e 上递减， ∴只需()0h x ≥，即1a e ≥-.………………10分 当1a ≤时，()h x 在(1,)e 上递减，则需()0h e ≥， ∵()10h e a e =+-<不合题意，………………11分 综上，1a e ≥-.………………12分 22.解：（1）∵点(,)n n a S 在函数2111822y x x =++的图象上， ∴2111822n n n S a a =++，① 当2n ≥时，2111111822n n n S a a ---=++，②①-②得：221111()()82n n n n n a a a a a --=-+-，即1111()()4n n n n n n a a a a a a ---+=+-. ∵数列{}n a 的各项均为正数， ∴14(2)n n a a n --=≥， 又12a =，∴42n a n =-； ∵11b a =，11()n n n n b a a b ---=， ∴12b =，114n n b b +=，∴112()4n n b -=∙；………………6分 （2）∵1(21)4n nn na c nb -==-， 22113454(23)4(21)4n n n T n n --=++++-+-， 231443454(23)4(21)4n n n T n n -=++++-+-，两式相减得21555312(444)(21)4(2)4333n n n n T n n --=++++--=---<-，∴59n T >.………………12分。

2016-2017学年河北省唐山市高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={﹣2，﹣1，0，2，3}，B={y|y=x2﹣1，x∈A}，则A∩B中元素的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．52．i是虚数单位，复数z=a+i（a∈R）满足z2+z=1﹣3i，则|z|=（）A．或 B．2或5 C．D．53．设向量与的夹角为θ，且，则cosθ=（）A．B．C．D．4．已知，则=（）A．7 B．﹣7 C．D．5．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的表面积为（）A．4 B．C．D．26．已知数列{a n}，{b n}满足b n=a n+a n，则“数列{a n}为等差数列”是“数列{b n}为等+1差数列”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．即不充分也不必要条件7．执行如图所示的程序框图，则输出的a=（）A．1 B．﹣1 C．﹣4 D．8．在（x﹣2）10展开式中，二项式系数的最大值为a，含x7项的系数为b，则=（）A．B．C．D．9．设实数x，y满足约束条件，则z=x2+y2的最小值为（）A． B．10 C．8 D．510．现有一半球形原料，若通过切削将该原料加工成一正方体工件，则所得工件体积与原料体积之比的最大值为（）A． B． C．D．11．已知O为坐标原点，F是双曲线的左焦点，A，B分别为Γ的左、右顶点，P为Γ上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段PF 交于点M，与y轴交于点E，直线BM与y轴交于点N，若|OE|=2|ON|，则Γ的离心率为（）A．3 B．2 C．D．12．已知函数f（x）=ln（e x+e﹣x）+x2，则使得f（2x）＞f（x+3）成立的x的取值范围是（）A．（﹣1，3）B．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）C．（﹣3，3）D．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．由曲线y=x3与围成的封闭图形的面积是．14．已知{a n}是等比数列，，则a7=．15．设F1，F2为椭圆的左、右焦点，经过F1的直线交椭圆C于A，B两点，若△F2AB是面积为的等边三角形，则椭圆C的方程为．16．已知x1，x2是函数f（x）=2sin2x+cos2x﹣m在[0，]内的两个零点，则sin （x1+x2）=．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c．已知acosAcosB﹣bsin2A ﹣ccosA=2bcosB．（1）求B；（2）若，求a．18．在某校举行的航天知识竞赛中，参与竞赛的文科生与理科生人数之比为1：3，且成绩分布在[40，100]，分数在80以上（含80）的同学获奖．按文理科用分层抽样的方法抽取200人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图（见图）．（1）填写下面的2×2列联表，能否有超过95%的把握认为“获奖与学生的文理科有关”？（2）将上述调査所得的频率视为概率，现从参赛学生中，任意抽取3名学生，记“获奖”学生人数为X，求X的分布列及数学期望．附表及公式：K2=，其中n=a+b+c+d19．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°，PB=PC=PD．（1）证明：PA⊥平面ABCD；（2）若PA=2，求二面角A﹣PD﹣B的余弦值．20．已知抛物线C：x2=2py（p＞0），圆O：x2+y2=1．（1）若抛物线C的焦点F在圆上，且A为C和圆O的一个交点，求|AF|；（2）若直线l与抛物线C和圆O分别相切于点M，N，求|MN|的最小值及相应p 的值．21．已知函数．（1）求y=f（x）的最大值；（2）当时，函数y=g（x），（x∈（0，e]）有最小值．记g（x）的最小值为h（a），求函数h（a）的值域．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C1：x+y=4，曲线为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C1，C2的极坐标方程；（2）若射线l：θ=α（p＞0）分别交C1，C2于A，B两点，求的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=a|x﹣1|+|x﹣a|（a＞0）．（1）当a=2时，解不等式f（x）≤4；（2）若f（x）≥1，求a的取值范围．2016-2017学年河北省唐山市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={﹣2，﹣1，0，2，3}，B={y|y=x2﹣1，x∈A}，则A∩B中元素的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】交集及其运算．【分析】先分别求出集体合A和B，由此以求出A∩B中元素的个数．【解答】解：∵集合A={﹣2，﹣1，0，2，3}，B={y|y=x2﹣1，x∈A}={﹣1，0，3，8}，∴A∩B={﹣1，0，3}，∴A∩B中元素的个数是3．故选：B．2．i是虚数单位，复数z=a+i（a∈R）满足z2+z=1﹣3i，则|z|=（）A．或 B．2或5 C．D．5【考点】复数求模．【分析】把复数z代入z2+z化简，再由复数相等的充要条件列出方程组，求解得到a的值，然后由复数求模公式计算得答案．【解答】解：∵复数z=a+i，∴z2+z=（a+i）2+a+i=（a2+a﹣1）+（2a+1）i=1﹣3i，∴，解得a=﹣2．复数z=a+i=﹣2+i．则|z|=．故选：C．3．设向量与的夹角为θ，且，则cosθ=（）A．B．C．D．【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】由条件求得，=的坐标，再根据cosθ=计算求得它的值．【解答】解：∵向量与的夹角为θ，且，∴==（2，1），则cosθ===﹣，故选：A．4．已知，则=（）A．7 B．﹣7 C．D．【考点】两角和与差的正切函数．【分析】由题意和二倍角的正切公式求出tan2θ的值，由两角差的正切公式求出的值．【解答】解：由得，==，所以===，故选D．5．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的表面积为（）A．4 B．C．D．2【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的三棱柱，代入棱柱表面积公式，可得答案．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的三棱柱，底面面积为：×2×1=1，底面周长为：2+2×=2+2，故棱柱的表面积S=2×1+2×（2+2）=6+4，故选：B．6．已知数列{a n}，{b n}满足b n=a n+a n，则“数列{a n}为等差数列”是“数列{b n}为等+1差数列”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．即不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据等差数列的定义结合充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．【解答】解：若数列{a n}为等差数列，设公差为d，则当n ≥2时，b n ﹣b n ﹣1=a n +a n +1﹣a n ﹣1﹣a n =a n +1﹣a n +a n ﹣a n ﹣1=2d 为常数， 则数列{b n }为 等差数列，即充分性成立， 若数列{b n }为 等差数列，设公差为b ，则n ≥2时，b n ﹣b n ﹣1=a n +a n +1﹣a n ﹣1﹣a n =a n +1﹣a n ﹣1=d 为常数，则无法推出a n ﹣a n ﹣1为常数，即无法判断数列{a n }为等差数列，即必要性不成立，即“数列{a n }为等差数列”是“数列{b n }为 等差数列”充分不必要条件， 故选：A7．执行如图所示的程序框图，则输出的 a=（ ）A ．1B ．﹣1C ．﹣4D ．【考点】程序框图．【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的b ，a ，i 的值，观察a 的取值规律，可得当i=40时不满足条件i ＜40，退出循环，输出a 的值为﹣4． 【解答】解：模拟程序的运行，可得 i=1，a=﹣4满足条件i ＜40，执行循环体，b=﹣1，a=﹣1，i=2满足条件i ＜40，执行循环体，b=﹣，a=﹣，i=3 满足条件i ＜40，执行循环体，b=﹣4，a=﹣4，i=4 满足条件i ＜40，执行循环体，b=﹣1，a=﹣1，i=5 …观察规律可知，a 的取值周期为3，由于40=3×13+1，可得：满足条件i＜40，执行循环体，b=﹣4，a=﹣4，i=40不满足条件i＜40，退出循环，输出a的值为﹣4．故选：C．8．在（x﹣2）10展开式中，二项式系数的最大值为a，含x7项的系数为b，则=（）A．B．C．D．【考点】二项式定理的应用．【分析】由题意，a==252，含x7项的系数为b==﹣960，即可得出结论．【解答】解：由题意，a==252，含x7项的系数为b==﹣960，∴=﹣，故选D．9．设实数x，y满足约束条件，则z=x2+y2的最小值为（）A． B．10 C．8 D．5【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，即可得到结论．【解答】解：实数x，y满足约束条件的可行域为：z=x2+y2的几何意义是可行域的点到坐标原点距离的平方，显然A到原点距离的平方最小，由，可得A（3，1），则z=x2+y2的最小值为：10．故选：B．10．现有一半球形原料，若通过切削将该原料加工成一正方体工件，则所得工件体积与原料体积之比的最大值为（）A． B． C．D．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】设球半径为R，正方体边长为a，由题意得当正方体体积最大时：=R2，由此能求出所得工件体积与原料体积之比的最大值．【解答】解：设球半径为R，正方体边长为a，由题意得当正方体体积最大时：=R2，∴R=，∴所得工件体积与原料体积之比的最大值为：==．故选：A．11．已知O为坐标原点，F是双曲线的左焦点，A，B 分别为Γ的左、右顶点，P 为Γ上一点，且PF ⊥x 轴，过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E ，直线 BM 与y 轴交于点N ，若|OE |=2|ON |，则 Γ的离心率为（ ）A ．3B ．2C ．D ．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据条件分别求出直线AE 和BN 的方程，求出N ，E 的坐标，利用|OE |=2|ON |的关系建立方程进行求解即可． 【解答】解：∵PF ⊥x 轴，∴设M （﹣c ，0），则A （﹣a ，0），B （a ，0），AE 的斜率k=，则AE 的方程为y=（x +a ），令x=0，则y=，即E （0，），BN 的斜率k=﹣，则AE 的方程为y=﹣（x ﹣a ），令x=0，则y=，即N （0，），∵|OE |=2|ON |，∴2||=||，即=，则2（c ﹣a ）=a +c ， 即c=3a ，则离心率e==3， 故选：A12．已知函数f（x）=ln（e x+e﹣x）+x2，则使得f（2x）＞f（x+3）成立的x的取值范围是（）A．（﹣1，3）B．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）C．（﹣3，3）D．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】先求出+2x，再由f（x）为偶函数，且在（0，+∞）上单调递增，故f（2x）＞f（x+3）等价于|2x|＞|x+3|，解之即可求出使得f（2x）＞f（x+3）成立的x的取值范围．【解答】解：∵函数f（x）=ln（e x+e﹣x）+x2，∴+2x，当x=0时，f′（x）=0，f（x）取最小值，当x＞0时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x＜0时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，∵f（x）=ln（e x+e﹣x）+x2是偶函数，且在（0，+∞）上单调递增，∴f（2x）＞f（x+3）等价于|2x|＞|x+3|，整理，得x2﹣2x﹣3＞0，解得x＞3或x＜﹣1，∴使得f（2x）＞f（x+3）成立的x的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）．故选：D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．由曲线y=x3与围成的封闭图形的面积是．【考点】定积分在求面积中的应用．【分析】作出两个曲线的图象，求出它们的交点，由此可得所求面积为函数y=x3与在区间[0，1]上的定积分的值，再用定积分计算公式加以运算即可得．【解答】解：如图在同一平面直角坐标系内作出y=x3与的图象，则封闭图形的面积．故答案为：．14．已知{a n}是等比数列，，则a7=1．【考点】等比数列的通项公式．【分析】利用等比数列通项公式列出方程组，求出首项和公比，由此能求出a7的值．【解答】解：∵{a n}是等比数列，，∴，解得，a7==1．故答案为：1．15．设F1，F2为椭圆的左、右焦点，经过F1的直线交椭圆C于A，B两点，若△F2AB是面积为的等边三角形，则椭圆C的方程为．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题设条件知列出a，b，c的方程，结合三角形的面积，求出a，b求出椭圆的方程．【解答】解：F1，F2为椭圆的左、右焦点，经过F1的直线交椭圆C于A，B两点，若△F2AB是面积为的等边三角形，可得：，×=4，a2=b2+c2，解得a2=18，b2=12，c2=6．所求的椭圆方程为：．故答案为：．16．已知x1，x2是函数f（x）=2sin2x+cos2x﹣m在[0，]内的两个零点，则sin（x1+x2）=．【考点】函数零点的判定定理．【分析】由题意可得m=2sin2x1+cos2x1=2sin2x2+cos2x2，运用和差化积公式和同角的基本关系式，计算即可得到所求值．【解答】解：x1，x2是函数f（x）=2sin2x+cos2x﹣m在[0，]内的两个零点，可得m=2sin2x1+cos2x1=2sin2x2+cos2x2，即为2（sin2x1﹣sin2x2）=﹣cos2x1+cos2x2，即有4cos（x1+x2）sin（x1﹣x2）=﹣2sin（x2+x1）sin（x2﹣x1），由x1≠x2，可得sin（x1﹣x2）≠0，可得sin（x2+x1）=2cos（x1+x2），由sin2（x2+x1）+cos2（x1+x2）=1，可得sin（x2+x1）=±，由x1+x2∈[0，π]，即有sin（x2+x1）=．故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c．已知acosAcosB﹣bsin2A ﹣ccosA=2bcosB．（1）求B；（2）若，求a．【考点】正弦定理．【分析】（1）由正弦定理，三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得2sinBcosB=﹣sinB，结合sinB≠0，可求cosB=﹣，进而可求B的值．（2）由已知及余弦定理可求c2+ac﹣6a2=0，解得c=2a，进而利用三角形面积公式可求a的值．【解答】（本题满分为12分）解：（1）由正弦定理得：2sinBcosB=sinAcosAcosB﹣sinBsin2A﹣sinCcosA=sinAcos（A+B）﹣sinCcosA=﹣sinAcosC﹣sinCcosA=﹣sin（A+C）=﹣sinB，∵sinB≠0，∴cosB=﹣，B=．…（2）由b2=a2+c2﹣2accosB，b=a，cosB=﹣，得：c2+ac﹣6a2=0，解得c=2a，…=acsinB=a2=2，得a=2．…由S△ABC18．在某校举行的航天知识竞赛中，参与竞赛的文科生与理科生人数之比为1：3，且成绩分布在[40，100]，分数在80以上（含80）的同学获奖．按文理科用分层抽样的方法抽取200人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图（见图）．（1）填写下面的2×2列联表，能否有超过95%的把握认为“获奖与学生的文理科有关”？（2）将上述调査所得的频率视为概率，现从参赛学生中，任意抽取3名学生，记“获奖”学生人数为X，求X的分布列及数学期望．附表及公式：K2=，其中n=a+b+c+d【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）列出表格根据公式计算出K2，参考表格即可得出结论．（2）由表中数据可知，抽到获奖同学的概率为，将频率视为概率，所以X可取0，1，2，3，且X～B（3，）．即可得出．【解答】解：（1）k==≈4.167＞3.841，所以有超过95%的把握认为“获奖与学生的文理科有关”．（2）由表中数据可知，抽到获奖同学的概率为，将频率视为概率，所以X可取0，1，2，3，且X～B（3，）．P（X=k）=×（）k（1﹣）3﹣k（k=0，1，2，3），E（X）=3×=．19．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°，PB=PC=PD．（1）证明：PA⊥平面ABCD；（2）若PA=2，求二面角A﹣PD﹣B的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）连接AC，取BC中点E，连接AE，PE，推导出BC⊥AE，BC⊥PE，从而BC⊥PA．同理CD⊥PA，由此能证明PA⊥平面ABCD．（2）以A为原点，建立空间直角坐标系A﹣xyz，利用向量法能求出二面角A﹣PD ﹣B的余弦值．【解答】证明：（1）连接AC，则△ABC和△ACD都是正三角形．取BC中点E，连接AE，PE，因为E为BC的中点，所以在△ABC中，BC⊥AE，因为PB=PC，所以BC⊥PE，又因为PE∩AE=E，所以BC⊥平面PAE，又PA⊂平面PAE，所以BC⊥PA．同理CD⊥PA，又因为BC∩CD=C，所以PA⊥平面ABCD． (6)解：（2）如图，以A为原点，建立空间直角坐标系A﹣xyz，则B（，﹣1，0），D（0，2，0），P（0，0，2），=（0，2，﹣2），=（﹣，3，0），设平面PBD的法向量为=（x，y，z），则，取x=，得=（），取平面PAD的法向量=（1，0，0），则cos＜＞==，所以二面角A﹣PD﹣B的余弦值是．…20．已知抛物线C：x2=2py（p＞0），圆O：x2+y2=1．（1）若抛物线C的焦点F在圆上，且A为C和圆O的一个交点，求|AF|；（2）若直线l与抛物线C和圆O分别相切于点M，N，求|MN|的最小值及相应p 的值．【考点】直线与抛物线的位置关系；圆与圆锥曲线的综合．【分析】（1）求出F（1，0），得到抛物线方程，联立圆的方程与抛物线方程，求出A的纵坐标，然后求解|AF|．（2）设M（x0，y0），求出切线l：y=（x﹣x0）+y0，通过|ON|=1，求出p=且﹣1＞0，求出|MN|2的表达式，利用基本不等式求解最小值以及p的值即可．【解答】解：（1）由题意得F（1，0），从而有C：x2=4y．解方程组，得y A=﹣2，所以|AF|=﹣1．…（2）设M（x0，y0），则切线l：y=（x﹣x0）+y0，整理得x0x﹣py﹣py0=0．…由|ON|=1得|py0|==，所以p=且﹣1＞0，…所以|MN|2=|OM|2﹣1=+﹣1=2py0+﹣1=+﹣1=4++（﹣1）≥8，当且仅当y0=时等号成立，所以|MN|的最小值为2，此时p=．…21．已知函数．（1）求y=f（x）的最大值；（2）当时，函数y=g（x），（x∈（0，e]）有最小值．记g（x）的最小值为h（a），求函数h（a）的值域．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）求出f′（x）=（x＞0），通过判断函数的单调性，求解函数的最大值即可．（2）求出g′（x）=lnx﹣ax=x（﹣a），由（1）及x∈（0，e]：通过①当a=时，②当a∈[0，），分别求解函数的单调性与最值即可．【解答】解：（1）f′（x）=（x＞0），当x∈（0，e）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈（e，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，所以当x=e时，f（x）取得最大值f（e）=．…（2）g′（x）=lnx﹣ax=x（﹣a），由（1）及x∈（0，e]得：①当a=时，﹣a≤0，g′（x）≤0，g（x）单调递减，当x=e时，g（x）取得最小值g（e）=h（a）=﹣．…②当a∈[0，），f（1）=0≤a，f（e）=＞a，所以存在t∈[1，e），g′（t）=0且lnt=at，当x∈（0，t）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，当x∈（t，e]时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，所以g（x）的最小值为g（t）=h（a）．…令h（a）=G（t）=﹣t，因为G′（t）=＜0，所以G（t）在[1，e）单调递减，此时G（t）∈（﹣，﹣1]．综上，h（a）∈[﹣，﹣1]．…请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C1：x+y=4，曲线为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C1，C2的极坐标方程；（2）若射线l：θ=α（p＞0）分别交C1，C2于A，B两点，求的最大值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）由曲线C1：x+y=4可得曲线C1的极坐标方程；先将曲线C2化为普通方程，进而可得曲线C2的极坐标方程；（2）设A（ρ1，α），B（ρ2，α），﹣＜α＜，则ρ1=，ρ2=2cosα，则=，进而得到答案．【解答】解：（1）∵在直角坐标系xOy中，曲线C1：x+y=4，曲线C1的极坐标方程为：ρ（cosθ+sinθ）=4，C2的普通方程为（x﹣1）2+y2=1，所以曲线C2的极坐标方程为：ρ=2cosθ．…（2）设A（ρ1，α），B（ρ2，α），﹣＜α＜，则ρ1=，ρ2=2cosα，…==×2cosα（cosα+sinα）=（cos2α+sin2α+1）= [cos（2α﹣）+1]，…当α=时，取得最大值（+1）．…[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=a|x﹣1|+|x﹣a|（a＞0）．（1）当a=2时，解不等式f（x）≤4；（2）若f（x）≥1，求a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（1）当a=2时，f（x）在（﹣∞，1]上递减，在[1，+∞）上递增，f（0）=f（）=4利用解不等式f（x）≤4；（2）若f（x）≥1，分类讨论，即可求a的取值范围．【解答】解：（1）f（x）=2|x﹣1|+|x﹣2|=所以，f（x）在（﹣∞，1]上递减，在[1，+∞）上递增，又f（0）=f（）=4，故f（x）≤4的解集为{x|0≤x≤}．…（2）①若a＞1，f（x）=（a﹣1）|x﹣1|+|x﹣1|+|x﹣a|≥a﹣1，当且仅当x=1时，取等号，故只需a﹣1≥1，得a≥2．…②若a=1，f（x）=2|x﹣1|，f（1）=0＜1，不合题意．…③若0＜a＜1，f（x）=a|x﹣1|+a|x﹣a|+（1﹣a）|x﹣a|≥a（1﹣a），当且仅当x=a时，取等号，故只需a（1﹣a）≥1，这与0＜a＜1矛盾．…综上所述，a的取值范围是[2，+∞）．…2017年1月25日。

2020届河北省唐山市2017级高三上学期期末考试数学（文）试卷★祝考试顺利★一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.复数12z i =-,则2z =（ ） A. 34i -- B. 54i - C. 34i -+ D. 54i +【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的乘法法则可计算出2z 的值.【详解】由复数的乘法法则可得()2221214434z i i i i =-=-+=--. 故选：A.2.设集合{}1A x x =≥,{}24B x x =-<<,则A B =U （ ） A. {}14x x ≤<B. {}21x x -<<C. {}24x x -<<D.{}2x x >-【答案】D 【解析】 【分析】利用并集的定义可求出集合A B U .【详解】{}1A x x =≥Q ,{}24B x x =-<<,{}2A B x x ∴⋃=>-. 故选：D3.已知焦点在x 轴上的双曲线C 的渐近线方程为20x y ±=,则C 的离心率为（ ）B. 3D. 5【答案】C【解析】 【分析】设双曲线C 的标准方程为()222210,0x y a b a b -=>>,焦距为()20c c >,根据双曲线的渐近线方程可得出2b a =,再利用公式e =即可求出双曲线C 的离心率.【详解】设双曲线C 的标准方程为()222210,0x y a b a b-=>>,焦距为()20c c >,则222c a b =+,双曲线C 的渐近线方程为2b y x x a=±=±,2ba ∴=,因此,双曲线C的离心率为c e a =====.故选：C.【点睛】本题考查双曲线离心率的计算,在涉及双曲线的渐近线方程时,计算离心率时可利用公式e =,考查计算能力,属于基础题. 4.已知实数x 、y 满足不等式组0220330x x y x y ≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩,则目标函数z x y =+的取值范围是（ ） A. []0,4 B. []1,3C. []2,3D. []1,4【答案】B 【解析】 分析】作出不等式组所表示的可行域,平移直线z x y =+,观察该直线在x 轴上截距最大和最小时对应的最优解,代入目标函数即可得出函数z x y =+的取值范围.【详解】作出不等式组0220330x x y x y ≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩所表示的可行域,如下图中的阴影部分区域所示：则z 为直线z x y =+在x 轴上的截距,平移直线z x y =+,当直线z x y =+经过可行域的顶点()0,3A 时,此时该直线在x 轴上的截距最大,该函数取得最大值,即max 033z =+=；当直线z x y =+经过可行域的顶点()10B ,时,该直线在x 轴上的截距最小,此时,该函数取得最小值,即min 101=+=z . 因此,目标函数z x y =+的取值范围是[]1,3. 故选：B.5.图（1）是某品牌汽车2019年月销量统计图,图（2）是该品牌汽车月销量占所属汽车公司当月总销量的份额统计图,则下列说法错误的是（ ）A. 该品牌汽车2019年全年销量中,1月份月销量最多B. 该品牌汽车2019年上半年的销售淡季是5月份,下半年的销售淡季是10月份C. 2019年该品牌汽车所属公司7月份的汽车销量比8月份多D. 该品牌汽车2019年下半年月销量相对于上半年,波动性小,变化较平稳 【答案】C 【解析】 【分析】根据图（1）中的条形统计图可判断出A 、B 、D 选项的正误,结合图（1）和图（2）比较该品牌汽车所属公司7月份和8月份销量的大小,可判断出C 选项的正误. 【详解】根据图（1）中的条形统计图可知,该品牌汽车2019年全年销量中,1月份月销量最多,A 选项正确；该品牌汽车2019年上半年销量最少的月份是5月份,下半年销量最少的月份是10月份,B 选项正确； 由条形统计图中的波动性可知,该品牌汽车2019年下半年月销量相对于上半年,波动性小,变化较平稳,D 选项正确；由图（1）和图（2）可知,该品牌汽车7月份和8月份的销量相等,但该品牌汽车7月份的销量占该品牌汽车所属公司当月总销量的比例较8月份的大,所以,2019年该品牌汽车所属公司7月份的汽车销量比8月份少,C 选项错误.故选：C.6.已知()12log 2f x x x =-则满足()11f x +≥的x 的取值范围是（ ）A. 3,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦B. 31,4⎛⎤-- ⎥⎝⎦C. 3,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D. 51,4⎛⎤⎥⎝⎦【答案】B【分析】分析出函数()y f x =是()0,∞+上的减函数,且有114f ⎛⎫= ⎪⎝⎭,将所求不等式化为()114f x f ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭,结合该函数的单调性与定义域得出关于x 的不等式组,解出即可.【详解】由于函数12log y x=为减函数,函数2y x =为增函数,所以,函数()12log 2f x x x =-是()0,∞+上的减函数,且有114f ⎛⎫= ⎪⎝⎭,由()11f x +≥可得()114f x f ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭,1014x ∴<+≤,解得314x -<≤-. 因此,满足()11f x +≥的x 的取值范围是31,4⎛⎤-- ⎥⎝⎦.故选：B.7.如图为函数()()sin f x x ωϕ=+的部分图象,将其向左平移14个单位长度后与函数()g x 的图象重合,则()g x 可以表示为（ ）A. sin 2x πB. sin 2x π-C. sin x πD.sin x π- 【答案】D 【解析】 【分析】先利用图象求出函数()y f x =的解析式,然后利用平移变换可得出函数()y g x =【详解】设函数()y f x =的最小正周期为T ,则512244T ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭,2T ωπ∴==π,所以,()()sin f x x πϕ=+,由于1,04⎛⎫⎪⎝⎭是函数()y f x =图象的一个对称中心,且函数()y f x =在14x =附近单调递减,所以()24k k Z πϕππ+=+∈,()324k k Z πϕπ∴=+∈, 则()33sin 2sin 44f x x k x πππππ⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 将函数()y f x =的图象向左平移14个单位长度后得到函数()y g x =的图象, 因此,()()3sin sin sin 444g x f x x x x πππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=++=+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故选：D.8.笛卡尔心形线的极坐标方程为()1sin a ρθ=-,如图,笛卡尔心形线在半径为2的圆内.为了测算该心形线围成的区域面积,某同学利用计算机随机模拟法向该圆内随机投掷了1000个点,其中落入心形线内的点有375个,则该心形线围成的区域面积约为（ ）A.32πB.38π C. 2πD. π【答案】A 【解析】 【分析】设该心形线围成的区域面积为S ,根据几何概型的概率公式得出37541000S π=,由此可计算出S 的值.【详解】设该心形线围成的区域面积为S,则圆的面积为224ππ⨯=,由题意可得3753410008Sπ==,解得33482Sππ=⨯=,因此,该心形线围成的区域面积约为32π.故选：A.9.若cos2sin1θθ-=,则tanθ=（）A.43B.34C. 0或43D. 0或34【答案】C【解析】【分析】由题意得出关于sinθ和cosθ的方程组,解出这两个量,然后利用sintancosθθθ=即可计算出tanθ的值.【详解】由题意可得22cos2sin1cos sin1θθθθ-=⎧⎨+=⎩,解得sin0cos1θθ=⎧⎨=⎩或4sin53cos5θθ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,因此,sintan0cosθθθ==或43.故选：C.10.如图,三棱柱111ABC A B C-中,1AA⊥底面ABC,90ACB∠=o,1AA AC CB==,则直线1BC与平面11ABB A所成角的正弦值是（）A. 12B.2 C.3 D.3 【答案】A 【解析】 【分析】设12AA AC CB ===,取11A B 的中点D ,证明出1C D ⊥平面11ABB A ,可知直线1BC 与平面11ABB A 所成的角为1C BD ∠,计算出1C D 和1BC ,即可计算出直线1BC 与平面11ABB A 所成角的正弦值.【详解】如下图所示,设12AA AC CB ===,取11A B 的中点D ,连接1C D 、BD , 在三棱柱111ABC A B C -中,AC CB =Q ,1111A C C B ∴=,D Q 为11A B 的中点,111C D A B ∴⊥,1AA ⊥Q 平面111A B C ,1C D ⊂平面111A B C ,11C D AA ∴⊥.1111AA A B A =Q I ,1C D ∴⊥平面11ABB A ,则直线1BC 与平面11ABB A 所成的角为1C BD ∠,1CC ⊥Q 平面ABC ,BC ⊂平面ABC ,1CC BC ∴⊥,221122BC BC CC ∴=+=,90ACB ∠=o Q ,11190A C B ∴∠=o,且11112A C C B ==,2211111122A B AC C B ∴=+=D Q 为11A B 的中点,111122C D A B ∴==, 1C D ⊥Q 平面11ABB A ,BD ⊂平面11ABB A ,1C D BD ∴⊥,在1Rt BC D ∆中,1111sin 2C D C BD BC ∠==. 因此,直线1BC 与平面11ABB A 所成角的正弦值是12. 故选：A.11.1F 、2F 为椭圆22:142x y E +=的左、右焦点,A 为短轴的一个端点,连接2AF 并延长交椭圆于B 点,则1ABF ∆的面积为（ ） A. 83B.163C. 3D. 8【答案】A 【解析】 【分析】 将直线2AF 的方程与椭圆E 的方程联立,求出点B 的坐标,然后利用三角形的面积公式可求出1ABF ∆的面积.【详解】如下图所示,设点A 为椭圆E 的上顶点,可知点()0,2A 、()22,0F ,则直线2AF 122=,即2y x =, 将直线2AF 的方程与椭圆E 的方程联立222142y x x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩,消去y 得23420x x -=,解得0x =或23,所以点42233B ⎛- ⎝⎭,因此,1ABF ∆的面积为1121182233ABF S F F ∆==⨯=. 故选：A.12.已知直线l 与曲线()xf x e =和()lng x x =分别相切于点()11,A x y 、()22,B x y .有以下命题：①90AOB ∠>o （O 为原点）；②120x y +=；③()12,2x ∈-,则正确命题的个数为（ ） A. 0 B. 1C. 2D. 3【答案】D 【解析】 【分析】利用导数求出直线l 的方程,可得出()1121211ln 1x x e xe x x ⎧=⎪⎨⎪-=-⎩,根据OA OB ⋅u u u r u u u r 的符号判断命题①的正误,由121x e x =结合指数与对数的互化可判断命题②的正误,由题中条件得出()11111x e x x -=--,构造函数()()11xg x x e x =---,利用导数说明函数()y g x =在区间(],2-∞-和[)2,+∞上都不存在零点,从而可判断出命题③的正误.【详解】()x f x e =Q ,()xf x e '∴=,所以,直线l 的方程为()111x x y e e x x -=-,即()1111xxy e x x e =+-,同理可知,直线l 的方程为()221ln 1y x x x =+-, 所以()1121211ln 1x x e x e x x ⎧=⎪⎨⎪-=-⎩, 由121x e x =,可得12221ln ln x x y x ==-=-,则120x y +=,命题②正确；()()11111212111x x x x OA OB x x y y x e e x x e e --⋅=+=+⋅-=-u u u r u u u r,若A 、O 、B 三点共线,则()11210ln 10x e x x ⎧-=⎨-=⎩,解得121x x e =⎧⎨=⎩,此时,等式121x e x =不成立,矛盾；若10x =,由121x e x =可得21x =,此时等式()1121ln 1xe x x -=-不成立,矛盾； 若10x <,则110x x ->>,有110x x e e -->,此时0OA OB ⋅<u u u r u u u r ； 若1>0x ,则110x x -<<,有110x x e e --<,此时0OA OB ⋅<u u u r u u u r. 所以,90AOB ∠>o ,命题①正确；由121x e x =,可得1221ln ln x x x ==-,代入等式()1121ln 1x e x x -=-,可得()11111x e x x -=--,所以,()111110x e x x ---=,构造函数()()11x g x x e x =---,则()1xg x xe '=-,当2x -≤时,()0g x '<,此时函数()y g x =单调递减,且()()23210g x g e ≥-=->； 当2x ≥时,()0g x '>,此时函数()y g x =单调递增,且()()2230g x g e ≥=->.所以,函数()y g x =在区间(],2-∞-和[)2,+∞上都不存在零点,则()12,2x ∈-,命题③正确. 故选：D.二、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知2a =r ,3b =r ,a r 与b r 夹角的余弦值为13,则a b -=r r ______.【答案】3 【解析】 【分析】利用平面向量数量积的运算律和定义求出()2a b -r r 的值,即可求出a b -r r 的值.【详解】由平面向量数量积的定义可得12323a b ⋅=⨯⨯=r r ,()22222222239a b a a b b ∴-=-⋅+=-⨯+=r r r r r r ,因此,3a b -=r r .故答案为：3.14.已知函数()f x 满足()()23f x f x x +-=,则()1f =______. 【答案】3- 【解析】 【分析】根据题意得出关于()1f 和()1f -的方程组,解出即可.【详解】()()23f x f x x +-=Q ,()()()()12131213f f f f ⎧+-=⎪∴⎨-+=-⎪⎩,解得()13f =-.故答案为：3-.15.已知两圆1C 、2C 和x 轴正半轴,y 轴正半轴及直线2x y +=都相切,则两圆圆心的距离12C C =______. 【答案】4 【解析】 【分析】设圆1C 、2C 的半径分别为R 、r ,且R r >,并作出图形,根据几何关系列出R 、r 满足的关系式,即可求出12C C R r =+的值.【详解】设圆1C 、2C 的半径分别为R 、r ,且R r >,如下图所示：设两圆相切于点A ,22211OA ==+易知直线12C C 的倾斜角为4π, 由几何关系可得1122OC R OA C A R ==+=,解得22221R ==-； 2222OC r OA C A r ==-=,解得22221r ==+, 因此,124C C R r =+=. 故答案为：4.16.在ABC ∆中,120BAC ∠=o ,D 、E 为边BC 上的点,且BD CD =,BAE CAE ∠=∠,若3AD =,2AE =则BC =______. 【答案】15【解析】 【分析】作出图形,可知点D 为边BC 的中点,由向量加法的三角形法则可得出2AD AB AC =+uuu r uu u r uuu r ,从而可得出2236b c bc +-=,AE 为BAC ∠的角平分线,利用正弦定理可得出BE cCE b=,并设BE ct =,CE bt =,其中01t <<,由余弦定理得出222 22222 22b t b bc t c c⎧=-+⎪⎨=-+⎪⎩,从而得出b和c为关于x的方程()221220t x x-+-=的两根,利用韦达定理可得出()2bc b c=+,结合等式2236b c bc+-=可求出bc的值,再利用余弦定理即可得出BC.【详解】设AB c=,AC b=,如下图所示：由于BD CD=,则点D为BC的中点,()()111222AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC∴=+=+=+-=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r,即2AD AB AC=+uuu r uu u r uuu r,所以,()222242cos120AD AB AC AB AC AB AC=+=++⋅ou u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r,整理得2236b c bc+-=,即()2336b c bc+-=,①1602BAE CAE BAC∠=∠=∠=oQ,在ACE∆中,由正弦定理sin60sinCE bAEC=∠o,得sin60sinCEb AEC=∠o,在ABE∆中,由正弦定理()sin60sin sinsin180BE c c cAEB AECAEC===∠∠-∠o o,得sin60sinBEc AEC=∠o,CE BEb c∴=,设CE BEtb c==,由BC AB AC<+,可得()b c t b c+<+,可知01t<<,在ACE∆中,由余弦定理得2222cos60CE AC AE AC AE=+-⋅o,即22222b t b b=+,即()221220t b b-+-=,同理可得()221220t c c--=, 所以,b和c为关于x的方程()221220t x x--=的两根,由韦达定理得b c +=,221bc t =--,)bc b c ∴=+, 代入①式得()22222136332b c bc b c bc b c bc =+-=+-=-,整理得226720b c bc --=,0bc >Q ,解得12bc =, 由余弦定理得222222cos120BC AC AB AC AB b c bc=+-⋅=++o ()2223621260b c bc bc =+-+=+⨯=,因此,BC =.故答案为：三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第（22）,（23）题为选考题,考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.已知{}n a 是公差不为0的等差数列,且前3项和为9.{}n b 是等比数列,且12b a =,25b a =,311b a =.（1）求n a ；（2）求{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）1n a n =+；（2）332nn T =⨯-.【解析】 【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ,根据题意得出关于1a 和d 的方程组,解出这两个量,然后利用等差数列的通项公式可求出n a ；（2）根据题意求出等比数列{}n b 的通项公式,然后利用等比数列的前n 项和公式可求出n T .【详解】（1）设{}n a 的公差为d ,则0d ≠,则1231339a a a a d ++=+=,得13a d +=.①因为{}n b 是等比数列,且12b a =,25b a =,311b a =,由2213b b b =,可得()()()2111104a d a d a d ++=+,化简得212a d d =,因为0d ≠,所以12a d =.②由①②解得,12a =,1d =,故()111n a a n d n =+-=+； （2）由（1）得123b a ==,256b a ==, 设等比数列{}n b 的公比为q ,则212b q b ==,故11132n n n b b q --==⨯, 则1332322311nn n n b b q T q --⨯==⨯---=. 18.河北省高考综合改革从2018年秋季入学的高一年级学生开始实施,新高考将实行“312++”模式,其中3表示语文、数学、外语三科必选,1表示从物理、历史两科中选择一科,2表示从化学、生物、政治、地理四科中选择两科.某校2018级入学的高一学生选科情况如下表：（1）完成下面的22⨯列联表,并判断是否在犯错误概率不超过0.01的前提下,认为“选择物理与学生的性别有关”？（2）学校按性别用分层抽样的方式,从选择“史地化”组合的同学中抽取了5名同学.现要从这5名同学中随机抽取3名同学参加某项活动,则抽取的3名同学中,恰有1名男生的概率.附表及公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++【答案】（1）不能在犯错误概率不超过0.01的前提下认为“选择物理与学生的性别有关”；填表见解析；（2）35.【解析】 【分析】（1）根据题中信息完善22⨯列联表,并计算出2K 的观测值,结合临界值表可对题中结论进行判断；（2）可知抽取的5名学生中,男生有2人,分别记为1A 、2A ,女生有3人,分别记为1B 、2B 、3B ,列举出所有的基本事件,确定基本事件总数,并列举出事件“恰有一名男生”所包含的基本事件,利用古典概型的概率公式可求出所求事件的概率.【详解】（1）依题意可得列联表将列联表中的数据代入公式计算得()22900300175300125 5.573 6.635600*********K ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯,所以,不能在犯错误概率不超过0.01的前提下认为“选择物理与学生的性别有关”；（2）该学校选择“史地化”组合的男生、女生的比为2:3,所以从选择“史地化”组合的同学中按性别用分层抽样的方式抽取5名同学,其中男生2名,女生3名.记男生分别为1A 、2A ,女生分别为1B 、2B 、3B ,从5名同学中随机抽取3名同学,所有的基本事件有：{}121,,A A B 、{}122,,A A B 、{}123,,A A B 、{}112,,A B B 、{}113,,A B B 、{}123,,A B B 、{}212,,A B B 、{}213,,A B B 、{}223,,A B B 、{}123,,B B B ,共10种等可能的结果.其中,恰有一名男生包含的基本事件有：{}112,,A B B 、{}113,,A B B 、{}123,,A B B 、{}212,,A B B 、{}213,,A B B 、{}223,,A B B ,共6种等可能的结果,所以恰有1名男生的概率63105P ==. 19.如图,AB 是圆的直径,C 是圆上的点,PC 垂直圆所在的平面,D 、E 分别是PB 、PC 的中点.（1）求证：DE ⊥平面PAC ；（2）若2AB PC ==,1AC =,求点E 到平面ACD 的距离. 【答案】（1）证明见解析；（221. 【解析】 【分析】（1）由AB 是圆的直径,得出BC AC ⊥,由PC 垂直圆所在的平面得出PC BC ⊥,利用直线与平面垂直的判定定理可证明出BC ⊥平面PAC ,由中位线的性质可得出//DE BC ,由此可证明出DE ⊥平面PAC ；（2）可证明出AC ⊥平面PBC ,利用平面与平面垂直的判定定理可证明出平面PBC ⊥平面ACD ,然后过点E 引CD 的垂线,垂足为O ,利用平面与平面垂直的性质定理可得出EO ⊥平面ACD ,从而得出EO 的长度即为点E 到平面ACD 的距离,利用等面积法计算出EO 的长度即可. 【详解】（1）因为AB 是圆的直径,所以BC AC ⊥,因为PC 垂直圆所在的平面,BC 为圆所在平面内的一条直线,所以PC BC ⊥, 又因为AC PC C =I ,所以BC ⊥平面PAC .因为D 、E 分别是棱PB 、PC 的中点,所以//BC DE ,从而有DE ⊥平面PAC ； （2）因为AB 是圆的直径,所以BC AC ⊥,因为PC 垂直圆所在的平面,AC 为圆所在平面内的一条直线,所以PC AC ⊥,BC PC C =Q I ,AC ∴⊥平面PBC ,又AC ⊂平面ACD ,则平面PBC ⊥平面ACD .过E 引CD 的垂线,垂足为O ,Q 平面PBC ⊥平面ACD ,平面PBC I 平面ACD CD =,EO CD ⊥,EO ⊂平面PBC ,EO ∴⊥平面ACD ,所以EO 的长度即为点E 到平面ACD 的距离.由已知及2AB PC ==,1AC =,可得23BC DE ==,1CE =, 在直角CED ∆中,7CD =,则217CE DE EO CD ⨯==. 所以点E 到平面ACD 的距离为21.20.己知抛物线2:4E y x =的焦点为F ,过点F 的直线l 与E 相交于A 、B 两点. （1）若AB 的中点纵坐标为2,求直线l 的方程；（2）设直线l 与E 的准线相交于C ,()1,2P ,求证：直线PA 、PC 、PB 的斜率成等差数列.【答案】（1）10x y --=；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）设直线l 的方程为1x my =+,并设点()11,A x y 、()22,B x y ,将直线l 的方程与抛物线E 的方程联立,利用韦达定理求出m 的值,即可得出直线l 的方程；（2）设直线PA 、PB 、PC 的斜率分别为1k 、2k 、3k ,求得点21,C m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭,可得出311k m=+,然后利用斜率公式结合韦达定理证明出1232k k k +=,即可证明出题中结论成立.【详解】（1）由题意得()1,0F ,设:1l x my =+,设点()11,A x y 、()22,B x y , 将直线l 的方程代入24y x =得2440y my --=,则124y y m +=,124y y =-. 由于AB 的中点纵坐标为2,则1244y y m +==,解得1m =.所以直线l 的方程为10x y --=；（2）设直线PA 、PB 、PC 的斜率分别为1k 、2k 、3k .由题意可解得21,C m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭,则3221111m k m --==+--. 而()1212121212121212222222211211y y y y y y k k x x my my m m y y m my y +⎛⎫----+=+=+=-+=- ⎪--⎝⎭3212212k m m ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭所以,直线PA 、PC 、PB 的斜率成等差数列.21.设函数()2sin 4x f x x x =-+,()()g x f x '=.（1）讨论()g x 在[]0,2π上的单调性； （2）证明：()f x 在R 上仅有三个零点.【答案】（1）单调递减区间为5,66ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭；单调递增区间为0,6π⎡⎫⎪⎢⎣⎭,5,26ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）求出()()1cos 2x g x f x x '==-+,求得()1sin 2g x x '=-,利用导数求出函数()y g x =的极值点,分析()g x '的符号变化,即可得出函数()y g x =在[]0,2π上的单调区间；（2）求得()00f =,利用导数分析函数()y f x =的单调性,结合零点存在定理证明出函数()y f x =在区间()0,π,(],2ππ内各有一零点,利用函数值符号说明该函数在区间(),0-∞和()2,π+∞上均无零点,由此可证明出函数()y f x =在R 上只有三个零点.【详解】（1）()()1cos 2x g x f x x '==-+,所以()1sin 2g x x '=-. 由()0g x '=且[]0,2x π∈,得6x π=或56π.当x 变化时,()g x '和()g x 的变化情况如下表：所以,函数()y g x =的单调递减区间为5,66ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭,单调递增区间为0,6π⎡⎫⎪⎢⎣⎭和5,26ππ⎛⎤⎥⎝⎦； （2）由（1）得,当[]0,2x π∈时,()y f x '=的极小值()52062f f πππ⎛⎫''<=-<⎪⎝⎭； 极大值()006f f π⎛⎫'>= ⎪⎝⎭,又()20f ππ'=>,所以存在15,66x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,25,26x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,使得()()120f x f x ''==,且当x 变化时()f x '和()f x 的变化情况如下表：从而()()100f x f >=；()()2204f x f πππ<=-<,又()2220f πππ=->,所以()y f x =在()0,π,(],2ππ内各有一零点,又()00f =, 所以()y f x =在[]0,2π内有3个零点.当(),0x ∈-∞时,()0f x '<,()y f x =单调递减,所以()()00f x f >=, 所以()y f x =在(),0-∞上没有零点；当()2,x π∈+∞时,()222sin 210f x x ππππ>-+-->…, 所以()y f x =在()2,π+∞上没有零点. 综上,()y f x =在R 上仅有三个零点.（二）选考题：共10分.请考生在第（22）,（23）题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. [选修4－4：坐标系与参数方程]22.在直角坐标系xOy 中,圆()22:11C x y -+=,直线:2l y =.以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求圆C 和直线l 的极坐标方程；（2）设A 、B 分别为圆C 和直线l 上的点,且满足AO AB ⊥,设AOB α∠=,求tan α的最小值.【答案】（1）圆2:cos C ρθ=,直线:sin 2l ρθ=；（2）34.【解析】 【分析】（1）将圆C 的方程化为222x y x +=,即可将圆C 的方程化为极坐标方程,由sin y ρθ=可将直线l 的方程化为极坐标方程；（2）设点A 的极坐标为(),A A ρθ,点B 的极坐标为(),B ρθα+,分别代入相应曲线的极坐标方程,化简得出213tan tan 24αθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,然后利用二次函数的基本性质可求出tan α的最小值.【详解】（1）圆C 的方程为2220x y x +-=,即222x y x +=, 因为222x y ρ+=,cos x ρθ=,sin y ρθ=, 所以圆2:cos C ρθ=,直线:sin 2l ρθ=； （2）设(),A A ρθ、(),B B ρθα+,22ππθ-<<.依题意可得,2cos A ρθ=,()sin 2B ρθα+=,cos B A ραρ=.所以()2cos sin 2cos θθαα+=,从而2cos sin cos cos sin cos θθαθαα+=,所以2221cos sin 13tan tan tan 1tan cos 24θθαθθθθ-⎛⎫==-+=-+ ⎪⎝⎭,所以当1tan 2θ=时,tan α取得最小值34.[选修4－5：不等式选讲]23.已知a 、b 、c 、d 是正实数,且23a b +=,1c d +=. （1）证明：213a b+≥；（2）当ac为何值时【答案】（1）证明见解析；（2）32.【解析】 【分析】（1）将代数式2a b +与21a b +相乘,展开后利用基本不等式可证明出213a b+≥；（2）将代数式2a b +与+c d 相乘,最大值,利用等号成立的条件可求出ac的值.【详解】（1）因为()21222559b a a b a b a b ⎛⎫++=++≥= ⎪⎝⎭, 又23a b +=,故213a b+≥,当且仅当b aa b =时,即1a b ==时等号成立；（2）因为()()32222a b c d ac bd bc ad ac bd =++=+++≥++2=,当且仅当2bc ad =时等号成立,此时223a b a bc d c d +===+,故当32a c =时.。

2016-2017学年河北省唐山一中高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题所给的四个选项中，只有一个是正确的.请把正确答案涂在答题卡上.）1．已知复数是纯虚数，则实数a=（）A．﹣2 B．4 C．﹣6 D．62．若全集U=R，集合M={x|x2＞4}，N={x|＞0}，则M∩（∁U N）等于（）A．{x|x＜﹣2}B．{x|x＜﹣2}或x≥3}C．{x|x≥32}D．{x|﹣2≤x＜3}3．如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60m，则河流的宽度BC等于（）A．m B．m C．m D．m 4．《九章算术》是我国古代的数学巨著，其卷第五“商功”有如下的问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈．问积几何？”意思为：“今有底面为矩形的屋脊形状的多面体（如图）”，下底面宽AD=3丈，长AB=4丈，上棱EF=2丈，EF∥平面ABCD．EF 与平面ABCD的距离为1丈，问它的体积是（）A．4立方丈B．5立方丈C．6立方丈D．8立方丈5．直线x﹣y+m=0与圆x2+y2=1相交的一个充分不必要条件是（）A．0＜m＜1 B．﹣4＜m＜2 C．m＜1 D．﹣3＜m＜16．已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2=b2+c2﹣bc，a=3，则△ABC 的周长的最大值为（）A．2B．6 C．D．97．已知数列{a n}满足•••…•=（n∈N*），则a10=（）A．e30B．e C．e D．e408．在矩形ABCD中，|AB|=3，|AC|=5，=，=，若=x+y，则x+y的值为（）A．2 B．4 C．5 D．79．函数y=xsinx+cosx的图象大致是（）A． B．C．D．10．函数的零点所在的区间是（）A． B．（1，2）C．（2，e）D．（e，3）11．四面体ABCD的四个顶点都在球O的球面上，AB=2，BC=CD=1，∠BCD=60°，AB⊥平面BCD，则球O的表面积为（）A．8πB．C．D．12．已知如图所示的正方体ABCD﹣A1B1C1D1，点P、Q分别在棱BB1、DD1上，且=，过点A、P、Q作截面截去该正方体的含点A1的部分，则下列图形中不可能是截去后剩下几何体的主视图的是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案写在答题纸上.）13．若曲线f（x）=3x+ax3在点（1，a+3）处的切线与直线y=6x平行，则a=．14．记等差数列{a n}的前n项和S n，利用倒序求和的方法得：S n=；类似的，），试类比等差数列求和的方法，可将记等比数列{b n}的前n项的积为T n，且b n＞0（n∈N+T n表示成首项b1，末项b n与项数n的一个关系式，即公式T n=．15．已知cos（﹣α）=，则sin（﹣2α）=．16．已知实数x，y满足不等式组，则z=|x|+y的取值范围为．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．已知=（bsinx，acosx），=（cosx，﹣cosx），f（x）=•+a，其中a，b，x∈R．且满足f（）=2，f′（0）=2．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）﹣log k=0在区间[0，]上总有实数解，求实数k的取值范围．18．如图：在△ABC中，D为AB边上一点，DA=DC，已知∠B=，BC=3（1）若△BCD为锐角三角形，DC=，求角A的大小；（2）若△BCD的面积为，求边AB的长．19．如图，四棱锥A﹣BCDE中，CD⊥平面ABC，BE∥CD，AB=BC=CD，AB⊥BC，M 为AD上一点，EM⊥平面ACD．（Ⅰ）求证：EM∥平面ABC．（Ⅱ）若CD=2BE=2，求点D到平面EMC的距离．20．已知数列{a n}的各项均是正数，其前n项和为S n，满足S n=4﹣a n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设bn=（n∈N*），求数列{b n}的前2n项和T2n．21．在平面直角坐标系xOy中，已知圆O的方程为x2+y2=2（1）若直线l与圆O切于第一象限，且与坐标轴交于点D，E，当DE长最小时，求直线l 的方程；（2）设M，P是圆O上任意两点，点M关于x轴的对称点N，若直线MP，NP分别交x 轴于点（m，0）（n，0），问mn是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．22．已知函数f（x）=x﹣ax2﹣lnx（a＞0）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若f（x）有两个极值点x1，x2，证明：f（x1）+f（x2）＞3﹣2ln2．2016-2017学年河北省唐山一中高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题所给的四个选项中，只有一个是正确的.请把正确答案涂在答题卡上.）1．已知复数是纯虚数，则实数a=（）A．﹣2 B．4 C．﹣6 D．6【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】化简复数，由纯虚数的定义可得关于a的式子，解之可得．【解答】解：化简可得复数==，由纯虚数的定义可得a﹣6=0，2a+3≠0，解得a=6故选：D2．若全集U=R，集合M={x|x2＞4}，N={x|＞0}，则M∩（∁U N）等于（）A．{x|x＜﹣2}B．{x|x＜﹣2}或x≥3}C．{x|x≥32}D．{x|﹣2≤x＜3}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】分别求出M与N中不等式的解集，根据全集U=R求出N的补集，找出M与N补集的交集即可．【解答】解：由M中的不等式解得：x＞2或x＜﹣2，即M={x|x＜﹣2或x＞2}，由N中的不等式变形得：（x﹣3）（x+1）＜0，解得：﹣1＜x＜3，即N={x|﹣1＜x＜3}，∵全集U=R，∴∁U N={x|x≤﹣1或x≥3}则M∩（∁U N）={x|x＜﹣2或x≥3}．故选：B．3．如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60m，则河流的宽度BC等于（）A ． mB ． mC ． mD ． m【考点】解三角形的实际应用．【分析】由题意画出图形，由两角差的正切求出15°的正切值，然后通过求解两个直角三角形得到DC 和DB 的长度，作差后可得答案． 【解答】解：如图，∠DAB=15°，∵tan15°=tan （45°﹣30°）==2﹣．在Rt △ADB 中，又AD=60，∴DB=AD •tan15°=60×（2﹣）=120﹣60． 在Rt △ADC 中，∠DAC=60°，AD=60，∴DC=AD •tan60°=60．∴BC=DC ﹣DB=60﹣=120（﹣1）（m ）．∴河流的宽度BC 等于120（﹣1）m ． 故选：B ．4．《九章算术》是我国古代的数学巨著，其卷第五“商功”有如下的问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈．问积几何？”意思为：“今有底面为矩形的屋脊形状的多面体（如图）”，下底面宽AD=3丈，长AB=4丈，上棱EF=2丈，EF ∥平面ABCD ．EF 与平面ABCD 的距离为1丈，问它的体积是（ ）A ．4立方丈B ．5立方丈C ．6立方丈D ．8立方丈 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】过E 作EG ⊥平面ABCD ，垂足为G ，过F 作FH ⊥平面ABCD ，垂足为H ，过G 作PQ ∥AD ，交AB 于Q ，交CD 于P ，过H 信MN ∥BC ，交AB 于N ，交CD 于M ，则它的体积V=V E ﹣AQPD +V EPQ ﹣FMN +V F ﹣NBCM ，由此能求出结果．【解答】解：过E 作EG ⊥平面ABCD ，垂足为G ，过F 作FH ⊥平面ABCD ，垂足为H ，过G 作PQ ∥AD ，交AB 于Q ，交CD 于P ，过H 信MN ∥BC ，交AB 于N ，交CD 于M ，则它的体积：V=V E ﹣AQPD +V EPQ ﹣FMN +V F ﹣NBCM=+S △EPQ •NQ +=++=5（立方丈）．故选：B ．5．直线x ﹣y +m=0与圆x 2+y 2=1相交的一个充分不必要条件是（ ） A ．0＜m ＜1 B ．﹣4＜m ＜2 C ．m ＜1 D ．﹣3＜m ＜1 【考点】直线与圆的位置关系．【分析】把直线与圆的方程联立，消去y 得到一个关于x 的一元二次方程，根据直线与圆有两个不同的交点得到此方程有两个不等的实根，即△＞0，列出关于m 的不等式，求出不等式的解集得到m 的范围，在四个选项中找出解集的一个真子集即为满足题意的充分不必要条件．【解答】解：联立直线与圆的方程，消去y 得：2x 2+2mx +m 2﹣1=0， 由题意得：△=（2m ）2﹣8（m 2﹣1）=﹣4m 2+8＞0，解得：﹣＜m ＜，∵0＜m ＜1是﹣＜m ＜的一个真子集，∴直线x ﹣y +m=0与圆x 2+y 2=1相交的一个充分不必要条件是0＜m ＜1． 故选A ．6．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2=b 2+c 2﹣bc ，a=3，则△ABC 的周长的最大值为（ ）A ．2B ．6C ．D ．9 【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】由已知利用余弦定理可求A ，利用a=3和sinA 的值，根据正弦定理表示出b 和c ，代入三角形的周长a +b +c 中，利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的值域即可得到周长的最大值． 【解答】解：∵a 2=b 2+c 2﹣bc ，可得：bc=b 2+c 2﹣a 2，∴cosA==，∵A ∈（0，π），∴A=，∴由a=3，结合正弦定理得： ==2，∴b=2sinB ，c=2sinC ，则a +b +c=3+2sinB +2sinC=3+2sinB +2sin （﹣B ）=3+3sinB +3cosB=3+6sin（B+），可知周长的最大值为9．故选：D．7．已知数列{a n}满足•••…•=（n∈N*），则a10=（）A．e30B．e C．e D．e40【考点】数列的概念及简单表示法．【分析】利用作差法求出lna n=，n≥2，进行求解即可【解答】解：∵•••…•=（n∈N*），∴•••…•=（n∈N*），∴lna n=，n≥2，∴a n=e，∴a10=e，故选B．8．在矩形ABCD中，|AB|=3，|AC|=5，=，=，若=x+y，则x+y的值为（）A．2 B．4 C．5 D．7【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】由已知利用勾股定理可得|AD|，从而可得=3，==4，由向量的加法可得=+=3+4，利用平面向量的基本定理及其意义即可得解x，y的值，进而得解．【解答】解：∵在矩形ABCD中，|AB|=3，|AC|=5，∴利用勾股定理可得：|AD|=4，∵=，=，∴=3，==4，∴=+=3+4，∴x=3，y=4，可得：x+y=7．故选：D．9．函数y=xsinx+cosx的图象大致是（）A． B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】利用函数的奇偶性、单调性、特殊值，借助排除法能求出结果．【解答】解：∵y=xsinx+cosx，设f（x）=xsinx+cosx，则f（﹣x）=（﹣x）sin（﹣x）+cos（﹣x）=xsinx+cosx=f（x），∴y=xsinx+cosx是偶函数，故排除D．当x=0时，y=0+cos0=1，故排除C和D；∵y′=xcosx，∴x＞0开始时，函数是增函数，由此排除B．故选：A．10．函数的零点所在的区间是（）A． B．（1，2）C．（2，e）D．（e，3）【考点】函数零点的判定定理．【分析】先判断函数y是定义域上的增函数，再利用根的存在性定理，即可得出结论．【解答】解：∵函数（x＞0），∴y′=+1+＞0，∴函数y=lnx+x﹣﹣2在定义域（0，+∞）上是单调增函数；又x=2时，y=ln2+2﹣﹣2=ln2﹣＜0，x=e 时，y=lne +e ﹣﹣2=+e ﹣﹣2＞0，因此函数的零点在（2，e ）内．故选：C ．11．四面体ABCD 的四个顶点都在球O 的球面上，AB=2，BC=CD=1，∠BCD=60°，AB ⊥平面BCD ，则球O 的表面积为（ ）A ．8πB ．C ．D ．【考点】球的体积和表面积．【分析】由题意画出图形，设出底面三角形的外心G ，找出四面体ABCD 的外接球的球心O ，通过求解直角三角形得到三棱锥的高，则答案可求． 【解答】解：如图，∵BC=CD=1，∠BCD=60°， ∴底面△BCD 为等边三角形， 取CD 中点为E ，连接BE ，∴△BCD 的外心G 在BE 上，设为G ，取BC 中点F ，连接GF ，在Rt △BCE 中，由CE=，∠CBE=30°，得BF==，又在Rt △BFG 中，得BG=，过G 作AB 的平行线与AB 的中垂线HO 交于O ， 则O 为四面体ABCD 的外接球的球心，即R=OB ， ∵AB ⊥平面BCD ，∴OG ⊥BG ，在Rt △BGO 中，求得OB=，∴球O 的表面积为．故选：D ．12．已知如图所示的正方体ABCD﹣A1B1C1D1，点P、Q分别在棱BB1、DD1上，且=，过点A、P、Q作截面截去该正方体的含点A1的部分，则下列图形中不可能是截去后剩下几何体的主视图的是（）A．B．C．D．【考点】简单空间图形的三视图．【分析】根据剩余几何体的直观图即可得到该几何体的主视图．【解答】解：过点A，P，Q的平面截去该正方体的上半部分后，剩余部分的直观图如图：①，它的主视图是B选项中的图；②，它的主视图是C选项中的图；③，它的主视图是D选项中的图；∴该几何体的主视图不可能是A．故选：A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案写在答题纸上.）13．若曲线f（x）=3x+ax3在点（1，a+3）处的切线与直线y=6x平行，则a=1．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出f（x）的导数，求出切线的斜率，由两直线平行的条件：斜率相等，解方程可得a=1．【解答】解：f（x）=3x+ax3的导数为f′（x）=3+3ax2，即有在点（1，a+3）处的切线斜率为k=3+3a，由切线与直线y=6x平行，可得3+3a=6，解得a=1．故答案为：1．14．记等差数列{a n}的前n项和S n，利用倒序求和的方法得：S n=；类似的，），试类比等差数列求和的方法，可将记等比数列{b n}的前n项的积为T n，且b n＞0（n∈N+T n表示成首项b1，末项b n与项数n的一个关系式，即公式T n=．【考点】进行简单的合情推理；等比数列；等比数列的前n项和；类比推理．【分析】由等差和等比数列的通项和求和公式及类比推理思想可得结果，在运用类比推理时，通常等差数列中的求和类比等比数列中的乘积．【解答】解：在等差数列{a n}的前n项和为S n=，因为等差数列中的求和类比等比数列中的乘积，所以各项均为正的等比数列{b n}的前n项积T n=（b1b n）故答案为：．15．已知cos（﹣α）=，则sin（﹣2α）=﹣．【考点】两角和与差的正弦函数．【分析】由条件利用诱导公式、二倍角公式，求得sin （﹣2α）=sin [2（﹣α）+]的值．【解答】解：∵已知，则sin （﹣2α）=sin [2（﹣α）+]=cos2（﹣α）=2cos 2（﹣α）﹣1=2•﹣1=﹣，故答案为：．16．已知实数x ，y 满足不等式组，则z=|x |+y 的取值范围为 [﹣1，] ．【考点】简单线性规划．【分析】先画出满足条件的平面区域，通过讨论x 的范围，求出直线的表达式，结合图象从而求出z 的范围．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，z=|x |+y=，当M （x ，y ）位于D 中y 轴的右侧包括y 轴时，平移直线：x +y=0，可得x +y ∈[﹣1，2]，当M （x ，y ）位于D 中y 轴左侧，平移直线﹣x +y=0，可得z=﹣x +y ∈（﹣1，]．所以z=|x |+y 的取值范围为：[﹣1，]．故答案为：[﹣1，]．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．已知=（bsinx，acosx），=（cosx，﹣cosx），f（x）=•+a，其中a，b，x∈R．且满足f（）=2，f′（0）=2．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）﹣log k=0在区间[0，]上总有实数解，求实数k的取值范围．【考点】平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用．【分析】（I）利用数量积运算和导数的运算法则即可得出；（II）利用两角和差的正弦公式、正弦函数的单调性有界性、对数的运算法则即可得出．【解答】解：（Ⅰ）由题意知，=，由得，∵f′（x）=asin2x+bcos2x，又，∴，∴a=2．（Ⅱ）由（Ⅰ）得=，∵，，∴，f（x）∈[0，3]．又∵有解，即f（x）=﹣log3k有解，∴﹣3≤log3k≤0，解得，∴实数k的取值范围为．18．如图：在△ABC中，D为AB边上一点，DA=DC，已知∠B=，BC=3（1）若△BCD为锐角三角形，DC=，求角A的大小；（2）若△BCD的面积为，求边AB的长．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）由已知及正弦定理可求，结合△BCD为锐角三角形，可求∠CDB，进而可求∠ADC的值，又DA=DC，利用等腰三角形的性质即可得解∠A的值．（2）利用三角形面积公式可求BD的值，利用余弦定理可求得CD的值，进而可求AB=CD+BD的值．【解答】（本题满分为12分）解：（1）因为：在△BCD中，由正弦定理得，所以：，又因为：△BCD为锐角三角形，所以：∠CDB=60°，所以：∠ADC=120°，DA=DC，所以：∠A=∠ACD=30°，∠A=30°．…（2）因为：，所以：，所以：，在△BCD中由余弦定理得：CD2=BD2+BC2﹣2BD×BCcos∠B=2+9﹣6=5，所以：，所以：．…19．如图，四棱锥A﹣BCDE中，CD⊥平面ABC，BE∥CD，AB=BC=CD，AB⊥BC，M 为AD上一点，EM⊥平面ACD．（Ⅰ）求证：EM∥平面ABC．（Ⅱ）若CD=2BE=2，求点D到平面EMC的距离．【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）取AC的中点F，连接BF，证明BF⊥平面ACD，结合EM⊥平面ACD，所以EM∥BF，再结合线面平行的判定定理得到EM∥面ABC；（Ⅱ）由等面积法求出点D到平面EMC的距离．【解答】证明：（Ⅰ）取AC的中点F，连接BF，因为AB=BC，所以BF⊥AC，又因为CD⊥平面ABC，所以CD⊥BF，所以BF⊥平面ACD，…因为EM⊥平面ACD，所以EM∥BF，因为EM⊄面ABC，BF⊂平面ABC，所以EM∥平面ABC；…解：（Ⅱ）因为EM⊥平面ACD，EM⊂面EMC，所以平面CME⊥平面ACD，平面CME∩平面ACD=CM，过点D作直线DG⊥CM，则DG⊥平面CME，…由已知CD⊥平面ABC，BE∥CD，AB=BC=CD=2BE，可得AE=DE，又EM⊥AD，所以M为AD的中点，在Rt△ABC中，，在Rt△ADC中，，，在△DCM中，，由等面积法知，所以，即点D到平面EMC的距离为．…20．已知数列{a n }的各项均是正数，其前n 项和为S n ，满足S n =4﹣a n ． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）设bn=（n ∈N *），求数列{b n }的前2n 项和T 2n ．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）利用递推关系与等比数列的通项公式即可得出；（2）n 为奇数时，b n ==n ﹣2．n 为偶数时，b n =．分组分别利用等差数列与等比数列的求和公式即可得出． 【解答】解：（1）由S n =4﹣a n ，S n +1=4﹣a n +1，两式相减得a n +1=a n ﹣a n +1，得=，又a 1=S 1=4﹣a 1，解得a 1=2．故数列{a n }是以2为首项，为公比的等比数列．故a n =2×=．（2）n 为奇数时，b n ==n ﹣2．n 为偶数时，b n =．∴T 2n =（b 1+b 3+…+b 2n ﹣1）+（b 2+b 4+…+b 2n ）=[﹣1+1+…+（2n ﹣3）]++…+=+=n2﹣2n+．21．在平面直角坐标系xOy中，已知圆O的方程为x2+y2=2（1）若直线l与圆O切于第一象限，且与坐标轴交于点D，E，当DE长最小时，求直线l 的方程；（2）设M，P是圆O上任意两点，点M关于x轴的对称点N，若直线MP，NP分别交x 轴于点（m，0）（n，0），问mn是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）设直线l的方程，利用直线l与圆O相切，及基本不等式，可求DE长最小时，直线l的方程．（2）设M（x1，y1），P（x2，y2），则N（x1，﹣y1），=2，=2，求出直线MP、NP分别与x轴的交点，进而可求mn的值2【解答】解：（1）设直线l的方程为，即bx+ay﹣ab=0，由直线l与圆O相切，得=，即=，DE2=a2+b2=2（a2+b2）（）≥8，当且仅当a=b=2时取等号，此时直线l的方程为x+y﹣2=0，所以当DE长最小时，直线l的方程为x+y﹣2=0．（3）设M（x1，y1），P（x2，y2），则N（x1，﹣y1），=2，=2，直线MP与x轴交点（，0），m=，直线NP与x轴交点（，0），n=，mn=×===2．∴mn为定值2．22．已知函数f（x）=x﹣ax2﹣lnx（a＞0）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若f（x）有两个极值点x1，x2，证明：f（x1）+f（x2）＞3﹣2ln2．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）先求出函数的导数，通过讨论a的范围，确定导函数的符号，从而判断函数的单调性；（2）表示出f（x1）+f（x2）=lna++ln2+1，通过求导进行证明．【解答】解：（1）∵f′（x）=﹣，（x＞0，a＞0），不妨设φ（x）=2ax2﹣x+1（x＞0，a＞0），则关于x的方程2ax2﹣x+1=0的判别式△=1﹣8a，当a≥时，△≤0，φ（x）≥0，故f′（x）≤0，∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，当0＜a＜时，△＞0，方程f′（x）=0有两个不相等的正根x1，x2，不妨设x1＜x2，则当x∈（0，x1）及x∈（x2，+∞）时f′（x）＜0，当x∈（x1，x2）时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，x1），（x2，+∞）递减，在（x1，x2）递增；（2）由（1）知当且仅当a∈（0，）时f（x）有极小值x1和极大值x2，且x1，x2是方程的两个正根，则x1+x2=，x1 x2=，∴f（x1）+f（x2）=（x1+x2）﹣a[（x1+x2）2﹣2x1 x2]﹣（lnx1+lnx2）=ln（2a）++1=lna++ln2+1（0＜a＜），令g（a）=lna++ln2+1，当a∈（0，）时，g′（a）=＜0，∴g（a）在（0，）内单调递减，故g（a）＞g（）=3﹣2ln2，∴f（x1）+f（x2）＞3﹣2ln2．2017年1月3日。

2016-2107学年河北省唐山市高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求1．抛物线x2=2y的焦点坐标为（）A． B． C．（0，1）D．（1，0）2．椭圆C： +=1（a＞0）的长轴长为4，则C的离心率为（）A．B．C．D．3．命题“∃x0∈R，x02﹣x0+1＜0”的否定是（）A．∃x0∈R，x02﹣x0+1≥0 B．∃x0∉R，x02﹣x0+1≥0C．∀x∈R，x2﹣x+1≥0 D．∀x∉R，x2﹣x+1≥04．下列双曲线中，焦点在x轴上且渐近线方程为y=±x的是（）A．x2﹣=1 B．﹣y2=1 C．﹣x2=1 D．y2﹣=15．下列命题中正确的是（）A．经过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直B．经过平面外一点有且只有一条直线与已知平面平行C．经过平面外一点有且只有一条直线与已知直线垂直D．经过平面外一点有且只有一平面与已知平面垂直6．“a=﹣1”是“直线ax+3y+2=0与直线x+（a﹣2）y+1=0平行”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线AB1与平面ABC1D1所成的角的正弦值为（）A．B．C．D．8．已知椭圆C： +y2=1的左、右顶点分别为A、B，点M为C上不同于A、B 的任意一点，则直线MA、MB的斜率之积为（）A．B．﹣4 C．﹣ D．49．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．B．4 C．D．810．三棱锥A﹣BCD的所有棱长均为6，点P在AC上，且AP=2PC，过P作四面体的截面，使截面平行于直线AB和CD，则该截面的周长为（）A．16 B．12 C．10 D．811．在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，PA=2，AC=2，AB=1，∠BAC=60°，则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为（）A．13πB．14πC．15πD．16π12．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，以F为圆心且半径为4的圆交C 于M，N两点，交C的准线l于A、B两点，若A、F、N三点共线，则p=（）A．4 B．3 C．2 D．1二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上13．直线ax+y+2=0的倾斜角为45°，则a=．14．已知直线x+y﹣2=0与圆x2+y2=r2（r＞0）相交于A、B两点，O为坐标原点，若∠AOB=120°，则r=．15．侧棱与底面垂直的三棱柱A1B1C1﹣ABC的所有棱长均为2，则三棱锥B﹣AB1C1的体积为．16．双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，若在C上存在一点P，使得|PO|=|F1F2|（O为坐标原点），且直线OP的斜率为，则，双曲线C的离心率为．三、解答题：本大题共6小题，共g70fen，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（10分）语句p：曲线x2﹣2mx+y2﹣4y+2m+7=0表示圆；语句q：曲线+=1表示焦点在x轴上的椭圆，若p∨q为真命题，￢p为真命题，求实数m的取值范围．18．（12分）如图所示，三棱柱A1B1C1﹣ABC的侧棱AA1⊥底面ABC，AB⊥AC，AB=AA1，D是棱CC1的中点．（Ⅰ）证明：平面AB1C⊥平面A1BD；（Ⅱ）在棱A1B1上是否存在一点E，使C1E∥平面A1BD？并证明你的结论．19．（12分）已知点A的坐标为（4，1），点B（﹣7，﹣2）关于直线y=x的对称点为C．（Ⅰ）求以A、C为直径的圆E的方程；（Ⅱ）设经过点A的直线l与圆E的另一个交点为D，|AD|=8，求直线l的方程．20．（12分）如图所示，抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，经过点F的直线l与抛物线交于P，Q两点，弦PQ的中点为N，经过点N作y轴的垂线与C的准线交于点T．（Ⅰ）若直线l的斜率为1，且|PQ|=4，求抛物线C的标准方程；（Ⅱ）证明：无论p为何值，以线段TN为直径的圆总经过点F．21．（12分）如图所示，在四棱锥A﹣BCDE中，AB⊥平面BCDE，四边形BCDE为矩形，F、G分别为AC、AE的中点，AB=BC=2，BE=．（Ⅰ）证明：EF⊥BD；（Ⅱ）求点A到平面BFG的距离．22．（12分）已知圆A：（x+1）2+y2=8，动圆M经过点B（1，0），且与圆A相切，O为坐标原点．（Ⅰ）求动圆圆心M的轨迹C的方程；（Ⅱ）直线l与曲线C相切于点M，且l与x轴、y轴分别交于P、Q两点，求证：•为定值．2016-2107学年河北省唐山市高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求 1．抛物线x 2=2y 的焦点坐标为（ ）A ．B ．C ．（0，1）D ．（1，0）【考点】抛物线的简单性质．【分析】先根据标准方程求出p 值，判断抛物线x 2=2y 的开口方向及焦点所在的坐标轴，从而写出焦点坐标．【解答】解：∵抛物线x 2=2y 中，p=1，∴ =， ∵焦点在y 轴上，开口向上，∴焦点坐标为（0，）． 故选：A ．【点评】本题考查抛物线的标准方程和简单性质的应用，抛物线 x 2=2py 的焦点坐标为（0，），属基础题．2．椭圆C ： +=1（a ＞0）的长轴长为4，则C 的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意求得a 的值，求得椭圆方程，求得a=2，b=，c==，利用椭圆的离心率公式即可求得椭圆的离心率．【解答】解：由椭圆C ：+=1（a ＞0）的长轴长为4，可知焦点在x 轴上，即2a=4，a=2，∴椭圆的标准方程为：，a=2，b=，c==，椭圆的离心率e==，故选B．【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查计算能力，属于基础题．3．命题“∃x0∈R，x02﹣x0+1＜0”的否定是（）A．∃x0∈R，x02﹣x0+1≥0 B．∃x0∉R，x02﹣x0+1≥0C．∀x∈R，x2﹣x+1≥0 D．∀x∉R，x2﹣x+1≥0【考点】命题的否定．【分析】利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【解答】解：∵特称命题的否定是全称命题．∴命题p：∃x0∈R，使x02﹣x0+1＜0的否定是：∀x∈R，x2﹣x+1≥0．故选：C【点评】本题考查命题的否定，注意量词的变化，基本知识的考查．4．下列双曲线中，焦点在x轴上且渐近线方程为y=±x的是（）A．x2﹣=1 B．﹣y2=1 C．﹣x2=1 D．y2﹣=1【考点】双曲线的标准方程．【分析】根据双曲线的渐近线的方程结合双曲线的标准方程的性质进行求解判断．【解答】解：A．双曲线的焦点在x轴，a=1，b=4，则双曲线的渐近线方程为y=±x=±4x，B．双曲线的焦点在x轴，a=4，b=1，则双曲线的渐近线方程为y=±x=±x，满足条件．C．双曲线的焦点在y轴，不满足条件．D．双曲线的焦点在y轴，不满足条件．故选：B【点评】本题主要考查双曲线渐近线的求解和应用，比较基础．5．下列命题中正确的是（）A．经过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直B．经过平面外一点有且只有一条直线与已知平面平行C．经过平面外一点有且只有一条直线与已知直线垂直D．经过平面外一点有且只有一平面与已知平面垂直【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】A，如果过一点有两条直线与平面垂直，那么这两条直线平行，与两直线交于一点矛盾；B，经过平面外一点有无数条直线与已知平面平行，它们在该平面的一个平行平面内；C，经过平面外一点有无数条直线与已知直线垂直，它们在该直线的一个垂面内；D，经过平面外一点有无数个平面与已知平面垂直；【解答】解：对于A，如果过一点有两条直线与平面垂直，那么这两条直线平行，与两直线交于一点矛盾，故正确；对于B，经过平面外一点有无数条直线与已知平面平行，它们在该平面的一个平行平面内，故错；对于C，经过平面外一点有无数条直线与已知直线垂直，它们在该直线的一个垂面内，故错；对于D，经过平面外一点有无数个平面与已知平面垂直，故错；故选：A．【点评】本题考查命题真假的判断，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用，属于基础题．6．“a=﹣1”是“直线ax+3y+2=0与直线x+（a﹣2）y+1=0平行”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据直线平行的等价条件以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：若a=﹣1，则两条直线方程分别为﹣x+3y+2=0与x﹣y+1=0此时两直线平行，即充分性成立，若两直线平行，则ax+3y+2=0的斜截式方程为y=﹣x﹣，则直线斜率k=﹣，x+（a﹣2）y+1=0的斜截式方程为为y=﹣x﹣，（a≠2）若两直线平行则﹣=﹣，且﹣≠﹣，由﹣=﹣，得a（a﹣2）=3，即a2﹣2a﹣3=0得a=﹣1或a=3，由﹣≠﹣得a≠，即“a=﹣1”是“直线ax+3y+2=0与直线x+（a﹣2）y+1=0平行”的充分不必要条件，故选：A．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用直线平行的等价条件是解决本题的关键．7．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线AB1与平面ABC1D1所成的角的正弦值为（）A．B．C．D．【考点】直线与平面所成的角．【分析】如图所示，建立空间直角坐标系．不妨时AB=1，取平面ABC1D1的法向量==（1，0，1），则直线AB1与平面ABC1D1所成的角的正弦值=|cos＜，＞|=，即可得出．【解答】解：如图所示，建立空间直角坐标系．不妨时AB=1，则D（0，0，0），A（1，0，0），B1（1，1，1），A1（1，0，1）．则=（0，1，1），取平面ABC1D1的法向量==（1，0，1），则直线AB1与平面ABC1D1所成的角的正弦值=|cos＜，＞|===．故选：D．【点评】本题考查了空间位置关系、法向量的应用、线面角、向量夹角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8．已知椭圆C： +y2=1的左、右顶点分别为A、B，点M为C上不同于A、B 的任意一点，则直线MA、MB的斜率之积为（）A．B．﹣4 C．﹣ D．4【考点】椭圆的简单性质．【分析】求得A和B点坐标，求得直线MA和MB的斜率，由M在椭圆上，x02=4﹣4y02，即可求得k1•k2=•==﹣．【解答】解：由题意得，椭圆C： +y2=1焦点在x轴上，a=2，b=1，设M（x0，y0）（y0≠0），A（﹣2，0），B（2，0），直线MA的斜率k1=，MB的斜率k2=，又点M在椭圆上，∴（y0≠0），x02=4﹣4y02，∴k1•k2=•==﹣，直线MA、MB的斜率之积﹣，故选C．【点评】本题考查椭圆的标准方程，以及椭圆的简单性质的应用，直线的斜率公式的应用，考查计算能力，属于基础题．9．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．B．4 C．D．8【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可得，直观图是四棱锥，底面为2的正方形，高为2，即可求出体积．【解答】解：由三视图可得，直观图是四棱锥，底面为2的正方形，高为2，∴体积为=，故选A．【点评】本题考查三视图，考查几何体体积的计算，确定直观图的形状是关键．10．三棱锥A﹣BCD的所有棱长均为6，点P在AC上，且AP=2PC，过P作四面体的截面，使截面平行于直线AB和CD，则该截面的周长为（）A．16 B．12 C．10 D．8【考点】棱锥的结构特征．【分析】作PH∥CD，交AD于H，过H作HF∥AB，交BD于F，过FE∥CD，交BC 于E，连结PE，则四边形PEFH是过P作四面体的截面，且截面平行于直线AB和CD，由AP=2PC，三棱锥A﹣BCD的所有棱长均为6，能求出该截面的周长．【解答】解：∵三棱锥A﹣BCD的所有棱长均为6，点P在AC上，且AP=2PC，过P作四面体的截面，使截面平行于直线AB和CD，作PH∥CD，交AD于H，过H作HF∥AB，交BD于F，过FE∥CD，交BC于E，连结PE，则四边形PEFH是过P作四面体的截面，且截面平行于直线AB和CD，∵AP=2PC，三棱锥A﹣BCD的所有棱长均为6，∴PH=EF=，HF=PE=，∴该截面PEFH的周长为：4+4+2+2=12．故选：B．【点评】本题考查截面的周长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间培养．11．在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，PA=2，AC=2，AB=1，∠BAC=60°，则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为（）A．13πB．14πC．15πD．16π【考点】球的体积和表面积．【分析】求出BC，可得△ABC外接圆的半径，从而可求该三棱锥的外接球的半径，即可求出三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积．【解答】解：∵AC=2，AB=1，∠BAC=60°，∴由余弦定理可得BC=，∴△ABC外接圆的半径为1，设球心到平面ABC的距离为d，则由勾股定理可得R2=（）2+12=4，∴三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为4πR2=16π．故选：D．【点评】本题考查三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积，考查学生的计算能力，确定三棱锥P﹣ABC的外接球的半径是关键．12．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，以F为圆心且半径为4的圆交C 于M，N两点，交C的准线l于A、B两点，若A、F、N三点共线，则p=（）A．4 B．3 C．2 D．1【考点】抛物线的简单性质．【分析】由题意，M的横坐标为，纵坐标取p，则p2+3p2=16，即可求出p的值．【解答】解：由题意，M的横坐标为，纵坐标取p，则p2+3p2=16，∴p=2，故选C．【点评】本题考查抛物线的方程与性质，考查圆与抛物线的位置关系，比较基础．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上13．直线ax+y+2=0的倾斜角为45°，则a=﹣1．【考点】直线的倾斜角．【分析】根据直线的倾斜角，得出斜率的值，从而求出a的值．【解答】解：当直线ax+y+2=0的倾斜角为45°时，直线l的斜率k=tan45°=1；∴﹣a=1，解得a=﹣1，故答案为：﹣1【点评】本题考查了利用直线的倾斜角求直线斜率的应用问题，是基础题目．14．已知直线x+y﹣2=0与圆x2+y2=r2（r＞0）相交于A、B两点，O为坐标原点，若∠AOB=120°，则r=2．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由已知得圆心O（0，0）到直线x+﹣2=0的距离d等于半径r的一半，由此能求出半径r．【解答】解：∵直线x+y﹣2=0与圆x2+y2=r2（r＞0）相交于A、B两点，O为坐标原点，若∠AOB=120°，∴圆心O（0，0）到直线x+﹣2=0的距离d等于半径r的一半，即d=，解得r=2．故答案为：2．【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．15．侧棱与底面垂直的三棱柱A1B1C1﹣ABC的所有棱长均为2，则三棱锥B﹣AB1C1的体积为．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】先求出，AA1=2，由此能求出三棱锥B﹣AB1C1的体积．【解答】解：∵侧棱与底面垂直的三棱柱A1B1C1﹣ABC的所有棱长均为2，∴==，AA1=2，∴三棱锥B﹣AB1C1的体积为：V==．故答案为：．【点评】本题考查三棱锥的体积的求不地，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．16．双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，若在C上存在一点P，使得|PO|=|F1F2|（O为坐标原点），且直线OP的斜率为，则，双曲线C的离心率为+1．【考点】双曲线的简单性质．【分析】依题意可知|PO|=|F1F2|判断出∠F1PF2=90°，直线OP的斜率为，可求出出|PF2|=c，则|F1P|=c，进而利用双曲线定义可用c表示出a，最后可求得双曲线的离心率．【解答】解：∵|PO|=|F1F2|，∴|OF1|=|OF2|=|OP|∴∠F1PF2=90°，∵直线OP的斜率为，∴∠POF1=60°，∴|PF1|=c，|PF2|=c，∴c﹣c=2a，∴==+1∴e=+1．故答案为： +1【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质，考查了学生对双曲线定义的理解和灵活运用，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共g70fen，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（10分）（2016秋•唐山期末）语句p：曲线x2﹣2mx+y2﹣4y+2m+7=0表示圆；语句q：曲线+=1表示焦点在x轴上的椭圆，若p∨q为真命题，￢p为真命题，求实数m的取值范围．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】由p∨q为真命题，￢p为真命题，得p假q真，进而可得实数m的取值范围．【解答】解：若p真，则曲线x2﹣2mx+y2﹣4y+2m+7=0化为（x﹣m）2+（y﹣2）2=m2﹣2m﹣3，由已知m2﹣2m﹣3＞0，解得m＜﹣1或m＞3．…若q真，则m2＞2m＞0，解得m＞2．…由p∨q为真命题，¬p为真命题，得p假q真．…（8分）则解得2＜m≤3，所以实数m的取值范围是2＜m≤3．…（10分）【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，椭圆的标准方程，圆的一般方程等知识点，难度中档．18．（12分）（2016秋•唐山期末）如图所示，三棱柱A1B1C1﹣ABC的侧棱AA1⊥底面ABC，AB⊥AC，AB=AA1，D是棱CC1的中点．（Ⅰ）证明：平面AB1C⊥平面A1BD；（Ⅱ）在棱A1B1上是否存在一点E，使C1E∥平面A1BD？并证明你的结论．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【分析】（1）要证平面AB1C⊥平面A1BD，只需在平面AB1C内找一条直线（A1B）垂直平面A1BD即可；（2）设AB1∩A1B=F，连接EF，FD，C1E，由EF=AA1，EF∥AA1，且C1D=AA1，C1D∥AA1，可得EF∥C1D，且EF=C1D，四边形EFDC1是平行四边形即可得到，当E为A1B1的中点时，C1E∥平面A1BD．【解答】解：（Ⅰ）∵AA1⊥底面ABC，AC⊂平面ABC，∴AA1⊥AC，又∵AB⊥AC，AA1∩AB=A，∴AC⊥平面ABB1A1，又∵A1B⊂平面ABB1A1，∴AC⊥A1B，∵AB=AA1，∴A1B⊥AB1，又∵AB1∩AC=A，∴A1B⊥平面AB1C，又∵A1B⊂平面A1BD，∴平面AB1C⊥平面A1BD．…（Ⅱ）当E为A1B1的中点时，C1E∥平面A1BD．下面给予证明．设AB1∩A1B=F，连接EF，FD，C1E，∵EF=AA1，EF∥AA1，且C1D=AA1，C1D∥AA1，∴EF∥C1D，且EF=C1D，∴四边形EFDC1是平行四边形，∴C1E∥FD，又∵C1E⊄平面A1BD，FD⊂平面A1BD，∴C1E∥平面A1BD．…（12分）【点评】本题考查平面和平面垂直的判定和性质、线面平行的推导．解决此类问题的关键是熟练掌握有关定理以及空间几何体中点、线、面之间的位置关系，属于中档题．19．（12分）（2016秋•唐山期末）已知点A的坐标为（4，1），点B（﹣7，﹣2）关于直线y=x的对称点为C．（Ⅰ）求以A、C为直径的圆E的方程；（Ⅱ）设经过点A的直线l与圆E的另一个交点为D，|AD|=8，求直线l的方程．【考点】待定系数法求直线方程．【分析】（Ⅰ）求出B的对称点C，从而求出AC的中点坐标，求出元旦圆心和半径，求出圆的方程即可；（Ⅱ）分别讨论直线斜率存在和不存在时的情况，结合点到直线的距离公式求出直线l的方程即可．【解答】解：（Ⅰ）点B（﹣7，﹣2）关于直线y=x的对称点为C（﹣2，﹣7），∵AC为直径，AC中点E的坐标为（1，﹣3），∴圆E的半径为|AE|=5，∴圆E的方程为（x﹣1）2+（y+3）2=25．…（Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，易求|AD|=8，此时直线l的方程为x=4，…（7分）当直线l的斜率存在时，设l：y﹣1=k（x﹣4），∴圆心E到直线l的距离d=，∵圆E的半径为5，|AD|=8，所以d=3，∴=3，解得k=，∴直线l的方程为7x﹣24y﹣4=0．综上所述，直线l的方程为x=4或7x﹣24y﹣4=0．…（12分）【点评】本题考查了直线方程问题，考查求圆的方程，是一道中档题．20．（12分）（2016秋•唐山期末）如图所示，抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，经过点F的直线l与抛物线交于P，Q两点，弦PQ的中点为N，经过点N作y轴的垂线与C的准线交于点T．（Ⅰ）若直线l的斜率为1，且|PQ|=4，求抛物线C的标准方程；（Ⅱ）证明：无论p为何值，以线段TN为直径的圆总经过点F．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（Ⅰ）设直线l的方程为y=x﹣，与抛物线C的方程联立，化简得x2﹣3px+=0，根据|PQ|=4，求抛物线C的标准方程；（Ⅱ）求出点N、点T的坐标，证明•=﹣p2m2+p2m2=0，即可证明：无论p为何值，以线段TN为直径的圆总经过点F．【解答】（Ⅰ）解：由直线l的斜率为1，可设直线l的方程为y=x﹣，与抛物线C的方程联立，化简得x2﹣3px+=0，设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），由韦达定理可知，x 1+x 2=3p ， ∴|PQ |=x 1+x 2+p=4p=4，p=1， ∴抛物线C 的方程为y 2=2x ．…（Ⅱ）证明：设直线l 的方程为x=my +，与抛物线C 的方程联立，化简得y 2﹣2pmy ﹣p 2=0，设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），由韦达定理可知，y 1+y 2=2pm ， ∴x 1+x 2=m （y 1+y 2）+p=2pm 2+p ，∴点N 的坐标为（pm 2+，pm ），∴点T 的坐标为（﹣，pm ），∴=（﹣p ，pm ），=（pm 2，pm ），∴•=﹣p 2m 2+p 2m 2=0，∴无论p 为何值，以线段TN 为直径的圆总经过点F ．…（12分）【点评】本题考查抛物线的标准方程，考查直线与抛物线的位置关系，同时考查向量与解析几何的交汇，综合性强．21．（12分）（2016秋•唐山期末）如图所示，在四棱锥A ﹣BCDE 中，AB ⊥平面BCDE ，四边形BCDE 为矩形，F 、G 分别为AC 、AE 的中点，AB=BC=2，BE=．（Ⅰ）证明：EF ⊥BD ；（Ⅱ）求点A 到平面BFG 的距离．【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】（Ⅰ）取BC 的中点M ，连接MF ，ME ，证明BD ⊥平面MEF ，即可证明EF ⊥BD ；（Ⅱ）利用V A ﹣BFG =V G ﹣ABF ，求点A 到平面BFG 的距离．【解答】（Ⅰ）证明：取BC 的中点M ，连接MF ，ME ， ∵AB ⊥平面BCDE ，MF ∥AB ，∴MF ⊥平面BCDE ，又BD ⊂平面BCDE ，∴MF ⊥BD ．在Rt △MBE 与Rt △BED 中，∵==，∴Rt △MBE ∽Rt △BED ．∴∠BME=∠EBD ，而∠BME +∠BEM=90°，于是∠BEM +∠EBD=90°， ∴ME ⊥BD ，又∵MF ∩ME=M ，∴BD ⊥平面MEF ， 又∵EF ⊂平面MEF ，∴EF ⊥BD ．…（Ⅱ）解：∵AB ⊥平面BCDE ，BE ⊂平面BCDE ，∴AB ⊥BE ， ∵四边形BCDE 为矩形，∴BE ⊥BC ， 又∵AB ∩BC=B ， ∴BE ⊥平面ABC ， ∵G 为AE 的中点，∴G 到平面ABF 的距离为BE=，S △ABF =×2×1=1，在△BFG 中，FG=CE=，BG=AE=，BF=AC=，∴S △BFG =，设A 到平面BFG 的距离为d ， ∵V A ﹣BFG =V G ﹣ABF ，∴•S △BFG •d=•S △ABF •，∴d=1，即A 到平面BFG 的距离为1．…（12分）【点评】本题考查线面垂直的判定与性质，考查等体积方法的运用，属于中档题．22．（12分）（2016秋•唐山期末）已知圆A：（x+1）2+y2=8，动圆M经过点B （1，0），且与圆A相切，O为坐标原点．（Ⅰ）求动圆圆心M的轨迹C的方程；（Ⅱ）直线l与曲线C相切于点M，且l与x轴、y轴分别交于P、Q两点，求证：•为定值．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）推导出M点轨迹是以A、B为焦点的椭圆，由此能求出动圆圆心M的轨迹C的标准方程．（Ⅱ）设l：y=kx+b，将l的方程与椭圆C的方程的联立，化简得（1+2k2）x2+4kbx+2b2﹣2=0，由此利用根的判别式、韦达定理、向量的数量积公式，结合题意能证明•为定值﹣1．【解答】解：（Ⅰ）设动圆M的半径为r，依题意，|MA|=2﹣r，|MB|=r，∴|MA|+|MB|=2＞|AB|=2，∴M点轨迹是以A、B为焦点的椭圆，∴动圆圆心M的轨迹C的标准方程为+y2=1．…证明：（Ⅱ）由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，设l：y=kx+b，将l的方程与椭圆C的方程的联立，化简得：（1+2k2）x2+4kbx+2b2﹣2=0，因为l与椭圆C相切于点M，设M（x0，y0），所以△=8（1+2k2﹣b2）=0，即b2=1+2k2，且2x0=﹣=﹣，解得x0=﹣，y0=﹣+b=，∴点M的坐标为（﹣，），又l与x轴、y轴分别交于P、Q两点，∴点P的坐标为（﹣，0），点Q的坐标为（0，b），=（，b），∴•=（﹣，）•（，b）=﹣1．∴•为定值﹣1．…（12分）【点评】本题考查点的轨迹方程的求法，考查向量的数量积为定值的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、向量的数量积公式、圆、椭圆等知识点的合理运用．。