八年级数学上册-12.3 角的平分线的性质(第1课时)课件 (新版)新人教版-2

1 2
O
C P EB
∴ △OPD≌△OPE(AAS)
∴PD＝PE（全等三角形對應邊相等）
*
角平分線的性質
定理：角平分線上的點到角的兩邊的距離相等.
用符號語言表示為：
A D
∵∠1= ∠2 PD ⊥OA ，PE ⊥OB
∴PD=PE.
C
12
P
O
EB
*
如圖，要在S區建一個貿易市場，使它到鐵路和公路 距離相等， 離公路與鐵路交叉處500米，這個集貿市場 應建在何處？（比例尺為1︰20000）
s
*
【解析】 作夾角的角平分線OC，截取OD=2.5cm ,D即為所求. O
s
D C
*
反過來，到一個角的兩邊的距離相等的點是 否一定在這個角的平分線上呢？ 已知：如圖,QD⊥OA，QE⊥OB， 點D、E為垂足，QD＝QE． 求證：點Q在∠AOB的平分線上．
*
證明: ∵ QD⊥OA，QE⊥OB ∴ ∠QDO＝∠QEO＝90°（垂直的定義） 在Rt△QDO和Rt△QEO中 QO＝QO（公共邊） QD=QE ∴ Rt△QDO≌Rt△QEO（HL） ∴ ∠ QOD＝∠QOE ∴點Q在∠AOB的平分線上
O ∵△OMC≌△ONC(SSS) ∴∠AOC=∠BOC 即OC 是∠ＡＯＢ的角平分線.
A M
N
C B
*
將∠AOB對折，再折出一個直角三角形（使第一條折 痕為斜邊），然後展開，觀察兩次折疊形成的三條折痕， 你能得出什麼結論？
猜想:角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.
*
已知：OC平分∠AOB，點P在OC上，PD⊥OA於D，
12.3 角的平分線的性質
*
1.在探究作角平分線的方法和角平分線性質的過程中，掌握 角平分線的作法和角平分線的性質，發展數學直覺. 2.提高綜合運用三角形全等的有關知識的解決能力；掌握簡 單的角平分線在生產、生活中的應用.

OC，在OC 上任取一点P，过点P 画出OA，OB 的垂
线，分别记垂足为D，E，测量 PD，PE 并
作比较，你得到什么结论？
A
在OC 上再取几个点试一试． 通过以上测量，你发现了角
D
的平分线的什么性质？
C
P
O
E
B
求证经； 历实验过程，发现并证明角的平分线的性质
求证：PD =PE．
追问2 由角的平分线的性质的证明过程，你能概
经历实验过程，发现并证明角的平分线的性质
追问1 通过动手实验、观察比较，我们发现“角 经历实验过程，发现并证明角的平分线的性质
∴∠DＯP=∠BＯP（角平分线定义）
线．你能说明它的道理吗？
的平分线上的点到角的两边的距离相等”，你能通过严 求证：PD =PE．
受到哪些启发？如何利用直尺和圆规作一个角的平分线？
在△OPD和△OPE 中
格的逻辑推理证明这个结论吗？ 边放下，沿AC 画一条射线AE，AE 就是∠DAB 的平分
CA=CA（公共边）
追问2 由角的平分线的性质的证明过程，你能概
受到哪些启发？如何利用直尺和圆规作一个角的平分线？
追问3 角的平分线的性质的作用是什么？
已知：如图，ＯC平分∠ＡOＢ， 追问3 角的平分线的性质的作用是什么？
追问4 你能说明为什么射线OC 是∠AOB 的平分线吗？
如图，任意作一个角∠AOB，作出∠A的平分线
（3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证 在△ACD和△ACB中
D
B
问题2 利用尺规我们可以作一个角的平分线，那
格的逻辑推理证明这个结论吗？
证明:∵ ＯC平分∠ＡＯＢ, P是OC上一点（已知）
E

2.联系角平分线性质：
面积 周长
利用角平分线的性质所得到的等 量关系进行转化求解
链接中考
如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且
∠ADC=110°，则∠MAB=（ B ）
A．30° B．35° C．45° D．60°
解析：作MN⊥AD于N，∵∠B=∠C=90°，
∴AB∥CD， ∴∠DAB=180°–∠ADC=70°.
证明：∵OD平分∠AOB，∠1＝∠2， 又∵OA＝OB，OD＝OD， ∴△AOD≌△BOD，∴∠3＝∠4， 又∵PM⊥DB，PN⊥DA， ∴PM＝PN.(角平分线上的点到角两边 的距离相等)
探究新知
素养考点 2 利用角平分线的性质求线段的长度
例2 如图，AM是∠BAC的平分线，点P在AM上，PD⊥AB， PE⊥AC，垂足分别是D,E，PD=4cm，则PE=___4___cm.
A．6 B．5 C．4 D．3
B AE
课堂检测
能力提升题
1. 在Rt△ABC中，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，则：
(1)哪条线段与DE相等？为什么？
(2)若AB＝10，BC＝8，AC＝6，求BE，AE的长和△AED
的周长.
解：(1)DC=DE. 理由如下：角平分线上的点到角两边的距离相等. （2）在Rt△CDB和Rt△EDB中，DC=DE，DB=DB，
1. 学会角平分线的画法.
探究新知
知识点 1 角平分线的画法
问题1：在纸上画一个角，你能得到这个角的平分线吗？
用量角器度量，也可用折纸的方法．
问题2：如果把前面的纸片换成木板、钢板等，还能 用对折的方法得到木板、钢板的角平分线吗？
探究新知
提炼图形

问题1
以往的学习中在已知一个角，怎样得到这个角的平分线？
用量角器度量，也可用折纸的方法．
追问1 你能评价这些方法吗？在生产生活中，这
些方法是否一定可行呢？
学习与探究
下图是一个平分角的仪器，其中 = ， = ，
1
将点 放在角的顶点；
2
和 沿着角的两边放下；
3
沿 画一条射线 () ；
4
() 是∠ 的平分线.
你能说明它的道理吗?





学习与探究
已知： = ， = .
求证： 平分∠.
证明：在△ 与△ 中，
= ，
= ，
= ，
∴ △ ≌ △
∴ ∠ = ∠.



SSS .
即 平分∠.
人教版八年级上册
角的平分线的性质
第一课时
风筝
风筝一般都用什么结构？图中的
风筝包含哪些基本的几何图形？
为什么要用这样的图形?
观察与思考
年度工作概述
如图是小明制作的风筝，他根据AB=AD，
工作完成情况
BC=DC.不用度量，就知道AC是∠DAB
成功项目展示
的角平分线，你知道其中的道理吗？
工作存在不足
感悟与实践
操作测量：取点P的几个不同的位置，分别过点P作PD⊥OA，PE
⊥OB,点D、E为垂足，测量PD、PE的长.他们的长度都相等吗？
A
D
C
P
O
E
B
PD=PE
猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
2. 猜想线段PD与PE的大小关系，写出结论：__________
分析与证明

E
B
C
D
A
E
B
C
D
4.如图，OC平分∠AOB， PM⊥OB于点M， PN⊥OA于点N， △POM的面积为6，OM=6， 则PN=_______ 。 2
N 0 M P
A
C B
*5.如图，△ABC中，AB=8厘米，∠C=90°， AC=BC，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于 点E。求：△DBE的周长= 8厘米。
证明:连结MC,NC由作法知:
在△OMC和△ONC中 OM=ON MC=NC OC=OC ∵△OMC≌△ONC (SSS) ∴∠AOC=∠BOC 即:OC 是∠ＡＯＢ的角平分线. M
A C
O
N
B
经历实验过程，发现并证明角的平分线的性质
P48 思考 利用尺规我们可以作一个角的平分线，那 么角的平分线有什么性质呢？ 如图，任意作一个角∠AOB，作出∠A的平分线 OC，在OC 上任取一点P，过点 A P 画出OA，OB 的垂线，分别记 D 垂足为D，E，测量 PD，PE 并 C 作比较，你得到什么结论？ P O
B
即点P到三边AB，BC，CA的距离相等
E
C
A
2. 如 图 , 在 △ ABC 中 ， AC⊥BC ， AD 为 ∠ BAC 的平分线，DE⊥AB，AB ＝ 7 ㎝ ， AC ＝ 3 ㎝ ， 求 BE= 4 CM. 3.如图，在△ABC中， ∠C＝900，AD平分 ∠BAC交BC于点D，若 BC＝8,BD＝5，则点D 3 到AB的距离为_____
证明:∵ AD平分∠CＡＢ, D是AD上一点（已知）
∵DE⊥AB,DC⊥AC（已知） ∴DC＝DＥ(角平分线的性质） 在Rt△CDF和Rt△EDB 中 BD=FD （已知） DC=DE（已证） ∴Rt △CDF≌Rt△EDB (HL) ∴CF＝EB（全等三角形对应边相等）

角平分线的性质
第一课时
复习提问
1、角平分线的概念
一条射线 把一个角分成两个相等的角， 这条射线叫做这个角的平分线。
2、点到直线距离的概念。 从直线外一点到这条直线的垂线段 的长度， 叫做点到直线的距离。
（1）在一张纸上任意画一个角∠AOB， 沿角的两边剪下，将这个角对折，使角的两边重合. （2）在折痕(即角平分线) 上任意取一点C; (3) 过点C折OA边的垂线， 其中点D是 得到新的折痕CD， 折痕与OA的交点，即垂足. O B E C C
∵
\ PD = PE
OP必须写完全，不能少 了任何一个。
B
（在角的平分线上的点 到这个角的两边的距离相等。）
独立作业
3
习题1.8
例一.已知:如图,在△ABC中,AD是它的角平分线, 且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F. 求证:EB=FC.
A
E B D
F C
驶向胜利 的彼岸
老师期望:
做完题目后,一定要“ ”到点东 西,纳入到自己的认知结构中去.
悟
做一做2
1
尺规作图
A E C
用尺规作角的平分线.
已知:∠AOB,如图.
求作:射线OC,使∠AOC=∠BOC.
作法: 1.在OAT和OB上分别截取OD,OE,使OD=OE.
O 2.分别以点D和E为圆心,以大于DE/2长 为半径作弧,两弧在 ∠AOB内交于点C..
驶向胜利 C 的彼岸
而△OPD≌△OPB的条件由已 知易知它满足公理(AAS).
故结论可证.
老师期望:你能写出规范的证明过程.
已知：如图，OC是的∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA， PE⊥OB，垂足分别是D，E。 求证：PD=PE

∴∠AOC=∠BOC
求证：PE=PF
在△EOP和△FOP中
EA
∠AOC=∠BOC ∠OEP=∠OFP
PC
OP=OP
O
∴ △EOP≌△FOP（AAS)
∴ PE=PF
FB
角平分线的性质 角平分线 上的点 到角两边的距离 相等
几何语言
∵ OP是∠AOB的角平分线
PE⊥OA PF⊥OB
O
∴ PE=PF
EA P
∴ △OEC≌△OFC（SSS） ∴ ∠AOC=∠BOC 即 OC平分∠AOB
E
F
为什么？
新知学习二
猜想：角平分线上的点到角两边的距离相等
同学能用学过的知识证明它吗?
命题证明：角平分线上的点到角两边的距离相等
已知：OC是∠AOB的角平分线，
点P在OC上，
证明：∵ OC是∠AOB的角平分线
PF⊥OB PE⊥OA
E
∴ PD=PE=PF
即点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
课堂小结
内容：1. 角平分线上的点到角两边的距离相等 2. 证明几何命题的步骤
应用角平分线性质的条件：1. 存在角平分线 2.涉及距离问题
布置作业
课本P51：第1、2题
配套练习前8题
感谢您的观看
人教版数学八年级上册
12.3第一课时
角平分线的性质
教材分析
情景导入
新知学习一
A
已知:∠AOB
求作∠AOB的平分线
O
B
③ ① ② 作以分射点别线以O为点O圆CM心、，N为适圆当心长，为大半于径画M弧N，为交半O径A于画点弧M，，两O弧B交于于点点NC
证明：在△OEC和△OFC中， OE=OF EC=FC OC=OC

课堂小结
✓ 归纳总结 ✓ 构建脉络
侵权必究
课堂小结
尺规 作图
属于基本作图，必须熟练掌握
角平分线
性质 定理
一个点：角平分线上的点； 二距离：点到角两边的距离； 两相等：两条垂线段相等
辅助线 添加
过角平分线上一点向两边作 垂线段 (1)以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点E，
交OB于点F；
(2)分别以点E，F为圆心，大于1 EF的长为半径画 弧，两弧在∠AOB的内部交于点C；2
(3)画射线OC； (4)同理，作∠AOC的平分线OM.∠AOM即为所求 (如上图所示)．
侵权必究
2 角平分线的性质
实验：OC是∠AOB的平分线，点P是射线OC上的 任意一点
（3）画射线OC.射线OC即为所求.
侵权必究
已知：平角∠AOB. 求作：平角∠AOB的角平分线.
C
BO
A
结论：作平角的平分线的方法就是过直线上一点作这条直 线的垂线的方法.
侵权必究
练一练
如图所示，已知∠AOB，求作：∠AOM＝ 1 ∠AOB.
4
A
O
B
导引：要作射线OM，使∠AOM＝ 1∠AOB， 其实质是作 1 ∠AOB的平分线． 4
第十二章 全等三角形
12.3 角的平分线的性质
第1课时 角平分线的性质
侵权必究
目录页
新课导入
讲授新课
当堂练习
课堂小结
侵权必究
新课导入
✓ 教学目标 ✓ 教学重点
侵权必究
学习目标
1.通过操作、验证等方式，探究并掌握角平分线的 性质定理.（难点） 2.能运用角的平分线性质解决简单的几何问题. （重点）

上的点到这个角的两边的距离
相等.
符号语言：
O
∵∠1＝∠2
PD⊥OA,PE⊥OB(已知）
∴PD=PE(角平分线上的点到这
个角的两边距离相等).
用尺规作角的平分线.
A D
1
P
2
C
E B
思考：
要在Ｓ区建一个集贸市场，使它到公路，铁 路距离相等且离公路，铁路的交叉处５００ 米，应建在何处？（比例尺 1：20 000）
定理的作用： 证明线段相等。
D
A
C P
E B
用一用（1）
1、如图, △ABC的角平分线BM,CN相交于点P, 求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等
证明：过点P作PD⊥AB于D，PE⊥BC A
于E，PF⊥AC于F ∵ BM为△ABC的角平分线
ND
M
PF
∴PD=PE
B
E
C
同理,PE=PF.
∴PD＝PE=PF
即点P到三边AB、BC、CA的距离相等
用一用(2)
已知:如图,在△ABC中,AD是它的角平分线,且 BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F. 求证:EB=FC.
A
E
F
B
温馨提示:
D
C
悟 做完题目后,一定要“ ”到点东
西,纳入到自己的认知结构中去.
应用与提高
例：如图，△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的 角平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF， 求证：CF=EB。
(2)猜想:角的平分线上的点到角的 两边的距离相等.
证明几何命题的一般步骤：
1、明确命题的已知和求证
2、根据题意，画出图形，并用数学 符号表示已知和求证；

D
D
C
┌
F E
∵E是BC的中点， ∴EC=EB. 又∵EF⊥AD，EB⊥AB，
┌
A
B
∴点E在∠BAD的平分线上，即AE是∠DAB的平分线.
BE=CF，DB=DC.
E
D
B
┐
A
F
C
新课讲解
练一练
如图，BE=CF，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F且DB=DC.求
证：AD是∠BAC的平分线.
证明：∵DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，
∴∠BED=∠CFD=90°.
E
∵在Rt△BDE和Rt△CDF中， BE=CF， DB=DC，
B
E PC
┐
D
A
新课讲解
知识点1 角平分线的判定定理
如图，点P是∠AOB内的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，
且PD=PE. 求证：点P在∠AOB的平分线OC上. 证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PEO=∠PDO=90°.
∵在Rt△PEO和Rt△PDO中， PE=PD，
PO=PO，
角的平分线的判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点
在角的平分线上.
（1）使用该判定定理的前提是这个点必须在角的内部； （2）角的平分线的判定定理是证明两角相等的重要办法.
几何表示：
如图，∵点P是∠AOB内的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足 O
分别为D，E，且PD=PE， ∴点P在∠AOB的平分线OC上.
第十二章 全等三角形
12.3 角平分线的性质 课时二 角平分线的判定
目 录
CONTENTS
1 学习目标 3 新课讲解 5 当堂小练 7 布置作业