MSDC[1].初中数学.全等三角形A级.第02讲.学生版

内容基本要求略高要求较高要求全等三角形了解全等三角形的概念，了解相似三角形和全等三角形之间的关系掌握两个三角形全等的条件和性质；会应用三角形全等的性质和判定解决有关问题 会利用全等三角形的知识解释或证明经过图形变换后得到的图形与原图形对应元素间的关系常见辅助线的作法有以下几种：1) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”．2) 遇到三角形的中点或中线，倍长中线或倍长类中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”．3) 遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．4) 过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”.5) 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．特别声明：本讲为全等三角形常用辅助线作法，有些例题涉及到等腰三角形以及特殊四边形的性质，所以建议在讲之前对等腰三角形和特殊四边形的基本性质要有所了解。

中考要求例题精讲全等三角形模块一、借助角平分线造全等角平分线是天然的、涉及对称的模型，一般情况下，有下列三种作辅助线的方式： 1． 由角平分线上的一点向角的两边作垂线。

2． 过角平分线上的一点作角平分线的垂线，从而形成等腰三角形。

3． OA OB =，这种对称的图形应用得也较为普遍。

【例1】 如图，ABC △中，AD 平分BAC ∠，DG BC ⊥且平分BC ，DE AB ⊥于E ，DF AC ⊥于F .（1）说明BE CF =的理由；（2）如果AB a =，AC b =，求AE BE 、的长.【例2】 如图，已知ABC △中，90BAC ︒∠=，AB AC =，BE 平分ABC ∠，CE BD ⊥ 求证：2BD CE =.GFE DC BAEDCBA【例3】 如图，BC BA >，BD 平分ABC ∠，且AD CD =，求证：180A C ∠+∠=︒.【例4】 如图，AC 平分BAD ∠，CE AB ⊥，且180B D ∠+∠=︒，求证：AE AD BE =+.【例5】 (2006年北京中考题)已知ABC ∆中，60A ∠=，BD 、CE 分别平分ABC ∠和ACB ∠，BD 、 CE 交于点O ，试判断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明．CDABE DCBAOED CBA模块二、倍长中线（倍长类中线）造全等三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半．中位线判定定理：经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边． 中线中位线相关问题(涉及中点的问题)见到中线(中点)，我们可以联想的内容无非是倍长中线以及中位线定理(以后还要学习中线长公式)，尤其是在涉及线段的等量关系时，倍长中线的应用更是较为常见．【例6】 已知，如图ABC △中，5AB =，3AC =，则中线AD 的取值范围是_________.【例7】 如图，ABC △中，E F 、分别在AB AC 、上，DE DF ⊥，D 是中点，试比较BE CF +与EF 的大小.【例8】 如图，∆ABC 中，BD DC AC ==，E 是DC 的中点，求证：AD 平分BAE ∠.D CBAFEDCBAED CBA【例9】 如图，AB CD =，E 为BC 的中点，BAC BCA ∠=∠，求证：2AD AE =【例10】 如图，已知在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，延长BE 交AC 于F ，AF EF =，求证：AC BE =．【例11】 如图，在ABC ∆中，AD 交BC 于点D ，点E 是BC 中点，EF AD ∥交CA 的延长线于点F ，交EF于点G ，若BG CF =，求证：AD 为ABC ∆的角平分线．DE C BAFEDC BA F GE DCBA模块三、补形法【例12】 如图，在凸五边形ABCDE 中，B E ∠=∠，C D ∠=∠，BC DE =，M 是CD 的中点. 求证：AM CD ⊥.【例13】 如图，在四边形ABCD 中，90A C ︒∠=∠=，AB AD =，若这个四边形的面积为16，则BC CD+=___________.模块四、平移变换【例14】 在∆ABC 的边BC 上取两点D F 、，使BD FC =，过D F 、分别作BA 的平行线，分别交AC 于E G 、. 求证：AB GF ED =+.MEDCBADCB AGFEDBA【例15】 如图，在ABC △的边上取两点D E 、，且BD CE =，求证：AB AC AD AE +>+.模块五、对称【例16】 如图，ABC △中，由点A 作BC 边上的高线，垂足为D . 如果2C B ∠=∠，求证：AC CD BD +=.【例17】 如图，ABC △中，AB AC >，P 为A ∠的平分线AD 上的一点，求证：PB PC AB AC -<-.CBADCBAPDCBA【例18】 如图，四边形ABCD 中，AC BD ⊥，求证：BC AD AB CD +>+模块六、旋转【例19】 正方形ABCD 中，E 为上的一点，F 为CD 上的一点，BE DF EF +=，求EAF ∠的度数.【例20】 如图，∆ABC 中，90C AC BC ∠=︒=，，AD DB =，AE CF =。

内容基本要求略高要求 较高要求相似了解比例的基本性质吧，了解线段的比、成比例线段，会判断四条线段是否成比例，会利用线段的比例关系求未知线段；了解黄金分割；知道相似多边形及其性质；认识现实生活中物体的相似；了解图形的位似关系会用比例的基本性质解决有关问题；会用相似多边形的性质解决简单的问题；能利用位似变换将一个图形放大或缩小相似三角形了解两个三角形相似的概念会利用相似三角形的性质与判定进行简单的推理和计算；会利用三角形的相似解决实际问题相似多边形知道相似多边形及其性质；认识现实生活中物体的相似会用相似多边形的性质解决简单问题1．相似定义，性质，判定，应用和位似 2．相似的判定和证明 3．相似比的转化上一节课我们知道了相似三角形的由来，那你是否知道其他跟金子塔有关的不可思议的事实呢？ 不仅建造金字搭的技术中，表现了古埃及人的非凡的数学天才；而且，它本身的许多数据，也说明了古埃及人的数学才华，巧夺天工，比如，胡夫金字塔底面周长365米，恰好是一年的天娄；周长乘以2，中考要求重难点课前预习平行线及角平分线类相似正是赤道的时分度；搭高乘以10九次方，正是地球到太阳的距离；周长除以塔塔高的2倍，正是圆周率3．1415926……；塔的自重乘以10的15次方，正好是地球的重量；塔里放置的棺材內部尺寸，正好是几千年后希腊数学家华连哥拉斯发现华连哥拉斯数——345∶∶．数学的趣味是无法言语的，同学们可以从身边的点滴去发现其中的奥秘．模块一 平行线类相似平行线类相似的基本模型有【例1】 如图，在ABCD 中，点E 在线段DC 上，若12DE EC =∶∶，则BF BE =∶ ．EAD BCF【巩固】如图，在ABC △中，,,DE BC DG AC CF AB ∥∥∥，则图中与ABC △相似的三角形（ABC △除外）有哪些？GFA BCDE【拓展】如图，点1234,,,A A A A 在射线OA 上，点123,,B B B 射线OB 上，且112233A B A B A B ∥∥，21A B ∥32A B例题精讲43A B ∥．若212323,A B B A B B △△的面积分别为1,4，则图中三个阴影三角形面积之和为 ．4321【例2】 如图，已知DE AB ∥，2OA OC OE =⋅，求证：AD BC ∥．DOECB A【巩固】在平行四边形ABCD 中，点E 为AD 的中点，连接BE ，交AC 于点F ，则AF CF ∶=（ ）FED CBA【巩固】如图，在ABC ∆的边AB 上取一点D ，在AC 取一点E ，使AD AE =，直线DE 和BC 的延长线相交于P ，求证：BP BDCP CE=． PEDCA【拓展】如图，在ABC △中，M 是AC 的中点，E 是AB 上一点，且14AE AB =，连接EM 并延长，交BC的延长线于D ，则BCCD=____ ___． MECBA【拓展】如图，AD 是ABC △的中线，点E 在AD 上，F 是BE 延长线与AC 的交点．（1）如果E 是AD 的中点，求证：12AF FC =； （2）由（1）知，当E 是AD 中点时，12AF AEFC ED=⋅成立，若E 是AD 上任意一点（E 与A 、D 不重合），上述结论是否仍然成立，若成立请写出证明，若不成立，请说明理由．AB CDEF模块二 角平分线类相似问题角平分线类的相似模型如下：方法点播：角平分线类得相似问题基本就这样的两种模型，辅助线的做法也如图中虚线所示，学生在学这部分知识时，不管是平时测验和期中、期末考试，只要涉及到角平分线和证明相似问题就可以试着做这样的辅助线，基本都可以解决．【例1】 如图，AD 是ABC △的角平分线，求证：AB BDAC CD=D CB A【巩固】 已知ABC △中，BAC ∠的外角平分线交对边BC 的延长线于D ，求证：AB BDAC CD=DCBA【巩固】在Rt ABC △中，线段CE 平分ACB ∠交AB 于点E ，交斜边上的高AD 于点O ，过O 引BC 的平行线交于F ．求证：AE BF =．321OF E DCBA【拓展】在ABC ∆中，120BAC ∠=︒，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，求证：111AD AB AC=+．D CBA【拓展】如图，已知A是XOY∠的平分线上的定点，过点A任作一条直线分别交OX 、OY于P、Q.⑴证明：11OP OQ+是定值；⑵求2211OP OQ+的最小值QPYXOA1．如图，在ABC△中，D为BC边的中点，E为AC边上的任意一点，BE交AD于点O．（1）当1A2AEC=时，求AOAD的值；（2）当11A34AEC=、时，求AOAD的值；（3）试猜想1A1AEC n=+时AOAD的值，并证明你的猜想．EDBACO课堂检测3. 已知ABC ∆中，BAC ∠的外角平分线交对边BC 的延长线于D ，求证：AC BD AB DC ⋅=⋅．DCBA1．通过本堂课你学会了 ． 2．掌握的不太好的部分 ． 3．老师点评：① ．② ．③ ．1．如图，ABC △中，D 为BC 边的中点，延长AD 至E ，延长AB 交CE 的延长线于P ．若2AD DE =，求证：3AP AB =．PEDCBA2. 如图，在ABC ∆中，M 是AC 的中点，E 是AB 上一点，且14AE AB =，连接EM 并延长，交BC 的延长线于D ，则BCCD的长为（ ）． A ．1B ．2C ．3D ．4课后作业总结复习MEDCBA（3）如图2，延长AI 交EC 延长线于F ．当ABC △形状、大小变化时，图中有哪些三角形始终与AIB △相似？写出这些三角形，并选其中之一证明．图2图1FAB CDE IIE DCB A4. 如图，在直角ABC △中（90C ∠=），放置边长分别3,4,x 的三个正方形，则x 的值为 ．43x C BA5. 如图，已知C是线段AB上的任意一点（端点除外），分别以,AC BC为斜边并且在AB的同一侧作等腰直角ACD△和BCE△，连接AE交CD于点M，连接BD交CE于点N，给出以下三个结论：①MN AB∥；②111MN AC BC=+；③14MN AB≤，其中正确结论的个数是（）A．0B．1C．2D．3。

一、 三角形的基本概念：⑴三角形的定义：由三条不在同一条直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形叫做三角形．三角形具有稳定性．⑵三角形的内角：三角形的每两条边所组成的角叫做三角形的内角．在同一个三角形内，大边对大角．⑶三角形的外角：三角形的任意一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做三角形的外角． ⑷三角形的分类：()()():⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直角三角形:三角形中有一个角是直角三角形按角分锐角三角形:三角形中三个角都是锐角斜三角形钝角三角形:三角形中有一个角是钝角不等边三角形:三边都不相等的三角形三角形按边分底边和腰不相等的等腰三角形:有两条边相等的三角形等腰三角形等边三角形正三角形有三边相等的三角形注意：每个三角形至少有两个锐角，而至多有一个钝角．三角形的三个内角中，最大的一个内角是锐角(直角或钝角)时，该三角形即为锐角三角形(直角三角形或钝角三角形)．二、 与三角形相关的边⑴三角形中的三种重要线段①三角形的角平分线：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线．注：每个三角形都有三条角平分线且相交于一点，这个点叫做三角形的内心，而且它一定在三角形内部．②三角形的中线：在三角形中，连结一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线．知识点睛与三角形有关的线段注：每个三角形都有三条中线，且相交于一点，这个点叫做三角形的中心，而且它一定在三角形内部． ③三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线． 注：每个三角形都有三条高且三条高所在的直线相交于一点，这个点叫做三角形的垂心． 锐角三角形的高均在三角形内部，三条高的交点也在三角形的内部；钝角三角形的高线中有两个垂足落在边的延长线上，这两条高落在三角形的外部， 直角三角形有两条高分别与两条直角边重合．反之也成立．画三角形的高时，只需要向对边或对边的延长线作垂线，连接顶点与垂足的线段就是该边的高． ⑵三角形三条边的关系①三角形三边关系：三角形任何两边的和大于第三边．②三角形三边关系定理的推论：三角形任何两边之差小于第三边．即a 、b 、c 三条线段可组成三角形⇔b c a b c -<<+⇔两条较小的线段之和大于最大的线段．注意：在应用三边关系定理及推论时，可以简化为：当三条线段中最长的线段小于另两条线段之和时，或当三条线段中最短的线段大于另两条线段之差时，即可组成三角形．【例1】 如图所示，BAC ∠的对边是（ ）A.BDB.DCC.BCD.AD【答案】选C ．【例2】 三角形的周长小于13，且各边长为互不相等的整数，则这样的三角形共有（ ）A.2个B.3个C.4个D.5个【解析】首先根据三角形的两边之和大于第三边以及三角形的周长，得到三角形的三边都不能大于5；再结合三角形的两边之差小于第三边进行分析出所有符合条件的整数．【答案】根据三角形的两边之和大于第三边以及三角形的周长小于13，则其中的任何一边不能超过5；再根据两边之差小于第三边，则这样的三角形共有3，4，2；4，5，2；3，4，5三个． 故选B ．【例3】为解决四个村庄用电问题，政府投资在已建电厂与这四个村庄之间架设输电线路．现已知这四个例题精讲DCBA村庄及电厂之间的距离如图所示（距离单位：公里），则能把电力输送到这四个村庄的输电线路的最短总长度应该是（）A.19.5B.20.5C.21.5D.25.5【解析】尽量选择数据较小的路线，到达4个村庄即可．【答案】如图，最短总长度应该是5+4+5.5+6=20.5cm．故选B．【例4】下列长度的三条线段，不能组成三角形的是（）A.3，8，4B.4，9，6C.15，20，8D.9，15，8【答案】故选A．【例5】为估计池塘两岸A、B间的距离，杨阳在池塘一侧选取了一点P，测得16PA=m，12PB=m，那么AB间的距离不可能是（）A.5mB.15mC.20mD.28m【答案】∵PA、PB、AB能构成三角形，根据三边关系，故选D．【例6】如图所示，第1个图中有1个三角形，第2个图中共有5个三角形，第3个图中共有9个三角形，依次类推，则第6个图中共有三角形_________个．【答案】第n个图形中，三角形的个数是14(1)43n n+-=-．所以当6n=时，原式21=，故填21．【例7】已知三角形的两边为8、10，求第三边的范围，求周长的范围．【解析】设第三边为a，周长为l，则218a<<；2036l<<；【答案】2036l<<【例8】下列不能构成三角形三边长的数组是( )．A．2-、3-、4-B．12、13、14C．21a+、221a+、231a+D．25、312、313B【答案】D ．【例9】 下列长度的三条线段能组成三角形的是( )A ．1cm ，2cm ，5cmB ．4cm ，5cm ，9cmC ．5cm ，8cm ，15cmD ．6cm ，8cm ，9cm【答案】D ．【例10】一个等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为( )A ．7B ．9C ．12D ．9或12【答案】C ．【例11】两根木棒的长分别是7cm 和10cm ，要选择第三根木棒，将它们钉成一个三角形，若第三根木棒的长是cm a ，则a 的取值范围是___________．【解析】317a <<．根据三角形三边关系定理，可得107107a -<<+，解之即得． 【答案】317a <<【例12】已知三角形的三边长分别为4、5、x ，则x 不可能是( )A ．3B ．5C ．7D ．9【答案】D【例13】判断说理，正确的说明理由，错误的举出反例．已知ABC ∆的三边分别为x ，y ，z ．（1）以2x ，2y ，2z 为三边的三角形一定存在．（2）以1()2x y +，1()2y z +，1()2z x +为三边的三角形一定存在．【解析】（1）不一定．比如3x =、4y =、5z =，满足347>5x y z +=+==，而222222345x y z +=+==．（2）一定．由对称性，不妨设0x y z <≤≤，故111()()()222x y z x y z +++≤≤，111()()()0222x y z x y z x +++=>+-． 【答案】（1）不一定；（2）一定【例14】已知三角形两边长为2cm 和7cm ，求它的周长的取值范围．【解析】已知两边长，求周长的取值范围，也是应用三角形三边关系，先求第三边的取值范围，再求周长的取范围．设第三边长为cm x ， 周长279x x =++=+．由三边关系得7272x -<<+，得59x <<． 所以95+<周长99<+， 所以14<周长18<．【答案】14<周长18<．【例15】已知三角形中两边长为2和7，（1）若第三边长为奇数，则这个三角形的周长为_________． （2）若这个三角形的周长为奇数，则第三边长为_________．【解析】（1）第三边长x 的取值范围是59x <<，因为它是奇数，故只能是7，所以三角形的周长为27716++=．（2）由周长9x +为奇数，可知x 为偶数，所以第三边的长为6或8．【答案】（1）16；（2）6或8．【例16】有三条线段，其中两条线段的长为3和5，第三条线段的长为x ，若这三条线段不能构成三角形，则x 的取值范围是 ．【答案】02x <≤或8x ≥．【例17】已知ABC ∆有两边长为a 、b ，其中a b <，则其周长l 一定满足( )．A ．22()b l a b <<+B ．22a l b <<C ．a l a b <<+D ．2a l a b <<+【答案】A ．【例18】a 、b 、c 为三角形的三边长，化简a b c b c a c a b --+--+--，若此三角形周长为11，求上面式子的值．【解析】∵三角形任意两边之和大于第三边∴0a b c --<，0b c a --<，0c a b --<∴原式()()()11a b c b c a c a b a b c =---------=++=【答案】11【例19】下列长度的线段能否组成三角形：23a +、24a +、27a +(0a ≠)； 【解析】23a +，24a +均小于27a +，而2222(3)(4)(7)a a a a +++=++．因为0a ≠，所以222(3)(4)7a a a +++>+，它们可以构成三角形；【答案】能【例20】下列长度的线段能否组成三角形：3a 、4a 、21a +(15a >)；【解析】有3(21)4a a a ++>，4(21)3a a a ++>，而34(21)51a a a a +-+=-，因为15a >，所以510a ->，即3421a a a +>+，它们可以组成三角形；【答案】可以【巩固】下列线段能组成三角形的是( )A ．1a +，2a +，3a +B ．a ，a ，1a +C ．a ，a ，21a +D ．1a ，12a ，23a【答案】D【例21】周长为整数的三角形三边长分别为3、4、x ，且x 满足不等式12327x x ->⎧⎨<⎩，这样的三角形有 个． 【答案】3．【例22】 用7根火柴棒首尾顺序连接摆成一个三角形，能摆成不同的三角形的个数为 ． 【解析】第一：火柴是等长的，不能折断；第二：一次用完7根火柴，不能剩下若干根；第三：要满足三角形的三边关系．先确定周长为7根，由三角形最大的边的范围可知最大的边必为3根，为什么？然后用枚举法：(怎样做到不重不漏？)22133【答案】2【例23】如图，在ABC ∆中取一点P ，使CP CB =，求证：AB AP >． 【答案】如图，延长CP 交AB 于点Q ，AB CB AQ QB CB AQ CQ AQ PQ CP AP CP +=++>+=++>+．∵CP CB =，故AB AP >．QPCB A【习题1】ABC ∆中，已知AB AC x ==，6BC =，则腰长x 的取值范围是（ ）课后作业PCB AA.03x <<B.3x >C.36x <<D.6x >【答案】若ABC ∆是等腰三角形，需满足的条件是：66x x x -<<+，解得3x >；故选B ．【习题2】在下列长度的线段中，能组成三角形的是( )．A ．2，2，4B ．2，3，5C ．2，3，6D ．4，4，7 【答案】D ．【习题3】如图，为估计池塘岸边A 、B 两点的距离，小方在池塘的一侧选取一点O ，测得15OA =米，10OB =米，A 、B 间的距离不可能是( ) A ．5米 B ．10米 C ．15米 D ．20米【答案】A ．【习题4】已知三角形的两边长分别为3cm 和8cm ，则此三角形的第三边的长可能是( )A ．4cmB ．5cmC ．6cmD ．13cm 【答案】Ｃ．【习题5】 现有长度分别为2cm ，3cm ，4cm ，5cm 的木棒，从中任取三根，能组成三角形的个数为 ． 【解析】应用枚举法：满足题意有下面三组．2345234【答案】3【习题6】已知，如图，P Q ，为三角形ABC 内两点，B P Q C ，，，构成凸四边形，求证：A B A C B P P Q Q+>++．QPCBA【答案】作直线PQ ，分别与AB AC ，交于点M N ， 由三角形的三边关系可得AM AN MP PQ QN MP PB BPNQ NC QC +>++⎧⎪+>⎨⎪+>⎩①②③①+②+③得AM AN MP PB NQ NC MP PQ QN BP QC +++++>++++ ∴AM AN PB NC PQ BP QC +++>++即AB AC BP PQ QC +>++NM Q P CBA。

内容基本要求略高要求较高要求全等三角形了解全等三角形的概念，了解相似三角形和全等三角形之间的关系掌握两个三角形全等的条件和性质；会应用三角形全等的性质和判定解决有关问题 会利用全等三角形的知识解释或证明经过图形变换后得到的图形与原图形对应元素间的关系全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线．通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础．角平分线的两个性质：⑴角平分线上的点到角的两边的距离相等； ⑵到角的两边距离相等的点在角的平分线上． 它们具有互逆性．角平分线是天然的、涉及对称的模型，一般情况下，有下列三种作辅助线的方式： 1． 由角平分线上的一点向角的两边作垂线，2． 过角平分线上的一点作角平分线的垂线，从而形成等腰三角形， 3． OA OB ，这种对称的图形应用得也较为普遍，AB OPPOB A A B OP中点的知识：三角形中线的定义：三角形顶点和对边中点的连线三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半．中位线判定定理：经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边． 三角形中线的相关定理： 直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等腰三角形底边的中线三线合一(底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合)涉及中点或中线的问题： 见到中线(中点)，我们可以联想的内容无非是倍长中线以及中位线定理(以后还要学习中线长公式)，尤其是课前预习中考要求全等三角形在涉及线段的等量关系时，倍长中线的应用更是较为常见．旋转基本知识：把图形G绕平面上的一个定点O旋转一个角度θ，得到图形G'，这样的由图形G到G'变换叫做旋转变换，点O叫做旋转中心，θ叫做旋转角，G'叫做G的象；G叫做G'的原象，无论是什么图形，在旋转变换下，象与原象是全等形．很明显，旋转变换具有以下基本性质：①旋转变换的对应点到旋转中心的距离相等；②对应直线的交角等于旋转角．旋转变换多用在等腰三角形、正三角形、正方形等较规则的图形上，其功能还是把分散的条件盯对集中，以便于诸条件的综合与推演．模块一中位线的应用【例1】AD是ABC∆的中线，F是AD的中点，BF的延长线交AC于E．求证：13AE AC=．FADECB【例2】如图所示，在ABC∆中，AB AC=，延长AB到D，使BD AB=，E为AB的中点，连接CE、CD，求证2CD EC=．EDC BA【例3】在ABC∆中，90ACB∠=︒，12AC BC=，以BC为底作等腰直角BCD∆，E是CD的中点，求证：例题精讲AE EB ⊥且AE BE =．EDCBA【例4】 如图，在五边形ABCDE 中，90ABC AED ∠=∠=︒，BAC EAD ∠=∠，F 为CD 的中点．求证：BF EF =．EDFCBA【例5】 (全国数学联合竞赛试题) 如图所示，在ABC ∆中，D 为AB 的中点，分别延长CA 、CB 到点E 、F ，使DE DF =．过E 、F 分别作直线CA 、CB 的垂线，相交于点P ，设线段PA 、PB 的中点分别为M 、N ．求证：(1) DEM FDN ∆∆≌；(2) PAE PBF ∠=∠．AEFE【例6】 已知：在△ABC 中，分别以AB 、AC 为斜边作等腰直角三角形ABM ，和CAN ，P 是边BC 的中点．求证：PM ＝PN (1991年泉州市初二数学双基赛题)【例7】 如图，AE ⊥AB ，BC ⊥CD ，且AE =AB ，BC =CD ，F 为DE 的中点，FM ⊥AC ．证明：FM =12AC ． H AEMFEDCBA【例8】 如图所示，已知ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，E 、F 分别在BD 、AD 上．DE CD =，EF AC =．求证：EF ∥ABFA CD E B【例9】 如图所示，AD 是ABC ∆的角平分线，DE 、DF 分别是ABD ACD ∆∆和的高，0DEF 20∠=，则BAC ∠等于________．FEDC BA【例10】 (北京市西城区2006年抽样测试八年级(上)附加题，黄冈市数学竞赛试题)如图所示，在ABC ∆中，AD 是BAC ∠的外角平分线，P 是AD 上异于点A 的任意一点，试比较PB PC +与AB AC +的大小，并说明理由．D PC B AEDPC B A【例11】 如图所示，P 是ABC ∆内的一点，PAC PBC ∠=∠，过P 作PM AC ⊥于M ，PL BC ⊥于L ，D 为AB 的中点，求证DM DL =．LPMDCBA模块二 全等与角度【例12】 如图，在ABC ∆中，60BAC ∠=，AD 是BAC ∠的平分线，且AC AB BD =+，求ABC ∠的度数.D CB A【例13】 在四边形ABCD 中，已知AB AC =，60ABD ︒∠=，76ADB ︒∠=，28BDC ︒∠=，求DBC ∠的度数.CDB A ECDBA【例14】 (日本算术奥林匹克试题) 如图所示，在四边形ABCD 中，12DAC ︒∠=，36CAB ︒∠=，48ABD ︒∠=，24DBC ︒∠=，求ACD ∠的度数.DCBA【例16】 (河南省数学竞赛试题) 在正ABC ∆内取一点D ，使DA DB =，在ABC ∆外取一点E ，使DBE DBC ∠=∠，且BE BA =，求BED ∠.DECBA【例17】 (北京市数学竞赛试题) 如图所示，在ABC ∆中，44BAC BCA ︒∠=∠=，M 为ABC ∆内一点，使得30MCA ︒∠=，16MAC ︒∠=，求BMC ∠的度数.MCAB【例17】 已知：在ABC ∆中，BC AC >，动点D 绕ABC ∆ 的顶点A 逆时针旋转，且AD BC =，连结DC ．过AB 、DC 的中点E 、F 作直线，直线EF 与直线AD 、BC 分别相交于点M 、N ．F图3图2图1F N MDCE B ANMDCE BAHF (N )DM C E BA⑴ 如图1，当点D 旋转到BC 的延长线上时，点N 恰好与点F 重合，取AC 的中点H ，连结HE 、HF ，根据三角形中位线定理和平行线的性质，可得结论AMF BNE ∠=∠(不需证明)．⑵ 当点D 旋转到图2或图3中的位置时，AMF ∠与BNE ∠有何数量关系？请分别写出猜想，并任选一种情况证明．【例18】 如图，在四边形ABCD 中，AC 平分BAD ∠，过C 作CE AB E ⊥于，并且1()2AE AB AD =+，则ABC ADC ∠+∠等于多少？E DCBA【例19】 在等腰ABC ∆中，AB AC =，顶角20A ∠=︒，在边AB 上取点D ，使AD BC =，求BDC ∠.DCBA【例20】 (“勤奋杯”数学邀请赛试题) 如图所示，在ABC ∆中，AC BC =，20C ∠=，又M 在AC 上，N 在BC 上，且满足50BAN ∠=，60ABM ∠=，求NMB ∠.NMCBA模块三 截长补短法【例21】 在ABC ∆中，MB 、NC 分别是三角形的内角ABC ∠、ACB ∠的角平分线，AM BM ⊥，AN CN⊥垂足分别是M 、N ．求证：MN BC ∥，()12MN AB AC BC =+-N MCBA【例22】 如图，已知△ABC 中，AD 平分∠BAC ，AB =6，AC =3，∠BAC =120°．求AD 的长．DCB【例23】 如图所示，在ABC ∆中，AC AB >，M 为BC 的中点，AD 是BAC ∠的平分线，若CF AD ⊥且交AD 的延长线于F ，求证()12MF AC AB =-．MFD CB A【例24】 如图，ABC ∆中，AB AC =，108A ∠=︒，BD 平分ABC ∠交AC 于D 点．求证：BC AC CD =+．AB CD【巩固】已知等腰ABC ∆，100A ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于D ，则BD AD BC +=．BAF EDC321【例25】 如图，ABC ∆中，AB AC =，BD 、CE 分别为两底角的外角平分线，AD BD ⊥于D ，AE CE ⊥于E ．求证：AD AE =．HG D B C E【巩固】如图所示，AD 是ABC ∆中BAC ∠的外角平分线，CD AD ⊥于D ，E 是BC 的中点，求证DE AB ∥且1()2DE AB AC =+．E DCB A1. 如图所示，在ABC ∆中，AD 是BAC ∠的平分线，M 是BC 的中点，ME AD ⊥且交AC 的延长线于E ，12CE CD =，求证2ACB B ∠=∠．EMDCBA2. 如图所示，在ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，AD AB =，CM AD ⊥于M ，求证2AB AC AM +=．课后作业MSDC 模块化分级讲义体系 初中数学.全等三角形C 级.第01讲.学生版 Page 11 of 11 M DCB A3. 在ABC ∆中，AB AC >，AD 是BAC ∠的平分线．P 是AD 上任意一点．求证：AB AC PB PC ->-． CD B PA。

1．相似定义，性质，判定，应用和位似 2．相似的判定和证明 3．相似比的转化希尔宾斯基三角形许多人看到“雪花曲线”时，都感到十分奇怪，把它称为“数学怪物”．后来，人们发现像“雪花曲线”中考要求重难点课前预习射影定理和内接矩形作出的．图1是一个正三角形，找到三条边的中点，连接成一个黑色的小正三角形，黑色表示要把它挖去．按照这个规律，在图2中的白色小三角形中继续挖，得到图3……这样就可以得到一个希尔宾斯基三角形．（4）（3）（2）（1）看到这样的图案，你能想到什么呢？能跟我们平时做的题型产生什么联想？能想到如果这个图形出现在中考题型中，会以什么方式出现吗？模块一（斜）射影定理类相似问题 射影定理常见及扩展模型：DCB AC D B A图1有：2AB BD BC =⋅图2有：222,,AB BD BC AD BD DC AC DC BC =⋅=⋅=⋅【例1】 如图，直角ABC △中，A B A C ⊥，AD BC ⊥，证明：2A B B D B C =⋅，2AC CD BC =⋅，2AD BD CD =⋅．DCBA例题精讲【巩固】如图，在直角梯形ABCD 中，AB CD AB BC ⊥∥，，对角线AC BD ⊥，垂足为E ，AD BD =，过E 的直线EF AB ∥交AD 于F ． ⑴ AF BE =， ⑵ 2AF AE EC =⋅．FED CBA【巩固】如图，矩形ABCD 中，BE AC ⊥于F ，E 恰是CD 的中点，下列式子成立的是（ ）FE DCA ．2212BF AF =B ．2213BF AF =C ．2212BF AF >D ．2213BF AF <【例2】 如图，ABC △中，AD BC ⊥于D ，BE AC ⊥于E ，DF AB ⊥于F ，交BE 于G ，FD 、AC 的延长线交于点H ，求证：2DF FG FH =⋅．HG DF E C BA【巩固】已知：如图，90ACB CDA AEB ∠=∠=∠=︒,求证：AEC ACF ∠=∠．F EABCD【巩固】如图，Rt ABC △中90C ∠=︒，点D 在AC 上，BD AD =，M 是AB 的中点，ME AC ⊥于E ，点P 是ME 的中点，连接DP ．求证：BE DP ⊥．ABCDEMPPME DCBA【拓展】如上图，在ABC ∆中，2FD FB FC =⋅，AD 的垂直平分线交AD 于E ，交BC 的延长线于F ，求证：AD 平分BAC ∠．EFD C B A模块二 内接矩形类相似问题内接矩形类的模型及结论：TH GFE DCB其中AI DGAH BC=，在平时训练中遇到内接矩形类的图形，就要充分利用这一结论，有助于进行解题．【例3】 ABC △中，正方形EFGH 的两个顶点E 、F 在BC 上，另两个顶点G 、H 分别在AC 、AB 上，15BC =,BC 边上的高10AD =,求EFGHS.HGF E D CB A【巩固】如图，已知ABC △中，511AC AB BC ===，，DEGF 为正方形，其中D E ，在边AC BC ，上，F G ，在AB 上，求正方形的边长．GFEDCBA【巩固】如图，有一块三角形土地，它的底边48BC =米，高16AH =米，某单位要沿着底边BC 修一座底面是矩形DEFG 的大楼。